www.vaxasoftware.com Pruebe Calculador de deformación de Vigas en Vigas en vaxasoftwa vaxasoftware.com re.com
Si Simbolo E·I y
x L M P w R V
Magnitud Rigidez a flexión Deflexión, deformación, flecha Pendiente, giro Posición del punto de estudio (distancia desde el origen) ongitud de la viga (sin vano lateral) !omento flector, flector, momento aplicado "arga puntual, carga concentrada "arga distribuida Reacción #sfuerzo cortante, cortante
Unidades
N·m2, Pa·m4 m m m N·m N N/m N N
Viga simple apoyada - Carga uniforme en todo el vano
Deflexión yAB yMAX
w0 x
( L3 2 Lx 2 x 3 )
24 EI 5w0 L4
para x
L
2 384 EI w0 3 ( L " Lx 2 4 x 3 ) Penien!e AB 24 EI w0 L3 A B 24 EI w x M#men!# M AB 0 ( L x ) 2 L w0 L2 para x M MAX 2 8 w $#r!an!e V AB 0 ( L 2 x ) 2 w L %ea&&i#ne' RA RB 0 2
Viga simple apoyada - Carga uniforme en la mitad del vano
Deflexión
y A$
w0 x
( L3 24 Lx 2 " x 3 )
384 EI w0 L y$B (8 x 3 24 Lx 2 * L2 x L3 ) 384 EI w0 ( L3 *2 Lx 2 "4 x 3 ) Penien!e A$ 384 EI w0 L $B (24 x 2 48 Lx * L2 ) 384 EI * wL3 3wL3 A B 28 EI 384 EI w w 2 2 M#men!# M A$ 0 (3 Lx 4 x ) M $B 0 ( L Lx ) 8 8 w w0 L V A$ 0 (3 L 8 x) V $B $#r!an!e 8 8 V A RA V B RB 3w0 L w L RB 0 %ea&&i#ne' RA 8 8
Viga simple apoyada - Carga uniforme parcial en un lado
Deflexión+ yA$ y$B
w0 x 24 LEI w0 a 2
(a 4 4a 3 L 4a 2 L2 2a 2 x 2 4aLx 2 Lx 3 ) ( a 2 L 4 L2 x a 2 x " Lx 2 2 x 3 )
24 LEI Penien!e+ w0 A$ (a 4 4a 3 L 4a 2 L2 "a 2 x 2 2aLx 2 4 Lx 3 ) 24 LEI w0 a 2 $B (4 L2 a 2 2 Lx " x 2 ) 24 LEI M#men!#+ w0 2 w0 a 2 2 M A$ (a x 2aLx Lx ) M $B ( L x ) 2 L 2 L $#r!an!e+ w0 2 w0 a 2 V A$ ( a 2aL 2 Lx ) V $B V $ V B 2 L 2 L 2 wa wa %ea&&i#ne' RA 0 ( 2 L a ) RB 0 2 L 2 L
Viga simple apoyada - Carga uniforme parcial
Deflexión yA$ yDB
RA x 3
x
" EI RB ( L x )3
Penien!e+ A$ DB
" EI RA x 2
" EI ( L x )
2 EI RB ( L x ) 2 2 EI
w0 24 EI
( x a) 4 x
L
M A$ RA x
M#men!#
y$D
RA x 3
$D
RA x 2
2 EI
w0 " EI
( x a )3
L
M $D RA x
w0 2
( x a) 2
M DB RB ( L x ) $#r!an!e
V A$ V A V $ RA
V $D RA w0 ( x a )
V DB V D V B RB %ea&&i#ne' RA
w0b 2 L
( 2c b )
RB
w0b 2 L
( 2a b )
ien#+
w0b3 L " EI 3 RBc 2 L 3 RA L( a b) 2 " LEI 4w0 ab3 3w0b 4 8 RA ( a b)3 2 RBc 2 L 8 RBc 3 24 EI
Viga simple apoyada - Cargas uniformes parciales distintas a cada lado
M#men!#
M A$ RA x
M $D RA x
wa 2
$#r!an!e+ V A$ RA w x
w x 2
( 2 x a)
2 M DB RB ( L x )
V $D RA wa
w2 ( L x ) 2
V DB RB w2 ( L x )
%ea&&i#ne'+ RA
wa(2 L a) w2c 2 2 L
RB
2
w2c (2 L c ) wa 2 2 L
Viga simple apoyada - Carga uniformemente creciente en todo el vano
Deflexión
y AB
w0 x 3"0 LEI
(* L4 0 L2 x 2 3x 4 )
y MAX 0,00"52 Penien!e
AB A
w0
3"0 LEI * w0 L3
w0 L4 EI
para x 0,53.
