COLECCION TEXTOS Maqueta RAG
VICENTE
RODRÍGUEZ
LOZANO
INTRODUCCION A LA LOGICA SIMBOLICA (LOGICA DE ENUNCIADOS)
© Vicente Rodriguez Lozano © Ediciones Akal, S. A.
Los Berrocales del Jarama Apartado 400 - Torrejón ~e Ardoz MADRID - ESPANA ISBN: 84-7600-048-0 Depósito legal: M. 32.734-1985 Impreso en GREFOL, S. A., PoI. II - La Fuensanta Móstoles (Madrid) Printed in Spain
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tU AKAL
Introducción
Es una vieja aspiración del hombre la de poder razonar y argumentar .rror y con corrección. Es vieja la aspiración de poseer un mecanis11111 tal que nos permita comprender lo que se nos dice, averiguar si lo Ijll' se nos dice es correcto y, sobre todo, averiguar si el cómo se nos 1IIIIIsmite algo sigue reglas que permitan confiar en, al menos, la 1111 ircncia interna de lo que se nos comunica. lisa misma aspiración persigue también que podamos expresamos 11111 esa corrección y coherencia a la que antes aludíamos. Ii:.;tavieja aspiración tiene una tradición de veinticinco siglos. No es 1111 1 ra intención hacer ahora una historia de la lógica. Se han escrito 111111'hu , y todas, con mayor o menor profundidad, pero, eso sí, con 1 '111' nos llevan de la mano a través del tiempo, para ofrecemos el 11 di ijo de aquellos hombres que han perseguido lograr un marco , IfI'I'Oy fiable mediante el cual podamos expresamos coherentemente, .111' 'tal' las incorrecciones argumentativas de lo que se nos transmite '. l' 1 r lativismo epistemológico, ético y político de los Sofistas, en el 1 dll V ti. de c., ya fue, indirectamente, una defensa de la Lógica. La Id Id. para estos grandes maestros del saber, consistía en el argumento 111 1111'1'1, entendiendo por fortaleza argumentativa la coherencia de lo 1"1' lo y la persuasión alcanzada. Comienza, pues, a bosquejarse, 11111 d 1111 .nte, una lógica que, como carga más el acento en la persuasión llIi 111 la coherencia, termina siendo retórica. I 1 partir de Aristóteles, primero, y de los estóicos, después, cuando 1, I 111" '11 nsigue carta de ciudadanía en el saber filosófico, mantenién1 I I 11111 la misma estructura que elabora el Estagirita durante toda la I oIl,d M xlia. L'I expresión «Lógica aristotélico-tornista» es bastante 1111 IliVlI él stc r pccto. 111
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Pero la Lógica matemática o Lógica simbólica (emplearemos ambas expresiones indistintamente) comienza a perfilarse con Leibniz en el siglo XVIII. A Leibniz le corresponde el mérito de haber aislado el verdadero armazón del «cálculo» y de haber aprovechado por primera vez la oportunidad de reducir las reglas de la deducción lógica a meras . reglas de cálculo, es decir, a reglas cuya aplicación puede prescindir del contenido semántico de las expresiones. «Llamo hilo del raciocinio a cierto método fácil y seguro, siguiendo el cual, sin fatiga de la mente, sin confines y sin motivo de error, proceder con no menos seguridad que quienes disponen de un hilo de Ariadna en un laberinto ... » «Cuando surjan controversias, no tendremos más necesidad de discutir, entre filósofos, que la que hay entre dos calculadores. En efecto, bastará tomar la pluma en la mano, sentarse en la mesa y decirse el uno al otro: calculemos.» (Leibniz.) La Lógica moderna comienza con hombres como Frege, Peano, Hilbert, Russell, Wittgenstein, Carnap, Quine, etc., y con los lógicos polacos. Se trata ya de la confección de un verdadero cálculo que nos permita, al igual que la matemática deduce teoremas de axiomas determinados, básicos, la obtención de conclusiones formalmente válidas, a partir de premisas dadas y mediante el cálculo inferencia!. Para ello ha sido preciso simbolizar. el lenguaje y relegar a un segundo plano el contenido semántico del mismo. Sirvan estas líneas introductorias como reconocimiento fugaz, pero no por eso menos sincero, a los hombres que hicieron posible que la Lógica tenga una historia. Ya dijimos en líneas anteriores que la misión de este trabajo no es elaborar una historia de la lógica sino la de introducir al profano en la Lógica matemática o simbólica. Vamos a intentar hacerloordenada y programadamente. El escalonamiento de la exposición puede, a veces, parecernos excesivo. En cualquier caso ahí están los peldaños para descansar. Lo que sí se aconseja es no subirlos de dos en dos. La escalera de la Lógica es muy traicionera con los impacientes, pero generosa y agradecida con los que saben subir por ella: Desarrollará nuestra capacidad de razonamiento y argumentación. Favorecerá nuestra comprensión matemática posterior. Desarrollará también nuestra capacidad de análisis de lo que se nos dice u ofrece como verdadero y fiable. Podremos detectar, en la jerarquía de niveles de cualquier exposición, la coherencia interna de la misma o su incoherencia argumentativa. Por tratarse la Lógica de un lenguaje perfecto, se convierte en paradigma y modelo de todo lenguaje. Si logramos dominarlo, no sólo salvaremos, con paso firme y seguro, esa infinidad de e collos que nos ofrece el lenguaje ordinario, sino que se n S él rirán pu rtas nueva, hasta ahora impenetrables, de otras ramas d I snb 1".
En el momento de entregar este libro a la editorial, me he acordado Ninguna de las tres podrá leerlo, la salud les jugó una mula pasada. De don Leopoldo Eulogio Palacios, catedrático de Lógica de la 1Jniversidad Complutense, de quien fui alumno y colaborador cuando I .rrniné mi carrera, quien, a fuerza de criticar la Lógica simbólica, logró que me interesara por ella vivamente. De Alfredo Deaño, profesor de la Universidad Autónoma de Madrid, amigo, compañero de Facultad y de Colegio Mayor. En más de una ocasión nos sorprendió el alba discutiendo en una habitación del «Mcnéndez y Pelayo», el «neurocolegio», como lo llamaba Alfredo. Su ¡I/( roduccion a la lógica formal es una obra importante e imprescindible. De Antonio Belda Cuesta, catedrático de Filosofía de Institutos de lluchillerato, compañero de promoción y mi mejor amigo. Siempre me inimó a escribir este libro y, al final, le hice caso. Si algo lamento es que 110 pueda comprobar que cumplí mi promesa. A los tres, ya que no puedo hacer otra cosa, vaya mi mejor recuerdo. ti ' tres personas.
anta Cruz de Tenerife, marzo de 1985. VICENTE RODRÍGUEZ LOZANO
La Parte De los enunciados.
1,
LÓGICA DE ENUNCIADOS
«Ya dijimos en líneas anteriores que la misión de este trabajo no es de la Lógica, sino la de introducir al profano en 111 Lógica simbólica. Vamos a intentar hacerlo ordenada y programadamente. El escalonamiento de la exposición puede, a veces, parecemos excesivo. En cualquier caso ahí están los peldaños para descansar. Lo que sí se aconseja es no subirlos de dos en dos. La escalera de la Lógica I'S muy traicionera con los impacientes, pero generosa y agradecida con los que saben subir por ella.» He aquí una sucesión de enunciados. Todo esto puede simbolizarse. I lna vez que sepamos simbolizar los enunciados comenzaremos con el ostudio del cálculo de enunciados. El cálculo de enunciados es el pilar, la base de un cálculo más romplejo. Si logramos subir pausadamente la escalera de la Lógica, dominaremos el cálculo lógico. Lo primero que tenemos que saber, pues, es ¿qué es un enunciado? -luborar una historia
¿QUÉ ES UN ENUNCIADO?
a) b)
c) d) ~
El actual presidente de los Estados Unidos es marciano. Newton descubrió la ley de la gravitación universal. ¿Lloverá mañana? ¡Eso es lo que pasa! La duquesa replicó: ¡Eso es lo que pasa!
Las expresiones a), b) y e) son enunciados. Las expresiones c) y d) no lo son.
11
1. 2. 3.
Veamos por qué: para ~
-
-
-
-
-
ello será necesario saber qué entendemos por enunciado. Vamos a llamar enunciado a toda aquella proposición de la cual podamos decir que es verdadera o que es falsa. Así, la proposición a) es considerada como enunciado, pues podemos afirmar, sin lugar a dudas (aunque a veces nos cueste admitirlo), que es falso que «el actual presidente de los Estados Unidos es marciano». De igual modo, de la proposición b) diríamos también que es un enunciado, pues podemos decir que es verdadero que «Newton descubrió la ley de la gravitación universal» (aunque la anécdota de la manzana nos haya acomplejado en más de una ocasión). Sin embargo, la expresión c) no es un enunciado. Sobre «¿Lloverá mañana?» no podemos pronunciarnos. No podemos decir de esa expresión que sea verdadera ni tampoco que sea falsa. Otra cuestión sería si se dijera «Mañana lloverá». En este caso habría solamente que esperar y entonces sí podríamos comprobar la verdad o falsedad de tal aserto. Tal ocurre con la expresión d). Pertenece al lenguaje expresivo y, por tanto, no es ni verdadera ni falsa: ¡Ay, Señorl, [Madre mía!, etc., son expresiones de este tipo. Tampoco son enunciados. Otra cosa bien distinta es lo que ocurre con la expresión e): «La duquesa replico: ¡Eso es lo que pasa!». De esta frase sí podemos decir que sea verdadera o falsa. Si la duquesa replicó tal cosa será verdadera, si, por el contrario, permaneció muda o replicó cualquier otro improperio, diremos que es falsa. (En este caso sería Alicia, en su viaje por el País de la Maravillas quien mejor lo podría saber.)
Entendemos, pues, por enunciado, toda proposición se pueda decir que sea verdadera o que sea falsa.
4.
5. 6. 7. 8. 9. 10.
(En el ejercicio anterior las frases impares son enunciados, no lo son 1.)
¿Serían enunciados
uálcs d
las siguientes proposiciones?
(En el ejercicio anterior todas las frases son enunciados, pues de cada decir que es falsa.)
una de ellas podemos
de la cual
Solamente los enunciados podrán simbolizarse. Ya veremos cómo. De momento conviene insistir en lo anteriormente explicado, y para ello nada mejor que realizar los siguientes ejercicios:
cir
las pares
1. El presente libro trata de introducir al lector en la ardua labor lel cultivo de las hortalizas. 2. Dice Euclides que por un punto exterior a una recta pueden pasar infinitas paralelas. 3. Tarzán es uno de los personajes más frecuentes en la obra de R usseau. 4. El Cabo de Buena Esperanza está en avanzado estado de , tación.
l.
e iad os.
El pobrecillo resoplaba como una máquina de vapor. ¡No gruñasl Prosiguieron los dos en silencio durante algún rato. ¿Qué vaya hacer con esta criatura cuando la lleve a casa? El gato sonrió al ver a Alicia. ¿Me podrías indicar hacia dónde tengo que ir desde aquí? Siempre llegarás a alguna parte. ¿Qué clase de gente vive por estos parajes? Por ahí vive un sombrerero. ¿Y por allá?
las si ui .ntcs frases pueden e n id rarsc enun-
CLASES DE ENUNCIADOS
Hasta ahora hemos visto, a través de los ejemplos que se han ufrccido, enunciados que, provisionalmente, podemos llamar enunciados 8 tupíes. Conviene aclarar que hay dos tipos de enunciados y que la I .ógica, hechando mano de la terminología de la Física, ha dado en [lurnar enunciados «atómicos» y enunciados «moleculares». I
LlIS
diez frases de este ejercicio corresponden al genial libro Alicia en el País de las arroll. Aconsejo su lectura cuando finalicen
Atll/'I/pllllls d '1 ma str de la L gica Lewis 11 I 'dl" '1 11" 's 'ni' uubuj .
l•
. No .o.bstante, muy bien hubieran podido llamarse simples y compleJOs. l!tIhzaremos desde ahora las expresiones enunciados atómicos y enunczados moleculares, pues son las internacional mente aceptadas. Enunciado
atómico
Entendemos proposición.
por enunciado atómico aquel que consta de una sola
Ejemplos: -
Platón dice que la corrección del esclavo deberá consistir en un castigo físico. . Epicuro afirma que la amistad es un bien inmortal.
Enunciado
3.1.
De los enunciados
moleculares
y de las conectivas
Los enunciados moleculares no son todos del tipo de los del ejemplo que veíamos en el apartado 3. En aquellos aparecía la conjunción «y» para unir los dos enunciados atómicos de los que estaban compuestos. Existen otras formas de enlace aparte de las de la forma «y», veamos: El enunciado molecular es aquel que está compuesto por dos o más proposiciones. Lógicamente estas proposiciones habrán de ir enlazadas. El enlace recibe el nombre de «conectiva». También se utiliza la expresión de «término de enlace». Así pues, «c'ünectiva» o «término de enlace» son expresiones mediantc las cuales vamos a nombrar, de ahora en adelante, las partículas que sirven para unir enunciados, para enlazar enunciados. Las partículas conectivas o términos de enlace que utilizaremos, serán las siguientes:
molecular
Entendemos por enunciado molecular aquel que consta de más de un enunciado atómico. Aquel que está compuesto por dos o más proposiciones.
.. l. l.
La conjunción
Ejemplos: -
Platón dice que la corrección del esclavo deberá consistir en un castigo físico y nunca en una reprimenda moral. Epicuro dice que la amitad está enraizada en la naturaleza y que es un bien común a todos los hombres.
Vemos, pues, cómo en el enunciado atómico se dice una sola cosa se e~lte una .sola proposición. No puede descomponerse en una expresión mas reducida, S10 que Pierda sentido. Vemos también cómo en el enunciado molecular se dice más de una cosa, se ~miten, al menos, dos proposiciones. Puede reducirse, por tanto, a cu~lqUiera de los enunciados atómicos que lo componen sin que pierda sentido. Los enunciados atómicos vamos a simbolizarlos con letras minúsculas. Es. frecuente utilizar las siguientes: p, q, r, s. Utilizaremos éstas y cualquier otra letra del alfabeto. Las letras p, q, r, s, etc., reciben el nombre de «variables de enunciado», pues pueden sustituir a cualquier enunciado atómico. A í: «Antoni está muy cnfcrrn », puede su tituirsc por p. «Bolivia ti '11' un h TI110S0 pu .rto de mar», pu de simbolizar pOI'
l1
11.
-
Nombre de la conectiva .... Conjunción (y). Símbolo. . . . . . . . . . . . . . . . .. 1\. Ejemplo en lógica p 1\ q. Ejemplo en lenguaje ordinario . . . . . . . . . . . . . . . .. «Estoy esperando noticias de Francia y me encuentro bastante nervioso.»
Podemos observar que un enunciado conjuntivo está compuesto por dos enunciados (en este caso p, q). A su vez, esta nueva forma: p 1\ q, es I imbién un enunciado, un enunciado molecular. Este tipo de enunciados se refiere, pues, a todas aquellas expresiones, lruscs, que por su forma, sean susceptibles de identificarse con las VDllj unciones. Nos referimos a expresiones en las que se manifiestan dos o más vnunciados atómicos yuxtapuestos. 1':;1'111,,10:
« legué, vi, vcncí.» PlI 'd ' simbotizarsc p r: p 1\ q 1\
r.
Ejemplo:
«Adolfo sigue atareado en política, Vicente continúa ocupándose de sus poemas.» Puede simbolizarse por a 1\ b. Se comprende fácilmente que tales expresiones podrían quedar enunciadas de este modo: «Llegué y vi y vencí.» «Adolfo sigue atareado en política y Vicente continúa ocupándose de sus poemas.» dando lugar a la simbolización anteriormente expuesta. En los ejemplos anteriores: p, q, r } Serían variables de enunciados a, b 1\ La conectiva conjunción. Enunciados
conjuntivos
_ El mundo está determinado por los hechos y por ser todos los hechos. _ El tono debe tener una altura; el objeto del tacto, una dureza. - El objeto es lo fijo, la configuración es lo cambiante. - En el mundo todo es como es ysucede como sucede. _ La «división» es un proceso mental por el cual pensamos en una determinada clase de cosas e imaginamos que la hemos dividido en dos o más clases inferiores. _ Es evidente que todo miembro de una especie es también miembro del género del que esa especie ha sido extraida, y que posee la diferencia de esa especie. (Los cuatro primeros enunciados pertenecen al Tractatus Logico-Philode Wittgenstein, y los dos últimos a El juego de la Lógica, de Lewis Carroll.)
Son, pues, enunciados moleculares disyuntivos aquellos que vayan enlazados mediante la conectiva «o» (disyunción), la cual se simboliza mediante V. Observación:
Hemos de hacer aquí una observación importante: Existen dos tipos de disyunciones. La disyunción «inclusiva» y la disyunción «exclusiva». La disyunción inclusiva admite que ocurran los dos miembros de la misma. Así, p V q puede leerse: «ocurre p. o bien ocurre q, o bien ocurren ambos». La disyunción exclusiva o excluyente exige que sólo uno de sus miembros puede ocurrir: «o dejas de desear a la mujer de tu prójimo o seguirás atentando contra el noveno mandamiento», sería un ejemplo representativo de este tipo de disyunción. La disyunción exclusiva se simboliza en algunas notaciones así: :/=, de tal manera que p :/= q puede leerse: «ocurre p, o bien ocurre q, pero no ambas». Por razones que veremos más adelante, la disyunción que consideremos en el cálculo de enunciados será la disyunción inclusiva. Así, cuando nos encontremos con p V q nos referiremos a ella, I 'yéndose esta expresión como indicábamos anteriormente, esto es: « icurre p, o bien ocurre q, o bien ocurren ambas». nunciados
disyuntivos
-
Defenderá los colores del equipo o actuará como suplente. ~.La Lógica formal se ocupa de la forma de las proposiciones o se ocupa de sus equivalencias. - O es imbécil, o trata de parecerlo. - O la Sociología investiga la estructura de los grupos humanos o se ocupa de las relaciones entre ellos.
sophicus,
\ l.. 3.1.2.
-
1)
La disyunción
Nombre Símbolo Ejemplo Ejemplo ordinario
de la conectiva .... Disyunción . . . . . . . . . . . . . . . . .. V. en lógica p V q. en l nguaje .
(o).
El condicional
Nombre de la conectiva ímbolo n lenguaje lógico ~jemplo en lenguaje ordinario
. Condicional . ---+ . . p ---+ q.
(si ... , entonces ... ).
. Si viene el ordinario de la dióceis, entonces iremos al aeropuert .
11
I
I
Hemos visto hasta el momento ma podría ser el siguiente: ... y ... o Trataremos
enunciados
moleculares
cuyo esque-
para los conjuntivos (p 1\ q) para los disyuntivos (r V s)
ahora enunciados
cuyo esquema es como sigue:
de distinto modo. En los demás casos hablaremos de miembros de la .onjunción, de la disyunción, del bicondicional, etc. Sólo en el condicio1)'1.1 hablaremos de antecedente, refiriéndonos al miembro que aparece en pr.lmer lugar (antes de la flecha) y de consecuente, refiriéndonos al 111leI?bro que aparece en segundo lugar (detrás de la flecha). Ya se .xplicará es~? con más detenimiento. De momento baste recordar que en una expresion c~mo p ---+ q y r ---+ s, p sería el antecedente, q el consecuente; r sena el antecedente, s el consecuente.
si ... entonces ... nunciados
Estos son los llamados enunciados condicionales que se simbolizan en Lógica matemática del siguiente modo: p ---+ q, r ---+ s, etc. Cuando veamos una expresión como esta: p ---+ q, podremos, pues, leerla de las siguientes formas:
-
«Si ocurre p, entonces ocurreq» «Si se da p, entonces se da q» «Si p, entonces q»
-
Existe también el hábito y la rutina (pues no son otra cosa) de leer la expresión p ---+ q así: «p implica q». Por razones que veremos más adelante, cuando estudiemos las tablas de verdad de los enunciados moleculares, veremos que no es posible, en todos los casos, tal tipo de lectura y, por tanto, que ésta no se debe generalizar. Bástenos adelantar que toda in!pli<;:ació_n es un condicional, pero no todo enunciado condicional se trata de una implicación. Así pues, se recomienda, de ahora en adelante, usar las lecturas propuestas anteriormente y descartar la expresión «p implica q» por ser enormemente restrictiva y concreta. Frases como las que siguen se simbolizan, por tanto, con las variables de enunciados que se quiera (letras minúsculas), unidas por la conectiva: ---+.
-
\ 1.4.
molecular
condicional
S.i d.os expresiones están unidas por el signo de igualdad, esto significa que puede sustituirse la una por la otra. Si por eternidad se entiende intemporalidad, entonces vive eternamente quien vive en el presente. Si hubiese una ley de causalidad, podraía decirse así: «Hay leyes naturales» Si la narrativa ~ispanoamericana es superior a la española, entonces me exphco la poca atención que tienen en nuestro país los autores noveles. Si se puede 'plantear una cuestión, también se puede responder.
El bicendicional
Nombre de la conectiva .... Símbolo Ejemplo en lógica Ejemplo en lenguaje ordinario
«Si matriculo a Guillermo en Etica, entonces tendrá que estudiar la dimensión antropológica de la sexualidad humana.» «Si la Etica desaparece de la política, las relaciones humanas.pueden convertirse en una merienda de negros.» (En este último enunciado sobreentendido. )
condicionales
el entonces está
.'
Bicondicional entonces ... ).
(si, y sólo
SI,
. +4. . P +4 q. . «Si, y sólo si, entendemos el cálculo de enunciados podremos comprender otros cálculos.»
Nota: n un e ndicional, p q, el primer miembro recibe el nombre de «unte 'ti .ntc» y '1 se lindo ti, « '0111')'.ucnt ». 1\, ,1 úni 'O IIUII.iudo, '1 '01\ li .ionul, '\1 os mi '111\)1'< S se n rmbran IK
Si !)rcst'lm II
S
ate~ción, veremos que el esquema de este nuevo tipo de Unicamente aparerestricción es lo
iiudos ~s l~luy SIl111hral enunciado condicional. 1111 I r 'sIn .ción d Irás del «si» prirnitiv , presta
1111111
19
suficientemente importante para que dé lugar a otra enunciado. El esquema sería el siguiente:
categoría
de
3.1.5.
La negación
Si, Y sólo si, ... entonces ... Nada mejor para entender el enunciado bicondicional que analizar en qué se diferencia del enunciado condicional antes estudiado: En una fórmula como esta: p _ q queremos significar que «si ocurre p, entonces ocurre q», que «si se da p, entonces se da q». Es claro que si p es la condición de que se de q, del hecho de que ocurra p podemos deducir que q ocurre. Si r es la condición de s, del hecho de que ocurra r deduciremos que s ocurre también. Pero fijémonos en un enunciado condicional, p - q, puede ocurrir q sin que p haya ocurrido, por una sencilla razón, porque p no es condición suficiente y necesaria de q. Dicho de otra forma, si p ocurre, q, formalmente, tiene que ocurrir; pero si p no ocurre, q puede o no puede darse. Cuando escribimos p - q queremos decir que si p se da, q se da y nada más. No queremos decir que si p no se da, q no puede darse tampoco. Este caso queda reservado para el «bicondicional», p +-+ q. En esta condición, p +-+ q, p es condición suficiente y necesaria de q, y q es condición suficiente y necesaria de p. Hemos tenido que hacer esta aclaración porque en estos dos últimos enunciados que acabamos de estudiar, el condicional y el bicondicional, es donde el lenguaje cotidiano se separa de la Lógica y puede traicionarnos. En castellano solemos emplear el condicional con sentido de bicondicional muy frecuentemente. Es más, apenas empleamos el bicondicional. Ya desde nuestra más tierna infancia (¿tierna?) hemos oído expresiones como ésta: «Si te comes la papilla te llevo esta tarde al parque» y hemos entendido, erróneamente, por supuesto, que si no la ingerimos nos quedaremos privados del premio prometido.
Enunciados
La negación es la única conectiva que podríamos llamar «singular» pues conecta con una sola forma, a diferencia de las conectivas anteriores. q~e enlazaban dos fórmulas y por eso reciben el nombre de «binarias». Una fórmula como esta: - p, puede leerse de las siguientes maneras: «no ocurre p» «no se da p» «no es el caso que p» «no »» Haremos notar, ~u~que no tenga mucha importancia, que mientras 10gICO,la negación «-» antecede al enunciado en l":lstellano la negación sigue al sujeto. Así, solemos decir «España no es (~Irerente» y no «N~ es el cas? que España sea diferente». En cualquier lIlSO, ambas expresiones se simbolizarían así: - p. . La negación afecta siempre a un. solo enunciado, concretamente al que encuentra a la derecha de la misma. Veamos algunos ejemplos:
ti ue en el lenguaje
- p:
bicondicionales
_ Si, y sólo si, el partido acata la Constitución, podrá ser registrado en el Ministerio del Interior. _ S l ingresará en la Universidad si apruebas el curso completo. e la hip tesis p demos decir que ha sido verificada sólo cuando ha sid 'C mpr bada e n óxit . Si, ti Il si, l 'StllllI' , la apatía p lítica, se p drá hablar d , ti 1(1 111110' re I nll IIhl", lO
- Nombre de la conectiva Negación (no ocurre ... ). -Símbolo . - Ejemplo en lógica . . . . . . . . . - p, - (p 1\ q,) etc. - Ejemplo en lenguaje ordinario . . . . . . . . . . . . . . . .. Bolivia no tiene puerto de mar. No ocurre que Tarzán sea uno de los personajes de la obra de Rousseau.
- p 1\ q:
{I -~
-q:
La negación afecta, en este caso, a un enunciado atómico p. Se lee «no ocurre p», o de cualquiera de las formas propuestas arriba. En este caso la negación afecta a un solo enunciado concretamente al primer miembro de la conjunción. Se le~ «no ocurre p y ocurre q». Aquí la negación afecta también a un solo enunciado ncrctarnente al .onsecuente d 1 e ndi i nal Se lee «si o urrc p nton es n currc q».
_p ~
_q:
-(p
V q):
conecti~a dominante. Hasta a~ora no hemos tenido dificultad, pues apare~Ia solamen~e una conectIva, de tal manera que las formas de los enunciados que SIguen serían las siguientes:
En esta fórmula cada una de las negaciones afecta a un solo enunciado, esto es, a cada miembro del bicondicional. Se lee «si, y sólo si, no ocurre p, entonces no ocurre q». Aquí hemos tenido, por primera vez, que utilizar el paréntesis, del que hablaremos a continuación. Bástenos decir que la negación, en este ejemplo, afecta a un solo enunciado «rnolecular» disyuntivo. Se lee «no es el caso que ocurra p o q».
p /\ q: p V q: p ~ q: p ~ q:
forma forma forma forma
Sin embargo, la forma de los siguientes enunciados nos la indicará la conectiva que aparezca fuera del paréntesis. Así:
Negaciones
_ _
No hay enigma. La muerte no es ningún acontecimiento de la vida. La muerte no se vive. No son los problemas de la Ciencia Natural los que resuelve la Lógica. _ Lo que está excluido por la ley de la casualidad no puede describirse. - El placer no puede describirse. - El cálculo no es un experimento.
4.
conjuntiva disyuntiva condicional bicondicional
(p /\ q) ~
r:
(p V q) ~
r:
(p V q) /\ (r V s): PARÉNTESIS
y CORCHETES
Así como en el lenguaje ordinario hablado solemos hacer pausas (y si no lo hacemos se recomienda su empleo), y en el lenguaje ordinario escrito usamos signos de puntuación, con el fin de dar sentido a lo que decimos o escribimos y separar los pasos que estamos dando, en Lógica simbólica será necesario el. uso de los paréntesis y de los corchetes. Los paréntesis y los corchetes son, pues, signos de puntuación. Su uso tiene dos objetivos primordiales: a) Evitar la ambigüedad y confusión p ~ q ~ r, pues podemos interpretarlas p ~
o podemo
interpretarías
de. algunas así:
Pllll'll
/
('/('C'/Ol'
I 'I\\O~
de
así:
//lII/('cl/(I/o
1)(\1'
como
(q ~ r)
(1' -~ q) 1)
expresiones,
[anun ti·
/(/
[onu«
de
coda
{'/II1/1C;m/o,
la ((11'
vi '11 ' da
1[1 101'
la
e;
JERCICIOS 1.
Si decimos que en las siguientes fórmulas la conectiva dominante ha de ser la conjunción, ¿cómo tendremos que colocar los paréntesis? 1.
p V q /\ r.
2.
p /\ q V r.
3.
r /\ s V t.
4.
r
111\ l'lllllll'iado
-p ~ [(q /\ r) V (r /\ s)]:
Este sería un enunciado condicional cuyo antecedente es una conjunción /\ q) y cuyo consecuente, un enunciado atómico r. Este sería un enunciado bicondicional , compuesto en este caso por una disyunción, en uno de sus miembros, concretamente en el de la izquierda, y por un enunciado atómico en el otro. (Recuérdese que sólo en el enunciado condicional podemos hablar de antecedente y de consecuente.) Enunciado conjuntivo compuesto por dos disyunciones. Enunciado condicional compuesto por la negación de p, como antecedente, y por una disyunción entre dos conjunciones, en el consecuente.
V
« /\
p.
Si d im s que en las siguientes r rrnulas la conectloa dominante ha de S '1' la disY"/lció/I, 1, m l n Iríamos qu col ar I paréntesis?
3.
1.
p 1\ q V t.
Ejercicio -refuerzo
2.
r 1\ s 1\ t.
3.
p 1\ q V r.
Vamos a ofrecer a continuación una serie de textos. (Por mera curiosidad se indica, depues de cada uno, el nombre de su autor.) El ejercicio va a consistir:
4.
p V q 1\ r.
a) b)
¿Qué formas tienen los siguientes enunciados?: 1.
p
2.
(a 1\ b) ~ c.
3.
(s V t)
4.
(p
5.
[(P
-7
dos.
(q 1\ r).
-7
-7
-7
(q 1\ p).
1.
«La mejor comunidad política es la formada por los ciudadanos de la clase media.» (Aristóteles.)
2.
«El tirano ciudadanos Siracusa o lugares de
3.
«El miedo de los delatores 'impide que el pueblo manifieste ideas.» (Aristóteles.)
4.
«La libertad no puede existir verdaderamente pueblo ejerce la soberanía.» (Cicerón.)
5.
«Nos creemos que estamos iniciados en los secretos de la naturaleza y en realidad estamos tan sólo en iel umbral del templo.» (Séneca.)
6.
«Si un pueblo está obligado a obeceder y obedece, hace bien, y si. puede sacudir el yugo y lo sacude, hace aún mejor.» (Rousseau.)
7.
«Evitaremos la invasión extranjera y el daño del prójimo si, y sólo si, conferimos todo el poder a un solo hombre o a una asamblea.» (Hobbes.)
8.
«Todavía no sabemos hasta qué grado de logro ha de llegar la naturaleza humana ni tampoco lo que puede esperarse de la humanidad por causa del cualquier gran revolución.» (Hume.)
9.
«Si es cierto que el carácter del espíritu y las pasiones del corazón son extremadamente diferentes en los diversos climas, entonces las leyes deberán ser relativas a la diferencia de esas pasiones y a la diferencia de esos caracteres.» (Montesquieu.)
10.
«El gobierno republicano es aquel en el cual el pueblo todo, o sólo una parte de él, posee la potencia soberana.» (Montesquieu.)
11.
«Si en la república el puebl en peso detenta el poder soberano, se trata de una d mocracia, y si el p der beran está en manos de una tlrt d '1 u' I , S llama arist ra ia.» (M nt qui u.)
q) V s. q) 1\ (q
-7
r)]
Solución
de los ejercicios
Ejercicio
1
1.
(p V q) 1\
2.
p 1\ (q V r).
3.
r 1\
4.
(t V q) 1\ p.
r.
(s V t).
-7
(p
-7
r).
anteriores
Ejercicio 2
1.
(p 1\ q) V t.
2.
(r 1\ s) V t.
3.
(p 1\ q) V r.
4.
p V (q 1\ r).
Ejercicio
3
l.
Enunciado
condicional.
2.
Enunciado
bic ndicional.
nunciad
e ndi ional.
4.
Enun .ind
En simbolizar dichos textos, utilizando ya los paréntesis. En decir, una vez simbolizados, qué forma tienen esos enuncia-
procurará y deberá delatores reunión.»
saber qué hace o qué dice cada uno de los emplear espías como las mujeres policía de como los que solía enviar Hierón a todos los (Aristóteles.) sus
sino allí donde el
12.
«Si traicionas a los amigos y no eres leal ni piadoso, entonces consigues el imperio y no consigues la gloria.» (Maquiavelo.)
13.
«Si cualquier forma de gobierno se vuelve destructiva entonces es derecho del pueblo alterarlo o abolirlo e instituir uno nuevo.» (Jefferson, Declaración de la Independencia.)
14.
15.
«No podrá la fuerza pública practicar registros o confiscar bienes en la casa de los ciudadanos y no podrá intervenir en sus papeles o intervenir en sus documentos.;;.-' (Bill of Rights o Declaración de Derechos del Congreso Americano de 1789.) «Los españoles soltaron sus perros sobre los indios como si d~ animales feroces se tratara y saquearon el Nuevo Mundo como Si fuera una ciudad tomada al asalto.» (Tocqueville.)
(q V r A s),
1.3.
p _
14.
-(p V q) A -(r
15.
p A q,
enunciado V s),
enunciado
condicional.
enunciado
conjuntivo.
conjuntivo.
EJERCICIO Añadir los paréntesis que conven~ es cada uno de los que ~~ ~ro/: q A r:
es co~l.
l.
P _
2.
a A b -
3.
a V c ~ b:
es bicondicional.
4.
p Vq _
es disyunción.
c:
r:
sabiendo qué tipo de enunciado .
es conjunción.
Solución Solución al ejercicio-refuerzo
anterior
l.
(Se advierte que no tiene ninguna importancia que no coincida lector con las variables de enunciado que aparezcan en la solución. En que sí debe coincidir es en los signos de las conectivas, negaciones lugar de los paréntesis. Ejemplo: Si la solución propuesta es (p V q) _ el lector muy bien ha podido escribir (a V b) _ c.)
el lo y r, ,
p-(qAr). a A (b -
1.
c).
(a V c) ~ b. p V (q -
r).
CUESTIONES QUE CONVIENE RECORDAR
1.
p,
2.
(p V q) A (r V s),
enunciado
atómico. enunciado
conjuntivo,
compuesto
11)
Un enunciado es toda proposición de la cual podamos decir que es verdadera o que es falsa. Una expresión de la que no podamos decir su verdad o su falsedad no será considerada un enunciado.
1,)
Existen dos tipos de enunciados: los atómicos, formados por una ola proposición, y los moleculares, formados por dos o más proposiciones. No obstante, el enunciado molecular más reducido es el formado por un enunciado atómico negado ( - p). Los términos de enlace o conectivas son las partículas lógicas que unen proposiciones, dando lugar a enunciados moleculares. Los en unciados atómicos se simbolizan mediante letras minúsculas. Estas letras reciben el nombre de variables de enunciado. Las conectivas o términos de enlace se simbolizan del siguiente modo: A para y; V para o; _ para si oo., entonces oo.; ~ para si, y sólo' .i, oo., entonces oo.; - para la negación. Estas partículas son ronst ant es lógicas.
por dos
disyunciones. 3.
q,
enunciado
atómico.
4.
-r,
5.
p A q,
6.
[(p A q) -
7.
(p A q) ~ (r V s), enunciado
negación de un enunciado enunciado
8.
- p A -q,
9.
(p A q) _
enunciado
10.
p V q,
enunciad
11.
(p
A (r
I ,
(/' A
> 1/) -tI
conjuntivo.
r] A [(a A b) _ c],
(r A s),
A
~
enunciado
conjuntivo.
bicondicional.
,) rI)
conjuntivo.
enunciado
condicional.
,.)
disyuntivo. s ,
,.
atómico.
'nUJ1
s
Al),
'ud
njuntive. .n 11 neio lo eond icionn].
1)
Existen d s tip s d "¡sl/II/1ció/I
disyun i n s: la disyun 'iou in .lusiua y la LfI in lusivu, iJ V 1/, s l « urr
e, clusioo o (' clu eute.
7
no" Parte
u ocurre q o ambas». La exclusiva, p =/= q, se lee «ocurre p u ocurre q, pero no ambas». Utilizaremos sólo la disyunción exclusiva. Las razones' se explicarán más adelante. En un enunciado condiconal (p ~q) el primer miembro, el que aparece antes de la flecha, recibe el nombre de antecedente, y el segundo miembro, el que aparece detrás de la flecha, recibe el nombre de consecuente. En los demás tipos de enunciados se habla de miembros de los mismos. En un enunciado bicondicional (p +-7 q) entendemos que p es condición necesaria y suficiente de q y que q es condición suficiente y necesaria de p. Así, p +-7 q equivale a (p ~ q) 1\ (q ~ p). La negación afecta siempre a un solo enunciado, concretamente al enunciado que, en la fórmula, se encuentre a la derecha del signo de la necgación. Así, en - p la negación afecta a p y en - (p V q) la negación afecta al enunciado molecular disyuntivo.
p
g)
h)
i)
j)
Los paréntesis y corchetes son signos de puntuación y nos indican la forma de los enunciados. De no haber paréntesis, la forma de cualquier enunciado vendría dada por la conectiva dominante. «No» ( -) es la conectiva más débil, le siguen la disyunción (V) y la conjunción (1\), el condicional (~) y el bicondicional (+-7). No obstante, el uso del paréntesis evita cualquier confusión.
Pasemos ahora, a título de curiosidad, a ofrecer en la siguiente tabla una muestra de la correspondencia entre las principales notaciones empleadas en Lógica matemática 1. ~
V
1\
->
<-->
Usa paréntesis
p
V
&
->
~
Usa paréntesis
-p
V
1\
->
<-->
Usá paréntesis
Russell
~
V
•
:::>
-
Usa puntos
Carnap
~
V
•
:::>
-
Usa puntos y paréntesis
Np
Apq
Kpq
Cpq
Epq
Ni paréntesis ni puntos
Scholz Hilbert-Ackermann l.a-3.a ed. Hilbert-Ackermann 4.a ed.
Lukasiewicz
*
Valores y tablas de verdad.
V ALORES
y TABLAS DE VERDAD
Hemos dicho ya, repetidamente, que todo enunciado es aquella proposición de la cual podemos decir o bien que es verdadera o bien que 's falsa. Hasta ahora sólo hemos estudiado los enunciados y los .squemas de enunciados, sin prestar atención a su verdad o falsedad. . Vamos, pues, en este apartado a estudiar los valores de verdad que pueden tener los enunciados y las tablas de verdad que podemos .onstruir a. partir de ellos.
1.1. Valores de verdad de los enunciados atómicos Es obvio que un enunciado atómico sólo puede tener dos valores: o ,1de verdad o el de falsedad. Así, la construcción de la tabla de verdad de un enunciado atómico nos parecerá enormente sencilla: Sea p un enunciado. Si decimos del enunciado que es verdadero, lo .xpresamos mediante el símbolo «V», y si decimos de él que es falso, lo expresamos mediante el símbolo «F». (Puede emplearse y se emplea con .j .rta frecuencia el número 1 para la verdad y el número O para expresar 11 falsedad. Preferimos, no obstante, utilizar V y F y así lo haremos de ihora en adelante.) La tabla de verdad de un enunciado atómico será, ¡lll 'S, la siguiente: p
1
pú .
