vxp

Mecánica Mecánica de Fluidos Fluidos  Grado Ing Electró Electrónica nica y Autom Automá ática

Vayamos amo s por por Parte artes s Colección de problemas graduados en dificultad Versión 19sep13

Norberto Fueyo Fueyo Área de Mecánica de Fluidos Universidad de Zaragoza

Grado en Ingeniería Electrónica y Automática

Índice

2 0

Matemáticas esenciales

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 1

Produ oductos entre vectores . . . . . . Notación de Einstein . . . . . . . . El gradiente: ese gran desconoci ocido . Divergencia y rotacional . . . . . . Cálculo de un caudal . . . . . . . . Cálculo de otro caudal . . . . . . .

5

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

Fluidos y Fluir

1.1 1.2 1.3 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.10 1.11 1.11 1.12 1.13 1.13 1.14 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 1.20 1.20

Para entrar en calor . . . . . . . . . . . . . . . . . Cálculo sencillo de un caudal . . . . . . . . . . . . Pun Punto de reman emanso so,, caud caudal al y veloc elocid idad ad medi mediaa . . . Integrac graciión en cilíndri drico-pol polares . . . . . . . . . . Deri erivada sustancial cial de la tempe emperratura . . . . . . Deri erivada sustancial cial de la veloci ocidad . . . . . . . . Otro de aceleraciones . . . . . . . . . . . . . . . . Una tobera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Una apl aplicaci ación práctica en otro cam campo . . . . . . Uno Uno de líne líneas as car caracte acterí ríst stiicas cas del del flujo flujo . . . . . . . Otro Otro de línea íneass cara caract cter eríísti sticas cas del del flujo flujo . . . . . . . Y ahora 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Unaa ddee lín Un línea eass cara caract cter erís ísti tica cass par paraa pen pensa sarr (poco (poco)) . Unaa ppeq Un eque ueña ña comp compli lica caci ción ón en el ejer ejerci cici cioo an anteri terior or Una fuente ornamental . . . . . . . . . . . . . . . Un U n poco de to do . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esfuerzo y fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . Otro campo y otro esfuerzo . . . . . . . . . . . . El tensor de esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . . Fue Fuerrza a part partir ir del del tens tensor or de esfu esfuer erzo zoss . . . . . .

5 6 6 7 8 8 9

. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .

9 10 10 11 12 12 13 13 13 14 14 15 16 16 17 18 18 19 19 19

Índice

2 0


0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 1

Produ oductos entre vectores . . . . . . Notación de Einstein . . . . . . . . El gradiente: ese gran desconoci ocido . Divergencia y rotacional . . . . . . Cálculo de un caudal . . . . . . . . Cálculo de otro caudal . . . . . . .

5

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

Fluidos y Fluir

1.1 1.2 1.3 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.10 1.11 1.11 1.12 1.13 1.13 1.14 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 1.20 1.20

Para entrar en calor . . . . . . . . . . . . . . . . . Cálculo sencillo de un caudal . . . . . . . . . . . . Pun Punto de reman emanso so,, caud caudal al y veloc elocid idad ad medi mediaa . . . Integrac graciión en cilíndri drico-pol polares . . . . . . . . . . Deri erivada sustancial cial de la tempe emperratura . . . . . . Deri erivada sustancial cial de la veloci ocidad . . . . . . . . Otro de aceleraciones . . . . . . . . . . . . . . . . Una tobera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Una apl aplicaci ación práctica en otro cam campo . . . . . . Uno Uno de líne líneas as car caracte acterí ríst stiicas cas del del flujo flujo . . . . . . . Otro Otro de línea íneass cara caract cter eríísti sticas cas del del flujo flujo . . . . . . . Y ahora 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Unaa ddee lín Un línea eass cara caract cter erís ísti tica cass par paraa pen pensa sarr (poco (poco)) . Unaa ppeq Un eque ueña ña comp compli lica caci ción ón en el ejer ejerci cici cioo an anteri terior or Una fuente ornamental . . . . . . . . . . . . . . . Un U n poco de to do . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esfuerzo y fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . Otro campo y otro esfuerzo . . . . . . . . . . . . El tensor de esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . . Fue Fuerrza a part partir ir del del tens tensor or de esfu esfuer erzo zoss . . . . . .

5 6 6 7 8 8 9

. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .

9 10 10 11 12 12 13 13 13 14 14 15 16 16 17 18 18 19 19 19

2

Ecuaciones Fundamentales

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 3

Continuidad con cambio de área . . . . . . . . . . . . Continuidad con con super perficies cies móviles . . . . . . . . . . Continuidad con con super perficies cies libres bres . . . . . . . . . . . Un primer problema de fuerzas . . . . . . . . . . . . Un eyector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Un túnel de viento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Otro problema similar . . . . . . . . . . . . . . . . . Un prob proble lema ma de fuer fuerza zass sorp sorpre rend nden ente teme mennte simp simple le . . Manifestante y policía . . . . . . . . . . . . . . . . . La tober bera revisitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . Volumen de control móvil . . . . . . . . . . . . . . . El aerogenerador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Una Una aeronave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Un pro problem blemaa de momento ang angular . . . . . . . . . . . El clásico asper persor . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

.. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

Flujos canónicos

3.1 3.2 3.2 3.3 3.4 3.5 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15 3.16 3.17 3.18 3.19 4

21

La prensa hidráulica . . . . . . . . . . . . . . . Cálc Cálcul uloo de la pres presió iónn en un flui fluido est estrati ratific ficad adoo . Depós pósito con chimenea . . . . . . . . . . . . . . Prestige y Prestigio . . . . . . . . . . . . . . . . Fuerz uerzas as y mom moment entos sobr sobree supe superfi rfici cies es plan planas as . . Presa reversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . Primera superficie curva . . . . . . . . . . . . . Ligera complicación . . . . . . . . . . . . . . . . Un azud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flujo de Couette exótico . . . . . . . . . . . . . Flujo de Hagen agen--Pois oiseui euille exótico . . . . . . . . Un flujo combinado . . . . . . . . . . . . . . . . Descarga de un depósito . . . . . . . . . . . . . Tubo de Pitot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ve Venturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Un nebulizador . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fuente ornamental 1 . . . . . . . . . . . . . . . Fuente ornamental 2 . . . . . . . . . . . . . . . Flujo alrededor de un hangar . . . . . . . . . .

Análisis Dimensional

22 24 25 26 27 28 30 32 33 35 36 38 40 42 43 45

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46 47 48 49 51 52 53 54 55 56 57 58 60 61 62 63 64 65 66 69

4.1 Dimensiones, dimensiones... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.2 ... Y más dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10

Un vertedero . . . . . . . . . . . . . . . . . Atomización . . . . . . . . . . . . . . . . . . Semejanza en pérdida de carga en conductos Erosión en el río Ebro . . . . . . . . . . . . Un anemómetro . . . . . . . . . . . . . . . . Un lecho fluido . . . . . . . . . . . . . . . . Fuerza de arrastre sobre un tren . . . . . . . Aerogenerador . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73 74 75 76 78 80 82 84

5

Instalaciones de fluidos

85

6

Aerodinámica y Capa Límite

87

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12 6.13

¿Qué viento hubo por la noche? . . Conduciendo al límite . . . . . . . Come fly with me . . . . . . . . . . Un fenómeno meteorológico . . . . Camino de Santiago . . . . . . . . . Otro ciclista . . . . . . . . . . . . . Frenado aerodinámico . . . . . . . Un primer problema de capa límite Cálculo del espesor de capa límite . Reductor de presión . . . . . . . . . Funeral de un “Querido Líder” . . . Consumo de un barco de cruceros . Caída de un cohete . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87 88 88 89 89 90 90 92 92 92 93 94 95

VxP 0

Matemáticas esenciales Norberto Fueyo con colaboración de María García Camprubí. Versión de 16Sep12

Antes de hacer las cuestiones de este bloque, asegúrese de que domina los siguientes aspectos de la teoría: Los conceptos de escalar, vector y tensor. Los diversos productos entre escalares, vectores y tensores. Los operadores gradiente, divergencia y rotacional, su significado físico, y sus operaciones sobre campos vectoriales y escalares. Los teoremas de Gauss y Stokes.

0.1 Productos entre vectores

Un sencillo cálculo de productos entre vectores. Puede saltarlo si cree que sabe hacerlo. Enunciado

1. ~ b(~ a · ~ c) 2. ~ c(~ a · ~ b) 3. ~ b ∧ ~ c

Sean los vectores ~ a = (2x, 3y, 2x) , ~ b = (x, 0, 3z ) y ~ c = (xy, 2z, z ) . Calcular:


6

4. ~ a ∧ (~ b ∧ ~ c) 0.2 Notación de Einstein

Practique aquí con la notación de Einstein. Como sabe: 1. Un subíndice repetido una vez en una variable, en un producto de variables o en un cociente de variables implica suma en ese subíndice. 2. Un subíndice sólo puede repetirse una vez en los grupos anteriores. Enunciado

Dados los vectores ~ a = (2x, 3y, 2x) , ~ b = (x, 0, 3z ) y ~ c = (xy, 2z, z ) calcular en el punto (1, 1, 1):

1. ai ai 2. ai bi 3. ai b j 4. ai b j c j 5. ai + b j c j 6. ai bi ci Consejos y comentarios

IAlgunos

de los casos tienen sorpresa

0.3 El gradiente: ese gran desconocido

Practice el cálculo del gradiente, y su importante significado físico. El campo de temperaturas en un habitación varía en el tiempo y en el espacio según T = 5t + 2x + 4yz 2 , y la velocidad del aire es ~ v = 2 2 3 ~ ~ (x + z + 5)k . Se pide: (2x)~ i + (1 − yz ) j + Enunciado

1. En el punto P (1, 1, 1), calcule la dirección en la que la temperatura varía más rápidamente. 2. Calcule la variación de temperatura máxima que hay en el punto P (1, 1, 1).


7

3. Calcule el valor de la variación de la temperatura en la dirección longitudinal de la habitación (que está alineada con el eje y) en el punto P (1, 1, 1) 4. ¿En qué dirección o direcciones podría moverse alrededor del punto P (1, 1, 1) sin notar cambio de temperatura? 5. Calcule ∇ · ~ v 6. Calcule T ∇ · ~ v 7. Calcule ~ v · ∇T 8. Calcule

∂ T + ~ v · ∂ t

∇T

9. Compruebe que ∇ · (T ~v) = T ∇ · ~ v + ~ v · ∇T Consejos y comentarios

0.4 Divergencia y rotacional

Practice el cálculo del gradiente, y su importante significado físico. Enunciado

~ (2xy + z 2 )~ Dado el campo de velocidades ~ v = (x + 2)~ i + (1 − y) j + k:

1. Calcule la divergencia del campo de velocidades, ∇ · ~ v. 2. ¿Puede decir si en origen de coordenadas llega o sale fluido de forma neta? 3. Calcule el rotacional de la velocidad: ∇ ∧ ~ v. 4. Calcule la laplaciana de ~ v , ∇2~ v. 5. Calcule el llamado tensor gradiente de velocidad , ∇~ v . Compare el resultado con el del primer apartado. Consejos y comentarios

IComo

(casi) siempre que hay derivadas, derive antes de sustituir las coordenadas del punto!


8

0.5 Cálculo de un caudal

Este problema es muy sencillo. Recuerde que el caudal que atraviesa una superficie S se define como Q =

Z

~ v · ~ ndS

S

siendo ~ n el vector unitario normal a la superficie S . La compuerta de un pantano es rectangular, y las coordenadas de sus vértices, expresadas en metros en un sistema cartesiano, son: A(0, 0, 0), B(0, 1, 0), C (5, 0, 0), D(5, 1, 0). En primavera, cuando se abren las compuertas del pantano para evacuar el agua del deshielo, la velocidad del flujo de agua que atraviesa la compuerta es: ~ v = (xy + 2z )~ i + y 2 j~ + (−x2 − 2y 2 + 2y + 5x)~ z [m/s]. 3 Calcule el caudal de agua (Q[m /s]) que descarga el pantano a través de la compuerta. Enunciado

0.6 Cálculo de otro caudal

Compruebe con este ejercicio que sus habilidades para integrar no están oxidadas. En Mecánica de Fluidos utilizamos mucho las coordenadas cilíndrico-polares. El perfil de velocidades de un flujo laminar completamente desarrollado en una tubería de sección circular de radio R viene dado por la ley de Hagen-Poiseuille: Enunciado

 −  

~ v(r) = V 1

r R

2

~ z

1. Dibuje el perfil de velocidades en la tubería. 2. Calcule el caudal Q que atraviesa una sección transversal de la tubería. 3. Calcule la velocidad media.

VxP 1

Fluidos y Fluir Para hacer los problemas de este bloque, necesita dominar los siguientes aspectos de la teoría: Las matemáticas esenciales del Capítulo 0 El concepto de partícula fluida. Los conceptos de caudal, gasto másico. El concepto de punto de remanso. La derivada sustancial, su significado físico y como calcularla para un campo escalar y un campo vectorial. Las tres líneas características del flujo (línea de corriente, trayectoria, traza), su sentido físico en un flujo, cómo calcularlas y por qué en un flujo estacionario son la misma línea. Las definiciones de vorticidad, flujo irrotacional.

1.1 Para entrar en calor

Un problema muy sencillo para “entrar en calor”.

