VERIFIN Métodos Numéricos

MÉTODOS NUMÉRICOS. VERIFIN.

PROFESOR: DR. LUIS ALEJANDRO ALCARÁZ CARACHEO. ALUMNOS: MARÍN GUZMÁN RICARDO ARTURO. NÚÑEZ MARTÍNEZ GABRIEL. RODRÍGUEZ GALDEANO ÁNGEL. CARRERA: INGENIERÍA INDUSTRIAL. SEMESTRE: 5º A.

CELAYA, GUANAJUATO. A 26 DE NOVIEMBRE DE 2016.

CONTENIDO. INTRODUCCIÓN. ..................................................................................................................... 1 CAPÍTULO 1. MARCO DE REFERENCIA. ................................................................................... 2 1.1 Planteamiento del problema. ....................................................................................... 2 1.2 Objetivo. ....................................................................................................................... 2 1.3 Justificación................................................................................................................... 2 1.4 Alcance y limitaciones................................................................................................... 3 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTO TEÓRICO. .................................................................................. 4 2.1 Introducción. ................................................................................................................. 4 2.1.1 Medición. ............................................................................................................... 4 2.1.2 Cifras significativas................................................................................................. 4 2.1.3 Concepto de precisión y exactitud ........................................................................ 5 2.2 Error. ............................................................................................................................. 5 2.2.1 Error de redondeo. ................................................................................................ 6 2.2.2 Error de truncamiento. .......................................................................................... 6 2.2.3 Error absoluto. ....................................................................................................... 7 2.2.4 Error relativo. ....................................................................................................... 8 2.3 Raíces de ecuaciones. ................................................................................................... 8 2.4 Métodos cerrados......................................................................................................... 9 2.4.1 Método gráfico. ..................................................................................................... 9 2.5 Métodos abiertos. ...................................................................................................... 10 2.5.1 Método de Newton-Raphson. ............................................................................. 11 2.5.2 Método de la secante. ......................................................................................... 12

2.6 Oscilación amortiguada. ............................................................................................. 14 2.6.1. Ecuación 1. Movimiento amortiguado. .............................................................. 14 2.6.2. Ecuación 2. Frecuencia angular. ......................................................................... 15 2.6.3. Ecuación 3. Amortiguamiento crítico. ................................................................ 15 CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA. ............................................................................................... 16 3.1 Diagrama de método. ................................................................................................. 16 3.2 Descripción del método. ............................................................................................. 16 3.2.1 Selección del problema. ...................................................................................... 16 3.2.2 Aplicar método gráfico. ....................................................................................... 17 3.2.3 Aplicar método Newton-Raphson. ...................................................................... 17 3.2.4 Aplicar método de la secante. ............................................................................. 18 CAPÍTULO 4. RESULTADOS. ................................................................................................... 19 4.1 Problema..................................................................................................................... 19 4.2 Método gráfico. .......................................................................................................... 19 4.3 Método Newton-Raphson. ......................................................................................... 21 4.4 Método de la secante. ................................................................................................ 22 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES. .............................................................................. 23 BIBLIOGRAFÍA. ...................................................................................................................... 24

INTRODUCCIÓN. Los métodos numéricos constituyen técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos, de tal forma que puedan resolverse utilizando operaciones aritméticas. Aunque existen muchos tipos de métodos numéricos, éstos comparten una característica común: invariablemente requieren de un buen número de tediosos cálculos aritméticos. No es raro que con el desarrollo de computadoras digitales eficientes y rápidas, el papel de los métodos numéricos en la solución de problemas en ingeniería haya aumentado de forma considerable en los últimos años. Los métodos numéricos son herramientas muy poderosas para la solución de problemas. Son capaces de manipular sistemas de ecuaciones grandes, manejar no linealidades y resolver geometrías complicadas, comunes en la práctica de la ingeniería y, a menudo, imposibles de resolver en forma analítica. Por lo tanto, aumentan la habilidad de quien los estudia para resolver problemas. Los métodos numéricos son un medio para reforzar su comprensión de las matemáticas, ya que una de sus funciones es convertir las matemáticas superiores en operaciones aritméticas básicas, de esta manera se puede profundizar en los temas que de otro modo resultarían oscuros. Esta perspectiva dará como resultado un aumento de su capacidad de comprensión y entendimiento en la materia. La mayoría de los problemas de métodos numéricos se relacionan con las raíces de ecuaciones, es decir, con el valor de una variable o de un parámetro que satisface una ecuación no lineal. Son especialmente valiosos en proyectos de ingeniería, donde con frecuencia resulta imposible despejar de manera analítica los parámetros de las ecuaciones de diseño. Muchos problemas de ingeniería se resuelven con el empleo de un doble enfoque: el empirismo y el análisis teórico. Debe destacarse que ambos están estrechamente relacionados. Conforme se obtienen nuevas mediciones, las generalizaciones llegan a modificarse o aun a descubrirse otras nuevas. De igual manera, las generalizaciones tienen una gran influencia en la experimentación y en las observaciones. En lo particular, las generalizaciones sirven para organizar principios que se utilizan para sintetizar los resultados de observaciones y experimentos en un sistema coherente y comprensible, del que se pueden obtener conclusiones. Desde la perspectiva de la solución de un problema de ingeniería, el sistema es aún más útil cuando el problema se expresa por medio de un modelo matemático. 1