* 1 n
Sacristán,
M.: lntrotluc 'i611 a la Lógica y al análisis formal, Ariel, Barcelona,
V F
1969,
87. Sobr'
ti d -1
'(lIl1líl 111
111nt In 'i n J)()II '[1, () de L:lkllsi wicz, trutar mos TI un HPlll'llido esp ial, al de uuu 'lid) • 1 )1' 1 ',J)' 'illl inl r que r 'vist· r 'sj1' 'to 11 unn 111'j r 11 Ih 11 1011111 d \ lo \111111 Ido \\11 cner 11,
' 1 '11It!
h
Lu labia de verdad n lit! b • m fl q U P i 11
1 1I '/\
S
pr V
t
nd
r flcjar el valor de un enunciado, sta 1 r l d s 1 S P si b Ies
s F, si 11
valores que. puede tener un enunciado, cosa que veremos claridad cuando de enunciados moleculares se trate.
con más
Así, las posibles combinaciones
quedarían reflejadas del siguiente modo:
p
1.2.
Tabla de verdad de los enunciados
Con una sola variable de enunciado, tabla de verdad que se construye es:
moleculares
p, como hemos visto antes, la
unda:
La l re
1'1I:
3.a 4.a
F F
V
F V F V
F Es decir (observando Los Que Que Que Etc.
1.a
V
\)
r
V
V
'v
r
,
~
<-
\._~)
Como vemos en la gráfica empleada, las combinaciones posibles entre dos enunciados (luego introduciremos las conectivas correspondientes) son cuatro:
a s
V
V F
'--q
F~F
La primera:
V V
F
e,
f'
f~ \
~--\
V
2.a
p
l'
P
1a
F
q
intervienen tres las combi'
r
------
y con ello queríamos representar que cualquier enunciado atómico puede tener o bien el valor de verdad (V) o bien el valor de falsedad (F). En un enunciado molecular aparecen, al menos, dos variables de enunciado, p, q, unidas por cualquiera de las conectivas o términos de enlace que ya conocemos. Para establecer la verdad de un enunciado molecular tendremos primero que saber qué posibles combin'aciones pueden existir entre la verdad o la falsedad de los enunciados que lo componen. Así, las combinaciones de los valores de p y de los valores de q serían:
le
V
~i en vez de tratarse de dos enunciados, naciones serían las siguientes:
p V F
C'
q
En la que
p
.
es V y
En la que p es F En la qu
p
q
es V
y q
es V
s V y q
S
l'
V
V
V F F
V V V
V V
F F F F
F F
el esquema anterior), puede que:
tres enunciados sean verdaderos. el primero sea falso y los otros dos verdaderos sólo el segundo sea falso. . los dos primeros sean falsos y el tercero verdadero.
Para saber cuál será el número de combinaciones posibles de los valores de verdad. de. los enunciados que componen un enunciado Illol~cular y que coincide con el núme~o de uves (V) y de efes (F) que ha ~I á que colocar en columna debajo de cada enunciado atómico iplicaremos la siguiente fórmula: ' Combinaciones
posibles
=
2" (dos elevado a n)
11/ número 2 refleja los valores de cada enunciado atómico que, como 111) os,. son V o F; y n el número de enunciados que intervengan en la l' pr 'SI n molecular.
Hsto s, si tenemos que averiguar la tabla de verdad de un enunciado stc: (17 q) V (1' 1\ s) sab mos que la combinacione serán 24 (dos '1'vado a uatro), d nd 4 indi u los nun iad S distint qu 1111l1()
Lo
ro
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11
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1"
.1
aparecen en la fórmula, en este caso: p, q, r, s, así: 24 = 16 combinaciones. De esta forma, las combinaciones entre p, q, r, s serían: p
q
r
s
--------
V} F V F V F V F V F V F V F V F
~} F F V V F F V V F F V V F F
11 F F F F V V V V F F F F
V V V V V V V V F F F F F F F F
Sea - p la negación de p. Este nuevo enunciado tendrá también dos posibles valores de verdad. Puede ser verdadero (V) o puede ser falso (F). Es obv~o que s~,P es ver?adero (V), su negación será falsa (F). Es ObVIOtambién que SI p es falso (F), su negación será verdadera (V). De donde: p
-p
V F
F V
Verdad de la negación
Si un. enunciado cualquiera es verdadero, su negación será falsa, y SI ese enunciado es falso, su negación será verdadera.
Se indica mediante llaves el modo de ir colocando las uves y las efes para su más fácil elaboración. Así, el primer enunciado llevará como valores, en columna, una V y una F y así hasta donde convenga (2"). El segundo, dos uves y dos efes. El tercero, cuatro uves y cuatro efes. El cuarto, ocho uves y ocho efes, etc. Hasta ahora hemos considerado solamente el modo de combinar los valores de verdad de dos o más enunciados y la fórmula (2") para averiguar el número de combinaciones posibles que puede haber entre ellos. Este es, pues, el momento de averiguar la verdad de los enunciados moleculares, esto es, con la intervención de las conectivas, la singular (negación) y las binarias (A, V, ~, +-+) que ya conocemos. Se trata, pues, de hallar la tabla de verdad de cada una de ellas. No hablaremos ya de la verdad de los enunciados atómicos que las componen, sino de la verdad de la negación, de la conjunción, de la disyunción del condicional y del bicondicional.
Ejemplo:
Este libro trata de introducir al lector en el cultivo de las hortalizas F Este libro no trata de introducir al lector en el cultivo de las hortalizas V E~ general, podemos decir, y ya lo veremos más tarde, que cuando formula es verdadera, su negación será falsa, y cuando una fórmula falsa, su negación será verdadera. Así: Si (p A q) es un enunciado verdadero -(p A q) será un enunciado falso. ' Si -(p q) es un enunciado verdadero, (p V q) será un enunciado falso.
IInH 1\
'!
1.3.
Tabla de verdad de la negación l\ 11 IIn
Pll
¡I( ,
'1
V
nun
in
rd ul
'1'0
lo. (111) tul. ti n d s val (V) o I \1 d r r tls )
res
posibl
'S
d
v
rdad.
Est
I verem binarias
1)11' tivHs
e n más detenimiento que si ucn.
'.
en las tablas de verdad de las
1.4.
Tabla de verdad de la conjunción
Sean dos enunciados atómicos, V, q. Con ellos podemos formar un enunciado molecular conjuntivo: (p /\ q). La verdad de V no nos interesa como tal, tampoco la de q. Lo que nos interesa es saber la verdad de este nuevo enUnCl~?O V /\ q. . Ahora es cuando tenemos que recordar lo que .dijimos al comienzo de este apartado: La combinación de los valores de verdad de dos enunciados
vemos no nos referim~s, a la verdad de .uno u otro de los enunciados que coml?onen esta expresion molecular, sino a la expresión misma. Si recordam?s cómo se leía la expresión V /\ q: «ocurre V y ocurre q», podemos de~ucir que basta con que uno de los miembros sea falso para que el enunciado molecular conjuntivo sea falso también. De donde:
Verdad de la conjunción
sería: V
q
V F V F
V V F F
----
Para que una conjunción sea verdadera dos miembros sean verdaderos.
Pues bien, ahora tenemos que hallar la verdad de V /\ q teniendo en cuenta estas combinaciones. Así: q
V
V F V F
V F F F
V V F F
C
Vemos, pues, que: Cuando V es verdadera (V) Y q verdadera (V), la conjunción de V y q es verdadera. . ., Cuando V es falsa (F) y q verdadera (V), la conJunclon es falsa. .. Cuando V es verdadera (V) Y q falsa (F), la conjunción es falsa. Cuando V es falsa (F) Y q falsa (F), la conjunción de V y q es falsa.
V
/\
-q
V F V F
V F F F
V V F F
También se podría, supuestos los valores de la combinación 'laborar la tabla de este modo: V
/\
-q
V F V F
F F
F F
V F
V V
Ejemplo:
«Newton descubrió la ley de la gravitación universal y Einstein fue prim r hombre qu pisó la una.» hvium ntc, 11 tc cj '01pl >, I pri~ '1" nun in 1 fl v rdudcro y ¡'
\I
lindo
11 )
ION. \)
1111 1I\111H ,. I
tu
111
IOrlllllltl 11 /\
es necesario que sus
u
,r(1
flllNa.
orno
anterior '
1.5. Tabla de verdad de la disyunción Esto es, invirtiendo los valore~ en. -: q. podedmdosobs,~rv~~;:~ot~~~o d~~ en otro la conJunclOn es ver a era so o . ::e:-~~o~o~oson, sol~ que en una tabla aparece la verdad en pnmer lugar y en la otra en tercer lugar. Veámoslo:
2.°
p
1\
-q
p
1\
-q
[V F V F
V F F F
vi
V F
F F V F
F F
V F F
Iv
F
Sean dos enunciados atómicos p, q. Con ellos podemos formar un enunciado molecular disyuntivo p V q, Y sólo nos interesará ahora la verdad de este nuevo enunciado, de esta disyunción. Antes de componer la tabla de verdad de la disyunción conviene recordar lo que decíarnos antes cuando tratábamos la disyunción como conectiva: . -
Recordar que existen dos tipos de disyunción: la inclusiva y la exclusiva. - Recordar que la disyunción inclusiva p V q se leía: «ocurre p o bien ocurre q o bien ocurren ambas». - Recordar que la disyunción exclusiva p i= q se leía: «o bien ocurre p o bien ocurre q pero no ambas». - y recordar que aquí estamos sólo tratando de la primera.
vl V ..•
Tabla de -p 1\ -q:
Dicho esto, la tabla de la disyunción inclusiva sería como sigue:
3.0
-p
1\
-q
p
V
V F V F
V F F F
V V F F
V·
V
V
F, V V V F F
V F F
Tabla de -(p 1\ q).En este tercer caso tendríamos
siguiente: a) Hallar,
en pri~er
lugar, la verdad del enunciado
q
De donde:
que hacer lo conjuntivo
Verdad de la disyunción
inscrito en el paréntesis. d b' d 1 gación b) Invertir los valores obtenidos y colocarlos e ajo e a ne . Así:
F V V V
I
2.°
(p
1\
q)
V F V F
V F F F
V V F F
Para que una disyunción sea verdadera menos uno de sus miembros sea verdadero.
es necesano
que al
Solamente, pues, la disyunción es falsa cuando sus dos miembros son falsos.
J
1.0 Ejemplo:
s en la tabla d. la nc ación: i n s rá falsu, y RI una r rrnula
decíam
'¡'¡
«El Sol gira alrededor de la Tierra» p
.7 \/t
o
«El Sol gira en torno a la Luna» q En este caso: pVq
FFF sería un ejemplo de disyunción falsa, pues cada uno de su miembros es .
(p
V
q)
V
r
V F V F V F V F
V V V F V V V F
V V F F V V F F
V V V V V V V F
V V V V F F F F
falso. «La Tierra gira alrededor del Sol»
o
«El Sol gira alrededor de la Tierra»
q
p
En este caso: pVq
FVV sería este un enunciado
verdadero,
pues uno de sus miembros,
obvia-
mente el segundo es verdadero. d d d 1 A título de curiosidad, vamos a compara~ las tablas de ver a e a dis unción inclusiva Y de la disyunción exclustoa ? ~xcl~yente, con el fin de Ycomprender mejor la primera y de saber dlstmgUlrla de ahora en adelante de la segunda. Disyunción p
v F V F
inclusiva
v V V V F
q V V
F F
Disyunción
exclusiva
p
q
V F V F
"T
F.
Si recordamos ahora la ley de la disyunción. obviamente e.n c~so~ e. (p V q) V r sólo será necesario que uno de los mlemdr~s como est esie: , . d ( V ) V fuera verda CI fuera verdadero para que el enuncia o p q r, también. Veamos:
.nun 'illd< ti li¡{tinto,. r 11 ) hü, • l 1 '1{ 1. IK
11
sto
'IIH(
1.0
Colocaremos
los valores debajo de cada variable de enunciado, la fórmula 2" y en el orden convencional
/1, q, r, en este caso, aplicando ti ue ya sabemos.
2.° Hallaremos la verdad de la conjunción inscrita en el paréntesis (aplicando, por supuesto, la ley de la conjunción) y colocaremos los valores obtenidos debajo de la conectiva «1\». 3.° Estableceremos la verdad de la disyunción comparando la v .rdad de «1\» y los valores de verdad de r, colocando este resultado d 'bajo de «V». Así:
V V F E
V V F ~
Como ya sabemos la ley de verdad de la negación, de la conjunción y de la disyunción, convendría ver ahora enunciados en los que aparezcan estas conectivas. Cada vez que estudiemos una nueva tabla haremos lo mismo. Sea, por ejemplo, el enunciado (p 1\ q) V r. Se nos pide hallar la verdad del mismo. Si recordamos ahora la función de los paréntesis como signos de puntuación, comprenderemos que este enunciado es un enunciado disyuntivo, pues el símbolo de la conectiva «V» que aparece fuera del paréntesis le da forma al enunciado. Por tanto, la verdad del mismo se encontrará debajo del símbolo «V» y tendremos que proceder, para averiguarla, de la siguiente manera:
tr 'S" lfl~
(p
1\
q)
V
r
V F V F V F V F I
V F F F V F F
V V F F V V F F I
V V V V V F
V V V V F F F F
F 1
o
F F
I
2.°
, I
.
(p V q) 1\ -(-p
Ir
3.°
A la vista de esta tabla, diremos que el anterior enunciado es verdadero en las cinco primeras circunstancias y falso en las tres últimas. Veamos ahora el siguiente enunciado: \
1\ -q)
Se trata de 'un enunciado. conjuntivo, cuyo primer miembro es una' disyunción de p, q y cuyo segundo miembro es la negación de la conjunción de la negación de p y de la negación de q. Para elaborar la tabla de verdad de este enunciado tendremos que proceder de la siguiente forma:
V
q)
V F V F
V V V F
V V F F
(p
V
q)
V F V F
V V V F
V V F F
(p
V
q)
1\
V F V F
V V V F
V V F F
V V V F
(-p
1\
-q)
F V F V
F F F V
F F V V
(p
j\
-q)
F V F V
F F F V
F,> F V V
(-p
1\
-q)
F V F V
F F F V
F F V V
1\
V V V F
5.°
V V V F
Podemos decir, pues? a la vista de esta tabla, que este enunciado verdadero en las tres pnmeras circunstancias y falso en la cuarta.
(p
V
V F V F.
q)
(-p
V V F F
F V F V
1\
F F V V
EJERCICIOS 1,
Indicar debajo de cada conectiva la verdad o falsedad de .los enunciados, teniendo en cuenta los valores de verdad de sus miembros:
pVq V (p
V
q)
V F V
V V V
V V F
V
F
1,'
V
,,'
1\
(-p
F
1\
es
-q)
2.°
10
1\
4.°
1.0 Colocaremos los valores debajo de cada variable de enunciados. En este caso serán sólo cuatro valores, pues sólo son dos las variables distintas. El hecho de que p y q vayan negadas en uno de los miembros de la conjunción no altera para nada la aplicación de la fórmula 2", en este caso 22 = 4. 2.° Hallaremos la verdad de la disyunción. 3.° Hallaremos la verdad de la conjunción inscrita en el paréntesis. 4.° Invertiremos los valores obtenidos en «1\» y los colocaremos' debajo de la negación que antecede al paréntesis. 5.° Estableceremos la verdad de la conjunción comparando los valores de la disyunción y los valores de la negación que indicábamos en . el cuarto paso. Para una mejor comprensión de estos momentos vamos a representarlos por separado: 1.0
(p
-q)
IV V
2.
F
pl\q
pl\q
pVq
F
F
F
V
F
F
Indicar ?ebajo de la negación la verdad o falsedad de los enunciados t~D\end.o e~ cuenta, primero, la verdad o falsedad de los enunCIados inscntos en el paréntesis: -(p
V
1\ q)
F
-(p
V q)
-- ,,' -F
V q) V V
-(p
--=iP.J\ F
q) F 41
1.6. Tabla de verdad del condicional 3.
Elaborar las tablas de verdad de los enunciados siguientes: (p 1\ q) V -(p
(p V -q)
1\ r)
P V -( -p
1\ -p
1\ q)
Soluciones Ejercicio 1 V V
p V
p F
q V
1\
p F
q' F
F
1\ F
q F
(p
V V
q F
V F
P F
Ejercicio 2
V
(p
1\
V
F
q) F
(p F
V
q) F
V F
V
F
q) V
V
(p
1\
F
F
q) F
Sean dos enunciados atómicos p, q. Con ellos podemos formar un enunciado condicional del tipo p ~ q. Antes de establecer la verdad de un enunciado condicional conviene aclarar algunas cuestiones: En el condicional (p ~ q), el antecedente p es condición suficiente del consecuente q, pero no es condición necesaria de q. Quiere esto decir que en una expresión (p ~ q) dado el caso de que ocurra p decimos que q debe ocurrir; no obstante, entendemos que q puede ocurrir sin que se de p. (Esto es lo que quiere decir que en un enunciado condicional el antecedente es condición suficiente pero no necesaria del consecuente.) Con la expresión (p ~ q) queremos decir que si ocurre p entonces ocurre q, y nada más. No debe entenderse esta expresión como es usual en el lenguaje ordinario, esto es, que si no es cierto que p ocurra tampoco es cierto que ocurra q. Así:
p~q '. deci
Ejercicio 3 (p
1\
q)
V
V F V F V F V F I
V F F F V F F F
V V F F V V F F
V V F V V V V. V
1
1.0
(p
1\
r)
V F V F V F V F I
V F V F F F F F
V V V V F F F F
F V F V V V V V
I
,
«Si apruebas el curso, entonces te llevo a Francia.» Esta expresión, aplicando el esquema anterior, ha' de entenderse del siguiente modo:
1
a)
I
I
4.° (p V
F V
V V V V lo'
-q) V V F
1\
-p
F
F
V
V
r
V
b)
P
(-p
V
1\
q)
F
F
V
V
V
V
V F
V
V
F
F
V F
V F
V
V
V
V
, . q puede ocurnr SI es falso que p, ocurre entonces< . . . q puede no ocurnr
Ejemplo:
2.°
3.°
ocurre p, entonces ocurre q
c)
ti)
P
1'
Apruebas el curso V Apruebas el curso F
vas a Francia V vas a Francia V
p~q V p~q V
A pruebas el curso
vas a Francia F
p~q F
vas a Francia
p ~q
V ¡\ prucba.s
el cu r
r
F
V
Interesa llamar la atención sobre las circunstancias b) Y d). (Las circunstancias a) y c) son fácilmente comprensibles.) En la circunstancia b), el antecedente es falso y el consecuente verdadero y en este. caso decimos que el condicional p - q es verdadero. Recordemos que estamos estudiando una Lógica «bivalente», esto es, que cada enunciado puede ser verdadero o falso. Pues bien, del hecho que sea falso que apruebes el curso no se deduce que sea falso que vayas a Francia, por tanto, el condicional p - q es verdadero porque no es falso. Solemos entender mejor la circunstancia d) aunque tenga la misma dificultad que la b): Si p es falso y q es falso, entonces el condicional p q es verdadero. Recuérdese lo que se dijo antes:
Conviene, pues, recordar que tanto en Lógica como en Matemáticas, una proposición condicional es verdadera siempre que el consecuente sea verdadero, y es falso sólo en el caso de que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso. Si el antecedente ocurre, entonces debemos esperar que ocurra el consecuente. Pero si el antecedente no ocurre, el consecuente puede ocurrir o no, y en estos dos últimos casos el enunciado es verdadero. Recordemos que en un enunciado condicional, el antecedente es condición del consecuente, condición suficiente, pero no necesaria. El consecuente, pues, puede ocurrir sin que se de el antecedente. Veamos ahora algunos ejemplos de tablas de verdad en las que se incluya la conectiva condicional: Ejemplos:
q puede ser verdadero Si p es falso, entonces r" d c. 1 ----q pue e ser la so y en ambos casos el condicional es verdadero, puesto que la falsedad de p y la falsedad de q no hacen falso al condicional. . La circunstancia d) que nos ocupa solemos emplearla con mucha frecuencia en el lenguaje ordinario. Solemos construir condicionales verdaderos cuyos antecedentes y consecuentes son falsos: «Si has estado en la cima del Everest, yo soy el obispo de Calahorra.» «Si Cervantes escribió Cien años de soledad, entonces yo soy el presidente de los Estados Unidos.» En los ejemplos anteriores se ha realizado una conexión entre dos proposiciones absurdas, dando lugar a condicionales verdaderos. Dicho esto, la tabla de verdad del condicional puede ya presentarse: p
-
q
v
V V F V
V V F F
F V F De donde, verdad del condicional:
S
1I
Un enunciad e ndicional si' falso cuand el ant ed nte v rdadcr y I ns 11 ntc falso. (En los d más as s el n li i mal s si .rnpr v '1' In I 'r< .)
l.0
Hallar la verdad del siguiente enunciado: «Si es cierto que el carácter del espíritu y las pasiones del corazón son extremadamente diferentes en los diversos climas entonces las leyes deberán ser relativas a la diferencia de esas pasiones y a la diferencia de esos caracteres.» (Montesquieu.) La simbolización su tabla de verdad:
de este enunciado sería: (p 1\ q) _ (r 1\ s), y
(p
1\
q)
-
(r
V F V F Iv F V F IV F V F IV F. V F
V F F F V F F F V F F F V F F F
V V F F V V F F V V F F V V F F
V V V V F V V V F V V V F V V V
V V V V F F F F V V V V F F F F
L--
s) V V V V F F F F F F F F F F F F
V V V V vi V V V FI F F F FI F F F
4
La lectura de los dos enunciados
Notas sobre la tabla anterior: a)
b)
Para su confección, como se trata de cuatro enunciados diferentes, y aplicando la fórmula 2", en este caso 24-, se han dado 16 valores a cada enunciado, en el orden que se observa. Se halla primero la verdad del antecedente, que es la primera conjunción inscrita en el paréntesis. Luego, la verdad del consecuente, en este caso la verdad de la conjunción inscrita en el segundo paréntesis, y luego se esta?lece la v~rdad del enunciado, comparando los valores obtenidos y aphcando la ley del condicional.
c) 2.0
Este enunciado de Montesquieu sólo es falso en las circunstancias que se indican en los recuadros horizontales. Hallar la verdad del siguiente enunciado: «Si el devenir es un gran anillo, entonces las cosas tendrán el mismo valor, y si todas las cosas tienen el mismo valor,' serán igualmente necesarias; entonces, si el d~venir es un gran anillo, todas las cosas serán igualmente necesanas.» (p
La simbolización de este enunciado sería [(p ~ q) 1\ (q ~ r)] ~ r), y su tabla de verdad la siguiente: [(p
V F' V F V F V F
~ V V F V V V F V
-4
q)
1\
(q
~
r)]
~
(p
~
r)
V V F F V Y F F
V V F V F F,
V V F F V V F F
V V V V F F V V
V V V V F F F F
V V V V V V V V
V F V F V F V F
V V V V F V F V
V V V V F F F F
F V
Nótese que este enunciado es verdadero en todas las circunstancias. De la existencia de este tipo de enunciados y de su estructura, hablaremos en apartados posteriores.
que siguen es:
p ~ q: Si ocurre p, entonces ocurre q. p ~ q: Si, y sólo si, ocurre p, entonces ocurre q. Como vemos, no sólo la simbolización, sino también la lectura de la misma, distinguen claramente al enunciado condicional y al bicondicional. En el enunciado bicondicional el antecedente es codición suficiente y necesaria del consecuente. ¿Qué quiere decir esto? Pues quiere decir que del hecho de que ocurra p, y solamente p, podemos inferir que necesariamente ocurre q. En el enunciado bicondicional p es la única causa de q (condición suficiente), de tal modo que si p es verdadero, q ha de ser verdadero, y si p es falso, q ha de ser falso (condición necesaria). El esquema, pues, de este enunciado éxige que se lea de la siguiente forma: «Si, y sólo si, ocurre p, entonces ocurre q.» Lo cual podría dar pie a invertir establecer la siguiente equivalencia:
correctamente
los términos
y
«Si, y sólo si, ocurre q, entonces ocurre p.» Nótese, pues, que en el bicondicional no podemos hablar ya de antecedente, y de consecuente, y que estas expresiones sólo serían correctas en el enunciado condicional. De tal forma que: p~q
q~p
sto es, el enunciado condicional no posee la propiedad conmutativa. El enunciado bicondicional sí posee la propiedad conmutativa. (De las conectivas binarias que hemos analizado podemos observar que la propiedad conmutativa pertenece a todas ellas excepto a la .onectiva condicional.) Así: p 1\ q equivale a q 1\ p
1.7.
'1 enunciado
bie ndi .ional
.stu ron a: p ( • q. ,1 \
p V q equivale a q V p
Tabla de verdad del bicondicional S'
simboliza,
q equivale a q ~
p ~
mo ya h n )s visto, p
q
no
quiual
a q
p fJ
47
De ahí que el enunciado bicondicional, como y.a ~ijimos en el apartado dedicado a esta conectiva pueda leerse de las siguientes formas: p ~
q:
_ p ~
q:
p ~ _ p ~
_q: _ q:
Si, Si, Si, Si, Si, Si, Si, Si,
y sólo Y sólo y sólo Y sólo y sólo Y sólo y sólo Y sólo
si, si, si, si, si, si, si, si,
ocurre p, entonces ocurre q. ocurre q, entonces ocurre p. no ocurre p, entonces ocurre q. ocurre q, entonces no ocurre p. ocurre p, entonces no ocurre q. no ocurre q, entonces ocurre p. no ocurre p, entonces no ocurre q. no ocurre q, entonces no ocurre p.
(p
-+
q) A (q
-+
d)
(-p -+q) A (q -+ -p)
p ~
(p
-q
-+
(-p
-p ~-q
-q) -+
A (-q
-+
-q) A (-q
p) -+
Apruebas el curso V
p-+q
Apruebas el curso F
-p)
Utilizando el ejemplo del apartado anteri.o~ podemos ~er C?~ má~ claridad la diferencia entre el enunciado condicional y el hicondicional:
F vas a Francia F
Apruebas el curso F
p-+q
V
En estas columnas podemos ver que en el caso b) el condicional y el bicondicional se diferencian en cuanto a su verdad. En el caso del condicional tendríamos que decir que aunque el antecedente sea falso, el consecuente puede ocurrir o no (en este caso es verdadero), y el condicional, por tanto, es verdadero. Pero en el caso del bicondicional el hecho de que el enunciado de la izquierda, en este caso p, sea falso, y el enunciado de la derecha, en este caso q, sea verdadero, hace que el bicondicional sea falso, puesto que la única condición de que ocurra q es que ocurra p, y la única condición de que ocurra p es que ocurra q. De ahí que la tabla de verdad del enunciado bicondicional quede. expresada de la siguiente forma:
Enunciado bicondicional
p
+-+
q
«Si apruebas el curso, vas a Francia»
«Si, y sólo si, apruebas el curso, vas a Francia»
V F V F
v
V V F
Apruebas el curso
vas a Francia
V
V
a)
b)
p -~ q y
po
I e donde, verdad delbcondicional:
V
V
F
vas a Francia V
F F V
p~q
p-+q
Apruebas el curso
Apruebas el curso V
vas a Francia F
p~q
Enunciado condicional
Posibilidades:
vas a Francia F
p~q
V
p)
-p ~q
vas a Francia F
F
De ahí también que el propio bicondicional equivalga a la co~junción de dos condicionales, pues cualesquiera de las lecturas antenores podrían simbolizarse de la siguiente forma:
p~q
c)
Apruebas el curso V
vas a Francia V
Apruebas el cur o F " ~~q F
vas a Fran itl y
Para que un enunciado bicondicional sea verdadero es necesario que sus dos miembros sean los OOS--Verdaderoso los dos falsos. ( sn los demás casos el bicondicional es falso.) .
2.° Ejemplos: 1.0 Hallar
la tabla de verdad
del siguiente enunciado,
«Si, y sól~ si; un~ hipótesis es verificada, podremos considerarla ~om? teona científica aceptable, y si no es verificada entonces revlsanamos su contenido.» '
después de
simbolizarlo: «Evitaremos la invasión extranjera Y evitamos el daño del prójimo si, y sólo si, conferimos todo el poder e un solo hombre o se lo conferimos a una asamblea.» (Hobbes.) Simbolización: «Evitaremos la invasión extranjera.» «Evitaremos el daño del prójimo.» «Conferimos todo el poder a un solo hombre.» «Conferimos todo el poder a una asamblea.»
Simbolización: «Hipótesis verificada» «Podremos. consider~rl~' ~~~; t~~~í~' ~i'e~'tifi~~'~c~~'t~bi~ ~>" p «No es venficada » . .. q «Revisaríamos su' c~~t~~i'd; ~>' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. p ........................ :... r
, p q
. Los enunciados p y q van enlazados por la conectiva bicondicional: ~. . Los enunciados - p y r van enlazados por la conectiva condicional: ~. " y ambas parejas de enunciados van enlazadas por una conjuncion: 1\. De tal forma que este enunciado quedaría simbolizado así:
r s
Los enunciados p y q van enlazados por una conjunción: 1\. Los enunciados r y s van enlazados por una disyunción: V. Y ambas parejas de enunciados van enlazadas por un bicondicional: ~. De tal forma que este enunciado
Simbolizar y hallar la tabla de verdad del siguiente enunciado:
quedaría simbolizado
así: (p~q)I\(-p~r)
(p 1\ q) ~ (r V s) y su tabla de verdad sería: y su tabla de verdad sería:
(p
1\
q)
~
(r
V
s)
V F V F V F V F V F V F V
V F F F V F F F V F F F V F
V V F F V V F F V V F F V V
V F F F V F F F V F F F F V
V V V V' F F F F V V V V F F
V V V V V V V V V V V V F
V V V V V V V V F F F F F
F
r
V 11
()
V
F
Y
(p
~
q)
1\
(-p
V F V F V F V F
V F F V V F F V
V V F F V V F F
V F F V V F F F
F V F V F V F V
~
r)
V V V V V F V F
V V V V F F F F
rcicio-refuerzo irnbolizar
1,
y hallar la tabla de verdad de los siguientes enunciados:
uando ~I .Ban~o me envía las letras impagadas, me acuerdo de el M IDI tcno remunera mal a sus funcionarios.
11I
l'
L s h rnbrcs, condu idos justamente por sus impulsos libidinales trnnsf rrnun ti su ulr d I r las condiciones económicas, y las
condiciones económicas así transformadas apetencias y satisfacciones libidinales. 3.
La fe ciega en el poder del hechicero sentimiento agónico de ansiedad, y solas con su agonía mental entonces apoyos sociales que podrían ayudarle
hacen aparecer nuevas
provoca en el embrujado un si el embrujado se queda a se desconecta de todos los a superar la crisis.
4.
Algunos inmovilistas recalcitrantes mantienen qu.e la ~ateri.a, con sus energías fisicoquímicas, no basta para produc1r la vida III pudo bastar para su primera ptoducción.
5.
Si una tumba contiene a un varón y a una hembra enterrados, entonces la mujer ha querido acompañar al marido, o ha sido matada con algún procedimiento.
6.
Si los empresarios integran la clase de élite .de cualquier socieda? y su poder sigue siendo enorme,. no se entiende que haya podido darse una intervención pública tan amplia. .
7.
Si sombrero en mano entró en España y al verla se descubrió, entonces el emigrante no trajo un solo sombrero.
8.
Si no existe libertad de expresión el ciudadano no podrá exponer sus ideas, y si existe la libertad de expresión el ciudadano será responsable de todo lo que diga.
9.
Si, y sólo si, no nos dejamos llevar por la apatía P?lítica, entonces contribuiremos a la consolidación de la democracia.
10.
11.
Si la revolución científica se define como superación de un viejo paradigma, entonces pocas revoluciones científicas han sucedido- y si han sucedido pocas revoluciones científicas, no se ha empleado mucho la imaginación.
15.
Si fuer.~ posible hacer felices a todos los hombres merced a una o a una droga que embruteciera su desarrollo, sería, de un modo o de otro, un crimen impío. operación
16.
S! les dices a ~o~ nativo~ que la vacuna contiene sangre de los dlOS~S, consentiran en dejarse vacunar; si les dices que la vacuna proviene de la sangre de algún animal, no lo consentirán.
17.
Si los filósofos pensaran que la gente fuera a ser menos feliz al alcanzar la verdad, esta consideración no les impediría seguir con su labor.
18.
~i un astrónomo descubre que una estrella opaca se dirige hacia el sls.tema solar y va a pulverizar la tierra, no podría hacer nada para evitarlo.
19.
Los efec~os sobre la inteligencia y la capacidad de discriminación del te1ev1dent~ son tan graduales, que no resultan aparentes hasta que es demasiado tarde.
20.
La gente nunca cae a sabiendas en la infelicidad' estado es únicamente debido a un cálculo erróneo,'
Solución al ejercicio-refuerzo l. .
Simbollzacion; p~q
O se argumenta con honestidad o se argumenta con demagogia;, si se argumenta con honestidad, no emplearemos la persuasion manipuladora, y si se argumenta con demagogiaz la emplearemos'.
12.
Si se pudiera convertir el 100 por 100 de calor en energía mec~nica, la ingeniería mecánica dejaría atrás todos los proyectos anunciados de ingeniería atómica.
13.
Se dice de una teoría moral que es egoísta cuando no se ocupa de otra cosa que del individuo. Si de pronto cayera en este mund cns ñaría,
nf
1'111 •
Iad s
m
un ser d otr p,lanct'., yo I cspc im n d sus mal s, un h spitul 11n de un 'U 1111 () de tu nllu ti Hb )1' luntc 1; ti I(Iv r s,
Tabla de verdad: p
~
q
V
V V F V
V V F
V F
pl\q
14.
anterior
F
Simbolización:
Sl llega a ese
F
Tabla de verdad: p
1\
q
I I
V F
V F
V F F F
V V F F
I
3.
p 1\ (q --H)
P
1\
(q
---+
r)
V
V
F
F
V V
V
V
F
F F
V V V V
V V V V
V V
F F
F F
V V
F'
F F F
V
V
F
F
V
4.
-p 1\ -q
1\
-q
V
V
F
F F F
V V
F
5.
(p
V
F F
F F F
V
V
F F
F F F
V
V
F F
F F F
V F
V F
V
F
I,
F
V
V
V
V V
F F V V
F F V V
F F V V F F
V V V V
F
F
V
F
V V
---+
-r
V
V
F F
F F F
V V
V V V V
V V V V
V
V
F
F
F F F
F F F F
s)
V V V V V V V V V V V V F F
V V V V V V V V
F
---+
-r
-q) 1\ (p ---+r)
(-p
---+
-q)
1\
(p
---+
r)
V
V V
V V
V V
F V
V
F
F
V V V
F F
V V V V
F F F F F F F
F
Simbolización: -p
+-t
q
F F
V V V
Tabla de verdad:
V
1).
V V
La tabla es igual que la del ejercicio anterior.
Simbolización: ---+
F F
Tabla de verdad:
F
V
F F
q)
Simbolización:
7.
(-p
F F F F
1\
F
8.
V V V V
(p
V
F F
V V V V V V V V V V V V
-r
V
(p 1\ q)
Tabla de verdad: ---+ (r q) 1\
V
---+
F F F F
-p
V
Simbolización: (p 1\ q) ---+ (r V s)
(p 1\ q)
Tabla de verdad:
Simbolización:
Tabla de verdad:
Simbolización:
6.
Tabla de verdad:
Simbolización:
V
F
F
V
V V
F F
F
F
V V V
V V
V
V
F
V
F F F
V
F
F
V
V
F
Tabla de verdad: -p
+-t
q
V
V
F
V V
V
F F
F
V
F F
F F F F
.
III
-
10.
(p _ q) A (q -
-
-
(p
-r)
V V F V V V F V
V F V F 'V F V F
.
11.
q) V V F F V V F F
A
(q
V V F V F F F V
V V F F V V F
V V V V F F V V
F
L---
-r)
, '1
(41
',1
A (q -
q)
A
[(P,
V F V F V F V F
V V V F V V V F
V V F F V V F F
F F V F F V F F
V F V F V F V F
p -q
,
-
V V V V F V F V
-r)
A
(q
V V V V F F F F
F F V V F V F V
V V F F V V F F
Simbolización: p --q
r
F F V V V V V V
r)] F F F F V V V V
Simbolización:
16.
(p _ q) A (r -
p
V V F V
L---
q V V F F
. 17.
Tabla de verdad: -q p
-
V F y 1
F
Y Y \-
Y
V Y F
r
Simbolización: p --q
~ o
-q)
(P V F V F V F· V F
Tabla de verdad:
V F V F 13.
--
V V F V F V F V
'-----
(q
A
r)
V V F F V V F V
V V F F F F F F
V V V V F F F F
,
Tabla de verdad:
Simbolización:
r)]
V
'----
p V F V F V F V F
(p V q) -
(p
Simbolización:
12.
(q A r)
V V VV F F F F 15.
Tabla de verdad:
,:1
P _
-r)
Simbolizacion:
(p V q) A [(P -
Tabla de verdad:
Símbolización:
14.
Tabla de verdad:
Simbolización:
(p
V
q)
V F V F V F V F
V V V F V V V F
V V F F V V F F
V V F V V V F V
V V V V F F F V
'---
Tabla de verdad: q)
A
(r
V F V F V F V V V F V F F F V F 'Tabla de verdad: -q p V V F F V V F F
-
V F V F
V V F V
I r
11
V V V V F F F F
F F V V V V V V
I
n
I
-q) F F V V F F V V
1
11
1
1
V V F F 57
\
~,
11
18.
(p A q) ~
19.
Tabla de verdad:
Simbolización:
-r
(p
A
q)
~
-r
V F V F V F V F
V F F F V F F F
V V F F V V F F
V V V V F V V V
V V Ve V F F F F
Tabla de verdad:
Simbolización:
p A -q
20.
A (p ~ q)
A
-q
V F V F
V F F F
V V F F
Al ejercicio 3 Se trata este enunciado de un enunciado conjuntivo compuesto por un enunciado atómico y un enunciado condicional, en el primer y segundo miembro, respectivamente.
Al ejercicio 4 Enunciado conjuntivo compuesto por dos negaciones: Los inmovilistas mantienen dos proposiciones, que la materia no basta para producir vida y que la materia no basta para su primera producción. Al ejercicio 5
Tabla de verdad:
Simbolización:
-p
p
interpretamos el segundo miembro de esta conjunción como una conjunción de dos enunciados atómicos, esto es: «las condiciones económicas hacen aparecer nuevas apetencias y satisfacciones libidinales», puede simbolizarse por q o por q A r. En este último caso se sobreentiende que leeríamos este enunciado así: «las condiciones ... hacen aparecer ... y hacen aparecer satisfacciones libidinales». En este caso quedaría simboIizado así: p A (q A r).
-p
A
(p
~
q)
V F V F
V F V F
F V F V
V V V F
V V F F
Nota a los ejercicios anteriores Al ejercicio 1 Nótese que en este enunciado el «cuando» lo hemos simbolizado por una conectiva condicional. Esto lo haremos en todos los casos similares.