(* L4 30 L2 x 2 5 x 4 ) w0 L3
B 3"0 EI 45 EI w 2 3 M#men!# M AB 0 ( L x x ) " L w V AB 0 ( L2 3x 2 ) $#r!an!e " L w L 2w0 L RB %ea&&i#ne' RA 0 " " Viga simple apoyada - Carga uniformemente creciente hacia el centro
Deflexión y A$ y $B
w0 x
(5 L2 4 x 2 ) 2
"0 LEI w0 ( L x )
(5 L2 4( L x) 2 ) 2
"0 LEI L w0 L4 para x y MAX 2 20 EI w0 (5 L2 4 x 2 )( L2 4 x 2 ) Penien!e A$ 2 LEI w0 $B (5 L2 4( L x ) 2 )( L2 4( L x) 2 ) 2 LEI 5w0 L3 A B 2 EI w 2 3 M#men!# M A$ 0 (3 L x 4 x ) 2 L w ( L x ) M $B 0 (3 L2 4( L x ) 2 ) 2 L w w0 2 2 2 ( L 4( L x ) 2 ) $#r!an!e V A$ 0 ( L 4 x ) V $B 4 L 4 L %ea&&i#ne' RA RB
2 / 4 EI 3 / x w0 L w0 L3 Penien!e AB 3 &#' A B 3 / EI L / EI w0 L2 / x M#men!# M AB 'en /2 L w L / x w L V A V B 0 $#r!an!e V AB 0 &#' / L / w L %ea&&i#ne' RA RB 0 /
Viga simple apoyada - Carga puntual en el centro
Deflexión
Px
y A$ y $B
(3 L2 4 x 2 )
48 EI P ( L x) 48 EI
(3 L2 4( L x) 2 )
PL3
y MAX y $
48 EI
para x
L 2
Penien!e+ A$
P " EI
A B
( L2 4 x 2 )
V A$
P " EI
(4 x 2 8 Lx 3L2 )
PL2 " EI Px
M#men!# M A$ $#r!an!e
$B
M $B
2
V A
%ea&&i#ne' RA RB
P
2 P 2
P ( L x)
V $B V B
2
P 2
Viga simple apoyada - Carga puntual en cualquier punto
Deflexión
y A$ y$B
Pbx
( L2 b 2 x 2 )
" LEI Pa ( L x ) " LEI
L
2
a 2 ( L x) 2
Penien!e+ Pa Pb 2 A$ ( L b 2 3x 2 ) $B L2 a 2 3( L x) 2 " LEI " LEI 2 2 Pa Pb( L b ) B ( L2 a 2 ) A " LEI " LEI Pbx Pa ( L x ) M $B M#men!# M A$ L L Pb Pa V A$ V A V $B V B $#r!an!e L L Pb Pa RB %ea&&i#ne' RA L L
Viga simple apoyada - Dos cargas puntuales iguales situadas simtricamente
Deflexión y A$ y$D y DB
Px " EI Pa
(3aL 3a 2 x 2 ) (3 Lx 3 x 2 a 2 )
" EI P ( L x )
3aL 3a
2
( L x) 2
" EI Pa L y MAX (3 L2 4a 2 ) para x 24 EI 2 P Pa ( aL a 2 x 2 ) $D ( L 2 x ) Penien!e A$ 2 EI 2 EI P DB aL a 2 ( L x ) 2 2 EI P (aL a 2 ) A B 2 EI M $D Pa M DB P ( L x) M#men!# M A$ Px
$#r!an!e
V A$ P
V $D 0
V DB P
%ea&&i#ne' RA RB P Viga simple apoyada - Dos cargas puntuales iguales situadas asimtricamente
M#men!#
M A$ RA x
M $D RA x P ( x a)
M DB RB ( L x) $#r!an!e
V A$ RA
%ea&&i#ne' RA
V $D RA P
P ( L a b) L
RB
V DB RB
P ( L b a ) L
Viga simple apoyada - Dos cargas puntuales desiguales situadas asimtricamente
M#men!#
M A$ RA x
M $D RA x P ( x a )
M DB RB ( L x) $#r!an!e
V A$ RA
%ea&&i#ne'
RA
V $D RA P
P ( L a) P 2b L
RB
V DB RB P 2 ( L b) P a L
Viga simple apoyada - Momento antihorario en el lado derecho
Deflexión
M 0 x
y AB
( L2 x 2 )
