c
VECTORES
SOLVER EDK «
Se pide demostrar que si el módulo de la suma y diferencia de dos vectores en el espacio son iguales, entonces los vectores en el espacio son perpendiculares. Hacer por componentes.
Piden: Si |A-B| |A-B|=| =|A+ A+B|B|-»» A y B son son perpendiculares. Sea Sea A=(Ax,A A=(Ax,AyA yA ) B = (B x,By By,Bz ,Bz)) |(A (A x-Bx,Ay-By, Ay-By,a z-Bz ) |=|(A x+Bx,Ay+By, Ay+By,Az+Bz) +Bz) | j(A j( A x-Bx)2+( )2+(Ay Ay-By) 2+(Az +(Az-Bz)2= )2= J(A J( A x+B +Bx x)2+(A )2+(Ayy+By By)) 2+(Az +(Az+ +B;,)2
Ax+BX-2AXBx+Ay+By-2AyBy+A2+B¡-2AZBz=Ax+Bx+ Bz=Ax+Bx+2AXBx +Ay+By+2AyBy-fAz Az+B2+2 AzBz 4AxBx+4AyBy+4AzBz=0
AxBx+Ay Bx+AyBy+Az By+AzBz=0 AB =0 Si A.B=0—>Ay B son perpendiculares Demostrar que: (PxQ) (R x S)+(Qx S)+(QxR). R). (RxP)+ (Rx P)+(Q (Qx x S)=0 S)=0 Usar la relación: Px(QxR) =Q(P.R)-R(P.Q)
La demostración es inmediata usando la relación brindada. La idea es formar a partir de la relación relación los sumandos que piden demostrar, al sumar dichas dichas ecuacio ecuaciones nes se www.eduKperu.com
I B l UCIONARIO UCIONARI O FISI FI SICA CA LE IVA I Y II
___________
l ÉOK
) .............. ...................... .............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. ........... .......
'
encontrará con ciertos valores negativos que podrá sumar igualando a cero la expresión. Dado Dado los los vectores vectores P=(2,P= (2,-l,l) l,l) y y Q=(-l,2,2)y R=(l,-2,a) R=(l,-2,a) Cuánto debe valer a para que los vectores sean coplanares. jC j C T l r f g f i lM P,Q,R son coplanares si P.(Q x R)=0 i Resolviendo QxR=
j
k
- 1 2
2
=(2a+4,a+2,0)
1 -2 a P.(QxR)=(2,-l,l)(2a+4,a+2,0)=0 =(2(2a+4)-(a+2)+0)=0 a=-2 Simplificaíx(Axí)+jx(Ax])+ío<(Axk)r: jcrnTír jcrn Tírar arsT sTM M Tenemos: !x (Axí)+ (Axí)+ jx
(A x
j)+ k x (A x j)...( j). ..(aa )
Resolviendo aplicando la propiedad P x (Q x R)=Q(P. R)-R(Q.P) De (a): i x (A x Í)+J x (A x J)+k J)+k x(A x j)
A
j ) 1-J ( A . I)1+ A jJ^ °- Í(5 ^ )U=2A í ^ 0 ) °+ °+ A ( JJ.. j)
^ |J| Si P+Q+ P+Q+R= R=0 0 , Demostrar quePxQ=QxR=RxP: ^ im i m iw r n P+Q+R=0....(1)
ACTORES
......... __ ________
( ~
VECTORES
SOLVER SOLVER EDK «
Piden demostrar que PxQ=QxR=RxP Hallamos PxQ, Sabemos por (1) Que Q=-P- R =*PxQ=Px-1(P+R)=-PxP-PxR =-PxR=RxP Para QxR=Qx(-Q-P)=-QxQ-QxP QxR=Qx(-Q-P)=-QxQ-QxP =-QxP=PxQ PxQ=RxP=QxR |j||| Simpl Simplifi ificar car (PxQ (Px Q ).(QxR)x ).(Qx R)x(Rx (RxP) P)
Simplificando utilizando utilizando la propiedad Ax Bx C=B(A.C)-C(A.B)
A.(B x C)=C(AxB)= B.(C x A ) A.nB=nA.B,
A.B=B.A
=>(Px =>(PxQ. Q.[ (Qx (Q xK) x (Rx P)] =>(PxQ). ¡R(Q x R) .P-P(Q x R) .R] =>(Px (P x Q ).[R P(Q P(QxR xR))-PP R(Q x R)] R (QxR)=0 ya que R I Q x R =>=(PxQ)[R P(Q x R)] =[P.(QxR)][R.(PxQ)] =[P. (Qx (Q x R)] [P. [P. (Q x R)] =[P.(Q x R)]2
íf¡| Demostrar: (P x Q).(R x S)=(Px R).(Q x S)-(Px S).(Q x R) www. ww w. ecluKper u.corn
SOLUCIONARIO SOLUCI ONARIO FISIC FIS ICA A LE IVA I Y IIII
» SOLVE SOLVER R EDK EDK