Al ejercicio 2 ste enunciad , p r muy x t nso qu nos par zca, S' trata de un cnun iud onjuntivo til o (p A /). No 'stlll'lll mul simbolizndo si
Este ejercicio contiene un enunciado condicional cuyo antecedente es una conjunción y cuyo consecuente es una disyunción. Nótese que el antecedente podría haberse simbolizado por un enunciado atómico p pues «una tumba contiene a un varón y a una hembra» puede simbolizarse por p si entendemos que «una tumba contiene dos cuerpos» o por p A q si entendemos que «una tumba contiene a un varón y contiene a una hembra». Al ejercicio 6 Enunciado condicional cuyo antecedente es una conjunción es la negación de un enunciado atómico.
y cuyo
consecuente
Al ejercicio 7 ste enunciado se simboliza exactamente igual que el anterior. ~ (Trata e te ejercicio, con permiso del lector, de resolver una paradoja IU d .sd mi más ti roa infancia me tien preocupado y es el comienzo do 1111<1 vi jo un ión spa ola que empieza de este m d : «sombrero en
Al ejercicio
mano entró en España y al verla se descubrio». ¿Cómo pudo descubrirse, si por tal se entiende quitarse el sombrero, cuando ya lo tenía en la mano?)
Al ejercicio
Enunciado que .los valores PudImo~ ~aber orden distinto,
8
Enunciado conjuntivo compuesto de dos condicionales. Nótese que el primer antecedente del primer condicional es una negación - p y que a esta negación le hemos dado los valores V, F, V, F, ... , para luego, cuando aparezca p, darle los valores contrarios F, V, F, V, ... Pudimos haberlo hecho a la inversa, pero aconsejamos mantener siempre la misma mecánica.
Al ejercicio
condicional cuyo consecuente es una negación. Nótese que le hemos dado a esa negación son los de V V F F colocado los contrarios, F, F, V, V, Y la tabla, ¡unqu~ e~ sería igual.
14
15
9 Enunciado condicional cuyo antecedente es una disyunción y cuyo consecuente un enunciado atómico.
Enunciado bicondicional cuyo miembro es una negación. Recuérdese que el enunciado bicondicional tiene miembros, y que las expresiones «antecedente» y «consecuente» convienen sólo al enunciado condicional. Al ejercicio
a
Enunciado condicional cuyo antecedente es un enunciado atómico y cuyo consecuente es una conjunción. Al ejercicio
Al ejercicio
1
II I
Al ejercicio
10
16
C~nju?-ción co~puesta por dos condicionales. Sobre el número de combI.naclOn~s posibles o valores que hay que colocar debajo de cada enunciado atómico vale lo dicho en las notas de los ejercicios 10 y 11.
Enunciado conjuntivo, compuesto por dos condicionales. Nótese que el número de valores que se colocan debajo de cada enunciado atómico es el de ocho, 23, pues sólo aparecen tres enunciados distintos ya que el consecuente del primer condicional es el antecedente del segundo condicional.
Al ejercicio
17
Véanse las notas al ejercicio 13. Al ejercicio
11
Al ejercicio
Enunciado conjuntivo, cuyo primer miembro es una disyunción y cuyo segundo miembro es el enunciado que aparece dentro del corchete, esto es, conjunción compuesta por dos condiciones. Número de enunciados atómicos distintos, 3. Número de combinaciones o valores que e necesario colocar debajo de cada enunciado atómico, 8, esto es, 23.
Al ejercicio
12
InUI1 iu lo iondi 'ioll"\,
18
Enunciado condi~ional compuesto por una conjunción en el antecedente y por la negación de un enunciado atómico en el consecuente. Al ejercicio 19
~
T d~s lo.s enunciados de este tipo habremos de simbolizarlos como , :OI1J.UI1CI 11. ~ótes que se. dicen dos proposiciones, «que los efectos 01 r la II1t 11 I1Cld y la capacidad de discriminación del televidente son Poi Idlllll s» qu «11 r sultán aparant s hasta que s derna iado tarde». 1111ti
Al ejercicio 20 Enunciado conjuntivo compuesto por un enunciado atómico y un condicional. Apréciese el número de combinaciones, 22, esto es, 4, y cómo - p lleva los valores en el orden V, F, V, F, Y P en el orden F, V, F, V.
VALORES DE VERDAD DE LOS ENUNCIADOS MOLECULARES (Resumen)
Verdad del «bicondicional» . Para que un enunciado bicondicional sea verdadero, es necesano que sus dos miembros sean los dos verdaderos o los dos falsos.
Verdad de la «disyunción excluyente» Una disyunción excluyente es verdadera solamente cuando uno de sus miembros es verdadero y el otro es falso.
Verdad de la «negación» Si un enunciado, atómico o molecular, es verdadero, su negación será falsa. Y si un enunciado es falso, su negación será verdadera.
Verdad de la «conjunción» Una conjunción son verdaderos.
solamente es verdadera cuando sus miembros
. N?!ese que la verdad de la disyunción negación de la verdad del bicondicional. Veamos:
F V V F
I
excluyente o exclusiva es la
(p
~
q)
p
V F V F
V F F V
V V F F
V F V F
q F V V F
V V F F
I
Verdad de la «disyunción» Para que una disyunción sea verdadera menos, uno de sus miembros sea verdadero.
es necesano
que, al
Verdad del «condicional» El enunciado condicional solamente es falso cuando dente es verdadero y u consecuente es falso.
II
antecc-
l.
lILa Parte El cálculo inferencial.
l.
LA INFERENCIA
LÓGICA
Inferir es deducir, y deducir significa obtener conclusiones a partir de datos que previamente nos suministran. La obtención de estas conclusiones no es caprichosa -nada en Lógica es caprichoso o arbitrario-, sino que ha de atenerse a reglas estrictas. Durante toda nuestra vida hemos estado deduciendo y sacando conclusiones continuamente, a partir de nuestras observaciones personales, de noticias que nos comunican y de nuestra propia experiencia. En ocasiones solemos acertar, y esto es gratificante, en otros momentos, por el contrario, no tenemos otro remedio que reconocer nuestro error, y esto, dependiendo de la actitud que tengamos, no siempre nos gusta. Sabemos ya simbolizar cualquier tipo de enunciado. Sabemos, también, elaborar cualquier tabla de verdad. Lo primero exige comprensión de lo que se nos dice y captación de la forma del enunciado que queramos simbolizar, requiere, pues, un conocimiento seguro de las ·onectivas y de su función. Lo segundo requiere, además, una mecánica que sólo se consigue con experiencia. Ha llegado, pues, el momento de introducimos en el capítulo de la tnferencia lógica; así pues, para comenzar con buen pie este apartado, .omenzaremos por definir los siguientes conceptos: f)educción:
Acto por el cual, a partir de unos datos suministrados, por mi o por otros, obtengo ciertos resultados.
l'rrmisas:
timológicamente «premisa» es lo que se envía p r d lant I que se anticipa. Las premisas, I u s, n I datos de I s que teng que partir y
d d o falsedad no se cuestiona. Estas cuya .ver a . os a encontrar en forma de premisas nos !as va~ de los cuales . d simbolizados o no, y . enbunc~a os~s aplicando las reglas de inferencza, o tenconclusiones rem . ' las que de ellos lógicamente se derivan.
Premisas:
. btenidos a partir de las Son e.nuncIados nuevo:'o~tención debe realizarse prernisas ddada~, y l~~yreglas de inferencia o de de acuer o con . dadas y de cálculo En ocasiones, de las premdIsas deducir '. 1 s conclusiones o bt en¡'das po emos , a . d Y lo veremos con mas nuevos enuncia os. a 1 re las de . . t o cuando expongamos as g detenimien inferencia.
Conclusiones:
Reglas de inferencia:
Conc lusiones:
-
d s que aplicar, a la Son normas que. ten ~;s~ nos ofrezcan, para vista de las premisas q . . Estas der obtener las conclusiones necesan~s. po 1 aisladamente consideradas, s?n simples y reg ~s, Encontrar la regla conve~llente es otra se~~~~~~.así como aplicarlas co~ ngor., Podr otro cu , plicar mas e una
1.1.
Esquema de una inferencia
El método siguiente:
lógica
l
que vamos a seguir de ahora en adelante
va a ser e
.•. 'a . Sólo cuando consideremos . a regla de InlerenCI .. t Explicaremos un . "1 contenido y funcionamien o, ue el lector hay~ podido aSImI ar su ~asaremos a explicar una nueva regla.
1.0
h 'do explicada suficientemente, Cuando cualquier. regla iciosnueva. combmaaydaSI os en lo s que aparezca la última propondremos eJ~rclexp liica da y las anteriormente expuesta regla de inferencia e ,
2.°
obstant,
inf r n 'ia l (\
)
i u:
vam s
II
xplicar .
a 1" 101<1
l
.squ • 'mtl
d
.uulqui '1
.......... .......... ..........
Como vemos en este esquema, nos encontramos en primer lugar con una serie de premisas, esto es, de datos que ya se me ofrecen y cuya verdad no cuestiono. En el esquema-ejemplo se han puesto tres, pero el número de premisas que se me pueden ofrecer es .ilimitado. Estas premisas, como ya hemos dicho, serán enunciados atómicos o moleculares, que irán, generalmente, colocados unos debajo de otros para diferenciarlos con más claridad. La línea divisoria no siempre se utiliza, nosotros sí la emplearemos para comprender que hasta ella se colocan las premisas dadas y a partir de ella comienzan las conclusiones obtenidas .
-
Las Conclusiones, por tanto, se irán colocando debajo de esa línea divisoria y el número de ellas dependerá de la conclusión que queramos obtener o que se nos exija, y, por tanto, es también UH número ilimitado.
-
Tanto las premisas como las conclusiones irán correlativamente numeradas y la línea divisoria no implica que la numeración comience de nuevo. Esto es, si la última premisa dada lleva el número 3, la primera conclusión obtenida llevará el número 4.
1.2. Reglas de inferencia
/,\1
1:"
11
N
4) 5) 6)
-
~~~f~ ~';;'~i~ ~~ne:,.':s p;~~~asparallega;c~e~~ . , eXIgI .. d a, p.uede conclusión , esto suponer . ·douna medi. ., e Ira desaparecien ta complIca~IOn, qUl cánica del cálculo y nos da que adquiramos a me familiaricemos con ella.
1) 2) 3)
/,11
La explicación de cada regla la haremos del siguiente modo: Propondremos varios ejemplos. 'xplicaremos de qué modo hemos obtenido la conclusión. Dictaremos la regla. PI'Op ndrcm ejercici s e mbinado en los que ea nece ario IIr>Ii u!' IH última re la xpli ti !u y HI una d las ant ri ,. s.
..
Las negaciones no influyen en nada Si n fii antec~~ente va negado en el enunci~do c~~di~i~r;:~t' ::a:ed~d~ tam~len 1en la otra premisa, y entonces podremos deducir ló~icamen de e consecuente de ese enunciado que a su vez puede ir nega o o no.
REGLA DEL PONENDO PONENS Ejemplos:
2) 3)
Ej. 3:
Ej. 2:
Ej. 1: 1) p~q p
q (P.P. 1, 2)
Ej. 4: 1) (p 1\ q) ~ r
1) 2) 3)
-p ~q -p
q (P.P. 1, 2)
2)
(p 1\ q)
2)
3)
r (P.P. 1, 2)
3)
Ej. 7: 1) p ~ (q V r)
(a V b)
1)
(p 1\ r) ~
(a V b) ~
2) 3)
(p 1\ r)
c c (P.P. 1, 2) Ej. 8: 1) -p 2)
2)
p
3)
(q V r) (P.P. 1, 2)
4.a
Otro caso bien distinto sería el siguiente:
Ej. 6:
Ej. 5: 1)
1) p ~-q 2) p 3) -q (P.P. 1, 2)
3)
(s 1\ t)
S.a - (r 1\ s)
1)
p ~
-p ~ -r
2)
-r (P.P. 1,2)
3)
p -(r 1\ s) (P.P. 1; 2)
Como vemos, en todas las ínferencias propuestas como modelos del Ponendo Ponens aparecen en alguna de las premisas un enunciado condicional, Y en la otra premisa, el antecedente de ese enunciado condicional, y en todas las conclusiones aparece el consecuente de esos condicionales. Dicho de otra forma, una de las premisas nos indica que si se verifica el. antecedente, se verifica el consecuente, y la otra premisa nos indica que el ap.tecedente se verifica, y en todos los ejercicios hemos concluido con que ~el consecuente se verifica también. Hemos de hacer ahora varias observaciones: 1.a
2.a
Como vemos en los ejemplos propuestos, es indiferente el orden en el que aparezcan las premisas. En algunos casos puede aparecer primero el enunciado condicional y luego el antecedente de es enunciado, como en los ejemplos 1, 2, 3, 4, 6, 7 y 9; y en otro, aparecer primero el enunciado que luego comprobaremos que es el antecedente del condicional que aparece con posterioridad, com es el caso de los ejemplos 5 y 8. Tanto el antecedente como el consecuente, a ¡ e m la conclu i 11 btenida, pu d n presentarse en forma de enun iad at mic de nun iad m I ulur.
-p
3)
?
A c~ntinuación de cada conclusión obtenida colocaremos las siglas ~orl as que ~e reconoce la regla, en este caso «P.P.», y los números e as premisas afectadas por ella.
Regla del Ponendo Explicación:
p ~q
De estas premisas no podemos concluir nada s . r~cordamos la tabla de verdad del enunciado condf~~no~l P~~seSl SI el antecedente no se verifica, el consecuente podía verifi~arse ~ no.
(s 1\ t) (P.P. 1, 2) Ej. 9:
1) 2)
Ponens:
te ~a~o un enunciado c(:mdicional y la afirmación del anteceden, en remos que concluir con la afirmación del consecuente.
. Nota: C~ando se habla de afirmación del antecedente d c~:~e~::a~~t~~d~ que de.n.la 0ltra premisa el antecedente a~ar~~~~~~e; ., e con icionar, esto es, afirmado o ne ad 1 conclusión será la del consecuente tal y e ,g o, y. que a sto es, afirmado o negado. omo aparecía en el condicional,
Ejempios:
1) -p ~ q ) -p \) q (P.P. 1, 2)
La premisa 2 afirma el antecedente de la premisa 1. (Afirmar - p es decir que sí, que -p.)
~a premisa 2 afirma el antecedente, y la concluSIÓ~ 3 afirma el consecuente (pues afirmar - es d Ir qu si qu -q). q
1I
Tautologías: Con esto es, equivale tabla de
la aplicación correcta de la regla se consigue una tautología, un enunciado verdadero en todas las circunstancias, lo que a decir en todas las combinaciones posibles que se deriven de su verdad, veamos: 1) 2)
p~q
3)
q (P.P. 1, 2)
Elaboraremos
í: ¡
3)
-q
-p
=r
>:«
[( -p
~
-q)
1\
-p]
~
-q
V F V F
V V F V
V V F F
V F F F
V F V F
V V V V
V V F F
Ejemplos del Ponendo Ponens 1)
2)
q) 1\ p] ~ q
ahora su tabla de verdad:
3)
[(P
~
q)
1\
p]
~
q
V F V F
V V F V
V V F F
V F F F
V F 'V F
V V V V
V V F F
1) p ~ -'(r 1\ s) 2) p -(r 1\ s) (P.P. 1,2) 3) [[p
~
-(r
1\
s)]
1\
p]
V F V F V F V F
V V F V F V
V V F F V V
V V F F F F
V V V ·V F F F
V F F F F
V F V F V F V
V
1"
F
1"
F
~
)
1)
.) -(r
1\
s)
V V F F V V F F
V V F F F
V V V V F F F
1)
F
1"
V V V V V V V V
Si las elecciones se anticipan, nuevos partidos no podrán presentar candidatós Se anticipan las elecciones
los
Los nuevos partidos no podrán presentar candidatos
1) Cuando sube el colesterol es necesario suprimir las grasas 2) El colesterol sube
Como vemos, es un enunciado verdadero en todos los casos posibles. Este tipo de enunciados recibe el nombre de tautología. Veamos otros ejemplos:
70
-p
p
Construyamos un condicional cuyo antecedente esté compuesto por la conjunción de las premisas y cuyo consecuente sea la conclusión (o la conjunción de las conclusiones si las hubiere), y obtendremos el siguiente enunciado: [(P ~
1) 2)
F
)
1)
1)
p ~
2)
p
3)
-q (P.P. 1, 2)
-q
1)
p ~q
2)
P
Es necesario suprimir las grasas
3)
q (P.P. 1, 2)
Si no existe competencia, aparece el monopolio La competencia no existe
1)
-p
2)
-p
Aparece el monopolio
El presidente dimite i dimite el presidente, entonces se hará cargo del gabinete el vicepresidente y se convocarán nu va elecciones
·1
~q
3)
q (P.P. 1, 2)
1)
2)
p p ~
3)
(q 1\ r) (P.P. 1, 2)
(q 1\ r)
,,'
71
1)
2)
3)
1)
2) 3)
Si sombrero en mano entró en España y al verla se descubrió, entonces llevaba más de un sombrero Sombrero en mano entro en España y al verla se descubrió
1)
Llevaba más de un sombrero
3)
Si fue multado en el metro, entonces iba fumando o llevaba el cigarrillo encendido' Fue multado en el metro Iba fumando o llevaba el cigarrillo encendido
(p 1\ q)
1) Si el acuerdo pesquero no se firma,
-H
1)
-p~(ql\-r)
2)
-p
y no se
3)
(q 1\ -r)
1) Si persiguió a la mujer de su prójimo
1)
p ~
2)
p
3)
(q
seguirán los apresamientos y no se incrementará la flota El acuerdo pesquero no se firma
2) 2)
(p 1\ q) 3)
1)
Seguirán los apresamientos incrementará la flota
2)
3)
1)
2)
3)
7
Si viene el ministro de Defensa y no viene el ministro de Agricultura, entonces tendremos que ir al aeropuerto y no prepararemos la visita a las plantaciones Viene el ministro de Defensa y no viene el ministro de Agricultura
.v ~
(q V r)
¡
2)
p
3)
(q V r) (P,P. 1, 2)
1)
2) 3)
entonces será juzgado o será internado en el Psiquiátrico Persiguió a la mujer de su prójimo Será juzgado o será internado Psiquiátrico
en el
(q
V
V
r)
r) (P.P.
1,2)
de la regla Ponendo Ponens
(p 1\ -q) ~ (r 1\ -s) Aplicando la regla del Ponendo Ponens obtener pertinentes de los siguientes problemas: '
2)
(p 1\ -q)
Tendremos que ir al aeropuerto y no prepararemos la visita a las plantaciones
3)
(r 1\ -s) (P.P. 1, 2)
Si la Filosofía actual se preocupa de las cuestiones éticas, entonces no ocurre que esté vacía de contenido o que esté perdiendo el tiempo La Filosofía actual se preocupa de las cuestiones éticas
1) p ~
No ocurre que la Filosofía esté vacía de contenido o que esté perdiendo el tiempo
1,2)
r (P,P, 1, 2)
Ejercicios de aplicación 1)
(P.P,
L
1)'
(p V q) ~
2)
(p V q)
+
r
2. 1)
(a V b) ~
2)
(a V b),
1)
(p 1\ -r)
2)
(p 1\ -r) ~
(e V d) 4.
-(q
V r)
1)
(p 1\ q)
2)
(p 1\ q) ~
[(a 1\ b) ~
1)
p
2)
p ~
e] 6.
2)
p
3)
-(q V r) (P,P, 1, 2)
oluciones del ejercicio
las conclusiones
-q
(s 1\ -h)
1\
1)
- [(p
q) ~
~r]~
2)
- [(p 1\ q) ~
- r]
anterior
Lus e nclusi ncs de los ejercicios son las siguientes: f:
-1',
l/.
s
Demostración de un enunciado Del Del Del Del
ejercicio ejercicio ejercicio ejercicio
3: 4:
(e Vd). (s 1\ -h). [(a 1\ b) ~ s.
5:
6:
D~ ahora en adelante se indicará en cada problema la conclusión que se eX.lge obtener. Nos vamos, pues, a encontrar con una serie de premisas pero también se nos indicará qué hemos de demostrar. Así pues, aphcando las reglas pertinentes y colocando a continuación de cada .conclusión las siglas de esa regla y el número de orden de las premisas o conclusiones utilizadas, como hasta ahora venimos haciendo deberemos llegar a la conclusión exigida. ' Esta co.nclusión que se exige obtener vendrá indicada de esta forma: D:p, por ejemplo, lo cual deberá entenderse por «demostrar p». Veamos:
el
Aplicación del Ponendo Ponens con más de dos premisas Hasta ahora hemos resuelto la aplicación de la regla del Ponendo Ponens en ejemplos y ejercicios que constaban de dos premisas solamente. Podemos encontramos, sin embargo, con problemas que contengan más de dos premisas, y en estos casos no se incorpora ninguna nueva dificultad. Basta simplemente con prestar atención y averiguar sobre qué pareja de premisas podremos aplicar la regla. Nos encontramos con los siguientes casos: 1.0
¡
D:t
Que las parejas de enunciados sobre los que puedo aplicar el Ponendo Ponens se encuentren dadas como premisas. En este caso sólo tendremos que emparejadas debidamente.
1) p ~ (q 1\ r) 2) s ~ t 3) (q 1\ r) ~ s 4) p
Ejemplos:
5) 6) 1) 2) 3) 4) 5)
6)
p ~ p r ~
-q s
r
-q (P.P. 1, 2) s (P.P. 3, 4)
7)
1) 2) 3) 4)
(a V b) -p ~ q (a V b) ~ -p
5) 6)
(e V d) (P.P. 1, 3) q (P.P. 2, 4)
(e V d)
(q 1\ r) (P.P. 1, 4)
s t
(P.P. 3, 5) (P.P. 2, 6)
Como vemos, en el problema anterior se indica D:z, lo cual quiere dccl.r que debemos llegar a esa conclusión, tal y como se demuestra en '1 ejemplo de arriba. Otro ejemplo: Demostrar, en este caso, a: D:a
2.°
Que una de las conclusiones pueda utilizarse premisa dada o bien con otra conclusión.
o bien con una
Ejemplo: 1)
2) 3)
4) 5) 6)
7)
p ~ (r ~ s) p r (s ~ t) (r ~ s) (P.P. 1,2) (P.P. 3, 5) s (P.P. 4, 6) t
1)
2) 3)
4)
(-p ~ q) (r ~ -p) r (q ~ s)
5)
-p (P.P. 2 3)
6)
q s
7)
1) 'p ~q2) (r 1\ s) ~ t 3) q ~ (r 1\ s) 4) t:« a 5) p 6) 7)
8) 9)
(P.P. (r 1\ s) (P.P. t (P.P. a (P.P.
q
1, 3, 2, 4,
5) 6) 7) 8)
(P.P. 1, ) (P.P. 4,)
7S 7
Soluciones de los ejercicios anteriores
Ejercicios del Ponendo Ponens con más de dos premisas y con indicación de lo que se debe demostrar l. 1) 2) 3)
5)
1) 2) 3) 4) 5) 6)
9.
8.
D:-b
7.
p
[(a /\ b) ~
Del ejercicio
¡
/\ b)
-p ~ -(q V -r) -p -(q V -r) ~ -(s /\ t) -(s /\ t) ~ -(a /\ b)
D:(r V s)
1
c
Del ejercicio
c] (P.P. 1, 3) (P.P. 2,4)
3
6) -q 7)/ (a·1\ b) 8) c 9) (r 1\ s) Del ejercicio
1) p 2) q 3) p ~ [q ~ (r V s)]
-p -q -r -p ~a -q ~-b -r ~-c
D:a ~
1) 2) 3) 4)
s]
4) 5)
s
D: -(a
6.
q ~r p ~ [(q ~ r) ~ s~t p
Del ejercicio
D:(t V b)
5)
D:t
1) 2) 3) 4)
V -q) V -q) ~ r (s ~ t)
1) p~q 2) r 3) s ~ (t V b) 4) q ~ (r ~ s)
p ~-q (a/\b)~c -q ~ (a /\ b) c ~ (r /\ s) p
5.
(-p (-p r ~
4.
D:(r /\ s)
1) 2) 3) 4)
1) 2) 3) 4)
-p ~ [(a /\ b) ~c] (a /\ b) -p
3.
D:t
2.
D:c
COQ el fin de no volver a reproducir los ejercicios anteriores, se indican aquí solamente los pasos que hemos seguido para Conseguir lo que se nos pedía demostrar.
7)
(P.P. (P.P. (P.P. / . (P.P.
1, 3, 2, 4,
5) 6) 7) 8)
5
6) 7) 8) 9)
5) 6) 7)
t
4) 5)
4
q
(P.P. (P.P. (P.P. (P.P.
r ~s
s (t V b)
1, 4, 2, 3,
5) 6) 7) 8)
6
-(q V -r) -(s/\t) -(a /\ b)
Del ejercicio
(P.P. 2, 5)
(P.P. 1, 2) (P.P. 3, 5) (P.P. 4,6)
s ~t
Del ejercicio
7
-b
r
Del ejercicio
5) (q ~ r) ~ s (P.P. 2,4) 6) s (P.P. 1, 5) 7) t (P.P. 3, 6) Del ejercicio
5) 6) 7)
2.
(P.P. 1, 2) (P.P. 3, 5) (P.P. 4, 6)
8
q ~ (r Vs) (P.P. 1, 3)
(r V s)
(P.P. 2,4)
Del ejercicio 9
4) 5)
r a~b
(P.P. 1, 3) (P.P. 2, 4)
b
1) 2)
(p ~ q) ~
3)
p ~
r
r ~ (a ~ b) q
77
,I
3.0
REGLA DEL TOLLENDO TOLLENS Ejemplos:
Ej.2:
1) 2)
1)
-p-+q
-q
2)
-q
-p (TT 1,2)
3) p (TT. 1, 2)
p -+ q
-+
1)
-q
2) 3)
1.a
-p (TT 1,2)
2)
-r (p 1\ q)
3)
~(p 1\ q) (TT
1, 2)
1) 2)
-(r V s)
1) 2)
(p 1\ -q)-+r
-p
3)
(r V s) (TT 1,2)
3)
-(p 1\ -q) (TT 1, 2)
-+
P
Podemos observar también que los consecuentes de los enunciados condicionales pueden ser enunciados atómicos o moleculares y, por tanto, la negación de esos consecuentes son también enunciados atómicos o moleculares, respectivamente.
la
Si un antecedente aparece negado en el enunciado coridicional, cuando aplicando el Tollendo Tollens tengamos que negarlo, se nos convertirá en una afirmación. Esta regla se conoce por la doble . negación. La negación de - p equivale a - - p, y - - p equivale a p.Así, decir: «No ocurre que el proyecto no fue aprobado», equivale a: «El proyecto fue aprobado».
4.a
Al igual que en la regla 'anterior, tendremos que indicar a continuación de la conclusión qué regla se ha aplicado y sobre qué premisas se ha aplicado. Así (T T 2, 7), significaría que esa conclusión ha sido obtenida aplicando la regla del Tollendo Tollens (negando se niega) sobre las premisas 2 y 7.
-r
Ej. 8:
Ej. 7: P -+(q 1\ r) -(q 1\ r)
1)
[(p 1\ q) -+s]-+r
2)
2)
-r
3)
-p (TT 1,2)
3)
- [(p 1\ q)
1)
,
-+ r
2.a
Ej. 6:
Ej. 5:
s] (T TI,
2)
1) 2)
-q
3)
[(r 1\ s) V t] (TT
-+
q
1,2)
1) 2)
-p q
Regla del Tollenda
Tollens
Dado un enunciado condicional y la negación de su consecueute, tendremos que concluir con la negación de su antecedente.
Ej. 10:
Ej. 9: - [(r 1\ s) V t]
-+
Al igual que en la regla anterior, es indiferente el orden en el que aparezcan las premisas (y esta advertencia vale ya para todas las reglas posteriores; no obstante, lo seguiremos recordando). Lo importante es que detectemos un condicional, y la negación de su consecuente.
Ej. 4:
Ej. 3: 1) P q
-+
-q o;
Tautología: 3)
p (TT 1, 2)
Expticacidn:
Como vemos en todos y cada uno de los ejemplos propuestos modelos del Tolh~ndo Tollens, aparece el siguiente esquema: 1 ° Una de las premisas es un enunciado 2.0
71{
del condicional que
Observaciones:
Ej. 1:
3)
La conclusión es la negación del antecedente tomamos como punto de partida.
com 1)
condicional.
Otra de las premi a está f rrnada p r un cnun .iado "In' negacion del e O/lS(!(" 11 ent (' ti '1 .ond i .ionu 1 a n 1 .rior.
s lu
p
2)
-+
-q )
-p
q
[[P
Construyamos un enunciado condicional cuyo antecedente esté compuesto por la conjunción de las premisas y cuyo consecuente sea la conclusión y obtendremos el siguiente enunciado: [(p _ q) A -q] Elaboremos
-p
ahora su tabla de verdad: [(p V F V F
V V F V
q)
A
-q]
V V F F
F F F V
F F V V
-
-p F V F V
V V V V
3)
[[-
(p
A
q)
F V V V F V V V
V F V F V F V F
V F F F V F F F
V V F F V V F F
V V V V V F F F
V V V V F F F F [(-p
1) -p --q 2) q 3)
r]
V F V F
p
A F F F F V F F F
V V F V
80
.1)
2) 3)
-
V V V F V V V F
V V F F V V F F
V V V V F F F V
q]
A
-q]
V V V V F F F F
F F F F F F F V
F F F F V V V V
Si el hombre es sólo instinto, por naturaleza, entonces practica una moral de la espontaneidad El hombre no practica una moral de la espontaneidad
F F F V F F F V
(p
V
s)
V F V F V F V F
V V V F V V V F
V V F F V V F F
3)
-p
Los ciegos pueden comprender la Geometría Si fuera necesaria la visión para comprender la Geometría, entonces los ciegos no la comprenderían
1) p
V F V F V F V F
V F F F V F F F
V V F F V V F F
' 1)
V V
V V V V V V V V
3)
La visión no es necesaria para comprender la Geometría
-q)
A
q]
P
1)
V V F F
F F F V
F F V V
Si los partidos de centro no consiguen sesenta escaños, entonces seguirá el bipartidismo y la izquierda' continuará en el poder No ocurre que siga el bipartidismo y que la izquierda continúe en el p d r
V V V V
2)
1) p-q
El hombre no es sólo instinto por naturaleza
q)
V
V V V V V V V V
-q
A
F F F F V
-
2)
(p
-r]
1) (p V s) - q 2) -q )
I
r
(p A q)
s)
Ejemplos del Tollendo Tollens
Como vemos, al igual que en la regla anterior, se trata de un enunciado verdadero en todas y cada una de sus combinaciones. Veamos otros ejemplos:
1) -(p A q) 2) -r
V F V F V F V F
V
(T.T. 1, 2)
2) q --p
3)
-q
(T.T. 1,2)
•
F V F V
\)
ntro consi
1I
n
1) -p - (q A
2)
-(q A r)
3)
p
r)
(T.T. 1, 2)
-(p V s)
RI
1)
2)
Si no figura el distrito postal en las cartas que te han enviado desde primeros de año, entonces no las recibirás Has recibido cartas desde primeros de año
1)
-p ~-q
1)
2)
q
2)
3) Figura en las cartas el distrito postal
3) p (T.T. 1, 2)
1)
1)
(p 1\ q) ~ r
2)
-r
2)
Si es cierto que Einstein descubrió el telescopio y fue condenado por la Inquisición, entonces Madame Curie fue monja de clausura Madame Curie no fue monja de clausura
3) No es cierto que Einstein descubrió el telescopio y fue condenado Inquisición
3) Se admite ítegramente la Constitución 1)
¡ 2)
3) -(p
Si no se admite íntegramente la Constitución, entonces el partido político no podrá ser registrado en el Ministerio del Interior El partido ha podido ser registrado en el Ministerio del Interior
Si puede decirse que tres planos determinan un punto y que dos planos determinan una recta , entonces estamos en el punto de partida de la geometría proyectiva No estamos en el punto de partida de la geometría proyectiva
1)
-p ~-q
2)
q
3) p 1)
(p 1\ q) ~ r
2)
-r
1\ q) (T.T. 1,2)
por la
3)
No puede decirse que tres planos determinan un punto y que dos planos determinan una recta
3)
-(p 1\ q)
1)
Si la Sociología no es neutral , entonces se convierte en un exhorto político o en un sermón moral La sociología no se convierte en un exhorto político o en un sermón moral
1)
-p ~ (q V r)
2)
-(q
1(1 ~I'
1)
-p ~-q
Si el enfermo no puede comunicarse con cierta lógica, entonces no se le puede aplicar la terapia psicoanalítica 2) Al enfermo se le puede aplicar la terapia psicoanalítica
1)
3) El enfermo puede comunicarse con
3) p (T.T. 1,2)
2)
q 2)
V r)
cierta lógica J)
Se admite la oposición y se permiten los partidos políticos 2) Si es un gobierno dictatorial o es un , gobierno totalitario, entonces no se admite la oposición y no se permiten los partidos políticos 1)
3) No ocurre que sea un gobierno dictatorial totalitario
o que sea un gobierno
1)
(p 1\ q)
2)
(r V s) ~
La Sociología es neutral
3) p
Ijjercicio1'de aplicación de la regla Tollendo Tollens -(p
1\ q)
Aplicando la regla de Tollendo Tollens obtener p »tincntes de los siguientes problemas: '
3) ~(r V s)
las conclusiones
~ 1.
3.
5.
1)
-(p 1\ -q)
2)
(r 1\ s) ~ (p 1\ -q)
1)
(p ~.q)
2)
-r
2.
~ r
4.
1) (q V r) 2)
-(q
[(p 1\ q) V r] ~
2)
s
-s
\
D:-p
1)
-(p ~ q) ~
2)
-t
1) 2)
V r)
2)
-(q
3)
-(p~q)~r -q -r
4) 5)
(p ~q) -p
t
1) -p ~ (q 1\ r)
6.
[(p V s) 1\ t] ~
1)
1\ r)
D:-r 1) 2) 4)
-p ~q -(r ~s) -q -s
5) 6) 7)
P (r ~ s) -r
3)
(T.T. 1, 3) (T.T. 2, 4)
~
-p
(T.T. 1, 3) (T.T. 2, 5) (T.T. 4, 6)
Soluciones del ejercicio anterior D:-s Las conclusiones Del Del Del Del Del Del
de los problemas
son las siguientes:
problema 1: -(r 1\ s). problema 2: - [(p 1\ q) V r]' problema 3: -(p ~ q). problema 4: (p ~ q). problema 5: - [(p V s) 1\ z]. problema 6: p.
¡
D:t
1) -(p V q) 2) r ~ (p V q) 3) s ~r 4) 5)
-r -s
(T.T. 1, 2) (T.T. 3, 4)
1) -(a 1\ b) 2) (r V s) ~ (p V q) 3) (p V q) ~ (a 1\ b) 4) -t ~ (r V s) 5) 6) 7)
-(p V q)
-(r t
V s)
(T.T. 1, 3) (T.T. 2, 5) (T.T. 4, 6)
Aplicación del Tollendo Tollens con más de dos premisas Recordemos lo que se decía en la regla anterior cuando aparecen más de dos premisas en un problema de inferencia: 1. La forma de aplicación de la regla sigue siendo la misma. Basta simplemente con averiguar sobre qué pareja de enunciados podremos aplicarla. 2. Los enunciados sobre los que puedo aplicar toda regla se encontrarán figurando como premisas o también como conclusiones. Volvemos a repetir que una conclusión, correctamente obtenida, puede utilizarse de nuevo.
D:a~b 1)' -[-(a 2) -e 3) -d 4) 5)
1) 2) 3)
4) 5)
p~q -q r =r P -p (TT 1,2) (T.T. 3, 4)
-r
D:t 1) 2) 3)
(p 1\ q) ~ (r 1\ s) -t ~ (p 1\ q) -(r 1\ s)
4)
-(p
5)
1
1\ q) (T.T. I ) (T.T. , 4)
D:-s ~e]
~d
[-(a ~ b) ~ e] (T.T 1, 3) (a ~ b) (T.T. 2,4)
1) -(p 1\ q) ~r 2) s~t 3) -r 4) t ~ -(p 1\ q) 5) 6) 7)
••
Dicho esto, veamos algunos ejemplos; en todos aparecerá ya la conclusión que se exige demostrar, con la sigla ya conocida de «D: ... ». D:-r
~b)
(p 1\ q)
-t -s
D:-t 1) 2) ) 4) )
D:-c
(p ~ q) ~ r t ~ (p ~ q)
1) -(p ~ q) 2) b ~-a 3) -a ~ (p ~ q) 4) e ~b
-r
-(p -1
(T.T. 1,3) (T.T. 4,·5) (T.T. 2, 6)
q)
(T.T. J, 3) (T.T. 2, 4)
5)
a
6) -b 7) -e
(T.T 1, 3) (T.T. 2, 5) (T.T.4 6)
R H
I
'" Ejercicios del Tollendo Tollens con más de dos premi~as y con indicación de lo que se debe demostrar .
1.
1) 2) 3) 4)
(p - q) (r - s) s -(p (t _ r)
-
q)
4)
1) - [-(p 2) -r 3) -s 4) -q
_
q) _
r] -
1) -a 2) b -c 3) c ~a 4) -(p A
Solución
D:-(r
q) -
A s)
D:r A s
6.
D:p A q
5.
1) -(a A b) - c 2) -(p A q) - -(a A b) 3) -c 4) -(r A s) -+ -(p A q)
b
de los ejercicios
anteriores
Como hicimos en los problemas de la regla ant~rior, y 1,0 hare.mo.s de ahora en adelante en todos los ejercicios que prosiguen, solo ~e .mdIc~n los pasos que se han dado ha~ta llegar a la solución exigida, SIn necesidad de reproducir las prermsas de cada problema. Soluciones:
5) 6) 7)
-s -r
-(
Del ejercicio
1
(TT 1, 3)
5)
-(p A r)
(T.T. 2, 5) (T.T. 4, ó)
6) 7)
-(s V () (/
q) _
5)
2 (T.T. 1,4 (T.T. ,. ) ('1' .'1' .., )
(p - p
-c -b p A
q
Del ejercicio
r] (TT 1,3) (TT 2, 5) (TT 4, 6)
5) 6) 7)
-(a A b) -(p A q) -(r A s)
Del ejercicio
5
(TT 1, 3) (T.T 2, 5) (TT. 4, 6)
5) 6) 7)
4
(T.T. 1, 4) (T.T 2, 5) (TT 3, 6)
6
a A b p A q r A s
(T.T. 1, 3) (TT 2, 5) (TT 4, 6)
Inferencias en las que hay que aplicar más de una regla
Al conocer ya las dos primeras reglas (P.P. y TT), podemos ahora enfrentarnos con problemas de inferencia en los que sea necesario aplicar más de una regla, en este caso la del Ponendo Ponens y la del Tollendo Tollens. Todo lo que hasta ahora se ha dicho sigue teniendo plena vigencia y sólo será necesario tenerlo presente y recordarlo. Así, nos, encontramos ante problemas en los que, después de haber aplicado la regla del Ponendo Ponens, por ejemplo, y obtener tras ello una conclusión, esa conclusión nos sirva para aplicar la regla del Tollendo Tollens con otra premisa dada o con otra conclusión. Es cuestión, pues, de relacionar premisas y conclusiones, teniendo en cuenta las reglas conocidas y utilizando aquellas que mejor nos conduzcan a la conclusión exigida. Decimos esto porque, en ocasiones, a la conclusión exigida se puede llegar por varios caminos, esto es, aplicando varias reglas o unas reglas en vez de otras, y en Lógica, por principio de economía, se premia, claro está, el lograr la solución por la vía más corta; pero de esto ya hablaremos más adelante, cuando conozcamos nuevas reglas de inferencia. De momento, pues, tener presente las dos reglas conocidas, esto es: Regla del Ponendo Ponens. «Dado un condicional de u antecedente, podemos concluir con la firmación t ..»
