CINEMATIQUE.
Classes d’équivalence :
Notation :
C0 : {1,2,6,8} C1 : {9,10,3} Ne pas tenir compte des éléments déformables (ressort). Colorier toujours le dessin d’ensemble.
- Mouvement 1 par rapport à 0, noté : Mvt,1/0. Exples : Rotation de centre B et d’axe S, Mvt Plan, Translation rectiligne d’axe Q,. - Trajectoire du point A de 1 par rapport à 0, noté : TA,1/0. Exples : Droite (AB) ou un cercle de centre A et de rayon [AB].
Graphe des liaisons :
C1
C0
L0-1 : liaison pivot d’axe (C,S)
Tableau des liaisons : Liaison GLISSIERE d’axe
MECANIQUE AVEC FROTTEMENT.
- En résolution Graphique.
Bilan des Actions Mécaniques extérieures sur 1 : Nom
2/1 !3/1
P.A A
Direction ⎯
sens →
Norme 200 N
B
⎯
←
200 N
- Support ou direction d’un vecteur vitesse : ∆OA,1/0. C’est toujours une droite tangente à la trajectoire TA,1/0.
Théorème 2 Forces :
- Centre Instantané de Rotation, CIR : I1/0 ⇒ à l’intersection des perpendiculaires des vecteurs vitesses.
Théorème 3 Forces :
1 solide soumis à 3 A.M est en équilibre si les 3 A.M sont concourantes et si le dynamique des forces est FERME.
Bilan des Actions Mécaniques extérieures sur 1 :
{T } avec P = m.g
- Action mécanique à distance : pesanteur G
Liaison PIVOT d’axe
θ’’(t)= θ’’0 θ’(t)= θ’’0.t + θ’0 2 θ(t)=1/2 θ’’0.t + θ’0.t + θ0
Liaison APPUI PLAN de normale
a(t)
LIAISON
V(t)
a(t)
x(t)
V(t)
x(t)
Mobilités
Torseur
⎡T X R X ⎤ ⎢0 R ⎥ Y ⎥ ⎢ ⎢⎣TZ RZ ⎥⎦
0⎫ ⎪ 0⎬ 0⎪⎭
⎧ 0 {T2 / 1}= ⎪⎨Y2 / 1 ⎪ 0 O⎩
Expression torsorielle d’une force en son point d’application A : solide 0
UNIFORMEMENT VARIE
axe
2
Accélération Normale :
Liaison Ponctuelle de normale R : penser à mettre un repère, et réaliser le schéma en couleur.
:n
an , M 1 / 0
A
r F1 / 0
UNIFORME
Norme du Vecteur vitesse en rotation : V = R .
Liaison Rotule
ω
V = = R ×ω 2 R
{T }=
X Y Z
r F /0
⎧X ⎪ ⎨Y ⎪Z A⎩
0⎫ ⎪ 0⎬ 0⎪⎭
Problème Plan : SIMPLIFICATION Dans le cas de chargement plan (tous les efforts sont dans le même plan), le modèle associé d’une action mécanique peut être simplifié à 3 inconnues.
⎧X2 /1 0 ⎫ ⎪ , Problème plan 0 ⎬ ⎪ 0 N ⎪ 2 /1⎭ ⎩
{T2 / 1} = ⎪⎨ Y2 / 1
:t
r r ( X ,Y )
i=
ω=
Z .menante ωS = (−1) n . ∏ ωE ∏ Z .menée
2.π .N 60
Accélération tangentielle :
at ,M 1 / 0 = R × ω '
Composition des vitesses : OC,1/3 = Point Coïncident : ∈ au 2 solides ⇒
n
n : Nbr de contact extérieur, (-1) : donne le sens de rotation
Fx F= Fy Produit scalaire :
Produit vectoriel :
R
Fx
Q
F1.F2 = F1.F2.cos(F 1,F 2) Y1 .Z 2 − Z 1 .Y2
F1 ∧ F2 = − [X 1 .Z 2 − Z 1 . X 2 ] X 1 .Y2 − Y1 . X 2
Intensité des vecteurs vitesses : Pour un mouvement de rotation
L’action peut s’orienter librement dans un cône appelé cône de frottement.
Changement de point de réduction d'un torseur :
⎧ X 12 {T1 / 2 }= ⎪⎨ Y12 ⎪Z A ⎩ 12
Compression OU Traction
σ
Cisaillement
τ
=
moy
=
N
σ ≤ Rpe
S
Rpe=Re/ks
T
τmoy ≤ Rpg
S.n
Rpg=Reg/ks
τmaxi = Torsion
θ=
Flexion
τmaxi ≤ Rpt
G.θ.R
α L
σ = Y.M
Rpt = Ret/ks fz
σmaxi ≤ Rpe
I(G, z)
L A,12 ⎫ ⎪ M A,12 ⎬ N A,12 ⎪⎭
⎧ X 12 {T1 / 2 }= ⎪⎨ Y12 B ⎪Z B ⎩ 12
Rpe, Rpg, Rpt = résistances pratiques élastique, au glissement et à la torsion
DYNAMIQUE DU SOLIDE.