Fluidos y Fluir

10

El campo de velocidades de un fluido viene dado por la función ~ v = ~ x2 z ~ (x2 − 1)~ i + (xy − 2) j + k. Se pide:

Enunciado

1. Calcule la divergencia del campo de velocidades. 2. Calcule la vorticidad. 3. ¿Es el flujo irrotacional en algún punto? 4. ¿Cuáles son las dimensiones (M , L, T , etc) de las diversas magnitudes anteriores? Solución

1. x2 + 3x ~ y~ k −2xz j + 3. x = y = 0 ∀z (eje z )

2.

4. T

1

−

1.2 Cálculo sencillo de un caudal

Dado el campo de velocidades

Enunciado

~ v = 2x2~ i

− xy j~ − 3xz ~ k

,

hallar su flujo volumétrico (o caudal) a través del cuadrado definido por las esquinas: (1,0,0), (1,1,0), (1,1,1), (1,0,1). Solución

2

1.3 Punto de remanso, caudal y velocidad media

Practique más con el campo (vectorial) de velocidades calculando los puntos de remanso de un campo fluido, y un caudal.

Fluidos y Fluir

Enunciado

11

El campo de velocidades de un fluido viene dado por la función ~ v = ~ x2 z ~ (x2 − 1)~ i + (xy − 2) j + k. Se pide:

1. Calcule los puntos de remanso del flujo. 2. Calcule el caudal que atraviesa el rectángulo que está en el plano z = 2 y está limitado por las rectas x = 1, x = 3, y = 0 e y = 3. 3. Calcule la velocidad media del fluido en la superficie del apartado anterior. 4. Si la densidad del fluido varía según la ley ρ = 3xy 2 + z + 1, calcule el gasto másico que atraviesa la superficie anterior. 5. En Sistema Internacional, ¿qué unidades tienen todas las magnitudes del problema? punto de remanso es un punto en el que la velocidad es nula. IDefinición de caudal: Q = S ~ v · ~ ndS ; definición de gasto másico: G = S ρ~ v ·~ ndS ; definición de velocidad media: Q/S . IPara calcular el caudal, recuerde que la velocidad y la normal son vectores; haga correctamente su producto escalar. ILa velocidad depende del punto; debe por tanto hacer una integral. ISi la superficie no fuera plana, la normal también dependería del punto. INote que el caudal depende de la superficie que se considere para su definición; en un problema hay infinitos caudales distintos. Consejos y comentarios

IUn

R

R

Solución

(1) (1, 2, 0) y (−1, −2, 0); (2) 52; (3)52/6; (5) m; m3 /s; m/s; kg/s

1.4 Integración en cilíndrico-polares

Un problema similar al anterior, pero utilizando coordenadas cilíndrico-polares. La velocidad de un fluido en una tubería de radio R es axial, y viene dada por ~ v(r) = V (1 − r 2/R2 )~ ex + 0~ er + 0~ eθ . Calcule el caudal que circula por la tubería. Enunciado

caudal que circula por la tubería” es una petición imprecisa: según lo visto en el apartado anterior, hay infinitos caudales dado que hay infinitas superficies. Sin embargo, por “caudal que circula por una tubería ” se entiende el fluido que atraviesa la sección transversal de la tubería. INote que la velocidad sólo depende de r , y es independiente de la posición a lo largo de la tubería; por tanto, el caudal también lo será. IDibuje el perfil Consejos y comentarios

I “El

Fluidos y Fluir

12

de velocidades en la tubería si no es intuitivo para ud. IRecuerde cómo ha de poner del diferencial de área en cilíndrico polares, y cuáles son los límites de integración. IRecuerde que el radio polar r no toma valores negativos. Nunca integre r (en cilíndrico-polares) entre −R y +R. 1.5 Derivada sustancial de la temperatura

Una primera aplicación del concepto de derivada sustancial a un campo escalar. La temperatura en una habitación varía según la ley T = T 0 + x(y − 1)2 zt . El campo de velocidades en la habitación es ~ v = (x2 − 1)yz ~ i + ~ 2xyzt2~ yz 2 t j + k. Calcule el aumento de temperatura que sentiría un insecto arrastrado por el fluido en el punto (1, 1, 1) y en t = 1. Enunciado

hay que particularizar un resultado en un punto, recuerde que si hay que derivar es necesario hacerlo generalmente antes de sustituir en el punto; de otro modo la derivada será cero. IEl campo de velocidades no parece ser el que podría existir en una habitación; ¿por qué? Consejos y comentarios

ICuando

Solución DT/Dt = x (y

2xyzt2 x (y

− 1)2 z + (x2 − 1) yz (y − 1)2 zt + yz 2tx2 (y − 1) zt +

− 1)2 t

En (1, 1, 1) y t = 1, DT /Dt = 0K/s

1.6 Derivada sustancial de la velocidad

La derivada sustancial de la velocidad es la aceleración. Con respecto al problema anterior, la diferencia es que ahora tiene que calcular la derivada sustancial de un campo vectorial; si no sabe como hacerlo, siempre puede calcular por separado la derivada de cada componente del campo vectorial. Enunciado

Dado el campo de velocidades ~ v = (x2 − 1)yz ~ i+yz 2 t j~ +2xyzt2~ k , calcule la aceleración de la partícula fluida ~ a = D~ v/Dt en cada punto.

derivada convectiva es ahora (~ v · ∇)~ v , un vector que es el resultado de aplicar (~ v · ∇) a cada componente de ~ v. v · ∇)~ v igual a ~ v(∇ · ~ v)? I¿Es (~ Consejos y comentarios

ILa

Fluidos y Fluir

13

1.7 Otro de aceleraciones

Este problema es muy parecido al anterior. Dada la velocidad euleriana ~ v = 3t~ i + xz j~ + ty 2~ k, obtener la aceleración de la partícula fluida.

Enunciado

Solución

~ (y 2 + 2txyz ) ~ a = 3~ i + (3tz + txy 2 ) j + k ~

1.8 Una tobera

Fácil, fácil. Enunciado

El flujo a través de una tobera convergente puede suponerse unidimensional, siendo la velocidad en dirección x : u (x) = V 0



x 1+2 L



.

Se pide: 1. Calcular la aceleración de una partícula fluida. 2. Obtener la aceleración en x = 0 (entrada) y x = L (salida) con V 0 = 10m/s y L = 1m. Solución

(1) V 0 2 2L 1 + 2 Lx

 

1.9 Una aplicación práctica en otro campo

La siguiente pregunta se puede resolver muy sencillamente con el concepto de derivada sustancial. Un vendedor de marisco vende su mercancía en una furgoneta. El valor del marisco (y por lo tanto el precio) aumenta en D euros por cada kilómetro que se aleja de la costa, y disminuye en T euros por cada hora que pasa desde que se capturó. Si el vendedor se mueve tierra adentro con una velocidad V km/h, calcule cuanto cambia el precio del marisco que transporta por cada hora que transcurre. Enunciado

Fluidos y Fluir

14

Consejos y comentarios

IUna

aplicación directa del concepto de derivada sustancial. La “propiedad” que se deriva es, por supuesto, el pre-

cio del marisco. 1.10 Uno de líneas características del flujo

Un primer problema de líneas características Enunciado

El campo de velocidades de un flujo bidimensional viene dado por u =

x 1+t

; v =

y 1 + 2t

Calcule las ecuaciones, libres de parámetros, de: 1. La línea de corriente que en t = 0 pasa por el punto (1, 1). 2. La trayectoria de la partícula que pasó por el punto (1, 1) en t = 0 3. La traza, en t = 0, de las partículas que han pasado por el punto (1, 1). que todas las peticiones son “en el punto (1, 1)”, no hace falta que arrastre (x0 , y0 ). I “Curva libre de parámetros” quiere decir “dada por una ecuación tipo y = f (x)”, y no por varias ecuaciones paramétricas. INote que las tres curvas son distintas. Consejos y comentarios

Solución

IDado

Línea de corriente genérica:

Trayectoria y traza de genéricas:

x x0

=

y y0

=

1+t 1+t0

;

 x x0

y y0

=

1+t ( 1+2 t)

;

  1+2t 1+2t0

1/2

1.11 Otro de líneas características del flujo

En este ejercicio, calculará las tres líneas características del flujo. El álgebra es un poco más complicado que en el ejercicio anterior.

Fluidos y Fluir

Enunciado

15

Dado el campo de velocidades ~ v = t/(x2 − 1)~ i + yt2 j~ , se pide:

1. Calcule la ecuación de la línea de corriente que pasa por el punto (1, 1), para cualquier tiempo. 2. Calcule la ecuación y = f 1(x) de la trayectoria que sigue la partícula que pasa por (1, 1) en t = 2. 3. Calcule la ecuación y = f 2 (x) de la traza, en t = 2, que pasa por el punto (1, 1). que, si tiene que calcular trayectorias y trazas, merece la pena calcular trayectorias para unas condiciones iniciales genéricas (x0 , y0 , t0 ). En este caso, puesto que todas las peticiones son para x0 = 1 e y0 = 1, para simplificar algo el algebra puede sustituir éstos y no arrastrar x0 e y0 . ILas curvas de los apartados (2) y (3) se piden libres de parámetros. Consejos y comentarios

IRecuerde

(Tentativa) Línea de corriente: y = exp [t (x3 − 3x + 2) /3]; Solución



Trayectoria: y = exp{ [2 (x

3/2

 −

− 1) /3 − 2 (x − 1) + 4] 8 /3}; Traza (antes de eliminar t0 ): (x3 − 1)/3 − (x − 1) = (4 − t20)/2; y = exp [(8 − t30 ) /3] 3

1.12 Y ahora 3D

La principal diferencia con problemas anteriores es que este campo de velocidades es tridimensional. Enunciado

Dado el campo de velocidades ~ v = 2x~ i

~ (3t − bz ) ~ k − ay j +

,

hallar la ecuación de la línea de corriente que pase por el punto (1,1,3). Consejos y comentarios

IEn

3D, una curva se representa frecuentemente como la intersección de dos superficies.

Fluidos y Fluir

16

Solución

x = y

2a

−

; y =

3t−bz a/b 3t−3b

 

1.13 Una de líneas características para pensar (poco)

La pregunta para pensar es el última, y la respuesta es totalmente predecible. Enunciado

El campo de velocidades de un flujo bidimensional viene dado por ~ v = 1 ~ i + y3 j~ x+1

Calcule las ecuaciones, libres de parámetros, de: 1. La línea de corriente que en t = 0 pasa por el origen. 2. La trayectoria de la partícula que pasó por el origen en t = 0. 3. La traza, en t = 0, de las partículas que han pasado por el origen. Compare las tres curvas anteriores. ¿Le sorprende el resultado, a la luz de la teoría? Consejos y comentarios

bra). Solución

y =

IDado

que todas las peticiones son “en el origen”, no hace falta que arrastre (x0 , y0 ) (hacerlo complica algo el álge-

p

6 (x2 /2 + x)

1.14 Una pequeña complicación en el ejercicio anterior

Este ejercicio es muy parecido a una parte del anterior. Debido a un pequeño cambio en las componentes de la velocidad, tendrá que pensar un poco más para poder separar las variables antes de integrar las curvas. El campo de velocidades de un flujo bidimensional viene dado por ~ v = y ~ ~ . Calcule la ecuación de la trayectoria de la partícula que pasó i + 3 j x+1 por el origen en t = 0. Enunciado

sólo si no consigue separar las variables: para calcular la trayectoria, puede necesitar integrar la segunda ecuación para poder sustituir y en la primera. Consejos y comentarios

ILea

Fluidos y Fluir

Solución

17

p

y = 3 x (x + 2) /3

1.15 Una fuente ornamental

Un curioso problema que ilustra cómo de distintas son las líneas características en un flujo no estacionario. El agua que sale de una fuente ornamental produce un campo de velocidades dado por:

Enunciado

  −  y v0

~ = u 0 sin ω t V

~ i + v0 j~ ,

donde u0 , v0, y ω son constantes. Por tanto, la componente y de la velocidad permanece constante (v = v0 ) y la componente x de la velocidad en y = 0 coincide con la velocidad de la manguera u = u 0 sin(ω t). 1. Determinar la línea de corriente que pasa por el origen en t = 0 y la que pasa en t = π /2ω. 2. Determinar la senda de la partícula que estaba en el origen en t = 0 y la que estaba en el origen en t = π /2ω. 3. Determinar forma de la traza que pasa por el origen. 4. Dibujar todas las anteriores. Consejos y comentarios

IPara

aclarar las ideas, haga un dibujo del dominio y estudie como es la velocidad en la entrada, y = 0.

