Étude de la loi Weibull
Réalisé par : Dr Maher HAMMAMI
DISTRIBUTION WEIBULL
SOMMAIRE INTRODUCTION ............................................................................................................................ 2 Chapitre 1. Distribution avec un seul paramètre ............................................................................ 3 I.
Expression mathématique .......................................................................................................... 3 a)
Densité de probabilité f(t) ................................................................................................... 3
b)
Fonction de répartition F(t) ................................................................................................. 3
c) Taux instantané de défaillance γ(t) ......................................................................................... 3 d)
Espérance mathématique (MTBF) et écart‐type ................................................................. 4
e)
Durée de vie associée à un seuil de fiabilité R(t) ................................................................. 4
II. Ajustement graphique : Détermination des paramètres. ......................................................... 5 a)
Principe : .............................................................................................................................. 5
b)
Structure du papier d’Allan Plait (papier dit de Weibull) .................................................... 5
c) Justification mathématique de la conception du papier fonctionnel. .................................... 6 d)
Utilisation du papier de Weibull .......................................................................................... 7
e)
Signification des paramètres β, η, et γ ................................................................................ 8
f) Redressement de la courbe dans le cas où γ ≠ 0 ..................................................................... 9 III.
Préparation des données...................................................................................................... 11
IV.
NOTION D’INTERVALLE DE CONFIANCE POUR F(t) :TABLE D’INTERVALLE DE CONFIACE .. 12
V.
SYNTHESE DE L’ALGORITHME D’ETUDE DE LA LOI DE WEIBULL ......................................... 13 a)
Préparation des données .................................................................................................. 13
b)
Détermination des paramètres de Weibull ....................................................................... 13
c) Exploitation directe des paramètres ..................................................................................... 14 Chapitre 2. Distribution mélangée .............................................................................................. 16 CONCLUSION.............................................................................................................................. 22
1
Dr Maher Hammami
DISTRIBUTION WEIBULL
INTRODUCTION Le modèle probabiliste de Weibull (ou loi à 3 paramètres) est un modèle souple qui permet d’ajuster correctement toute sorte de résultats expérimentaux et opérationnels. Contrairement au modèle exponentiel, le modèle de Weibull couvre les cas ou le taux de défaillance λ est variable et permet donc de s’ajuster aux périodes « jeunesse » et aux différentes formes de vieillissement. Son utilisation implique des résultats d’essai sur échantillons ou la saisie des résultats en fonctionnement (TBF = intervalle entre deux dates de bon fonctionnement). Ces résultats permettent d’estimer la fonction de répartition F(t) correspondant à chaque instant t. La détermination des trois paramètres permettra, à partir des tables, d’évaluer la MTBF1 et l’écart type. D’autre part la connaissance du paramètre de la forme β est un outil de diagnostic de la forme de défaillance dans le cas ou l’équipement étudier est une « boite noire ».
1
Mean Time Between Failure 2
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Chapitre 1 . Distribution avec un seul paramètre I.
Expression mathématique
Soit une variable aléatoire continu t, distribué suivant une loi de Weibull.
a) Densité de probabilité f(t)
t f (t )
1 e
t
si t
β est appelé paramètre de forme β > 0 ; η est appelé paramètre d’échelle η > 0 ; γ est appelé paramètre de poisson - ∞ < γ < + ∞.
b) Fonction de répartition F(t) t F (t ) 1 e
avec t
La fiabilité correspondante est donc R(t) = 1 – F(t) t R (t ) e R (t ) 1
t si t si
Remarque : pour γ = 0 et β = 1 on retrouve la distribution exponentielle, cas particulier de la loi de weibull. 1 1 Dans ce cas, MTBF
c) Taux instantané de défaillance γ(t) (t )
f (t ) 1 F (t )
t (t )
1
avec t
β > 0 ; η > 0. 3
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Exploitation : Si β < 1 alors γ(t) décroît : période de jeunesse (rodage, déverminage). Si β = 1 alors γ(t) est croissant : indépendance du processus et du temps. Si β > 1 alors γ(t) croit : phase d’obsolescence que l’on peut analyser plus finement pour orienter un diagnostic. 1,5 < β < 2,5 : phénomène de fatigue. 3 < β < 4 : phénomène d’usure, de corrosion (débute au temps t = γ), de dépassement d’un seuil (domaine de déformation plastique). β ≈ 3,5 : f(t) est symétrique, la distribution est « normale ». Alors que le matériel électronique montre une longue phase de vie à γ constant, le matériel électromécanique, de par les phénomènes d’usure, ne montre pas de palier dans la courbe en « baignoire » et doit donc être modélisé par la loi de Weibull.