Re, Reg, Ret = Résistances théoriques élastique, au glissement et en torsion
EN TRANSLATION :
∑F ∑M
extérieure / s I
ks = coefficient de sécurité
= M .aG
E = module d’élasticité longitudinale G = module d’élasticité transversale
=0
Io : moment quadratique par rapport au point G I(G,z) : moment quadratique de la section
∑F
extérieure / s
L = longueur de la poutre S, So = section de la poutre
=0
T, N = efforts tranchant et normal Mt, Mfz = moment de torsion et de flexion
C m − C r = J G , Z .θ '' θ’’ : accélération angulaire JG,Z : moment d’inertie
Loi de Hooke :
σ = E.ε
ε = ∆L / Lo = allongement relatif
Moment d’Inertie équivalent.
UNITES UTILISEES.
avec d : d(0G)
JOZ(1)=JGZ(1)+m.d2
Force : en Newton [N]
ENERGETIQUE.
LB ,12 ⎫ ⎪ M B ,12 ⎬ N B ,12 ⎪⎭
X12, Y12, Z12 sont invariants et seul le moment varie
r r M B ( R12 ) = M A ( R12 ) + BA ∧ R12
θ’ ou ω : vitesse angulaire en [rd/s]
NOTION DE PUISSANCE.
θ : position angulaire en [rd]
En Translation : P
a : accélération en [m/s ]
En Rotation : P
= F. V. cos( %, 5)
= C. ω
ωS/(Ce. ωe)
r r r M A (R2 / S ) + ......+ M A (Rn / S ) = 0
R : 3 équations et 3 inconnues pour un pb plan 6 équations et 6 inconnues dans l’espace.
N : fréquence angulaire en [tr/min] 2
v : vitesse en [m/s]
RENDEMENT : ηglobal = η1.η2…..ηn
ENERGIE POTENTIELLE DE PESANTEUR.
Théorème du moment résultant :
2
= F.l. cos( %,E). En Rotation : W = C.θ
r ⎧0⎫ {T2 / S } + .......+ A {Tn / S } = ⎨r ⎬ A ⎩0⎭
r r r R2 / S + ..... + Rn / S = 0
θ’’ : accélération angulaire en [rd/s ]
En Translation : W
PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE.
Théorème de la résultante :
C : couple ou moment en [N.m]
NOTION DE TRAVAIL.
η=PS/PE=CS.
- Equation torsorielle :
Fy
FORMULAIRE MECANIQUE :
OC,1/2 = H
Equiprojectivité des vecteurs vitesses :
RAPPELS MATHEMATIQUES. Notion de Vecteur :
OC,1/0 + OC,0/3
Sans frottement l’action mécanique est ⊥ au plan TANGENT au deux surfaces. L’action de contact s’oriente d’un angle ϕ de façon à s’opposer au sens du mouvement.
condition de résistance
Contrainte
m : masse en Kilogramme [kg]
Z2/1, L2/1, M2/1 sont toujours nuls.
Rapport de réduction.
r T
EN ROTATION :
normale
t
r N ϕg
ETAT de sollicitations
f ou µ = tan ϕ : Facteur de frottement
Expression torsorielle des efforts transmissibles par une liaison :
Ponctuelle de normale R
Graphes :
Liaison LINEAIRE ANNULAIRE d’axe
ϕa
T = tan ϕ.N = f.N
{T2/1}; B{T3/1}
R : θ’’0, θ’0, θ0 constantes à déterminer (conditions initiales). R : Mouvement de translation remplacer θ’’ par a, θ’ par V, θ par x.
Glissement
r Asol / 1
Relation liant la composante normale à la composante tangentielle :
P1
A
Si mouvement accéléré ou décéléré ⇒ θ’’0 ≠ 0 UNIFORME θ’’0 = 0
Adhérence
r A sol / 1
- Action mécanique de contact :
Equations du mouvement ou équations horaires :
Liaison HELICOIDALE d’axe
Pas de Frottement
r Asol / 1
RESISTANCE DES MATERIAUX.
SENS DE DEPLACEMENT
1 solide soumis à 2 A.M est en équilibre si les 2 A.M sont ALIGNEES, SENS opposé, même NORME.
- En résolution analytique.
CIR
Liaison PIVOT Glissant d’axe
LINEAIRE RECTILIGNE d’axe et de normale
MODELISATION DES ACTIONS
MODELISATION DES ACTIONS MECANIQUES.
MODELISATION DES MECANISMES.
η< 1.
CS =η.1 i : rapport de réduction CE i EP = m.g.H ENERGIE POTENTIELLE D’UN RESSORT.
EP = ½. k.x2 ; k: raideur du ressort.
x : position en [m] JG,Z : moment d’inertie ou quadratique en 2
[Kg.m ] W : travail en Joule [J] P : puissance en Watt [W] E : énergie en joule [J] f ou µ : facteur de frottement sans unité i : rapport de réduction sans unité
σ : contrainte normale en [Mpa] Ù N/mm2 p : Pression en [Bar] : 1 Bar = 0,1 MPa
ENERGIE CINETIQUE.
EC = ½ m. V2 S.PIGOT