Solución

1. x =

u0 ω

h  − i cos

ωy

v0

2. y = v 0t, x = 0; y = 3. x =

u0 y v0

1 ; x = v0 x u0

h  − i

sen ω t

y v0

u0 ω

sen

 ωy

v0

Fluidos y Fluir

18

1.16 Un poco de todo

Este sencillo problema combina varios de los conceptos anteriores. Enunciado

Un campo de velocidades está dado por: V 0 ~ ~ v= xi L





− y j~

1. ¿En qué posición del campo el módulo de la velocidad vale V 0? 2. Determinar la ecuación de las líneas de corriente. 3. Determinar el campo de aceleraciones. Solución

(1) L =

p

x2 + y2 ; (2) y = C/x; (3) ~ a =

  V 0 2 L



~ x~ i + y j

1.17 Esfuerzo y fuerza

En este ejercicio se calcula el esfuerzo que un fluido ejerce sobre una superficie sólida, y la fuerza que tiende a arrastrarla. El campo de velocidades en el aparcamiento del Campus Río Ebro puede representarse por la función ~ v = 30(1 − e z/10 )~ i m/s, donde z es la altura desde el suelo. Sobre el suelo hay una hoja de papel de tamaño a4. Se pide: Enunciado

−

1. Dibuje un gráfico de la velocidad frente a z . 2. Calcule el esfuerzo en el fluido en contacto con el suelo (en z = 0). 3. Calcule la fuerza que se ejerce sobre la hoja. 4. Indique las unidades, en Sistema Internacional, de las dos soluciones anteriores. fuerza es la integral del esfuerzo en la superficie que se considere. ISi necesita alguna propiedad del aire, búsquela en un libro (o en una fuente fiable en Internet). Consejos y comentarios

ILa

Fluidos y Fluir

Solución

19

(2) τ (z = 0) = 3µN/m2 ; (3) F = 3µA N

1.18 Otro campo y otro esfuerzo

Un problema muy sencillo (similar al anterior) con alguna terminología de Mecánica de Fluidos añadida (“entrefase”). Enunciado

Un fluido newtoniano, de viscosidad µ, desciende formando una película por un plano inclinado. El perfil de velocidades del fluido es:

  −  

y u(y) = U 2 Y

y Y

2

,

siendo y la coordenada transversal a la película (con origen sobre el plano), Y el espesor de lámina líquida, y U una constante. 1. Dibujar el perfil de velocidades. 2. Determinar el esfuerzo cortante en las entrefases plano-líquido y líquido-aire. Solución

(2) τ = µ l 2U /Y y τ = 0

1.19 El tensor de esfuerzos

En este ejercicio repasa cómo se obtiene el tensor de esfuerzos a partir de un campo de velocidades. El campo de velocidades de un fluido viene dado por la función ~ v = 2 2 (x − 1)~ i+(xy − 2) j~ +x z ~ k. La viscosidad del fluido es µ, y su viscosidad volumétrica es nula (µV = 0) Se pide: Enunciado

1. Calcule el tensor de esfuerzos en cualquier punto. 2. ¿Cuánto vale en el punto (1,1,1)? 1.20 Fuerza a partir del tensor de esfuerzos

En este ejercicio se repasa cómo el tensor de esfuerzos permite calcular fuerzas.

Fluidos y Fluir

20

Enunciado

~ ~ τ =

Se pide:

 

En un fluido en movimiento, el tensor de esfuerzos viene dado por: 3xy x + 1 z 2 + 2 x + 1 xyz xy 1 z 2 + 2 xy 1 2xz

−

 − 

1. Calcule la fuerza con la que el fluido en el semiespacio x > 0 empujaría a una placa sólida colocada en el plano x = 0 que tiene por vértices y = 0, z = 0;y = 0, z = 1;y = 1, z = 0;y = 1, z = 1. 2. En general, el esfuerzo en cualquier punto no tiene la dirección de la normal al plano (compruébelo si quiere). ¿Cómo determinaría para qué orientaciones ~ n del plano el esfuerzo sí es en la dirección de la normal? Plantéelo sin resolver, si no quiere. Consejos y comentarios

IConsidere

cuidadosamente el sentido de la normal para el primer apartado.

VxP 2


Antes de hacer las cuestiones de este bloque, asegúrese de que domina los siguientes aspectos de la teoría: Qué es un volumen de control, y una superficie de control. Las ecuaciones integrales, y sus términos en superficies y en volúmenes. El significado físico de estos términos; en particular: el término de ingestión, y su significado. Las composiciones de velocidades absolutas y relativas del fluido cuando se resuelve el problema en ejes móviles. Las fuerzas másicas que aparecen cuando se resuelve el problema en un sistema no inercial.


22

2.1 Continuidad con cambio de área

Este ejercicio es una aplicación elemental de la ecuación de continuidad, con cambio de áreas en entrada y salida. La entrada y salida se consideran, en un caso, circulares; y, como ejercicio, en otro se considera que a la entrada y a la salida no hay velocidades constantes, sino unos perfiles conocidos. La figura representa una tobera, cuyas secciones de entrada y de salida son rectangulares, de áreas Ae y As . Por ella circula un fluido de densidad constante. Enunciado

1. Si la velocidad de entrada del fluido es V e , constante, y la velocidad de salida V s es constante, calcule V s si V e es dato. 2. Repita el cálculo si las secciones de entrada y salida son circulares. 3. Cuando la entrada y salida son circulares, se sabe que el perfil de velocidad en la entrada es u(r) = V 0(1 − r2 /Re2 ) , y que el perfil a la salida es u(r) = V 1 (1 − r 2/Rs2 ), siendo R e y R s los radios de la entrada y la salida. Si se conoce V 1 , calcule V 0 .





problema es una simple aplicación de la ecuación de continuidad entre entrada y salida; puesto que el fluido es incompresible, el caudal (o el gasto másico) que entra, por unidad de tiempo, es igual al que sale. IPara integrar los perfiles de velocidad en cilíndrico-polares, tenga en cuenta la expresión de dS en este sistema, y al poner los límites recuerde que en cilíndrico-polares el radio nunca es negativo. Consejos y comentarios

IEl


Solución

V s = A e V e /As

23


24

2.2 Continuidad con superficies móviles

En este sencillo ejemplo aplicará la ecuación de continuidad cuando uno de los límites del dominio es una pared móvil. Calcule la velocidad V s media de salida del líquido por la jeringuilla de la figura, si la velocidad del émbolo es V e , el área del émbolo esAe y el de salida es As . Enunciado

    

como volumen de control el interior de la jeringuilla, desde el émbolo hasta la salida. IConsidere cuidadosamente cuánto vale la velocidad del fluido y la de la superficie de control en cada una de las partes de ésta. IEl problema no es estacionario, puesto que el volumen de control, en el que está haciendo la integral, está cambiando con el tiempo. Este aspecto es clave para poder resolver el problema. INote que, en la ecuación de continuidad, si considera que la velocidad en una entrada o salida al volumen de control es constante cuando en realidad no lo es, está en realidad utilizando la velocidad media (por definición de velocidad media; es fácil deducirlo rigurosamente). Consejos y comentarios

Solución

V s = A e V e /As

IEscoja


25

2.3 Continuidad con superficies libres

Este ejemplo es algo más sofisticado que el anterior. Puede considerarlo como un depósito que se llena por un conducto, y se vacía por otro. Trivialmente, si el nivel en el depósito aumenta es porque el caudal de llenado es mayor que el de vaciado. La ecuación de continuidad da fácilmente la relación entre estas tres magnitudes. La novedad del problema es que hay una superficie libre. Para resolver el problema, haga pasar la superficie de control por la superficie libre, y haga que se mueva con la velocidad de ésta. El depósito de la figura, de área transversal At , se llena con velocidad V e por la entrada de área Ae , y se vacía con velocidad V s por la salida de área As . Se pide calcular la evolución con el tiempo de la altura del fluido en el depósito, h(t). Enunciado



        los límites de su volumen de control, y determine claramente la velocidad de la superficie de control y del fluido en cada punto. INote que, si hace coincidir la superficie de control con la superficie libre en todo momento, la velocidad de la superficie es la del fluido, que a su vez es la velocidad de subida o bajada del nivel. Note que en estas condiciones no hay ingestión a través de esta parte de la superficie de control. Ih(t) es la altura de líquido sobre el depósito, y por tanto dh/dt (o h˙ ) es positiva cuando h aumenta. Tenga esto en cuenta a la hora, por ejemplo, de hacer el producto ~ v · ~ n. Si como ˙ resultado del problema el nivel descendiera, entonces tendría h < 0 . Consejos y comentarios

Solución

˙ (Ae V e h =

IDibuje

− AsV s)/At; h(t) = h(t = 0) + t(AeV e − AsV s)/At

Ecuaciones Fundamentales Fundamentales

26

2.4 Un primer problema de fuerzas

Este ejercicio es un primer problema sencillo para calcular fuerzas utilizando ecuaciones integrales. La figura represen representa ta una tobera, con con área de entrada entrada S e y de salida S s . Está fijada a una tubería, que lleva un fluido de densidad ρ con una velocidad V e . La presión en la tubería, en el punto de conexión a la tobera, es P e, y la presión a la salida es la atmosférica. Se pide calcular la fuerza que la tobera ejerce sobre la tubería. Desprecie la contribución de las fuerzas másicas gravitatorias.

Enunciado







no ve claro de dónde proviene la fuerza que se le pide, plantee un diagrama de sólido libre y verá que es igual a la fuerza que el fluido ejerce sobre la tobera. IPara calcular ésta, plantee plantee un volumen volumen de control que pase por las superficies donde se ejerce esa fuerza. IEn la ecuación integral de cantidad de movimiento, tendrá que despreciar la contribución de los esfuerzos en entrada y en salida, pues no los puede calcular. ITenga en cuenta que la presión en la descarga es P s = P a , y que por tanto debe hacerla cero para descontar la fuerza que la presión atmosférica, que actúa por todas partes, ejerce sobre la tobera (en ese caso, note que P e debe ser manométrica). I¿Influye en la fuerza la forma de la sección recta de la tobera? ¿Es el resultado resultado distinto distinto si tobera es plana (sección rectangular) o cilíndrica? I¿Cómo influiría en el resultado la fuerza de gravedad? Consejos y comentarios

Solución

ISi



F = S e P e + ρS e V e2 (1

− S e/S s)


27

2.5 Un eyector

Este problema estudia un dispositivo conocido como eyector (o, a veces, bomba de Venturi, o bomba de chorro, entre otras denominaciones). Un fluido a alta velocidad (chorro (chorro primario) arrastra a otro con menor velocidad (chorro secundario). secundario). La figura muestr muestraa un eyector eyector en el que una corrien corriente te primari primariaa de un líquido líquido a gran velocidad emerge de la sección 1 y arrastra arrastra una corriente corriente secundaria secundaria del mismo líquido a baja velocidad velocidad en la sección 2. En la sección 3 ambas corrientes se han mezclado completamente (¿cómo?). Se supone además que las presiones en 1 y 2 son idénticas y que el rozamiento del líquido con la pared es despreciable. Las áreas S 1 y S 2 son conocidas, y S 3 = S 1 + S 2. Se pide: (1) Calcular V 3 ; (2) Calcular P 3 − P 1 . Enunciado

 

 







 

‘¿cómo?’ del enunciado pregunta por el mecanismo que hace que las corrientes se mezclen. No es necesario resolver el problema para responder (ni, probablemente, responder para poder resolver el problema). problema). IEl problema es realmente muy corto. Piense qué cosas se conservan cuando los chorros se mezclan, y plantee las ecuaciones correspondientes. Si no se le ocurre cuales, la pista está al final. INaturalmente, los valores en las secciones 1 y 2 de algunas variables no son los mismos, pues son dos corrientes distintas. En la sección 3, sin embargo, los valores son uniformes si suponemos que las corrientes se han mezclado y no hay rozamiento en las paredes. IPara desesperados y perezosos, la pista es: convimietinudidamodcanddtidaento. Consejos y comentarios

Solución

IEl

(1) V 3 = (S 1 V 1 + S + S 2 V 2 )/(S 1 + S + S 2 ); (2) P 3 − P 1 = ρ (S 1 V 12 + S 2 V 22 )/ )/(S 1 + S 2 )

− ρV 32


28

2.6 Un túnel de viento

El túnel aerodinámico se utiliza utiliza para caracterizar caracterizar en el laboratorio laboratorio el flujo alrededor de un cuerpo de interés (por ejemplo, un edificio, o un vehículo). En el caso de vehículos, se puede medir la fuerza que actúa sobre el mismo, cuyas componentes son las denominadas fuerzas de arrastre y de sustentación. La fuerza se puede calcular haciendo un balance de cantidad de movimiento y presiones en entrada y salida, para lo que hay que resolver la ecuación integra de cantidad de movimiento. Un cuerpo, C , se ensaya en un túnel aerodinámico cilíndrico en el que la densidad del aire es ρ. El túnel tiene un diámetro D. Las presiones aguas arriba y aguas abajo, en e y s, son respectivamente P e y P s con respecto a la presión atmosférica. En la entrada, el perfil de velocidades se puede considerar plano (velocidad V e . Para tener en cuenta la estela del cuerpo el perfil de velocidad aguas abajo, en s, se aproxima según un perfil triangular que depende del radio, siendo nula en el eje y máxima en la pared. Enunciado

1. Calcular cuánto vale el gasto másico G, y la velocidad máxima V s en la salida. 2. Calcular cuánto vale la resistencia aerodinámica del cuerpo y sus soportes.