d) Espérance mathématique (MTBF) et écart‐type L’espérance mathématique à pour expression :
1 E (t ) 1 Dans laquelle Γ est le symbole d’une expression eulérienne de seconde espèce. Le tableau relatif à cette fonction se retrouve en annexe ; et l’on retrouve l’expression : MTBF A Expression de la Variance : v(t )
2 2 2 1 1 1
2
Expression de l’écart type :
v(t ) Cet écart‐type se retrouve aussi dans le tableau en annexe ou l’on peut lire : σ = βη.
e) Durée de vie associée à un seuil de fiabilité R(t) Nous avons vu que l’on peut associer à tout instant t une probabilité R(t). Réciproquement, il est souvent intéressant, à partir d’un niveau de fiabilité R(t), de trouver l’instant t correspondant. En particulier, nous noterons L10 la durée de vie « nominale » associé au seuil R(L10) = 0,9 (notation généralisée à partir des durées de vie nominale des roulements). Développement : R (t ) e
t
avec t
4
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DISTRIBUTION WEIBULL
Prenons le Log népérien des deux membres :
t t 1 LnR (t ) Ln R (t )
1 D’où t Ln R(t )
1
1 Ln R(t )
1
t
En particulier, au seuil R(t) = 0,9 : 1
L
10
1 d’où Ln 0.9
L
10
0,105
1
Cette durée de vie est estimé dès lors que l’on à déterminé les trois paramètres de la loi de Weibull.
II.
Ajustement graphique : Détermination des paramètres.
a) Principe : L’historique de fonctionnement d’un matériel permet de déterminer des TBF, ou des durées de vie de composants, donc des fréquences cumulées de défaillances notées F(i), approximation de F(t). La détermination des trois paramètres de Weibull permet d’ajuster la loi probabiliste à la distribution statistique relevée. Nous porterons les points M(F(i) ; t) sur un papier fonctionnel spécial. Le nuage de points ainsi formé sera alors ajusté par la droite dite droite de Weibull, selon des méthodes de redressements et de régression que nous allons préciser. b) Structure du papier d’Allan Plait (papier dit de Weibull) Ce papier log‐log porte 4 axes : Sur A, nous trouvons t ; Sur B nous trouvons F(t) en % ; Sur a, nous trouvons Ln(t) ; Sur b, nous trouvons Ln(Ln(1/1‐ F(t))).
5
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Il porte également un référentiel secondaire X, Y justifié ci‐dessous, permettant de déterminer β par Y = βX. Chaque M(F(i) ; t) se porte sur les axes principaux (A ; B) :
La fiabilité s’estimera par complément de F(t) ; l’échelle R(t) n’est pas tracé sur le papier mais ses valeurs se déduisent par la relation R(t) = 1 – F(t). c) Justification mathématique de la conception du papier fonctionnel. Partons de la fonction de répartition F(t) d’une loi de Weibull.
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F (t ) 1 e
t
1 F (t ) e
t
Nous pouvons prendre le log népérien de chaque membre car R(t) ≤ 1.
1 1 1 1 Ln 0 R (t ) 1 F (t ) 1 F (t )
L’équation devient :
1 t Ln Ln Ln 1 F (t ) 1 Ln Ln Ln t Ln 1 F (t ) Y X C Nous obtenons donc une relation linéaire entre X et Y. β est la pente de la droite D1 de régression du nuage (F(i) ; t).