" LEI M 0 2 ( L 3x 2 ) Penien!e AB " LEI M L M 0 L A B 0 " EI 3 EI M x M#men!# M AB 0 L M V AB 0 $#r!an!e L M M 0 RB %ea&&i#ne' RA 0 L L Viga simple apoyada - Momento antihorario en el lado i!quierdo
Deflexión
y AB
M 0 x " LEI
y MAX Penien!e
AB A
M 0 L2 3 EI M 0
" LEI M 0 L 3 EI M 0
M#men!# M AB $#r!an!e
V AB
%ea&&i#ne' RA
( 2 L2 3 Lx x 2 )
L M 0
L M 0 L
3 3 L 3
para x
( 2 L2 " Lx 3x 2 ) B
M 0 L " EI
( L x )
RB
M 0 L
Viga simple apoyada - Momento horario en el e"tremo i!quierdo
Deflexión
M 0 x
y AB
" LEI
y MAX Penien!e
AB A
M#men!# M AB $#r!an!e
V AB
(2 L2 3 Lx x 2 )
M 0 L2 3 EI
M 0
" LEI M 0 L
3 3 L 3
para x
(2 L2 " Lx 3 x 2 ) B
3 EI M 0 ( L x) L
" EI
M 0
%ea&&i#ne' RA
M 0 L
L
M 0 L
RB
M 0 L
Viga simple apoyada - Momento antihorario en el centro
Deflexión
y A$ y$B
M 0 x
( L2 4 x 2 )
24 LEI M 0 ( L x)
( L2 4( L x ) 2 )
24 LEI M 0 2 ( L 2 x 2 ) Penien!e A$ 24 LEI M 0 $B (2( L x) 2 L2 ) 24 LEI M 0 M 0 2 A ( L 3b 2 ) B ( L2 3a 2 ) " LEI " LEI M x M 0 M $B ( L x) M#men!# M A$ 0 L L M M $#r!an!e V A$ 0 V $B 0 L L M M 0 %ea&&i#ne' RA 0 RB L L
Viga simple apoyada - Momento antihorario en cualquier punto
Deflexión
y A$ y $B
M 0 x
( L2 3b 2 x 2 )
" LEI M 0 ( L x )
( L2 3a 2 ( L x) 2 )
" LEI M 0 2 ( L 3b 2 3 x 2 ) Penien!e A$ " LEI M 0 $B ( L2 3a 2 3( L x ) 2 ) " LEI M 0 M 0 2 A ( L 3b 2 ) B ( L2 3a 2 ) " LEI " LEI M x M 0 M $B ( L x) M#men!# M A$ 0 L L M M V A$ 0 V $B 0 $#r!an!e L L M M 0 RB %ea&&i#ne' RA 0 L L
Viga simple apoyada - Dos momentos distintos antihorario # horario en l os e"tremos
Deflexión
y AB
x ( L x ) " LEI
( M M 2 ) x (2 M M 2 ) L
Penien!e+ AB ( M M 2 )(3 x 2 2 Lx ) (2 M M 2 )(2 Lx L2 ) " LEI M#men!# M AB ( M M 2 ) x LM L M M 2 V AB $#r!an!e L M M 2 M M RB 2 %ea&&i#ne' RA L L
Viga simple apoyada - Dos momentos distintos antihorario en los e"tremos
Deflexión
y AB
x ( L x) " LEI
( M M 2 ) x ( 2 M M 2 ) L
Penien!e+ AB ( M M 2 )(3 x 2 2 Lx ) (2 M M 2 )(2 Lx L2 ) " LEI M#men!# M AB ( M M 2 ) x LM L M M 2 V AB $#r!an!e L M M 2 M M 2 RB %ea&&i#ne' RA L L
Viga simple apoyada - Dos momentos iguales horario # antihorario en los e"tremos
M 0 x
Deflexión
y AB
( L x) 2 EI L M 0 L2 para x y MAX 2 8 EI M 0 M 0 L ( L 2 x ) A B Penien!e AB 2 EI 2 EI M#men!# M AB M 0 $#r!an!e
V AB 0
%ea&&i#ne'
RA
R B 0
Viga en voladi!o - Carga uniforme en todo el vano
Deflexión
w0
y AB
( x 4 4 Lx 3 " L2 x 2 )
24 EI
w0 L4
y MAX y B
w0
w0 L3
$#r!an!e
( x 3 Lx 3 L x ) B " EI " EI w0 w0 L2 2 M AB ( L x ) M MAX M A 2 2 V AB w0 ( L x )
%ea&&i#ne'