  





qué ecuaciones ha de resolver en cada apartado. ITenga en cuenta, para integrar, que la túnel es cilíndrico. Considere cómo expresar el diferencial de área, y los límites de integración. ILa resistencia aerodinámica es la fuerza del fluido en movimiento sobre un cuerpo. IPara calcular el arrastre, puede tener en cuenta que sólo interesa la componente axial (en la dirección del eje del túnel) de la fuerza. IEl esfuerzo sobre las paredes sólidas del túnel no puede calcularse; arrástrelo, si quiere, para ver cómo influye en la fuerza de arrastre calculada. IEn la salida hay un gradiente radial de velocidades (el gradiente axial, si existe, no lo conocemos). ¿Contribuye el gradiente radial al balance de fuerzas? Consejos y comentarios

IConsidere




Solución

29

2

2

(Tentativa) G = ρ πD4 V e ; V s = 23 V e ; F = A (P e − P s ) − 81 πD4 ρV e 2


30

2.7 Otro problema similar

Este problema le ayudará a terminar de comprender cómo se calculan las fuerzas sobre objetos, en este caso en un flujo no confinado. La figura representa una tienda de campaña (bidimensional) montada por un montañero para guarecerse del viento. La velocidad del viento aguas arriba de la tienda es constante, e igual a U 0 . El perfil de velocidades aguas abajo en la sección CD viene dado por la expresión: Enunciado

u(y) =

( − 

1 cos πδy , y δ u = U 0, y > δ U 0 2

≤

Se pide: 1. Calcular el gasto másico que atraviesa la línea horizontal BC . 2. Calcular el esfuerzo sobre el suelo en el punto D. 3. Calcular la fuerza sobre el refugio en dirección x. Considere que la componente de x de la velocidad en la línea BC es U 0, y desprecie las fuerzas másicas. Desprecie el esfuerzo viscoso sobre el suelo. En cada contorno, indique qué componente del tensor de esfuerzos es relevante, y cómo la resuelve en cada caso. Ayuda:

cos2 azdz =

R

z 2

+



sen2az 4a









 






31

problema es similar al ejercicio anterior. La principal diferencia es que el volumen de control no está confinado totalmente por una pared en la dirección del flujo. Como consecuencia, por BC puede haber flujo, que se pide que se calcule en el primer apartado. IEl segundo apartado es muy sencillo, y está puesto para que vea que el tensor de esfuerzos en la sección de salida no es necesariamente nulo. IEn el tercer apartado, ha de considerar en cada superficie de control (relevante) qué componente de ~ ~τ · ~ n contribuye a la fuerza que se pide. ITenga en cuenta, en las integrales de los términos de ingestión en el tramo CD, que la velocidad del fluido varía a lo largo de la superficie; no puede despachar la integral sacando la velocidad fuera como si fuera constante. Consejos y comentarios

Solución

IEl

~ s = ~ (1) m = ˙ ρ U 0δ /2; (2) f 0; (3) F = ρ U 02 δ /8


32

2.8 Un problema de fuerzas sorprendentemente simple

Éste es el problema E.3 de la colección. Un chorro de sección circular y de eje vertical incide sobre la placa horizontal BB1 después de atravesar la tobera CC 1 DD1 . La tobera está unida a un dinamómetro que indica que actúa sobre ella una fuerza, F t , dirigida hacia abajo. Calcule la fuerza sobre la placa, suponiendo las fuerzas másicas despreciables. Enunciado

tiene dudas, escoja el volumen de control que comprende superficie libre del chorro, superficie de la tobera y superficie de la placa. IA estas alturas, debería saber que la primera ecuación a aplicar es la de Cantidad de Movimiento. IConsidere al aplicarla que es una ecuación vectorial; ¿qué sucede, sin embargo, en dirección radial? ILa fuerza sobre la tobera, al ser medida, puede ser descontada de la fuerza total, resultando en la fuerza sobre la placa, que es la que nos piden. I¿Le ha hecho falta la ecuación de continuidad? Consejos y comentarios

ISi

 

















Solución

F placa = | F t|





− ρV 2 πRi2 (hacia arriba con estos signos) ∞


33

2.9 Manifestante y policía

Este es un problema muy sencillo (en gran parte puede considerarlo una simplificación del anterior), aunque tiene algún aspecto (cuestión 2) que en este punto le puede resultar paradójico. La tercera cuestión complica un poco el problema. La policía de un país extranjero dispersa una manifestación lanzando agua, con una manguera, contra los manifestantes, que se protegen con tapas circulares de contenedores de basura (que se supondrán planas). Enunciado

1. Suponiendo que el policía y el manifestante se encuentran estacionarios, calcular la fuerza que el manifestante tiene que hacer para no ser arrastrado como función de la velocidad V de salida del chorro y su área A . 2. ¿Cómo cambia el resultado si la tapa es rectangular, en lugar de circular? 3. ¿Cómo cambia esa fuerza si el manifestante se mueve (a) acercándose al policía y (b) alejándose del policía, en ambos casos con una velocidad U ?

 

que para calcular la fuerza basta con que resuelva la ecuación de Cantidad de Movimiento en la dirección del chorro. IEscoja un volumen de control que coincida con el chorro. Gran parte de la superficie de control coincide con la superficie libre del chorro, en la que la presión es la atmosférica y los esfuerzos pueden considerarse nulos. ILa respuesta a la pregunta del segundo apartado, trivial, le ayudará a entender la ecuación de Cantidad de Movimiento. IPara el tercer apartado, puede utilizar ejes fijos o móviles. El resultado ha de ser el mismo; hágalo en los dos para comprobarlo. Tenga en cuenta la composición de velocidades en la entrada y en la salida en ambos ejes. Es esencial para hacer bien el problema. En particular, tenga en cuenta que en la salida el fluido está orientado por la placa, y por tanto la velocidad relativa ha de ser paralela a la placa; la absoluta no lo será. IEl problema se resuelve más fácilmente en ejes Consejos y comentarios

INote

34


móviles; en ejes fijos, necesitará invocar la ecuación de continuidad para cerrar el resultado. Solución

(1) F = ρ AV 2 ; (3a) F = ρ A(V + U )2 ; (3b) F = ρ A(V − U )2 .


35

2.10 La tobera revisitada

Este ejercicio es la tobera del problema 2.4. La única diferencia es que ahora la velocidad V e no es conocida. La figura representa una tobera, con área de entrada S e y de salida S s . Está fijada a una tubería, que lleva un fluido de densidad ρ . La presión en la tubería, en el punto de conexión a la tobera, es P e , y la presión a la salida es la atmosférica. Se pide calcular la fuerza que la tobera ejerce sobre la tubería. Desprecie la contribución de las fuerzas másicas gravitatorias. Enunciado







plantea el problema como en el ejercicio 2.4, comprobará que ahora tiene una incógnita más que ecuaciones. IUtilice la ecuación de la energía cinética (o la de Bernoulli) como ecuación adicional. Consejos y comentarios

Solución

F =

S e −S s S P S e +S s e e

ISi




36

2.11 Volumen de control móvil

El álabe de este problema, montado sobre ruedas e impulsado por el chorro, es una versión simplificada de una turbina Pelton. El problema se resuelve en un volumen de control que se mueve con el álabe. Es instructivo resolverlo sucesivamente en ejes fijos y móviles (o viceversa), considerado cuidadosamente cuáles son las velocidades absolutas y relativas en la superficie de control, y también cuál es la velocidad del propio volumen de control en cada caso. El resultado en ejes fijo y móviles ha de ser el mismo. La figura muestra un chorro de sección S que emerge de una tobera e incide sobre un álabe montado en una plataforma móvil. El ángulo entre las velocidades emergente e incidente es β , y la velocidad de la plataforma es U . La velocidad del chorro a su salida de la tobera es V . Demostrar que la potencia de la reacción es máxima para V = 3U . Enunciado





reacción” a la que hace referencia el enunciado es la fuerza del fluido sobre el álabe. ILa “potencia de la reacción” es la potencia de esa fuerza, o producto de la fuerza por la velocidad del carrito. IEn este problema no le indican qué ecuaciones ha de aplicar. El consejo en este caso es empezar por la ecuación que le da lo que le piden, e ir añadiendo otras si hace falta (porque queden incógnitas en el problema). En este caso, debería empezar por aplicar Cantidad de Movimiento (que es la que da la fuerza). IPara hacerlo, plantee claramente cuál es el volumen de control. IDado que este se mueve, puede resolver el problema en ejes móviles o en ejes fijos; el resultado ha de ser el mismo. IPara ello, es esencial tener clara la composición de velocidades en cada punto del volumen de control, pero en particular en entradas y salidas; ¿Cuál es en cada caso la velocidad absoluta, relativa y de arrastre? (Note que la relativa ha de tener la dirección del álabe si éste está orientando el flujo.) IAplicada la ecuación de Cantidad de Movimiento, haga un balance de ecuaciones y de incógnitas. Si le Consejos y comentarios

I “La




37

faltan ecuaciones, ¿qué otras aplicaría? ISi usa la ecuación de Bernoulli, sólo puede hacerlo en ejes móviles. ¿Por qué? Solución

˙ = La potencia intercambiada entre el sólido y el fluido es: W 2 U (V − U ) ρS (1 − cosβ )


38

2.12 El aerogenerador

Este problema explica el funcionamiento de un aerogenerador. En particular, demuestra que un aerogenerador puede extraer como máximo 16/27 (=59.26 %) de la potencia del viento que lo atraviesa. Este valor recibe el nombre de coeficiente de Betz , debido al físico alemán Albert Betz, que lo dedujo en 1920. Viaje en el tiempo un siglo y siga sus pasos en este ejercicio. Entre los aspectos interesantes de este ejercicio está el uso de un volumen de control limitado en parte por un tubo de corriente (recuerda del Tema 1?; si no, repase!), y el uso, por primera vez en esta colección, de la ecuación de la energía. La figura representa una aeroturbina (o aerogenerador), en la que el área barrida por las palas es un círculo de área AT . La velocidad del viento es V 1 , y aguas debajo de la turbina, en la zona de la estela, la velocidad es V 2 . La velocidad axial media en la zona de la aeroturbina es V T . Enunciado

1. Utilizando el tubo de corriente de la figura, que comprende las líneas de corriente que pasan por la punta de las palas del aerogenerador, aplique la ecuación integral de la energía cinética en ejes fijos a tierra (y cualquier otra ecuación que necesite) para calcular la potencia entregada por el aerogenerador como función exclusivamente de V 1 , V 2 y el gasto másico (G). Cuando anule un término en las ecuaciones, indique claramente por qué. (Si le resulta más fácil, puede imaginar que la aeroturbina es un disco con infinitas palas.) 2. Aplique a continuación la ecuación de cantidad de movimiento para calcular la fuerza en dirección axial sobre la aeroturbina como función exclusivamente de V 1 , V 2 y el gasto másico. Utilice el resultado del apartado (1) junto con la expresión de esta fuerza para deducir que la velocidad axial media del aire en la aeroturbina ha de ser V T = (V 1 + V 2) /2. 3. Ponga la potencia del apartado (1) sólo en función de la velocidad del viento V 1 , el área de la turbina A T , y la ratio de velocidades α = V 2 /V 1 . Calcule para qué valor de α se produce la potencia máxima, y cuanto vale ésta potencia máxima. 4. Estime qué diámetro de palas necesitaría, como mínimo, si quisiera un aerogenerador que proporcionara una potencia de 4,5MW con un viento de 12m/s. Desprecie las fuerzas másicas gravitatorias y la disipación viscosa en todo el problema.


39

 









Solución














IEn

el enunciado le llevan de la mano; no debería necesitar ninguno.

˙ = −G(V 2 − V 2 )/2; (3) W ˙ max = 8ρAT V 3 )/27; (4) DT ≈ 105m. (1) W 2 1 1


40

2.13 Una aeronave

Este problema combina un volumen de control móvil con el aerogenerador del apartado 2.12. La figura representa una aeronave (puede considerarse una representación simplificada de un motor de avión), con una boca de aspiración de área A1 , y una boca de descarga A2 , siendo A1 > A2 . El sistema de propulsión consiste en un motor interno, que es capaz de ingerir por A1 (y expulsar por A2 ) un caudal de aire constante, Q. La aeronave se desplaza hacia la izquierda con una velocidad U en una atmósfera de aire (densidad ρ), donde existe una presión relativa p = 0. El flujo de aire entra por A 1 , con una velocidad respecto al suelo (“absoluta”) V 1 , y sale por A2 con V 2 , ambas uniformes en las secciones respectivas. Enunciado

1. Calcule las velocidades V 1 y V 2 , en función del resto de los parámetros del problema enunciados más arriba. 2. Calcule la fuerza impulsora sobre la aeronave. Indique claramente la dirección y sentido de esta fuerza. 3. La aceleración y frenado de la aeronave se consigue colocando deflectores frente a las secciones A1 ó A2 , que hacen que el flujo en la boca correspondiente tenga dirección radial. En ambos casos, el deflector es solidario al cuerpo de la aeronave. Las Figuras (2) y (3) muestran ambas posibilidades. ¿Cuál de ellas se utilizaría para aumentar la velocidad, y cuál para frenar? Razonar la respuesta. Se considerará que el flujo es estacionario e incompresible, y que no existe gravedad. Consejos y comentarios

Solución

IEs

importante tener clara la composición de velocidades en la entrada y la salida. ¿Es Q absoluto o relativo?