1 t Ln 1 F ( t )
Au point t = η = 1, origine du repère (X ; Y), Ln(η) = 0, donc C = 0. β est la pente de la droite D2 parallèle à D1 passant par l’origine de (X ; Y). d) Utilisation du papier de Weibull Cette utilisation suit les étapes suivantes : 1. Préparation des données à travers le tableau suivant : Tableau de dépouillement Ordre i TBF F(i) 4
5,2. 105 cycles
0,579
F(t) approximée Exprimée en % 57,9%
Tracer du nuage M(F(i) ; t). Tracer de la droite D1 de régression du nuage ; deux cas sont possible : 2. L’ajustement du nuage par une droite est possible ; dans ce cas, γ = 0 ; 3. Nous trouvons une courbe C1 ; dans ce cas γ ≠ 0. La valeur de γ sera déterminée par la technique par la technique de redressement de la courbe. 4. La droite D1 de régression coupe l’axe A(t ; γ) à l’abscisse t = η. Justification : Quand Y = 0, Ln(t – γ) = Ln(t) = Ln(η) donc t = η . 5. β est la pente de D1. pour obtenir sa valeur, nous traçons la droite D2 parallèle à D1 et passant par le point η = 1 (origine de X, Y). La droite D2 coupe l’axe b en un point qui donne la valeur de β. 7
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A chaque pente du faisceau des droites D2 correspond une valeur de β. Justification : D2 est la droite d’équation Y = βX avec X = Ln(t). Pour t = 1, Ln(t) = 0 donc X = Y = 0. Pour Ln(t) = ‐1 (sur l’échelle de a), Y = βLn(t) = ‐ β. Comme l’axe b portant β est orienté vers le bas, Y = ‐ b donc b = β. e) Signification des paramètres β, η, et γ Le paramètre de forme β Il caractérise les distributions des durées étudiées. Nous avons vu qu’il permet d’adapter la forme des courbes λ(t) aux différentes phases de vie d’un système ou d’une composante (courbe en baignoire). Il peut également servir d’indicateur pour un diagnostic, les valeurs β étant d’un mode de défaillance. Exemple : les études de fiabilité des roulements à billes indiquent les valeurs de β ≈ 1, 1 si les défaillances sont dues à la fatigue. Un cas particulier intéressant est le suivant : le nuage de points met en évidence deux droites, c'est‐à‐dire deux populations distinctes correspondantes à deux modes de défaillances successifs et différents. 8
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Ajustement points suivants deux droites :
Nous pouvons penser, dans cet exemple, à des défaillances juvéniles dues à un mauvais montage (β = 0,4) suivies des défaillances par usure (β = 03,5) Remarque : le paramètre β est sans dimension. Le paramètre d’échelle η (en unités de temps) Exemple d’utilisation : si l’on trace f(t) avec η = 1, la courbe f5(t) correspondant à η = 5 sera obtenu en divisant f(t) par 5, t étant multiple par 5 et l’aire restant inchangée. Le paramètre de position γ (en unité de temps)
Il est aussi appelé paramètre de décalage ou de localisation. Signification : γ indique la date de début des défaillances. si γ > 0, il y a survie totale entre t = 0 et t = γ ; si γ = 0, les défaillances débutent à l’origine des temps ; si γ > 0, les défaillances ont débutées avant l’origine des temps.