CAPÍTULO 1. MARCO DE REFERENCIA. 1.1 Planteamiento del problema. El problema a estudiar es de Ingeniería Civil, nos motivó porque creemos que se aproxima más a la realidad y es más fácil de entender. Por tales motivos el problema es el siguiente: El desplazamiento de una estructura está definido por la ecuación siguiente para una oscilación amortiguada: 𝒚 = 𝟗𝒆−𝒌𝒕 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 Donde 𝑘 = 0.7 y 𝜔 = 4. a) Utilice el Método Gráfico para realizar una estimación inicial del tiempo que se requiere para que el desplazamiento disminuya a 3.5. b) Emplee el Método de Newton-Raphson para determinar la raíz con 𝜀𝑝 = 0.01%. c) Use el Método de la Secante para determinar la raíz con 𝜀𝑝 = 0.01%.

1.2 Objetivo. Resolver un problema teórico de Ingeniería Civil sobre el desplazamiento de una estructura mediante la aplicación del Método Grafico, el Método de Newton-Raphson y el Método de la Secante para realizar una estimación inicial del tiempo que se requiere para que el desplazamiento disminuya a 3.5 y determinar las raíces con un error del 0.01%.

1.3 Justificación. Es muy importante conocer a cerca de las deformaciones que pueden sufrir las estructuras de los edificios o construcciones debido a los constantes movimientos de la tierra provocados por la construcción misma, el tránsito vehicular pesado o por algún movimiento tectónico, en la mayoría de los casos. Más importante aún porque México es un país que constantemente ha sufrido o se encuentra en riesgo de sufrir daños provocados por movimientos telúricos, dada la ubicación con respecto a las placas tectónicas. Es por ello 2

que se optó por utilizar los Métodos Numéricos para aplicarlos a un problema sobre la deformación de estructuras, para determinar una aproximación inicial del tiempo requerido para que la deformación disminuya a 3.5, mediante el uso del Método Gráfico, el Método Newton-Raphson y el Método de la Secante, ya que esto también representa la forma más eficiente de aprender y reforzar los conocimientos matemáticos, que es mediante la solución de problemas y aplicaciones reales o teóricas, que te hagan entender de mejor forma los métodos, su impacto y utilidad real en las situaciones de la vida diaria.

1.4 Alcance y limitaciones. Se realizarán únicamente las operaciones y procedimientos necesarios para resolver la aplicación teórica sobre el desplazamiento de una estructura mediante el uso del Método Grafico, el Método de Newton-Raphson y el Método de la Secante para realizar una estimación inicial del tiempo que se requiere para que el desplazamiento disminuya a 3.5 y determinar las raíces con un error del 0.01%. Todo ello para conocer la importancia de la deformación de estructuras en edificios a causa de los movimientos de la tierra, también para tener un concepto más claro de los métodos utilizados, de las raíces y comprender su utilidad en las aplicaciones de la vida diaria. Así mismo para mejorar los conocimientos sobre métodos numéricos, raíces y sobre la utilidad del software en la solución de problemas matemáticos.

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CAPÍTULO 2. FUNDAMENTO TEÓRICO. 2.1 Introducción. Los métodos numéricos constituyen técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos, de tal forma que puedan resolverse utilizando operaciones aritméticas. Aunque existen muchos tipos de métodos numéricos, éstos comparten una característica común: invariablemente requieren de un buen número de tediosos cálculos aritméticos. No es raro que con el desarrollo de computadoras digitales eficientes y rápidas, el papel de los métodos numéricos en la solución de problemas en ingeniería haya aumentado de forma considerable en los últimos años. Los métodos numéricos son un medio para reforzar su comprensión de las matemáticas, ya que una de sus funciones es convertir las matemáticas superiores en operaciones aritméticas básicas, de esta manera se puede profundizar en los temas que de otro modo resultarían oscuros. Esta perspectiva dará como resultado un aumento de su capacidad de comprensión y entendimiento en la materia. 2.1.1 Medición. Una medición es un procedimiento, por medio de cual se obtiene uno o más conjuntos de datos, que representan un proceso, de cualquier clase. Las mediciones en física se efectúan por medio de un instrumento de medición. La exactitud de una medición, depende del tipo de medición. Así si se desea medir una partícula de polvo, se requiere un microscopio graduado en micras. En cambio, si se desea medir el ancho de una estrella, se requiere de un telescopio con graduación que permitan medir años luz. Todas las medidas que realiza un instrumento, se reportan con cierto grado de incertidumbre, por ejemplo, las medidas de una hoja de papel tamaño carta se reportan con un error de ±5mm, lo cual quiere decir que las dimensiones de la hoja (21.6, 27.9) sólo los tres primeros dígitos son significativos. 2.1.2 Cifras significativas. Una cifra significativa es cada uno de los dígitos que resulta de hacer una medición, cuando la máxima certidumbre no es mayor que la mitad de la mínima unidad que puede ser medida con el instrumento de medición utilizado.

