Análisis Estructural Avanzado Unidad 3. Método de las Rigideces M.I. Ana Isabel Rosado Gruintal Mérida, Yucatán a Marzo de 2015
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Objetivo Introducción Indeterminación Cinemática. Fundamentos del método de rigideces. Sistema de acciones nodales equivalentes (fuerza normal, fuerza cortante y momento flexionante) producidas por la acción de cargas en la barra. Determinación de las expresiones de rigideces para los diferentes elementos mecánicos. Generación de las matrices de barra para los diferentes tipos de estructuras (viga, armadura, parrilla y marco). Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura. estructura. Determinación de los desplazamientos correspondiente a los grados de libertad activos. Calculo de las acciones finales de barra en sistema local y cálculo de las reacciones. Elaboración de los diagramas de los elementos mecánicos (fuerza normal, fuerza cortante y momento flexionante). Bibliografía.
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Objetivo •
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Desarrollar el método de las rigideces planteamiento tradicional y matricial. Aplicar e interpretar el método de las rigideces a la solución de vigas, marcos y armaduras planas. Construir e Interpretar diagramas de elementos mecánicos, fuerza normal, cortante y momento flexionante.
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Introducción •
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El método de los desplazamientos, también llamado método de la rigidez, los desplazamientos de los nodos necesarios para describir la deformada de la estructura, se usan en un conjunto de ecuaciones simultaneas. Después de obtener estos desplazamientos, estos se sustituyen en las relaciones fuerza-deformación de cada elemento para determinar las diversas fuerzas internas. El numero de incógnitas en el método de rigidez es mayor que el numero de incógnitas en los métodos de flexibilidades. Por lo tanto debe evaluarse mayor numero de ecuaciones simultaneas. 4
Introducción Algunas definiciones necesarias son: •
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Elementos: Son las partes que constituyen el sistema estructural que se esta representando. Nodos: Son los lugares de la estructura donde se conectan los elementos. Fuerza: Se refiere a la fuerza que actúa en una coordenada traslacional o a un momentos en una coordenada rotacional. Desplazamiento: Se refiere a una traslación en una coordenada traslacional o una rotación en coordenada rotacional . Rigidez: Es la fuerza requerida para generar una deformación unitaria en un material elástico.
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Introducción •
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Coordenadas: El sistema coordenado global se identificará con el uso de ejes x, y, y z que tienen generalmente su origen en un nodo y están posicionados de manea que todos los nodos en otros puntos de la estructura tengan coordenadas positivas. Las coordenadas locales o de elemento x’, y’, y z’ tienen su origen en el nodo inicial del elemento y el eje x’ positivo esta dirigido hacia el extremo final. Ambos sistemas se rigen por la regla de la mano derecha.
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Indeterminación Cinemática. •
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Una vez identificados los elementos y nodos y que se ha establecido el sistema global y local de coordenadas, pueden determinarse los grados de libertas de la estructura. Marco: Cada nodo tendrá tres grados de libertad, cada uno de los cuales se identifica por un numero
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Indeterminación Cinemática •
Vigas: Cada nodo tiene dos grados de libertad.
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Armaduras: Cada nodo tiene dos grados de libertad.
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Fundamentos del método de rigideces. •
El siguiente método proporciona un medio para determinar los desplazamientos, reacciones en los soportes y las cargas internas para los elementos de una estructura.
1.
Identificar la estructura con sus elementos, nodos.
2.
Determinar el sistema coordenada local de cada elemento, indicando su nodo inicial y final.
3.
Determinar el sistema coordenado estructural (grados de libertad desconocidos)
4.
Definir las propiedades de cada elemento (A,E,I,L, θ)
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Fundamentos del método de rigideces. 5.
Calcular la matriz de rigidez de cada elemento en coordenadas locales. (KL)
6.
Calcular la matriz de rigidez de cada elemento en coordenadas globales (KG) usando la matriz de transformación T.
7.
Ensamblar la matriz de rigidez de la estructura KT (coordenadas globales) de acuerdo a los grados de libertad desconocidos.
8.
Calcular las fuerzas de empotramiento en coordenadas locales y globales. (FEML y FEMG)
9.
