1. Zadano je stanje naprezanja: σXX = -70 MPa, σYY = 47 MPa i ( τXY )MAX = 93.5481 MPa. Potrebno je odrediti τXY i glavna naprezanja σ1 i σ2 . Skiciraj Mohrovu kružnicu naprezanja i element u sistemu glavnih osi. 2
σ XX − σ YY 2 + τ XY 2
( τXY )MAX = R = 2
σ − σ YY 2 R2 = XX + τ XY 2 2 σ − σ YY τ XY 2 = R2 - XX / 2 2
τXY =
σ XX −σYY R2 − 2
τXY =
− 70 − 47 93 .5481 2 − 2
τXY =
5329
2
τXY = 73 MPa
P= P=
σ XX + σ YY 2 − 70 + 47 2
P = -11.5 MPa
/2
Glavna naprezanja:
σ1 = P + R = -11.5 + 93.5481 = 82,0481 MPa σ2 = P – R = -11.5 – 93.5481 = -105.0481 Mpa
tg2 ϕ 0 =
2τ XY = -1.24 σ XX − σ YY
O 2ϕ 0 = arctg (-1.24) = -51.1155 O ϕ 0 = -25,56
Mohrova kružnica:
→ A(-70, 73) B( σYY , τYX ) → B(47, 73) A( σ XX , τ XY )
2. Zadano je stanje naprezanja: σXX = -70 MPa i τXY = 42 MPa. U nekom zarotiranom
presjeku
''A-A''
normalna
i
tangencijalna
komponenta
naprezanja iznose: σXX = -73.2728 MPa i τXY = -41.1231 MPa. Potrebno je odrediti σYY i orjentaciju presjeka ''A-A'' u odnosu na koordinatnu os ''x''. Skiciraj oba presjeka s pripadajućim komponentama naprezanja pomoću Mohrove kružnice. 2
σYY = σXX
τ XY 2 + τ XY + σ XX − σ XX
42 2 − ( −41 .1231 ) 2
σYY = -73.2728 + − 70 − ( −73 .2728 ) σYY = -73.2728 +
72 .89 3.2728
σYY = -73.2728 + 22.2715 σYY = -51 MPa
ϕ
σ1 = P ± R σ XX + σ YY
P=
2
=
− 70 − 51 = -60.5 MPa 2
2
R=
σ XX − σ YY 2 + τ XY = 2
Glavna naprezanja:
2
− 70 + 51 2 + 42 = 43.06 MPa 2
σ1 = P + R = -60.5 + 43.06 = -17.44 MPa σ2 = P – R = -60.5 – 43.06 = -103.56 Mpa tg2 ϕ 0 =
2τ XY = -4.421 σ XX − σ YY
O 2ϕ 0 = arctg (-4.421) = -77.25 O ϕ 0 = -38.63
1. Invarijanta σYY = σ XX +σYY −σ XX = -70 – 51 + 73.2728 = -47.7272 MPa
tg2 ϕ 1 =
2τ XY = 3.22 σ XX −σYY
O 2ϕ 1 = arctg (3.22) = 72.74 O ϕ 1 = 36.37
Koordinate točaka: A( σXX , τXY ) B( σYY , τYX ) C( σXX , τXY ) D( σYY , τYX ) A'( σYY , τXY )
→ A(-70, 42) → B(-51, 42) → C(-73.2728, -41.1231) → D(-47.7272, -41.1231) → A'(-51, 42)
Orijentacija presjeka ''A-A'' u odnosu na koordinatnu os ''x'' Iz kružnice vidimo da kut između presjeka ''A-A'' u odnosu na koordinatnu os ''x'' treba biti nešto veći od 90O. Na kružnici se može uočiti pravokutni trokut iz kojeg se vrlo jednostavno može izračunati kut ϕ pomoću sljedeće jednadžbe: tg ϕ2 = σ XX
ϕ2 = arc tg
τXY + τXY − P + P −σXX
τXY + τXY σXX − P + P −σXX
ϕ = 180O - arc tg ϕ = 180O – arc tg
→
τXY + τXY σXX − P + P −σXX
41 .1231 + 42 73 .2728 − 60 .5 + 9.5
ϕ = 180O - ϕ2
ϕ = 180O – arc tg 3.732 ϕ = 180O – 74.999O ϕ = 105O
3. Objasni tenzor naprezanja u prostoru
Promatramo li tijelo u prostoru izloženom djelovanju vanjskih sila te ga prerežemo na dva dijela, tada na presječnoj plohi djeluje rezultantni vektor naprezanja kojeg možemo rastaviti na dva dijela: vektor okomit na presječnu površinu (normalno naprezanje) i vektor koji leži na presječnoj ravnini (posmično naprezanje). Orijentiramo li ravnine presjeka okomito na koordinatne osi y i z, dobit ćemo na svakoj od tih ravnina tri komponente naprezanja,
jednu
normalnu
i
dvije
posmične.