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Los ceros no siempre son cifras significativas, ya que pueden usarse solo para ubicar el punto decimal. Así los números 0.00002458 y 0.0002458 tienen cuatro cifras significativas. 2.1.3 Concepto de precisión y exactitud Cuando se efectúan varias mediciones con un mismo instrumento y a un mismo objeto, se distinguen dos cosas en los resultados obtenidos: 1. La repetición de las mediciones dentro de un rango de valores. 2. La cercanía de las mediciones a un valor, que de alguna forma sabemos o consideramos como real. Precisión. A la repetición de valores obtenidos de una medición se le conoce como la precisión de la medida. Exactitud. A la cercanía de las mediciones a un valor que consideramos como el valor real se le conoce como exactitud. Por ejemplo, si la medición de la superficie de un círculo de radio unitario la realizamos 5 veces, obteniéndose los valores siguientes: 3.141592653, 3.141592654, 3.141592657, 3.141592651, 3.141592650, todas las medidas precisión a diez cifras significativas sin embargo las cifras de mayor exactitud serían la primera y la segunda.

2.2 Error. En la vida real, no siempre se conocen las soluciones exactas de los problemas que se presentan, ya sea en un proceso económico, administrativo o cualquier cálculo científico que se tenga que realizar. Por este motivo, la mayor parte de los resultados que se reportan en la práctica son aproximaciones de las cantidades reales. En el área de la computación sucede lo mismo, ya que ninguna computadora puede almacenar un número irracional. La diferencia que existe entre una cantidad real y su aproximación se conoce de manera general como error. Existen muchos tipos de errores (el tratamiento exhaustivo y estadístico de estos queda fuera del alcance del presente texto), dentro de los más importantes para el análisis numérico se encuentran:  

El error de redondeo El error de truncamiento 5

 

El error relativo El error absoluto

2.2.1 Error de redondeo. El error de redondeo es el que resulta al suprimir o desechar un conjunto de dígitos que no se consideran como significativos, siguiendo las reglas establecidas para este caso:  

Si el decimal 𝑛 + 1 es menor que 5, simplemente se suprime. Si el decimal 𝑛 + 1 es mayor o igual a 5, se incrementa en una unidad la última cifra conservada. Ejemplo:

Tabla 2.1 Error de redondeo.

2.2.2 Error de truncamiento. El error de truncamiento es el error que aparece cuando un procedimiento infinito se hace finito. El ejemplo clásico del error de truncamiento, es cuando se corta la expresión de una función, en series de potencia. La expansión de una función en series de potencias de Taylor está dada por:

Como se ve, esta expansión es infinita lo cual no es práctico para calcular un valor de la función, de ahí que la serie se trunca, lo cual produce automáticamente un erro, el cual es precisamente llamado error de truncamiento. Póngase como ejemplo, el cálculo del valor de:

Aquí se tendrán diferentes errores, dependiendo el número de términos usados para calcular la exponencial, lo cual se muestra en la siguiente tabla: 6

Tabla 2.2 Error de truncamiento.

El error de aproximación para cada expresión, está dado por la expresión:

Donde es el residuo que queda después del n-ésimo término, (t) es la n+1derivada paramétrica de la función. Que para este caso el mayor número de términos es 6 así que:

Donde 𝑅𝑛 es el residuo que queda después del n-ésimo término, 𝑓 𝑛−1 (t) es la n+1derivada paramétrica de la función. Como se verá el error esperado es precisamente mayor que para el 6º término. 2.2.3 Error absoluto. El error absoluto es el valor absoluto de la diferencia entre el valor real y el valor aproximado Es decir: 𝜀𝑎𝑏𝑠 = |𝑉𝑟 − 𝑉0 | Donde 𝑉𝑟 es el valor real, y 𝑉0 es el valor obtenido, o aproximado. Como rara vez se conoce el valor real 𝑉𝑟 , puede corresponder a cualquiera de dos valores: El valor esperado o bien el valor obtenido por la iteración anterior. Ejemplo: 𝑙𝑛(3.5) = 1.25276 la aproximación utilizando una expansión de Taylor con 6 términos es 14.3489, por lo tanto, el error absoluto es: |1.252776 − 14.3489| = 13.0961

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2.2.4 Error relativo. El error relativo es el cociente entre el valor absoluto y el valor real. Es decir que: 𝑉𝑟 − 𝑉0 𝜀𝑟 = | | 𝑉𝑟 Donde, como en la definición anterior 𝑉𝑟 es el valor real, y 𝑉0 es el valor obtenido o aproximado. Como ya se mencionó, no siempre se conoce el valor real, por lo tanto, se usa el valor esperado o bien el valor obtenido anteriormente en una iteración. Ejemplo: Se calculará el error relativo cometido al calcular el cos 6, respecto al calculado por medio de 6 términos de una expansión en serie Mc Claurin. 𝑐𝑜𝑠(6) = 0.960170, la expresión con 6 términos proporciona el valor −0.733121. Así:

Muchas veces es útil trabajar con el porcentaje de error relativo, el cual se obtiene multiplicando por 100. En ambos errores estos se reportan de acuerdo con la exactitud que se esté manejando. Hay que recordar que el error de redondeo en los cálculos está dado por la expresión 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒𝑜 = 5𝑥10−𝑛−1 donde 𝑛 es el número de decimales que se están considerando. Como ejemplo al redondear el error relativo del cálculo anterior del coseno tiene lo siguiente:

Tabla 2.3 Error relativo.

2.3 Raíces de ecuaciones. El objeto del cálculo de las raíces de una ecuación es determinar los valores de 𝑥 para los que se cumple: 𝑓(𝑥) = 0 8

La determinación de las raíces de una ecuación es uno de los problemas más antiguos en matemáticas y se han realizado un gran número de esfuerzos en este sentido. Su importancia radica en que si podemos determinar las raíces de una ecuación también podemos determinar máximos y mínimos, valores propios de matrices, resolver sistemas de ecuaciones lineales y diferenciales, etc. La determinación de las soluciones de la ecuación puede llegar a ser un problema muy difícil. Si 𝑓(𝑥) es una función polinómica de grado 1 o 2, conocemos expresiones simples que nos permitirán determinar sus raíces. Para polinomios de grado 3 o 4 es necesario emplear métodos complejos y laboriosos. Sin embargo, si 𝑓(𝑥) es de grado mayor de cuatro o bien no es polinómica, no hay ninguna fórmula conocida que permita determinar los ceros de la ecuación (excepto en casos muy particulares). Es en este caso donde entran los métodos numéricos.

2.4 Métodos cerrados. Los siguientes métodos requieren que las funciones sean diferenciales, y por lo tanto continuas, en un intervalo donde se apliquen aquéllas, por lo tanto, estos tipos de métodos son llamados "Métodos cerrados". También se puede intentar utilizarlos para funciones no diferenciales o discontinuas en algunos puntos, pero en este caso el llegar al resultado dependerá, aleatoriamente, de que durante la aplicación del método no se toquen esos puntos. El problema de obtener las soluciones o raíces de una ecuación algebraica o trascendente de la forma 𝑓(𝑥) = 0 se representa frecuentemente dentro del campo de la ingeniería. Se puede definir a la raíz de una ecuación como el valor de x que hace a 𝑓(𝑥) = 0. Así, que un método simple para obtener a la raíz de la ecuación 𝑓(𝑥) = 0, consiste en graficar la función y observar donde cruza el eje 𝑥. Por eso estos tipos de métodos, son llamados "Métodos Gráficos" Los métodos de este tipo son: 1.- Método de Bisección. 2.- Método Gráfico. 3.- Falsa Posición. 2.4.1 Método gráfico. Un método simple para obtener una aproximación a la raíz de la ecuación 𝑓(𝑥) = 0 consiste en graficar la función y observar en donde cruza el eje x. este punto, que representa el valor de x para la cual 𝑓(𝑥) = 0, proporciona una aproximación inicial de la raíz. 9

Las técnicas gráficas tienen un valor práctico limitado, ya que no son precisas. Sin embargo, los métodos gráficos se pueden usar para obtener aproximaciones de la raíz. Estas aproximaciones se pueden emplear como valores iniciales para los métodos numéricos. Las interpretaciones gráficas, además de proporcionar aproximaciones iniciales de la raíz, son herramientas importantes en la compresión de las propiedades de las funciones, previendo las fallas de los métodos numéricos.

Figura 2.4 Raíces por método gráfico.

En este caso las estrellas rojas representan cada raíz que tiene la ecuación, es decir, cada vez que la función corta el eje x.

2.5 Métodos abiertos. Los métodos abiertos utilizan una fórmula para predecir la raíz. Esta fórmula puede desarrollarse como una iteración simple de punto fijo (también llamada iteración de un punto o sustitución sucesiva o método de punto fijo). Las raíces múltiples son determinados de ecuaciones polinómica que tienen la forma general: 𝑓𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + . . . + 𝑎𝑛𝑥𝑛 Donde 𝑛 es el grado del polinomio y son los coeficientes. Las raíces de los polinomios pueden ser reales y / o complejos, y cumplir con las tres reglas: En una ecuación de grado n, hay n raíces reales o complejas. Cabe señalar que las raíces no son necesariamente diferentes. Si 𝑛 es impar hay al menos una raíz real. Si hay raíces complejas, estas se encuentran en pares conjugados.

Los métodos abiertos que se analizarán son: 2.- Método de Newton-Raphson. 3.- Método de la Secante.