'1I
Del ejercicio
-4
q)
6) 7)
1) (a A b) - c 2} (p A q) - (a A b) 3) (r A s) - (p A q) 4) -c
s
5) [-(p 6)
Del ejercicio
-q
4.
3
7)
1) (p A r) - q 2} (s V t) - (p A r) 3) a - (s V t)
D:-p
3.
D:-a
2.
,D:-t
Del ejercicio
y la afirmación de su consecuen-
Regla de Tollendo Tollens. «Dado un condicional y la negación de consecuente, podemos concluir con la negación de su antecedente.»
icho e to, veamos algunos ejemplos de problemas en los que sea n .. .sari e mbinar la dos reglas conocidas para llegar a la solución \ i ida. Más turd pr p ndrcmos algunos problemas de este tipo que, t'OI110 si '1111 re, irán 11 .ornpa ud s d sus r sp ctivas s lu i nes.
H7
REGLA DEL TOLLENDO
Soluciones de los ejercicios anteriores
PONENS
Ejemplos: Del ejercicio
7)
8)
(P.P. (T.T. (P.P. (T.T.
1\ s) 1\ b)
-(r -(a c
6)
Del ejercicio
1
9) -t
1, 5)
6)
-(q
2, 6)
7)
s
4, 7)
8)
3,8)
9)
-t -a
2
Ej. 1: (P.P. (P.P. (T.T. (T.T.
1\ r)
2, 5) 1, 6) 3, 7) 4, 8)
Ej. 2:
pVq -p
1)
(a 1\ b) V c
2)
2)
-c
3)
q (T.P. 1, ~)
3)
(a 1\ b) (T.P. 1, 2)
1)
Ej. 3: 3
Del ejercicio [_(p (p ~ q -t
6) 7) 8)
9)
Del ejercicio
~ q) ~ q)
Del ejercicio
-r]
(T.T. (T.T. (P.P. .(T.T.
1, 3) 4, 6)
5, 7) 2, 8)
6) 7) 8)
(q ~ -q
9)
t
(P.P. (T.T. (T.T. (P.P.
r)
-s
1,3) 4, 6l '
-
2, '7) 5, 8)
6 J
(T.T. 1,4) (P.P. 3, 5) (T.T. 2, 6)
-(p V q) r
5) 6) 7)
-s
9)
-p (a ~ c -d
1, 5) 4, 6)
3, 7) 2, 8)
6) 7) 8)
9)
-s t
1, 6) 4, 7) 2, 8) 3,9) 5, 10)
p V (q 1\ r) -(q 1\ r)
1)
-p
2)
p.
3)
P -(T.P. 1, 2)
3)
--:q (T.P.
c
(P.P.3,9)
s
(T.T.
lO) 11)
, 10)
p -r
9) -s -(
a
V
1, 2)
Ej. 6:
1) 2)
P V -q q
1)
[(p 1\ q) ~
2)
-s
3)
P (T.P. 1, 2)
3)
[(P 1\ q) ~ r] (T.P. 1, 2)
,1
Ej. 8:
\j
I
Ej. 7:
1) )
(p ~ q) V -(r -(p ~ q)
.)
-(r
(T.T. (P.P. (P.P. (T.T.
1, 2) 3, 6) 4, 7) 5, 8)
~
~
s)
s) (T.P. 1, 2)
1
1I
2)
p V -(q -p
3)
-(q
1)
r] V s
1\ r)
1\ r) (T.P. 1, 2)
I~.plicación: Al comenzar el tratamiento de las reglas de inferencia hicimos la i uicnte consideración: La verdad de las premisas dadas no se cuestiona; esto es, 'damos por sentado que toda premisa es verdadera. Así las cosas, 'lI1110S ahora cuál es el esquema de esta nueva regla de inferencia:
10 1,11
7) 8)
-,
1) 2)
8
-(r V s) (a V b) c d
Del ejercicio
9 (P.P. 2, 6) (T.T. 4, 7) (T.T. 1, 8)
r (a 1\ b)
9) -t 10) 11)
(T.T. (T.T. (P.P. (T.T.
(T.T. (P.P. (P.P. (T.T. (P.P.
q r (a V b)
Del ejercicio
7
b)
Del ejercicio
7) 8)
9) 10) 11)
Del ejercicio
6) 7) 8)
7) 8)
Ej. 4:
Ej. 5:
Del ejercicio
5
4
(T.T. 1, 5) (T.T. 4, 7) (T.T. ,8) (T:I. , 9) (P.I.6, lO)
" \
1
"
N s encontramos, tra d
en primer
lugar,
con un enunciado
las pr misas niega uno de los miembros . n ist n
disyuntivo.
de esa disyunción. n afirm u' el
tr
()I
)0
Repasemos de nuevo el esquema del Tollendo Ponens (negando se afirma) a la luz de la consideración inicial y de lo que ya sabemos acerca de la disyunción inclusiva: 1.0
que ednlas anteriores, ~~a tautología, en t o os los casos posibles, Así:
Nos encontramos con una premisa que viene dada en forma de enunciado disyuntivo. Partimos de la consideración de que ese enunciado es, pues, verdadero. Si recordamos la ley de verdad de la disyunción, tendremos presente que ésta es verdadera cuando al menos uno de sus miembros es verdadero.
2.0
Sabiendo, pues, que al menos uno de sus miembros es verdadero, nos encontramos ahora con que otra de las premisas dadas niega uno de los miembros de la disyunción, es lógico, pues, concluir con la afirmación del otro miembro.
3. °
1)
es decir, un enunciado verdadero
2)
p V q -p
3)
q (T.P. 1, 2)
;onstruyamos .un ~~unciado condicional cuyo antecedente esté forma 0 l??r la conjunción de las premisas y cuyo consecuente sea la 1 conc USlOny tendremos:
Afirmar el otro miembro significa respetar lo tal y como nos viene dado. sin negación si aparece sin ella o con negación si con ella aparece.
[(p V q) 1\ - p] ~ q Elaboremos
ahora su tabla de verdad:
Así, en los ejemplos 4 y 8: 1)
-p V -q
1)
p V -(q
2)
p
2)
-p
3)
-q (T.P. 1, 2)
3)
-(q 1\ r)
Vemos cómo la premisa 2, en ambos casos, es la negación de uno de los miembros de la disyunción de la premisa 1, y que en la Conclusión se afirma (esto es, se respeta) el otro miembro de la disyunción. Como de costumbre, las siglas que irán a continuación de aquella conclusión que haya sido obtenida aplicando la regla del Tollendo Ponens serán T.P., seguidas de los números de orden de las premisas sobre las que se haya aplicado.
Regla 'delTollendo
, Dada. una disyunción y la negación de uno de sus miembros, podemos concluir con la afirmación del otro miembro.
1\
-p]
~
q
V F V F
V V V F
V V F F
F V F F
F V F V
V V V V
V V F F
Tautología: P n n. pr v
u,
lid
1) 2)
p V (q 1\ r) -p
3)
(q 1\ r) (T.P. 1, 2)
V
(q
1\
r)]
1\
-p]
~
(q
1\
r)
V F V
V V· V F V
V V F F V
V V F F
V V V V
F V F F F F F F
F V F V F V
V V V V V V V V
V V' F F V V
V V
V V V
V F la T 11nd
q)
[[p
F
la r
V
. Veamos ahora otros ejemplos:
Ponens:
La corr cta apli aci n d
[(p 1\ r)
V l'
F
V V
1,'
r
1:
¡-:
It'
l'
F
V
l'
F F F
V
F
F
l'
l'
F
(11
1) -p 2) q 3)
V -q
-p (T.P. 1,2)
[(-p
V
-q)
1\
q]
~
--:-p
V F V F
V V V F
V V F F
F F V F
F F V V
V V V V
V F V F
2)
2)
2)
1)
p V q
La Moral emplea un lenguaje prescriptivo
1) O la isla de La Gomera pertenece a la provincia de Las Palmas o pertenece a la provincia de Santa Cruz de Tenerife 2) La isla de La Gomera no pertenece a la provincia de Las Palmas
(T.P. 1, 2)
3)
p
1)
p V q
2)
2)
-p.
Y elaborar la hipótesis después de la observación
3)
q (T.P. 1, 2)
1)
Voltaire pertenece a la Ilustración Francesa y Kant pertenece a la Ilustración Alemana o la Revolución Francesa fue en el siglo XIX La Revolución Francesa no fue en el siglo XIX
1)
(p 1\ q) V
2)
-r
Voltaire pertenece a la Ilustración Francesa y Kant pertenece a la Ilustración Alemana
3)
(p 1\ q) (T.P. 1, 2)
O Galileo fue perseguido por la Inquisición o la Inquisición no existía en la ép ea d al il
1)
1)
9
O el método exige observar primero y elaborar la hipótesis después de la observación, o no se trata del método inductivo . Se trata del método inductivo
3) El método exige observar primero
Pertenece a la provincia de Santa Cruz de Tenerife
3)
1)
pVq
2)
-q
3) p (T.P. 1, 2)
-q
3)
2)
Por un punto exterior a una recta pasa una sola paralela o pasa más de una paralela No pasa más de una paralela
pasa una sola paralela 2)
q
3) p (T.P. 1, 2)
3) Por un punto exterior a una recta
1) 3)
2)
Inquisición
EJEMPLOS DEL TOLLENDO PONENS La Moral emplea un lenguaje prescriptivo o utiliza un lenguaje descriptivo La Moral no utiliza un lenguaje descriptivo
existía en la época
3) Galileo fue perseguido por la
1)
1)
La Inquisición de Galileo
r
1) O Cristóbal Colón no fue una señora o no hay pruebas documentales del caso contrario 2) Hay pruebas documentales del caso contrario )
p V -q
Cristóbal Colón no fue una señora
1) . O tiene una escalera de color y en
ese caso me gana, o si tiene un póker entonces pierde No curro que tenga una escalera de (1 r y qu '11 ese C'IS me anc 1) Si (i '1\' un I ')k
'1',
'11((
n
"S
pi 'I'd ,-
1)
(p 1\ q) V -r
2)
r
3)
(p 1\ q) (T.P. 1, 2)
1)
-p V -q
.'
I
H
2)
q
3)
-p (T.P. 1,2)
1)
(p 1\ q) V (r -->s)
2)
-(p
)
(I'
1\ q)
~s (T. P. 1, )
1)
2)
3)
O toda ciencia demostrativa tiene que partir de principios indemostrables, o los pasos de la demostración son infinitos Los pasos de la demostración no son infinitos
1)
Soluciones del ejercicio anterior
p V q
Las conclusiones
Toda ciencia demostrativa tiene que partir de principios indemostrables
1) O se anticipan las elecciones y no da tiempo de modificar la ley electoral, o se agota la legislatura y da tiempo de modificar la ley electoral 2) No ocurré que se agote la legislatura Y dé tiempo de modificar la ley electoral
2)
- q
3)
p (T.P. 1, 2)
1) (p 1\ -q)
Del Del Del Del Del Del
V (r 1\ q)
problema problema problema problema problema problema
1: 2: 3: 4: 5:
6:
de los problemas
son las siguientes:
-(r 1\ -s). - (p 1\ q). - c. (- p 1\ - q).
(-s 1\ t). - ( - p V q).
Aplicación del ToJlendo Ponens con más de dos premisas Recordemos:
2)
-(r 1\ q)
-
Es !1ecesario averiguar sobre qué pareja de enunciados podremos aplicar la regla.
-
Los enunciados sobre. los que puedo aplicar la regla se pueden encontrar como prermsas o como conclusiones.
-
3)
Se anticipan las elecciones y no da tiempo de .modificar la ley electoral
3)
(p 1\ -q) (T.P. 1, 2)
Cuan~o al comienzo del problema veamos «D:» seguida de un enunciado, se trata de la conclusión a la que debemos llegar. Ejemplos: D:r
Ejercicios de aplicación de la regla ToJlendo Ponens
1)
Aplicando la regla del Tollendo Ponens, obtener pertinentes de los siguientes problemas:
4)
p
)
r
1.
1) 2)
(p 1\ -q) V -(r 1\ -s) -(p 1\ -q)
2.
)
)
1) 2)
las conclusiones
5.
1) 2)
1) 2)
(a ~
b) V -c
4.
-(a ~ b)
rV(-sl\t) -r
6.
1) 2)
1) 2)
(- p 1\ -q) r
(pl\q)V-(-pVq -(p 1\ q)
V -r
1) 2)
(T.P. 1, 2) (T.P. 3,4)
3) 4) 5) 6) 7)
-(p 1\ q) V -(r 1\ s) (r 1\ s)
p V -(q 1\ r) -s V t -p V s (q 1\ r) p s t
D:(d _ c) 1)
3.
D:t
pVq -q r V -p
1)
(p _ r) V (q _ r) -.:(a - b) V (d _ c) -(q_r)
1\). (a ~)
ti
(1)
1I
1)
(ti
b) V -(p _r) r) (T.P. J, 3) b) (T.P. 4, 5) ~.) (T.P. 2, )
(T.P. 1, 4) (T.P. 3, 5) (T.P. 2, 6) D:a
1) p V -q -p V r 3) q 4) -r V (s 1\ t) 5) -(s 1\ t) V a 2)
6) 7)
)
9
p
(T.P. 1, 3) r (T.P. 2, 6) (s 1\ t) (T.P. 4, 7) a T.P., 8 ()7
Ejercicios. del. :ollendo ponen~~~~ y con indicación de lo que se
1.
D:s
1) 2) 3) 4)
,
de dos premisas
Del ejercicio 3
:;:~ostrar
D:(a 1\ b)
2.
1) (p ~ q) V -(p 2) (p ~ r) V S 3) s V -t 4) -(p ~ q) 5) t V (a 1\ b)
(p V q) V r -p -r -q V s
6)
~a
7)
e ~d
8) 9)
~ r)
1) 2) 3) 4) 5)
D: -(a
4.
6)
+
b
3) 6) 7) 8)
5)
(p
6)
-s (T.P. 3, 5) -(a 1\ b) (T.P. 4, 6)
7)
+->
q)
(T.P. 1, 2)
Del ejercicio 6 6) 7)
p
8)
r -s
9)
-t
(T.P. (T.P. (T.P. (T.P.
3, 4, 2, 1,
5) 6) 7) 8)
Aplicación de más de dos reglas de inferencia en un solo problema
dVp
D:r
5.
1) 2) 3) 4) 5)
b
a V (e 1\ d) -(e 1\ d) V (p 1\ q)
de los ejercicios
D:-t
6.
-a V -b -(p 1\ q) V r
Solución
s V -t -r V q -p V r p V -q +
S
anteriores
. I problemas sólo se colocaComo de costumb~e, ~o. rePlroduclmo~a~~s y la con~lusión final. rán, debajo de cada eJerCICIO, os pasos Soluciones: Del ejercicio 1 5) 6) 7)
~)
1\ b)
1) (p +-> q) V -r 2) r S V -(p +-> q) 3) 4) s V -(a 1\ b)
-a V -b -e V -d aVe
1) 2) 3) 4) 5)
=-a (T.P. 1, (c 1\ d) (T.P. 4, (p 1\ q) (T.P. 5, r (T.P. 2,
p
Del ejercicio 5
~)
3.
4) 6) 7) 8)
+
7) D:p
Del ejercicio 4 1, 3, 2, 5,
(T.P. (T.P. (T.P. (T.P.
(p V q) (T.P. 1, 3) q (T.P. 2, 5) s (T.P. 4, 6)
Del ejercicio 2 6)
7) 8) )
Es obvio que al ser conocidas ya estas tres primeras reglas de inferellcia (P.P., TT y TP.) estamos preparados para ~olucionar problemas en los que sea necesario aplicar las tres conjuntarn.ente para poder llegar a la conclusión que se ex.ija, pues de otra forma no hubiéramos podido conseguirlo, y lo mismo ocurrirá cuando vayamos 'onociendo las restantes. El mecanismo es ya suficientemente conocido. Sólo es necesario 1 lvertique el hecho de haber aprendido las reglas por un orden no es si 'nifiQativo. Pudimos perfectamente haber comenzado por explicar la 1'11 tima regla sin alterar para nada el tratamiento de este capítulo. Así pues, en este tipo de problemas será necesario encontrar el punto 1(' part'i.da, y el punto de partida puede ser la aplicación de cualquiera de lus reglas que ya se conocen. Esto es, podemos, en un Problema, 'omcn~ar a solucionarlo aplicando un Toilendo Ponens, por ejemplo, y I -rrnina¡ con un Ponendo Ponens. Por otro lado, no es necesario aplicar todas las regla.s. Cada IIr'ol ICI"\1atiene su tratamiento y necesita de unos pasos precisos Bien es \'i .rto que hay problemas que pueden soIucionarse de diversa forma, Ipli :an~o una regla u otra, pero aún es pronto para tratarlos con ti ,( 'nin"\i nto. R"
-(p ~ r) (T.P. 1,4) -s (T.P. 2, 6) -1.
(ol\b)
(T.P., (T.P.
7) ,R
ti \ II
rdernos ahora las tres reglas ya Conocidas:
N/'Id" del Pon ndo Ponens, «Dado un condicional y la afirmación 11 Il'¡t,· l nt , po I '!11( S '( n luir on 1;\ firma i n de Sil '0\1S' lf in-
1)1)
D:-t
Regla del Tollendo Tollens. «Dado un condicional y la negación de su consecuente, podemos concluir con la negación de su antecedente.» Regla del Tollendo Ponens. «Dada una disyunción y la negación de uno de sus miembros, podemos concluir con la afirmación del otro miembro.»
1) (p
1) -p
2)
2)
3)
4) 5)
---+ q) V -r s ---+ p -q r -s ---+ -t
6) 7)
8) 9)
(p ---+q) (T.P. 1,4) (T.T. 3, 6) -p (T.T. 2, 7) -s -t (P.P. 5, 8)
1.
1)
5) 6) 7)
p V -q p ---+ s -s -q---+t - p (T.T. 2, 3) -'q (T.P. 1, 5) t (P.P. 4, 6)
D:d
D:(b 1\ e)
1) -(a q) V r]
2)
1)
- [(p
2) 3) 4) 5)
-r
6) 7)
[(p ---+q) V r] (T.T. 1,3) (p ---+ q) (T.P. 2, 6) -p (T.T. 4, 7)
8) 9)
---+
---+
s
3)
4)
-s -q -p
(P.P. 5, 8)
3) 4) 5)
-r---+s -r V p a ---+ -s -q
2) 3) 4) 5)
-s V r ---+ t -(p
8) 9) I
O
-p (T.T. 1, 5)
-r (T.P. 3, 6) s (P.P. 2, 7) -a (T.T. 4, 8
6) 7) 8)
(T.T. 3, 5) (P.P. 2, 6)
D:(a V b)
1) p
e
2)
3)
4) 5)
---+ -q s ---+ (a V b) -p---+s -r r V q
-s t V r P ---+ (r t---+a pVq
D: -(a
4.
s)
1\ b)
1)
-(p V q)
2)
(a 1\ b) q ---+ s -r -p
---+
-s
D:(a
+-7
b)
-p ---+ r -(a +-7 b)
---+
3) ---+
4) 5)
---+
r
r
1\ q)
-(a 1\ b)
---+
6.
D:s
-t
(p 1\ q) V s
p
(r V s)
-r
6) 7)
---+
1) -q 2)
6)
1)
V b)
D:a
4) 5)
D:(a 1\ b)
p ---+ q
-r s
2.
-:-a -e b---+d
:l.
3)
1) 2)
7)
(b 1\ e)
---+
(b 1\ e)
D:-a
6)
Ejercicios de inferencia con las reglas P.P., T.T. Y T.P. combinadas
Ejemplos de problemas en los que hay que aplicar las reglas P.P., T.T. Y T.P.
2) 3) 4)
3)
4)
V -q -r ---+ s r ---+ q p
5) -q (T.P. 1,4)
Veamos ahora algunos ejemplos de problemas en los que sea necesario aplicar las tres reglas conocidas o, al menos, dos de ellas, para luego proponer al lector ejercicios combinados y sus soluciones respectivas a continuación.
D:t
D:s-b
s r t
() 1\ b
(T.P, , ) (T.P, 1, 6) (P.P. ,7
T.T ..
-p
-c¡
q
1) 2) 3) 4) )
-q---+s -s
-r
-p V
r¡
8 101
7. 1)
[ -(a
2) 3) 4) 5)
-e
----'>
b)
----'>
el V
1) 2) 3) 4) 5)
d
-b -d aVp
Del ejercicio 8
Del ejercicio 7
D:-a
8.
D:p
6) -(a (a
p/\q -r
7) 8)
s ----'> t (p /\ q) ----'> (r V s) a ----'> -t
9)
----'> ----'>
b) b)
----'>
-a p
c](T.P. (T.T. (T.T. (T.P.
1, 2, 3, 5,
4) 6) 7) 8)
D:q
9. 1) 2) 3) 4) 5)
Solución
(a V b) e ----'> -(a d----'>p -p V q e Vd
(a V b) (TT. 1, 3) b (TP. 2, 5) d (P.P. 4, 6)
(TP. (r ----'> s) (P.P. -r (TT. t (T.P. a (P.P.
p
anteriores
6) 7)
q
8)
s
9)
(a V b)
1, 6) 4, 7) 2, 8) 3, 9) 5, 10)
p (TT 3, 4) (r V s) (P.P. 1,5) s (TP. 2, 6)
6) 7)
8) 9)
-p
(TP. (TT (P.P. (P.P.
4, 5) 1, 6) 3, 7) 2, 8)
(p V q) q s -(a /\ b)
(T.T (TP. (P.P. (TT
1, 5, 3, 2,
4) 6) 7) 8)
Del ejercicio 6
s
(TT. 2, 4) (TP. ,6) (P.P. 1, 7
(o.,h)
( . . • H
6)
p
7) 8)
-q
)
lO
(T.T. (T.P. (P.P. (T.P.
-c d
p q
1, 2) 5, 6) 3, 7) 4, 8)
5) 6) 7)
(p V q) (TP. 1, 4) (P.P. 2, 5) t (c /\ d) (T T 3, 6)
Se ha dado como primera premisa el enunciado p ----'> q, y como segunda premisa el enunciado -p. ¿Podríamos obtener de ellas alguna conclusión? ' . .
2.
Si p ----'> (q V r) y ( -q V r) son dos premisas dadas, ¿cabría deducir de ellas alguna conclusión? Supongamos las premisas p, por un lado,y (-p V -q), por otro. ¿Qué regla de inferencia puede aplicarse sobre ellas y qué conclusión deduciríamos?
4.
Si una premisa es un condicional y otra la afirmación de su consecuente, ¿podríamos obtener alguna conclusión válida? Supongamos que -(p /\ q) es el consecuente de una premisa. Supongamos además que en otra premisa se afirma el antecedente de la anterior. ¿Cuál sería la conclusión que podríamos obtener?
Del ejercicio 4
Del ejercicio 5 5) 6) 7)
4) 6) 7) 8)
l.
Del ejercicio 2
1
Del ejercicio 3 7) 8) 9) 10) 11)
(p V q) V (r V s) (p V q) ----'> t -(e /\ d) ----'> -t -(r V s)
1, 2, 3, 5,
Ejercicio- refuerzo
de los ejercicios
Del ejercicio 5) 6) 7)
1) 2) 3) 4)
V b)
6) 7) 8) 9)
D:(c /\ d)
9)
(r V s) (P.P. s (T.P. t (P.P. -a (TT
Del ejercicio 10
Del ejercicio 9 10.
6)
7) 8)
uál sería la justificación de la regla TolIendo Ponens? Esto es, ¿en virtud de qué podemos decir que si se niega un miembro de una disyunción podemos concluir con la afirmación del otro miembro?
(l.
lo
I:
(,/\ qué
H.
Si las pr m isa dada on - p -q, por un lado, y q, por otro, y 111 .on lusi n deducida es p, I.P drtamo afirmar que con estos dure s forrnurium s una ta ut 1 fa'! 1, órno?
ti
e llama una tautología?
,I!H 11" 'liIll'j< . Iplj 'lIndo 11
rcsolv '1' lodo lo Pon 'n,'
'0111 '111',111'11
, '
1I
POli
'1\
1 robl
mil
de infcr
Dejé!
1 () \
10.
¿Qué entendemos por las expresiones «afirmar el consecuente» «afirmar el otro miembro de la disyunción»?
11.
Si (a ~ b) es un miembro de una disyunción y - (b ~ e) es otro miembro de esa disyunción, y luego se nos dice que -(a ~ b), ¿qué conclusión podríamos obtener?, ¿qué regla aplicaríamos?
12.
Si p es una premisa y (a _ b) V e es el antecedente conclusión obtendríamos?
Solución 1.
2.
al ejercicio-refuerzo
y
de -p, ¿qué
anterior
No, porque la negación del antecedente no supone que el consecuente no pueda verificarse. De esas premisas no podríamos deducir ninguna conclusión. No, porque ( -q V r) no es la negación del consecuente. Ot[b caso es si la premisa fuera -(q V r), en cuyo caso podríamos deducir
REGLA DEL SILOGISMO
DISYUNTIVO
Ejemplos:
Ej. 2:
Ej. 1: 1) pVq
1)
2)
p _
r
2)
-p V -q =p r+t
3)
q -
s
3)
-q
4)
(r V s) (S.D. 1, 2, 3)
4)
r V s (S.D. 1, 2, 3)
1)
Ej. 3: a _ -b
Ej. 3:
-
1) p V -q 2) p _ r 3) -q - (s 1\ t)
2)
e -
3)
a Ve
4)
4)
-b
s
-d
-p.
3.
Tendríamos que aplicar la regla del Tollendo Ponens, y.la conclusión que obtendríamos sería -q.
4.
Ninguna, pues un consecuente del antecedente. Aplicando la regla del Ponendo sería - (p 1\ q).
6.
La verdad de las premisas no se cuestiona. Si una premisa es disyuntiva, y se niega un miembro de la disyunción en otra premisa, la conclusión ha de ser la afirmación del otro miembro, pues un enunciado disyuntivo es verdadero cuando al menos un de sus miembros lo es.
obtenida
2)
4)
t V s (S. D. 1, 2, 3)
4) (a 1\ b)
1)
P _ pVq q -
Sí, puesto que se trata de la aplicación de la regla del Tollendo Tollens. La tautología se formaría así: [( - p - -q) 1\ q] - p.
4)
9.
No, podemos empezar por cualquier regla.
I~ plicación:
Dejar estos miembros tal y como se encuentran en las premisas O en las conclusiones, afirmados si lo están o negados si están negados.
Ni iuicnte
12.
-[(a
104
sería
b) V e].
- (b ~
e), y la regla aplicada
el T llcndo
3)
-p V q -p -(a 1\ b) q - (e 1\ d)
)
1)
-s
r V -s
(S.D. 1, 2, 3)
2)
-a V b -a _ e
3)
b -
4)
e V -d
omo vemos en los ejemplos anteriores, esquema:
l."
V (e 1\ d) (S.D. 1,2,3)
Ej. 8:
r
8.
La conclusión Ponens.
1)
Ej. 7:
A todo enunciado bles.
11.
siempre y en todos los casos posi-
p V (q 1\ r) (q 1\ r) - s p _ t
)
(S.D. 1, 2, 3)
Ej. 6:
J) 2) 3)
7.
10.
verdadero,
Ponens, la conclusión
V -d
Ej. 5:
verificado no supone nada acerca
5.
r V (s 1\ t) (S.D. 1, 2, 3)
-d
(S.D. 1, 2, 3)
todos los casos presentan el
Una disyun ·ión. Nos es indiferente i los miembro de la misma van nc ad s no, as! corn el hecho de que sus micmbr s sean 'J1UJ1 'ia los utórni .os O mole .ulurcs. Nos el b mos fij
'11 111 diH
unción
que se nos
01'1"'\
'01110
pr
l11iHU.
lO
2. °
Otra de las premisas es un enunciado condicional, con una particularidad: su antecedente es uno de los miembros de la disyunción.
3.°
La tercera y última premisa es otro condicional, con la misma particularidad que la anterior, esto es: que su antecedente es el otro miembro de la disyunción.
4.°
Si nos fijamos detenidamente, la conclusión de todos los casos no es otra cosa que la disyunción de los consecuentes de los condicionales anteriores.
Efectivamente, se nos dice en principio que ocurrirá o que ocurre una situación u otra, no sabemos cuál; lo que sí sabemos es que al menos una de las dos ocurre. (Recordemos que una disyunción es verdadera .cuando al menos uno de sus miembros es verdadero.) Luego las siguientes premisas nos comunican que si ocurre una de las alternativas de la disyunción, ocurre a su vez otra situación, y que si ocurre otra de las alternativas, ocurrirá también otra situación. Lógico, pues, es deducir que al menos uno de los consecuentes ocurre, y para expresar esto tendremos que enlazarlos mediante una disyunción. Esta regla nos permite, a su vez, partir de más de una disyunción, como puede ser el caso siguiente:
aparecen a continuación de la conclusión son S.D. (Silogismo Disyuntivo), seguidas, en esta regla, no por dos números como hasta ahora, sino por tres, pues tres son las premisas necesarias para aplicar el Silogismo Disyuntivo, esto es, la disyunción inicial, y los dos condicionales cuyos antecedentes son los miembros de esa disyunción.
Regla del Silogismo Disyuntivo Dada una disyunción y dos condicionales cuyos antecedentes sean un miembro distinto de esa disyunción, podemos concluir con la disyunción de los consecuentes de los condicionales anteriores.
Podemos también recordar la regla del Silogismo Disyuntivo de esta forma:
Premisas:
1)
-
2) 3)
-
4) 5)
f
V b V c (S.D. 1, 2, 3, 4)
Es correcta la conclusión, pues sabiendo que en la primera premisa al menos uno de sus miembros ha de ser verdadero, lógico es deducir la disyunción de los tres consecuentes, pues en este caso también al menos uno de los miembros de esa nueva disyunción ha de ser verdadero y, siéndolo, la disyunción es verdadera. Veamos el primer ejemplo que se propone como modelo de Silogismo Disyuntivo: Se nos dice en primer lugar que o bien ocurre p o bien ocurre q. Luego se nos dice lo siguiente: que si ocurre p, entonces ocurre r. Y luego se nos dice también que si ocurre q entonces ocurre s. Conociendo ya la ley de verdad de la disyunción, sabemos algo, que o bien p o bien q se verifican, son verdaderas, ocurren. Pues si uno de los dos miembros ocurre, uno de los dos consecuentes de los condicionales en los que p y q son antecedentes ocurre también. Por tanto, deduciremos: r V s. Si nos hemos fijado bien habrcm s ompr bad qu las si rlas qu \
106
Una disyunción. Un condicional cuyo antecedente sea uno de los miembros de esa disyunción. Otro condicional cuyo antecedente sea el otro miembro de esa disyunción.
Conclusión: -
Una disyunción formada por los consecuentes de los condicionales anteriores.
Tautología: La correcta aplicación de la regla del Silogismo Disyuntivo provoca una 'tautológia, que como ya sabemos, es un enunciado verdadero en todos los casos posibles. . Así: 1)
p V q
2) 3)
p
-7
q
-7
4)
r V
r r
+
r
107
Si ahora construimos un enunciado condicional cuyo antecedente sea la conjunción de las premisas y cuyo consecuente sea la conclusión, obtendremos:
-r)J] ~
[(p V q) /\ [(p ~ r) /\ (q ~
3)
Si no sigo estudiando, no me concederán más becas
3)
-q
4)
O tengo que ir a Córdoba, conceden más becas
4)
r V -s (S.D. 1, 2, 3)
1)
La encuesta está bien realizada, o no lo está Si la encuesta está bien realizada, entonces la muestra ha sido recogida al azar Si no lo está, entonces se ha consultado sólo a un estrato social
(r V -r)
y si elaboramos ahora su tabla de verdad comprobaremos verdadera en todos los casos posibles:
que es
2) [(p
V
q)
V F V F V F V F
V V V F V V V F
V V F F V V F F
/\
[(p
~
r)
/\
(q
~
r)J]
~
(r
V
-r)
F F V F F V F F
V F V F V F V F
V V V V F V F V
V V V V F F F F
F F V V F V F V
V V F F V V F F
F F V V V V V V
F F F F V V V V
V V V V V V V V
V V V V F F F F
V V V V V V V V
F F F F V V V V
3)
1) 2)
3)
4)
1) 2)
108
Disyuntivo
O el método es inductivo, o el método es deductivo Si el método es inductivo, entonces se partirá de observaciones sensibles y luego se establecerá una hipótesis provisional Si el método es deductivo, se partirá de postulados, axiomas y leyes generales
pV
2)
p ~ (r /\ s)
q
q ~t
O se partirá de observaciones sensibles y luego se establecerá una hipótesis provisional, o se partirá de postulados, axiomas y leyes generales
4)
(r ./\ s) V t (S.D. 1,2,3)
O me matriculo en Veterinaria, sigo estudiando Si me matriculo en Veterinaria, tengo que ir a Córd ba
1)
p V -q
2)
p
o no
r
p ~q
3)
-p
~r
4)
q V r (S. D. 1, 2, 3)
1)
O gana la derecha, o gana el centro, o gana la izquierda Si gana la derecha, se reformará totalmente la ley de Educación Si gana el centro, se formará parcialmente esta Ley Si gana la izquierda, la Ley se aplicará hasta sus últimas consecuencias
1)
p V q V r
2)
p~a
3)
q ~b
4)
r ~c
5)
a V b V e (S. D. 1, 2, 3, 4)
4)
5) 3)
2)
O la muestra ha sido recogida al azar, o se ha consultado sólo a un estrato social
3) 1)
1) p V -p
4)
2) Ejemplos de Silogismo
o no me
~-5
1)
O se reforma totalmente la ley de Educación, o se reformará parcialmente esta Ley, o la Ley se aplicará hasta sus últimas consecuencias O admitimos que en el mundo que . conocemos hay muchas cosas que serían mejor de otro modo, o pensamos que este es el mejor de los mundos posi bles i admitimos que en el mundo que . noccmos hay cosa que serían m jor I otr modo, ntonc S no nos ')11 al unas 'onformurnos si! un ·i
)11
1) pVq
2)
p ~-r
's
I ()<
3)
4)
1)
2)
3)
4)
1)
2)
3)
4)
Ejercicio
Si pensamos que este es el mejor de los mundos posibles, seremos unos conformistas O no nos conformaremos con algunas situaciones, o seremos unos conformistas
del Silogismo
Disyuntivo
Aplicando la reglai del Silogismo Disyuntivo, nes pertinentes de los siguientes problemas: 4)
2.
2) 3)
-a ~d -a V -b +b ~-c
1)
a V -a
4.
1)
1)
P V (q 1\ r)
2) (q 1\ r) ~ -s 3) P -s t
p V - p
3. p ~
1)
2) 3) - p ~
1)
p ~
2)
r ~s
3)
p V
-(r 1\ s)
6.
-p V -q -p ~-r -q ~-s
1)
a ~ (p ~ q)
2) aVb 3) b ~ (q V r)
r
ª V r (S. D. 1, 2, 3)
Si el placer es definido verbalmente, entonces no nos entenderán Si el placer es definido ostensiblemente, entonces podrán comprender qué entendemos por placer El placer puede ser definido verbalmente o puede ser definido ostensiblemente
p ~
q 5.
4)
1)
2) q ~t 3) pVq
2) a ~ (b 1\ e) 3) -a ~ (d 1\ e)
O se tiene una visión primitiva de las cosas llamada «animismo», o se está más cerca del sentido común
4)
obtener las conclusio-
-r V s (S.D. 1, 2, 3) 1.
O se tiene la tendencia de conferir al) a los objetos inanimados características que sólo pertenecen a los seres animados, o no se tiene esta tendencia Si se tiene la tendencia de conferir 2) a los objetos inanimados características que sólo pertenecen a los seres animados, entonces se tiene una visión primitiva de las cosas llamada «animismo» Si no se tiene esta tendencia, se está 3) más cerca del sentido común
O no nos entenderán, o podrán comprender qué entendemos por placer
de aplicación
Soluciones
Las conclusiones Del Del Del Del . Del Del
-q
r
-q V s (S.D. 1,2,3)
del eje,.cicio
problema problema problema problema problema problema
1: 2:
3: 4: 5: 6:
anterior
die los problemas son las siguientes: d V -c. t V -s. (b 1\ e) V (d 1\ e). -(r 1\ s) V t. -r V -s. (p ~ q) V (q V r).
Algunos ejemplos ,en los que hay que aplicar dos veces 1 Silogismo Disyulntivo en un mismo problema
n los ejemplos qure siguen observaremos cómo la disyunción inicial, es, la que tomamcis como punto de partida, se encuentra, claro está, intrc las premisas, y la' segunda disyunción, que nos servirá también pura aplicar esta reglar, se encuentra en la conclusión. .~sL n s sirve parra re ordar algo que ya e ha dich en otras 'st
\\ 'usi n s:
1.11 110
uc no s lo 11Itl 1 r 'misas, .in uirnbi n las '011'llI/don '/j pu xl in 111 ilii,III'/j' si '011 ~ello 11, IIlno. ti ItI 1 '1110slrll 'i('\1I • ¡ ¡ 11,
111
2.0
Ya veremos más tarde que las premisas y las conclusiones pueden utilizarse cuantas veces sean necesarias y, por tanto, el hecho de haber utilizado una premisa o una conclusión no significa que quedan descartadas del cálculo inferencial, sino que pueden utilizarse cuantas veces lo exija el problema. D:-a
D:a V b 1) pVq 2) p -r-r 3) q ~s 4) r ~a 5) s ~b 6) 7)
«> T
r Vs aVb
(S.D. 1, 2, 3) (S.D. 4, 5, 6)
1) 2) 3) 4) 5)
-q -s -p -r -p
6) 7)
-s V -r -b V -a
V -b
~-r ~-b ~-s ~-a V -q (S.D. 1, 3, 5) (S.D. 2, 4, 6)
D:(r 1\ s) V t
D:(r V s) V d 1) 2) 3) 4) 5)
q ~c pVq (a 1\ b) ~ (r V s) p ~ (a 1\ b) e ~d
1) 2) 3) 4) 5)
(a 1\ (e 1\ p ~ q~1) (a 1\
6) 7)
(a 1\ b) V c (S.D. 1, 2, 4) (r V s) V d (S.D. 3, 5, 6)
6) 7)
(S.D. 1, 2, 5) p Vq (r 1\ s) V t (S.D. 3, 4, 6)
Aplicación de las cuatro en un mismo problema
b) V (e 1\ d) d) ~ q (r 1\ s) b) ~ P
Regla del Ponendo Ponens: Dado urí condicional y la afirmación de su antecedente, mos concluir con la afirmación de su consecuente.
pode-
reglas conocidas
Como vemos, a medida que vamos conociendo nuevas reglas, I s problemas de inferencia pueden irse complicando. Pero es una complicación aparente, que no supone grandes dificultades. Creemos imprescindible el conocimiento preciso de cada una de las reglas que vamos ofreciendo. El menor titubeo en su definición puede colocamos en un callejón sin salida. La Lógica en esto es traicionera e 11 los que la aprenden superficialmente y generosa y agradecida con 1 H que, paso a paso y con rigor, se van introduciendo en ella. Nos encontraremos, pues, con ejercicios y problema en lo que aparezcan varias premisas. No nos debe asustar el número d In, mismas. Unas serán condicionales, otras disyunciones; de m m nt no conocemos otras reglas en las que intervengan las restan; S con t ivus, Sabiendo esto, t ndrem s qu ncontrar lo IU S s n 'i¡tI '1) 11 11
resolución de un problema de inferencia: el punto de partida. ¿Por dónde empezar? Hay ejercicios que vienen, por así decirlo, ordenados. Basta con emparejar la premisa primera con la segunda para que el problema 'comience a resolverse con facilidad, pero esto no ocurre con frecuencia. Nuestro consejo es que se recorran detenidamente las premisas. Si una de ellas es un condicional, por ejemplo, revisaremos las demás con el fin de poder aplicar, de momento, las reglas en las que interviene esta conectiva, esto es, Ponendo Ponens (P.P.) y Tollendo Tollens (TT). Si nos encontramos con una disyunción haremos lo 'mismo, pues de momento con esta conectiva sólo podemos aplicar o el Tollendo Ponens (TP.) o el Silogismo Disyuntivo (S.D.). No nos debemos olvidar tampoco de las conclusiones que vayan surgiendo, pues nos serán sin duda de gran utilidad, como ya hemos tenido ocasión de comprobar, en los ejercicios de todo este capítulo. Recordemos también que es imprescindible indicar, mediante las siglas que ya conocemos, la regla que ha sido aplicada, así como los números de orden de las premisas o de las conclusiones afectadas. Dicho esto, pasemos a recordar las cuatro reglas conocidas, así como los esquemas o modelos de cada una de ellas:
Regla del Tollendo Tollens: Dado un condicional y la negación de su consecuente, podemos concluir con la negación de su antecedente.