(1) V 1 = Q/A1 − U ; V 2 = Q/A2 − U ; (2) F = ρ Q2 (1/A1 − 1/A2 )~ i


41





 














42

2.14 Un problema de momento angular

En este problema es necesario aplicar la Ecuación del Momento angular o Cinético. Por el tubo rígido de sección S (constante) de la figura circula con velocidad V (constante) un líquido de densidad ρ (constante). Calcular, en función del ángulo θ, la fuerza y el momento en el centro de la sección A del empotramiento. La presión en el punto A es P A . Enunciado







calcular la fuerza, deberá aplicar la Ecuación de Cantidad de Movimiento; recuerde que es una ecuación vectorial. IUtilice la Ecuación del Momento Cinético para calcular el par; es también una ecuación vectorial, pero en este caso sólo hay momento en dirección perpendicular al papel. IPara aplicar la Ecuación del Momento Cinético, recuerde que ~ x es naturalmente el vector desde el punto A a la fuerza (diferencial) en cada punto. ITenga en cuenta que la contribución al momento del término de ingestión en la entrada se anula (¿por qué?). Para la superficie salida, considere que todos sus puntos tienen el mismo vector ~ x; es una buena aproximación (∀θ) si el radio del tubo es mucho menor que L . Consejos y comentarios

Solución

F x (θ) = S ρV 2 (1

F y (θ) = S ρV 2 cos θ M =

IPara



−ρSV 2[R − L cos θ]

− sin θ) + SP A


43

2.15 El clásico aspersor

Puede que la importancia tecnológica del aspersor no justifique su persistente presencia en las colecciones de problemas (ni en los exámenes); sin embargo, es un problema muy instructivo para el manejo de la Ecuación del Momento Cinético. Utilícela en este ejercicio para comprobar que el aspersor gira debido al momento angular del fluido en las boquillas de descarga. Se descarga agua de forma tangencial por dos boquillas en los extremos de los brazos del aspersor de la figura. El aspersor gira con velocidad angular constante, siendo la velocidad lineal de las boquillas U . La velocidad relativa del fluido que se descarga es vs . La longitud de cada brazo del aspersor es R, y el área de cada boquilla de salida es As . Se pide: Enunciado

1. Calcular el par que se ejerce sobre el aspersor. 2. Calcular la potencia intercambiada entre el fluido y el aspersor. 3. Calcular la velocidad U para la que la potencia es máxima.









un problema de aplicación de la Ecuación del Momento Cinético. Note que ahora no es necesario aplicar la de Cantidad de Movimiento. IEl volumen de control es ahora móvil; para triunfar ha de tener clara la velocidad de la superficie de control, y la composición de Consejos y comentarios

INuevamente

44


velocidades en la salidas. IPor simetría, puede trabajar con un sólo brazo del aspersor. El momento para dos brazos es dos veces el momento para uno (compruébelo si no lo ve claro). IDado que el brazo de un aspersor puede ser largo, considere, como en el ejercicio anterior, que toda la sección de salida tiene un único ~ x para calcular el momento. IDado que el volumen de control es móvil, puede resolver el problema en ejes fijos o móviles. En ejes fijos es algo más sencillo, debido a que en ejes móviles hay que considerar fuerzas másicas por ser el sistema no inercial (¿cuáles?). Dado que el resultado ha de ser el mismo, es un buen ejercicio el hacerlo (no es trivial). IRespecto al apartado 2, la potencia es simplemente el par por la velocidad angular. El tercer apartado se resuelve simplemente calculando el máximo (derivando la potencia con respecto a la velocidad). IEs instructivo estudiar qué sucede cuando el ángulo de la boquilla de salida con el brazo no es π /2. En un examen pusimos un problema idéntico en el que era π /4. Hágalo. Solución

˙ = 2ρUvs (vs − U )As ; (3) U = v s /2. (1) M = 2Rρvs (vs − U )As ; (2) W

VxP 3

Flujos canónicos Esta colección contiene sucesivamente problemas de: Fluidostática Flujo unidireccional Flujo ideal Es imprescindible que entienda bien la teoría antes de intentar resolver resolver los problemas.

Flujos canónicos

46

3.1 La prensa hidráulica

La prensa hidráulica es un invento atribuido a Blaise Pascal. Este ejercicio explica su funcionamiento. La figura es un esquema esquema de una prensa hidráuli hidráulica. ca. Si aplica una una fuerza F 1 en el émbolo de superficie S 1, calcule la fuerza F 2 que se ejerce en el émbolo de superficie S 2. Enunciado











ha resuelto resuelto bien este (sencillísimo) (sencillísimo) ejercicio, ejercicio, verá que si S 2  S 1 , entonces F 2  F 1. Demuestre que esto no viola la conservación de la energía calculando el trabajo efectuado para mover el émbolo 1 y obtenido en el movimiento del émbolo 2. I¿Que sucede a F 2 cuando el émbolo 1 está sustancialmente más alto que el 2? Consejos y comentarios

ISi



Flujos canónicos

47

3.2 Cálculo de la presión en un fluido estratificado

Este ejercicio puede ayudarle a entender el campo de presiones que existe en un fluido, y en fluidos estratificados. La figura representa un depósito con dos líquidos estratificados, de densidades ρ1 y ρ2 . Está abierto a la atmósfera en la chimenea. Dibuje en un gráfico cómo varía la presión con la altura, desde el fondo, a lo largo de las líneas sobre P Q y RS . (Represente la presión en el eje horizontal de la gráfica, y la altura z sobre el fondo en la vertical. Marque los puntos singulares en el eje vertical: R ?, 2R 2 R?, etc, e indique los valores de la presión en esos puntos.)

Enunciado





  







 

 Consejos y comentarios





IPara

deducir el perfil de presiones, le puede resultar más fácil trabajar la línea P Q hacia abajo, y luego la línea RS

hacia arriba. cambio de densidad. densidad. ¿Cómo influye en el perfil de presiones? INo olvide que hay un cambio

Flujos canónicos

48

3.3 Depósito con chimenea

Un ejercicio sencillo, que le indicará si entiende cómo evoluciona la presión en el seno de un fluido. Enunciado

Calcule la fuerza sobre la placa plana AB . Trabaje por unidad de profundidad perpendicular al papel. 

 








ITrivial,

si lo tiene claro.

Flujos canónicos

49

3.4 Prestige y Prestigio

13 de noviembre de 2002 se hundió el petrolero Prestige, cargado con 77.000 toneladas de fuel-oil. Tras el hundimiento, el Director de cierta Escuela de Ingenieros [no ésta] declaró en prensa que las grietas del casco por las que salía fuel-oil serían imposibles de tapar, porque “a esas profundidades, la presión del agua haría que las placas usadas para taparlas salieran disparadas” (más o menos). Un tanque del Prestige se encuentra hundido a una profundidad de 4000 m, y tiene dos orificios abiertos según se muestra en la figura. Se desea obturar mediante una placa el orificio de la cubierta, de un área de 0.20 m2 . Se pide: Enunciado

1. Calcule la fuerza necesaria para fijar la placa. 2. Si se desea fijarla con una roca del fondo del mar, de densidad ρr = 10000kg/m3 , ¿qué volumen debería tener? 3. Demuéstrele al Director que debió estudiar más Fluidos, porque en esta fuerza, grande o pequeña, no interviene la profundidad a la que está hundido el petrolero. Considere que la densidad del agua de mar es ρa = 1200kg/m3 , y la del fuel-oil ρm = 800kg/m3 .

          

    

Flujos canónicos

50


IComo

en el ejercicio anterior, tiene que tener claro cómo evolucionan las presiones en el tanque y sus alrededores.

Flujos canónicos

51

3.5 Fuerzas y momentos sobre superficies planas

Practique con las fórmulas para superficies planas con este ejercicio. La figura representa una compuerta plana, y sin peso, que cierra el fondo de un depósito con un fluido de densidad ρ. La compuerta está inclinada π /4 con respecto a la horizontal, y en el exterior tiene presión atmosférica. La compuerta tiene una bisagra en O. Se pide calcular la fuerza hidrostática que soporta la compuerta, y el momento de esta fuerza que tiende a abrirla, en los siguientes casos: Enunciado

1. La compuerta es cuadrada, de lado D. 2. La compuerta es un triángulo equilátero, de altura D (en O hay un lado del triángulo; en A un vértice). 3. La compuerta es circular, de diámetro D. 





 



forma más rápida de resolver este problema es posiblemente aplicando las fórmulas para superficies planas. IUsando las fórmulas para superficies curvas, la solución es bastante directa para el primer apartado; sin embargo, se complica para los apartados 2 y 3. Inténtelo y verá por qué. IRepare en que en los dos últimos apartados no podría usar triángulos de presiones, ya que el problema no es bidimensional. Consejos y comentarios

3.6

ILa

Flujos canónicos

52

Presa reversible

Se pretende construir una presa de hormigón, de densidad ρh = 2350 kg/m3 . La sección de la presa es un triángulo rectángulo, de altura h y base b . Evaluar cuál de las dos configuraciones (a) o (b) de la figura presenta una mejor resistencia al vuelco alrededor del punto O. La densidad del agua es ρh = 1000 kg/m3 .

que la solución no depende de h ni de b ISi opera con símbolos hasta el final (como siempre recomendamos) verá que la mayor estabilidad de una u otra opción depende del ratio de densidades del agua y el hormigón. Consejos y comentarios

INote

Flujos canónicos

53

3.7 Primera superficie curva

Primer ejercicio con una superficie curva. Calcule las fuerzas horizontal y vertical sobre la compuerta OA, y el momento que tiende a abrirla. La compuerta es un cuarto de cilindro; trabaje por unidad de profundidad perpendicular al papel. Enunciado

    

la componente horizontal y su momento, puede trabajar con las fórmulas o con triángulos de presiones; haga ambas cosas y compruebe que el resultado es el mismo. Consejos y comentarios

IPara

54

Flujos canónicos

3.8 Ligera complicación

Ligera complicación del ejercicio anterior, al añadir un cierto nivel de líquido por encima de la compuerta. Calcule las fuerzas horizontal y vertical sobre la compuerta OA, y el momento que tiende a abrirla. La compuerta es un cuarto de cilindro; trabaje por unidad de profundidad perpendicular al papel. Enunciado



    

para la componente horizontal y su momento puede trabajar con las fórmulas o con triángulos de presiones; haga ambas cosas y compruebe que el resultado es el mismo. Consejos y comentarios

INuevamente,

Flujos canónicos

55

3.9 Un azud

Este problema, de fuerzas sobre superficies, explora el par necesario para hacer girar la compuerta de un azud. Un azud fluvial está constituido por la compuerta rígida OAB de la figura, que es un cuarto de cilindro hueco que gira alrededor de O. ¿Cuál es el par (por unidad de anchura de compuerta) necesario para girarla? Desprecie el peso de la compuerta y el rozamiento en la articulación, y considere que la base de la misma (tramo OB) está inundada por el agua. Aplíquelo al caso R = 2 m. Enunciado

antes de empezar a resolver: puede ahorrarse el cálculo de tres contribuciones al momento si usa juiciosamente el principio de Arquímedes! Consejos y comentarios

IPiense

Flujos canónicos

56

3.10 Flujo de Couette exótico

Este problema, idéntico al primero de la colección, es un flujo de Couette pero con dos fluidos estratificados. Entre dos placas infinitas paralelas se encuentran dos fluidos viscosos incompresibles que tienen la misma densidad y viscosidades diferentes. La placa inferior se encuentra fija y la placa superior se mueve con una velocidad constante U . No existe gradiente de presión a lo largo de las placas. Determinar la velocidad en la entrefase en función de U , µ1 , y µ2 . Enunciado



















problema es muy similar al flujo de Couette visto en teoría. IIntegre la ecuación de cantidad de movimiento para cada fluido separadamente, y piense en las condiciones de contorno que necesita aplicar. IDe la integración resultan cuatro constantes, por lo que necesita otras tantas condiciones de contorno. IA continuación se dice cuáles son; intente pensar antes de seguir leyendo. ILas condiciones son: velocidad de cada fluido en contacto con cada una de las placas igual a la velocidad de la placa; velocidad de los fluidos idéntica en la entrefase; esfuerzo sobre los fluidos idénticos en la entrefase. Consejos y comentarios

Solución

IEl

U e = U/(1 + µ2 /µ1)

Flujos canónicos

57

3.11 Flujo de Hagen-Poiseuille exótico

Este problema, idéntico al segundo de la colección, es el equivalente al anterior para un flujo de Hagen-Poiseuille. Un tubo largo y cilíndrico de sección circular y radio R tiene adherida a su interior una capa de líquido de espesor uniforme, e. Para extraer el líquido se sopla aire por el tubo aplicando un gradiente de presión entre los dos extremos del tubo. Las viscosidades de líquido y el aire son µl y µ a , respectivamente. Hallar la relación entre los flujos volumétricos estacionarios del aire y del líquido por un extremo del tubo. Enunciado







  

ILos



mismos que para el problema anterior. INo caiga en el error, muy extendido, de intentar imponer condiciones de contorno en R y −R: en cilíndrico-polares no hay radios negativos! Consejos y comentarios

Solución

Qa Q1

=

(R−e)2 e(2R−e)



2+

µl (R−e)2 µa e(2R−e)



Flujos canónicos

58

3.12 Un flujo combinado

Si el señor Hagen-Poiseuille y la señora Couette se hubieran casado, este problema sería el fruto de su amor: el movimiento del fluido es debido al movimiento de las superficies y a un gradiente de presiones, simultáneamente. Para bombear líquido desde una presión pa a otra mayor pa + ∆ p, se usan dos cintas, como indica la figura, que se mueven a velocidades V 1 y V 2 , arrastrando el fluido. Las cintas tienen una longitud L y su separación es h. La configuración es bidimensional y se tomará la unidad de anchura perpendicular al papel. Considere que el flujo entre las cintas es unidireccional. Enunciado

1. Calcular el caudal, q , y dar el valor máximo que puede alcanzar ∆ p si el sistema ha de usarse para bombear. 2. Obtener las fuerzas que hay que aplicar para mover las cintas y la potencia que éstas consumen. 3. Calcular el rendimiento del dispositivo funcionado como bomba. ¿Por qué no es del 100 %? En otras palabras, ¿dónde va la potencia que “se pierde”?