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2.5.1 Método de Newton-Raphson. Entre los métodos de aproximaciones sucesivas para encontrar algunas de las raíces de una ecuación algebraica o trascendente, el de Newton-Raphson es el que presenta mejores características de eficiencia, debido a que casi siempre converge a la solución y lo hace en un número reducido de iteraciones. Este método es aplicable tanto en ecuaciones algebraicas como trascendentes y con él es posible obtener raíces complejas. Tal vez, de las fórmulas para localizar raíces, la fórmula de Newton-Raphson sea la más ampliamente utilizada. Si el valor inicial para la raíz es 𝑥𝑖, entonces se puede trazar una tangente desde el punto [𝑥𝑖, 𝑓(𝑥𝑖)] de la curva. Por lo común, el punto donde esta tangente cruza el eje x representa una aproximación mejorada de la raíz.

Figura 2.5 Iteración del método Newton-Raphson.

El método de Newton-Raphson, como todos los de aproximaciones sucesivas, parte de una primera aproximación y mediante la aplicación de una fórmula de recurrencia se acercará a la raíz buscada, de tal manera que la nueva aproximación se localiza en la intersección de la tangente a la curva de la función en el punto y el eje de las abscisas. De la figura se tiene que la primera derivada en 𝑥 es equivalente a la pendiente: 𝑓(𝑥𝑖 ) − 0 𝑓 ′ (𝑥𝑖 ) = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖+1 Que se reordena para obtener: 𝑓(𝑥𝑖 ) 𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 − ′ 𝑓 (𝑥𝑖 )

Para emplear este método: 1.- Se sustituyen datos. 2.- Igualar a cero la ecuación para obtener 𝑓(𝑥) = 0. 11

3.- Graficar o tabular para obtener una 1ra aproximación a la raíz buscando 𝑥0 (valor cercano a la raíz). 4.- Se deriva la función 𝑓(𝑥) para obtener 𝑓′(𝑥). 5.- Se aplica la ecuación de recurrencia que utiliza el método(Algoritmo). 6.- Utilice la siguiente tabla de registro. 𝑓(𝑥𝑖 ) 𝑓′(𝑥𝑖 ) 𝑖 𝑥𝑖 𝑥𝑖 + 1 𝐸𝑝

2.5.2 Método de la secante. Este método se basa en la fórmula de Newton-Raphson, pero evita el cálculo de la derivada usando la siguiente aproximación. 𝑓(𝑥𝑖−1 ) − 𝑓(𝑥𝑖 ) 𝑓 ′ (𝑥𝑖 ) ≈ 𝑥𝑖−1 − 𝑥𝑖 Sustituyendo en la fórmula de Newton-Raphson, obtenemos: 𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 −

∴

𝑓(𝑥𝑖 ) 𝑓(𝑥𝑖 ) ≈ 𝑥𝑖 − ′ 𝑓(𝑥𝑖−1 ) − 𝑓(𝑥𝑖 ) 𝑓 (𝑥𝑖 ) 𝑥𝑖−1 − 𝑥𝑖

𝑥𝑖+1 ≈ 𝑥𝑖 −

𝑓(𝑥𝑖 )(𝑥𝑖−1 − 𝑥𝑖 ) 𝑓(𝑥𝑖−1 ) − 𝑓(𝑥𝑖 )

Que es la fórmula del método de la secante. Nótese que para poder calcular el valor de 𝑥𝑖 + 1 necesitamos conocer los dos valores anteriores 𝑥𝑖 y 𝑥𝑖 − 1. Obsérvese también, el gran parecido con la fórmula del método de la regla falsa. La diferencia entre una y otra es que mientras el método de la falsa posición trabaja sobre intervalos cerrados, el método de la secante es un proceso iterativo y por lo mismo, encuentra la aproximación casi con la misma rapidez que el método de Newton-Raphson. Claro, corre el mismo riesgo de éste último de no converger a la raíz, mientras que el método de la falsa posición es más seguro. El método se basa en obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos (𝑥𝑛 − 1), 𝑓(𝑥𝑛 − 1) y (𝑥𝑛, 𝑓(𝑥𝑛)). A dicha recta se le llama secante por cortar la gráfica de la función. Posteriormente se escoge como siguiente elemento de la relación de recurrencia, 𝑥𝑛 + 1, la intersección de la recta secante con el eje de abscisas obteniendo la fórmula.

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𝑦=

𝑦𝐴 − 𝑦𝐵 𝑥𝐴 𝑦𝐵 − 𝑥𝐵 𝑦𝐴 + 𝑥𝐴 − 𝑥𝐵 𝑥𝐴 − 𝑥𝐵

Este método, a diferencia del de bisección y regla falsa, casi nunca falla ya que solo requiere de 2 puntos al principio, y después el mismo método se va retroalimentando. Lo que hace básicamente es ir tirando rectas secantes a la curva de la ecuación que se tiene originalmente, y va checando la intersección de esas rectas con el eje de las 𝑥 para ver si es la raíz que se busca. El método de la secante parte de dos puntos (y no sólo uno como el método de Newton) y estima la tangente (es decir, la pendiente de la recta) por una aproximación de acuerdo con la expresión gráfica siguiente:

Figura 2.6 Grafica de la secante.