H gla del Toilendo Ponens:
ada una di yunci n y la negación de uno de pod .rnos . n luir c, n la afirrna i n d 1 otr .
us miembros,
11 ,
Regla del Silogismo
3) -(a V 4) q ---+ b 5) -r 6) c ---+ d
Disyuntivo:
Dada una disyunción y dos condicionales cuyos antecedentes sean los miembros respectivos de esa disyunción, podemos concluir con la disyunción de los consecuentes de los condicionales anteriores.
5.
D:c' 1)
Esquema
Esquema
del Ponendo
primeras
Ponens
3)
reglas
Esquema
del Tollendo
p---+q
p
p
-q
q
-p
4) 5)
Tollens
Ponens
Esquema
pVq
-p
p q
6. '
-r p---+a Ka V b)---+c q -----+ b -(p V q) ---+ r
D:r 1). -[ -(a
2) -c 3) -d 4) a ---+ 5) (p V 6) b ---+
D:-q
7. 1)
del Silogismo
p V q
-r
p q) q
V
---+
9) ---+c]---+d r
q
---+
2)
del Tollendo
---+
-,
2) Esquema de estas cuatro
3) b ---+ q 4) a ---+ p 5) -c 6) (t V s)
b) V c
---+
r
---+
s
3)
Disyuntivo
4) 5) 6)
8.
q ---+ =d r ---+ a -p V (r V s) s ---+ (b A c) [a V (b A c)]---+d p
D:c 1)
2) 3) 4) 5) 6)
Vd
(r V s) ---+ (a V b) p ---+ r p V -q a ---+ c -q ---+ s b---+d
q
9.
r V s
D:-m 1)
2) 3) 4) 5) 6)
Problemas de inferencia en los que hay que aplicar las reglas P.P., T.T., T.P. Y S.D. 1. 1) 2)
3) 4) 5) 6)
3.
D:-(b
1) p 2) q
pVq (r V s) ---+ t p ---+ r a ---+ -t q ---+ s a ---+ b
3) 4) 5) 6)
+
---+
A e)
7) 8)
s
-(r V s) -a V b -p V -q t V a -p---+r b ---+ (c A d) -q ---+ s m ---+ -(c A d)
4.
1)
-(p V q) p---+a
---+
r
1) )
(a V h) V e ('1 V r¡) - r
f)('/
1) K)
7) 8) 9)
ejercicio 1 (r V s)(S. . 1,}, 1 (P.P. _, 7)
-r
---+
-q
2) -p V (a V b) 3) (c V d) ---+ q 4) a ---+ c 5) -r V s 6) p
a ---+ -(s V t) p ---+ (q V r) r---+t a V -(b A e)
O: -(1 V s)
D:m
t ~
luciorres de los ejercicios D:d
1) 2) 114
2.
D:b
10.
s
---+
t
b ---+ d -m ---+ -t
anteriores
Del ej zrcicio 2 ) .
7)
X)
(t¡ V r) (P.P. 1, 4) (8 V 1) (S. . , ,7) 11
(T.T. 4, 8) (P.P. 6,9)
9) -a 10) b
9) 10)
-a -(b
/\ e)
(T.T. 3, 8) (T.P. 6,9)
REGLA DEL SILOGISMO
,
HIPOTETICO
Ejemplos: Del ejercicio
e d
Del ejercicio
6) 7) 8)
9) 10) 11) 12) 13) 14)
-t a b
(e /\ d) -m
7) 8) 9) 10)
3, 6) 2, 4, 7) 5, 8) 1, 9)
7) 8) 9)
-(t V s)
(S.D. (T.T. (T.P. (T.P. (P.P. (T.T.
3, 1, 4, 2, 6, 8,
5, 7) 9) 10) 11) 12) 13)
10) 11) 12) 13) 14) 15) 16)
s t m
1, 3, 2, 6,
5) 4, 7) 8) 9) .
e] (T.T. (T.T. (S.D. (P.P.
1, 2, 4, 5,
3) 7) 6, 8) 9)
8 (S.D. 2, 3, 5) (P.P. 1, 7) (S.D. 4, 6, 8)
(r V s) (a V b) (e Vd)
(a V b) (e V d) q r
(T.P. (S.D. (P.P. (T.T.
6
[-(a V b) ~ (a V b) (p V q) r
Dél ejercicio
9
4
(a V b) pVq r
Del ejercicio
7
(T.P. (r V s) a V (b /\ e) (S.D. (P.P. d (T.T. -q
(r V s)
7) 8) 9) 10)
Del ejercicio
(T.T. 1, 5) (S.D. 2, 4, 6) (P.P. 3, 7)
e
Del ejercicio
1, 5) 2, 4, 7) 3, 8) 6, 9)
5
(p V q) (a V b)
Del ejercicio
7) 8) 9) 10)
(T.T. (S.D. (T.P. (P.P.
(p V q) (a V b)
7) 8) 9) 10)
Del ejercicio
3
10
Ej. 1:
Ej. 2:
1) 2)
p ~q q ~ r
1) 2)
p ~ -q -q ~ r
3)
p ~
3)
p ~
r
(S.H. 1, 2)
Ej. 3:
2, 4, 3, 1, 5,
6) 8, 10) 11) 12) 13) 7, 14) 9, 1~
(S.H. 1, 2)
Ej. 4:
1) 2)
q ~
-p ~ q -r
1) 2)
-p ~ -q -q ~ r
3)
-p ~ -r (S.H. 1, 2)
3)
-p ~r
(S.H. 1,2)
Ej. 5:
Ej. 6:
1) 2)
~p ~ (r /\ s) (r /\ s) ~ (a /\ b)
2)
(a V b) ~ e e ~ (p V q)
3)
-p ~ (a /\ b)
3)
(a V b) ~
Ej. 7: (T.P. (S.D. (P.P. (T.T. (T.P. (P.P. (T.T.
r
1)
(p V q)
Ej. 8:
1) 2)
-(p r ~
/\ q) ~ r -(s V t)
2)
(p /\ q) ~ r ~s
3)
-(p
/\ q) ~
3)
(p /\ q) ~ s
-(s V t)
1)
r
Explj¡:ación:
Observando los ejemplos que preceden como modelos del Silogismo Hipotético veremos que esta nueva regla tiene un esquema fácilmente . comprensible: l. o Se nos ofrece como premisa inicial un enunciado condicional. Si nos fijamos en los ejemplos anteriores este enunciado condicional puede adoptar todas las situaciones posibles, esto es: -
Su antecedente puede ir negado y su consecuente no, O viceversa. Tanto el antecedente como el consecuente pueden ir negados. Ni el antecedente ni el con ecuente van negados. -<1ant e d nte y el e nsecu ntc pueden ser enunciados atómicos. :¡ nnt . ,ti 'ni' y '1 .onsccu .ntc pu den ser en un iado» m I cula-
r 's. II)
11
I
y todas estas situaciones posibles no nos deben preocupar parque no afectan la correcta aplicación de la regla, cama veremos ahara.
2.0 Se nos ofrece luego otro enunciado condicional, que es el que nos va a permitir, par su peculiaridad, detectar el Silogismo Hipotético, Esta segunda premisa, este segunda enunciada condicional, se caracteriza par la siguiente: su antecedente es el consecuente de la premisa anterior, esta es, de la que hemos tornado cama punta de partida. (Véanse las ejemplos.) 3.0 La conclusión es, a su vez, otro enunciada condicional, cuya antecedente es el antecedente de la premisa inicial y cuya consecuente es el consecuente de la segunda premisa. Coloquemos las premisas y la conclusión linealmente; ella el primer ejemplo propuesta y tendremos: p
--+
elijamos para
r
Efectivamente, las premisas nos dicen: primera, que si ocurre p, entonces ocurre q, y la segunda, que si ocurre q, entances ocurre r. Obviamente la conclusión es que si ocurre p, entonces ocurre r. Observemos que el consecuente de la primera, q, que es el antecedente de la segunda, ejerce una función de «puente» entre p que es el antecedente de la premisa inicial, y r que es el consecuente de la segunda premisa. Pongamos un ejemplo en lenguaje ordinario: 1) 2) 3)
Si el gobierno adelanta la hora, mañana nos levantaremos el noche. Si mañana nos levantamos de noche, entonces tendremos qu dejar preparadas las linternas. Si el gobierno adelanta la hora, entonces tendremos que dejar preparadas las linternas.
Simbolizando esta inferencia tendremos:
Se observa en la gráfica superpuesta al esquema, que iend (1 consecuente de la primera premisa y antecedente de la segunda, p k mas deducir un enunciada condicional formad p r 1 antec dent d 11 premisa inicial, p, y par el ns cu nt d lu se linda 1 r 'mis", r. .,
118
Regla del Silogismo Hipotético: Dadas das enunciadas condicionales de tal forma que el consecuente del primera sea a su vez el antecedente del segunda, podemos concluir can .otra enunciada condicional, cuya antecedente sea el antecedente del primera y cuya consecuente sea el consecuente del segunda.
Podemos recordar también esta regla esquematizándola modo:
del siguiente
Premisas: 1.a Un enunciada 2.a Un enunciada cuente del anterior.
condicional. condicional
cuya antecedente
es el canse-
Conclusión: Un enunciada condicional cuya antecedente es el antecedente del primera y cuya consecuente es el consecuente del segunda.
Las siglas que indicarán que se ha aplicada el Silogismo Hipotético serán las de S.H., seguidas par las números de arden de las premisas que se hayan utilizada.
La premisa inicial en el Silogismo
Hipotético
Cuando tengamos que aplicar un Silogismo Hipotético en un problema de- inferencia compuesto par más de das premisas .y en el que, por (unto, sea necesaria aplicar varias reglas, tendremos lógicamente que '11(; ntrar das enunciadas condicionales can las características ya indicadus. P ro estas das enunciadas condicionales no necesariamente tienen tI\I . ir colocados juntas, esta es, cama premisas numeradas correlativaIn intc, ni siquiera de tal forma que el enunciada inicial aparezca can un númcr dc arden inferior al segunda enunciada. I\stú situación pr v ea, e n frecuencia, que no se detecte la posibilidlld ti' apli al' un il zismo Hip t tic en un pr blcrna el inf rcncia. S, 11 .on» 'jn, 11< r tunto, n .stc 'as, s parar el lns pr 'misas ludas IIq\lllIlIN ruc 11I ,ti 111r> .rmií ir 111 li '111' 'stn J" la '1I111biuf'lll,' de ( rd 'n si 1
11)
es necesario, y así comprenderemos mejor si podemos aplicarla o no. Veamos un ejemplo. Un problema como el que sigue: D:a 1)
t
2) 3) 4) 5)
-q
--'>
Construyamos un enunciado condicional cuyo antecedente esté compuesto por la conjunción de las premisas y cuyo consecuente sea la conclusión, y tendremos:
al')
[(p
--'>~'
V t: p ~-'--q (p --'> r) --'>
Elaboremos
=r S:
[(P V F V F V F V F
-q --'> r p --'> -q
4)
Si ahora cambiamos
1\ (q
--'>
r)]
--'>
(p
--'>
r)
--'>
q)
/\
(q
--'>
r)]
--'>
(p
--'>
r)
IV V F V V V F V
V V F F V V F F
V V F V F F F V
V V F F V V F F
V V V V F F V V
V V V V F F F F
V V V V V V V V
V F V F V F V F
V V V V F V F V
V V V V F F F F
el orden de las mismas tendríamos:
2)
y así veríamos mejor concluiríamos con:
Ejemplos del Silogismo
p --'> -q -q --'> r
4)
la existencia p
de un Silogismo
--'>
1) Hipotético
p
--'>
2)
q
--'>
-r
3)
Si la manipulación social es el acto de forzar las voluntades de los demás en beneficio del manipulador, entonces la manipulación social no es un acto éticamente aceptable
3)
p
--'>
-
1)
Si se firma el convenio cultural, entonces hay intercambio de profesores i hay intercambio de profesores, tcnemo que nviar a cinco n mistas y ell S n S envían d R in ni r S d inf rrnáti LI
1) p
--'>
q
2)
--'>
(1' /\ s)
2)
q
(S.R. 2, 4)
p
7) 8)
s (P.P. 5, 6) t (T.P. 3, 7)
9)
a
r
1)
r
6)
--'>
Hipotético
Si la manipulación social es el acto de forzar las voluntades de los demás en beneficio del manipulador, entonces la manipulación social es un acto de demagogia Si la manipulación social es un acto de demagogia, entonces no es un acto éticamente aceptable
y
A partir de aquí, el problema ya no puede tener secretos para nosotros y su solución sería como sigue:
(P.P. 1, 8)
Tautología: La aplicación correcta del Silogismo Hipotético provoca, al igual que en las demás reglas, una tautología, esto es, un enunciado verdadero en todos los casos posibles. Sea:
1 O
q)
ahora su tabla de verdad y obtendremos:
S
no se soluciona, esto es, no llegamos a la solución exigida, en este caso a, si no comenzamos por aplicar la: regla del Silogismo Hipotético. Quizás a simple vista no se detecten las premisas que se pueden utilizar para ello. Si separamos ahora las premisas 2)y 4) tendríamos: 2)
--'>
1)
p
--'>
q
2)
q
--'>
r
3)
p -~
r
q
r
(S. R. 1, 2)
I• I
3) Si se firma el convenio cultural,
3) p _ (r 1\ s) (S.R. 1, 2)
3) Si la mística se recomienda como
entonces tenemos que enviar a cinco economistas y ellos nos envían dos ingenieros de informática 1) 1)
2)
Si no se admite la libertad de expresión, entonces no se cumple un mandato constitucional Si no se cumple un mandato constitucional, entonces todo ciudadano responsable debe protestar enérgicamente
3) Si no se admite la libertad de
1)
-p --q
2)
-q -r
2)
2)
Si decimos que puede llevarse a cabo una operación algebráica sin tener idea del significado de los símbolos, adoptamos un enfoque formalista Si adoptamos un enfoque formalista, defenderemos también que es posible seguir el curso de un razonamiento sin tener conocimiento del significado de los términos
3) Si decimos que puede llevarse
1)
2)
Si la mística se recomienda como actitud hacia la vida, entonces no se recomienda como credo acerca del mundo Si no se recomienda como credo acerca del mundo, entonces la mística no pretende ser una ciencia
Si Guillermo de Ockam tenía razón, entonces la Teología no es una ciencia Si la Teología no es una ciencia, entonces la Moral no es una ciencia y las cuestiones teológicas son cuestiones de fe
1) p -q
2)
2)
3) Si Guillermo de Ockam tenía razón,
q -r
3) p_r
(S.R. 1,2)
1)
.) p --q
2)
-q -
-p --q
2)
-q _r
3) -p _ r (S.R. 1, 2) 1)
p --q
2)
-q _ (-r 1\ s)
3) p _( -r I\s)(S.H. 1,2)
entonces la Moral no es una ciencia y las cuestiones teológicas son cuestiones de fe
2)
1)
1)
miro, entonces estará inapetente
3) -p _ r (S.R. 1, 2)
a cabo una operación algebráica sin tener idea del significado de los símbolos, entonces defenderemos también que es posible seguir el curso de un razonamiento sin tener conocimiento del significado de los términos 1)
Si alguien no existe cuando no lo miro, entonces su apetito no aumenta durante su no existencia Si su apetito no aumenta durante su no existencia, entonces estará inapetente
3) Si alguien no existe cuando no lo
expresión, entonces todo ciudadano responsable debe protestar enérgicamente 1)
3) p _ -r (S.R. 1, 2)
actitud hacia la vida, entonces la mística no pretende ser una ciencia
Si el General es el menos general de todos los soldados, entonces el soldado es más general que el General Si el soldado es más general que el General, entonces debería cobrar más Si el General es el menos general de todos los soldados, entonces el soldado debería cobrar más
1) p-q
2)
q _r
3) p _ r (S.H. 1, 2)
-r
11\
Ejercicios combinados en los que aparecen anteriores y el Silogismo Hipotético
4)
las reglas
Conviene repasar las cinco reglas explicadas, así como los esquemas de cada una de ellas. - Conviene recordar que ante un enunciado condicional puedo encontrarme con la posibilidad de aplicar un Ponendo Ponens, un Tollendo Tollens y un Silogismo Hipotético. Y también que ese enunciado condicional cuyo antecedente sea miembro de una disyunción junto con otro de las mismas características puede dar pie a aplicar el Silogismo Disyuntivo. Es necesario, por tanto, revisar el resto de las premisas y las conclusiones si las hubiere. - Conviene tener presente también que ante un enunciado disyuntivo puedo encontrarme corr'la posibilidad de aplicar un Tollendo Ponens y un Silogismo Disyuntivo. Dicho esto, veamos algunos ejercicios de inferencia en los que es necesario aplicar el Silogismo Hipotético y algunas de las reglas ya conocidas: D:-a 1)
1l. 3) 4
5)
(p - r) _ p -q sV t q _r a --t
-s
1)
2) 3)
4) 5)
-t -q -r -(p -. -q) - t (p - r) _ (a V b) -a
1) 2)
3) 4)
9.
q _r -b - [-(p -q) -a
Solución
-r)
1)
q _r
b) V -c 1') (p
2)
-(a -
3)
-(s V t) -
1) 2) 3)
4) 5)
t
b-d q -r (p - r) _ (a V b) p -q a -c
1) 2) )
(p V c¡) -~ (1' +d V t¡ h
(-p
_
-o
-h
s)
1) )
lO 11
>1)
I ('
1/
~I
-a (p _ q) Va +b V (q _ r) b
anteriores
Del ejercicio 2 (S.H. (P.P. (T.P. (T.T.
2, 4) 1, 6) 3, 7)
5, 8)
1 /,1 ~ rcicio 3
1) 1)
1) 2) 3) 4)
-al-b
-r) (S.R. 2, 4) (T.T. 1, 5) (T.P. 3, 6)
1 )1,1 1:1('rci io 5
D:m
6.
-a
D:p _r
10.
de los ejercicios
1ejercicio 1 (p _ r)
-(p _q) V -r -(p - s) V t q -s t -(a -b) 5) (a - e) - d 6) b -c 7) r
1) 2) 3) 4)
b)
D:p -r 1) 2) 3) 4)
aVb
D:d
8.
p V q p _r (r V s) _ (a (a - c)-d 5) q -s 6) -t --d 7) b -c
D:c Vd
4.
D:y V x
5.
1 4
D:-b a _ -( -p _ -q _-r +b Va -p --q
7)
8) c- -(r _ t)
1) 2) 3) 4)
-s 3.
-q)
D:t
7.
D:b
2.
6) s -s t
a-d -c -(p 8) t·-x
-
-d-m
5) a-p
6) 7)
Observacionesprevias
1.
4)
d-b
5) s -y
6) p --q 7) 8) 9)
p -r aVb b
(T.T. (S.H. (P.P. (T.P.
1, 3) 2, 6) 4, 7)
5, 8)
Del ejercicio 4 6) (p _ r) (S.H. 2,4) 7) aVb (P.P. 3, 6) (S.D. 1, 5, 7) 8) c V él Del ejercicio 6
( .H. 4, 6) (T.P.2, ) (P.I . 7. 10)
)
10 11)
(p V c¡) (S.D. , 5, 7) r s (P.P. 1, (S.II, l. 1() r I
(S.H. 1, 11) (T.T. 3, 12) (S.D. 5, 8, 13
p ~r
12) 13) 14)
6
s Vt yVx
Del ejercicio
7 (S.D. 1, 2, 5) (P.P. 3, 8) (S.H. 7, 9) (P.P. 4, 10) (T.T. 6, 11)
8) (r V s) 9) (a ~ b) 10) (a ~ c) 11) d 12) t
Del ejercicio
5) 6) 7)
[ -(p
9
~ q) ~ (p ~ q) (p ~ r)
a] (T.T. 2, 3)
(T.T. 4, 5) (S.H. 1, 6)
12) 13) 14)
-c -d m
(T.T. 8, 11) (T.P. 2, 12) (P.P. 4, 13)
Del ejercicio
8
8) p~q 9) p I ~s 10) t 11) a~b 12) a ~c 13) d
(T.T. 1, 7) (S.H. 3, 8) (T.P. 2, 9) (P.P. 4, 10) (S.H. 6, 11) (P.P. 5, 12)
Del ejercicio
10
5) 6) 7)
(T.P. 1, 2) (T.P. 3,4) (S.H. 5,6)
P ~q q ~r p ~r
REGLA DE LA SIMPLlFICACION Ejemplos:
Ej. 1:
Ej. 2:
1)
pAq
1)
-p
A -q
1)
aAb
2) 3)
p (S. 1) q (S. 1)
2) 3)
-p -q
(S. 1) (S. 1)
2) 3)
a (S. 1) b (S. 1)
Ej. 4:
Ej. 3:
Ej. 5:
1)
(p V q) A r
1)
-(p V q) A -(r
2) 3)
(p V q) (S. 1) r (S. 1)
2) 3)
-(r
V s)
-(p V q) (S. 1) V s) (S. 1)
Ej. 6:
Ej. 7:
1)
(p ~ q) A (r ~ s)
1)
p A (r
2) 3)
(p ~q) (r ~s)
2) 3)
p (r
(S. 1) (S. 1)
+-+
+-+
s)
(S. 1) s) (S. 1)
Explicación:
Esta es una regla muy sencilla y, como veremos más tarde, de gran utilidad. Se parte, como vemos en los ejemplos anteriores, de una sola premisa. Esta premisa, si nos fijamos bien, consiste en un enunciado conjuntiva, cuyos miembros pueden ser enunciados atómicos o moleculare , poco importa. Se parte, pues, de una conjunción y se deduce de ella cualquiera de sus miembros o los dos si es necesario. Podemos hacer esto por la razón siguiente: 1
(l
•.."
Si recordamos la ley de la verdad de la conjunción, tendremos presente que una conjunción es verdadera solamente cuando sus dos miembros son verdaderos . Como ya hemos repetido en varias ocasiones, la verdad de las prernisas no se cuestiona, esto es, partimos del supuesto de que toda premisa es verdadera. Así, si p A q es una premisa, p A q es un enunciad v rdad ro, al tratars duna conjun ión qui re 11 decir qu 'SLlS mi .mbros, uislndam ntc considerados, son tumbién vcrdu 1 'ros, lo 1111 111 1 lo q 11' ')1 .src 'as p s v rdu I .ro o 's v '"dad '1'0, l
1
Ó
I I
I'
3.°
Por tanto, puedo simplificar la conjunción en cualquiera de sus miembros, y concluiré con p o con q, según convenga. Lo cual implica que puedo concluir con uno de ellos, con el otro o con ambos.
Nota:
En los ejemplos anteriores hemos simplificado las conjunciones en sus dos miembros. Podemoshacerlo, efectivamente, pero no es siempre necesano. Por principio de economía, principio fundamental de la Lógica, simplificaremos solamente aquel miembro de la conjunción que nos permita obtener la conclusión exigida. En algunos casos tendremos que simplificar los dos, pero no en todos. Simplificar la conjunción en sus dos miembros no es incorrecto, pero en ocasiones puede ser supérfluo. Veamos, pues, algunos ejemplos en los que sea necesario simplificar . la conjunción en uno de sus miembros y en los que necesitemos simplificarla en los dos: D:s 1) p_q
-q;;;]
2)
r 1\
4) 5)
-q (S. 2) -p (T.T. 1,4) s (P.P. 3, 5)
3)
6)
-p -
s
D:d
3)
-q V (a _ b) -p V (b _ e) (a _ e) _ d
4)
p 1\ q
1) 2)
p (S.
q (S. 4)
D:(c V d) 1) 2) 3)' 4)
q _ (a V b) p 1\ q ---------, a -c
b-d
6)
7)
q (S. 2) ----J (a V b) (P.P. 1, 5) (c V d) (S.D. 3, 4, 6)
1, 6) c) (TP. 2, 5) c) (S.R. 7, 8) (P.P. 3, 9)
1) a 1\ +b ----------, 2) (r V s) _ t 3) 4)
p 1\ q
2)
q (S. 1)
podemos f?rI?ar un ~nunciado condicional cuyo antecedente, en este caso, es la umca premisa y cuyo consecuente es cualquier miembro de la conjunción, y tendremos: ,.
p-r +b _
Elaborando
ahora su tabla de verdad, obtendremos
(p V q) -(q _ s) - -a
(p
1\
q) V V
6)
-b\ (S. 1) -----,
V
V
7)
(p Y q) (P.P. 4, 6)
F
8)
a (S. 1)
V
F F
9) 10) 11) I 8
b) (TP.
1)
D:t
5) 5)
Ya sabemos que una tautología es aquel enunciado que es verdadero en tod?s lo~ cas~s posibles; pues bien, la aplicación correcta de la regla d~ la Simplificación provoca, como en las reglas anteriores, una tautologia, En efecto, de:
4)=:=]1-----
5)
(a _ (b (a d
Tautología
---------,1
6) 7) 8) 9) 10)
Como hemos podido comprobar, y la gráfica que hemos acoplado a l?s problemas anteriores así nos lo indica, en dos de ellos ha bastado con simplificar la conju~ción en un? so.lo de sus miembros, mientras que en lo~ otros dos ha SIdo necesano simplificar la conjunción en sus dos miembros, pues de otra forma no hubiera sido posible demostrar la conclusión que en ellos se exigía. La sigla que debe acompañar a toda conclusión, obtenida aplicando la, regla de la ~i~plificación, es la «S», seguida en este caso por un solo numero,que indica el lugar que ocupa la premisa sobre la que se ha aplicado la regla.
(q -- s) (TT. 5, 8) (r VIS) (S.D. 3,7,9) t (p(P. 2, 10)
F
-
q
V V
V V
V V
F
-
una tautología:
F
¡j
I
l'
I
Veamos otro ejemplo: p 1\ (q V 1')
1)
[p
(q V 1') (S. 1)
2)
que tener presente que, al no tratarse de enunciados conjuntivos, no se podrá aplicar sobre ellas la regla de la Simplificación.
V F V F V F V F
1\ V F V F V F F F
(q
V V F F V V F F
V V V V V V V F F
1')] V V V V F F F F
~ V V V V V V V V
(q
V V F F V V F F
V V V V V V V F F
1')
2.a
(p V q). Cuando se comienza a aplicar la regla de la Simplificación, es frecuente también observar que se tiene la tendencia de simplificar disyunciones. Repetimos que esta regla solamente se puede aplicar sobre la conjunción. ¿Por qué no sobre las disyunciones? Pues porque si recordamos la tabla de verdad de la disyunción sabemos que ésta es verdadera cuando al menos uno de sus miembros es verdadero; solamente, pues, sabemos eso, lo que no sabemos es cuál de ellos lo es y, por tanto, no podemos decidimos en descomponer la disyunción en alguno de sus miembros. Las disyunciones, pues, no pueden simplijicarse.
3.a
(p 1\ q) ~ r. También es frecuente observar que ante premisas de este tipo, quienes se inician en la resolución de problemas de inferencia, suelen simplificar la conjunción que aparece como antecedente. Se advierte que en situaciones como esta esa conjunción, al ser antecedente o consecuente, forma parte de un enunciado condicional y, por tanto, no se la puede simplificar. Diremos lo mismo para casos como (a 1\ b) V c. En este último ejemplo la conjunción es un miembro de una disyunción y no se puede aplicar sobre ella la regla de la Simplificación.
V V V V F F F F
Regla de la Simplificación:
Toda premisa conjuntiva puede ~implifica~se ~n cualquiera sus miembros. Así como las conclusiones conjuntivas.
Advertencia
de .
Veamos: Si los enunciados que aparecen a continuación fueran premisas dadas, ¿sobre cuáles podría aplicarse la regla de la Simplificación?
sobre la regla de Simplificación
Es muy frecuente, y por eso se advierte e?- este a~artado, que quienes se inician en la resolución de problemas de inferencia hag~n un mal.uso de la regla de la Simplificación, en oca~iones por error involuntario y también por el desconocimiento del estncto alcance de l~ re~l~. Cuando se dice que una premisa conjuntiva puede sImpl.I[¡carse en cualquiera de sus .miembros, se quiere decir que toda premisa de este tipo puede descomponerse en sus dos miembros y que estos se pueden utilizar por separado. Advertimos ahora que sólo pueden simplificarse las co~jun~iones. D' tal forma que premisas como las que siguen no pueden szmplificarse: l,a
-(a 1\ b). Si este enunciado fuera una pre~isa dada, no podrln simplificarse, pues no se trata de una conjuncz~n. Ver la conectrva 1\ puede llevamos a engaño. Si nos fijamos b~~n veremos q.ue ~Sl(' enunciado
no es una conjunción,
sino la negacton
de una
onjun
1) 2)
) 4) )
(p 1\ -(a (p V (p 1\
-q)
6)
1\ -b)
7) 8)
1') 1\ s 1') V S (p ~ q) 1\ (1' ~
s)
9) 10)
(p 1\ q) ~ (1' 1\ s) (- p V q) 1\ t (- p 1\ q) V t (p +-+ q) 1\ (1' +-+ s) (p 1\ q) +-+ (1' 1\ s)
olución: La regla de la Simplificación solamente s brc los enunciados impares del ejercicio anterior.
puede aplicarse
/6/1.
que es bien distinto. De tal forma que cuando nos n ntr rno con premisas de este tipo: -(p 1\ q), -(r 1\ -s), t., t ndr 'ITIO l. O
111
Ejemplos, en lenguaje ordinario, la regla de la Simplificación
en los que hay que aplicar
1)
Si la muestra es representativa, entonces -se pueden deducir conclusiones importantes acerca de la población 2) La muestra está realizada al azar y es representativa
1)
p ----* q
2)
r 1\ p
1) 2)
O las partes del mundo no son independientes o existe un caos Las partes del mundo no están ligadas sólo de manera mecánica y no existe un caos
3)
No existe un caos
1) 2)
3)
4) Las partes del mundo no son
I
-p
V q
-r
1\ -q
"--
-q (S. 2)
4) -p (TP. 1,3)
independientes 3)
La muestra es representativa
4) Se pueden deducir conclusiones importantes 1) 2)
3)
2)
3)
4)
1)
2)
3) 4) l.
p (S. 2)
1)
acerca de la población
La variable sólo puede tomar un valor Y es una variable continua Si la variable puede tomar sólo un valor, entonces se llama constante La variable sólo puede tomar un valor
4) Se llama constante 1)
3)
4) q (P.P. 1, 3)
Si a cada valor que una variable X puede tomar le corresponde uno o más valores de otra variable y, entonces Y es función de X y no es función de X y la variable es discreta y no es función de X No ocurre que a cada valor que una variable X pueda tomar, le corresponda uno o más valores de otra variable Y Si un anillo A está ordenado, entonces existe sobre A una relación de orden total compatible con la ley de adición No existe sobre A una relación de orden total compatible con la ley de adición y A es un anillo conmutativo No existe sobre A una relación de orden total compatible "ton la ley de adición Un anillo A no está ordenad
2)
1)
pl\q
2)
p ----* r 3)
3)
p (S. 1)
4)
4) r (P.P. 2, 3) 1)
2)
3)
4)
Si las palabras no tienen significado por sí mismas, entonces el significado surge del contexto en el que aparecen El significado surge de convenios gramaticales y las palabras no tienen significado por sí mismas L~s palabras no tienen significado por sí mismas El significado surge del contexto en el que aparecen
1)
- P ----* q
2)
r 1\ -p
3)
-p (S. 2)
"-
4) q (P.P. 1, 3)
p----*q
-q
1\ r
Ejercicios anteriores
combinados en los que aparecen y la Simplificación
1.
D:b 1\ e 1) 2) 3)
-q(S. 2) -p (TT 1, 3)
4) 5)
1)
p ----* q
2)
-q
3)
-q ( . 2)
4)
-,1( .1'.1, .)
3. 1\ r
D:r
2.
r----*t (p ----* q) 1\ (r V s) -(b 1\ e) ----* -t a----*p (a ----* q) ----* - s
D:a V b 1) - (p 1\ q) ----* r 2) s ----* a )1 -r 4) q -~ (s V 1) 1 ~b
las reglas
1) p----*q 2) -e 3) b ----* (p V -a) 4) -q V r 5) a 1\ (b V e)
D:a
4. 1) 2) 3)
- [-(a e d
1\ b) ----* -cl-"'rl
III
D:c
5. 1) 2) 3) 4)
D:m
6.
q ~r (p ~ r) ~ (a 1\ b) p ~q +b V c
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)
Solución
s -s t (r ~ t) ~ (a V b) (p ~ q) 1\ (r ~ s) =b V m (p ~ q) ~ (a ~ c) b~d -s ~-c t ~ -(c Vd)
de los ejercicios
anteriores
Del ejercicio 2
Del ejercicio 1 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12)
p ~q (S. 2) (S.H. 4, a ~q -s (P.P. 5, (r V s) (S. 2) (T.P. 8, r (P.P. 1, t (b 1\ e) (T.T. 3,
6) 7) 9) 10) 11)
Del ejercicio 3 D:-q
7. 1) 2) 3) 4) 5) 6)
1) 2) 3) 4) 5) 6)
-(a 1\ b) ~ P -r 1\ s -i. V c -p V r c ~d -(t 1\ -q) ~ +d
D:d
9.
D:c 1) 2) 3) 4)
5)
(p 1\ q) V r s 1\ -r t V -q -t Va -a V (b 1\ c)
(r V s) ~ (a 1\ b) q ~s -p V q c V -i -p ~r =d ~-c
D:m
10.
1) q ~r 2) t ~-r 3) (p ~ r) ~ (s 1\ t) +b V c 4) 5) -p ~a 6) p ~q 7) -p ~ (a 1\ b) 8) c ~d
11.
D:d
8.
1) 2) 3) 4)
5) 6) 7) 8)
b ~d (p ~ r) ~ (t 1\ s) (a 1\ b) V c d ~ (p ~q) -q·~m d 1\ -c q ~r -q V -s
D:b
12. 1) 2) 3) 4) 5)
-(s -c -(p p ~ -t
,
I
1\ -r) ~ t 1\ q) ~ r (b V c) 1\ a
6) 7) 8) 9)
(p 1\ q) q s Vt aVb
(p ~ r) al\b b c
DeL ejercicio 'b.7) (a-r 1\ b) 8) 9) b 10) c 11 ) d 12) I 1\ -q -q 13)
(T.T. 1, 3) (S. 6) (P.P. 4, 7) (S.D. 2, 5, 8)
1O) 11
~,. (s 1\ I
fI
I
(S. 5) (T.P. 2, (P.P. 3, (S. 5) (T.P. 8, (P.P. 1, (T.P. 4,
6) 7) 9) 10) 11)
4) 5) 6)
-(a 1\ b) ~ al\b a
-c (T.T. 1, (T.T. 2, 4 (S. 5)
Del ejercicio 6
(S.H. 1, 3) (P:P. 2, 5) (S. 6) (T.P. 4, 7)
'lB) _ P (í.f. Lj):¡)
7~ (S. 2) (T.T. 1, (S~8) (T.P. 3, (P.P. 5, (T.T. 6, (S. 12)
7) 9) 10) 11)
9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19)
(r ~ (r ~ (a V (p ~ (a ~ c Vd -t -s -c -a b
s) t) b) q) e)
'2..01
rYl
7) 8) 9) 10) 11)
r Vs (a 1\ b) b c d
De ejercicio 8
ijer .icio
I el ejercicio <)
(b V c) b (p V -a) a p q r
Del ejercicio 4
Del ejercicio 5 5) 6) 7) 8)
6) 7) 8) 9) 10) 11) 12)
( .. 11. l. )) (p.P.
•'. 1()
1. 1)
('
(n 1\ h) h
(S. 3) (S.H. 1,9) (P.P. 2, io (S. 3) (P.P. 5, 1 (S.0.6, 11, 1 \ (T.T. , 14) (T.T. 1, 1 ) (P.P. 7,16) (T.T. l., 1 1) (T. P. 1 1, 1H) CT.. I I I
(. , 1. (P.P. 1, 7) ( .8 (T.P. 4. ( (T.T. l. 1()
10 .
. . ))
( .P. 1. (
(. '. 10) 1\
12) 13) 14) CL.15) 16) 17)
(P.P. (T.T. -p (T.T. (a /\ b) (P.P. (T.P. e d (P.P.