RA
Penien!e M#men!#
AB
para x = L
8 EI 3
2
2
w0 L
Viga en voladi!o - Carga uniforme parcial en el lado empotrado
Deflexión
w0
y A$ y$B
24 EI w0 a 3 24 EI
A$
w0 " EI
(4 x a )
w0 a 3
y MAX y B Penien!e
("a 2 x 2 4ax 3 x 4 )
24 EI
(3a 2 x 3ax 2 x 3 )
w0 a 3
$B $ B M#men!#
M A$
w0 2
" EI
w0 a 2
V A$ w0 (a x )
%ea&&i#ne' RA w0 a
M $B M $ M B 0
( a x ) 2
M MAX M A $#r!an!e
(4 L a )
2 V $B V $ V B 0
Viga en voladi!o - Carga uniforme parcial en el lado libre
Deflexión y A$
w0 bx 2
(3 L 3a 2 x) 2 EI w0 4 y $B ( x 4 Lx 3 " L2 x 2 4a 3 x a 4 ) 24 EI w0 bx ( L a x ) Penien!e A$ 2 EI w0 3 $B ( x 3 Lx 2 3 L2 x a 3 ) " EI w0 3 B ( L a 3 ) " EI w0 b w0 M A$ ( L a 2 x) M $B ( L x ) 2 M#men!# 2 2 V A$ V A V $ w0b V $B w0 ( L x ) $#r!an!e RA w0b
%ea&&i#ne'
Viga en voladi!o - Carga uniforme parcial
w0bx 2
Deflexión y A$ y$D
w0 24 EI
y DB
2 EI
("a 3b 2 x)
( x 4 4(a b) x 3 "(a b) 2 x 2 4a 3 x a 4 )
w0
(4 x1(a b) 3 a 3 ( a b) 4 a 4 )
24 EI w0bx
( 2a b x ) 2 EI w0 3 $D ( x 3(a b) x 2 3(a b) 2 x a 3 ) " EI w0 DB ((a b) 3 a 3 ) " EI w0 b ( 2a b 2 x ) M#men!# M A$ 2 w0 M $D ( a b x ) 2 M DB M D M B 0 2 V A$ V A V $ w0b V $D w0 ( a b x) $#r!an!e Penien!e
A$
V DB V D V B 0 %ea&&i#ne' RA w0b
Viga en voladi!o - Carga uniformemente creciente hacia el lado libre en todo el vano
Deflexión
y AB
w0 x 2
( 20 L3 0 L2 x x 3 )
20 LEI w0 L4
y MAX Penien!e
AB B
para x = L 20 EI w0 x (8 L3 " L2 x x 3 ) 24 LEI w0 L3 8 EI w0
M#men!#
M AB
$#r!an!e
V AB
(2 L3 3 L2 x x 3 )
" L w 0 ( L2 x 2 ) 2 L w0 L
%ea&&i#ne' RA
2
Viga en voladi!o - Carga uniformemente creciente hacia el lado empotrado en todo el vano
Deflexión
y AB yMAX
Penien!e
AB B
w0 x 2
(0 L3 0 L2 x 5 Lx 2 x 3 )
20 LEI 4 w0 L para x=L 30 EI w0 x (4 L3 " L2 x 4 Lx 2 x 3 ) 24 LEI w0 L3 24 EI w0
M#men!#
M AB
$#r!an!e
V AB
%ea&&i#ne' RA
" L
w0
( L x) 2
2 L w0 L 2
( L x) 3
Viga en voladi!o - Carga cosenoidalmente decreciente hacia el lado libre en todo el vano
w0 L 3 / x 48 L3 3/ 3 Lx 2 / 3 x 3 48 L &#' 4 3/ EI 2 L 4 2w0 L 3 ( / 24) para x = L 4
Deflexión y AB y MAX Penien!e AB
3/ EI w L / x 3 0 2/ 2 Lx / 2 x 2 8 L2'en / EI 2 L
B
w0 L3
M#men!# M AB $#r!an!e
3
( / 2 8)
/ EI 2 w0 L / x / L / x 2 L &#' / 2 2 L
V AB
%ea&&i#ne' RA
2w0 L / x 'en / 2 L 2 w0 L /
Viga en voladi!o - Carga puntual en el e"tremo libre
Deflexión
y AB
P
(3 Lx 2 x 3 )
" EI
y MAX y B Penien!e
AB
P 2 EI
PL3 3 EI
(2 Lx x 2 )
PL2
MAX B
2 EI P ( L x)
M#men!#
M AB
$#r!an!e
V AB V A V B P
M MAX M A PL