 





 





problema puede resolverse de varias maneras, pero la más instructiva es integrando la ecuación de cantidad de movimiento (como se hace en teoría para los flujos padre y madre), aplicando las condiciones de contorno apropiadas. IPara el caudal máximo del primer apartado, considere simplemente a la vista de la solución para qué ∆ p el dispositivo dejaría de bombear. IPara el tercer apartado, tenga el cuenta que el rendimiento es la potencia de bombeo (caudal por diferencia de presiones que se vence) dividido por la potencia comunicada a las cintas. Consejos y comentarios

IEl

Flujos canónicos

59

Solución 3

ph 1. q = − ∆ + h2 (v2 + v1 ); ∆ pmax = 12µL

6µ(v2 +v1 )L h2

2. Cinta inferior: F 1 = 21 ∆ ph − µL (v2 − v1 ); W 1 = F 1 · v1 ; Cinta superior: F 2 = h µL 1 ∆ ph − h (v2 − v1 ); W 2 = F 2 v2 2 3. η = ∆ p

−

∆ ph3

12µL

3

h +

(v2 +v1 )L 2



1 (W 1 +W 2 )

Flujos canónicos

60

3.13 Descarga de un depósito

La velocidad de salida del fluido de estos dos depósitos puede estimarse de una manera similar. Enunciado

1. El depósito de la izquierda tiene un gas a presión que se descarga a través de una boquilla de área A b conectada al depósito mediante una tubería de sección At . Calcule el caudal de descarga del depósito y la presión en la tubería. 2. El depósito de la derecha tiene un líquido hasta una altura h y se descarga a través de una tubería. Calcule la velocidad de descarga. En ambos casos suponga el problema cuasiestacionario, es decir, la presión en el primer depósito y la altura en el segundo varían muy lentamente con el tiempo. En ambos casos hay presión atmosférica en la descarga.













 

problemas se resuelven con una sencilla aplicación de la ecuación de Bernoulli. El último párrafo del enunciado es para que el problema sea estacionario. ILa solución del depósito de líquido se conoce como “ley de Torricelli” para la velocidad de descarga. Comentarios y consejos

IAmbos

Solución

p

− 

1. Qs = A s 2P 1 /ρ; P t = P 1 1

√

2. vs = 2gh

A2s A2z

Flujos canónicos

61

3.14 Tubo de Pitot

Esta configuración es parecida a un tubo de Pitot, y se utiliza para medir velocidades (o caudales) en conductos, a través del desnivel h en el manómetro. Por la tubería de la figura circula un fluido de densidad ρ . En el manómetro hay un fluido de densidad ρm y se mide un desnivel h. Calcular el caudal que circula por la tubería. Enunciado







 

el manómetro los fluidos están en reposo; por tanto, puede aplicar la Ecuación Fundamental de la Fluidostática (en alguna de sus formas). IEn la tubería, ha de aplicar la ecuación de Bernoulli ¿Es obligatorio aplicarla a una línea de corriente? ILa solución del problema se obtiene calculando las presiones en los extremos abiertos del manómetro, y relacionarlas con el desnivel en el manómetro. IEl problema 6 de la colección es muy similar. El manómetro es (sólo aparentemente) más complicado; y en la tubería hay un cambio de área. IEl problema 2 de la colección es también una variante de éste. Comentarios y consejos

Solución

Q = A

p

2gh (ρ

IEn



− ρm) /ρ

Flujos canónicos

62

3.15 Venturi

El dispositivo de la figura, denominado Venturi, se utiliza para medir caudales en la tubería en la que se inserta. Se basa en la lectura del diferencial de presión que se produce cuando el flujo se acelera debido a un estrechamiento. Por la tubería de la figura circula un fluido de densidad ρ. Los diámetros de la tubería y la garganta son respectivamente D y d. El manómetro mide una diferencia de presiones ∆P entre la tubería y la garganta. Se pide calcular el caudal que circula por la tubería. Enunciado

 

 

Solución

Q = π d

2

q

∆P +(D−d)



ρg

2

8ρ(1−d4 /D4 )

Flujos canónicos

63

3.16 Un nebulizador

La depresión creada en la garganta del venturi (llamada a veces “efecto Venturi”) se utiliza en la configuración de este ejercicio para aspirar agua de un depósito. Calcular el caudal Q que ha de fluir por la tubería de la figura, y la presión p0 que ha de haber aguas arriba del venturi, para que el agua del depósito sea aspirado hasta la tubería. La tubería vierte a la atmósfera, y sus diámetros son los indicados. Enunciado







 







Flujos canónicos

64

3.17 Fuente ornamental 1

Este problema tiene una solución que puede parecerle sorprendente. El depósito de la figura descarga a través de una tubería con tres salidas. Las salidas (1) y (2) son verticales, y tienen un diámetro D/2 y D respectivamente. La salida (3), con un diámetro D, está inclinada. Se pide calcular la altura máxima alcanzada por cada chorro. Enunciado

 



 



Comentarios y consejos

Solución

IEl

problema debería ser fácil si ha resuelto el primero de esta colección. ILa salida (3) requiere pensar un poco.

Para el apartado (3), h/2.

Flujos canónicos

65

3.18 Fuente ornamental 2

Un problema sencillo de aplicación de la ecuación de Bernoulli. Los dos depósitos de la figura descargan dos chorros, uno contra otro. Dados el resto de datos de la figura, y la densidad ρ de ambos fluidos (que es la misma) se pide calcular h. Enunciado

 







convenientemente la ecuación de Bernoulli. ITenga en cuenta que A es un punto de remanso: la velocidad del fluido es cero, y la presión no es a priori conocida. Comentarios y consejos

IAplique

Flujos canónicos

66

3.19 Flujo alrededor de un hangar

Éste es un problema de examen del curso 02-03; es esencialmente el estudio del flujo ideal alrededor de un cilindro. La figura representa un hangar de forma semicilíndrica, de radio R y longitud L en dirección perpendicular al papel. En la parte superior existe una ventana, y en el lado izquierdo hay una puerta lateral, ambas de tamaño despreciable frente a las dimensiones del hangar. Se desea estudiar diversos aspectos de la interacción entre el viento y el hangar. Para el análisis se considera que el edificio se encuentra sumergido en un flujo de aire, que lejos del hangar está caracterizado por una velocidad uniforme V y una presión p . El aire tiene una densidad ρ y se supondrá con viscosidad nula. Sobre el hangar se han instalado los anemómetros A1 y A2, que proporcionan el módulo de la velocidad en el punto en que se encuentra cada uno. Resuelva las siguientes cuestiones: Enunciado

∞

∞

1. Suponiendo que tanto la ventana como las puertas están cerradas, y que la presión en el interior del hangar se ha fijado igual a p , ∞

a )

¿qué diferencia de presión debe soportar la ventana?; b ) ¿qué diferencia de presión debe soportar la puerta?

2. Si la puerta está abierta y la ventana cerrada, ¿qué diferencia de presión debe soportar la ventana? 3. Suponiendo que la presión en el interior del hangar vale p , calcular la fuerza que actúa sobre el hangar. Debe determinarse módulo, dirección y sentido. ∞

4. ¿Qué valor proporcionará el anemómetro A1? 5. ¿Cuánto debe valer la distancia d para que el anemómetro A2 proporcione el valor correcto de la velocidad V ? ∞

Se incluyen soluciones de varias integrales, por si alguna de ellas le es de ayuda en los cálculos. α) sin2 (α)dα = α2 sin(2 4 n +1 sinn (α)cos(α)dα = sin(n+1)(α)

R R R

cos2 (α)dα =

−

α

2

α) + sin(2 4

3

sin3 (α)dα = cos(α) + cos3(α) n+1 cosn sin(α)dα = cos(n+1)(α)

R R R

−

−

cos3(α)dα = sin(α)

3

− sin 3( ) α

Flujos canónicos

67

 



 









 





Solución

(1) pv − p

= 3ρV 2 /2, p p p = ρV 2 /2; (2) pv pi = F V = 5ρV 2 LR/3, F H = 0; (4) v = 13V /9; (5) d = . ∞

∞

−

∞

−

∞

∞

∞

− ∞

−2ρV 2 ; (3) ∞

VxP 4

Análisis Dimensional Antes de hacer las cuestiones de este bloque, asegúrese de que domina los siguientes aspectos de la teoría: Cómo establecer las dimensiones de magnitudes y combinaciones de magnitudes (incluyendo integrales y derivadas). Cómo aplicar el Teorema Pi para obtener los parámetros adimensionales de un problema. La teoría de semejanza, y cómo usarla para transferir resultados entre modelos y prototipos. La semejanza parcial.


70

4.1 Dimensiones, dimensiones...

Es imprescindible manejar con soltura dimensiones para hacer Análisis Dimensional (y para ser Ingeniero). Haga una tabla, ordenada alfabéticamente, con las dimensiones (M , L , T , Θ, etc para masa, longitud, tiempo, temperatura, etc) de las principales magnitudes que han aparecido hasta ahora en Mecánica de Fluidos. Incluya en la tabla: nombre, símbolo, dimensiones y unidades en Sistema Internacional. Haga la lista en una ho ja sin nada más, y podrá traerla a controles y exámenes como parte de los formularios permitidos. Enunciado

obtener las dimensiones de la variable a partir de otras que conozca. Por ejemplo: fuerza es masa por aceleración; esfuerzo es fuerza por unidad de área; presión es esfuerzo; etc. IIncluya al menos las siguientes magnitudes (la lista no es exhaustiva): fuerza, esfuerzo, densidad, viscosidad cinemática y dinámica, conductividad térmica, presión, momento, potencia, ángulo, caudal, gasto, trabajo, calor específico, velocidad angular, potencial de fuerzas másicas. Consejos y comentarios

Solución

IIntente

Puede comprobar sus dimensiones en cualquier libro de Mecánica de Fluidos, o en Internet; pero intente deducirlas usted mismo o no aprenderá.


71

4.2 ... Y más dimensiones

Calcular las dimensiones de cada término en una ecuación es una habilidad muy sencilla, que sin embargo le permite, entre otras cosas, detectar con muy poco esfuerzo si un resultado está mal (cuando un resultado está mal, las dimensiones son a menudo incoherentes). Compruebe que las siguientes ecuaciones de la Mecánica de Fluidos son dimensionalmente homogéneas (esto es, que en cada ecuación todos los términos tienen las mismas dimensiones). Intente hacerlo sin consultar las dimensiones de ninguna de las magnitudes. Enunciado

1. Momento de las fuerzas fluidostáticas sobre una superficie plana: M X =

−ρg sin θI XX

2. Ecuación de Bernoulli: v2 + + U = C ρ 2

p

3. Ecuación Fundamental de la Fluidostática:

∇ p = ρf ~ m 4. Derivada sustancial de la velocidad: D~ v ∂~ v = + (~ v · Dt ∂ t

∇)~ v

5. Ecuación integral de continuidad: d dt

Z

ρdV +

V c

Z

ρ [(~ v

S c

− ~ vc) · ~ n] dS = 0

6. Ecuación diferencial de cantidad de movimiento: ∂ (ρ~ v) + ∂ t

∇ · (ρ~ v~ v) = ∇ · ~ ~τ + ρf ~ m = −∇ p + ∇ · ~ τ ~ + ρf ~ m 0

7. Ecuación integral de la energía cinética: d dt =

v2 ρ dV + 2 V c

v2 ρ [(~ v ~ vc ) · ~ n] dS = 2 S c

Z Z − Z ∇ Z   p

V c

~ n · ~ ~ τ · ~ vdS

· ~ vdV +

S c

Z −

V c

ΦV dV

+

Z

V c

ρ~ v · f ~ m dV

72



IRecuerde,

de la Teoría si lo necesita, cómo se deducen las dimensiones de expresiones con integrales y derivadas.


73

4.3 Un vertedero

Éste es un simple ejercicio de determinación de los parámetros adimensionales. Consiste en el análisis de un vertedero, que es un dispositivo que se utiliza frecuentemente para medir el caudal que circula por un canal. La figura representa un vertedero. La altura h a la que el fluido se eleva por encima del obstáculo depende del caudal Q , de H , de ρ, de g , y de µ. Encuentre los parámetros adimensionales que gobiernan el problema, escogiendo las variables para la base dimensional en el siguiente orden (si es posible): g, h, H , ρ, µ, Q. Enunciado






Solución

Q

√ gh

5

= f

IAntes

de hacer este problema, asegúrese de que sabe hacer las adimensionalizaciones que hemos hecho en la teoría.