Explicitation : dans l’expression de la fiabilité R(t), le terme (t – γ) correspond à un changement de d’origine par une translation d’abscisse t = γ. f) Redressement de la courbe dans le cas où γ ≠ 0 Si le nuage de point fait apparaître une courbure telle que l’ajustement par une droite ne peut se faire q’avec un mauvais indice de corrélation, nous translaterons tous les point en ajoutant ou en retranchant à leur abscisse une même valeur (qui sera γ) jusqu'à ce que le nuage des points translatés soit ajustable par une droite D1. 9
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Le redressement peut se faire par tâtonnement, par translation de plusieurs points de valeur γ croissantes, jusqu’au redressement au « jugé ». Il peut aussi se faire suivant la formule : 2
t t t 2t t t 2
1
2
1
3
. 3
Mode opératoire Nous prenons trois points A1, A2, A3 sur la courbe C1 tels que (a1, a2) = (a2, a3) = Δ. Il est conseillé de prendre des points espacés, mais non extrêmes. Nous lirons les valeurs t1, t2, t3 sur l’axe des t (axe A). Il reste à appliquer la formule ci‐dessus pour trouver γ et pour tracer la droite D1. L’intercession de D1 avec l’axe η donne la valeur du paramètre η.
Démonstration
y a1 y a 3 2 Equation de D1 : Y X C
Par construction, y a 2
1 avec Y Ln Ln , X Ln t et C Ln R (t ) Remplaçons les ya par leurs valeurs : 10
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y
a1
y
a3
2y a2
1 1 1 Ln Ln Ln Ln 2 Ln Ln R(t 1) R (t 3) R (t 2)
Ln t 1 Ln( ) Ln t 3 Ln( ) 2 Ln t 2 2 Ln( ) Après simplification : Ln t 1 Ln t 3 2 Ln t 2 d’où t 1 t 3 t 2 2
2
III.
t t t 2t t t 2
1
2
1
3
. 3
Préparation des données
Les données d’études de fiabilité proviennent le plus souvent des historiques de défaillances, parfois des résultats d’essais. Dans tous les cas, nous calculerons les TBF, et les classerons par ordre croissant. Sur un historique, la TBF est l’intervalle de temps écoulé entre deux pannes, repérées par leur date. Pour un essai, la TBF est la durée enregistrée avant atteinte d’un seuil de dégradation. Le nombre de TBF enregistré est N, taille de l’échantillon. Si N > 50, nous regrouperons les TBF par classe. Dans ce cas, la fréquence cumulée notée i ni F (i ) N N est très voisine de la fonction de répartition f(t) de la loi de Weibull. Si 50 > N > 20, nous donnerons un rang i à chaque défaillance. Nous utiliserons alors la formule d’approximation des rangs moyens : i F (i ) . N 1 Si 20 > N, nous utiliserons la formule d’approximation des rangs médians : i 0,3 F (i ) . N 0, 4 Tableau de dépouillement Ordre i
TBF
F(i)
F(t) approximée Exprimée en %
4
5,2. 105cycles
0,579
57,9 %
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Exemple avec N = 6 : F(4) = (4 – 0,3) / (6 + 0,4) = 0, 576.
Remarque : dans le cas ou la taille de l’échantillon est très grande, une estimation empirique de la fiabilité donne des résultats suffisants, dispensant de l’emploi du modèle de Weibull. Dans ce cas,
R (t ) f (t )
N (t )
N0 N (t ) N (t t )
N0 N (t ) N (t t ) (t ) N (t ) t et la MTBF est estimée par la formule :
MTBF t f (t ). t 1
IV.
NOTION D’INTERVALLE DE CONFIANCE POUR F(t) : TABLE D’INTERVALLE DE CONFIACE
Nous allons affecter une probabilité de P = 0,90 à la fonction F(t) trouvée. Il y aura dons 90 chances sur 100 que F(t) (et donc son complément R(t)) soit compris dans un intervalle [α1 ; α2] ; Cette intervalle se nome « Bande de confiance ». La probabilité 0,90 est le « niveau de confiance ». En annexe nous avons les tables de limites à 5% et à 95% dans le cas de l’approximation par les rangs médians. Exemple d’utilisation : Reprenons les valeurs d’exemple du tableau de dépouillement précédent. Ordre i
TBF
F(t) approximé
Rang à 5%
Rang à 95%
4
5,2. 105
57,9 %
27,1 %
84,7 %
Signification : L’intervalle de confiance relevé par le tableau est (0,271 ; 0 ,847). A la notion d’estimation F(t) vaut 0,579, nous allons substituer la notion probabiliste : Prob(0,271 < F(t) < 0,847) = 0,90 12
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Ou encore
Prob(0,271 > F(t)) = 0,05 / Prob(0,847 < F(t)) = 0,05 Prob(0,271 < F(t)) = 0,95 / Prob(0,847 > F(t)) = 0,95
Par complémentarité, il est possible de donner un intervalle de confiance à la fiabilité R(t), pour la valeur particulière t = 5,2.105 cycles : Prob(0,153 < R(t) < 0,719) = 0,90.