%ea&&i#ne' RA P
Viga en voladi!o - Carga puntual en cualquier punto
Deflexión
y A$
P " EI
(3ax x )
y MAX y B Penien!e
A$
M#men!#
M A$
2
Pa 2 " EI
P
3
y $B
Pa 2 " EI
(3 x a)
(3 L a )
( 2ax x ) 2 EI P (a x ) 2
$B $ B M $B
Pa 2
2 EI M $ M B 0
M MAX M A Pa $#r!an!e
V A$ V A V $ P
%ea&&i#ne' RA P
V $B V $ V B 0
Viga en voladi!o - Momento horario en el e"tremo libre
M 0 x 2
y AB
Deflexión
2 EI M 0 L2
y MAX
2 EI M 0 x
para x = L
Penien!e
AB
M#men!#
M AB
$#r!an!e
V AB V A V B 0
EI M A M B M 0
%ea&&i#ne' RA 0
Viga en voladi!o - Momento horario en cualquier punto
M 0 x 2
y A$
Deflexión
y MAX
2 EI M 0 a 2 EI M 0 x
y $B
M 0 a 2 EI
( 2 L a ) para x = L
Penien!e
A$
$B $ B
M#men!#
M A$
$#r!an!e
V A$ V A V $ 0
EI M A M 0
M $B
V $B V $ V B 0
Viga empotrada - Carga uniforme en todo el vano
Deflexión
y AB
( L x ) 2
M 0 a
EI M B 0
%ea&&i#ne' RA 0
w0 x 2
( 2 x a )
24 EI w0 x 2 ( L 3 Lx 2 x 2 ) Penien!e AB 2 EI w0 2 ( L " Lx " x 2 ) M#men!# M AB 2 w V AB 0 ( L 2 x ) $#r!an!e 2 w L %ea&&i#ne' RA RB 0 2
Viga empotrada - Carga uniforme en la mitad del vano
x 2
Deflexión y A$ y $B
( w0 x 2 4 RA x 2M A )
24 EI 3( M B LRB ) x 2 RB x 3 " EI
L2 (3 M B LRB ) 3( 2 M B LRB ) Lx
$B
" EI
x
Penien!e A$
" EI 2 EI
( w0 x 2 3 RA x " M A )
R x
2
B
2( M B LRB ) x L(2 M B LRB ) w0 x 2
M#men!# M A$ RA x M A $#r!an!e
V A$ RA w0 x
%ea&&i#ne' RA ien# M A
M $B RB ( L x ) M B
2
V $B RB
3w0 L M A M B
8 w0 L2
RB
L
w0 L 8
M A M B L
5w0 L
2
M B
2
2
Viga empotrada - Carga uniforme parcial en un lado
x 2
Deflexión y A$ y $B
( w0 x 2 4 RA x 2M A )
24 EI 3( M B LRB ) x 2 RB x 3 " EI
L2 (3 M B LRB ) 3( 2 M B LRB ) Lx
$B
" EI
x
Penien!e A$
" EI 2 EI
( w0 x 2 3 RA x " M A )
R x B
2
2( M B LRB ) x L(2 M B LRB )
M#men!# M A$ RA x M A $#r!an!e
V A$ RA w0 x
%ea&&i#ne' RA RB
w0 x 2 2
V $B RB
w0 ( L b) a
M A M B
2 L L w0 a 2 M A M B
M $B RB ( L x ) M B
2 L L 2 w0 a ien# M A (" L2 8 La 3a 2 ) 2 2 L w0 a 3 M B (4 L 3a) 2 L2
Viga empotrada - Carga uniforme parcial
Deflexión y A$ y $D y DB
x 2 " EI
(3 M A RA x)
w ( x a)
4
0
4 RA x 3 2 M A x 2
24 EI 3( M B LRB ) x 2 RB x 3 " EI
L2 (3 M B LRB ) 3( 2 M B LRB ) Lx " EI x
Penien!e A$
(2 M A RA x ) 2 EI $D w0 ( x a) 3 3 RA x 2 " M A x " EI DB RB x 2 2( M B LRB ) x L(2 M B LRB ) 2 EI w0 ( x a) 2 M M R x M#men!# M $D RA x M A A$ A A 2 M DB M B RB ( L x)
$#r!an!e
V A$ RA
%ea&&i#ne' RA RB ien# M A M B
V $D RA w0 ( x a )
V DB RB
w0 (2c b)b 2 M A 2 M B 2 L w0 (2a b)b 2 M A 2 M B
w0 b 2