VECTORE
Queremos probar que: (PxQ (Px Q ).(RxS)= (Rx S)=(PxR (PxR)) (Q x S)-(Px S) (Q x R) Por propiedad A(BxC)=C.(AxB)=B.(CxA) =>(Px (P x Q ). (Rx S )=R )=R. (SxPx (Sx PxQ Q) =r .[p ( s .q )-q ( s .p )]=(r .p ) ( s .q )-( )- (r .q ) ( s .p )
Ordenando (PxQ).(RxS (PxQ).(RxS)=(P.R)( )=(P.R)(Q.S)-(P. Q.S)-(P.S)( S)(Q Q .R) Teniendo en cuenta las propiedades Px(QxR)=Q(P.R)-R(P.Q) P.(QxR)=R.(P.Q)=a(RxP) P.P=0 y PxQ=-QxP (Px (P x Q ).(RxS)=S[PxQ (RxS)= S[PxQxR]... xR]... .(1) .(1) (Q.R).(P x Q)=P[Q x Q x R] .. .. ..(2) ..(2) (R.P).(Q.S)=S[R x Px Q ].... ].... (3) (3)
De (1) S.[Q(P.R)-R(P.Q)]=(S. S.[Q(P.R)-R(P.Q)]=(S.Q)(P.R) Q)(P.R) (S.R) (P.Q (P .Q )... )... (a) De (3) S.[-Px Q x R]=(S.Q)(P.R)+(S.R)(P.Q) .. .(p)
De (2) P[QxQxR]=0 Ya que QxQ=0 Sumando (a) y (P) Tenemos. (PxQ)(PxQ )- (RxS)+(QxR)(PxQ)+(R (RxS)+(QxR)(PxQ)+(R x P) ((Q xS)=0 Demostrar que los vect vector ores es
P= (2,8,0)
,Q= ,Q= (-2,3,8 (-2,3,8)) Y R=(0,6 R=(0,6,-4 ,-4)) Pueden Pueden ser los
lados de un triángulo. Hallar las longitudes de las medidas triángulo.
SOLVER EDK «
VECTORES
Para que los vectores puedan ser lados de un triángulo tienen que cumplir: RP+PQ=RQ RP=(2,2#4)
PQ= (-4, -5, 8)
RP+PQ=(-2, -3,12)=RQ •••Por tanto estos vectores si son lados de un triángulo. Tenemos el siguiente triángulo: P
Hallamos las longitudes de las medianas:
RO-RQ--PQ
wvw¿ ed ukp eru .com
SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II
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J
VECT
PN=^RQ-RP
Los componentes de las medianas son: PN=(-3,~,2) RO=(0,-i,8) QM=(3,4, -10) Entonces las longitudes serán: L,=|PN |=5,02 l
2=¡r o |=8,o i
L3=|QM|=11,18 Dado el paralelogramo PQRS donde T Y L Son los puntos medios de los lados QR Y PS respectivamente. Demostrar que PT Y PL dividen a la diagonal PQS entres partes mediante los puntos M Y N.
Q
agmurgtüar Teniendo en cuenta los triángulos PQR y PRS, tendremos que N y M son baricentros respectivamente.
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VECTORES
Por lo tanto ON=^ÑQ....(l) y ■MO=^SM....(2) probado en el problema 42 de los problemas resueltos. Pero O divide en la mitad al vector MN, teniendo ^~=ON=MO...(3) De (1), (2), y (3) obtenemos que: mn
=ñ q =s m
Tomando MP=MA+AP pero MP=^BA+^AD Pero sabemos que: BA+AD=BD =>MP=^BD De esto tenemos queMPIIBD Ahora tomamos el vector NO tenemos NO= NC+ CO ÑO=^BC+^CD Pero BC+CD=BD Tenemos que ÑO=^BD De esto obtenemos que NBIIBD Como ÑBHBD y MPIIBD Entonces NBIIMP y NB=MP ww w- eduKper u ,corn
SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II
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3
VECTOR
Lo mismo procedemos con los otros vectores: Por lo tanto: MNHPO y.MN=OP ÑBIIMP yÑB-MP f t Demostrar que las bisectrices de los ángulos de un triángulo se cortan en un punto y se llama incentro y corresponde al centro de las circunferencias inscritas al triángulo.
