VULLNET BIBA, BURIM ELEZI & TONIT BIBA
VLERA KUFITARE (LIMITI)
FERIZAJ, MARS 2015
VLERA KUFITARE - LIMITI
Përmbajtja Vlera kufitare (limiti) 1. Limitet e funksioneve racionale……………………………………………..3 2. Limitet e funksioneve iracionale…………………………………………...41 3. Limitet e funksioneve eksponenciale……………………………………129 4. Limitet e funksioneve trigonometrike…………………………………..173 5. Limitet e vargjeve………………………………………………………………..222
1
VLERA KUFITARE - LIMITI
VLERA KUFITARE (LIMITI) Përkufizim: Numri K quhet vlerë kufitare ose limit I funksionit është pike grumbulli i domenit numri pozitiv
në pikën
, në qoftëse
dhe në qoftë se numrit të çfardoshëm pozitiv
i përgjigjet
i tillë që |
Simbolikisht shkruajmë: lim
.
Përkufizim 2.: Për funksionin
themi se në pikën
ka vlerën kufitare të pafundme
në qoftë se: 1.
është pike grumbullimi e domenit
2. Për qdo numër të dhënë që për
;
sado qoftë i madh, egziston
rrethina e pikes
vlenë
Le të jenë të njohur limitet e funksioneve 1. lim 2. lim 3. lim 4. lim
2
, dhe një konstantë, atëherë:
lim lim lim
lim
;
lim lim
e tillë
VLERA KUFITARE- LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE RACIONALE
KAPITULLI 1 LIMITET E FUNKSIONEVE RACIONALE
Përkufizimi 1. Shprehja p( x) an xn an1 x n1 ... a1 x a0 ,
ku
a0 , a1 ,..., an
janë numra realë, x numër realë, quhet polinom (realë).
Përkufizimi 2. Nëse shënohet
an 0,
numri n – quhet shkallë e polinomit
p( x).
Simbolikisht
deg p( x) n.
Në këtë rast themi se polinomi p është i shkallës së n – të sipas x – it. Përkufizimi 3. Le të jenë dhënë polinomet p( x) an x n an1x n1 ... a1x a0
q( x) bn xn bn1 xn1 ... b1 x b0 .
Polinomet kur :
p( x)
dhe
q ( x)
janë identikisht të barabartë atëherë dhe vetëm atëherë
an bn , an1 bn1 ,..., a1 b1 , a0 b0 .
3
VLERA KUFITARE- LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE RACIONALE
LIMITET E FUNKSIONEVE RACIONALE
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
4
VLERA KUFITARE- LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE RACIONALE
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
5
VLERA KUFITARE- LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE RACIONALE
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
6
VLERA KUFITARE- LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE RACIONALE
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
7
VLERA KUFITARE- LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE RACIONALE
77.
78.
79.
80.
81.
82.
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90.
91.
92.
93.
94.
95.
96.
8
VLERA KUFITARE- LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE RACIONALE
97.
98.
99.
100.
101.
102.
103.
104.
105.
106.
107.
108.
109.
110.
111.
112.
113.
114.
115.
9
VLERA KUFITARE- LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE RACIONALE
116.
117.
118.
119.
120.
10
VLERA KUFITARE- LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE RACIONALE
ZGJIDHJA E DETYRAVE
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
11
VLERA KUFITARE- LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE RACIONALE
9.
10.
11.
12.
13.
12
VLERA KUFITARE- LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE RACIONALE
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
13
VLERA KUFITARE- LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE RACIONALE
21.
22.
23.
24.
25.
26.
14
VLERA KUFITARE- LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE RACIONALE
27.
28.
29.
15
VLERA KUFITARE- LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE RACIONALE
30.
31.
32.
16
VLERA KUFITARE- LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE RACIONALE
33.
34.
35.
36.
17
VLERA KUFITARE- LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE RACIONALE
37.
38.
39.
40.