En la siguiente iteración, emplearemos los puntos 𝑥1 y 𝑥2 para estimar un nuevo punto más próximo a la raíz de acuerdo con la ecuación de arriba. En la figura se representa geométricamente este método. En general, el método de la secante presenta las mismas ventajas y limitaciones que el método de Newton-Raphson. Forma de hacerlo: Primero hay que definir algunos conceptos como: 𝑥𝑖: es el valor actual de 𝑥. 𝑥𝑖 − 1: es el valor anterior de 𝑥. 𝑥𝑖 + 1: es el valor siguiente de 𝑥. Para simplificar la fórmula que se usa en este método se dirá que: 𝐴 = 𝑥𝑖 − 1 𝐵 = 𝑥𝑖 + 1 𝐶 = 𝑥𝑖 Como su nombre lo dice, este método va trazando rectas secantes a la curva original, y como después del primer paso no depende de otras cantidades, sino que solito va usando

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las que ya se obtuvieron, casi nunca falla porque se va acomodando hasta que encuentra la raíz. Relación de recurrencia. 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 − 𝑓(𝑥𝑛 ) 𝑓(𝑥𝑛 ) − 𝑓(𝑥𝑛−1 )

2.6 Oscilación amortiguada. En el caso en que un sistema reciba una única fuerza y oscile libremente hasta detenerse por causa de la amortiguación, recibe el nombre de oscilación libre. Éste es por ejemplo el caso cuando pulsamos la cuerda de una guitarra.

Figura 2.7 Oscilación amortiguada.

Si en el caso de una oscilación libre nada perturbara al sistema en oscilación, éste seguiría vibrando indefinidamente. En la naturaleza existe lo que se conoce como fuerza de fricción (o rozamiento), que es el producto del choque de las partículas (moléculas) y la consecuente transformación de determinadas cantidades de energía en calor. Ello resta cada vez más energía al movimiento (el sistema oscilando), produciendo finalmente que el movimiento se detenga. Esto es lo que se conoce como oscilación amortiguada. En la oscilación amortiguada la amplitud de la misma varía en el tiempo (según una curva exponencial), haciéndose cada vez más pequeña hasta llegar a cero. Es decir, el sistema (la partícula, el péndulo, la cuerda de la guitarra) se detiene finalmente en su posición de reposo. Si la fuerza de amortiguamiento es relativamente pequeña, el movimiento está descrito por: 𝑥 = 𝐴𝑒 −(𝑏/2𝑚)𝑡 cos(𝜔′ 𝑡 + 𝜑) 2.6.1. Ecuación 1. Movimiento amortiguado. La frecuencia angular de la oscilación ω’ está dada por: 14

𝑘 𝑏2 𝜔′ = √ − 𝑚 4𝑚2 2.6.2. Ecuación 2. Frecuencia angular. No obstante, la frecuencia de oscilación del sistema (que depende de propiedades intrínsecas del sistema, es decir, es característica del sistema) no varía (se mantiene constante) a lo largo de todo el proceso. (Salvo que se estuviera ante una amortiguación muy grande.) El movimiento descrito por la ecuación 1 difiere del caso no amortiguado en dos aspectos. Primero, la amplitud Ae–(b/2m)t no es constante, sino que disminuye con el tiempo a causa del factor exponencial decreciente e–(b/2m)t. Para el caso ɸ = 0; muestra que, cuanto mayor sea el valor de b, la amplitud disminuirá más rápidamente. Segundo, la frecuencia angular dada por la ecuación 2, ya no es igual a, sino un poco menor, y se vuelve cero si b es tan grande que:

2.6.3. Ecuación 3. Amortiguamiento crítico. Si se satisface la ecuación 3, la condición se denomina amortiguamiento crítico. El sistema ya no oscila, sino que vuelve a su posición de equilibrio sin oscilar cuando se le desplaza y suelta. Si b es mayor que la condición se denomina sobreamortiguamiento. Aquí tampoco hay oscilación, pero el sistema regresa al equilibrio más lentamente que con amortiguamiento crítico. Si b es menor que el valor crítico, como en la ecuación 1, la condición se llama subamortiguamiento. El sistema oscila con amplitud constantemente decreciente. En un diapasón o cuerda de guitarra que vibra, normalmente queremos el mínimo amortiguamiento posible. En cambio, el amortiguamiento es benéfico en las oscilaciones de la suspensión de un automóvil. Los amortiguadores proveen una fuerza amortiguadora dependiente de la velocidad para que, cuando el auto pase por un bache, no siga rebotando eternamente (figura 1). Para optimizar la comodidad de los pasajeros, el sistema debería estar críticamente amortiguado o un poco subamortiguado. Demasiado amortiguamiento sería contraproducente: si la suspensión está sobreamortiguada y el auto cae en otro bache, justo después del primero, los resortes de la suspensión todavía estarán comprimidos un poco por el primer golpe, y no podrán absorber plenamente el impacto.