Tenemos que demostrar que AM.OM=BN.ON=AP.OP=C) AM.OM=ÁM.(ÁM-ÁB) =AM.AM-AM.AO... (a) La Proyección de AO sobre AB es AO.p=AO cosa pero AM=AO cosa =>AO.p-AM En (a):
Luego: ÁMlOM De igual forma se puede demostrar que: BN.ON=0 y AP.OP^O
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VECTORES
i - - • °MI -|OM|=|AB|sena sen 90 sen a |ÁO| |ÓP| -|OP|=|AO|sena sen 90 sen a Luego |OP|=|OM|=R De igual forma se demuestra que |OP|~|OM|=R
Dado los vectores P Y Q , que forman ángulo 0, demostrar: QsenG tan0=— —-- P+Qcos0 donde 0es el ángulo entre la resultante y el vector P .
¡y VIH Mi Del triángulo formado por los vectores P,Q,R Por ley de senos tenemos _ P ___ Q R sena sen0 ~ senoc(180-Q) Q P=-- - , oc=Q-0 sen0 Q =$?=-- -(sen0 cos0-sen0cos0) sen0 =>P=Qsen0-Qcos0 vw.
^
c of n .'
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VECTORES
Qsen0 =»tan0= P+Q cos0 Dado los vectores
P yQ;R=mP+nQ, tal como se indica en la figura. Si P =3, Q = 5
y R =10. Hallar la relación: m/n.
Tenemos los módulos de cada vector: (P)=3 (Q)=5 Para los vectores que suman R deben de ser iguales, entonces: (nQMmP)
ÍT" ¡Q|_m
m 5 n 3
Se dan los vectores P yQ forman un ángulo agudo tal que sen0= 3/5. Si el módulo de P=16 y sabiendo que P es ortogonal a(P-Q) : Hallar el módulo de Q JEffllKTOTgW
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VECTORES
r ~-
Según el dato Pl(P-Q)=> =90° de la parte sombreada, por ley de senos tenemos: P O sen (90-0) sen90 P =>0= =20 sen53° ©
Las caras de un tetraedro regular son triángulos equiláteros de lado a. (a) Hallar el ángulo que hace cada lado con la cara opuesta, (b) La distancia de un vértice a la cara opuesta. Hacerlo por vectores.
www. e
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VECTORES
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a=|ÁB|=|BC|=|CD|=|BD|=|AD| El área de la figura sombreada será: ,— — ,. senO A=|BD|.|DM|— -
MA+AD=MD
^MA+AD=MD |MD|=Jr3|AC| Si “O” es baricentro: — 2— > OD=~MD El COSO
|o d | _ | | m d | 2 / í ^ | a c |
: | B D f | Á C r 3 V2
|AC|
V3 Cos 0=0=54,73° Y la altura será: h=a sen(54,73) h=0,81 a ©
Sea PQRSTM los vértices de un hexágono regular. Hallar la resultante de las fuerzas representados por los vectores. PQ , PR, P S , PT, y PM .
C
vectores
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Q
Haciendo coincidir el punto P con el origen de coordenadas y considerando el lado de longitud a. Tenemos: PQ=acos60+a senóOj PR=a senóOj+a senóOj PS=2acos60Í+2a senóOj MS=(a+a cos60°)í+a senóOj PM=ai Sumando en X y Y tenemos PQ+PR+PS+MS+PM=3 a i+6a senóO] 6a cos60i+óa sen60j= 3PS
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3.
VECTORES
% Demostrar que el polígono que resulta de unir los medios de los lados de un
cuadrilátero es un paralelogramo. Hallar un vector de longitud 1y perpendicular aA = (l,l,l) y B=(2f3,-1).
Sea el vector P tal que |P|=1 PlB
PIA
Si P±B y 1P±A—>P.B=0 P,A=0 P,B=(P1,P2,P3)(2,3r l)=2P1+3P2-P3=0...(l) P.A=(P1,P2,P3)(1,1,1)=Pi+P2+P3-(I1) Resolviendo: _ 4 K P1=--KP2=KP3=3 Hallando K: |P|=1=JP?+PÍ + Pl 9
8 P=±4=H-3,1) V26
V26
C
VECTORES
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¡||p (a) Hallar todos puntos de que pueden ser el cuarto vértice del paralelogramo formado por los otros tres vértices A = (1,0,1), B = (-1,1,1) Y C = (2,-1,2) .(b) también hallar el área del triángulo ABC.
mmmmm
Siendo A, B, C y D vectores de un paralelogramo se cumple que A+C=B+D En el paralelogramo se cumple A+C = B+D Tenemos: (2+P1,P2,P3+2)=(0, 1, 2) P1=-2 ,P 2=2,P3=0 P=(-2, 2, 0) Lo mismo se aplica para hallar los demás vértices, por tanto tenemos que: AC=(1, -1,1), AB=(-2,1, 0) CB=(-3, 2, -1) Sabemos que www. edukp'er u •corn
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)
VECTORES
a a = q IAC xABI
¡ j k =¿ACxAB= 1 -1 1 -2
1
0
1i r r a/6 =*AA=-'Jb= —
Dos vectores P = (2,-3 ,6) y Q= (-1,2,-2) están aplicados a un mismo punto. Hallar las coordenadas del punto R que tiene la dirección de la bisectriz del ángulo formado por los vectores P y Q, Si R = 3a/42 .