V.
SYNTHESE DE L’ALGORITHME D’ETUDE DE LA LOI DE WEIBULL a) Préparation des données 1. 2. 3. 4.
Saisie des données d’exploitation ou d’essai, recensement des TBF. Tableau de classement des TBF par ordre croissant. Ordre i attribué à chaque TBF : 1 ≤ i ≤ N. Suivant la taille de l’échantillon, Si N > 50, on découpe les TBF en classes (nombre de TBF par classe) Si N < 50, chaque TBF est exploité en valeur propre. 5. Evaluation de la fréquence cumulée F(i), suivant les modèle d’approximation les plus adaptés.
b) Détermination des paramètres de Weibull 1. Portons sur le papier fonctionnel de Weibull : Sur l’axe A, les valeurs t de TBF, Sur l’axe B les valeurs F(i) associées. Nous obtenons un nuage de points M 2. Deux cas sont possibles : Nous pouvons ajuster le nuage par une droite D1 (au jugé ou par une méthode de régression) : γ = 0, 13
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Nous pouvons ajuster le nuage par une courbe C1 : il nous faut alors translater tous les points M d’une même valeur γ jusqu'à obtention d’une droite D1. γ ≠ 0. 3. La droite D1 coupe l’axe (t, η) en η 4. Nous traçons la // D2 et D1, passant par le point 1 (X, Y). Cette droite D2 coupe l’axe (β, b) en β.
c) Exploitation directe des paramètres 1. Recherche de la MTBF Utilisons les tables donnant A et B tel que : MTBF = A η + γ L’écart‐type σ = B η Nous pouvons alors connaître la variance V = σ² 2. Tracés et application numériques des lois R(t), F(t), f(t), λ(t) dont les équations sont définies par les trois paramètres trouvés. A chaque instant t, nous pouvons déterminer graphiquement ou analytiquement la fiabilité F(t), la fonction de répartition R(t), la fonction de distribution f(t) et le taux de défaillance instantané. 3. Les relations réciproques, en particulier l’instant t, associé à un seuil de fiabilité :
1 t Ln R(t )
1
La durée de vie nominale : L10 = γ + η(0,105)1/ β 4. Niveau de confiances accordé aux estimations de F(t) et de R(t).
Exemple : Pour 1, 2 , 0 et 550 heures. MTBF = 0,9407 x 550 + 0 ≈ 517 heures.
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Chapitre 2. Distribution mélangée Il peut arriver que les données de fiabilité couvrent une période relativement longue de la vie d’un produit, ce qui rend difficile la modélisation des défaillances par une seule loi de Weibull. Dans ce cas, plusieurs lois sont nécessaires pour couvrir les différentes périodes. La difficulté est de trouver ces modèles. Cette hypothèse va du fait que P1 continu de fonctionner après t1. Cas d’un mélange recouvrant les périodes de maturité et de vieillissement d’un produit. Le mélange se traduit sur le graphique de façon suivante : D1 représente la première loi et D2 est un mélange des deux lois. Le problème est donc comment déterminer les paramètres ? On sait que les deux populations P1 et P2 ont entièrement fini de vivre lorsque D2 rencontre l’horizontale passant par 100% (temps t2) ; par conséquent, la population P1 aura aussi fini de vivre pour ce temps t2. On utilise ce fait pour trouver le %(P) de P1 par rapport à P2. En effet, en prolongeant la droite D1 et l’intercession avec la verticale passant par t2 on obtient le point A. Ce point A nous donne le %(P) d’intervention de la population P1 par rapport à l’ensemble (P1 + P2). La part de P2 est de q% tel que p+q=1. A ces populations P1, P2 sont associées des lois F1(t), F2(t), l’ensemble des deux lois donne la loi F(t) (mélange des deux lois).
