“Planifcación Estratégica para una Educación de AMERICAN PONTIFICAL CATOLIC !NIER"IT#
Alumno(a) :..................................................................................... ............. Prof Pr ofes esor or a : UAN CARLOS VILCA TISNADO11 Fecha
Preuniversitario Preuniversitario
b) MÉTO MÉTODO DO DEL DEL TR TRIÁ IÁNG NGUL ULO O Es un ente matemático que gráficamente se representa por un segmento de recta orientado. La física utiliza los vectores para representar • las magnitudes vectoriales. y
Se utiliza para calcular la resultante de dos vectores concurrentes y coplanares que que están uno a continuación del otro. Gráfic Gráficam ament ente e se constr construy uye e un triáng triángulo ulo11 traza trazando ndo el vector resultante desde el origen del primer v ector 2asta el e+tremo del segmento vector.
3irección Línea de acción
Módulo
A
:ector resultante
Módulo de 9rigen
θ
Módulo de
R
B
En gene genera rall un vect vector or se repr repres esen enta ta de la siguiente forma.
( $ Módulo del vector A
( = (
A *B
β
3irección +
•
R $ B * A $
R
3onde β $ -%& 4 α. !osβ$ 4!osα 5ota En el triángulo vectorial tam,i6n se cumple la ley de Senos.
θ $ 3irección del vector A
MÉTODOS PARA CALCULAR LA RESULTANTE Se utiliza para calcular la resultante de dos vectores concurrent concurrentes es y coplanares coplanares que tienen un mismo mismo punto de origen. Gráficamente se construye un paralelogramo trazando paralelas a los vectores. El vector resultante se traza uniendo el origen de los vectores con la intercepción de las paralelas. A
:ector :ector resultante
Senθ
β
θ
a) MÉTO MÉTODO DO DE DEL L PA PARA RALE LELO LOGR GRAM AMO O
A
γ
R
Se utiliza para calcular la resultante de un con7unto de vectores concurrentes y coplanares. Es un m6todo grafico que utiliza escalas apropiadas y consiste en trazar los vectores uno a continuación del otro otro mant manten enie iend ndo o sus sus cara caract cter eríístic sticas as.. El vect vector or resultante ' R # se traza uniendo el origen del primer vector con el e+tremo del 8ltimo vector. y C vectores
A
Módulo de R
R; $ (; * ); * ;()!osα !asos "articulares Si α$ %&'(↑↑)# R $ ( * ) $ R ma+ima a# Si α $ -%& '(↑↓)# R $ ( / ) $ R mínima ,# c#
Si α $ 0%& '(
)#
R
$
A
2
+
B
2
Senγ
c) MÉTO MÉTODO DO DE DEL L POLÍ POLÍGO GONO NO
E7em. Sean A 1 B B
B
B
R = A + B
α
=
α
β R
β !onstruimos el polígono vectorial "olo
%
A
α
Pag Pag
(!(3EM<( "RE=5<:ERS<>(R<( "RE=5<:ERS<>(R<(
200
$
&%
%
MILLAS
COMPONENTES RECTANGULARES RECTANGULARES DE UN VECTOR Son aquell aquellos os vector vectores es que result resultan an de proye proyecta ctarr un vector so,re dos 'o tres# e7es perpendiculares entre sí.
y
A !omponentes rectan4 A
Resolución:
(
)
@
gulares del vector (
M
D
R
@
A
Se cumple que
Ay
(+ $ (!osα
!
3
∴ R $
(y $ (Senα
6 2 + 82
= 10
α +
Ax
d)MÉTODO DE RECTANGULARES
LAS
COMPONENTES
"erm "ermit ite e calc calcul ular ar el módul ódulo o y la dire direcc cció ión n de la resultante de un con7unto de vectores ."asos a seguir. -& Se 2alla las componentes rectangulares. ;& Se calcula la resultante en cada uno de los e7es coordenadas 'R+1 R?# @& Se calcula el módulo de la resultante aplicando "itágoras y su dirección aplicando la función tangente.
@# Se tienen dos vectores coplanares y concurrentes
cuyos módulos son @ 5 y B 5 respectivamente. 3eterm 3etermin inar ar el ángu ángulo lo que que ellos ellos de,e de,en n form formar ar ent entre sí para para que que su vect vector or suma suma teng tenga a por por módulo G 5.
Resolución: @
>gθ $
R$
Rx 2 + R
B
R y
2
G
θ
R; $ (; * ); * ;()!osθ
PROBLEMAS DESARROLLADOS -# !alcular R y además
a
R
$Au
; $ @; * B; * ;'@#'B# !os θ A0 $ @A * @%!osθ → -B $ @%!os θ
Si R $ A a *@ , 4B c C
,
%BuC
c
$Du.
a
,
!osθ $
1 2
→ θ D%&
A# La resultante mínima de dos vectores es cero y su resultante má+ima igual a @% µ. H!uál de,e ser el módulo módulo de su result resultant ante e cuando cuando los citado citados s vectores formen un ángulo entre si de -%DI J
c Resolución:
R $ A'4A#*@'B#4B'D#
Resolución:
→ R $ 4@R $ @-
R $ 4-D * -B / @%
∴
Sean los vectores A y B
;# !alcular el módulo de la resultante del siguiente
( )gulo sist sistem ema a si ()!3 es un rect rectán ángu loCC ()$m )$m11 )!$Dm además MF punto medio de )! M
3
!