Podemos relacionar de la siguiente arquitectura manera por gráfico RxQIIPxR Ahora hallamos K tal que RxQ=K PxR.... (a) ¡RxQ|=|K Px R| | R|| Q| sen0=K | P|| K| sen0
De (a) tenemos que
3 - K=7 Resolviendo
-2b-2c=^(-3c-6b)
a = -K
2a - c = 3/7 (-2c+6a)
b= 5K c=4K
f ~ _________________SOLVER EDK «
VECTORES
Su módulo del vector R=(-K, 5K, 4K) Es 3VÍ2 =>K2+2SR2+16K2=9V42 K=3 •*.R—C-3,15,12) 3 Si P+Q+R = Ó. Demostrar que PxQ+QxR+RxP=3PxR .
Teniendo en cuenta el problema 5) tenemos que PxQ=RxP=QxR ^PxQ+QxR+RxP^PxQ Hallar el área del triángulo
cuyo
vértices son los puntos A = (2,-2,3). B(1,-2)YC
= (4,2,-1)
CA=(-2, -4,4) CB=(-3, -4,1) A a =1|CA x CB| A a =^ 1(20, -14, -4)|
AA=Vl53
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D
VECTORES
Hallar el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son
P=(l,2,-1), Q=(3,4,-6)
y R=(2,1,-3)
V=|P.(Q x R)| i j
k
2 1
6 -3
Q x R= 3 4 (-6, -3,-5)
Se conoce los cosenos directos de dos vectores cuyos valores son a|,a2,a3 y b1; b2, b3 . Demostrar que ángulo entre ellos es 6 y se obtienes de la expresión cos0=atbi+a2b2+a3b3
Como tenemos los cosenos directores de los vectores, tenemos los vectores unitarios de ellos-, V=^=-=(cosa, cosp, cos0) W= 7^T=COOC', cosp', COS0'
lwj Entonces tenemos los valores:
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VECTORES
W=(b,,b2,b 3) Haciendo el producto escalar obtenemos el ángulo que forman: V.W=(|V||\V|cosO =cosO=(a,b,a2,b2, a3b3) Dado el vector A y el escalar m , hallar el valor de B ,tan que A.B= m. —iii]HWÍ»3 Podemos dar la forma de: B=A+A Haciendo producto vectorial y considerando A=C se tiene: AxB=CxA+AA A.B=y||A2|| A.B o it
=y
B=CxA+ ip^r .A IKII Dos vectores Á y B tiene magnitudes iguales de 10 unidades. Están orientados como se muestran en la figura. Su suma es R=A+B.
Hallar (a) los componentes
de R. (b) el módulo de R. (C) El ángulo que forma R con el eje de los +x.
¡| p
Lo dejamos como ejercicios para el lector, aplique los conceptos aplicados en los ejercicios aplicados en los anteriores ejercicios. Dados los vectores A= (1,1,2).B= (1,3,4). C= (1,1,1) y P= (1,-5,1). Hallar los valores de m, n y r para que mm-nB+rC=P.
Sean los vectores: A=(-l, 1, 2), B=(l, 3, 4)y C=(l, 1, -1) ' .-d jw u cosn
SOLUClONARiO FISICA LE IVA 1Y II
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VECTORES
Por condición del problema: mA-nB-rC=(l, -5,1) Obtenemos las siguientes expresiones: -m-n+5=l m-3n+r=-5 2m-4n-r=l En este problema utilizaremos cramer: |Am| m= JA I ¡An¡ " |A| |Ar| r |A| Siendo A matrices Entonces 1 -5 1 -1 1 2
-1 -3 -4 -1 -3 -4
1 1 -1 i 1 -1
-17 m = T
Lo mismo procede para n y r -5
c
VECTORES
SOLVER EDK <<
y
r=-4 Hallar el vector A= (2,-1,-4). Hallar el vector P, cuyo sentido es opuesto al vector A y su módulo es la cuarta parte de A.
Para que valores d ém e R, el vector |m; -m, ^(m-l)J es unitario.