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CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA. 3.1 Diagrama de método.

Figura 3.1 Diagrama de método.

3.2 Descripción del método. 3.2.1 Selección del problema. Se seleccionó un problema de Ingeniería Civil sobre la deformación que sufren las vigas debido a las cargas transversales que soportan en su longitud. Las cargas que soportan son, regularmente, cargas puntuales, cargas uniformemente distribuidas y momentos puntuales. Cada una de estas cargas provoca una deformación particular en la viga. El problema seleccionado es el siguiente: El desplazamiento de una estructura está definido por la ecuación siguiente para una oscilación amortiguada: 𝒚 = 𝟗𝒆−𝒌𝒕 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 Donde 𝑘 = 0.7 y 𝜔 = 4. a) Utilice el Método Gráfico para realizar una estimación inicial del tiempo que se requiere para que el desplazamiento disminuya a 3.5. 16

b) Emplee el Método de Newton-Raphson para determinar la raíz con 𝜀𝑝 = 0.01%. c) Use el Método de la Secante para determinar la raíz con 𝜀𝑝 = 0.01%. 3.2.2 Aplicar método gráfico. Se utiliza el método gráfico para obtener una aproximación sobre el resultado de 𝑡 que representa una estimación inicial del tiempo que ser requiere para que el desplazamiento disminuya a 3.5. Se sustituyen lo valores iniciales (𝑘 = 0.7, 𝜔 = 4, 𝑦 = 3.5) en la ecuación original (𝑦 = 9𝑒 −𝑘𝑡 cos 𝜔𝑡) que fueron dados en el problema para obtener 𝑓(𝑡). Se dan valores a 𝑡, en este caso del −1, −0.9, −0.8, … ,1 para obtener los valores de: 𝑓(𝑡) = 9𝑒 −0.7𝑡 ∗ cos 4𝑡 − 3.5

Después se grafican los resultados de 𝑡 y 𝑓(𝑡) con lo que podemos obtener una primera aproximación al verificar los dos valores en los que cambia de signo 𝑓(𝑡) y que representa el rango por donde pasa la raíz. Después con los valores de la primera observación, se hace una segunda, tomando estos valores para obtener un resultado más aproximado a la raíz. 3.2.3 Aplicar método Newton-Raphson. El primer paso es obtener la primera derivada de 𝑓(𝑡) = 9𝑒 −0.7𝑡 ∗ cos 4𝑡 − 3.5. Una vez que se tenga la primera derivada se sustituye junto con 𝑓(𝑡) en la fórmula de recurrencia utilizada en el Método Newton-Raphson: 𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 −

𝑓(𝑥𝑖 ) 𝑓 ′ (𝑥𝑖 )

Después se realizan las iteraciones necesarias para el resultado con error del 0.01%. Utilizando la siguiente tabla en Excel para los registros y los cálculos necesarios.

𝒊𝒕𝒆𝒓𝒂𝒄𝒊ó𝒏

𝒕𝒊

𝒇(𝒕𝒊 )

𝒇′(𝒕𝒊 )

𝒕𝒊 + 𝟏

𝑬𝒑

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3.2.4 Aplicar método de la secante. Para el método de la secante, primero hay que definir lo siguiente: 𝑡𝑖: 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑡. 𝑡𝑖 − 1: 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑡. 𝑡𝑖 + 1: 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑡. Después de esto se aplica en Excel la fórmula de recurrencia utilizada en el Método de la Secante: 𝑡𝑖+1 ≈ 𝑡𝑖 −

𝑓(𝑡𝑖 )(𝑡𝑖−1 − 𝑡𝑖 ) 𝑓(𝑡𝑖−1 ) − 𝑓(𝑡𝑖 )

Realizando las iteraciones necesarias para el resultado con error del 0.01%. Utilizando la siguiente tabla en Excel para los registros y los cálculos necesarios.

𝒊𝒕𝒆𝒓𝒂𝒄𝒊ó𝒏

𝒕𝒊

𝒕𝒊−𝟏

𝒇(𝒕𝒊 )

𝒇(𝒕𝒊−𝟏 )

𝒕𝒊 + 𝟏

𝑬𝒑

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CAPÍTULO 4. RESULTADOS. 4.1 Problema. El desplazamiento de una estructura está definido por la ecuación siguiente para una oscilación amortiguada: 𝒚 = 𝟗𝒆−𝒌𝒕 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 Donde 𝑘 = 0.7 y 𝜔 = 4.

d) Utilice el método gráfico para realizar una estimación inicial del tiempo que se requiere para que el desplazamiento disminuya a 3.5. e) Emplee el método de Newton-Raphson para determinar la raíz con 𝜀𝑝 = 0.01%. f) Use el método de la secante para determinar la raíz con 𝜀𝑝 = 0.01%.