Rmin $ % $ A 4 B
( $ -B
Rma+ $ @% $ A * B
) $ -B
R; $ (; * ); * ;()!os-%D& R; $ -B; * -B; * ;'-B#'-B# '4Sen-D&#
Pag Pag
(!(3EM<( "RE=5<:ERS<>(R<( "RE=5<:ERS<>(R<(
200
R; $ ;+'-B# ; / ;.
7 25
15 .15 . 7 5. 5
450 450 − 126 126 =
R $ -
324
a# d# ;
PRÁCTCA DRGDA -#.4 !alcular R y además
'%
%
MILLAS
R; $ ;'-B# ; / ;'-B#;+
R$
$
a
R
$Au
Si R $ A a *@ , 4B c C %BuC
,
c
$Du.
,# ;
c#
3
e#
3
2 D#.4 D#.4 3os 3os fuer fuerza zas s copla coplana nare res s dan dan una una resu result ltan ante te má+ima de 5 y una resultante mínima de ;51 calc calcul ular ar el módu módulo lo de la fuer fuerza za resu result ltant ante e de dic2as fuerzas cuando sus orígenes coinciden y forman entre si D%&. a# 0
,# --
c# G
d#
e# D
a
G#.4 3el gráfico verificar la verdad de las siguientes proposiciones < . ! $ ( + ) << . ! $
, c
3 +E
a# /@-
,# -D
c# @-
d# ;-
e# 4;-
<<<. ! $ (
;#.4 !alcular el módulo de la resultante del siguiente sist sistem ema a si ()!3 es un rect rectán ángu gulo loCC ()$m )$m11 )!$Dm además MF punto medio de )! (
<:.
−)
! $
3 −E
)
(
)
!
3 M E 3 a# D
@#.4
!
,# B
c#
d# -%
a# : d# ::
e# -A
Se tienen dos vectores coplanares y concu oncurr rren enttes cuyo cuyos s módu módulo los s son son @ 5 y B 5 respectivamente. 3eterminar el ángulo ángulo que ellos de,en formar entre sí para que su vector suma tenga por módulo G 5.
a# @%&
,# AB&
c# @&
d# B@&
(
d# -
,# -B e# (,surdo
#. #.4 Kalla allarr la rela relac ción ión
)
c# @
c# ::
(
+
;
26
a#;
)
$Bm y
del )
,# -
c# @
d# A
e#
0#.4 !alcular -F si L- + L; + L@ = % ademásC L;
=
B%
@ C @ $ -%%.
@%&
!
−
(
m. Kallar el módulo módulo de la la resultante.
3
(
(
$@m.
B#.4 En la figura se muestra un cuadrado ()!3 de lado
)
gráf gráfic ico o que que se muestr muestra a si
e# D%&
A#.4 La resultante mínima de dos vectores es cero y su resultante má+ima igual a @% µ. H!uál de,e ser el módulo módulo de su result resultant ante e cuando cuando los citado citados s vectores formen un ángulo entre si de -%DI J a# ;-
,# ::: e# ::
Pag Pag
(!(3EM<( "RE=5<:ERS<>(R<( "RE=5<:ERS<>(R<(
200
,# AB
c# B%
e# -%%
@
-%#.4 3os vectores colineales tienen una resultante de módulo igual a -A. (l girar uno de los vectores 0%&1 su nueva resultante tiene como módulo igual a -%. El menor de los vectores es
a# ;%
,# -%
c# B
d# -
,# D
c#
d# -%
R;
e# 5.(.
--#.4 Kallar la magnitud de la resultante y el ángulo que que form forma a con con el e7e e7e posi positi tivo vo +F +F del del sist sistem ema a mostrado en la figura. y -;
B@&
a# @% ,# A% c# D% d# B% e# G% -D#.4 -D#.4 !alcul !alcular ar el módulo móduloCC direcc dirección ión y sentid sentido o del ()
C si ($'A
a# ;C @%& d# ;C B@&
+
@G&
@%&
R@
vector
0
C@# y )$'B
@
,# ;C D%& e# ;C AB&
@
CA#
c# -C @&
-G#.4 3ado el con7unto de vectores 2allar el módulo del vector R C sa,iendo que se define así
B
a# C 0%& d# -%C B@&
e# %
-B#.4 En el siguiente sistema de fuerzas calcular R si R;$%5. R-
a# @
(%
%
MILLAS
a# BB d# B%
$
,# DC %& e# BC B@&
R = ;a − , + @c
c# -%C @&
a
-;#.4 En la siguiente figura ()!3 es un rectángulo si ()$µ C )!$Aµ. !alc alcular ular el el mód módulo ulo de la resultante. ( )
=
Gu C
,
=
Bu y
c
=
,
c
a
M a# /@ 3 a# D
!