El vector |m,-m,^(m-l)j es unitario =¿su módulo = 1 Jm 2+m2+ ¿(m - l)2=l 33m2-2m-15=0 Resolviendo: m=
l±4V3l 33
Hallar el vector unitario que une el origen con el punto medio del segmento AB, donde A=(4,-l,l) y B=(2;l,l).
mmmmw Sea el vector P tal que P||A y opuesto A A y|p|=l^ ,|a |=>/2T Como P||A 3 K E R tal que (P i ;P2,P3)=-K(2, -1, -4) =>P,=-2K P2=+K P3-4K |P|=KV2T=^^K=7 4 4 SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y I
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VECTOR
.•.P=(P1;P2;P3)=(-2K;K, 4K) =(0,5; 0,25; 1) ¡p Demostrar que un vector cualquiera A
el espacio se puede expresar A=
(Ai, A. J, A. k)
- /
Mostramos los vectores en el siguiente gráfico: Tenemos los siguientes componentes de A: A=(|A|jí|cos8;|A||j|cosa ;¡A|¡k¡cosy ) El producto escalar se define: A.B=|A||B|cos0 =>A=(A.Í ,A.J,A.k)
Demostrar que un vector unitario cualquier Q en el espacio se puede : Q= (eos a , eos p, eos y ) donde a, ¡3 y y son los ángulos que hace el vector A con los eje X , Y y Z.
m m m m Cuáles son los valores de m y n para que A= (m,-2n,l)y =B= (n,-m,3) Son
SOLVER EDK «
VECTORES
A lB —►A . B=0 (m, 2n,l) (n,-m,3)=mn+2nb+3=0 mn=l
Sabemos que
A=3=V m2+4n2+l
9=m2+4n2+l , n=l/ m
8m2=m4+4 m4-8m2+4=0
Resolviendo tenemos que:
m=j4±2V3
n=- 1±
Dado los vectores A y B déla figura: (a) Halla A.B (b ) Hallar Axb.
De la figura Los vectores están en el plano XY entonces tenemos
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SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y
23
D
» SOLVER EDK
VECTO
A(óV3 cos30, 6V3 sen30°; 0) Si el módulo de la suma de dos vectores A y
B es 8 y los módulos de A
5 de y B =10 Hallar el módulo déla diferencia délos vectores.
|A+B|=8 y |A|=5 |B|=10 Piden IA-B¡=?
|A+B|= J|A|2+|Bj2+2|A||B| eos 0 =8 25 + 100 + 100 cosO = 64 61 eos r> 0=- — 100
|a -b |=J| a |2+|b |!-2|a ||b | cos0 = 25+100-100
V 10 0/
|A-B|=Vl80 Si el módulo de la suma de dos vectores es VÍ0 A=y V3 , B = 3. Hallar el producto escalar A.B
|a +b |=VTo , ¡a |=V3,|b |=3
Piden hallar A . B |a +b |=VTo =^|a |2+Sb |2+2|a ||b | cosO
12+6V3 cos0=10 =»cos0=
-1 3V3 '
I
VECTORES
SOLVER EDK «
A.B=|A||B|cosO
V3V3' .••A.B=-1 Si el módulo de un vector es A = 2 y el otro es de doble magnitud B = 2A, Si el ángulo que forman dichos vectores es 120°. Hallar el módulo de la suma de los vectores.
|a |=2 |b |=2 |a |=4
Piden hallar |a +b |=?
|a +b |=J|a |2+|b |2+2|a ||b | cosO
Si 0=120° V4-16-16cosO=2V3 |A+B|=2V3
Dado dos vectores de un triángulo A= (1,1, 1), B = (l,- l,l) y C= (-2,1,-1). Hallar el ángulo que hacen los vectores AB yAC.
wvvw. cd u Kper u ,com
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25
» SOLVER EOK
VECTO
A
>y
C
X
Piden el ángulo =?
t
AC=(-3, 0, -2) ÁB=(0, -2,0) AC.AB= |AC||ÁB|cos0 0=Vl3.2 cos0 cos0=O .-.0=90° Dados los vectores P, Q, R y S, que cumple la condición PxQ=RxS y Px R- Qx S . Demostrar que el vector P- R .
