3.1.
U cilindričnoj posudi promjera D = 0,8 m nalazi se zrak na temperaturi od t 1 = 20oC . Sa gornje strane posuda je potpuno zatvorena lako pokretnim klipom na kome se nalazi teret mase 2000 kg. U po četnom položaju čelo klipa je na visini h1 = 500 mm. a) Koliko topline treba dovesti zraku da bi se klip podigao za 1 cm? b) Koliku bi snagu morao imati toplinski izvor za podizanje klipa brzinom od 1 cm/s ako se samo 60% njegove energije prenese na zrak u cilindru? c) Odrediti rad širenja i toplinu koju je potrebno dovesti da se klip podigne na 1250 mm visine. Zanemariti težinu klipa. Barometarski pritisak iznosi 1.002 bar a) Pritisak u cilindru je p1 = p0 + m*g/A = 1.002*10 5 +2000* 9,81 * 4/(0.82 * 3,14) = 1,392 *10 5 Pa Masa zraka u cilindru je m = p1 * V1/R * T1 = 1,392 * 10 5 * 0,25/(287 * 293) = 0,414 kg V1 = A * h1 = 0,42 * 3,14 * 0,5 = 0,2513 m3 V2 = A (h1 + 0,01) = 0,2564 m3 b) Toplina koju treba dovesti zraku iznosi .
Q 12 = m * c p ( T2 – T1 ) = m * c p * T1 (V2/V1 – 1) = m * c p * T1 (h2/h1 – 1)
= 0,414 * 1,005 * 293 * (510/500 – 1) = 2,438 kJ/s=2,438 kW Potrebna snaga grija ča: .
P12 =
Q 12
η
=
2.438 = 4.06 kW 0.6
c) Za podizanje klipa za h = 750 mm potrebna toplina je Q1,3 = Q1,2 * h = 2,436 * 75 = 182,9 kJ Izvršeni rad pri tome biti će W1,3 = p1 (V3 - V1) = 1,392 * 105 (0,6283 – 0,2513) = 52 480 J V3 = 0,42 * 3,14 * (0,5 + 0,75) = 0,6283 m 3 .
Q 13 = m * c p ( T3 – T1 ) = m * c p * T1 (V3/V1 – 1) = m * c p * T1 (h3/h1 – 1)
= 0,414 * 1,005 * 293 * (1250/500 – 1) = 182.9 kJ
3.2.
U cilindru sa klipom ekspandira zrak po četnog pritiska 10 bar i temperature 25 0C. Početni volumen cilindra iznosi 0,01 m3. Širenje se izvodi po a) izotermi b) izentropi c) politropi sa eksponentom n = 1,3 do pritiska 1 bar Odrediti na kraju širenja volumen i temperaturu. Izračunati rad koji izvrši zrak i koli činu topline koju je potrebno dovesti! Masa zraka u cilindru: 10 * 10 5 * 0,01 = = 0,1169 [kg] m= RT 1 287 * 298 p1V 1
Izotermna ekspanzija V2 = V1 p1/p2 = 0,01 * 10 = 0,1 [m 3] ϑ 2 = ϑ 1 = 250C
W1,2 = p1V1ln(p1/p2) = 10*105 * 0,01 ln 10 = 23 026 [J] Q1,2 = W1,2 = 23 026 [J] a) Izentropska ekspanzija V2 = V1 (p1/p2)1/ κ = 0,01 ( 10)1/1,4 = 0,0518 [m3] ⎛ p 2 ⎞ ⎟⎟ p ⎝ 1 ⎠
κ −1
T2 = T1 ⎜⎜
κ
0.4 1 ⎞ .4
⎛ 1 ⎟ 10 ⎝ ⎠
= 298 ⎜
= 154,3 [K]
W1,2 = U1 – U2 = m cv (T1 – T2) = 0,1169 * 718 ( 298 – 154,3) = 12 064 [J] Q 1,2 = 0 b) Politropska promjena V2 = V1 (p1/p2)1/n = 0,01 ( 10) 1/1,3 = 0,0588 [m3] n-1 T2 = T1 (p2/p1) W1,2 =
mR n −1
n
= 298 (1/10)0,3/1,3 = 173,3 [K]
( T1 – T2 ) =
0,1169 * 287 (298 – 173,3) = 13 946 [J] 1,3 − 1
Q1,2 = m cn (T2 – T1)= 0,1169 * 718
1,3 − 1,4 (173,3-298)= 3489 [J] 1,3 − 1
3.3.