-r -q
Del ejercicio 6) 7) 8) 9) 10)
11)
12)
-r
Vil
11 1, 6)
(S. 7)
(T.P. 3, 8) (T.P. 4, 9) (b /\ e) (T.P. 5, 10) c (S. 11) t
a
d (p ~ q) p ~r (t /\ s) s -q m
Del ejercicio
(S. 2)
(p /\ q) (T.P.
q
2 11) [.1 cw/w 12) , fe s" (.I<'L 1, 12) t. a j-e- 13) 6, 13) ~ 14) 7, 14) 61~)g (S ~S)i5) 4,015) 16) 17) 8, 16) 18)
6) 7) 8) 9) 10) 11) 12)
(P.P. 1, (P.P. 4, (S.H. 7, (P.P. 2, (S. 15) (T.P. 8, (P.P. 5,
REGLA DE LA ADJUNCION
11) 12) 13) 14)
Ejemplos:
16) 17)
1)
p
1)
2)
q
2)
3)
p /\ q
12
-t (S. 5) (s /\ -r) (T.T. 1, 6) -r (S. 7) (p /\ q) (T.T. 3, 8) p (S. 9) (b V c) (P.P. 4, 10) b (T.P. 2, 11)
Ej. 1:
Ej. 2:
(A. 1, 2)
3)
-p q
-p /\ q (A. 1,2)
Ej. 3:
Ej. 4:
1) 2)
-p -q
1) 2)
p (r V s)
3)
-p /\ -q (A. 1,2)
3)
p /\
(r V s) (A. 1, 2)
Ej. 6:
Ej. 5: (a V b) . (c V d)
1)
(p V q)
2)
2)
(r ~ s)
3)
(a V b) /\ (c V d) (A. 1, 2)
3)
(p V q) /\ (r ~ s) (A. 1, 2)
1)
Ej. 7: 2)
-(p ~ q) -r
3)
-(p
1)
~
q) /\ -r (A. 1, 2)
Explicación: ¿Qué hemos concluido en los ejemplos anteriores? La conjunción dos premisas dadas. ¿Por qué podemos hacer tal cosa? Veamos: 1 o
u
de
Se ha repetido ya en varias ocasiones que la verdad de las premisas no se cuestiona. Partimos, pues, del supuesto de que toda premisa, por el mero hecho de serlo, es verdadera. Al ser esto así, no cometemos ningún error lógico confeccionando un enunciado conjuntivo, adjuntando, uniendo si se qui re, mediante una conjunción, dos enunciados verdaderos. 1, uál S la ley d v .rdad de la conjun ión? Un enun .iud conjuntiv S v .rdud -;
ro .uand sus dos mi rnbros son verdad ros. La njun ,¡ 1\, plI 'S, le 1 ti prcmisus vcrdudcrns 'tl turnl ión vcrdu ícrn j mprc, 1", o poli '1l10S '1111:1.11" lo,' pI' llliSIIS '1IId ':-;1\, '1'1I 111 (111111' 111111 xinjun'iÓII, l. )
I \I
3.°
Como vemos, las premisas que pueden enlazarse mediante una conjunción pueden ser enunciados de muy diferente forma: atómicos o moleculares y dentro de estos, disyunciones, condicionales, bicondicionales, negaciones, siendo premisas dadas poco importa la forma en que se nos presenten para poder adjuntarlas.
Esta regla, como todas, es de gran utilidad, pues en muchas ocasiones es necesario aplicarla para poder llegar a la conclusión exigida, y lo único que tendríamos que hacer en estos casos es establecer una conjunción útil entre dos premisas dadas. La regla de la Adjunción no sólo permite enlazar premisas mediante una conjunción, sino que también podemos enlazar premisas con conclusiones o conclusiones, siempre y cuando, claro está, sean obtenidas correctamente, pues se parte también del supuesto de que toda conclusión, que se obtiene aplicando correctamente cualquier regla de inferencia, es un enunciado verdadero, y siendo verdadero, puede adjuntarse a cualquier otro, verdadero también, mediante la conectiva conjunción.
Adjuntar
Concluiríamos,
por tanto, de la siguiente forma: 6)
a 1\ b
(A. 2, 4)
7)
d
(P.P. 5, 6)
y con ello daríamos por terminado el problema. Recordemos que sobre las conclusiones también puede aplicarse la regla de la Adjunción, por las razones anteriores expuestas. Veamos un ejemplo: D:a 1\ -p 1) 2)
a (a 1\ b) -
3)
b p -
4)
lo necesario
-e
5)
(a 1\ b) (A. 1, 3)
6) 7)
e
8)
Si bien es cierto que la regla de la Adjunción permite enlazar premisas o conclusiones mediante una conjunción, no por ello debemos establecer adjunciones gratuitas. Por rincipio de economía sólo se debe aplicar la regla de la Adjunción cuando, como dijimos anteriormente, nos sea útil, esto es, cuando comprendamos que sólo aplicando esta regla podamos o bien llegar a la conclusión exigida, o bien llegar a otras conclusiones que nos conduzcan a lo que debemos demostrar. Así, si queremos demostrar d, por ejemplo, en el siguiente problema:
e
(P.P. 2, 5)
-p (T.T. 4, 6) a 1\ -p (A. 1, 7)
Como vemos, hemos aplicado la regla de la Adjunción en dos ocasiones. La primera, enlazando las premisas 1) Y 3), y la segunda, utilizando la premisa 1) de nuevo y la conclusión 7), lo cual es válido y correcto.
Regla de la Adjunción: 1)
2) 3) 4) 5)
p a q b (al\b)-d
no tenemos ninguna necesidad de establecer conjuncione cntr (p 1\ q), o entre (p 1\ a), sino que bastaría con enlazar aqu llas pr misas qu . realmente me llevan a d; en este ea o las pr misas 2) y 4). 138
Las premisas y las conclusiones pueden enlazarse mediante una conj unción.
Taul.olo ía: i partirn S d '1 supu st de que toda premisa s v rdud iru de qll • In O lBS on .l uxion 'S bt 'nidus tumbi n I son, 'UHIHI) 111 lid,' 'mOÑ m ·ditll ( 'ltI .onc '1ivn 'onjlln 'i{ n, '1 .nun 'ia I{ r 'slIlll1\1 1111)1"1(:1'1\ v ni
Id '1'0,
1)
Veamos: 1) 2)
p
3)
p 1\ q
p
1\
q
~
(p
1\
q)
V F V F
V
F
V
V
V
V
V
V V V
F V F
F F F
V V F F
F
F
F
F
2)
q 3)
4) 5)
1) 2)
p ~
6)
q
Descartes es racionalista y H ume es empirista O el método dialéctico lo restituye Hegel o no ocurre que Descartes es racionalista y Spinoza panteista Spinoza es panteista Descartes es racionalista Descartes es racionalista y Spinoza panteista El método dialéctico lo restituye Hegel
(p ~q)
1\ (-p
(p
~
q)
1\ (-p
V
r)
-+
[(p
~
q)
1\
(-p
V
V
V
V
F
V
V F V
v
V
V
V
V
V V F V
V V
V V F
V
V
V
V
V
F V F
V F V
V V V V V V V
V F V
F
F V F
V V
V
r)] 2)
V
V V
F
F
F
F V
V F
V F
V
V
V
V
F
F
F
F
F
V
V
V
F
V F F F F
F
V F V F
V V F
V
F F V V F F
F
V
V V
F
F
V
V
F
F
V V F V F
V
V
V
V V V F F F F
3)
4)
5) 6) Ejemplos en los que hay que aplicar la adjunción Demostrar:
2)
3) 4) 5) 6)
7)
x - 2
=
7)
-2
(x = y) 1\ (x < z) [(x = y) 1\ (x < 2)] ~ x - 2 (x < 2) 1\ (x2 = O) x = y x < 2 (x = y) 1\ (x < 2) x - 2 = -2
El ministro de Economía
r V
3)
s
4) 5)
p (S. 1) (p 1\ s) (A. 3, 4)
6)
r
-(p 1\ s)
(T.P. 2, 5)
no puede viajar a Bruselas.
El ministro de Economía comparece ante el Parlamento y tiene reservado el viaje a Bruselas Si el ministro de Economía comparece ante el Parlamento y comparece ante el Senado, entonces no puede viajar a Bruselas El ministro de Economía se reúne con el subsecretario y comparece ante el Senado El ministro de Economía comparece ante el Parlamento El ministro de Economía comparece ante el Senado El ministro de Economía comparece ante el Parlamento y comparece ante el Senado No puede viajar a Bruselas Demostrar:
-2
1) 2) 3)
p 1\ q (p 1\ r) ~ r 1\ t
4)
p
5)
r
6) 7)
s
(S. 1) (S. 3) p 1\ r (A. 4, 5) s (P.P. 2, 6)
J)
2) )
ilc 01 's y
El método dialéctic
lo restituye- H
fj
1)
p 1\ q
2)
(p 1\ r) ~
3)
s 1\ r
4)
p (S. 1)
5)
r (S. 3)
6)
p 1\
7)
-b
-b
r (A. 4, 5)
(P.P. 2, 6)
Las fiestas se celebran con normalidad.
Si los sueldos de los concejales son ilegales, entonces hay crisis en el Ay u ntam ien to l alcalde está de vacacion s y no hay crisis n l Ayuntarnicnt i l s su '1 los d I ti n cjal 's no ~ n IlIs
Demostrar:
140
2)
V r)
1)
1)
p 1\ q
-p V r Demostrar:
3)
1)
1 (11'1I1d
'Htus N'
"1 hrnn
'sl!'\
le
Vll 'ti
1)
p ~ q
2)
a 1\ -r¡
3)
(.
p 1\ 1)
'ion 's,
'011 II( 1'I1111lidll 1
1. 11\
4) 5) 6) 7) 8)
No hay crisis en el Ayuntamiento Los sueldos de los concejales no son ilegales El alcalde está de vacaciones Los sueldos de los condejales no son ilegales y el alcalde está de vacaciones Las fiestas se celebran con normalidad Demostrar:
4) 5)
(S. 2) (T.T. 1, 4)
-q -p
6) 7)
(S. 2) a - p 1\ a (A. 5, 6)
8)
s
2)
(a 1\ d) --'> P (a 1\ b) V -e
3)
q
4) 5) 6) 7)
(-q 1\ r)--'>s e 1\ d -s V t
1)
(P.P. 3, 7)
--'> -
2)
3)
4) 5) 6) 7)
La escala de oficiales de Caballería está congestionada y no existen suficientes comandantes Si no existen suficientes comandantes y no existen suficientes coroneles, entonces es necesario arbitrar otro sistema de ascensos No existen suficientes tenientes coroneles y no existen suficientes coroneles No existen suficientes comandantes No existen suficientes coroneles No existen suficientes comandantes y no existen suficientes coroneles Es necesario arbitrar otro sistema de ascenso
1)
P
2)
(-q
3)
-t
4) 5) 6)
1\ -r)
--'>
s
p --'>(q 1\ r) s 1\ p -(r 1\ s) V t -a --'> -(t 1\ p)
1)
q
--'>
2)
P
--'>
3)
r --'> -(p -e
4)
-q -r (-q
1) 2) 3) 4)
(S. 1) (S. 3) 1\ -r) (A. 4, 5)
s
(P.P. 2, (,)
2) 3)
4)
1) 2) 3) 4) 5) 7)
[(a V b) 1\ (e Vd)] r V s r --'> a q V t s --'> b q --'> e t--'>d
Solución D I ejercicio
--'>
de los ejercicios 1
-s
p 1\ -(b 1\ e) V t -[(a 1\ b) V -e]--,>d q 1\ e D:a 1\ e
10.
D:p
6) en los que aparecen algunas de las reglas y la regla de la Adjunción
1)
-( -a 1\ -b) V -e (-a 1\ p)--'>q el\d ( - b 1\ d) --'> P
1)
P
s (q V r) t 1\ a) --'> b 1\ -b
D:t
8.
D:q
7.
9. 7)
D:(s V t) 1\ -e
6.
5)
1\ -r
(a 1\ b) V -(e 1\ d) p 1\ e d 1\ q r --'> -(a 1\ q)
r D:a
1) 2) 3) 4)
p 1\ -q
Como hemos observado, la sigla que se emplea para indicar que se ha aplicado la regla de la Adjunción es la «A», seguida de los números de orden de las premisas o conclusiones que se enlazan.
Ejercicios anteriores
1) 2) 3) 4)
Es necesario arbitrar otro sistema de ascenso. 5.
1)
D:-r
4.
D:t
3.
2) 3)
4) 5)
t [(p --'> q) 1\ (q (t 1\ s) --'> a (p --'> r) --'> s +b 1\ e
anteriores Del ejercicio
2
--'>
r)]
Del ejercicio
8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17)
Del ejercicio
3
(S. 5) (T.P. 2, 8) (S. 5) d a (S. 9) a 1\ d (A. 10, 11) (P.P. 1, 12) p (T.T. 3, 13) -q -q 1\ r (A. 7, 14) (P.P. 4, 15) s (T.P. 6, 16) t c
(a 1\ b)
5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12)
e 1\ d al\b a
q al\q -r
5
Del ejercicio
5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12)
(S. 2) (P.P. 1, 5) (S. 6) (S. 2) (A. 7, 8) (T.P. 3, 9) (A. 5, 10) (T.T. 4, 11)
6) 7) 8) 9) 10) 11) 12)
p (q 1\ r) r
s r 1\ s t t 1\ p a
Del ejercicio
5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13)
c -a -b d -b p -a -a
1\ -b
1\ d
I\-p
q
Del ejercicio
8) 9) 10) 11)
144
7
9
(S.D. 2, 3, 5) aVb c Vd (S.D. 4, 6, 7) (a V b) 1\ (c V d)(A. 8, 9) (P.P. 1, 10) p
5) 6) 7) 8) 9) 10) 11)
-c (s V t) 1\ -c
c (a 1\ b) b b 1\ c t
p --*q q --* r p --* r
s t 1\ s a e a 1\ c
(S. 5) (T.T. 4, 6) (S. 7) (P.P. 2, 8) (S.D. 1, 3, 9) (S. 5) (A. 10, 11)
Ejemplos:
Ej. 1:
Ej. 2:
1)
p
1)
p
2)
p V q (L. A. 1)
2)
p V -q
(S. 1) (T.T. 3, 5) (S. 4) (T.P. 6, 7) (S. 8) (A. 7, 10) (T.P. 2, 10)
10 (S. 2) (S. 2) (S.H. 6, 7) (P.P. 4, 8) (A. 1, 9) (P.P. 3, 10) (S. 5) (A. 11, 12)
(L.A. 1)
Ej. 3:
Ej. 4:
1)
-p
1)
(a 1\ b)
2)
-p V -r (L.A. 1)
2)
(a 1\ b) V c (L.A. 1)
Ej. 6:
Ej. 5: 1)
P-H
2)
(p -H) V s (L.A.
1)
1)
-(p 1\ -q)
2)
-(p
1\ -q)
V t (L.A.
1)
Ej. 7:
8
-d (a 1\ b) V -c
Del ejercicio
6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13)
6
-b pl\a p q Vr s Vt
Del ejercicio
(S. 3) (T.P. 1, 5) (S. 6) (S. 3) (A. 7, 8) (P.P. 4, 9) (S. 6) (A. 10, 11) (P.P. 2, 12)
(S. 2) (S. 3) (A. 5, 6) (T.P. 1, 7) (S. 8) (S. 3) (A. 9, 10) (T.T.4, 11)
c d
Del ejercicio
REGLA O LEY DE LA ADICION
4
1)
p
2)
(p
+-t +-t
q q) V -s (L.A. 1)
Explicación:
Probablemente nos haya llamado la atención el encontramos con los ejemplos que más arriba se proponen como modelos de la Ley de Adición, sobre todo por lo inesperado de las conclusiones que de ellos se obtienen. Repasemos, en primer lugar, el esquema de esta regla y luego explicaremos las razones por las que se convierte, con todo derecho, en un mecanismo más, tan importante como las restantes reglas, en la r solución de los problemas de inferencia. l."
iI
Nos encontramos con una premisa. Poco importa la forma en que esta premisa aparezca, atómica o molecular, afirmada o negada. Partirno , pues, de una premisa dada, supuestamente verdad ra, que puede encontrar e en solitario, como aparece en t d s los cjcmpl s pr pu stos arriba, uardand un ord n d t rrninudo in un .onjun« le pr misas qu pueden Ir rno '. A purtir ti' 'Sil 1 l' mis» (Il1(llI h .rnos t t mid ) unu cOlldll ¡ón qu " i 111). Ilj InIO. hí 1\ '1\ lo, mod ION IInt 'rí( 1(', • 1111 1'/1/"/('1/ /11
11
disyuntivo. Fijémonos en los miembros que componen esa disyunción: Uno de ellos es la premisa inicial, y el otro, un enunciado cualquiera, atómico o molecular, poco importa. 3.°
¿Por qué hemos podido hacer esto? Siendo la premisa inicial o la conclusión obtenida, verdadera, está claro que la disyunción que se confeccione con ella ha de ser verdadera también, pues ya sabemos que un enunciado disyuntivo es verdadero cuando al menos uno de sus miembros es verdadero, cosa que ocurre en este caso.
4.°
¿Cuándo haremos esto? Sobre todas y cada una de las premisas que puedan ofrecerme, así como sobre todas y cada una de las conclusiones correctamente obtenidas se puede practicar la Ley de Adición, pero el proceso sería interminable y sobre todo supérfluo. Aplicaremos, pues, la Ley de Adición en aquellas ocasiones que nos interese, esto es, observando el principio de economía y sobre todo el principio de utilidad, pues ambos son complementarios, esto es, confeccionaremos, a partir de las premisas o de las conclusiones, las disyunciones imprescindiblemente necesarias para la buena marcha de la resolución del problema planteado.
Paso 6:
Haber aplicado la Ley de Adición en el paso anterior nos permite ahora obtener la conclusión r aplicando la regla del Ponen do Ponens. Pero tenemos que demostrar a, ¿Cómo lo haremos? Paso 7: Sobre la conclusión anterior r, que es verdadera, volvemos a aplicar la Ley de Adición, obteniendo gracias a ella r V t. En los dos casos que hemos aplicado la Ley de Adición lo hemos hecho con un enunciado nuevo que nos interesó en ambas ocasiones, Tan válido hubiera sido obtener a partir de r, r V b; pero esta condición no nos hubiera conducido a la demostración exigida. Paso 8: Con la conclusión anterior, que se nos convierte en el antecedente de la premisa 3), obtenemos su consecuente a, aplicando la regla del Ponendo Ponens, que es lo que se quiere demostrar. Veamos otro ejemplo: D:a V q
Veamos estos ejemplos:
1" '
"
D:a 1)
,,1
2)
1"1 .-,1 1
3) li
4)
5) 6)
7) 8)
(p V q) _ r s 1\ p (r V t) _ a p p r r a
(S. 2) V q (L.A. 4) (P.P. 1, 5) V t (L.A. 6) (P.P. 3, 7)
Como vemos en el ejemplo anterior, hemos resuelto el problema, esto es, hemos llegado a la conclusión exigida: a, dando los siguientes pasos: Paso 4: Hemos simplificado la premisa 2, obteniendo de ella p .. Paso 5: Como p es verdadera, también será verdadero por la ley d verdad de la disyunción el enunciado p V q. Por ello hem S colocado en la conclusión 5) p V q (L.A. 4). Las siglas L. A. 4 quieren decir que se ha practidado la Ley de Adición sobre la conclusión 4, esto es, que con p, mediante una disyun .ión hemos confeccionado otro enunciado válid y vcrdadcr , 146
1) 2)
-(a V b) _ -p 1\ -c
3)
=b
4) 5)
-c -c V d
6)
(a V b)
7) 8)
a a
V q
-( ~c V d)
(S. 2) (L.A. 4) (T.T. 1, 5) (T.P. 3, 6) (L.A. 7)
Como vemos en este ejemplo hemos actuado de la siguiente forma: Paso 4:
Hemos simplificado
Paso 5:
Sobre -c hemos practicado laLey de Adición con d, pues nos interesa obtener -c V d para lograr la negación del consecuente de la premisa 1).
Paso 6:
Aplicando la regla del Tollendo 1) y 5).
Paso
7:
t'aso 8:
Se obtiene 6).
a
la premisa 2) obteniendo
aplicando
-c.
Tollens obtenemos a V b ntrc
la regla del Tollendo Pon n~ 'ni!".)
• obre o volv '1110S fl u pli '~II' la L 'Y ti, Adi 'i( 11 '011 'Im:ión l' i idll '011/'" iionundc 1111 CIlIIIH ,lo di '011 // 'Oll /1. I' lo t' .11 V/l. qu lo '1lit 1 '11111 I ti
11/
Veamos otro ejemplo: Regla de la Ley de Adición:
1)
p
p
~
[p
V
(r
1\
s)]
Con cualquier premisa o con cualquier conclusión podemos confeccionar una conclusión disyuntiva en la que uno de sus miembros sea esa premisa o esa conclusión.
2)
p V (r 1\ s)
V
V V V V V V V V
V
V V V
V V
V V
F F
F F F F F F
V V V V
F
V F
V F
V
Volvemos a recordar que para indicaar que se ha aplicado la Ley de la Adición se utilizan las siglas L.A seguidas del número de orden de la premisa o de la conclusión utilizada. De tal forma que L.A 5, por ejemplo, indicaría que se ha practicado la Ley de Adición sobre la premisa o conclusión que lleva ese número de orden.
F Advertencias
1)
p
2)
p V q
Confeccionamos un enunciado condicional cuyo antecedente sea la premisa o conclusión utilizada y cuyo consecuente sea el enunciado disyuntivo compuesto a partir de ella y tendremos: p ~
Elaboremos
(p V q)
ahora su tabla de verdad y tendremos: V
q)
V
V
V
F
V
V.
V F
V
F
F
F
p
~
(p
V
V
F
V
V F
V V '---
V F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
sobre la aplicación
V V F F
11
F F F F
de la Ley de Adición
l,a
Volvemos a recordar que solamente se debe aplicar la Ley de Adición cuando sea necesario, esto es, cuando una disyunción nos haga falta o nos sea útil para la resolución de un problema en su secuencia final o en sus pasos intermedios; hacer otra cosa sería supérfluo e innecesario.
2a
Advertimos también que la Ley de Adición supone que solamente con la conectiva disyuntiva puedo aplicarla. Existe la tendencia entre quienes se inician en los problemas de inferencia de aplicar la Ley de Adición utilizando la conectiva conjuntiva, lo cual no es admisible ni correcto, pues la premisa o conclusión que se utilice si bien es verdadera no supone que el miembro adicionado lo sea también y ya sabemos que una conjunción sólo es verdadera cuando sus dos miembros lo son, y en este caso incorrecto sólo sabemos la verdad de uno de ellos.
3.a
Conviene, pues, desde el principio, no confundir la regla de la Adjunción (A) con la Ley de Adición (L.A). Por la primera podemos enlazar dos premisas o conclusiones mediante una conjunción, pues ambos miembros son verdaderos. Por la segunda podemos confeccionar con cualquier premisa o conclusión un enunciado disyuntivo, como ya se ha indicado. Creemos, pues, conveniente presentar conjuntamente los esquemas de ambas regias para su mejor comprensión y diferenciación:
Tautología: Nada mejor para comprender que la Ley de Adición es una regla válida que demostrar que su correcta aplicación provoca un enunciado verdadero en todos los casos posibles, esto es', una tautología. Veamos:
'----
F
Esquema de la regla de Adjunción 1)
II
)
(f
Esquema de la Ley de Adición 1)
P p
')
II 1\ fl
V 1I
1"
,
1)
11
, l.
I 1'1
14
1,
Las siglas utilizadas en ambos casos se distinguen también, siendo, como se observa, A para la regla de Adjunción, y L.A. para le Ley de Adición. Ejercicios en los que hay que aplicar anteriores y la Ley de Adición
D:c Vd 1) 2) 3)
r'l
1'11
-'
4)
--,
5) 6)
é:
1) 2) 3)
4)
V -s
1) 2) 3)
4) 5)
O
1) 2) 3)
4) 5) 6)
4.
a/\b -(a V c) V d d~p r ~ -(p V q)
D:r
5.
1
p~q a ~c t~a -r /\ -q (-p V s) ~ t b~d D: -r
3.
a V b (c V d) ~ r p/\a b ~d a ~c
D:a /\ c
2.
1)
7)
4)
(p ~ q) /\ r -a ~ -(s V -t) q ~r (p ~ r) ~ S
D:r
-( -p V -q) V -a s /\ r (-a V b) -H p ~-r (p~t)~(-pV-q) -r ~t (-aV-b)~c
1) 2) 3) 4)
5) 6)
D:p
9. 1)
a ~c
2) 3) 4) 5) 6)
(c V d) ~ P d /\ -c -(a V b) ~ q
D:c 1) 2) 3) 4)
b~d -q
Soluciones
b /\ s (q V s) ~ t a/\b (b V c) ~ d -r ~-t (d V p) ~ q
10.
5) 6)
de los ejercicios
(a V b) ~ c p /\ r -p V -q q V s (s V t) ~ a d/\a
anteriores
Soluciones del ejercicio 1 Tercera solución:
Segunda solución:
Primera solución: 7) 8)
-q (S. 4) -p (TT 1, 7)
7) 8)
-q (S. 4) - p (T TI,
7)
7) 8)
-q (S. 4) -p (TT 1, 7)
9)
-p
9)
(-p
V -s)
~a
9)
-p
10)
(-p
V -s)
V s (L.A. 8)
D:a 1) 2) 3)
6.
a a~p b ~q (p V q) ~ r s /\ t -(t /\ r) V c
8.
D:c 2) 3) 4) 5) 6)
algunas de las reglas
Se advierte que entre los ejercicios que se proponen hay algunos que pueden resolverse de distinta forma, las cuales se indicarán en las soluciones posteriores. El número de reglas que ya se conocen permite proponer ejercicios de este tipo. Por principio de economía serán más aceptables aquellos que se hayan resuelto en un número menor de pasos. Por otro lado, hay problemas cuya resolución exige un número igual de pasos en cualquiera de las formas que se resuelvan, siendo válidas todas ellas. La resolución de un problema de inferencia en un número mayor de pasos de los necesarios no queda invalidada, pues se entiende que tales pasos son correctos, que es lo que importa, pero sí es deseable aplicar siempre el principio de economía. 1.
7.
(S.R. 3, 5) 10)
t (P.P. 5, 9)
~c
10)
t (P.P. 5, 9)
11)
a (P.P. 3, 10)
12) 13)
a V b (L.A. 11) c Vd (S.D. 2,6, 12)
(S.R. 2, 9) 11)
a (P.P. 3, 10)
-p
11)
V -s
(L.A. 8) 12) 13)
c (P.P. 2, 11) c V el (L. A. 12)
c (P.P. 10, 11) c V d (L. A. 12)
12) 13)
D:b -(p V q) ~ r 1) 2) t /\ -r 3) ,-q 4) (p V s) ~ b -r 5) (-q V a)
V s (L.A. 8)
Soluciones del ejercicio 2 Prirn ra solu ión
7) H) 9)
un la (L. /\,
((/ V h) 11 V l/
(S.I .
l'
(l'. 1'.
.
•7
• H)
7) H) 9)
S
p /1 V (/
,.
lu 'i n . P,P. l.
)
(L. . 7) (11.1'. l. H) 1
1
t t 1\ r
10)
11) 12) 13)
c
a 1\ c
(S. 5) (A. 9, 10) (TP. 6, 11) (A. 1, 12)
Solución del ejercicio 3 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11)
a a V c d p pVq -r -r V -s
(S. 1) (L.A. 5) (TP. 2, 6) (P.P. 3, 7) (L.A. 8) (T.T. 4,9) (L.A. 10)
10) 11) 12) 13)
t t 1\ r c
a 1\ c
Solución del ejercicio 4 5) 6) 7) 8) 9)
p-q p _r s s V -t
a
Solución del ejercicio 5
Segunda solución
Primera solución
6) 7) 8) 9)
6) 7)
(S.D. 1, 4, 5) (P.P. 2, 6)
c Vd
r
(S. 5) (A. 9, 10) (TP. 6, 11) (A. I, 12)
a aVb c Vd r
(S. 1) (S.R. 3, 5) (P.P. 4, 6) (L.A. 7) (TT 2, 8)
I'~I .' , ~J
t,
6) 7) 8) 9) 10)
-r pVq p P V s b
Segunda solución (S. 2) (TT 1, 6) (TP. 3, 7) (L.A. 8) (P.P. 4, 9)
6) 7) 8) 9) 10) 11)
-q Va -r pVq p p V s b
(L.A. (P.P. (TT (TP. (L.A. (P.P.
3) 5, 6) 1, 7) 3, 8) 9) 4, 10)
Soluciones del ejercicio 7
8) 9) 10) 11) 12) 13)
r -p -p -a +
V -q ü
V -b
c
(S. 2) (TT 4, 8) (L.A. 9) (TP. 1, 10) (L.A. 11) (P.P. 7, 12)
4, 8) 9) 6, 10) 11) 2, 12) 5, 13)
(P.P. (TT.
t r
9) 10)
• H)
. '»)
Soluciones del ejercicio 9 Segunda solución
Primera solución 7) 8) 9)
(T.T 4, 6) (S.D. 1, 5, 7) (P.P. 2, 8)
aVb cVd p
7) 8) 9)
( . )
d c Vd p
( ,A, 7 (P.P. • H)
Segunda solución
Primera solución p
7) 8)
-q 9) s 10) s V t 11) a 12) a V b 13) c
7) 8) 9)
(S. 2) (TP. 3, 7) (TP. 4, 8) (L.A. 9) (P.P. 5, 10) (L.A. 11) (P.P. 1, 12)
a
f 1.
))
a V b
L,A, 7
c
P,I,
l. H)
Demostrar: O el simio recibe sensaciones de placer, «A un simio se le había introducido
un el
tr
d
11
'1
III
,I¡ 1
II
e rebro donde se encuentra el "centro del placer", Segunda solución
Primera solución
(P.P. (L.A. (P.P. (L.A. (P.P. (TT
d dVp q q V s t r
Soluciones del ejercicio 10 (S. 3) (L.A. 6) (S.D. 4, 5, 7) (P.P. 2, 8)
Soluciones del ejercicio 6 Primera solución
9) 10) 11) 12) 13) 14)
8) 9) 10)
11) 12)
P _t -p V -q -a -a V -b c
(S.H. (P.P. (TP. (L.A. (P.P.
4, 6) 5, 8) 1, 9) 10) 7, 11)
Si se le conecta la corriente, el simio experimentará una S .m 1 '1,')11d, felicidad jamás conocida. Luego se acopló el In anismo ti 11111 "'111111 r t .gráfica y se conectó la corriente. Si el simio anda por un determinad arnin liri ,id( ,¡, 1I p sición del sol, disfrutará de en aci ne d pluc r ins spc 'hl,d 1 , • '1 1, lula fotográfica deja de suministrar rri nt 1 simio \lO 11 11 s .nsaci ne de plac r que ést s ha ti 't .n id , '1 simio '1I1llln ti 1 111 , sar hacia cl sol p nicnt '.»
"1
Soluciones del ejercicio 8 Segunda solución
Primera solución 7)
b
8)
b V c
15
(S. 3) (L.A. 7)
7) 8)
s q V s
( . 1)
( .A. 7
'1
11 IHk,
'l. ///111111/1/111111/1111
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II
/"'/1,,1'1
111111111,11111111111111,11)/.1'1
Iltl
Ejercicio- refuerzo
1.
¿Por qué motivo sobre una premisa como -(p 1\ q) no podemo aplicar la regla de la Simplificación?
2.
Si - p V q es una premisa dada, ¿sería correcto concluir a partir de ella q? Tanto en caso afirmativo como negativo, explíquense lo motivos.
3.
¿Qué razones pueden darse para defender la validez y corrección de la Ley de Adición? ¿Por qué es correcto dado p como premisa, concluir p V (q 1\ r), por ejemplo?
4.
¿Por qué motivo la regla de la Adjunción puede aplicarse solamente con el término de enlace conjuntivo?
5.
¿Qué circunstancia tiene que darse para que dadas dos premisas condicionales pueda aplicarse sobre ellas la regla del Silogismo Hipotético?
6.
Un problema de inferencia consta de dos premisas, una de ellas e : -(p 1\ q) --* -r. Se nos pide demostrar q. ¿Cuál sería la premi a que falta y a partir de ella qué pasos tendríamos que dar?
8.
Dadas las premisas a 1\ b y (a V c) --* d. ¿De qué forma podríamos concluir con d?
10.
Porque partimos de un enunciado verdadero y, si este lo es, la disyunción en la que este enunciado sea uno de sus miembros será verdadera también, por definición de la ley de verdad de la disyunción.
4.
Porque para que una conjunción sea verdadera es necesario que sus dos miembros sean verdaderos y, siendo estos miembros premisas o conclusiones correctamente obtenidas, la conjunción será verdadera también.
5.
6.
Que el consecuente premisa.
1) 2)
3) 4) 5)
7.
1) 2)
a a --* c b --* d
3) (P.P. 1, 2) (L.A. 4)
c c Vd
1) 2)
8.
al ejercicio-refuerzo
-(q
3)
(p 1\ q)
q
2.
Si solamente se me ofrece esa premisa, no sería correcto deducir 1I partir de ella q, pues se trata de una disyunción y ésta no puede simplificarse. Otra cosa es que me ofrezcan ad más la pr misa p, pu ~ entonces, por Tollend P n ns, sí p dría t n r q.
I 4
sino de la negación de una
9. lO,
(L.A. 1) (S.D. 2, 3, 4)
aVb cVd
(T.T. 1, 2) (S. 3)
De la siguiente forma:
2)
Porque no se trata de una conjunción, conjunción, que es distinto.
5)
1\ q) --* -r
4)
anterior
1.
4)
a a --* c b --* d
r
1) Solución
de la otra
La premisa que falta es r, y los pasos serían los siguientes:
Si a V b es una conclusión obtenida aplicando el Silogism Disyuntivo, ¿de qué forma han tenido que encontrarse a y b en premisas anteriores? Si a V b es una conclusión obtenida aplicando la Ley de Adición, ¿qué dos situaciones posibles se han tenido que dar con anterioridad?
de una de ellas sea el antecedente
De dos formas, veamos:
Si me ofrecen las siguientes premisas: 1) a; 2) a --* c; 3) b --* d. ¿De cuántas formas puedo llegar a la conclusión c V d?
7.
9.
3.
a 1\ b (a V c) --* ti
3)
a
4)
a V c
5)
d
(S. 1) (L.A. ) (P.P. 2,4)
P 11 S q u ta n t ti, P r II n Iu d , . \TI b, por ser e nsc ucntes 1" ndici nulcs nntcriorcs, \1
I ¡
11110
111'11
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I In
11111
I
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10
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1\ 111 t
11111\0111111
'11 ¡
\'111,
I ) q 11 •
LEY DEL BICONDICIONAL
P
+-t
q
(p
--->
q)
1\
(q
--->
p)
Ejemplos:
V F V F
V F F V
V V F F
V F V F
V V F V
V V F F
V F F V
V V F F
V F V V
V F V F
1)
p+-tq
1)
p+-tq
2)
p --->q (B. 1)
2)
q
1)
-p+-tq
1)
-a
2)
-p--->q
2) 3)
-a --->b (B. 1) b ---> (B. 1)
(r V s)
1)
p
(p 1\ q) (B. 1)
2)
p ---> (q 1\ -r) (B. 1) (q 1\ -r) ---> p (B. 1)
1)
(p 1\ q)
+-t
2)
(r V s)
--->
3)
--->
+-t
+
+-t
b
2.° Habiendo,
pues, demostrado que todo enunciado bicondicional equivale a una conjunción de dos condicionales cuyos antecedentes y consecuentes se alternan, y conociendo como conocemos la ley de la Simplificación que permite reducir cualquier premisa conjuntiva en cualquiera de sus miembros, está claro que de (p ---> q) 1\ (q ---> p) podemos obtener o bien (p ---> q), o bien (q ---> p). De ahí que las conclusiones que se ofrecen en los ejemplos anteriores sean válidas todas ellas.
ü
(q 1\ -r)
Explicación:
El proceso por medio del cual hemos podido concluir de una premisa bicondicional a una conclusión condicional puede esquematizarse del siguiente modo:
3.°
Como vemos en los ejemplos anteriores hemos partido de una premisa bicondicional y hemos concluido con un enunciado condicional en el que el antecedente y el consecuente son miembros de ese bicondicional que hemos tomado como punto de partida. Convendría para entender mejor esta regla tan sencilla repasar lo que de la conectiva bicondicional se dijo en la primera parte de este libro. No obstante, recordaremos la estructura que puede derivarse de tod enunciado bicondicional: 1.0
Un enunciado bicondicional del tipo p +-t q implica que si ocurre p entonces ocurre q y además que si ocurre q, entonces ocurre p, y esta exigencia puede, por tanto, simbolizarse o formalizarse del siguiente modo: p +-+ q equivale a (p ---> q) 1\ (q ---> p). Nótese que del enunciado bicondicional hemos podido establecer una equivalencia y que tal enunciado ha podido transformarse en una conjunción cuyos miembros son dos condicionales en los que lo' antecedentes y los consecuentes respectivos se alternan o intercambian. Para demostrar que esta equivalencia es perfectamente válida, comparemos la tabla de verdad de cada uno de sus miembros:
T
T
p (B. 1)
p+-tq (p
--->
1
q)
(p ---> q)~
I
1\
I
(q
L(q
--->
p) --->
p)
Como vemos, aplicar la regla del Bicondicional no es otra cosa que establecida su equivalencia, aplicar sobre la misma la regla de la Simplificación.
4.°
Ley del Bicondicional:
Dada una premisa o una conclusión bicondicional, podemos concluir con un enunciado condicional cuyo antecedente y con ecu nte puede ser cualquiera de los miembros de ese bicondici nal.
'tu 11 1 ()I()~ la: I 1
)
1
Iplir
1
·iún
1IIIIulll
1
quv, 1
I
como sabemos ya a través de todas las reglas anteriores, es un enunciado verdadero en todos los casos posibles. Veamos:
A propósito de la ley del Bicondicional: en las que podemos encontrarnos
Primera circunstancia: 1)
p +-+ q
2)
q
----7
P
+-+
q)
----7
(q
----7
p)
Construyamos ahora la tabla de verdad de este enunciado y tendremos una tautología: (p
+-+
q)
----7
(q
----7
p)
V F V F
V F F V
V V F F
V V V V
V V F F
V F V V
V F V F
[-p
V F V F V F V F
+-+
V F F V F V F V
(r
V V F F V V F F
1\ V V F F F F F F
1)
- p
2)
(r 1\ s) s)]
V V V V F F F V
+-+
----7
V V V V V V V V
(r 1\ s) ----7
8
p----7q q----7p
3)
p
1) P 2) q 3) 4)
q (LB. 1, 2)
+-+
Segunda circunstancia:
Eliminación
[(r
V V F F V V F F
1\ V V F F F F F F
s) V V V V F F F F
----7
V F V V V V V V
-p]
V F V F V F V F
----7 ----7
(p (p
q) 1\ (q q)
----7
+-+
1) p+-+q 2) p
1) 2)
p+-+q p
3)
(p (p
q
1) 2)
p+-+q -p
3)
-q
)
p+-+q
-q
'1"1'
'ir unstancia: Transitividad
I'a
1) )
11;
11
----7
f
(1 l'
(A. l. (1. B . .1
q) 1\ (q q)
p (O.
1)
.. )
q
1) 2)
p+-+q -p
3) 4) 5)
(p ----7 q) 1\ (q -~ p ( . 1 q ----7 P (1 ('1'.'1'. -q
1) 2)
p -q
----7
(P.P.
-e+ t¡)
1\ (c¡ -~ p)(ll.
1)
P -HI
S. \
5)
p
'1 :1
d I Bi
11 1
.1)
q
4)
1)
• 1)
i •••
ndi .ionul
J l/SI U/(,{w/o/les:
l~iel/lfJl()s:
p)
4) 5)
3) (p
-p
----7
del Bicondicional Justificaciones:
1) 2)
(LB.)
q P
Ejemplos:
-p
La sigla que se utiliza para indicar que se ha aplicado la ley del Bicondicional es «B», seguida del número de orden de la premisa conclusión utilizada. I
1) 2)
3)
Veamos otro ejemplo:
del Bidondicional
Justificación:
Ejemplo:
Construyamos un enunciado condicional cuyo antecedente sea la premisa o conclusión inicial y cuyo consecuente sea lo que de la aplicación de la ley del Bicondicional se deduce y tendremos: (p
Introducción
l.
otras circunstan
f
11 l'
o
•I
3)
p
-+
r
3) 4) 5)
(p -+ q) 1\ (q p-+q p -+ r
1) 2)
p+-+q p -+ r
1) 2)
p+-+q p -+ r
3)
q
3) 4) 5)
(p -+ q) 1\ (q q-+p q -+ r
-+
r
-+
p)(B.