Para que P-S sea paralelo a Q-R tiene que cumplir que: (P-S)x (Q-R)= O Demostraremos esto: (P-S)x (Q-R) (P-S)x Q-(P-S) x R PxQ-SxQ-P-R+S-R Por condición: PxQ=RxS y PxR=QxS
c
VECTORES
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y sabiendo que AxB=-BxA ; tenemos PxQ+QxS-RxS=0 .-.(P-S)ll(Q-R) ^
Dado los vectores A=(1,l,) , B=(-l,-a,a) y C=(a,l,-a). Cual el valor de a para que el volumen definido por los tres vectores de igual a 7. ^ÍUHIHLU Tenemos los vectores A=(l, 1,1)
B=(-l, -a, a)
C=(a, -1, -a) V=7 i j k =>BxC= 1 -a a =(a2-a, a2-a, a2-l) a 1 -a A. (BxC(a2-a+ a2-a+ a2-l))= 7 3a2-2a-l=7 3a2-2a-8=0 Resolviendo tenemos que -4 a=2°-
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» SOLVER EDK
VECTOR
¡j} Dado los vectores A=(l,-2, 2) y B=(-2, 2, -3) . Hallar la proyección escalar y vectorial de B sobre A.
Siendo los vectores A=(l, -2, 2) B=(-2, 2,4) Piden hallar Proy escalar =? y Proy vectorial =? B—Á B^ A Proy escalar = B.Á_2 W
3
Proy. Vectorial (B.Á)Á (2,-4, 4)
|A|2 =
^
Si P.Q=20 Y P=3 , Q=10 Hallar |PxQ| . j B
ü
Tenemos que P.Q=20 y |P|=3 ,.|Q|=10 Piden |PxQ| P.Q= |P| jQ| cosO—>cosO= \ —>0=48, 20°
f
SOLVER EDK «
VECTORES
Piden |PxQ|=|P||Q|senO =80 sen (48, 20) |PxQ|=10V5 Si B paralelo a C y B. (Ax C) = 0 entonces demostrar C es perpendicular a (PxB).
Tenemos que BlICy B.(AxC)=0 Piden demostrar que C.(ÁxB)=0 B||C si 3 KeR tal que B=KC =>C.(AxB)=Á, (B x C)=A.(KCxC) =Á,K(CxC)=KA(Cx C)=0 =>C.(ÁxB)=0 •••C±(Ax B)
Si A es un vector en el plano y p7 un vector unitario A = (A.p, |Ax p|). WTOCT Tenemos los siguientes vectores en el plano: Los componentes en la recta del vector unitario es |X||p|cosO=A.p
y la otra será |A||p|senO=¡Axp|
•••A=(Á.p ,|Axp ¡) eclóK¡m u , corn
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D
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ft
VECTORE
Demostrar usando componentes: Px(Q xR) = Q(P.R)-R (P Q •
Primero calculamos QxR i
j
k
=(q2r3-r2q3, r,q3-q1r3, q ^ - r^ ) QxR= di q2 °i3 u r2 r3 Ahora Px(QxR) i j k p, P2 P3 Px(QxR)= q2r3-r2q3 r,q3-q,r3 q1r2-r,q2
=( P 2 ( q , r2-r,q2)+( p3(q, r3-r,q3) - ( p1(q1r3-rlq3)+( P 3(q 2r3-r2q3) -(P ^ q ^ - r ^ H p2(q2r3‘r2Q3)) =( p2q irr p2nq2+ p3q ir3- p3riq3 -p,q ir2+p ir tq2+ p3q2'r3-p3i'2q3) •p1q,r3+ p¡r,q3- p2q2r3* p2r2q3) Si le sumamos y restamos el siguiente vector
VECTORES
(
SOLVER EDK
__________________
u=(q, r, p,,q2r2p2,q3r3p3) =( P2q,r2-P2nq2+ P3Qir3- P3riq3+ql ri ql -q1ri ql , -p,q1r2+p,r1q2+ p3q2r3-p3r2q3+q2r2p2-q2r2p2, -P lq,r3+ P,r,q 3- P2q2r3-p2r2q3+q3r3q3-q3r3q3)
=( P2q,r2+ P3qir3+ q,riPi, P,iriq2+P3q2r3+q2r2q2,
p1r,q3+ p2r2q3+ p1r1q3+ q3r3p3)+ (- P2r,q2-P3riq 3-q,r,p,,- p,q,r2-p3r2q3-q2r2p2, -p1q1r3-p2q2r3-q3r3p3) =(q, ,q2Jq3) (p, n +p2r2+p3r3)-(r1,r2,r3)(p ,q ,+P2q2+P3q3) Sabemos que P.R=(p1r,+p2r2+p3r3) P.^íp^^p^+p^g)
•••P(QxR)=Q(P.R)-R(P.Q) ©
Se tiene un vector P, cuya tercera componente es 2, si P es perpendicular a
( 1,-2, 1) y (-1, 1,-2). Hallar el vector P.
w w w e d u R p e r u ,c o r n
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«
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D
VECTOR
JgiWIHliMr
P=(a, b, 2) P l (í , -2 , 1 ) y (-1 , 1 , -2 ) =>P.(l,-2,l)=0 P.(-l,l,-2)=0 a-2b-2=0 -a+b-4=0 Resolviendo que a=-6 b=-2 •••P=(-6, -2,2) ‘¡¡Ufy Si el vector R paralelo al vector Q xP y proyQ—>P=1 sabiendo Q 2, P=6 PY R =8.