24 L w0 b 2
24 L
2 L
b
b
2
2
(2 L "c 3b) ("a 3b)(2c b) 2
(2 L "a 3b) ("c 3b)(2a b) 2
Viga empotrada - Carga puntual en el centro
P ( L x) 2
(3 L 4 x ) y $B ( 4 x L ) 48 EI 48 EI Px P 2 ( L 2 x) $B ( L 3 Lx 2 x 2 ) Penien!e A$ 8 EI 8 EI P P ( L 4 x) M $B (3 L 4 x ) M#men!# M A$ 8 8 P P V $B V A$ $#r!an!e 2 2 P %ea&&i#ne' RA RB 2 Deflexión
y A$
Px 2
Viga empotrada - Carga puntual en cualquier punto
Deflexión y A$
Pb 2 x 2
(3aL 3ax bx) " EIL3 Pa 2 ( L x ) 2 y $B (3bx aL ax) " EIL3 Pb 2 x Penien!e A$ ( 2aL 3ax bx) 2 EIL3 Pa 2 ( L x ) $B x(3b a ) L2 3 2 EIL Pb 2 x M#men!# M A$ (aL 3ax bx) L3 Pa 2 2 M $B 3 ( L bL Lx 2bx ) L Pb 2 Pa 2 $#r!an!e V A$ 3 ( L 2a ) V $B ( L 2b) L L3 Pb 2 Pa 2 %ea&&i#ne' RA 3 ( L 2a ) RB 3 ( L 2b) L L
Viga empotrada - Dos cargas puntuales iguales situadas simtricamente
Deflexión y A$ y $D y DB
Px 2 " EIL Pa 2
(3aL 3a 2 Lx ) (3 Lx 3 x 2 aL)
" EIL P ( L x) 2
(3aL 3a 2 L( L x))
" EIL Px Pa 2 2 (2aL 2a Lx) $D Penien!e A$ ( L 2 x) 2 EIL 2 EIL P ( L x ) DB 2aL 2a 2 L ( L x ) 2 EIL P 2 M#men!# M A$ ( Lx aL a ) L P Pa 2 M DB ( L2 Lx La a 2 ) M $D L L V $D 0 V DB P $#r!an!e V A$ P
%ea&&i#ne' RA RB P
Viga empotrada - Momento antihorario en el centro
Deflexión y A$
M 0 x 2
(2 x L) 8 LEI M 0 y $B (5 Lx 2 2 x 3 4 L2 x L3 ) 8 LEI M 0 x M 0 (3 x L) $B (0 Lx " x 2 4 L2 ) Penien!e A$ 4 LEI 8 LEI M M 0 (5 L " x ) M#men!# M A$ 0 (" x L ) M $B 4 L 4 L 3 M 0 $#r!an!e V AB 2 L 3 M 0 3 M 0 RB %ea&&i#ne' RA 2 L 2 L Viga empotrada - Momento antihorario en cualquier punto
Deflexión+ yA$
M 0bx 2
M 0 a( L x ) 2
( 2aL 2ax bL) y$B ( 2bx aL) 2 L3 EI 2 L3 EI Penien!e+ M a ( L x ) 2 M bx A$ 3 0 ( 2aL 3ax bL) $B 0 3 ( L 3bx) L EI L EI M#men!#+ M a M 0b M A$ ( 2aL "ax bL) M $B 03 ("bx 4bL aL) 3 L L " M 0 ab $#r!an!e V AB 3 L
%ea&&i#ne' RA
" M 0 ab
L3 M 0b ( 2a b ) ien# M A L2
RB
" M 0 ab
L3 M a M B 02 (2b a ) L
Viga empotrada $ apoyada - Carga uniforme en todo el vano
Deflexión
y AB
w0 x 2
(3 L2 5 Lx 2 x 2 )
48 EI w0 x (" L2 5 Lx 8 x 2 ) Penien!e AB 48 EI w0 2 ( L 5 Lx 4 x 2 ) M#men!# M AB 8 w V AB 0 (5 L 8 x) $#r!an!e 8 5w0 L 3w0 L RB %ea&&i#ne' RA 8 8
Viga empotrada $ apoyada - Carga uniforme parcial en el lado empotrado
Deflexión+ 8 RB L ( L x) 3 2w0 L(a x ) 4 w0 a 3 ( L x )( L 3b) y A$ 48 EIL 3 3 8 RB L( L x ) w0 a ( L x )( L 3b) y $B 48 EIL Penien!e+ 24 RB L( L x) 2 8w0 L(a x) 3 w0 a 3 ( L 3b) A$ 48 EIL 24 RB L( L x ) 2 w0 a 3 ( L 3b) $B 48 EIL 2 RB ( L x ) w0 ( a x ) 2 M $B RB ( L x ) M#men!# M A$ 2 V A$ RB w0 ( a x ) V $B RB $#r!an!e %ea&&i#ne' RA ien# M A