1)
(S. 3) (S.H. 2, 4)
-+
p)(B.
1) 2)
p+-+q q +-+r
3)
p
3) 4) 5) 6) 7) 1) 2)
(p -+ q) 1\ (q -+ p)(B. 1) (q -+ r) 1\ (r -+ q) (B. 2) p -+q (S. 3) q -+ r (S. 4) p -+ r (S.H. 5, 6) p+-+q p +-+r
3) 4) 5) 6) 7)
(p -+ q) 1\ (q -+ p)(B. 1) (p -+ r) 1\ (r -+ p) (B. 2) q-+p (S. 3) p -+ r (S. 4) q -+ r (S.H. 5, 6)
1) 2)
p+-+q p+-+r
3)
q
-+
r
1) 2)
p+-+q q +-+r
1) 2)
p+-+q q +-+r
3)
p
3) 4) 5) 6) 7) 8)
(p -+ q) 1\ (q (q -+ r) 1\ (r p-+q q -+ r p -+ r r -+ q q-+p r -+ p p+-+r
+-+r
9)
10) 11)
1.
D:c
1) 2) 3) 4) 5)
(S. 3) (S.H. 2, 4)
p+-+q q +-+r r
en los que se aplican algunas de las reglas y la Ley del Bicondicional
1)
1) 2)
-+
Ejercicios anteriores
-+ -+
2.
-( -r V s) V t p +-+ -q al\b (t 1\ b) -+ e r -+ -( -q -+ p)
3.
1) 2) 3) 4) 5)
D:t
1) 2) 3) 4) 5) 6)
p-+q -(r V s) -+ -(p r -+ a q -+ p s -+ b (a V b) -+ t
7.
6.
p -+ (s 1\ t) r 1\ q (a V s) -+ b p+-+q (b 1\ r) -+ d
D:c J) 2) ) 4)
-p S
1) 2) 3) 4) 5) 6)
p+-+q (r -+ s) q -+ s a-+b r -+ p -t Va
-+
t
D:t
1) -(a 2) b 1\ P ) q V (1 4 (l! V ,.
1I
C
6 1,0
t
D:b
8.
(-q V s) -+ t (a V b) e (p q) 1\ (r V s) (1 V
D:c
1) p+-+q 2) (t 1\ -q) -+ a 3) -p 1\ -r 4) -e -+ -a 5) q V -s 6) (-s 1\ -r) -+
+-+q)
p)(B. 1) q) (B. 2)
(S. 3) (S. 4) (S.H. 5, 6) (S. 4) (S.·3) (S.H.8, ) (LB. 7, 10)
(p -+ r) -+ s q -+ r (s V t) -> a =b -+ -a p+-+q
4.
D:d
1) 2) 3) 4) 5)
D:b
1
1\
-b) -~ ('
8
t. 8
1<11
1) 2) 3) 4) 5) 6)
(p
t
--+ --+
D:q
--+
-[ -(p
~
10.
D:d
9.
q) A (r V s) -(p ~ q)
1) 2) 3)
b --+ c q--+p (a --+ c) --+ d -t --+ (a ~ b)
p q)
--+
r]--+s
t A -s t --+ (a A -r)
9) 10) 11) 12) 13) 14) 15)
s A t s a V s
(P.P. 1, 8) (S. 9) (L.A. 10) (P.P. 3, 11) (S. 2) (A. 12, 13) (P.P. 5, 14)
b r bAr d
7
Del ejercicio Solución de los ejercicios anteriores
6) 7) 8) 9) 10) 11) 12)
-q -r -r
--+
Del ejercicio
1
Del ejercicio
p
V s
t b
t A b c
(B. 2) (T.T. 5,6) (L.A. 7) (T.P. 1, 8) (S. 3) (A. 9, 10) (P.P. 4, 11)
2
(B. 5) (S.H. 2, 6) (P.P. 1, 7) (L.A. 8) (P.P. 3, 9) (T.T. 4, 10)
6) p --+ q 7) p --+ r 8) s 9) s V t 10) a 11) b
6) 7) 8) 9) 10)
*7) 8) 9) 10)
6) 7) 8)
(LB. (T.T. (S.D. (P.P:
(p ~ q) r V s aVb
t
Del ejercicio q q p
--+
p
Del ejercicio
3
11) 12)
1, 4) 2, 7) 3, 5, 8) 6, 9)
7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16)
-p q --+ p -q
-s -r
-s A -r t t A -q a
c
Del ejercicio
5
(B. 4) (S. 2) (P.P. 6, 7)
7) 8) 9)
¿
p r r
--+
q q
--+
s
--+
(S. 3) (B. 1) (T.T. 7, 8) (T.P. 5,-9) (S. 3) (A. 10, 11) (P.P. 6, 12) (A. 9, 13) (P.P. 2, 14) (T.T. 4, 15)
6
(B. 1) (S.H. 5, 7) (S.H. 3, 8)
P
--+
(S. 3) (B. 6) (T..T. 4, 7) (L.A. 8) (P.P. 1, 9) (L.A. 10) (P.P. 5, 11) (L.A. 12) (P.P. 2, 13)
a a V b
13) 14)
c
Del ejercicio p --+ q p ~ q
8)
4
q
q
9
12)
13)
1 )
4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)
(S. 1) (LB. 4, 7) (T.T. 2, 8) (P.P. 6, 9) . (B. 10) (S.H. 3, 11) (P.P. 5, 12)
8 (S. 5) (T.T. 1, 7) (B. 8) (S. 2) (T.T. 9, 10) (T.P. 3, 11) (L.A. 12) (P.P. 4, 13) (T.T. 6, 14)
-c a ~ -b a --+-b b -a q q V r
s t 10
-s (S. 2) -(p
~
t (S. 2) a A -r -r p~q q --+ p
q)
--+
r (T.T. 1,4)
(P.P. 3, 6) (S. 7) (T.T. 5, 8) (B. 9)
Otras reglas de inferencia
Hasta ahora hemos analizado aquellas reglas de inferencia que por su special complejidad necesitaban de una ejemplificación, de una explicai n y de aquellas advertencias obligadas para la correcta compren ión de las mismas. ~xislen, no obstante, otras regla de inf rcncia, usuales tambi n y el ' 1'1\ il .ornprcnsi n, las cuales, después de analizar la' qu h mos '()n~i 1,. rudo m¡'ls .ornpl jUIl, p drán nt nd rse sin nin una dif '1111111, Vun os, pu 's,
* I.B. significa Introducción del Bicondicional. Véase cn el tratamiento clc la regla e1'1 Bicondicional el apartado « tras .ircunstancias en las que pod '1110S '1'1 onrrurnos» .'
(P.P. 2, ) (T.P. 6, 10) (P.P. 4, 11)
Del ejercicio
a ~ b a--+b a --+ e d
11)
7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15)
"
-t
9) 10)
t a b
Del ejercicio
-q -q V s t t V s
7) Del ejercicio
p ~
10) 11) 12)
mi .nto
A ti'."
do
que
'OIllIII1II
11,
11
11 I
'i(I)l1
r
's
.niur
d
'1110111111
ti' sus squ
1I1¡lInOS
IlIsI 111 p lrll
'l/lOS
Su 1
inm
111'1'
'I11t1S, '011 ('1 'Olly
'Iilllll '11111 ,¡( 11, IIIW ind] '111 1011111
di •
'11 '. 1"1'
111
lil'l In 1111
REGLA DE LA CONMUTATIVIDAD (Conm. A) 1)
p 1\ q
2)
q 1\ p (Conm.
La Reducción de con
REGLA DE (Contr. ~)
LA
p
V
q
2)
q
V
p (Conm.
DE LA DISVUNCION
V, 1)
CONTRAPOSICION
DEL
CONDICIONAL 1.
1) 2)
p ~q
-q ~ -p (Contr.
REGLA DE IMPORTACION
~,
1)
(Imp.)
v
1)
p ~(q
2)
(p 1\ q) ~
~r) r (Imp.
1)
REGLA DE EXPORTACION (Exp.) 1)
(p 1\ q) ~
2)
p ~
REGLA DEL SILOGISMO
r
(q ~ r) (Exp. 1) DESTRUCTIVO (S. Des.)
1) , -p V -q 2) r ~ p 3) s ~q 4)
1V. •
y su aplicación en el cálculo inferen iul,
1\, 1)
REGLA DE LA CONMUTATIVIDAD (Conm. V) 1)
IV.A 1 :\rl('
DE LA CONJUNCION
-r V -s (S. Des. 1, 2, 3)
REGLA DE LA DOBLE NEGACION (D.N.)
LA REDUCCIÓN DE CONECTIV AS y SU APLICACIÓN EN EL CÁLCULO INFERENCIAL
Hasta ahora hemos utilizado las conectivas considerand la fUI1 '¡('1I1 de cada una de ellas y estimando, sobre todo, los aspe t S 4t1 11 distinguen. Buena prueba de ello son las reglas de inferencia hustn IIhol 1 expuestas, en las que cada conectiva jugaba un papel espc ial y djf'-r 11 ciador, así como el tratamiento individualizado que sobre adu ' n ,'11 va realizamos al comienzo de este libro. Lo que vamos a ver a continuación es el proceso por }TI di d I '1111 un enunciado que contenga una conectiva puede ser su tituid pOI' 01111 enunciado que no la contenga y demostrar que amb s enun .indo ,1111 equivalentes. Decir que dos enunciados son equival nt S n si IIHI '1 decir que sean iguales, sino que la verdad de ambos es la misrnn. VIIIII, eso sí, la forma, pero se mantiene el mismo rango de verdad 'n t ) lo. ItI casos posibles. Varía la forma porque la forma de todo enunciad, orno 1 \ sabido, se la da la conectiva que contenga, la e n ctiva d minunt entiende, y al ser sustituida esta con ctiva p r tra, S HU, tilu • obviamente, la forma del enunciado. La v rdad n bstantc, r> 'flnflllll'l idéntica en la sustitución. La reducción de conectiva , p r tant ,es J 1 r 'so p r m . 110 ti I ual p dcm s sustituir la f rrna de un enunciad 101' otrn slu qu 11 v rda 1 d 1 n un iado sustituy nt vnrí r sp 't el' ItI v '1'<1 111 dll nun 'iud sustituid . Por 111' no otro», 1) Ljll' hu '11 11101'1sul 'ITI s, ruo ln y r 111 ti 11 .onjun '¡(¡II, por *11I1plo, 110 " I1 lid 1111d 11 vlld d 111 11 di \l11~'¡'111 qu lu v Ididd 11110 Ildll 0111 '10111101111 111 Hld 'Oll", tl\ I
1 ) ,
1)
--p
2)
p (D.N.
1)
1) 2)
p -'-p
(D.N. J)
Itl
es, que cada conectiva tiene su ley de verdad, fija e inalterable, como factor diferenciador. Y ésto sigue así, lo que ocurre es que, como vamos a ver, existen mecanismos por medio de los cuales podemos establecer equivalencias entre formas distintas de enunciados, guardando los requisitos y normas que se ofrecen a continuación. Para expresar la equivalencia utilizaremos el símbolo ==, y no el de = que es el de igualdad, pues, como ya se dijo, equivalencia e igualdad son dos conceptos distintos.
1.1.
Ejemplos: -(-p
V q)
-p A -q _ -(p
V -q)
-p A q _ -(p V -q)
p
A
(q
V s) _ -[-p
-p A (q V s) _ -[pV
P t..\ -q _ -( -p V q)
V -(q V s)] -(qVs)]
¿Qué es lo que podemos observar en los ejemplos anteriores?: pues que un enunciado que contiene la conectiva conjunción ha sido sustituido por otro que contiene la conectiva negación de la disyunción. No hemos dicho que sean dos enunciados iguales; hemos indicado, por medio del símbolo == que son equivalentes. Y, ¿qué se quiere decir con esto?: pues que la verdad de ambos enunciados es la misma. Veamos:
A
q
V F V F
V F F F
V V F F
-p
,A
-q
V F F F
V V F F
V F V F 166
-q
V F V F
V F F F
V V F F
Veamos algunas Ley de De Morgan,
Explicación:
p
1\
(-p
V
q)
F V F V
F V V V
F F V V
V F F F
y así en todos los casos. ¿Qué se desmuestra, pues, observando la tabla de verdad del enunciado inicial y del que lo sustituye?: pues que existe el mismo rango de verdad en ambos, esto es, que son equivalentes, y que, por tanto, una forma puede sustituir a otra.
Ley de De Morgan
pAq
p
V
-q)
F V F V
F V V V
F F V V
(p
V
q)
F V F
F V V
F F V
(-p
-
V F F F
V F F F
V
'V
V
equivalencias contemplando
1.a
Paso de una conjunción
2.a
Paso de la negación de una conjunción a una disyunción.
3.a
Paso de una disyunción a la negación de una conjunción.
4.a
Paso de la negación de una disyunción a una conjunción.
Aunque las circunstancias tratarlas por separado. l.a
que pueden establecerse, aplicando las siguientes circunstancias:
Paso de una conjunción pAq
-( -p V -q)
a la negación de una disyunción.
1.a y 4.a, y 2.a y 3.a, sean inversas, vamos a
a la negación
de una disyunción:
p A (r V s) _ -[-pV-(rVs)]
-p A q
-(p V -q)
-p A (q V t) _ - [p V -(q V t)]
p A -q
-( -p V q)
p A -(q
-p A -q
-(p
V q)
la
V t) _ -[-pV(qVt)]
-p A -(q V t)
Como vemos, en estas equivalencias
-[pV(qVt)]
propuestas:
n cnun iado .onjuntivo pu d sustituirs por otro cnun .iudo qu s '11 111 nc iu 'ión le ItI lisyun .ión 1 los mi 'mi ,'Il, d~· , \ .onjun .ión, ní:[ udos 1\ Sil V'Z.
2.a
Como vemos en estas equivalencias:
Paso de la negación de una conjunción a una disyunción:
== -p V -q -( -p 1\ q) == p V -q -(p 1\ -q) == -p V q -( -p 1\ -q) == P V q -(p 1\ q)
== -(q ---+s) V -p - [ -(q ---+ s) 1\ p] == (q ---+ s) V - p -[(q ---+s) 1\ -p] == -(q ---+s) V p -[-(q ---+s) 1\ -p] == (q ---+s) V p ---+s) 1\ p]
-[(q
Como vemos en esta 2. a circunstancia:
Un enunciado que sea la negación de una conjunción puede sustituirse por un enunciado disyuntivo de los miembros de esa disyunción, negados a su vez.
Un enunciado que sea la negación de una disyunción, puede sustituirse por otro que sea la conjunción de los miembros de esa disyunción, negados a su vez. Tautología: La aplicación correcta de la Ley de De Morgan provoca t~mbién un.a tautología. Basta, para comprobarlo, confeccionar un enunciad? cond~cional en el que el antecedente sea el primer miembro de la equivalencia y el consecuente, el segundo. De tal forma que si tenemos: p V (q y elaboramos
Paso de una disyunción a la negación de una conjunción: -( -p
pVq -
-(p 1\ -q)
-(p ---+q) V s
p V -q
-
-( -p 1\ q)
(p
V -q
-
-(p 1\ q)
-p
-p
(p 1\ q) V s
1\ -q)
Vq
---+
-[ -(p 1\ q) 1\ -s] - [(p ---+ q) 1\ -8]
q) V -s
-(p ---+q) V -s
A la vista de estas equivalencias
-
- [-(p
-
- [(p
---+ ---+
Aplicación
q) 1\ s]
-(-p
Vq)
-(p V -q) -( - p V -q)
16
3) 4)
Paso a de la negación de una disyunción a una conjunción:
== -[-p V (r ---+$)] == -[p V -(1' ---+s)] == V (r ---+s)]
-[-pV-(r-~:~·)liipl\,.
-p 1\ -(r P 1\ -(1' -p
---+
s)]
s)
---+ -
[
-p 1\ -(q
---+
s)]
s s)
1\ (1' -~s ~8
al cálculo inferencial
Tras conocer la Ley de De Morgan y demostrar la validez de las equivalencias que permite establecer, podemos ahora incorporarla como una regla más de las que ya se conocen en el cálculo inferencia\. Para indicar que hemos aplicado la Ley de De Morgan sobre una premisa o sobre una conclusión, lo ~aremos con las .s,iglas. .L.M., seguidas del número de orden de la premisa o de la conclusión utilizada, Veamos algunos ejemplos: .
vemos que:
-[p
---+
de la Ley de De Morgan
2)
== -p 1\ -q == p I\-q == -p 1\ q == p 1\ q
1\ -(q
veremos que es verdadero en todos los casos posibles. . Se invita al lector a elaborar alguna tabla de verdad de las equivalencias anteriormente propuestas, teniendo en cuenta que ha de formarse un enunciado condicional, cuyo antecedente sea el enunciado que va a ser sustituido y cuyo consecuente sea el enunciado sustituyente.
1)
-(p V q)
== - [ - p
q) 1\ s]
Un enunciado que sea una disyunción puede sustituirse por otro que sea la negación de una conjunción de los miembros de esa disyunción, negados a su vez.
4.a
s)
la tabla de verdad de este enunciado: p V (q
3.a
---+
) )
)
7) K 1))
D:t r -( -p V -q) a V q
p 1\
+
a
Jl (/ /) /\ 1/ ( /) .¡ -1/)
( . 1) (T.P .. ,4 (A.
(LoMo (pYo
, ))
7) • K) IlItl
Como ya el lector hábilmente habrá advertido, después de tantos problemas realizados, es necesario obtener el antecedente de la premisa 2 para lograr la conclusión exigida: t. Para ello se han tenido que dar los siguientes pasos:
compuesta por a y cualquier otro miembro, en esta cas interesa - c. '
n
S
Paso
6:
Aplicamos la Ley de De Morgan sobre la conclusión anterior; en este caso, una disyunción se nos convierte en la negación de una conjunción.
Paso 5:
Se ha simplificado
la premisa 1 para obtener p.
Paso 6:
Se ha aplicado la regla del Tollendo Ponen s sobre las premisas 3 y 4 para obtener q.
Paso
7:
Como ya tenemos el antecedente de la premisa 2, deducimos su consecuente.
Paso 7:
Se ha enlazado p y q mediante una conjunción, regla de la Adjunción.
Paso
8:
Volvemos a simplificar la premisa 1 para obtener b.
9:
Aplicamos la regla de la adjunción sobre las dos conclusiones anteriores.
aplicando
la
Paso 8:
Se ha sustituido el enunciado de la conectiva 7 por la negación de una disyunción, cosa que permite hacer la Ley de De ~organ. .
Paso
Paso 9:
Siendo la equivalencia establecida en el paso anterior el antecedente del condicional de la premisa 2, deducimos t aplicando la regla del Ponendo Ponens.
Paso 10:
Tenemos que aplicar otra vez la Ley de De Morgan; en este caso una conjunción se nos convierte en la negación de una disyunción.
Otro ejemplo: Problemas
D:p 1) 2) 3) 4) 5)
6) 7) 8) 9) 10) 11)
a 1\ b -( -a 1\ e) ~ d -( +d V -b) ~ p a a V -e -( -a 1\ e) d b d 1\ b -( -d V -b) p
(S. 1) (L.A. 4) (L.~. 5) (P.P. 2, 6) (S. 1) (A. 7, 8) (L.~. 9) (P.P. 3, 10)
Como vemos en el ejemplo anterior, pese a tratarse de un problema que sólo conta de tres premisas, es necesario dar ocho pasos para poder llegar a la conclusión exigida, y aplicar en dos ocasiones la Ley de D Morgan. Veamos: Paso
4:
Simplificamos
Paso
5:
Hemos tenido que aplicar la Ley de Adici n sobr 4. orno ti es una conclusión v rdad ra, s reí verdad ru la dis un iÓII
170
la premisa 1 para obtener a.
resueltos
en los que se aplica la Ley de De Morgan
Se recomienda al lector que intente solucionar estos problemas su cuenta y que compare más tarde los resultados. D:c
D:-(-tl\a) 1)
1) p ~q r 1\ -q 3) -(p V -r) ~s V q) ~t 4) -(-s
2)
2)
3) 4) 5)
5) -q 6) -p 7) r 8) -p 1\ r 9) -(p V -r) 10) s 11) s 1\ -q 1 ) -( s V q) l. ) I ItI) I V" ( 1 ) I 1\
por :
(1)
(S. 2) (T.T. 1, 5) (S. 2) (A. 6, 7) (L.~. 8) (P.P. 3, 9) (A. 5, 10) (L.M. 11) (P.P. 4, 1 ) (1,,1\. 1 ) (1 ,M, 1 )
6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13)
p~q (p ~ r) ~ -s q ~r -(s 1\ t) ~a (b V -e) ~ -a (S.H. 1, 3) (P.P. 2, 6) (L.A. 7) (L.~. 8) -(s 1\ t) (P.P. 4, 9) a -(o V -e) (T.T. 5, 10) (L.M. 11) -b 1\ e (' ( . 12)
p ~r -s -s V -t
1 11
D:-q 1) 2)
(-p V q)---H -(s V r)
1)
-s 1\ -r (L.M. 2) -r (S. 3) -( -p V q) (TT 1,4) p 1\ -q (L.M. 5) -q (S. 6)
3)
p 1\ (r 1\ s) 3) (r 1\ s) 4) s 5) s V t 6) -( -s 1\ -t)
D: -(t V -s) 1) 2) 3)
-(p V -q) -(r V -s) -(p V r) ~
4) -p 5) -r 6) -p 7) -r 8) -p 9) -(p 10) -t 11) s 12) -t l3) -(t
-t
1\ q 1\ s
(L.M. 1) (L.M.2) (S. 4) (S. 5) (A. 6, 7) (L.M. 8) (P.P. 3, 9) (S. 5) (A. 10, 11) (L.M. 12)
1\ -r V r)
1\ s V -s)
D:t -(p -p -q -(r
1) 2)
3) 4) 5) 6) 7) 8) 1'7
t
(L.M. 1) (S. 2) (S. 3) (L.A. 4) (L.M. 5)
D:d 1) pl\q 2) -( -q V -r) ~ t 3) r 1\ s 4) -t Va 5) -( -a 1\ -b) ~ c 6) -(-cV-p)~d
Así como la Ley de De Morgan nos permitía establecer una equivalencia entre una conjunción y la negación de una disyunción o entre una disyunción y la negación de una conjunción, vamos ahora a ver qué tipo de reducción permite la forma condicional. . Volvemos a recordar que cuando hablamos de reducción nos referimos a la equivalencia que podemos establecer partiendo de un enunciado condicional y volvemos a recordar también que equivalencia significa la posibilidad de sustituir un enunciado de una forma por otro de otra, manteniendo el mismo rango de verdad. Pues bien, la equivalencia que permite establecer el enunciado condicional es la siguiente:
==
p ~q
== -p V -q -p ~ -q == p V -q p~
q (S. 1) r (S. 3) q.1\ r (A. 7, 8) -( -q V -r) (L.M. 9) t (P.P. 2, 10) a (TP. 4, 11) (L.A. 12) l3) aVb 14) -( -a 1\ -b) (L.M. 13) 15) c (P.P. 5, 14) 16) p (S. 1) 17) cl\p (A. 15, 16) 18) -( -c V -p) (L.M. 17) 19) d (P.P. 6, 18)
V q
==pVq
=p=+«
7) 8) 9) 10) 11) 12)
-p
-q
Como vemos en los ejemplos anteriores, la reducción del condicional puede definirse de la siguiente forma:
Reducción del condicional: Un enunciado condicional puede ser sustituido por un enunciado disyuntivo en el que uno de sus miembros es el antecedente del condicional, negado, y el otro miembro, el consecuente.
D: -(d V -b)
1\ q) ~-r ~-s 1\ s) ~ t
-p V -q -r V -s -(r 1\ s)
Reducción del condicional
-[ -p V -(r 1\ s)]
2)
4) 5) 6) 7)
1.2.
D: -( -s 1\ -t)
(L.M. 1) (S.D. 2, 3, 5) (L.M. 6) (P.P. 4, 7)
1) 2)
a b 3) (c V d) ~ 4) 5) 6) 7) 8)
-(c V d) c 1\ +d -d -s 1\ b -(d V .-f})
-a (TT. 1, 3) (L.M. 4) ( . 5) (A. 2,
(L.M.
)
7
Poco importa qué forma tenga a su vez el antecedente o el consecuente de ese condicional, lo que nos interesa saber es que la negación del antecedente se convierte en un miembro de la disyunción, y el e nsecuente, tal y como aparece en el enunciado condicional, se convierL en el otro miembro de esa disyunción. Vamos: (/1 1\ '/) /'
~ (1/
~r
1\ r)
(/1 1\ lf)
V r
1' V (1/ 1\ r)
p -~
(/1 V (/
- (q 1\
r)
~(1' V S
=
p V
( I 1\ 1')
(/1 V /) V (1' V s)
1/\
Para demostrar, como hicimos en la anterior Ley de De Morgan, que se trata de una equivalencia- perfectamente válida, comparemos las tablas de verdad de algunas reducciones del condicional: p
-
q
-p
V
q
v
V V F V
V V F F
F V F V
V V F V
V V F F
F V F
(p
1\
q)
V F V F V F V F
V F F F V F F F
V V F F 'V V F F
I
-
V V V V F V V V
r V V V V F F F F
(p
1\
q)
V
V F V F V F V F
V F F F V F F F
V V F F V V F F
V V V V F V V V
T
Como vemos, en el primer ejemplo el enunciado condicional es falso sólo en la tercera circunstancia, y lo mismo ocurre con la equivalencia establecida. Y en el segundo ejemplo, ambos enunciados equivalentes sólo son falsos en la quinta circunstancia.
=v
-q - -p
>:
-q
- -( -p 1\ -q) V -q - -(p 1\ q)
p V -q
-
-
-( -p 1\ q)
Comprobemos ahora que la verda.d de. ~n condi~ional ~s, lógicamente, la verdad de la negación de l~ conJl!?CIOn ?btemda, aplIcando. l~ Le~ . de De Morgan, c¡t partir de la disyunción equivalente a ese condIcIOnal.
p
_
V F V F
V
V F V
q V V F F
==
-p V q
.".
== V V F V
(P
1\
-q)
V F V F
F F V F
F F V V
T
Siendo esto así, podemos, pues, decir que:
Tautología: La equivalencia bien establecida a partir de un enunciado condicional provoca, como cualquier reducción correcta, una tautología, e decir, que si confeccionamos un enunciado condicional cuyo antecedente sea el condicional de partida y cuyo consecuente sea una disyunción en la que uno de sus miembros sea el antecedente, negado, y el otr miembro el consecuente, obtendremos un enunciado verdadero en todos los casos posibles. Veamos: (p V F V V 174
till
pVq
-p -q
r V V V V F F F F
conjuur
Ya hemos visto que puede establecerse una equivalencia vál idu .'I,llll' un condicional y una disyunción, guardando, claro está, .l~s requisitos exigidos anteriormente. Pues bien, ~hora que un condicional puede sustituirsepor una disyunción y conociendo, como conocemos la ~ey de De Morgan, podemos aplicar esta Ley de J?e Morg~~ sobre la disyunción equivalente al condicional logrando aSI la negacion de una conjunción, veamos: p -q - -p V q - -(p 1\ -q)
p-
F V V V F V V V
I
¡--
Posibilidad de reducir un condicional a la negación duna
V V F V
q) V V F V
V V V V
(-p
V
q)
F V F V
V V F V
V V F
Un enunciado condicional puede también sustituirse por otro enunciado que sea la negación de una conjunción,. s~endo los miembros de esta conjunción, el antecedente del condicional y la negación de su consecuente.
Tautología: También p d 1110S decir, por tanto, que se o.btiene una tautología si la cq 1I ival nciu .n tr el nd ici na 1 y la negación de la conjuncion es '01"1"' .ram .ntc 'slllhl' 'i lu. .. S' ,)"I'e' 'iOlllllllOS 1111 '( ndi 'i )11,,1 .uyo ant el ni s 'tÍ el condicio11 ti' Ill• 1111'1¡d 1 '\1 (\ '011 x-u -utc ItI 'quivlIl 'n 'ill 'slllll \ .idu, .sto 'S, 1" 17
negación de una conjunción cuyos miembros sean el 'antecedente del condicional y la negación del consecuente, tendremos un enunciado verdadero en todos los casos posibles. Veamos: (p
---+
V F V F
V V F V
q)
---+
'V V F F
V V V V
Aplicación de la reducción en el cálculo inferencial
V V F V
(p
1\
-q)
V F V F
F F V F
F F V V
3)
4) 5) 6) 176
---+
r
-p V
s
(S.H. r
1, 3)
p
-(q 1\ -p)---+r
3) 4) 5) 6)
q
+-+
---+
q
p
(B. 1) (R.e. 3)
-q V p
-(q 1\ -p) (L.M. 4)
(P.P. 2, 5)
r
Problemas resueltos en los qúe se apli ca la Reducción del Condicional
D:c 1) 2)
3) 4)
5)
s 1\ -r - p ---+ a -(p ---+q)---+r (a V b)---+c -q
l.a solución
9)
(R .. 4) (P.P., )
1)
2)
. Obsérvese que, en este problema, los pasos 4 y 5 busc~n la forma del antecedente de la premisa 2. ¿Podríamos haber pasado directamente de la conclusión 3 a la 5? Sin duda, pero es preferible, en estos casos, Ir aplicando las equivalencias i~termedia~, no só~o par~ ~je.rcitarnos en ellas, sino para evitar errores mnecesanos. Aquí el pnncipio de economía cede el paso al principio de seguridad.
6) 7) 8)
D:s p---+q (-pVr)---+s q ---+ r p
D:r
del condicional
Al igual que la Ley de De Morgan, como equivalencia válida, podía incluirse en el cálculo inferencial, la Reducción del Condicional también puede aplicarse en un proceso deductivo y ser considerada como mecanismo correcto que nos permita, partiendo de condicionales dados, y estableciendo las oportunas equivalencias, llegar a conclusiones formalmente válidas. Como vemos, el cálculo inferencial cada vez es más apasionante, pues son muchas las reglas que nos permiten enfrentamos con una seri de premisas dadas y muchas también las posibilidades de error. Por el! siempre es conveniente tener presentes- todos los esquemas de las leyes de inferencia, así como sus definiciones. No importa, pues, que ante tod S los problemas que se nos planteen, tengamos a la vista estos esquemas y estas definiciones, con el fin de consultarIos cuantas veces fueran necesarias, pues es la única forma de familiarizarnos con el cálculo y adquirir la habilidad que éste precisa. Veamos, pues, algunos ejemplos en los que sea preciso aplicar la Reducción del Condicional, para luego, como de costumbre, proponer problemas resueltos que nos faciliten la comprensión de la última regla dada y nos sirva de recordatorio de las anteriores: (La aplicación de la Reducción del Condicional se indica con las siglas RC seguidas del número de orden de la premisa o conclusi 11 utilizada.) 1) 2)
Obsérvese que aplicar la Reducción del Co ndicional sobrc. la e n '1usión 4 nos ha permitido obtener el antecedeme de la premisa 2 y asl poder deducir s, que es lo que se quería demostrar.
10) 11) 1
-r (S. 1) p ---+ q (T.T. 3, 6) -p V q (R. . 7) (T.P. , 8) -p (P.r. , 9) (/ (1,.1\. 10) 11 V h (1'.1', • 11) ('
n
2.a solución' 6) 7) 8)
) 10) 11) l ) 1 1)
q) V r (R. ) (p ( . 1) - r (TY. l. 7) p -~(J ·(I~.('. H) - fI V 1/ ()) ('1'.1' . /1 (p.P, • 10) n
.
(/ 'v 1,
(l •
('
(1' l'
• 11) l. 1
)
111
D:-s 1) 2) 3) 4) 5)
p
6)
p V q
(a V b) (-p - b
-p
---+ ---+
r
12)
s ---+ t -s
11)
(L.A. 1) (R.C.6)
(P.P. 4, 7)
-(a V b) -a 1\ -b -b
13)
12) 13)
q) ---+ r (s ---+ t)
---+q
8) 9) 10) 11)
6) 7) 8) 9) 10)
1) -[ -(p ---+ q) V r] 2 (- p V q) ---+ (s V r) 3) s ---+ (a ---+ b) 4) c ---+ - ( - a V b)
-r
-t
7)
1) 2) 3), 4) 5)
---+
(T.T.
2, 8)
(L.M. 9) (S. 10) (P.P. 5, 11) (T.T.
3, 12)
D:d p ---+ -q (-rVs)---+t (-a V b)---+d r ---+(p
-(a
---+
1\ q) b) ---+ -t
-p V -q (R.e. 1) - (p 1\ q) (L.M. 6) -r (T.T. 4, 7) -r V s (L.A. 8) t (P.P. 2, 9) a ---+ b (T.T. 5, 10) -a V b (R.e. 11) d (P.P. 3, 12)
5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13)
1) 2) 3) 4)
-p V q
5) 6) 7)
a 1\ b
(L.M. 1)
b e
(S. 5) (T.T. 3, 6) (R.C. 7) (P.P. 2, 8)
8) 9) 10)
p---+q r ---+ s
5)
-p V q -r V s (-p V q) 1\ (-r
[(-p
V q) 1\ (-r V s)]---+t
-t V
a
a
d)
---+
d -c V d p q ---+
(R. e. 1) (R.e. 2) V s) (A. 5, 6) (P.P. 3, 7) (T.P. 4, 8)
1) 2) 3) 4)
p ---+ q
5)
b ---+(-c q ---+ s
6)
1.0
Por la Ley del Bicondicional
2
o
Dado un enunciado bicondicional, puede éste sustituirse por una conjunción de dos condicionales cuyos antecedentes y consecuentes respectivos se alternan o intercambian. Esto es, un enunciado bicondicional del tipo p ~ q es equivalente a (p ---+ q) 1\ (q ---+ p).
b)
También sabemos que dada una premisa o una conclusión bicondicional, podemos concluir con un enunciado condicional cuyo antecedente y consecuente pueden ser cualquiera de los miembros de ese bicondicional. Esto es, aplicar la Ley de Simplificación sobre la equivalencia anterior. Dado p ~ q, tenemos (p ---+q) 1\ (q ---+ p) y de aquí: (q ---+ p), por ejemplo.
Por la Reducción
=ti
---+d)
-p V q (R .. 1 r V s (S.D ...
ti
(R, " I
3.0
sabemos:
Que un enunciado condicional puede ser sustituido por un enunciado disyuntivo en el que uno de sus miembros es el antecedente del condicional, negado, y el otro miembro el consecuente.
b)
Sabemos también que un enunciado condicional puede sustituirse por otro enunciado que sea la negación de una conjunción, siendo los miembros de esta conjunción el antecedente de este condicional y la negación de su consecuente.
---+ t
r+r
del Condicional
a)
(T.P. 4, 9)
-( -r 1\ -s) -b ---+ -t
sabemos que:
a)
-b
7) 8) 9)
l.)
178
---+
Conociendo, como conocemos, la Ley de De Morgan, la Reducción del Condicional, y la Ley del Bicondicional como regla de inferencia, no tiene, en principio, por qué existir dificultad alguna en la comprensión de la Reducción del Bicondicional. En efecto:
D:c Vd
1) 2) 3) 4)
t
(R.e. 6) (P.P. 2, 7) (S. 5) (T.P. 8, 9) (P.P. 3, 10) (R.e. 11) (T.T. 4, 12)
-p V q s V r -r s a ---+ b -a V b -c D:q -( -a V -b) (-c V d)---+ p
D:a
6) 7) 8) 9)
(p ---+ q) 1\ -r (L.M. 1) p ---+ q (S. 5)
-(c
Reducción del bicondicional
1.3.
D:-c
Por la Ley de De Morgan sabemos que: Un enunciado que sea una disyunción que sea la negación de una conjunción disyunción, negados a su vez.
puede sustituirse por otro de los miembros de esa
Asi las 'O:-::tS.:1I ti .ipamos ya que la R ducción ti, tl'1l '1' '11 '11'ntu IlIs t r 's le 's nnt .rior 's,
Iln
l'I'·t'to. " '1: /,.
ti '1
ni
'Olldi
.ionul ha
t1/11
1.0
Por la Ley del Bicondicional: p
(--lo
q
==
q) 1\ (q ~ p)
(p ~
pudiendo simplificar la conjunción anterior en cualquiera de sus miembros. 2.0
== (-'p V q)
1\ (q ~p)
q
V F V F
V F F V
V V F F
V V F V
(p
1\
-q)
1\
V F V F
F F V F
F F V V
V F F V
3.0
Por la Ley de De Morgan: (-p
V q) 1\ (-q
V p)
==
pudiendo también simplificar quiera de sus miembros.
-(p 1\ -q)
1\ -(q
la conjunción
1\ -p)
anterior
en cual-
V F .V F
V F F V
q
(p
~
q)
1\
(q
~
p)
V V F F
V F V F
V V F V
V V F F
V F F V
V V F F
V F V V
V F V F
q
(-p
V
q)
1\
(-q
V
p)
V V F F
F V F V
V V F Y
V V F F
V F F
F F
V F
V
V
y.
Y
V
V
V
1"
T p
V F V F
V F F V
I
-r
I
1\
-p)
V V F F
F V F F
F V F V
I
Tautología: Ya sabemos que la aplicación correcta de cualquier regla provoca una tautología, esto es, un enunciado verdadero en todos ca~os posibles; para no repetir las tablas de v~rdad ?e las eqUlvalenc.las anteriores sustituyamos el símbolo de la equivalencia == .p~)[ la conectrva condicional ~ y, aplicando la ley de verdad del condicional, veremos cómo las tres equivalencias son tautologías también:
Jos
(p
Las tres equivalencias establecidas anteriormente nos indican, pues, hasta dónde puede llegar la Reducción del Bicondicional, esto es, nos podemos quedar en el primer paso, sustituyéndolo por la conjunción d dos condicionales; en el segundo paso, sustituyéndolo por la conjunción de dos disyunciones o llegar al tercer paso, sustiyéndolo por la conjunción de dos negaciones de dos enunciados conjuntivos. Para demostrar que las equivalencias anteriores son válidas y corre tas, comparemos la tabla de verdad del bicondicional con la tabla d . verdad de cada una de ellas. Veamos: p
V F V V
(q
V p)
1\ (-q
pudiendo simplificar la conjunción anterior en cualquiera de su miembros.
/80
(--lo
Por la Reducción del Condicional: (p ~q)
¡.
p
(--lo
V F F V (p
(--lo
V F F V (p
(--lo
q) ~
[(p ~ q) 1\ (q ~ p)] V F F V
V V V V q) ~
[(-p
V q) 1\ (-q
V p)]
V F F V
W
[ -(p 1\ -q) 1\ -(q 1\ -p)]
q) ~
---------------------V F F V
rn
Aplicación de la Reducción n I cálculo infer ncial
V F F V
del Bicondicional
Vll h 'J)lOS vil'lo vómo III 1" lu - -i( n ti - IIIS '01 e -1iv l. I nlllillll \llilil',1I1 1\ • lid IIll'" -iu c¡u- 1" licr 111' 1Ihl" '\
/ HI
inferencial, y cómo, formalmente, podíamos, a partir de tales reducciones, alcanzar la conclusión exigida. En la mente de todos estará, porque ya lo hemos repetido en otras ocasiones, que, por principio de economía, sólo habrá que aplicar las reducciones necesarias, pues de lo contrario, los pasos de cualquier inferencia podrían ser infinitos. No obstante, se aconseja en la Reducción del Condicional y del Bicondicional establecer siempre las equivalencias intermedias, para evitar inicialmente los errores que pudieran producirse, y hasta que la práctica en la resolución de los problemas no' permita establecer las equivalencias directamente. Por ejemplo, es preferible, en principio, hacer: 1)
p
2)
q -'>P
3)
-q
4)
-(q
+-+
q
Vp
(B. 1)
No vamos en esta ocasión a comentar todos los pasos, si no la atención sobre las conclusiones 6, 7, 9, 10 y 11:
4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11)
p
12) 13)
c c Vd s
14)
1 2
-'>
-p
a
q
V q
b a -'> b -a V b -(a 1\ -b) +-+
(S.H. 2, 5) (R. e. 6) (P.P. 1, 7) (B. 8) (R.e. 9)
(L.M. 10) (P.P. 3, 11) (L.A. 12) (P.P. 4, l.)