Hallar Q.(PxR)
Piden hallar Q.(PxR) Por condiciones del problema: R||QxP=> el ángulo que forma o es 0oo 180° QP Pi'oyQ_ p=757=1
|P|
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VECTORES ____ _________
Q.P=|P| De lo anterior hallamos que ángulo forman los vectores Qy B Q.P=|Q||P| cosa=|P| |P| 1 cosa= ._ T- r =|Q||P| 2 =»oc=60° Por propiedad Q. (PxR) =-R. (Q x P) -R.(Q x P)=-|r ||Q x P| cos(180)
|r ||Q x p |
Tenemos que Qx(PxR)=|R| |Q| |P|sena = 8.2.6 sen60 .-.Q.(PxR)-48V3 ^
Se dan los vectores en el espacio A = (l,l,l), B= (l,- l,l) y C=-2,l,-2). Hallar: (a) AB.BC (b) ÁC x( AB-BC) (C) El vector unitario perpendicular al plano que pasa por los puntos A, B Y C. (d) El ángulo que hace el vector unitario de la pregunta, (c) con
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33
D
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VECTORES
el vector D=(0,1,1). 48. Si Á es un vector constante y r es el vector que va del origen al punto (x,y,z) demuestre que (r-A). A=0 es la ecuación de un plano.
Sean los vectores A=(0,1, 0)
B=(l, -1,1) y C=(-2,1,-2)
a) Piden ÁB.BC=(l, -2, l) (-3, +2, -3) . AB.BC=-3-4-3=-l 0 Piden ACx(AB-BC)=(-2, 0, -2)x(4, -4,4) i
j
k
0 -2 =(-8, 0, -8)
ACx(AB-BC)= -2 4
4
4 i j
k
N= -2 0
-2
1
-2
=(4, 0,4)
1
El vector unitario de N es N
1
P=T=77=“7 = 0 / +1) N V2
cos0
D-P=
COS0=
De esto hallaremos 0: 9=c os - , J 4 í _ ) V|d ||p |/ 1
/+1/V2\
0 = C O S ' ' = ( ---- -=r
v i.V 2 y
0=60°
D.p
|D|IPI
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VECTORES
Si A es un vector constante y r es el vector que va del origen al punto (x,y,z); demuestre que (í-A).A =0 es la ecuación de un plano. M m m m
Sea r=(rl;r2,r3) yA =(x,y,z) Se tiene que (A-r)r=(x-r1; y-r2; z-r3).(r1; r2; r3) xr!+yr2+ zr3-(rf+r|+r|)=0 Tenemos que como Á es un vector constante y teniendo que rf+rf+r3=C Se tiene xr!+yr2+zr3=C Que es la ecuación cartesiana del plano. 1^3
Considerando los mismos vectores del ejercicios anterior demuestre que (r-A).r=0;es la ecuación de la esfera.
Del anterior problema obtenemos: ri+r2+r3“ xn+yr2+ zr3=0 Restando y sumando factores para conseguir ecuaciones cuadráticas tenemos que
Y siendo x
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3
VECTORE
r3-r z
y C constante Se tiene xf+y2+zf=C Que es la ecuación de una esfera 3
Si A+B+C=0 y A =3, B=5, C =7. Hallar el ángulo que forman A Y B.
Por ley de cosenos tenemos que A+“B=-“C |rr/~E\ A+ B|= ITC2I
=>C==WA2+B2+2AB c o s O Reemplazando: 49-34=30 cosO
cosO= - =>0=60°
Si B,C y D determinan un plano, la distancia de A a este plano: |(A-B).(C-B)x (D-B)[
|(C-B>(D-B)|
JgtílTOrtilM T Cosenos B, C y D definen un plano se tiene
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VECTORES
La distancia de A al plano será d(X plano)=ProyRBA
d(A, Plano)=
|(A-B).N| |1N,
Del gráfico N=(C-B)x(D-B)
d
A, Plano)
j ^ l
|(A-B).(C-B)x(D-B)l j(C-B)x(D-B)|
Demostrar la mínima distancia de un punto Pi(Xi,y1;Zi)
al plano cuya ecuación cartesiana en,AX+BY+ CZ+D =0
am aw m P.CXpYpZ,) r—
-k N
Tenemos que la cartesiana es: Ax+By+Cz+D=0 De la cartesiana obtenemos N, siendo w w w ed uKd eru.corn
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_____________
...............................................................