w0 ( L b)a 2 M A 2 L
w0 ( L b) a 2
RB
w0 a 2 2 M A 2 L
2
8 L2
Viga empotrada $ apoyada - Carga uniforme parcial en el lado apoyado
Deflexión y A$ y$B
x 2
( RA x 3M A ) " EI 4 RB L ( L x ) 3 w0 L( L x ) 4 24 EIL
w0b 2 ( L x )(bL 3ab "a 2 ) 48 EIL x
Penien!e A$ $B
( RA x 2M A ) 2 EI 3 RB L( L x) 2 w0 L( L x ) 3 w0 b 2 (bL 3ab "a 2 )
" EIL
M#men!# M A$ RA x M A M $B $#r!an!e
V A$ RA
%ea&&i#ne' RA ien# M A
2 L
w0b 2
" L
2
V $B RB w0 ( L x)
w0b 2 2 M A 2
48 EIL 2 RB ( L x ) w0 ( L x ) 2
RB
w0 (2a b)b 2 M A 2 L
(2 L b)( L a) b 2
Viga empotrada $ apoyada - Carga uniforme parcial
Deflexión y A$ y $D
( RA x 3M A ) " EI 4 RB ( L x ) 3 w0 ( L x c ) 4 24 EI
w0b( L x )2b 2 L 3b 2 (2a b) 3(2c b)(2a b) 2 " EIL
y DB
x 2
RB ( L x)
3
" EI
w0b( L x )2b 2 L 3b 2 (2a b) 3(2c b)(2a b) 2 " EIL
Penien!e A$ $D
( RA x 2M A ) 2 EI 3 RB ( L x ) 2 w0 ( L x c) 3 " EI
w0b 2b 2 L 3b 2 ( 2a b) 3(2c b)(2a b) 2
DB
x
" EIL
RB ( L x) 2 EI
2
w0b 2b 2 L 3b 2 ( 2a b) 3(2c b)(2a b) 2
" EIL
M#men!# M A$ RA x M A M $D
2 RB ( L x) w0 ( L x c ) 2
M DB RB ( L x )
2
$#r!an!e V A$ RA V $D w0 ( L x c) RB w b(2c b) 2 M A %ea&&i#ne' RA 0 2 L w (2a b)b 2 M A RB 0 2 L ien# M A
V DB RB
w0 (2c b)(2a b)b(2 L 2c b)(2a b) b 2 2
" L
Viga empotrada $ apoyada - Carga puntual en el centro
Deflexión+ y A$
Px 2
y $B
( L x)
P ( L x )
(3 L2 5( L x) 2 )
" EI " EI Penien!e+ Px P A$ (" L x) $B (4 L2 0 Lx 5 x 2 ) 32 EI 32 EI 5 P P (3 L x ) M $B ( L x ) M#men!# M A$ " " P 5 P V $B $#r!an!e V A$ " " P 5 P RB %ea&&i#ne' RA " "
Viga empotrada $ apoyada - Carga puntual en cualquier punto
Deflexión y A$ y $B
Pbx 2 3
(3 L3 3b 2 L 3 L2 x b 2 x )
2 EIL Pa 2 ( L x ) 3
(3bL2 (2 L b)( L x ) 2 )
2 EIL Pbx ( 2 L3 2b 2 L 3 L2 x b 2 x ) Penien!e A$ 3 4 EIL Pa 2 $B ( 2 L3 4 L2 x 2bLx 2 Lx 2 bx 2 ) 3 4 EIL M#men!#+ Pb 3 2 Pa 2 2 2 M A$ ( L b L 3 L x b x ) M $B ( L x)(2 L b) 2 L3 2 L3 Pb Pa 2 2 2 V A$ (3 L b ) $#r!an!e V $B ( 2 L b) 2 L3 2 L3 Pb Pa 2 2 2 R ( 3 L b ) %ea&&i#ne' RB (2 L b) A 2 L3 2 L3
2 EIL Pa (3( L a)( L x) 3 " L2 ( L x ) 2 ) 2 EIL2
Pa3 L2 ( L a)( L x ) 2 L2 a 2
2 EIL2 P ( L x ) y DB (3aL 3a 2 2 L2 )( L x ) 2 3aL2 ( L a ) 2 2 EIL Penien!e+ Px A$ (3a 2 3aL 2 L2 )(2 L 3 x ) 4 L(3a 2 3aL L2 ) 2 2 EIL Pa $D 3( L a)( L x) 2 4 L2 ( L x ) L2 ( L a) 2 4 EIL P DB (3aL 3a 2 2 L2 )( L x ) 2 aL2 ( L a ) 2 4 EIL P 3a 2 L 3aL2 x (2 L2 3aL 3a 2 ) M#men!# M A$ 2 2 L Pa M $D 3( L a)( L x) 2 L2 2 2 L P ( L x ) M DB (3aL 3a 2 2 L2 ) 2 2 L P 3 Pa ( L a ) V A$ 2 ( 2 L2 3aL 3a 2 ) V $D $#r!an!e 2 L 2 L2 P V DB 2 (3aL 3a 2 2 L2 ) 2 L P (2 L2 3aL 3a 2 ) %ea&&i#ne' RA 2 2 L P RB (3a 2 2 L2 3aL) 2 2 L