 √  ρ

gh 3 h , H µ


74

4.4 Atomización

Éste es otro ejercicio simple de determinación de los parámetros adimensionales. Cuando un chorro de líquido se inyecta a alta velocidad en un gas, el líquido se rompe en gotas. (Este conjunto de gotas recibe el nombre de spray , y el proceso se llama atomización .) Suponga que el diámetro d de las gotas que se forman es función de las densidades del líquido y del gas, ρl y ρg , de sus viscosidades, µl y µg , y de la tensión superficial σ, de la velocidad del chorro v , y del diámetro D del orificio del inyector. Encuentre el conjunto de parámetros adimensionales que gobiernan el problema. Para la base dimensional (o variables fundamentales) escoja (si es posible) en el orden de preferencia v, D, σ , ρl , ρg , µl , µg , d. Enunciado

Consejos y comentarios Solución

d D

= f



ρl σ

v2 D

,

ILa ρg σ

v2 D

,

µl σ

v

tensión superficial es fuerza por unidad de longitud. ,

µg σ

v




75

4.5 Semejanza en pérdida de carga en conductos

Un primer caso sencillo de semejanza aplicado a un problema clásico en Mecánica de Fluidos. Para realizar un trasvase de agua se construirá entre dos puntos un conducto (o tubería) de L = 1400 km de longitud. El caudal de agua que se trasvasará es de Q = 12 m3 /s. Para averiguar la pérdida de carga en el conducto, se decide soplar aire en un tramo de 1 km de longitud. Se pide: Enunciado

1. Indique cuáles son los parámetros adimensionales que gobiernan la pérdida de carga. Postule la dependencia funcional más concreta que se le ocurra, teniendo en cuenta que la pérdida de carga ha de ser lineal con la longitud del tramo. 2. ¿Qué caudal de aire será necesario en el ensayo para que exista semejanza dinámica con el funcionamiento real con agua? 3. Con ese caudal de aire se ha medido una caída de presión de 103 N/m2 en el tramo de 1 km de longitud. ¿Cuánto valdrá la caída de presión en los 1400 km cuando el trasvase funcione normalmente con agua? 4. Estime la potencia de bombeo requerida para abastecer el caudal de agua de diseño, si el rendimiento de la bomba es η = 0,7. Utilice los siguientes datos: ν aire = 1,47 10 5 m2 /s; ν agua = 1,1510 6 m2 /s; ρaire = 1,25kg/m3; ρagua = 103 kg/m3 −

primer apartado está desarrollado en la Teoría; si la ha estudiado satisfactoriamente, debería poder responder. ITenga en cuenta que, al ser la misma tubería, /D es igual en el ensayo con aire y en la realidad con agua. ILa longitud del tramo no debería ser problema, porque está fuera de la “función” al ser la pérdida de carga lineal con la longitud de la tubería. ITras este problema, puede hacer el 4, 5, 6, y 7 de la colección. Consejos y comentarios

IEl

−

Soluciones

1.

∆ pp 1 ρ 2

(4Q/π D 2 )2

=

2. 153,4 m 3 /s 3. 6,85 106 P a 4. 117,5 M W

L f (Re, D ) D


76

4.6 Erosión en el río Ebro

Este es un problema relativamente sencillo, con una aplicación directa de la teoría de semejanza. Para estudiar experimentalmente la erosión causada por el agua en un tramo de 1 km del lecho del río Ebro, se construye en el laboratorio un modelo a escala de dicho tramo, modelo que tendrá una longitud de 20 m y funcionará con agua. Se sabe que las variables que influyen en la tasa de erosión E (kg de materia arrastrada por segundo) son la longitud L, la densidad ρ, el caudal Q, la gravedad g y la viscosidad dinámica µ. Enunciado

1. Indique los grupos adimensionales que gobiernan el problema. Para escoger las magnitudes fundamentales (o base dimensional), hágalo obligatoriamente según el siguiente orden: L, ρ, Q, g , µ. Si entre los números adimensionales resultantes reconoce alguno, indique su nombre. 2. ¿Es posible mantener semejanza completa entre el modelo y el prototipo? Justifíquelo 3. En el resto del problema se supondrá que g no influye en el fenómeno ¿Cuál sería entonces la relación del apartado 1? 4. En los experimentos en el modelo a escala se hacen circular por la maqueta varios caudales de agua durante un tiempo dado. El agua circulada se recoge y los sedimentos arrastrados por ésta se decantan y pesan para obtener E . Mediante esta técnica se han medido las siguientes tasas de erosión E para los caudales respectivos Q: Q (m3 /s) E (kg/s)

0,1 0,5

1 2

20 6

¿Cuál sería la erosión causada en el tramo del lecho real por un caudal de agua de 1000 m3 /s? 5. Utilice los resultados de la tabla anterior para calcular la erosión causada por el viento en un valle (sin río), geométricamente semejante al lecho del río pero de 2000 m, cuando el caudal de aire es de 10000 m3 /s. Datos: µagua = 0,001 kg/ms; ρagua = 1000 kg/m3 µaire = 2,6 10

5

−

3

1,3 kg/m

kg/ms; ρaire =


77

ILas

variables de las que se dice que depende la erosión están elegidas para que el problema sea fácil; no las use

Comentarios y consejos

en su vida profesional! Solución

(1) Πg = √ Q gL

5

= F r;

Πµ

=

ρQ

µL

= Re;

(4) E p = 300 kg/s; (5) E p = 7,28 kg/s

ΠE

=

E ρQ

. (2) No; (3)

E ρQ



=f

ρQ

µL

;


78

4.7 Un anemómetro

Éste es otro problema sencillo que consiste en una aplicación directa de la teoría de semejanza. En la universidad en el puesto 498 del ranking mundial, la escasez de medios les lleva a ensayar anemómetros de molinete (ver figura) utilizando como cazoletas pelotas de ping-pong (de diámetro dP F G = 40 mm) partidas por la mitad. Unos estudiantes han ensayado uno de estos anemómetros en su Proyecto Fin de Grado. Para condiciones del aire a temperatura ambiente (ρP F G = 1,2kg/m3, µP F G = 1,8e 5 kg/m/s) han medido la velocidad de giro ΩP F G (rev/s) del anemómetro para varias velocidades U P F G (m/s) del viento y para varias longitudes LP F G (m) de la varilla, obteniendo los resultados de la tabla siguiente (unidades como en el enunciado): Enunciado

−

I P F G = 0,06 U P F G ΩP F G

5 10 15 20 25

7 9 10 12 14


5 10 15 20 25

4 5 6 7 8


5 10 15 20 25

2 3.5 4 5 5.5


5 10 15 20 25

1.5 2.5 3 3.25 3.5

1. Si la velocidad de giro Ω depende de los parámetros anteriores, indique los parámetros adimensionales que gobiernan el problema. Para la base dimensional,


79

escoja los parámetros necesariamente en el orden d , I , U , ρ , µ , Ω, “saltándose” aquéllos que por cualquier motivo no pueda usar. 2. El anemómetro de la nueva torre de control del aeropuerto de El Prat en Barcelona tiene cazoletas con dB = 0,16 m. Si el aire en El Prat está siempre (aproximadamente) en condiciones estándar, indique qué otra(s) condicio(o)nes(s) ha(n) de darse para que las medidas de sus compañeros puedan suarse para hacer una tabla similar a la que del PFG para el anemómetro. (No hace falta que haga la tabla.) 3. El reputado arquitecto del aeropuerto decide que, para d a = 0,16 m, es necesario que La = 0,72 m para que las proporciones del anemómetro sean armónicas y éste se integre estéticamente en el diseño de la torre de control. Proporcione una tabla de U a frente a Ωa para estas dimensiones, indicando detallada, limpia, metódica, concisa y completamente el proceso que sigue. ¿Qué opinión le merece este anemómetro"de diseño? 4. Una empresa decide construir anemómetros para aeropuertos en los que el aire no está en condiciones estándar (por ejemplo, Yakutsk en Siberia, con una temperatura de -40o C en invierno; o San Rafael en Perú, a una altitud de 4395 m). Indique detallada, limpia, metódica, concisa y completamente cómo usaría la tabla del PFG para diseñar anemómetros para condiciones del aire distintas de las estándar. Use el subíndice "ne"(no e stándar) para las variables en la nueva situación. Comentarios y consejos

IProblema

muy fácil; no hacen falta consejos!


80

4.8 Un lecho fluido

Como casi todos los problemas de Análisis Dimensional, este enunciado es bastante largo. No se deje intimidar; a menudo, cuanto más largo es el enunciado más sencilla es la solución. Éste puede resolverse en unos 15 minutos (más el tiempo de lectura del enunciado...) Un “lecho fluido” es un reactor químico que contiene partículas sólidas (que por sencillez se supondrán esféricas y de un único tamaño). Por una placa perforada en el fondo (llamada distribuidor) se inyecta un gas. Para un cierta velocidad del gas en el lecho, llamada velocidad de fluidización, u f , las partículas se mueven como si estuvieran suspendidas en el gas, y el lecho de partículas adquiere propiedades similares a las de un fluido (“se fluidiza”). La velocidad de fluidización uf depende de: el diámetro de la partícula sólida (d); la aceleración de la gravedad (g ); la viscosidad del gas (µ); la densidad del gas (ρ); y la densidad del sólido a fluidizar (R). Se pide: Enunciado

1. Indique los parámetros adimensionales que determinan la velocidad de fluidización como función del resto de los datos del problema. Escoja las variables fundamentales (o base dimensional) con el siguiente orden de preferencia: d, µ, ρ, g , R, uf . 2. El lecho real fluidizará partículas de un diámetro de 1 cm y densidad de 1000 kg/m3 con aire (densidad 1 kg/m3 ; viscosidad dinámica 10 5 kg/ms) como gas de fluidización. Este lecho real se ensayará en el laboratorio a escala reducida 1:4, utilizando partículas de densidad 800 kg/m3 . −

a. Determine las propiedades del fluido que ha de usarse en el laboratorio para

que haya semejanza completa. b. En

estas condiciones, se ha obtenido en el laboratorio una velocidad de fluidización de 2 m/s. Calcule la velocidad de fluidización en el lecho real.

3. El lecho fluido se utiliza muy a menudo para quemar combustibles sólidos. Puesto que la viscosidad cinemática ν depende de la temperatura, se quiere averiguar el efecto de ν en uf en el reactor real mediante la obtención de los valores de uf para varias ν . Sin embargo, se pretende averiguar este efecto en el laboratorio usando un único fluido a una única temperatura. ¿Se puede


81

hacer? Si piensa que es posible, explique detalladamente los pasos que seguiría; si piensa que no lo es, justifíquelo con la teoría del Análisis Dimensional. 4. Algunos autores han propuesto que la velocidad de fluidización en un lecho fluido se puede calcular mediante la ecuación adimensional 6,1Re2 +a Re − Ar = 0 donde a es una constante,Re es el número de Reynolds basado en el diámetro de la partícula y en la velocidad de fluidización, y Ar es el número de Arquímedes, Ar = [ρ (R − ρ) d3 g] /µ2 . Demuestre que esta relación es compatible con lo que usted ha obtenido en el apartado (1). Según los cálculos que usted ha hecho en este problema, ¿cuánto vale a ? 5. La caída de presión en el lecho por unidad de altura, ∆P H = ∆P/H (en Pa/m), depende de los parámetros anteriores d , µ , ρ , g , R y de u f . Calcule los parámetros adimensionales que determinan ∆P H como función del resto de los parámetros del problema, escogiendo las variables fundamentales en el orden de preferencia: d , µ, ρ, g , R, uf , ∆P H 6. En las condiciones del apartado (2), la potencia por unidad de volumen de lecho (esto es, la densidad de potencia) necesaria para impulsar el gas en el laboratorio es (W/V )lab = 20 kW/m3 . Calcule la densidad de potencia necesaria en el lecho real, (W/V )real .

 



“es compatible” del apartado (2) anterior quiere decir que la ecuación propuesta es un caso particular de una relación funcional genérica que involucra sólo a los parámetros adimensionales que gobiernan el problema, según ha deducido. Consejos y comentarios

Solución

IEl

(1) Rρ , gρµ d , uf µρd ; (2a) ρm = 0,8 kg/m3 , µm = 10 6 kg/ms; (2b) uf p = u ρd 4m/s; (5) ∆µP H , Rρ , gρµ d , f µ (6) W = 50 kW/m3 V p 2 3

−

2

2 3

2

ρd3

2




82

4.9 Fuerza de arrastre sobre un tren

Éste es un problema de examen, del curso 97-98. Como parte del diseño de una línea de alta velocidad se desea conocer la fuerza de resistencia aerodinámica, F , que ejerce el aire sobre un tren que circula dentro de un túnel con una velocidad V . La geometría del tren y del túnel están definidas, y se quiere conocer cómo afecta a la fuerza de resistencia el tamaño de ambos, caracterizados por la altura del tren, h, y del túnel, H . Las propiedades del aire son ρ = 1,2 kg/m3 , µ = 1,8 10 5 kg/ms. Para llevar a cabo el estudio se van a realizar ensayos sobre una maqueta reducida a escala 1:20, semejante geométricamente a la configuración real, y en la que se utilizará agua como fluido de ensayo (ρ = 1000 kg/m3 , µ = 10 3 kg/ms). Enunciado

−

−

1. Determinar cuál es la relación adimensional que relaciona F con el resto de parámetros. En la resolución, elegir la altura h como una de las variables fundamentales dimensionalmente independientes. 2. Para que los resultados del modelo sean trasladables al prototipo, ¿Cuál debe ser la relación entre velocidad del tren en modelo y prototipo? Idem si se sabe que la viscosidad no influye en el problema. 3. Suponiendo que la viscosidad no influye en el problema, calcular la relación entre la fuerza medida en los ensayos con el modelo con agua, F m , y la que se obtendría si los mismos ensayos se hicieran con aire, F m, cuando el resto de los parámetros permanecen constantes. 0

4. Se quiere estudiar el fenómeno para un tren de altura h p = 3 m . En el modelo se han hecho ensayos para una velocidad V = 10 m/s , variando la altura del túnel, H , entre 0.20 y 0,30 m. Como resultado se ha obtenido la siguiente expresión que relaciona la fuerza de resistencia, F m , y la altura del túnel, H m (a1 , a 2 son constantes determinadas experimentalmente en dichos ensayos): F m = a 1



2 H m 2 H m

− a2



2

Teniendo en cuenta que la viscosidad no influye en el problema, determinar: a )

¿Cuál es la relación equivalente entre la fuerza, F p , y la altura del túnel, H p , en el caso real para una velocidad V = 10 m/s?