Ugljični monoksid na pritisku p 1 = 1 bar i specifi čnog volumena v 1 = 0,909 m3/kg komprimira se po izotermi do pritiska p 2 = 4 bar, a zatim po adijabati do pritiska p 3 = 20 bar a) Koliki je utrošeni rad i razmijenjena toplina? b) Koliki je eksponent politrope ako politropa prolazi kroz po četno i krajnje stanje procesa? c) Koliki je specifični toplinski kapacitet za politropsku promjenu stanja? d) Koliki je rad i razmijenjena toplina po politropi? e) Napraviti skicu u pV-dijagramu a) Rad i razmijenjena toplina po izotermi biti će w1,2 = p1v1 ln p1/p2 = 105 * 0,909 ln ¼ = - 126014 J/kg q1,2 = w1,2 = - 126014 J/kg R CO = 8314/28 = 297 J/kgK 10 5 * 0,909 = 306 K = T2 T1= = R 297 p1v1
Temperatura u krajnjem stanju je ⎛ p3 ⎞ ⎟⎟ p ⎝ 2 ⎠
T3 = T2 ⎜⎜
ϑ 3 = 211.7
o
κ −1 κ
1, 4 −1 ⎞ 1, 4
⎛ 20 ⎟ ⎝ 4 ⎠
= 306 ⎜
= 484.7 K
C
Rad i razmijenjena toplina po adijabati su 10 5 * 0,909 w2,3 = ( 1 – T3/T2) = κ − 1 1,4 − 1 p1v1
⎛ 485 ⎞ ⎜1 − ⎟ = - 132 934 J/kg 306 ⎝ ⎠
q2,3 = 0 Ukupni rad je w1,3 = - 126014 – 132934 = - 258 948 J/kg a toplina q1,3 = q1,2 = - 126014 J/kg v3 =
p 3 RT 3
=
297 * 485 = 0.072 m3/kg 5 20 *10
b) Eksponent politrope koja prolazi kroz to čku «1» i «3» je p1v1n = p3 v3n n
⎛ v ⎞ ⎛ v ⎞ ⎛ p ⎞ = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⇒ log⎜⎜ 3 ⎟⎟ = n log⎜⎜ 1 ⎟⎟ p1 ⎝ v3 ⎠ ⎝ p1 ⎠ ⎝ v3 ⎠
p3
⇒
⎛ p3 ⎞ ⎟⎟ ⎝ p1 ⎠ = log p3 − log p1 = 1,181 n= log v1 − log v3 ⎛ v ⎞ log⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎝ v3 ⎠
log⎜⎜
c) Specifični toplinski kapacitet politropske promjene biti će cn = cv
n − κ n −1
= 0,74
1,181 − 1,4 = - 0.895 kJ/kgK 1,181 − 1
d) Rad i razmijenjena toplina po politropi od stanja «1» do stanja «3» je 10 5 * 0,909 ⎛ 485 ⎞ w1,3p = ( 1 – T3/T2) = ⎜1 − ⎟ = -293 776 J/kg n −1 1,181 − 1 ⎝ 306 ⎠ p1v1
q1,3 = cn * ( T3 – T1)= -895 * ( 485 – 306 ) = - 160 205 J/kg
3.4.