Calcular el vector de fuerzas y desplazamientos (P y Δ)
10. Calcular los desplazamientos y fuerzas desconocidas (P=KT* Δ)
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Sistema de acciones nodales equivalentes •
Si un elemento soporta una carga entre sus nodos, será conveniente que los efectos de esta carga se convierta a una carga equivalente en los nodos. Este se debe a que se plantean las ecuaciones de equilibrio en los nodos.
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Determinación de las expresiones de rigideces para los diferentes elementos mecánicos. •
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En esta sección se desarrollará la matriz de rigidez de un elemento marco referido a un sistema de coordenadas locales x’, y’ y z’. En cada extremo hay tres reacciones, que consisten en fuerzas axiales, fuerzas cortantes y momentos flexionantes. Se impondrán ahora desplazamientos unitarios para obtener las reacciones en los extremos.
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Determinación de las expresiones de rigideces para los diferentes elementos mecánicos. •
Desplazamientos en x.
Si el miembro sufre un desplazamiento u1 o u2, se generan las fuerzas axiales en los extremos del elemento mostradas en la siguiente figura.
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Determinación de las expresiones de rigideces para los diferentes elementos mecánicos. •
Desplazamientos en y.
Las fuerzas cortantes y momentos flexionantes resultantes que se generan cuando se impone un desplazamiento positivo U2 y U5, mientras los demás desplazamientos estánimpedidos,se muestranen las siguientes figuras.
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Determinación de las expresiones de rigideces para los diferentes elementos mecánicos. •
Rotaciones en z.
Las fuerzas cortantes y momentos flexionantes resultantes debido a una rotación unitaria positiva U3 y U6, mientras los demás desplazamientos están impedidos, se muestran en las siguientes figuras.
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Generación de las matrices de barra para los diferentes tipos de estructuras •
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A la matriz K se le llama matriz de rigidez del elemento. Los 36 coeficientes que contiene, toman en cuenta las fuerzas axiales, cortantes y momentos flexionantes por desplazamientos del elemento. Físicamente, estos coeficientes representan las reacciones sobre el elemento cuando este sufre un desplazamiento unitario especifico Marco:
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Generación de las matrices de barra para los diferentes tipos de estructuras •
Viga:
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Generación de las matrices de barra para los diferentes tipos de estructuras •
Armadura:
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Generación de las matrices de barra para los diferentes tipos de estructuras Propiedades de la matriz de rigidez: •
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Equilibrio: Cualquier desplazamiento que ocurra debe producir un conjunto equilibrado de fuerzas de extremo. Para cada columna pueden satisfacerse las ecuaciones de equilibrio. Singularidad: Es decir que no tiene inversa Simetría: Debido a la simetría es posible resolver la parte superior triangular de la matriz, incluyendo la diagonal, con el que se ahorra tiempo de almacenamiento.
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Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura. •
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Después de desarrollar la matriz de rigidez de cada elemento en términos de coordenadas globales, esas matrices pueden ensamblarse para formar la matriz de rigidez de la estructura. Cualquier elemento esta conectado a solo algunas de las coordenadas estructurales.
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Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura.
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Determinación de los desplazamientos correspondiente a los grados de libertad activos. •
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Las ecuaciones de rigidez desarrolladas hasta el momento han sido escritas en términos de las fuerzas y desplazamientos del elemento referenciado al sistema local. Es necesario referenciar las relaciones de rigidez en términos del sistema global. Para esto se usara la matriz de transformación ortogonal. Además de su uso para transformar la matriz de rigidez, también se utilizara para transformar las fuerzas locales a globales, y viceversa.
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Determinación de los desplazamientos correspondiente a los grados de libertad activos.
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Calculo de las acciones finales de barra en sistema local y cálculo de las reacciones
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Elaboración de los diagramas de los elementos mecánicos •
Una vez calculadas las fuerzas en los extremos de los elementos se pueden calcular los diagramas y ecuaciones de elementos mecánicos.
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Bibliografía •
Gere, James M. y Weaver, William Jr. Análisis de Estructuras Reticulares. McGraw – Hill, 1984.
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Hibbeler, Russell C. Análisis Estructural .Prentice Hall, 1997.
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Laible, Jeffre P. Análisis Estructural. McGraw – Hill.
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Laible, Jeffre P. Métodos Computacionales de Análisis Estructural. Prentice –Hall.
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