83

b)

¿Para qué rango de alturas del túnel en el prototipo es válida esta relación? c ) ¿Cuál es la fuerza sobre el prototipo si V = 50 m/s y el túnel tiene una altura H = 5 m?



 

 



(1) = F H , µ ; (2) Si la viscosidad influye: V m /V p = 1,333; h ρV h si no influye, no hace falta imponer ninguna condición sobre las velocidades para que los resultados sean trasladables; (3) F m /F m = 833,3; (4a)F p = F ρV 2 h2

Solución

0,0012 a1



0,05H p2 0,0025H p2 −a2



2

0

; (4b) H p = 4 ÷ 6 m; (4c) F p = 0,03 a1



1,25 0,0625−a2



2


84

4.10 Aerogenerador

Este es un problema que ilustra en parte la potencia de la Teoría de Semejanza en Mecánica de Fluidos para extraer información adicional de unos resultados (experimentales en este caso). El problema obliga a pensar, particularmente en el segundo y tercer apartados. Expresar mediante el uso del análisis dimensional los parámetros que relacionan la potencia W que se puede extraer de un aerogenerador de diámetro D cuyo eje gira a N revoluciones por minuto (rpm) sobre el que incide un viento de velocidad V . Se supone el aire incompresible de densidad ρ y se pide considerar los dos casos siguientes: Enunciado

a. La dependencia de W con la viscosidad del aire, µ, es relevante. b. W no depende de µ. En el resto del problema se considerará la situación (b). En un aerogenerador de 6 m de diámetro se miden, con una velocidad del viento de 10 m/s, las siguientes potencias para cada velocidad de giro de las palas indicadas: N (rpm) 150 4 W (kW )

175 200 215 225 5.5 6.3 6.4 6.1

Como se ve la potencia máxima se obtiene para N = 215 rpm. Se pide: 1. Si la velocidad del viento fuera V = 15 m/s ¿A qué N se presentaría la máxima potencia y cuánto valdría? 2. ¿Cómo obtendría la dependencia de la potencia extraída en función de la velocidad, es decir, W = W (V ) para N constante a partir de la tabla de datos anterior? 3. Para un aerogenerador geométricamente semejante de D = 12 m forzado a girar a N = 150 rpm . ¿A qué velocidad del viento, V , se presentaría la potencia máxima? 4. ¿Qué potencia se extraería del molino de D = 6 m si V = 9,45 m/s y N = 175 rpm?

VxP 5

Instalaciones de fluidos (Aún no hay problemas de este tema)

VxP 6

Aerodinámica y Capa Límite Los problemas de este tema son en general sencillos (y cortos). Tendrá que pensar cómo abordarlos con la teoría que ha visto. Recomendamos que en la solución use símbolos y sólo sustituya valores numéricos en las expresiones finales. Hasta el Problema 6.8 (excluido) los ejercicios son sólo de aerodinámica (C D , C L). Desde éste, son de capa límite o combinan aerodinámica y capa límite. Estudie (y entienda) la teoría antes de abordar estos problemas. Si quiere seguir practicando, la mayor parte de los (buenos) libros de Mecánica de Fluidos tienen problemas similares muy interesantes.

6.1 ¿Qué viento hubo por la noche?

Estime la velocidad del viento que hubo si se encuentra un contenedor volcado. Éste es un problema muy sencillo. Se resuelve en un par de líneas. Estime la velocidad V del viento que haría volcar un contenedor de basura, de dimensiones (en metros) 1, 60 × 1, 60 × 1, 20 (alto H × largo L × ancho B ) expuesto por su cara más grande. El contenedor y su basura tienen una masa M = 90 kg. Busque cualquier otro dato que necesite. Trabaje con símbolos y sustituya datos sólo en la expresión final. Enunciado


IHaga

un diagrama de las fuerzas que actúan. IRecuerde que lo que hace volcar es el momento.


88

Solución

V

≈ 70 km/h

6.2 Conduciendo al límite

Otro problema sencillo. Con un poco de esfuerzo adicional (y algunas estimaciones educadas), puede usarlo para estimar el ahorro o sobreconsumo nacional de combustible que suponen esos juegos con los límites de velocidad con los que nuestros gobiernos nos entretienen. Aproximadamente el 50 % de la potencia que proporciona el motor de un coche se emplea en vencer la fuerza aerodinámica. Estime el ahorro porcentual de combustible al viajar a 110 km/h en lugar de a 120 km/h. Hágalo sucesivamente por unidad de tiempo y por unidad de distancia recorrida. Enunciado

6.3 Come fly with me

Tres aplicaciones breves en el campo de la aeronáutica. Enunciado

1. Un Boeing 747 tiene una masa de M 1 = 400 toneladas cuando está ocupado por P 1 = 400 pasajeros y sus equipajes, y despega a V 1 = 250 km/h. Estime a qué velocidad despega cuando está ocupado por 140 pasajeros (y sus equipajes) menos. 2. Las aeroturbinas del 747 deben desarrollar una cierta potencia para impulsar el avión a V = 570 millas por hora a una altitud de crucero de 35.000 pies. Estime cuanto debe incrementar o disminuir la potencia para mantener esta velocidad a nivel del mar. 3. El ratio de coeficiente de sustentación a coeficiente de arrastre (C L /C D ) del 747 es 15 (ambos coeficientes basados en la misma área A). Si vuela a h = 30.000 pies de altitud, ¿a qué distancia máxima d del aeropuerto puede quedarse sin propulsión y sin embargo aterrizar en el aeropuerto planeando? 1 2 1 2

http://en.wikipedia.org/wiki/British_Airways_Flight_38 http://en.wikipedia.org/wiki/Air_Transat_Flight_236


89

el último apartado, tenga en cuenta que para planear la tres fuerzas involucradas (cuáles son?) deben estar en equilibrio. Para ello, el avión tiene que estar en una trayectoria descendente (si vuela en horizontal no puede haber equilibrio de fuerzas sin propulsión). Calcule cuál es el ángulo de esa trayectoria, y úselo para responder a la pregunta. Consejos y comentarios

Solución

IEn

(1) V 2 ≈ 246 km/h; (2) +322 %; (3) d = 137 km.

6.4 Un fenómeno meteorológico Enunciado

¿A qué velocidad cae el granizo de 0,5 cm de diámetro?

6.5 Camino de Santiago

La bollería industrial es una fuente sorprendente de energía. Un peregrino hace el Camino de Santiago entre Zaragoza y Logroño (distancia d = 180 km), en bicicleta, a una velocidad V = 20 km/h. Calcule la energía (expresada en palmeras de chocolate de la cafetería de la EINA) que el peregrino necesita sólo para vencer la resistencia aerodinámica en el trayecto si: Enunciado

1. Pedalea en solitario, y en posición de paseo (área frontal bicicleta más ciclista: A = 0, 5 m 2 ); 2. Pedalea en solitario, y en posición de carreras (área frontal bicicleta más ciclista: A = 0, 35 m 2 ); 3. Pedalea en posición de carreras (área frontal bicicleta más ciclista: A = 0, 35 m 2 ) y en la estela de otro ciclista (a rueda ). Busque cualquier otro dato que necesite. Trabaje con símbolos y sustituya datos sólo en la expresión final. entretenimiento estime la eficiencia del organismo humano funcionando como un motor. No le debería costar más de 5 minutos (incluyendo buscar algún dato que falta.) Consejos y comentarios

IPor


90

6.6 Otro ciclista

Éste es otro problema de ciclismo. En esta ocasión, introducimos la fuerza de resistencia a la rodadura para completar el problema. Un ciclista desciende sin pedalear ni frenar por una pendiente de ángulo α = 15o . Calcular su coeficiente de resistencia aerodinámico C D si su velocidad terminal es V = 25, 62 m/s, el área frontal de ciclista y bicicleta es A = 0, 5 m2, su masa es M = 90 kg, y el coeficiente de resistencia a la rodadura es C rr = 0, 003. (El coeficiente de resistencia a la rodadura relaciona la fuerza F rr necesaria para vencer esa resistencia con el peso: F rr = C rr Mg .) Trabaje con símbolos y sustituya datos sólo en la expresión final. Enunciado


Solución

IHaga

un pequeño diagrama con las fuerzas que actúan, y haga un balance de fuerzas en la dirección del movimiento.

C D =1,1

6.7 Frenado aerodinámico

Estudie la influencia del paracaídas en el frenado de la lanzadera espacial. Para frenar la lanzadera espacial en su aterrizaje se utiliza un paracaídas de diámetro D = 14 m. El paracaídas se despliega cuando la lanzadera toca la pista (con velocidad V 0 = 343 km/h), y se eyecta cuando la velocidad de rodadura desciende a V 1 = 110 km/h (momento en el cual se accionan los frenos mecánicos). Calcule la longitud adicional de pista que sería necesaria si el paracaídas no se usara en esa primera fase de frenado aerodinámico. La masa de la lanzadera es M = 100 toneladas; el coeficiente de resistencia aerodinámico de la lanzadera es C DL = 0, 4, y su área frontal es AL = 60 m 2 . Busque cualquier otro dato que necesite. Trabaje con símbolos y sustituya datos sólo en la expresión final. Enunciado

planteando la ecuación del movimiento (Segunda Ley de Newton). ICalcule las fuerzas e integre la ecuación diferencial para calcular tiempos transcurridos y distancias recorridas entre ambas velocidades. Consejos y comentarios

IEmpiece


Solución

Sin paracaídas hacen falta unos 6, 7 km adicionales de pista.

91


92

6.8 Un primer problema de capa límite

Este problema es una aplicación directa de las ecuaciones de teoría. El aire (a 25o C y 1 atm) sopla con una velocidad de 8 m/s paralelamente a una placa plana. ¿A qué distancia del borde de ataque se vuelve turbulenta la capa límite? ¿Cuál es el espesor de capa límite en ese punto? Considere que la transición a capa límite turbulenta se produce a Recr = 5 × 105 Enunciado

Solución

Distancia aprox 1 m; espesor unos 7 mm.

6.9 Cálculo del espesor de capa límite

Un problema de capa límite, muy sencillo, que se resuelve aplicando de la ecuación integral de von Kármán. Enunciado

El perfil de capa límite laminar en un fluido de viscosidad ν viene dado por: u/U = 2(y/ δ )

− 2(y/δ )3 + (y/δ )4

para y < δ , y u = U fuera de la capa límite. Calcule la evolución a lo largo de la capa del espesor de capa límite δ . Comentarios y consejos Solución

δ = 5, 83

IUtilice

el método integral de von Kármán.

p

ν x/U

6.10 Reductor de presión

En determinadas aplicaciones (por ejemplo, el riego por goteo en pequeñas instalaciones) es necesario reducir la presión del fluido antes de su suministro. Este reductor de presión combina dos ideas importantes en Mecánica de Fluidos: la contribución de la fricción a la pérdida de carga, y el cálculo de fuerzas de superficie utilizando la teoría de capa límite.


93

Se desea incrementar la pérdida de carga en un conducto que tiene una sección cuadrada de L = 10 cm, y por el que circula aire (en condiciones normales) con una velocidad media V m = 24 m/s. Para ello, se fijan, de uno de los lados al lado opuesto, láminas delgadas de longitud de l = 8 mm, como muestra la figura. Estimar cuántas láminas N hacen falta para generar una pérdida de carga (adicional a la ya introducida por las paredes del conducto) de ∆ p = 100 Pa. Enunciado

la ecuación integral de cantidad de movimiento para demostrar que la pérdida de carga entre entrada y salida es debida a las fuerzas de superficie sobre las láminas, y calcule éstas utilizando la teoría de capa límite. Consejos y comentarios

Solución

IUse

N

≈ 154

6.11 Funeral de un “Querido Líder”

El culto a la personalidad casi siempre tiene un coste energético. El cortejo fúnebre de cierto “Querido Líder” incluye una limusina con un gran retrato cuadrado, de área A = 9 m 2 , del finado. Si la limusina viaja a 20 km/h una distancia D = 50 km, estime la energía adicional necesaria, expresada en kWh, para vencer la resistencia aerodinámica introducida por el retrato si éste se coloca: Enunciado

1. En dirección perpendicular a la trayectoria (como en la foto); o 2. En la dirección del movimiento (girado 90 o con respecto a la posición en la foto). La temperatura ese día era -23o C. Suponga que las capas límite, si relevantes, son laminares. Suponga que el cartel está elevado sobre el techo del coche, de forma que la aerodinámica de cartel y la del coche no interaccionan. Busque cualquier otro dato que necesite.


94


IPara

el segundo apartado necesita usar la teoría de capa

límite. Solución

(1) 3,2 kWh; (2) 0,006 kWh

6.12 Consumo de un barco de cruceros

Estime el consumo de un barco de cruceros usando la teoría de capa límite. (Hay otras contribuciones al consumo, por ejemplo la resistencia inducida por las olas, o la resistencia de forma, que no están consideradas en esta estimación.) Un barco de cruceros navega con una velocidad V = 19, 6 nudos, tiene un calado C = 8, 2 m, una eslora L = 290 m y una manga M = 30 m. La viscosidad del agua es µ = 1,4 × 10 3 Pa s, y su densidad ρ =1028 kg/m3. Suponga que el casco es de sección rectangular. Calcule: Enunciado

−

1. La energía necesaria, en palmeras de chocolate de la EINA, para vencer la fuerza sobre el casco durante 1 km. 2. El consumo de combustible de los motores diésel en un recorrido de 100 km.


IUse

la teoría de capa límite para calcular fuerzas. la capa límite laminar o turbulenta?

I¿Es

vxp

Recommend Documents