18
VLERA KUFITARE- LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE RACIONALE
41.
42.
43.
44.
19
VLERA KUFITARE- LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE RACIONALE
45.
46.
47.
20
VLERA KUFITARE- LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE RACIONALE
48.
49.
50.
51.
21
VLERA KUFITARE- LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE RACIONALE
52.
53.
54.
22
VLERA KUFITARE- LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE RACIONALE
55.
56.
57.
58.
59.
23
VLERA KUFITARE- LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE RACIONALE
60.
61.
62.
63.
64.
65.
24
VLERA KUFITARE- LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE RACIONALE
66.
67.
68.
69.
25
VLERA KUFITARE- LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE RACIONALE
70.
71.
72.
73.
74.
26
VLERA KUFITARE- LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE RACIONALE
75.
76.
77.
78.
; 0
0 27
VLERA KUFITARE- LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE RACIONALE
79.
80.
81.
82.
83.
28
VLERA KUFITARE- LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE RACIONALE
84.
85.
0 0 0
0 0
0
29
VLERA KUFITARE- LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE RACIONALE
86.
87.
88.
0
30
0
VLERA KUFITARE- LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE RACIONALE
89.
90.
91.
31
VLERA KUFITARE- LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE RACIONALE
92.
93.
94.
+6
0 0
6
0
32
VLERA KUFITARE- LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE RACIONALE
95.
96.
97.
98.
0
0
0
0 33
VLERA KUFITARE- LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE RACIONALE
0
0
99.
34
0
VLERA KUFITARE- LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE RACIONALE
100.
101.
102.
103.
0
0 35
0
VLERA KUFITARE- LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE RACIONALE
104.
105.
106.
107.
108.
36
VLERA KUFITARE- LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE RACIONALE
109.
110.
0
0
0
0
37
0
VLERA KUFITARE- LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE RACIONALE
111.
112.
113.
114.
38
VLERA KUFITARE- LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE RACIONALE
115.
116.
117.
118.
119.
39
VLERA KUFITARE- LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE RACIONALE
120.
40
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
KAPITULLI 2 LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
FORMULA TË RËNDËSISHME Le të jenë dhënë a dhe b numra real pozitiv, ndërsa n,m dhe p numra natyrorë. Atëherë, rrënja ka këto veti: 1.
2.
3. 4. 5.
41
.
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
42
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE 17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
43
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE 33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
44
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE 49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
45
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE 67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
81.
82.
46
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE 83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90.
91.
92.
93.
94.
95.
96.
97.
98.
47
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE 99.
100.
101.
102.
103.
104.
105.
106.
107.
108.
109.
110.
111.
112.
113.
114.
48
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE 115.
116.
117.
118.
119.
120.
121.
122.
123.
124.
125.
126.
127.
128.
129.
130.
49
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE 131.
132.
133.
134.
135.
136.
137.
138.
139.
140.
141.
142.
143.
144.
145.
146.
50
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE 147.
148.
149.
150.
151.
152.
153.
154.
155.
156.
157
158.
159.
160.
51
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
ZGJIDHJA E DETYRAVE
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
52
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
8.
9.
10.
53
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
11.
12.
13.
54
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
14.
15.
55
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
16.
17.
18.
56
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
19.
20.
|
57
,
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
21.
22.
23.
58
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
24.
25.
26.
59
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
27.
28.
60
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
29.
30.
31.
61
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
32.
33.
62
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
34.
35.
36.
63
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
37.
38.
39.
64
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
40.
41.
42.
65
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
43.
44.
45.
66
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
46.
47.
67
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
48.
49.
50.
68
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
51.
52.
53.
69
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
54.
55.
56.
70
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
57.
58.
59.
71
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
60.
61.
62.
72
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
63.
64.
65.
73
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
66.
67.
68.
74
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
69.
70.
75
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
71.
72.
73.
76
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
74.
75.
77
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
76.
77.
78.
78
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
79.
80.
79
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
81.