Pour trouver le model de Weibull, il faut identifier les paramètres γ1, β1, η1 pour ceci, isolons la loi F1 : D1 p F 1(t ) F 1(t ) D1 p 16
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Ensuite, on doit isoler F2(t) (loi de la population P2) : p . F1(t) connu, D2 connu, F (t ) p F 1(t ) d’où q . F2(t) = F(t) – p . F1(t), et ainsi : F 2(t ) q
On trouve ensuite γ2, β2, η2 et par conséquent :
t 1 R (t ) pe 1
1
t 2 qe 2
2
Exemple d’application : On à les TBF suivants rangés par ordre croissant : 235, 390, 540, 690, 730, 766, 800, 850, 900, 940, 980, 1020, 1100, 1200, 1240, 1310, 1400, 1455 h. Trouver le modèle. 17
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Solution : Tableau de dépouillement ; i
t
F(i) en %
F1 en %
D1 en %
F2 en %
t – γ2
1
235
3,8
6,33
2
390
9,23
15,38
3
540
14,67
24,45
4
690
20,11
33,52
5
730
25,54
23
6,35
43
6
766
30,98
25
14,95
79
7
800
36,41
27
23,5
113
8
850
41,85
29
32
163
9
900
47,28
32
38,2
213
10
940
52,72
34
46,8
253
11
980
58,15
36
55,3
293
12
1020
63,59
38
64
333
13
1100
69,02
42
67
413
14
1200
74,76
47
68
513
15
1240
79,89
49
77
553
16
1310
85,33
53
80
623
17
1400
90,76
56
87
713
18
1455
96,2
58
95,5
768
N = 18 20 donc :
F (i )
i 0,3 . N 0, 4
Pour i = 1 à 4 correspond à la droite D1 (les données en rouge) Pour i = 5 à 18 correspond à la droite D2 (les données en vert)
Graphiquement, on détermine p et on déduit q ;
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DISTRIBUTION WEIBULL
D’où p = 60% donc q= 1 – p = 40%
F
1
ReliaSoft Weibull++ 7 - www.ReliaSoft.com
D D 1
1
0.6
p
Probabilité - W eibull
99,000
Probabilité-Weibull Données 1 Weibull-2P RRX MSR MED MF F =4/S=0 Points des données Ligne De Probabilité
Défiabilité, F(t)
90,000
50,000
MAHER HAMMAMI PARTICUL IER 10/01/2008 20:26:06 1000,000
10,000 100,000
Temps , ( t)
d’où 1 = 2,17 et 1 = 535,8 de la fonction F1 ReliaSoft Weibull++ 7 - www.ReliaSoft.com
Probabilité - W eibull
99,000
Probabilité-Weibull Données 1 Weibull-3P RRX MSR MED MF F=14/S=0 Points Adj Points Non Ajus Ligne Ajustée Ligne Non Ajustée
90,000
Défiabilité, F(t)
50,000
10,000
5,000
1,000 10,000
100,000
MAHER HAMMAMI PARTICUL IER 10/01/2008 20:37:02 10000,000
1000,000
Temps , ( t)
D’où 2 = 1,3 ; 2 = 411 et 2 = 687,2 Résumé : R (t ) 0, 6e
t 535,8
2,17 0, 4e
1,3 t 687, 2 411
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Modélisation avec le logiciel Weibull++ : 1er cas : Modélisation avec un seul Weibull avec deux paramètres : = 2.5622 et = 1044 Rel iaSoft We ibull++ 7 - www.Re lia Soft.com
Proba bilit é - W e ibull
99,000
Probabi lité -We ibull Donnée s 1 Weibull -2P RRX MSR MED MF F=18/S=0 Points des donné es L igne De Probabilité
90,000
Défiabilité, F(t)
50,000
10,000
5,000
1,000 100,000
MAHER HAMMAMI PARTICUL IER 10/01/2008 19:48:05 10000,000
1000,000
Temps , ( t)
R (t ) e
t 1044
2, 6
2ième cas : Modélisation avec un seul Weibull avec trois paramètres : = 5,65 , = 1878,8 et = - 820 Re lia Soft Wei bul l++ 7 - www.Re li a Soft.com