Ukoliko
promatramo
beskonačno mali kockasti element izrezan iz neke konzole, nosača itd. na svakoj plohi javljaju se tri komponente naprezanja. Stanje naprezanja u prostoru potpuno je određeno s 9 komponenti naprezanja, tri normalne i šest posmičnih, koje djeluju na tri međusobno okomite ravnine. Uzimamo tri ravnine jer su komponente naprezanja na ostalim trima jednaka ali suprotnog predznaka.
Stanje naprezanja u prostoru može se prikazati u obliku kvadratne matrice:
σ
σ XX = τ YX τ ZX
τ XY σ YY τ ZY
τ XZ τ YZ σ ZZ
koju nazivamo matricom tenzora naprezanja ili tenzor naprezanja. Članovi jednog retka matrice predstavljaju komponente naprezanja u jednoj ravnini. Komponente naprezanja
τ
su pozitivne ako djeluju u pozitivnim smjerovima
koordinatnih osi na površini s vanjskom normalom orijentiranom u smjeru koordinatne osi, odnosno ako djeluju u negativnim smjerovima koordinatnih osi na površini s vanjskom normalom orijentiranom suprotno od koordinatne
σ djeluje u smjeru vanjske normale onda je to normalno vlačno naprezanje, a - σ normalno tlačno naprezanje. osi. Ako Komponenta naprezanja
4. U nekoj točki dugog prizmatičnog aluminijskog nosača (E = 72 Gpa, 0.34)
izmjerene
su
vrijednosti
deformacija:
εXX = -0.001860,
ν
=
εYY =
-0.001370. Potrebno je odrediti maksimalno tangencijalno naprezanje τMAX u promatranoj točki. Zadatak riješiti analitički i grafički. Napomena: U dugom prizmatičnom nosaču vlada ravninsko stanje deformacije, εZZ = ε3 = 0. T=
E 72 * 10 9 = = 5.373 * 1010 Pa 1,34 1 +ν
ϑ=
ε XX + εYY + ε ZZ = -1860 * 10-6 – 1370 * 10-6 + 0 = -3230 * 10-6
Normalna naprezanja:
σXX = T * ε XX −
σYY
σZZ
ν *ϑ 0,34 * ( −3230 * 10 −6 ) −6 10 − 1860 * 10 − = 5.373*10 * = 2 * 0,34 −1 2ν − 1
= 5.373*1010 * (-1860*1010 – 3431*10-6) = -284 MPa ν *ϑ 0,34 * ( −3230 * 10 −6 ) −6 10 − 1370 * 10 − ε − = T * YY = 5.373*10 * = 2 * 0,34 −1 2ν − 1 = 5.373*1010 * (-1370*1010 – 3431*10-6) = -258 MPa ν *ϑ 0,34 * (−3230 * 10 −6 ) 0 − = 5.373*1010 * = T * ε ZZ − = 2 * 0,34 −1 2ν − 1 = 5.373*1010 * (0 – 3431*10-6) = -184 MPa
Posmična naprezanja: E
τXY = G * γ XY = γ 2 * (1 +ν ) * XY =
72 * 10 9 * 1310*10-6 = 35 MPa 2,68
Budući da u nosaču vlada ravninsko stanje deformacije vrijedi:
τYZ = 0 τZX = 0 Glavna naprezanja: P1 =
σ XX + σ YY − 284 − 258 = = -271 MPa 2 2 2
R1 =
σ XX − σ YY 2 + τ XY = 2
2
− 284 + 258 2 + 35 = 37 Mpa 2
σ1 = P – R = -271 – 37 = -308 MPa σ2 = P + R = -271 + 37 = -234 MPa σ3 = σZZ = -184 MPa
0 σ 1 0 0 0 − 308 − 234 0 σ = 0 σ 2 0 = 0 0 −184 0 0 σ 3 0 σ − σ3 159 τMAX = 1 = = 62 MPa 2
2
Koordinate točaka i duljine radiusa:
→ A(-284, 35) B( σYY , τYX ) → B(-258, 35) σ + σ YY P1( XX , 0) → P1(-271, 0) A( σXX , τXY )
2 σ2 + σ3 P2( , 0) → P2(-209,0) 2 σ + σ3 P( 1 , 0) → P(-246, 0) 2
R1 = 37 Mpa σ −σ2 −184 +199 R2 = 3 = = 25 MPa 2 2
Mohrova kružnica:
Iz kružnice se vidi da je radius R koji nam zapravo predstavlja τMAX zbroju radiusa R1 i R2:
τMAX = R = R1 + R2 = 37 + 25 = 62 MPa Koordinate točaka i duljine radiusa: 1 → A(-1860, 655) 2 1 B( εYY ,− γ XY ) → B(-1370, -655) 2
A( εXX , γ XY )
ε XX + εYY ,0) → P1(-1615, 0) 2 ε + ε3 P2( 2 , 0) → P2(-458, 0) 2 ε P( 1 , 0) → P(-1157, 0) 2 ε − ε1 R1 = 2 = 699 2 ε − ε2 R2 = 3 = 458 2 P1(
jednak
ε 3 − ε1 = 1157 2 2 2 ε + εYY ε − ε YY 1 ε2 = XX + XX + τ XY = -1615 + 699 = -916 2 2 2
R=
ε1 = P – R = -1615 – 699 = -2314 Mohrova kružnica:
γMAX = 2R = 2314 * 10-6
τMAX = G * γMAX = (2,687 * 1010) * (2314 * 10-6) τMAX = 62,17 MPa
≈
62 MPa = τMAX
5. U nekoj točki čelične konstrukcije (E = 200 Gpa,
ν
= 0.3) izmjerena su
glavna naprezanja: σ1 = 24 MPa i σ2 = 16 MPa. Kut glavne osi ''1'' u O odnosu na koordinatnu os ''x'' iznosi ϕ 0 =-70 . Odredi sve komponente
naprezanja i deformacija u presjeku orjentiranom za kut ϕA = 45O u odnosu na os ''x'' i skiciraj deformirane elemente za slučajeve: I)
ravninskog naprezanja σZZ = σ3 = 0 ( εZZ
II)
ravninske deformacije εZZ = ε3 = 0 (
O 2ϕ 0 = -140
⇒
tg2 ϕ 0 = 0.839
σ1 = P + R σ2 = P – R Središte i radius Mohrove kružnice: (1) P + R = 24
⇒
P = 24 - R
(2) P – R = 16 - iz (1) u (2): 24 – R – R = 16 -2R = -8 R = 4 MPa - iz (1): P = 24 – R = 24 – 4 = 20 MPa
≠ 0)
σ ZZ ≠
0)
3 jednadžbe sa 3 nepoznanice: P=
σ XX + σ YY 2
/ *2 2
σ − σ YY 2 R = XX + τ XY 2 2τ XY tg2 ϕ 0 = σ XX − σ YY
(3)
/2
⇒
2P = σXX + σYY
σYY = 2P - σXX
2
(4) (5)
σ − σ YY 2 R2 = XX + τ XY 2 2τ XY tg2 ϕ 0 = σ XX − σ YY
- iz (3) u (4):
(6)
2
σ − σ YY 2 R = XX + τ XY 2
→
σYY = 2P - σXX
2
