Uvod
UAAG Uvod u algebru s analitičkom geometrijom
doc. dr. sc. Damir Vukičević www.pmfst.hr/~vukicevi
Znanja iz klasične algebre vektora i vektorskog zasnivanja analitičke geometrije u ravnini i prostoru te elementarno poznavanje algebarskih struktura kroz prikladne primjere i osnovna svojstva. Student je stekao osnovna predznanja za izgradnju apstraktnih pojmova, kao što su vektorski prostori, operatori, afini prostori i slično, s kojima će se susresti u kolegijima Linearna algebra i Euklidski prostori. Sadržaji vezani uz krivulje, plohe i geometrijske transformacije poslužit će kao uvod u geometrijske kolegije na višim godinama studija .
Klasična algebra vektora u V2 i V3. Orijentirane dužine.Vektori. Modul, smjer i orijentacija vektora. Zbrajanje vektora. Vektori i skalari. Linearna zavisnost i nezavisnost vektora. Baza i dimenzija. Koordinatizacija. Skalarni produkt. Ortonormirana baza. Koordinatni prikaz skalarnog produkta. Vektorski produkt. Mješoviti produkt.
Elementi analitičke geometrije u E3. Kartezijev koordinatni sustav na pravcu, u ravnini i prostoru. Razni oblici jednadžbe ravnine. Udaljenost točke od ravnine. Kut dviju ravnina. Analitička predočenja pravca. Kut dvaju pravaca. Kut pravca i ravnine. Udaljenost točke od pravca. Zajednička normala i udaljenost dvaju pravaca. Krivulje drugog reda u ravnini i njihovo analitičko predočenje. Plohe drugog reda. Krivulje u prostoru. Neki drugi koordinatni sustavi. Geometrijske transformacije u R2 i R3. Koordinatni i matrični zapis transformacija. Kompozicija transformacija. Svojstva pojedinih skupova transformacija s obzirom na kompoziciju.
Algebarske strukture. Binarne operacija. Osnovne algebarske structure, definicije i primjeri. Grupe. Podgrupe. Primjeri iz prethodnih sadržaja. Grupe permutacija. Prsteni i polja, definicije i primjeri. Linearni prostori. Baza i dimenzija. Potprostori, presjek i suma.
K. Horvatić, Linearna algebra I i II, PMF – Matematički odjel, HMD, Zagreb, 1995. N. Elezović, A. Aglić, Linearna algebra, Element, Zagreb, 1999 . N. Bakić, A. Milas, Zbirka zadataka iz linearne algebre s rješenjima, PMF–Matematički odjel, HMD, Zagreb, 1995. N. Elezović, A. Aglić, Linearna algebra, Zbirka zadataka, Element, Zagreb, 1999.
B. Pavković, D. Veljan, Elementarna matematika 2, Školska knjiga, Zagreb, 1994. S. Kurepa, Konačnodimenzionalni vektorski prostori i primjene, Liber, Zagreb 1992.
I. Vektori
1.Operacije s vektorima
orjentirana
Duljinom, smjerom i orjentacijom (usmjerenjem)
smjer (ili usmjerenje)
smjeru
usmjerenju
i usmjerenje
3 V
2. je vektorski prostor
Za skup vektora a1 , a2 ,..., ak kažemo da je linearno nezavisan ako vrijedi:
λ1 ⋅ a1 + λ2 ⋅ a2 + ... + λk ⋅ ak = 0 ⇒ ⇒ λ1 = λ2 = ... = λk = 0
3. Koordinatni sustavi i kanonska baza
4.Skalarni produkt
5. Vektorski produkt
Matrica (kao tablica brojeva) Determinanta Determinatne drugog reda Determinante trećeg reda: - Klasično računanje - Sarussovo pravilo
6. Mješoviti produkt
7. Rastav vektora po bazi
8. Dvostruki produkt
II. Točka, pravac i ravnina
1. Točka
2. Ravnina
Ax + By + Cz − Ax1 − By1 − Cz1 = 0
x − 2 y + 3z − 5 = 0
n
3. Pravac
4. Međusobni položaj pravaca i ravnina