82.
80
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
83.
84.
85.
81
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
86.
87.
88.
82
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
89.
90.
83
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
91.
92.
84
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
93.
85
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
94.
95.
86
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
96.
97.
98.
87
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
99.
88
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
100.
101.
102.
89
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
103.
104.
105.
90
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
106.
107.
108.
91
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
109.
110.
92
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
111.
112.
93
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
113.
114.
94
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
115.
116.
117.
95
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
118.
119.
96
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
120.
121.
97
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
122.
123.
124.
98
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
125.
99
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
126.
127.
100
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
128.
129.
101
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
130.
102
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
131.
132.
103
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
133.
134.
104
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
135.
136.
105
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
137.
138.
139.
106
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
107
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
140.
108
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
141.
109
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
142.
143.
110
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
144.
111
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
145.
112
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
113
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
146.
114
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
147.
115
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
116
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
148.
117
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
118
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
149.
119
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
150.
120
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
151.
121
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
152.
122
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
153.
123
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
124
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
154.
155.
125
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
156.
126
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
157.
158.
159.
127
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE IRACIONALE
160.
128
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE EKSPONENCIALE
KAPITULLI 3 LIMITET E FUNKSIONEVE EKSPONENCIALE FORMULA TË RËNDËSISHME
Vetitë themelore të fuqive janë këto:
1.
;
2.
;
3. 4. 5.
129
; .
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE EKSPONENCIALE
LIMITET E FUNKSIONEVE EKSPONENCIALE 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
130
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE EKSPONENCIALE
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
131
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE EKSPONENCIALE
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
132
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE EKSPONENCIALE
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
133
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE EKSPONENCIALE
77.
78.
79.
80.
81.
82.
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90.
91.
92.
93.
94.
95.
96.
134
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE EKSPONENCIALE
97.
98.
99.
100.
135
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE EKSPONENCIALE
ZGJIDHJA E DETYRAVE
1.
2.
3.
4.
136
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE EKSPONENCIALE
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
137
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE EKSPONENCIALE
12.
13.
14.
15.
16.
138
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE EKSPONENCIALE
17.
Detyra mund të zgjidhet në 2 mënyra:
139
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE EKSPONENCIALE
18.
19.
140
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE EKSPONENCIALE
20.
21.
22.
141
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE EKSPONENCIALE
23.
24.
142
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE EKSPONENCIALE
25.
26.
143
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE EKSPONENCIALE
27.
28.
29.
144
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE EKSPONENCIALE
30.
31.
32.
145
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE EKSPONENCIALE
33.
34.
35.
146
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE EKSPONENCIALE
36.
37.
38.
147
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE EKSPONENCIALE
39.
40.
41.
148
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE EKSPONENCIALE
42.
43.
149
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE EKSPONENCIALE
44.
45.
150
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE EKSPONENCIALE
46.
47.
151
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE EKSPONENCIALE
48.
49.
50.
152
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE EKSPONENCIALE
51.
52.
53.
153
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE EKSPONENCIALE
54.
55.
56.
57.
58.
59.
154
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE EKSPONENCIALE
60.
61.
62.
155
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE EKSPONENCIALE
63.
64.
65.
156
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE EKSPONENCIALE
66.
67.
68.
157
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE EKSPONENCIALE
69.
70.
158
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE EKSPONENCIALE
71.
72.
159
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE EKSPONENCIALE
73.
74.
160
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE EKSPONENCIALE
75.
76.
161
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE EKSPONENCIALE
77.
78.
79.
162
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE EKSPONENCIALE
80.
81.
163
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE EKSPONENCIALE
82.
83.
84.
164
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE EKSPONENCIALE
85.
86.
165
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE EKSPONENCIALE
87.
166
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE EKSPONENCIALE
88.
89.
167
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE EKSPONENCIALE
90.
91.
92.
168
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE EKSPONENCIALE
93.
94.
169
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE EKSPONENCIALE
95.