4.2 Método gráfico. 1) Sustituyendo los valores iniciales en la ecuación original: Datos iniciales: 𝑘 = 0.7 𝜔=4 𝑦 = 3.5 Ecuación original: 𝒚 = 𝟗𝒆−𝒌𝒕 ∗ 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 Sustituyendo, obtenemos: 𝟑. 𝟓 = 𝟗𝒆−𝟎.𝟕𝒕 ∗ 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝒕 2) Despejando e igualando a 0, obtenemos la función f(t): 𝟗𝒆−𝟎.𝟕𝒕 ∗ 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝒕 − 𝟑. 𝟓 = 𝟎

→

𝒇(𝒕)

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3) Con esa fórmula pasamos al Método Gráfico. Para una primera aproximación.

4) Podemos calcular una segunda aproximación.

Cumpliendo con el inciso a), mediante el Método Gráfico, sabemos que el tiempo se encuentra entre 𝟎. 𝟐𝟕 y 𝟎. 𝟐𝟖 para disminuir el desplazamiento a 𝟑. 𝟓. 20

4.3 Método Newton-Raphson. 1) Necesitamos la primera derivada de f(t), entonces tenemos: Función f(t): 𝒇(𝒕) = 𝟗𝒆−𝟎.𝟕𝒕 ∗ 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝒕 − 𝟑. 𝟓 = 𝟎 Primera derivada:

𝒇′ (𝒕) = 𝟗{−𝟎. 𝟕𝒆−𝟎.𝟕𝒕 𝐜𝐨𝐬(𝟒𝒕) − 𝟒𝒆𝟎.𝟕𝒕 𝐬𝐢𝐧(𝟒𝒕)}

2) Obtenemos la fórmula de recurrencia del método:

𝒕𝒊+𝟏 = 𝒕𝒊 −

𝟗𝒆−𝟎.𝟕𝒕 ∗ 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝒕 − 𝟑. 𝟓 𝟗{−𝟎. 𝟕𝒆−𝟎.𝟕𝒕 𝐜𝐨𝐬(𝟒𝒕) − 𝟒𝒆𝟎.𝟕𝒕 𝐬𝐢𝐧(𝟒𝒕)}

3) Pasamos a Excel:

Cumpliendo con el inciso b), mediante el Método Newton-Raphson, obtenemos que la raíz con error menor a 0.01% corresponde al valor de 𝒕𝒊+𝟏 = 𝟎. 𝟐𝟕𝟎𝟑𝟗𝟕𝟕𝟔. 21

4.4 Método de la secante. 1) Primero hay que definir algunos conceptos como:

𝑡𝑖: es el valor actual de 𝑡. 𝑡𝑖 − 1: es el valor anterior de 𝑡. 𝑡𝑖 + 1: es el valor siguiente de 𝑡.

2) Necesitamos la fórmula de recurrencia del método:

𝑡𝑖+1 ≈ 𝑡𝑖 −

𝑓(𝑡𝑖 )(𝑡𝑖−1 − 𝑡𝑖 ) 𝑓(𝑡𝑖−1 ) − 𝑓(𝑡𝑖 )

3) Pasamos a Excel:

Cumpliendo con el inciso c), mediante el Método de la Secante, obtenemos que la raíz con error menor a 0.01% corresponde al valor de 𝒕𝒊+𝟏 = 𝟎. 𝟐𝟕𝟎𝟑𝟗𝟕𝟕𝟔.

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CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES. Sabemos que los métodos numéricos constituyen técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos, de tal forma que puedan resolverse utilizando operaciones aritméticas. Aunque existen muchos tipos de métodos numéricos, éstos comparten una característica común: invariablemente requieren de un buen número de tediosos cálculos aritméticos.

Para ello existen muchos programas de software que te permiten realizar estos tediosos cálculos para poder obtener el resultado. Uno de estos programas es Excel, que fue el programa utilizado durante toda la materia, y que sin duda es una herramienta muy importante.

También sabemos que los métodos cerrados requieren que las funciones sean diferenciales, y por lo tanto continuas, en un intervalo donde se apliquen aquéllas, es decir, estos métodos requieren de un intervalo que encierre a la raíz para partir de ese punto y obtener el resultado con el porcentaje de error deseado. Ejemplo de ello es el método gráfico, que fue el que empleamos en este trabajo.

Los métodos abiertos, sin embargo, utilizan una fórmula para predecir la raíz. Esta fórmula puede desarrollarse como una iteración simple de punto fijo (también llamada iteración de un punto o sustitución sucesiva o método de punto fijo), pero no necesariamente los valores de partida tienen que encerrar a la raíz.

Al aplicar distintos métodos a un mismo problema concluimos que el valor de la raíz fue muy parecido, sólo variaba por centésimas, lo que hacía que el porcentaje de error fuera diferente en cada uno de los resultados, pero lo único que quiere decir es que uno de los resultados es más exacto que otro, pero ya en lo práctico, muchas veces esas milésimas o centésimas pueden no representar una gran diferencia.

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