,#
c# -A
d# /-%
,# @
c# @-
d# /@-
e# 5.(.
-#.4 Kallar el módulo del vector resultante. ;L
y
e# -%
L -@#.4 -@#.4 El módulo módulo del vector vector resultante resultante es
-% u
θ
.
!alcular el ángulo que forman entre sí1 siendo los vectores ;u y a# -D&
,# @%&
θ
;u .
c# @G&
+
θ d# AB&
e# GB&
@L
y -A#.4 En el siguiente gráfico1 calcular el módulo de la →
resultante si M ( M $ M ) M $;% ( B u.
B
uC M ! M $;%
→
!
L a# ;L d# L
-;%&
→
)
+
,# L
2
e# ;L
c#
2
2
Au
Pag Pag
(!(3EM<( "RE=5<:ERS<>(R<( "RE=5<:ERS<>(R<(
200
)%
$
%
MILLAS
-0#.4 La resultante má+ima de dos vectores es ;*; . !alcular el modulo de la resultante cuando
@
formen 0%&.Si el cociente entre dic2os vectores es N@
@
a#
;
A
;
d#
A
A
;
@
−;
@
+
+
,#
;
A
c#
@
+
;B#. ;B#.44 3ete 3eterm rmin inar ar el módu módulo lo y la dire direcc cció ión n de la fuer fuerz za resulta ltante nte del grupo de vec vectores colineales1 -$G51 ;$5C @$D5C A$@5 y B$A5
L;
L@
e# A
@
L-
LA
LB
;%#.4 Kallar el valor del vector resultante de los tres vectores mostrados. G
a# /'# d# -'#
,# '# e# /'#
c# '#
-;%& G
;D#.4 !alcular la resultante del con7unto de vectores. Se sa,e queC
@%&
(
;A
a# ;A d# @%
,# @e# 5.(.
=
()
C si ($'A
C
)
=
;u y
c# ;B
C@# y )$'B
@
!
=
Bu
(
@
P
!
)
;-#.4 ;-#.4 !alcul !alcular ar el módulo móduloCC direcc dirección ión y sentid sentido o del vector
Au
CA#
2; 30°
a# @
Rpta OOOOOOO
,# ;
c# -
d# B
e# A
;G#.4 HQu6 ángulo forma la resultante con el semie7e +'*#J ;;#.4 Si m $'BC;# y n $'@CA#. !alcular
•
(8,m6) ; n 10
C
m+n
y
+
Rpta
D5
OOOOOOO
•
-%5 C (-2,2) ; 2 m
m −n
−
n
;
Rpta
OOOOOOO
@G&
;@#. ;@#.44 Kall Kallar ar la relac relació ión n
(
gráf gráfic ico o que que se mues muestr tra a si
+
)
(
(
$Bm y
−
)
5
+
del )
$@m. a# AB& ,# @%& (
Rpta OOOOOOO
vectores mostrados
;A#.4 ;A#.4 3os fuerza fuerzas s coplan coplanare ares s dan una result resultant ante e má+ima de 5 y una resultante mínima de ;51 calcu calcula larr el módu módulo lo de la fuer fuerza za resu result ltan ante te de dic2as fuerzas cuando sus orígenes coinciden y forman entre si D%&. ,# --
c# G
d# ;&
e# 0%&
;#.4 3eterminar el módulo de la diferencia de los
4
a# 0
c# /GA&
d#
e# D
D
=
A
(
Du
B@&
)
−
B
Pag Pag
(!(3EM<( "RE=5<:ERS<>(R<( "RE=5<:ERS<>(R<(
200
$
*%
%
MILLAS
Bu a# @
,# B
c# D
d# -%
e#
;0#.4 ;0#.4 En el rectán rectángul gulo o ()!3 ()!3 si (K$Au K$Au y K)$;u. K)$;u. !alcular la resultante de los vectores. K (
) a
,
3
!
a# A ,# ; c# d# D e# % @%#. @%#.44 La resu result ltan ante te del del con7 con7un unto to de vect vector ores es se encuentra encuentra en el e7e e7e vertical. vertical. !alcular !alcular el módulo módulo del vector c1 sa,iendo que a$-%
; y ,$-%
?
AB& @G& P B@&
a# -%
,# -B
c# ;%
d# ;B
e# %
@#e #d -@#d -#e
A#d 0#c -A#e -0#e
B#e -%#, -B#d ;%#c
CLAVES
-#c D#c --#d -D#a
;#d G#e -;#e -G#,
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