Pra:
96.
170
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE EKSPONENCIALE
97.
98.
99.
171
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE EKSPONENCIALE
100.
172
VLERA KUFITARE-LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE
KAPITULLI 4 LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE FORMULA TË RËNDËSISHME
Transformimi i funksioneve trigonometrike Funksionet trigonometrike të këndeve komplementare: 1. 2. 3. 4.
Identitetet themelore trigonometrike:
3. 173
4.
VLERA KUFITARE-LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE 5.
Funksionet trigonometrike të shumës dhe ndryshimit të 2 këndeve: 1. 2. 3. 4.
Funksionet trigonometrike të këndit të dyfishtë:
3.
4.
Funksionet trigonometrike të gjysmëkëndit: 2. 3.
4.
Transforimimi I prodhimit të funksioneve trigonometrike në shumë dhe ndryshim: 1. 2.
174
VLERA KUFITARE-LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE 3.
Transformimi shumës dhe ndryshimit të funksioneve trigonometrike në prodhim: 1. 2. 3. 4.
175
VLERA KUFITARE-LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE
LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
176
VLERA KUFITARE-LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE 17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
177
VLERA KUFITARE-LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE 37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
178
VLERA KUFITARE-LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE 55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
179
VLERA KUFITARE-LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE 73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
180
VLERA KUFITARE-LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE
ZGJIDHJA E DETYRAVE
1.
2.
3.
4.
5.
6.
181
VLERA KUFITARE-LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE 7.
8.
9.
182
VLERA KUFITARE-LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE 10.
11.
12.
13.
183
VLERA KUFITARE-LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE
14.
15.
16.
184
VLERA KUFITARE-LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE 17.
18.
19.
20.
185
VLERA KUFITARE-LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE 21.
22.
23.
186
VLERA KUFITARE-LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE
24.
25.
26.
187
VLERA KUFITARE-LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE
27.
188
VLERA KUFITARE-LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE
28.
29.
30.
189
VLERA KUFITARE-LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE
31.
32.
190
VLERA KUFITARE-LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE 33.
34.
191
VLERA KUFITARE-LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE 35.
36.
192
VLERA KUFITARE-LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE 37.
38.
Meqenëse,
Duke u bazuar në këtë do të marrim:
39.
193
VLERA KUFITARE-LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE
40.
41.
194
VLERA KUFITARE-LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE
42.
195
VLERA KUFITARE-LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE
43.
196
VLERA KUFITARE-LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE
44.
197
VLERA KUFITARE-LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE
45.
46.
198
VLERA KUFITARE-LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE
47.
48.
199
VLERA KUFITARE-LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE
49.
50.
200
VLERA KUFITARE-LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE
51.
201
VLERA KUFITARE-LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE
52.
53.
202
VLERA KUFITARE-LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE
54.
203
VLERA KUFITARE-LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE
204
VLERA KUFITARE-LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE
55.
205
VLERA KUFITARE-LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE
56.
206
VLERA KUFITARE-LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE
57.
207
VLERA KUFITARE-LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE
58.
208
VLERA KUFITARE-LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE
59.
60.
209
VLERA KUFITARE-LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE
61.
210
VLERA KUFITARE-LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE
62.
211
VLERA KUFITARE-LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE
212
VLERA KUFITARE-LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE 63.
213
VLERA KUFITARE-LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE 64.
65.
214
VLERA KUFITARE-LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE
66.
215
VLERA KUFITARE-LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE 67.
68.
69.
70.
216
VLERA KUFITARE-LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE
71.
72.
217
VLERA KUFITARE-LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE 73.
74.
75.
218
VLERA KUFITARE-LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE
76.
77.
219
VLERA KUFITARE-LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE 78.
79.
80.