Plinska smjesa masenog sastava N 2:O2:CO2=3:4:1 temperature 30ºC i tlaka 1.2 bar zapo činje kružni proces politropskom kompresijom (n=1.5) do stanja 2. Iz stanja 2 smjesa se adijabatski ekspandira do temperature 40 ºC, odakle se izobarno hladi do stanja 4 (v 4=1.169 m3/kg). Iz ovog stanja smjesa se izotermno komprimira u početno stanje. a. Skicirati proces u pV dijagramu b. Odrediti veličine p,v,T u karakteristi čnim točkama procesa c. Odrediti termodinamički stupanj djelovanja
Stanje 1 2 3 4
p bar 1.2 38.46 0.6869 0.6869
v m3/kg 0.669 0.0663 1.208 1.169
T K 303 962 313 303
g N 2 = 3 / 8 , g O2 = 4 / 8 , g CO2 = 1 / 8 Rs = g N 2 RN 2 + g O2 RO2 + g CO2 RCO2 = v1 =
RT 1 P1
p 4 =
RT 4 v4
=
3 8314 4 8314 1 8314 + * + * = 265 J/kgK * 8 28 8 32 8 44
265 * 303 = 0.669 m3/kg 5 1.2 *10
=
265 * 303 = 0.6869 *10 5 Pa 1.169
p3 = p4 = 0.6869*105 Pa v3 =
RT 3 P3
=
265 * 313 3 1 . 208 = m /kg 0.6869 *10 5
Za stanje 2 ne znamo nikakv parametar. Me đutim, točka 2 povezana je s to čkom 1 politropom, a s točkom 3 adijabatom. Zbog toga: n −1
⎛ v ⎞ = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ T 2 ⎝ v1 ⎠ T 1
⎛ v ⎞ = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ T 2 ⎝ v3 ⎠ T 3
303 ⎛ v2 ⎞ → =⎜ ⎟ T 2 ⎝ 0.669 ⎠
κ −1
313 ⎛ v 2 ⎞ → =⎜ ⎟ T 2 ⎝ 1.208 ⎠
1.5 −1
κ −1
c p
κ =
cv
c p = g N 2 c p =
* c p , N 2 + g O2 * c p ,O2 + g CO2 * c p ,CO2
3 29.115 4 29.274 1 35.86 + * + * = 0.949 kJ/kgK * 8 28 8 32 8 44
cv = c p – R s = 0.949 – 0.265 = 0.684 kJ/kgK 0.949 = 1.387 0.684
κ =
T 2 =
T 2 =
303 ⎛ v2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 0.669 ⎠
0.5
313 ⎛ v2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 1.208 ⎠
303 ⎛ v2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 0.669 ⎠
0.5
=
0.387
313 ⎛ v2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 1.208 ⎠
⎛ v ⎞ 1.033* ⎜ 2 ⎟ ⎝ 0.669 ⎠ v2 v2 v2
0.5
0.387
0.5
0.387
⎛ v ⎞ =⎜ 2 ⎟ ⎝ 1.208 ⎠
0.669.0.5 = 1.033 ⋅ 1.2080.387
0.5− 0.387
= 0.736 3
v 2 = 0.0663 m
/kg
0.387
T 2 =
p 2 =
c)
303 = 962 K 0.5 0 . 0663 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 0.669 ⎠ RT 2 v2
q1, 2 = cv
=
265 * 962 = 38.46 *10 5 Pa 0.0663
n − κ n −1
* (T 2 − T 1 ) = 0.684 1.5 − 1.387 * (962 − 303) = 101.87 kJ/kg
p1 ⋅ v1 ⎡
1.5 − 1
T 2 ⎤
1.2 ⋅ 10 5 ⋅ 0.669 ⎡ 962 ⎤ w12 = ⎢1 − ⎥ = ⎢⎣1 − 303 ⎥⎦ = −349.2 kJ/kg 1 .5 − 1 n − 1 ⎣ T 1 ⎦ q 2 ,3 = 0 w23 = cv (T 2 − T 3 ) = 0.684 ⋅ (962 − 313) = 443.92 kJ/kg q3, 4 = c p
* (T 4 − T 3 ) = 0.949 * (303 − 313) = −9.49 kJ
w34 = p3 ⋅ (v4 − v3 ) = 68690 ⋅ (1.169 − 1.208) = −2.68 kJ/kg q 4,1 = P1v1 ln
p 4 p1
= 1.2 *10 5 * 0.669 ln
0.6869 = −44.79 *10 3 J/kg = -44.79 kJ/kg 1.2
w41 = q 41 = −44.79 kJ/kg q = q12 + q 23 + q34 + q 41 = 101.87 + 0 − 9.49 − 44.79 = 47.59 kJ/kg w = w12 + w23 + w34 + w41 = −349.2 + 443.92 − 2.68 − 44.79 = 47.25 kJ/kg
η =
w q dov.
=
47.25 = 0.464 → 46.4% 101.87
3.5.