Viga empotrada $ apoyada - Momento horario en cualquier punto
Deflexión+ y A$ y$B
M 0 x 2
2b L ( L x)( L 2
3
4 EIL M 0 a( L x) 3
2
4 L
3
b 2 )
(( L x ) 2 3 L2 )( L b)
4 EIL M 0 x 2 4b L ( 2 L 3 x)( L2 b 2 ) Penien!e A$ 3 4 EIL M 0 a 3 $B 4 L 3( L b)( x 2 2 Lx ) 3 4 EIL M 0 2b 2 L ( L 3 x )( L2 b 2 ) M#men!# M A$ 3 2 L 3 M 0 a M $B ( L b)( L x) 2 L3 3 M 0 a V AB ( L b) $#r!an!e 2 L3 3 M 0 a 3 M 0 a ( L b ) R ( L b) %ea&&i#ne' RA B 2 L3 2 L3
Viga empotrada $ apoyada - Momento horario en el lado apoyado
M 0 x 2 ( L x )
Deflexión
y AB
Penien!e
AB
M#men!#
M AB
$#r!an!e
V AB
%ea&&i#ne' RA
4 EIL M 0 x (2 L 3 x ) 4 EIL M 0 ( L 3 x )
2 L 3 M 0
2 L 3 M 0 2 L
RB
3 M 0 2 L
Viga con vano lateral - Carga uniforme en todo el vano
Deflexión
w0 x
y AB
( L4 2 L2 x 2 Lx 3 2a 2 L2 2a 2 x 2 )
24 LEI w0 x 2 3 y B$ (4a 2 L L3 "a 2 x 4ax x ) 24 EI w0 ( L4 " L2 x 2 4 Lx 3 2a 2 L2 "a 2 x 2 ) Penien!e AB 24 LEI w0 2 3 B$ ( 4a 2 L L3 2a 2 x 2ax 4 x ) 24 EI w x 2 w0 2 ( a x ) 2 M#men!# M AB 0 ( L Lx a ) M B$ 2 L 2 w 2 2 $#r!an!e V AB 0 ( L 2 Lx a ) V B$ w0 ( a x ) 2 L w w 2 2 2 %ea&&i#ne' RA 0 ( L a ) RB 0 ( L a) 2 L 2 L ien# x x L
Viga con vano lateral - Carga uniforme sobre el saliente
Deflexión y AB
w0 a 2 x
( L2 x 2 )
2 LEI w0 x 2 3 y B$ (4a 2 L "a 2 x 4ax x ) 24 EI w0 a 2 Penien!e AB ( L2 3x 2 ) 2 LEI w0 2 2 3 B$ ( a L 3a 2 x 3ax x ) " EI w0 w0 a 2 x M B$ (a x ) 2 M#men!# M AB 2 2 L $#r!an!e
V AB
w0 a 2
%ea&&i#ne' RA ien# x x L
2 L w0 a 2 2 L
V B$ w0 (a x ) RB
w0 (2 L a) a 2 L
Viga con vano lateral - Carga puntual en el e"tremo saliente
Pax
Deflexión y AB
" LEI Pa
Penien!e AB
Px
( L2 x 2 ) y B$ ( L2 3 x 2 ) B$
" LEI Pax
" EI P " EI
( 2aL 3ax x )
( 2aL "ax 3x )
M#men!#
M AB
M B$ P (a x )
$#r!an!e
V AB
V B$ P
%ea&&i#ne' RA
L Pa
L Pa
RB
L
P ( L a) L
ien# x x L Viga con vano lateral - Carga puntual entre los apoyos
Deflexión y A$ y $B
Pbx
( L2 b 2 x 2 )
" LEI Pa( L x )
( 2 Lx a 2 x 2 )
" LEI Pabx y BD ( L a ) " LEI Pb 2 ( L b 2 3 x 2 ) Penien!e A$ " LEI Pab( L a) Pa $B ( 2 L2 " Lx a 2 3x 2 ) BD " LEI " LEI Pa Pbx M $B ( L x) M BD 0 M#men!# M A$ L L Pa Pb V $B V BD 0 V A$ $#r!an!e L L Pb Pa RB %ea&&i#ne' RA L L ien# x x L
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