220
VLERA KUFITARE-LIMITI LIMITET E FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE
221
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E VARGJEVE
KAPITULLI 5 LIMITET E VARGJEVE Progresioni (vargu) aritmetik Varg aritmetik quhet vargu tek i cili diferenca e çdo dy kufizave të njëpasnjëshme është konstante. Term i përgjitshëm i vargut aritmetik është:
Shuma e n-termave të para të vargut aritmetik është:
Progresioni (vargu) gjeometrik Vargu i numrave në të cilin heresi i çdo dy kufizave të njëpasnjëshme është konstant quhet progresion gjeometrik: Termi i përgjithshëm është:
Shuma e n- termave të para të vargut gjeometrik është:
222
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E VARGJEVE
LIMITET E VARGJEVE
1.
Të gjendet vlera kufitare e vargut nëse
2.
është dhënë anëtari i përgjithshëm:
3.
Të gjendet vlera kufitare e vargut nëse
është dhënë anëtari i përgjithshëm:
4.
është dhënë anëtari i përgjithshëm:
5.
Të gjendet vlera kufitare(limiti) nëse
6.
8.
223
Të gjendet vlera kufitare nëse është dhënë anëtari i përgjithshëm:
është dhënë anëtari i përgjithshëm:࡙
7.
Të gjendet vlera kufitare vargut nëse
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E VARGJEVE
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
224
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E VARGJEVE
21.
22.
(2n rrënjë)
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
225
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E VARGJEVE
32.
33.
34.
35.
36.
37.
226
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E VARGJEVE
38.
39.
40.
227
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E VARGJEVE
41.
228
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E VARGJEVE
ZGJIDHJA E DETYRAVE
1.
Të gjendet vlera kufitare e vargut nëse është dhënë anëtari i përgjithshëm:
2
Të gjendet vlera kufitare vargut nëse është dhënë anëtari i përgjithshëm:
3
Të gjendet vlera kufitare e vargut nëse është dhënë anëtari i përgjithshëm:
4
Të gjendet vlera kufitare nëse është dhënë anëtari i përgjithshëm:
229
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E VARGJEVE
5
6
230
Të gjendet vlera kufitare(limiti) nëse është dhënë anëtari i përgjithshëm:࡙
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E VARGJEVE
7
8
9
231
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E VARGJEVE
10
11
;
12
232
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E VARGJEVE
13
14
233
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E VARGJEVE
15
16
17
234
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E VARGJEVE
18
19
235
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E VARGJEVE
20
21
236
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E VARGJEVE
22
23
237
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E VARGJEVE
24
238
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E VARGJEVE
25
;
239
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E VARGJEVE
26
27
240
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E VARGJEVE
28.
29
241
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E VARGJEVE
30
31.
242
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E VARGJEVE
243
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E VARGJEVE
32
244
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E VARGJEVE
33
245
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E VARGJEVE
34
246
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E VARGJEVE
247
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E VARGJEVE
35.
248
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E VARGJEVE
36.
249
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E VARGJEVE
37.
38.
250
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E VARGJEVE
251
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E VARGJEVE
252
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E VARGJEVE
39.
253
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E VARGJEVE
254
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E VARGJEVE
40.
255
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E VARGJEVE
256
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E VARGJEVE
257
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E VARGJEVE
41.
258
VLERA KUFITARE - LIMITI LIMITET E VARGJEVE
259
VLERA KUFITARE - LIMITI
LITERATURA 1. Përmbledhje detyrash të zgjidhura nga matematika II, Zenun Loshaj, Prishtinë 1996; 2. Matematika për test të matures, Naim Braha dhe Armend Shabani, botimi i tretë, Prishtinë 2012; 3. Përmbledhje detyrash nga matematika, Faton Berisha dhe Mustafë Kadriu, Prishtinë 1999; 4. Zbirka Resenih Radataka iz Matematike 4, Vene Bogoslavov, Beograd 2000; 5. Zbirka zadataka iz više matematike I , Momčilo P. Ušćumlić, Pavle M. Miličić; 6. Teste Matematike, Naser Tahiri 2005.
260