Teoretski Otto-proces odvija se izme đu dviju adijabata i dviju izohora. Kakve su veli čine stanja zraka u karakterističnim točkama procesa, ako je zadano po četno stanje zraka: p 1= 0,9 bar, ϑ 1 = 60 ºC, kompresioni omjer ε = V 1 / V 2 = 8 i dovedena toplina Q 23 = 600 kJ/kg? Odredite radove i izmijenjene topline u pojedinim fazama procesa! Skica u p-V dijagramu! Adijabatska kompresija 1-2: κ
⎛ V ⎞ 1,4 p 2 = p1 ⎜⎜ 1 ⎟⎟ = 0,9 * 8 = 16,54 bar ⎝ V 2 ⎠ ⎛ V ⎞ T 2 = T 1 ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎝ V 2 ⎠
κ −1
= 333 * 80.4 = 765 K (492 ºC)
w12 = cv (T1 – T2) = 0,718 * (333-765) = -310,11 [kJ/kg] q12 = 0 Izohora 2-3 T 3 = T 2 +
p3 = p 2
q 23 cv
T 3 T 2
= 765 + 600/0,718 = 1600,9 K (1327,9 ºC)
= 16,54 *
w23 = 0
1600,9 = 34,61 bar, 765
q23 = 600 [kJ]
Adijabatska ekspanzija 3-4: ⎛ V ⎞ T 4 = T 3 ⎜⎜ 3 ⎟⎟ ⎝ V 4 ⎠
κ −1
κ
⎛ V ⎞ = T 3 ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ V 1 ⎠
κ −1
κ
⎛ 1 ⎞ = 1600,9⎜ ⎟ ⎝ 8 ⎠
⎛ V ⎞ ⎛ V ⎞ ⎛ 1 ⎞ p 4 = p3 ⎜⎜ 3 ⎟⎟ = p3 ⎜⎜ 2 ⎟⎟ = 34,61⎜ ⎟ ⎝ 8 ⎠ ⎝ V 4 ⎠ ⎝ V 1 ⎠
0,4
= 696,8 K (423,8 ºC)
0, 4
= 1,883 bar
w34 = cv (T3 – T4) = 0,718 * (1600,9 – 696,8 ) = 648,95 [kJ/kg] q34 = 0 Izohora 4-1: w41 = 0 q41 = cv (T1 – T4) = 0,718 * (333 – 696,8) = -261,17 [kJ/kg]
Koristan rad procesa: w = w12 + w23 + w34 + w41 = -310,11 + 648,95 = 338,84 [kJ/kg] Ili
q = q12 + q23 + q34 + q41 = 600 – 261,17 = 338,83 [kJ/kg]
3.6.
Treba izračunati veličine stanja uzduha u karakteristi čnim točkama teoretskog Dieselovog procesa, ako su poznate ove veli čine: p1= 1 bar, ϑ 1 = 60 ºC, p2= 35 bar, Q23= 550 [kJ/kg]. Kolike su izmijenjene topline i radovi za pojedine promjene stanja, te koliki je koristan rad za 1 kg radnog medija? Skica u p-V dijagramu! Adijabatska kompresija 1-2: ⎛ p ⎞ T 2 = T 1 ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ p1 ⎠
κ −1 κ
1, 4 −1 ⎞ 1, 4
⎛ 35 = 333 * ⎜ ⎟ ⎝ 1 ⎠
= 919,6 K (646,6 ºC)
w12 = cv (T1 – T2) = 0,718 * (333-919,6) = -421,1 [kJ/kg] q12 = 0 Izobarno dovođenje topline 2-3: T 3 = T 2 +
Q c p
= 919,6 + 550/1,005 = 1466,9 K (1193,9 ºC)
p3 = p 2 = 35 bar,
w23 = R (T3 – T2) = 0,287 * (1466,9 – 919,6) = 157,2 [kJ/kg] q23 = 550 [kJ/kg]
Adijabatska ekspanzija 3-4: 1
⎛ p ⎞ v T v v v v 1466,9 = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ = 12,674 ; 3 = 3 = = 1,595 ; 1 = 4 = 1 * 2 = 7,945 919,6 v 2 T 2 v3 v3 v 2 v3 v2 ⎝ p1 ⎠ v1
κ
⎛ v ⎞ T 4 = T 3 ⎜⎜ 3 ⎟⎟ ⎝ v 4 ⎠
κ −1
κ
⎛ 1 ⎞ = 1466,9⎜ ⎟ ⎝ 7,945 ⎠
⎛ v ⎞ ⎛ 1 ⎞ p 4 = p 3 ⎜⎜ 3 ⎟⎟ = 35 * ⎜ ⎟ ⎝ 7,945 ⎠ ⎝ v 4 ⎠
1, 4 −1
= 640,2 K (367,2 ºC)
1, 4
= 1,923 bar
w34 = cv (T3 – T4) = 0,718 * (1466,9 – 640,2 ) = 593,4 [kJ/kg] q34 = 0 Izohora 4-1: w41 = 0 q41 = cv (T1 – T4) = 0,718 * (333 – 640,2) = -220,5 [kJ/kg] Koristan rad procesa: w = w12 + w23 + w34 + w41 = -421,1 + 157,2 + 593,4 = 329,5 [kJ/kg] Ili
q = q12 + q23 + q34 + q41 = 550 – 220,5 = 329,5 [kJ/kg]