'1'
Paso 7:
Sobre la conclusión anterior, aplicando la Reducción del Condicional, establecemos la equivalencia de p -'> q esto es -p V q.
Paso 9, 10 Y 11: A partir del paso 9 hemos podido direc~amente p~sar al 11, pero, como se aconsejó anteriormente, he~os creído preferi ble establecer, en este caso, la equivalencia intermedia, esto es, de a ~ b pasar a -a V b y luego a -(a 1\ -b).
D:s
1\ - p) (L.M. 3)
(-p V q) -'>(a +-+ b) p -'> r -(a 1\ -b) -'> c (c V d) -'> s r -'> q
'111
Hemos tenido que encontrar la relación entre las premi 'Hf:l 2 Y 5, para, aplicando la regla del Silogismo Hipotético, pod r deducir p -'> q.
3)
p -(q +-+ 1') (- r V q)
4)
q
+-+ r
5) 6) 7)
r
-'>
1) 2)
que pasar de p +-+ q a -(q 1\ -p) sin establecer las simplificaciones y equivalencias intermedias. Veamos, pues, algunos ejemplos en los que será necesario aplicar 111 Reducción del Bicondicional, para luego proponer, como de costumbr .. problemas resueltos con el fin de que el lector se vaya familiarizando con este nuevo mecanismo formal del cálculo inferencia!.
1) 2) 3)
11
Paso 6:
(Re. 2)
D:s
11
-1'
s
-'> -'>
-p s
(T.T. 1, 2)
q (B. 4) V q (R.C. 5) (P.P. 3, 6)
Problemas resueltos en los que se aplica la Reducción del Bicondicional D:c
D:t -(p +-+ q) -'> r -(q 1\ -p) -'> s
2) -s
3)
-1'
3)
4)
-s V t
4) 5)
5)
p+-+q
(T.T. 1, 3)
6) 7)
q -~ p -q V p
(B. 5)
8)
-(q
(
x
10)
I
1\ -p)
(R.e. 6) (L.M. 7)
(P.P. , 8) (T.P. 4. 9)
1)
t
1) 2)
6) 7)
8) 9) 10) 1 1) 1
-'>
-s
(a +-+ b) [( -p V q) 1\ (-q (-a V b)-,>c p+-+q -'>
V p)] ~
t
( - p V q) 1\ ( - q V p)(B. 5) (P.P. 3, 6) t (P.P. 1,7) -s
a h a -~ /¡ {/ V h ('
(P.P. 2,8) (O. 9) (R. . 10) (P.P. 4, 11) I H'
D:p 1) -a ----+ e 2) (e V d) ----+ P 3) a~b 4) b----+d 5) 6) 7) 8)
a ----+ b -a V b e Vd p
1) 2) 3) 4) 5)
(B. 3) (R.e. 5) (S.D. 1, 4, 6) (P.P. 2, 7)
D: -b Va 1) - [(a ~ b) V e] 2) -e 3) q /\ -d 4) 5) 6) 7) 8)
V.~ I , 11('
D:-d
6) 7)
8) 9) 10) 11)
----+
d
-d (S. 3) (a ~ b) V e (T. T. 1, 4) (T.P. 2, 5) (a ~ b) b ----+ a (B. 6) (R.e. 7) -b Va
12) 13) 14)
(-s V - t)----+a (p ~ q) /\ r (a V b) ----+ e s ----+ -( -q V p) d
----+
e
-d
1 . .
-e
p~q q ----+ p -q V p
-s -s V a aVb
La notación p
-t
(S. 2) (B. 6) (R.e. 7) (T.T. 4, 8) (L.A. 9) (P.P. 1, 10) (L.A. 11) (P.P. 3, 12) (T.T. 5, 13)
1.
LA NOTACIÓN POLACA
A título de curiosidad vamos a ofrecer ahora otro modo de simbolizar los enunciados y las conectivas que los enlazan. Se trata de la forma que suele llamarse «notación polaca» o de Lukasiewicz ': La notación que nosotros hemos utilizado en este libro es la de Scholz '. Como vimos al comienzo de este trabajo son varias las notaciones que suelen emplearse. Casi todas ellas son bastante similares y no deben preocuparnos las pequeñas diferencias que existen, pues con facilidad nos podemos familiarizar con todas. Sin embargo, hay una modalidad de simbolización que por su peculiaridad se diferencia de las demás y, a nuestro modo de ver, y desde un punto de vista pedagógico, ayuda mucho a la comprensión de la forma de todo enunciado. Es, por tanto, un buen complemento y no debemos desestimado. Otra ventaja que tiene la notación polaca es que no usa ni paréntesis ni corchetes, pues su sistema de colocación de los enunciados y de las conectivas no los hacen necesanos. Veamos, pues, la notación polaca. Para ello estableceremos primero una tabla comparativa entre la notación de Scholz y la de Lukasiewicz: Conectivas (Lukasiewicz)
Conectivas (Scholz) /\ V
K A C
----+ ..........•..............
. E
~
N
1
notncl
ukusi .wi '7.. Jun (IR7R-19
J Sl'lI(
IX '
6,
ógico polaco.
n. Iz
lHHI1 11/ () , 11111 01'(
1II'II1(\n.
111"
. 11
n 1929, comi
nza " utilizar
esta
n '1'1111, IK~
Como vemos, las conectivas que se utilizan en la notación polaca son letras mayúsculas. Poco hubiera importado si sólo esto diferenciara a las dos notaciones, pues bastaría Con sustituir las conectivas que conocemos por estos nuevos símbolos. La diferencia consiste en que estos términos de enlace no se colocan entre los enunciados enlazados, sino a su izquierda, veamos:
-(p -(p
pAq
se simboliza
Kpq
p V q
se simboliza
Apq
P-+q
se simboliza
Cpq
p+4q -p
se simboliza se simboliza
Epq Np
se simboliza
NKpq
se simboliza
NApNq
A q) V -q)
de
Leámoslo: «Un condicio~al e~t;e la negación de la conjunción de p y ,y la disyunción de la negacion de r y de s.» ~u traducción sería: __CNKpqANr.s. En este último ejemplo:
~ ~~:~~~ ~ ~:,qe~t~ K afecta a p, q A afecta a Nr, s N afecta a r.
Se advierte que las conectivas K, A, C y E afectan a los dos enunciados que inmediatamente se encuentran a su derecha, mientra que la negación, N, afecta solamente al enunciado que tiene inmediatamente a su derecha. Veamos:
-+
q)
(pA
q)
(p
+4
s) . . . . . . . . . . . . . . . . .. -r
---+
b) V (p A -q)]
.
NACabKpNq
q)
---+
A -q)
.
CCpqNKpNq
-(-p
-+
q)
-(p
---+
[(p
V -q) -+
[(p
---+
q) A (q
[(p
---+
q) A -q]
---+
q) A (q
r)] ---+
---+
p
CKpqNANpNq p)]
---+ ---+
CEpqKCpqCqp
r
CK CpqCqrCpr
-p
.
a notación
CKCpqNqNp
polaca
'e ciaquy aprovechando el Icctor que, abu ando. d e su p~cldn s n .sto I s ... i qu traducir nuncia os, . t ncrnos en stc CJCI IC . cd n d ni unas 1" las ti,
Pcrmitanos qu
.orrcspond! '
V s)
KNpCrs
. CKpqNr
Ejercicios de traducción
Dijimos también que la negación, N, afecta solamente al cnunciad que se encuentre inmediatamentc a su derecha, vcam s: Sea trasladar a notación polaca: (-,.
---+
---+
---+
(p A q)
(C) de (p, q) y la
K afecta a Cpq y a Ars C afecta a p, q A afecta a r, s.
A q)
A (r
(p
Dijimos antes que las conectivas, K, A, C y E afectan a los dos enunciados que se encuentran inmediatamente a su derecha, veamos:
-(p
-p
- [(a
Aconsejamos lo siguiente: leer el enunciado que se nos ofrece, en este caso: «Una conjunción entre el condiciona] de p, q, y la disyunción de r, s.» Pues tal y como lo hemos leído se escribe, veamos:
En KCpqArs:
la conjunción.
Veamos algunas traducciones:
A (r V s)
«Una conjunción (K), entre el condicional disyunción (A) de (r, s), esto es: KCpq Ars»
un solo enunciado,
la forma de un enunciado, en notación p,olaca, viene . d e la izquierda . ASl . .Como vemos, la vori a conectrva . , al ver . el indicada por a pnm~r t ta de un enunciado disyuntwo. enunciado: ACpqE.rs dlr~~os que sle radicional de p q y el bicondicioLeámoslo: «Una disyunción entre e con , , nal de r, s» Esto es, (p -+ q) V (r +4 s).
Sea trasladar a notación polaca el siguiente enunciado: (p
~~:s
á
ntcs
ti
inlcrcn inlcrcn
'~Il '11,
(out lo ías qu
IIIS
.
..,
1)
pl \
'\1"
11S ••
'11
ono.,'(,'
('OIlV'111
11
pro
Afl¡ lo Iran os r ,
..
,
(11I's
pdlHlr ,. rllll"lilillri:t.III'IIO t'1)1I
'1'
r '¡IIIS le ti
• o
ti \
11')11,
IHI
Enunciados
propuestos
[(P
----'>
q) 1\ p]
[(P
----'>
q) 1\ -q]
----'>
[(p V q) 1\ -p]
----'>
[(p V q) 1\ [(p
1\ (q
----'>
q
----'>
----'>
s)]]
-p q
r) 1\ r V s
----'>
[(p ----'>q)1\ (q ----'>r)]----'>p----,>r (p 1\ q)
p
----'>
p
(p V q)
----'>
(p +--'>q)----'> [(p ----'>q)1\ (q ----'>p)]
(p 1\ q) (p
----'>
q)
-p
----'> -( ----'>
(-
V -q)
p V q)
Regla
Traducción
P.P.
CKCpqpq
TT
CKCpqNqNp
TP.
CKApqNpq
S.D.
CKApqKCprCqsArs
S.H.
CKCpqCqrCpr
S.
CKpqp
L.A.
CpApq
B.
CEpqKCpqCqp
L.M.
CKpqNANpNq
R.C
CCpqANpq
(p 1\ q)
----'>
(q 1\ p)
Conm. 1\
CKpqKqp
(p V q)
----'>
(q V p)
Conm. V
CApqAqp
Contr.
CCpqCNqNp
(p ----'>q)----'>(-q
----'>
-p)
[p ----'>(q----'>r)]----'> [(p 1\ q) ----'>r]
[(-p
p
----'>
V -q) 1\ [(r ----'>p)1\ 1\ (s ----'>q)]]----,>( -r V -s) --p
Imp.
S.Des. D.N.
----'>
Leer el enunciado
de izquierda a derecha.
2.0
Tener siempre presente que la forma del enunciad vu-n indicada por la primera conectiva que nos encontrem s ti I I izquierda.
3.0
Cada conectiva afecta a los dos primeros enunciados que tenga a su derecha, sean atómicos o moleculares, excepto la negación, N, que afecta solamente al primer enunciado que se encuentre a su derecha.
Sea por ejemplo: ACpqNKNrs 1.0
Leeremos el enunciado de izquierda a derecha, en este caso: «Una disyunción entre el condicional de p, q y la negación de la conjunción entre la negación de r y s,»
2.0
Si como hemos dicho la forma de cada enunciado viene indicada por la primer~ conectiva que nos encontremos a la izquierda, este enunciado propuesto tendrá la forma d.isyuntiva. De tal manera que ya debemos imaginamos un enunciado cuyo esquema sea éste: ---V---
3.0
CCpCqrCKpqr
CKANpNqK
1.0
CrpCsqANr
Si cada conectiva afecta a los dos primeros enunciados que tenga a su derecha, excepto la negación, N, que afecta sólo al primer enunciado de su derecha, tenemos que: A afecta a Cpq y a NKNrs, esto es, a dos enunciados moleculares. Cpq se traduce por: (p ----'> q). Veamos ahora NKNrs: La primera N afecta sólo aKNrs. La segunda N afecta sólo a r. K afecta a Nrs. Así pues, NKNrs se traduce por: -( -r 1\ s). Si la forma del enunciado es disyuntiva y uno de sus miembros es Cpq y el otro NKNrs, la traducción finalsera:
Ns
(p ----'>q)V -(-r
CpNNp Ejercicios de traducción
La traducción
inversa
Si ahora nos encontramos con enunciados simbolizad polaca y queremos traducirlos a la n tación de ch lz, qu estamos acostumbrados, se ac nscja I sigui nt ': IHH
1\ s)
n n ta ión
s a la quc
inversa
Tradúzcans las i uiente expresiones a la notación de Scholz. Al mar n d las indi a i n S anteriores e advierte que.una negación 1'\ I~i izqui r 111 le 1I1111 '011' Iivu impli a nc csariamcnt un paréntesis o 1111 '01' '11 '1 •
Arbol de una fórmula
Traducir: 1. 2. 3.
CKANpNqqNp NCEpqArs CNpCAabAcd CNCKpqrs NCKApNqArNst CKCpqCqpEpq ACNApqKNpNqNArs ENKpqANpNq KAEpqrCst CNANKpqNAl'st
4. 5. 6.
7. 8. 9. 10.
Solución del ejercicio
11. ·12. 13. 14. 15. 16.
17. 18. 19. 20. anterior
1.
[(-p
V -q)
2.
- [(p
H
3.
-p~[(aVb)~(cVd)]
4.
- [(p 1\ q) ~
5.
- [[(p V -q) 1\ (r V -s)] ~
6.
[(p ~
7.
[-(p V q) ~(-p
8.
-(p 1\ q)
9.
[(p
1\ q] ~-p (r V s)]
q) ~
r] ~ s
q) 1\ (q ~
+-+
+-+
p)] ~
En el vértice superior del árbol irá la conectiva que le dé forma a cualquier enunciado. N si está negado o K, A, C, E si se trata de los restantes términos de enlace.
2o
Si el vértice superior es N, está claro que de ahí sólo podrá partir una rama, pues uno sólo es el enunciado que puede quedar afectado por toda negación. Si, por el contrario se trata de otra conectiva, K, A, C, E, de ella partirán, lógicamente, dos ramas, pues cada conectiva binaria enlaza, como ya se sabe, a dos enunciados.
q)
V -q)
(-p
q) V r] 1\ (s ~ t)
- [ -(p 1\ q) V -(r
11.
p
12.
- [(p ~
13.
(-p
1\ -q) 1\ (-r
14.
[(-p
V -q) V (-r
15.
- [(a 1\ b)
V s)] ~
t
[(q 1\ r) V (s V t]
~
q) 1\ (q ~
+-+
1\ -s)
V -s)] 1\ t
N
I
(c Vd)]
q) 1\ (q ~r)]
- [[(p
17.
- [(p 1\ q) ~
18.
[( -p V q) V -(r
19.
[(p 1\ q) 1\ (r 1\ s)] ~
20.
[(p
q) 1\ (q
Está claro, pues, que la primera letra mayúscula que aparezca a la izquierda de toda fórmula seta la que inicie, desde arriba, todo árbol. Veamos: el árbol de NCKpqN Ars tendríamos que confeccionarlo así:
r)]
16.
+-+
1.0
Veamos: sea (p ~ q) 1\ (r V s). Su traducción sería: KCpqArs. y el árbol sería:
t]
+-+
Confeccionar el árbol de una fórmula consiste en representar gráficamente la estructura y las partes de la misma. Es, a nuestro modo de ver, la mejor manera de visualizar y de comprender la forma de cualquier enunciado. Para confeccionar el árbol de una fórmula tendremos que hacer lo siguiente:
1\ -q)] V -(r V s)
10.
+-+
(p
EpAKqr Ast NKCpqCqr KKNpNqKNrNs KAANpNqANrNst NEKabAcd NCKCpqCqrCpr KNCKpqNANpNqCpq AAANpqNArNsNApq CKKpqKrsKps CKEpqEqrEpr
~ (p ~ r)]
- ( - p V - q)] 1\ (p ~
+-+
C / q)
V -s)] V -(p V q)
r)]
(p 1\ s) (p
r)
/ p
'\ N
K '\
q
I
!I
/ r
'\
s
Ejemplos de árboles de fórmulas 1.
CKANpNqqNp
2.
Constrúyanse los árboles de las sig~ientes e~presiones que e in 'itll'll con las fórmulas de algunas reglas de inferencia:
NCEpqArs
C / \
K / /
3.
C
E
N I
N I
p
q
1
e
C /
K
\
/
\
\
/
A
d /
A CNApqKNpNqNArs
N
p
\
/
\
p 7.
N
1
1
q p
q
r
s
8.
K
NN
l·
K
A
/ \
/ \
q
r
[(p V q) 1\ [(p ~
r) 1\ (q ~ s)J] ~ (r V s) (S. D.)
5.
[(p ~
r)] ~
6,
(p 1\ q) ~ P
7.
p ~
8.
(p
9.
(p 1\ q) ~
-( - P V -q)
(p ~
(-p
1.
~
q) 1\ (q ~
(P.P.)
-p
(TT)
q
(TP.)
(p ~
+-+
q) ~
(L.A.)
«,
q) 1\ (q
[(p ~
q) ~
(S.H.)
r)
(S.)
(p V q)
CKCpqpq
---->
(B.)
/l)J
(L.M.)
V q)
(R.e.)
.>. (P.P.)
de las fórmulas 2.
C
I
/~
p
4. 3.
""N
I
/K",
/\ q
q
(T.T.)
CKCpqNqNp
-:
p
I
anteriores:
C
\
EApqNKNpNq
C
N
I
q
CKApqK
p
q
pr c¡sArs (
,)
(TP.)
CKApqNpq
E
"I
q
C/ \p
q p
"-
/
N
4.
A
/
I
I
[(p V q) 1\ -p]
""-
I
t
N
3.
1
/ \
A
p
N
N
p
N
q) 1\ -q] ~
E
C
/
r
/
CNANKpqNArst
/ \
[(P ~
ENKpqANpNq
1\
N
2.
s
A
-: \
1
A
1
K
q) 1\ p] ~
Arboles resultantes
\
q 6.
[(p ~
10.
1
~N
1.
t A
A C/
\
/
A b e
N
s
NCKApNqArNst
\
a
-:
r
1
\
-:
q
N
\
/
A
/ \
/ \
4.
N p
A
p
CNpCAabAcd
C
"-
/
q p
\
/
5.
I
N I
\
A
N
p
A
N
/ \
I /
It
/\ q K
K
q
N S
C
\
N
I
I
p
q
¡t
/\
11
/\
N
1/
/1
I
/\ s
l'
!
/\ /\
/)
l'
1/
8
5.
(S.H.)
CKCpqCqrCpr
6.
CKpqp
C
C
K/~C /
/'
<,
P 7.
-.
C
p/
C
/
q CpApq
K
-,
/~
/""p
-,
q
8.
(L.A.)
q
CEpqCpqCqp
p
E/~K
/\
/'" q
p
/\
C q
/\ p
CKpqNANpNq
10.
C
p
C /\
q
q
p
(L.M.)
/~
CCpqANpq
I
p
Inferencias
CNae CAedp Eab Cbd
5) 6) 7) 8)
ANab Acd p
Cab
1) CNEpqr 2) CNKqNps 3) Nr 4) ANst 5) 6) 7) 8) 9) 10)
(B. 3) (R. e. 5) (S.D. 1, 4, 6) (P.P. 2, 7)
Epq Cpq ANqp NKqNp s t
(T.T. 1, 3) (B. 5) (R.C. 6) (L.M. 7) (P.P. 2, 8) (T.P. 4, 9)
N Ejercicios de inferencia
/A~ N
1) 2) 3) 4)
(Re.)
I
q
D:t
D:p
p
/\
(B.)
C
/~
K
p
r
C
9.
Así pues, las premisas vendrán simbolizadas en notaci n I uhu 11 I 11 conclusiones, al menos por nuestra parte, irán también en esta n l[' 1\111 Lo único que mantendremos son las siglas utilizadas hasta ahora pu: 1 indicar la regla que se ha aplicado, así como el mismo sistema de numeración de premisas y conclusiones. Si el lector, al principio, encuentra alguna dificultad, lo cual es perfectamente comprensible, se aconseja traducir primero las premisas, resolver el problema después, y, finalmente, traducir las conclusiones a notación polaca. Con unos pocos ejercicios terminaremos haciéndolo directamente. Veamos algunos ejemplos:
(S.)
1.
N
I
q
en notación
polaca
No vamos en este apartado a analizar la forma que los lógico polacos utilizan en el cálculo inferencial, pues bastante tiene el lector con dominar la forma que nosotros hemos empleado. . Pero se nos ocurre que otra forma divertida (¿por qué no?) de repasar las reglas de inferencia y de familiarizarse más con la notación polaca sería utilizando esta notación, por un lado, y el sist ma d derivación que hasta ahora hemos empleado, por otro, enfrentamos, una vez más (espero, querido lect r, qu no ea la última) con el t\ ulo inf rcncial.
1) 2) 3) 4) )
Cpr ab
Clcd
(}
(/" 'N/N
7
'1>1'
P Cqs CaNAst
Cp Aqr Crt AaNKbe D:d
4.
Apq CArs
D:NKbe 1) 2) 3) 4) 5) 6)
Apq CArst Cpr CaNt Cqs CNab D:t
3.
polaca
2.
D:b 1) 2) 3) 4) 5) 6)
en notación
I
1) 2) 3) 4) 5) 6)
7)
ANCpqNr ANCpst Cqs CtCab CCaed be
,.
I(
5.
D:Kbc
6.
1) Crt 2) KCpqArs 3) CNKbcNt 4) Cap 5) CCaqNs
D:r
1) Cpq 2) Nc 3) CbApNa 4) ANqr 5) KaAbc
Solución
a lOS ejercicios
Del ejen;icio
7)
8) 9) 10)
Ad t Na b
anteriores Del ejercicio
1: (S.D. (P.P. (T.T (P.P.
1, 3, 5) 2, 7) 4, 8) 6, 9)
D:d
1) 2) 3) 4) 5)
9.
8.
Kpr CNKabNKrs Ksq
1) 2) 3) 4) 5) 6)
e CKacd
D:ANrNs
1) Kab' 2) ANAacd 3) Cdp 4) CrNApq
D:Kbc
10.
-
CCprKtNs Cqr b Na Cpq CKNsNac
D:a
1) KCpqr 2) CNaNAsNt 3) Cqr 4) CCprs
8) 9) 10) 11) 12)
Ar5 Cab Cac
d t
Del ejercicio
6) 7)
CrJq
8)
NI! AyS r KlJc
9) 10) 11)
cm
Del ejercicio
11.
D:t
12.
1) CNEpqr 2) CNKqNps 3) Nr 4) ANst
D:c
6) 7)
1) CtNs 2) CNsEAb 3) CKANpqANqpt 4) CANabc 5) Epq
9) 10) 11) 12)
8)
r s K(S KPb a K{lc d
Del ejercicio
13.
D:p
1) CNac 2) CAcdp 3) Eab 4) Cbd
14.
D:ANba
1) CNAEabcd 2) Nc 3) KqNd
5) 6) 7) 8) 9)
lO I 1)
11) )
a APC
d fJ
/)(1
(S.D. (P.P. (S.H. (P.P. (T.T
8) 9) 10)
Aqr Ast Na NKbc
Del ejercicio
Del ejerCicio 3:
7.
7)
1, 2, 5) 3, 8) 7,9) 4, 10) 6, 11)
5: (S. 2) (S.H. 4, 6) (P.P. 5, 7) (S. 2) (T.P. 8, 9) (TT 3, 11)
7:
(S. 1) (S. 3) (A. 6, 7) (T.T. 2, 8) (S. 9) (A. 4, 10) (P.P. 5, 11) 9:
(S. 1) (L.A. 5) (T.P. 2, 6) (P.P. 3, 7) (L.A. 8)
8) 9) 10) 11) 12) 13)
Cpq Cps t Cab Cac d
Del ejercicio
6) 7)
8) 9) 10) 11) 12)
Abc b ApNa a p q r
Del ejercicio
2:
(P.P. (S.D. (T.T. (T.P.
1, 4) 2, 5, 7) 3, 8) 6, 9)
4:
(T.T. (S.H. (T.P. (P.P. (S.H. (P.P.
1, 3, 2, 4, 6, 5,
7)
8) 9) 10) 11) 12)
6:
(S. 1) (T.P. 2, 6) (P.P. 3, 7) (S. 5) (T.P. 8, 9) (P.P. 1, 10) (TP. 4, 11) 8:
9) 10) 11) c 12) Kbc
(S.H. 2, 5) (P.P. 1, 7) (S. 8) (A. 4, 9) (P.P. 6, 10) (A. 3, 11)
Del ejercicio
10:
7)
8)
5) 6) 7)
Cpr KtNs Ns KNsNa
Cpq Cpr s
8) AsNt 9)
a
(S. 1) (S.H. 3, 5) (P.P. 4, 6) (L.A. 7) (TT. 2,8)
('1':1. 4, 9 N/' NI'NS (1 ,A, lO I(n
Del ejercicio 5) 6) 7)
Epq Cqp AN qp NKqNp
8) 9)
s
10)
t
Del ejercicio
5) 6) 7) 8)
Cab ANab Acd
p
11:
Del ejercicio
(T.T. 1, 3) (B. 5) (R. e. 6) (L.M. 7) (P.P. 2, 8) (TP. 4, 9)
6) 7) 8) 9) 10) 11)
KANpqANqp t Ns Eab Cab ANab
(R.e. 10)
12)
c
(P.P. 4, 11)
13:
(B. 3) (B.C. 5) (S.D. 1, 4, 6) (P.P. 2, 7)
Del ejercicio 4)
5) 6) 7) 8)
Nd AEabc Eab Cba ANba
12:
Breve reconocimiento
(B. 5) (P.P. 3, 6) (P.P. 1, 7) (P.P. 2, 8) (B. 9)
14:
(S. 3) (TT 1, 4) (T.P. 2, 5) (B. 6) (R.C. 7)
a la Lógica estoica
Estoy totalmente de acuerdo con Lukasiewicz cuando afirma que se les deben devolver los honores debidos a los hasta ahora totalmente malentendidos y equivocadamente juzgados logros de los estoicos y que fueron ellos los que anticiparon ya en la antigüedad (siglo III a. de e.) la lógica proposicional '. El lector que haya finalizado esta introducción a la lógica simbólica, habrá de saber que, hace veintitrés siglos (casi veinticuatro ya), una escuela filosófica, la de los estoicos, fue la pionera de la lógica proposicional, y, por ello, queremos rendir en el presente trabajo un corto pero merecido reconocimiento. La lógica estoica se caracteriza por tres aspectos: En primer lugar, porque prefiere hacer referencia a nombres de individuos y de cosas que a conceptos universales o generales; en segundo lugar, porque, como dice Brun ', no estudia las posibles relaciones de inclusión o exclusión entre conceptos, sino que trata de definir, de acuerdo con la verdad, implicaciones entre acontecimientos; y, en tercer lugar, porque anticipa ya las futuras variables de enunciados. Veamos: para los estoicos la proposición es aquello que expresamos al decir, y que puede ser verdadera o falsa.
Clases de proposiciones
compuestas
(moleculares
en lógica sim-
bólica): 1.a
Proposición
condicional
Esta proposición está formada por la cunjunción si y anuncia que una segunda proposición seguirá a la primera. «Si es de día, hay luz.» «Si Sócrates fue maestro de Platón, Platón conoció su condena.» 2. a
Proposición
consecutiva
Esta proposición depende de la conjunción puesto que. «Puesto que somos perseguidos, tendremos que refugiarnos.»
I 1,lIkllSi 'wi M IIdl'ld, 1 \)7 ,
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J 1111111, ,111111: 1':/I'W/l/l'Il/IfI,
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J In: lislI/II/IIS pl
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pIII{. HH, R 'vistll '111\
11",
111(1
,
11)1)
3.a
Proposición
2.0
coordinada
Que contiene la conjunción copulativa y. «Somos perseguidos y tenemos que refugiarnos.» «Por la razón el hombre supera a los animales e imita a los dioses.» 4.a
Proposición
Proposición
3.0
11 111
d,
4.0
Clases de razonamiento
en tipos de
o de inferencias
Aquel que presenta una proposición condicional seguida de la condición. . «S~ es de día, hay luz; ahora bien, es de día; luego hay luz.» Notese que, cor~esponde al modo Ponendo Pones, pero corr~spon~e. mas aun. cuando comprobamos que los propios estoicos utilizaban vanables de enunciado, no con letras minúsculas, como normalmente se hace en lógica simbólica sino con ~úmero~, y así pudieron presentar este primer es~uema de inferencia de la siguiente forma: Si lo primero, entonces lo segundo, es así que lo primero, luego lo segundo. ~ó.tese tan:bién que aquí «lo primero» y «lo se und » son auténticas variables del nunciado y r atizan la misma [un ión que las letras p y q, P r j 1111"1 •
Aquel que presenta una disyunción (exclusiva en este caso) y la afirmación de uno de sus miembros: O lo primero o lo segundo, es así que lo primero, luego no lo segundo.
que aquel que no ha
Nótese que estas proposiciones tienen su adecuación enunciados moleculares que conocemos.
Aquel que presenta la negación de una conjunción y uno de los miembros de esa conjunción. No a la vez lo primero y lo segundo, es así que lo primero, luego no lo segundo.
comparativa
«El sabio está más libre de las pasiones alcanzado la imperturbabilidad.»
1.0
\\1111
Si lo primero, entonces lo segundo, no es así que lo que segundo, luego no lo primero.
causal
La que depende de la conjunción porque . .«El sabio no siente ninguna afección del mal presente porque no se aleja de los males con pavor.» 6. a
1\1 \
disyuntiva
Esto es, la que contiene una disyunción como o. «O voluntad es aquello que desea algo con razón o es concupiscencia desenfrenada que se encuentra sólo en los necios.» S.a Proposición
Aquel que presenta la prop sici n '011li '¡olllll su conclusión.
5.0
Aquel que presenta tina disyunción (inclusiva en este caso) y la negación de uno de sus miembros. Lo primero o lo segundo, no es así que lo primero, luego lo segundo.
Puede el lector ahora identificar estos tipos de inferencia con aquellos que ya conoce a través de esta introducción a la lógica simbólica. Bochenski, en su Historia de la lógica formal no es I:'artidario de hablar de una lógica estoica sin más, pues defiende la tesis de que los estoicos lo único que hicieron fue propagar la lógica megárica en numerosos Y excelentes m.muales. Por eso es partidario de h~blar de ~n.a lógica megárico-estoica, insistiendo en que hay que denomm~r megancas a las ideas fundamentales y estoica a la elaboración técnica. Sea como fuere, el propio Bochenski reconoce que si fue Peir~e. el primero en observar que la lógica estoica s~ t~ataba de una .10gIca sentencial, fue mérito imperecedero 1e Lukasiewicz haber ofrecido su intcrpretación correcta. K.. on Mccaricos y "stoico surgió una Lógica sentencial, la s .uunda ran '1' a 'iól1 de los ari os 11 el terreno de ·la Lógica, justum ntc I( tll' 1'1111 ibu 'lIsi por .orn¡ 1 'l< n la iC'1ari totélica. Al 01
00
~ismo, tiempo lIeva,ro.n la consideración formal hasta u~a concepción ormahstI~a de la Loglca; apoyados en una Sintaxis y en una Semántica por~.~nonzada. Esta Lógica, mcomprendida durante siglos, merece tamlle~.q ue 1se la reconozca como una grandiosa creación en el orden d e espintu» .
1
()
110'h 'IINki. 1, M,: II/,WIII'/II
di' //1
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11¡(¡t.
NOTA FINAL Termino recordando al lector el título de este libro, 1nt roduccion a la Lógica Simbólica, para advertirIe que sólo hemos intentado cumplir tal pretensión. Desde que comenzamos este libro hemos recorrido un largo camino. En ocasiones, nos ha podido parecer intrincado y tortuoso, pero creemos que la recompensa ha podido ser gratificante. No hemos pretendido otra cosa que abrir las puertas de la Lógica matemática o simbólica. No sabemos si éstas han quedado abiertas de par en par, o si solamente hemos conseguido un resquicio lo suficientemente amplio para penetrar por él. A partir de ahora la Lógica nos puede ofrecer grandes sorpresas y, ¿por qué no?, posibilidades de emplear nuestra imaginación. El rigor y la precisión no están reñidos con la aventura. La estructura del libro me parece pedagógicamente aceptable. Siempre eché de menos introducciones a la Lógica matemática asequibles a quienes, partiendo de cero, quisieran familiarizarse con ella. El fenguaje, a veces críptico de la Lógica, ha sido, desde el comienzo de este libro, despojado de su hermetismo y, paso a paso, nos hemos ido introduciendo en la antesala de la misma. Estoy convencido de que, a partir de aquí, el lector podrá descubrir nuevos horizontes porque el terreno introductorio ya está bien abonado. Quiero terminar ahora con las palabras con las que un maestro de la Lógica, Lukasiewicz, concluyó una de sus conferencias: «Al concluir estas observaciones, me gustaría esbozar una imagen que está conectada con las intuiciones más profundas que siempre experimento ante la logística. Esa imagen arrojará quizá mayor luz sobre el auténtico trasfondo de esa disciplina, al menos en mi caso, que cualquier descripción discursiva. Hela aquí: cada vez que me ocupo de un problema logístico, por insignificante que sea -por ejemplo, cuando busco el axioma más corto del cálculo proposicional implicacionaltengo siempre la impresión de que estoy frente a una estructura poderosa, dotada de la máxima coherencia y resistencia. Siento esa estructura como si fuer-a un objeto concreto, tangible, hecho del más duro metal, cien veces más fuerte que el acero y que el hormigón. Nada puedo cambiar en ello; no estoy creando nada por mi voluntad, sino que mediante un trabajo tenaz descubro constantemente en ello nuevos d talle y lIeg a verdad s inconmovibles y eternas. ¿Dónd está y qué es esa stru tura id al? n crey I1t dirla que está 11 i s y que es Su p nsumi I1t »1. 1
l.uk 1 ¡ wh z, .1111
M IIcld\l:
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1\.v(I/IIIII,~
di' 1/ 1/'/1 ti 1108/11111,
111/
1 \1),
1 \ vi 111 d' (). '\(11'111\"
BIBLlOGRAFIA Agazzi, E.: La lógica simbólica, Barcelona, 1967. Bochenski, I. M.: Historia de la Lógica formal, Madrid, 1966. Carroll, Lewis: El juego de la lógica, Madrid, 1972. Deaño, Alfredo: Introducción a la lógica formal, Madrid, 1974. Ferrater, J., y Leblanc, H.: Lógica Matemática, México, 1955. García Bacca, 1. D.: Introducción a la lógica moderna, Barcelona, 1936. Garrido, Manuel: Lógica simbólica, Madrid, 1973. Hilbert, D., y Ackermann: Los métodos de la lógica, Madrid, 1962. Lefebvre, Henri: Lógica formal, lógica dialéctica, Madrid, 1970. Lukasiewicz, J.: Estudios de lógica y filosofía, Madrid, 1975. Masenjaeger, G.: Concepto y problemas de la lógica moderna, Barcelona, 1968. Mosterín, Jesús: Lógica de primer orden, Barcelona, 1970. Muñoz, V.: De la axiomática a los sistemas formales, Madrid, 1961. Prior, Arthur: Historia de la lógica, Madrid, 1976. Quine, W. O.: Los métodos de la lógica, Barcelona, 1962. El sentido de la nueva lógica, Buenos Aires, 1958. Russell, B.: Los principios de la matemática, Buenos Aires, 1948. Sacristán, Manuel: Introducción a la lógica y al análisis formal, Barcelona, 1964. Sánchez Mazas, M.: Fundamentos matemáticos de la lógica formal, Caracas, 1963. Strawson, P. F.: Introducción a una teoría de la lógica, Buenos Aires, 1969. Suppes, P., y Hill, S.: Introducción a la lógica simbólica, Barcelona, 1968. Tarski, Alfred: Introducción a la lógica, Madrid, 1968. Wittgenstein, Ludwig: Tractatus Logico-Philosophicus, Madrid, 1973.
Índice
La PARTE. l. 2. 3.
7
.....................
.............
INTRODUCCION
De los enunciados
Lógica de enunciados ¿'Qué es un enunciado? Clases de enunciados
t
De los enunciados moleculares y de las conedc~ivas, l p.. 15 La disyunción ., ' p. 16. El con icronai, p. bicondicional, p. 19. La negacion, p. 21.
. ., conjuncron,
4.
Paréntesis y corchetes
,,
, .. , .. , . ,
.
11
. . .
11 11
.
22
13
i:, . i~
,
Ejercicios, p. 23.
5.
2.a PARTE. l.
27
Cuestiones que conviene recordar
Valores y tablas de verdad
Valores y tablas de verdad .. ,
,
Pd
1
I
{¡
'.
I"/i'/,('"ci(/
'l~tI
29
.
Valores de verdad de los enunciados atómicos, 29. ra~l~ verdad de los enunciados moleculares, p. 30. T~?la e ~~r ;ablae ., 32 Tabla de verdad de la conjunción, p. . negacion, p. .' ., 37 E' .. P 41 Tabla de verdad verdad de la disyunción, p. . jercicios, ':'>: .. 1 p. con dici lClona,I p. 43 . Tabla de verdad del bicondicional, Ejercicios y notas, p. 51.
3." PART
29
.. , ... , ...
~: de del 46 .
6
lila inferencial
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p. 78. 3." Regla del Tollendo Ponens, p. 91. 4." Regla del Silogismo Disyuntivo, p., 105. 5.a Regla del Silogismo Hipotético, p. 117. ti." Regla de la Simplificación, p. 127. 7." Regla de la Adjunción, p. 137. 8." Regla o Ley de Adición, p. 145. 9." Ley del Bicondicional, p. 156. 10. Otras reglas de inferencia, p. 163.
4." PARTE. La Reducción de conectivas y su aplicación en el cálculo inferencial '.' . .
165
l. La reducción de conectivas y su aplicación en el cálculo inferencial
165
La Ley de De Morgan, p. 166. La Reducción 173. La Reducción del Bicondicional, p. 179.
5.a PARTE .. La notación polaca.
del Condicional,
p.
......................
185
Explicación, p. 185. Ejercicios de traducción a notación polaca, p. 187. La traducción inversa, p. 188. Ejercicios de traducción inversa, p. 189. Arbol de una fórmula, p. 191. Ejemplos de árboles de fórmulas, p. 192. Inferencias en notación polaca, p. 194. Ejercicios de inferencia en notación polaca, p. 195.
BREVE RECONOCIMIENTO
A LA LOGICA
ESTOICA
199
NOTA FINAL
.
203
BIBLIOGRAFIA
.
204