2 R2 = (-P + σXX )2 + τ XY
- iz (3) u (5):
→
σYY = 2P - σXX
2τ XY − 2 P + 2σ XX 2τ XY -2P + 2 σXX = tg 2ϕ0 2τ XY -P + σXX = 2tg 2ϕ0
tg2 ϕ 0 =
(7)
-P + σXX =
tg2 ϕ 0 =
2τ XY σ XX − σ YY
/*(2P - 2 σXX )
/: tg2 ϕ 0
/:2
τ XY tg 2ϕ0
- iz (7) u (6): -P + σXX =
τ XY tg 2ϕ0
→
2 R2 = (-P + σXX )2 + τ XY
2
τ 2 R = XY + τ XY tg 2ϕ0 2
τ XY 2 2 + τ XY (tg 2ϕ0 ) 2
R2 =
1 +1 * 2 ( tg 2ϕ0 ) 2 R 1 = / 2 (tg 2ϕ0 ) +1
R2 = τ XY
τ XY 2
τXY =
τXY =
2
1 +1 /: 2 ( tg 2ϕ0 )
R2 1 +1 (tg 2ϕ0 ) 2 R
(tg 2ϕ0 ) 2 + 1 (tg 2ϕ0 ) 2 R
τXY = (8)
τXY
(tg 2ϕ0 ) 2 + 1 tg 2ϕ0 R * tg 2ϕ0 = (tg 2ϕ0 ) 2 + 1
- iz jednadžbe (8):
τXY =
R * tg 2ϕ0 (tg 2ϕ0 ) + 1 2
=
4 * 0.839
3.356
= (0.839 ) +1 1.30534 2
- iz jednadžbe (7):
τ XY tg 2ϕ0 τ XY =P+ = 23,06 MPa tg 2ϕ0
-P + σXX =
σXX
- iz jednadžbe (3):
σYY = 2P - σXX = 40 – 23,06 = 16,94 MPa
= 2.57 MPa
Komponente naprezanja i deformacija u presjeku orijentiranom za kut ϕA = 45O u odnosu na os ''x''. σXX = σXX =
σ XX + σ YY σ XX − σ YY + * cos 2ϕ A + τ XY * sin 2ϕ A 2 2
23 .06 +16 .94 23 .06 −16 .94 + * cos( 2 * 45 ) + 2.57 * sin( 2 * 45 ) 2 2
σXX = 20 + 2.57 = 22.57 MPa
1. invarijanta σXX + σYY σYY σYY σYY
τ XY = − τ XY = −
= σXX + σYY = σXX + σYY - σXX = 23.06 + 16.94 – 22.57 = 17.43 MPa
σ XX − σ YY * sin 2ϕ A + τ XY * cos 2ϕ A 2
23 .06 −16 .94 * sin( 2 * 45 ) + 2.57 * cos( 2 * 45 ) 2
τ XY = -3.06 MPa
Komponente deformacija za slučaj ravninskog naprezanja: ε XX =
[
= 86 µ m/m εYY =
ε ZZ
]
[
]
]
[
]
1 1 σ XX −ν (σYY + σ ZZ ) = 22 .57 * 10 6 − 0,3(17 ,43 * 10 6 + 0) = 0.000086 9 E 200 * 10
[
1 1 σYY −ν (σ XX + σ ZZ ) = 17 ,43 * 10 6 − 0,3(22,57 * 10 6 + 0) = 0.000053 9 E 200 * 10
= 53 µ m/m ν = − σ XX + σYY = −
[ E
]
E
0,3 * 40 *10 6 = -0,00006 = -60 µ m/m 9 200 *10
G = 2(1 +ν ) = 7,6923*1010 − 3,06 * 10 6 τ -6 γ XY = XY = = -0O 0' 0,14'' 10 = -0,000039 = -39 * 10 G
7,6923 * 10
Komponente deformacija za slučaj ravninske deformacije: ε XX
εYY
γ XY
1 − 0,32 0,3 1 −ν 2 ν (22 .57 * 10 6 − * 17 ,43 * 10 6 ) = 0,000068 = (σ XX − * σYY ) = 9 200 * 10 0,7 E 1 −ν
= 68 µ m/m 1 − 0,32 0,3 1 −ν 2 ν (17 ,43 * 10 6 − * 22 .57 * 10 6 ) = 0,000035 = (σYY − * σ XX ) = 9 200 * 10 0,7 E 1 −ν = 35 µ m/m − 3,06 * 10 6 τ -6 = XY = = -0O 0' 0,14'' 10 = -0,000039 = 39 * 10 G
7,6923 * 10