Pro ba bilit é - W e ibull
99,000
Proba bili té -We ibull Donnée s 1 We ibul l-3P RRX MSR MED MF F=18/S=0 Poi nts Adj Poi nts Non Ajus L i gne Ajusté e L i gne Non Ajusté e
90,000
Défiabilité, F(t)
50,000
10,000
5,000
1,000 100,000
MAHER HAMMAMI PARTICUL IER 10/01/2008 19:51:49 10000,000
1000,000
Temps , ( t)
R (t ) e
t 820 1879
5, 65
20
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DISTRIBUTION WEIBULL
3ième cas : Modélisation avec deux Weibull : 1 = 0,126 ; = 1884,35 et P1 = 0,0833 1 2 = 3,6438 ; = 1005,995 et P 2 = 0,9167 2 Re liaSoft Wei bul l++ 7 - www.Reli aSoft.com
Proba bilit é - W e ibull
99,000
Proba bilité -We ibull Donnée s 1 We ibul l-Mi xte RRNL MSR MED MF F=17/S=0 Points des donné es L igne De Probabilité
90,000
Défiabilité, F(t)
50,000
10,000
5,000
1,000 100,000
MAHER HAMMAMI PARTICUL IER 10/01/2008 20:04:05 10000,000
1000,000
Temps , ( t)
t R (t ) 0,0833e 1884,35
0,126
0,9167
e
t 1006
3, 64
4ième cas : Modélisation avec trois Weibull
1 = 2,8864 et = 319,95 avec P1 = 0,1084 1
2 = 5,989 et = 872,7716 avec P 2 = 0,512 2
3 = 7,96 et = 1323,83 avec P 3 = 0,3796 3 Re l ia Soft We i bull ++ 7 - www.Re li a Soft.com
Pro ba bilit é - W e ib ull
99,000
Proba bili té-We ibull Donné e s 1 We ibul l-Mixte RRNL MSR MED MF F =18/S=0 Poi nts de s donné e s L igne De Proba bi lité
90,000
Défiabilité, F(t)
50,000
10,000
5,0 00
1,0 00 100,0 00
MAHER HAMMAMI PARTICUL IER 10/01/2008 19:56:55 10000,000
1000,000
Temps , ( t)
R (t ) 0,1084e
t 320
2,89 0,512e
8 6 t t 873 0,3796e 1323,8
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Dr Maher Hammami
DISTRIBUTION WEIBULL
CONCLUSION L’étude par la loi de Weibull des matériels permet : De trouver la loi des durée de vies ; L’expression du taux de défaillance. Ainsi, la fonction fiabilité permettra de définir les périodes d’intervention. Il faudra visiter les matériels avant qu’ils ne cassent, le temps (ti) se déduis facilement de la fonction R(t). On prendra par exemple R(t) = 0,9 et on trouvera ti. D’autre part, l’analyse du taux de défaillance en fonction de β nous indique dans quelle période de la courbe en baignoire nous nous trouvons. Si β < 1, le taux de défaillance diminue, on pourra adopter une politique de maintenance plus légère. Si β > 1, une politique de maintenance préventive sera très vivement conseillée.
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Dr Maher Hammami
DISTRIBUTION WEIBULL
ANNEXE Table à 5% relative à l’approximation de F(t) par la méthode des rangs Médian.
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DISTRIBUTION WEIBULL
Table à 95% relative à l’approximation de F(t) par la méthode des rangs Médian.
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DISTRIBUTION WEIBULL
Papier de Weibull
Tableau de la loi de Weibull
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