VECT
N=A,B,C La mínima distancia se halla: d(P|, Plano) =ProyRPP,
a (p,, Plano)“
|(PrP).N| j- j
|(Xr X, Yr Y,Zt-Z)-(A, B, C)|
^min—
V a 2+b 2+c 2
A(Xi-X+B(Yr Y)+C(Zr Z)
dmin—
J a 2+b2+c2
Demostrar vectorialmente que la suma de los cuadros de los diagonales de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de sus cuatro lados. JRTiW'WIil»
Piden demostrar |A+B|2=A2+B2+2AB |A-B|2=A2+B2-2AB De la galáxica |D|MA|2y|B|M C|2 =>|A+B|2+|A-B|2=A2+B2+C2+D2 Si los números a, b, c y d son diferentes de cero y aOA+bOB+cOC+dOD=0 y a +b+c+d=0. los puntos A, B, B C Y D Se encuentra en un plano. ( sugerencia usar: a +b = - ( c + d) y el prob. 39)
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VECTORES
Demostraremos que A, B, C y D están en un mismo plano: Entonces; por condición aÓA+ b¡ÓB+cOC+dOD=0...(l) Si tenemos a BA= OA-ÓB En (1) reemplazamos: aBA+ aOB+bOB+cOC+dOD=() aBA+ (a+b)OB+cOC+dOD=C) Pero a+b=-(c+d) aBA- (c+d)OB+cOC+dOD=0 aBA+ c(OC-OB)+d(OD-OB)=0 aBA+ c(BC)+d(BO)=0 Si los vectores B A , BCy BD suman cero entonces definen un plano. Demostrar que la distancia mínima del punto
P (X i^ ) a la recta Ax + B Y + D = 0 en el plano XY es:
lAX^BYt+Dl d=--- 7= — Va W
wvvw. edukpen j.co m
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VECTO
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Ojo la demostración viene de determinarla distancia a un punto cualquiera de la recta, la distancia mínima es cuando la proyección sobre la recta es cero, o sea haciendo sen0=O. Completa la operación. La distancia a la recta sería , IAXt+BYt+DI d=--- =====— Va^b5 Si A B C D es un cuadrilátero cualquiera P y Q son los puntos medios de sus
diagonales AC y BD, y M es el punto medio de PQ. Demostrar (a) (ÁB) +AD+CB+CD=4 PQ (b) 0A+0B+0C+0D=40M ,donde O es un punto arbitrario. iU
M
PQ=AQ-^AC
PQ=AD-^BD-^AC
Í
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VECTORES
— » — » AB CB CD CB PQ=AD-— + — —+ —
— . -—. AB —. CD PQ=AD-— +CB- — Pero: CD=AD- ^ AB+ i CB
AB=BC+^AD-^CD Entonces: — , — . CB AD CD —.AD 1 — CB PQ=AD—-— — +— +CB -T- +—+AB- —— 2 4 4 2 4 4 — AD CB CD AB PQ- ~T~ 4 +~T~ 4 +~~47~+~7~ 4 •••4 PQ=AD+CB+CD+AB Trazando el vector AM, se tiene lo siguiente: OM=AM+OA.... a Pero ÁM=^ÁC+^PQ
2
2
Hallando PQ por el resultado en a: o PQ AD+CB+CD+AB ~2~ 8 Pero
VECTO
3
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AD=OD-OA ,CB=OB-OC CD=CD-OC ,AB=OB-OA OD OA OB OC >~2~=~4 4 + 4 4 PQ
AC OC OA ~2~=~2~~ 2 Reemplazando en (oc) ___, OC OA om=_2
OD OA
2~+_4
___, OA
OB OC
4~+_4
—*
4~
OC OD OB
OM= — +— +— +—
.-.40M=0A+0C+0D+0B
Demostrar vectorialmente, que el baricentro, circuncentro y ortocentro de un
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VECTORES
Sean los triángulos AOG y GOM. Por propiedad del baricentro obtenemos que AG=2GM y por el teorema Simpson se demuestra que AO=2CM Por semejanza de triángulos tenemos que OG=2GC Por definición un vector es paralelo a otro si v=kw OG es paralelo con GC y coolineales a la vez. Dado el paralelepípedo de base rectangular situado en el plano ZY, su altura a lo largo del eje X .Hallar el volumen del mismo.(sugerencia hallar AxB.C).
Se dan los vectores del origen a los puntos A,B,C,D son A=í+J+K,B=2Í+3j;C=3Í+5 J-2K y D=K-J. Demostrar que AB||CD
Tenemos los vectores
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VEC
1
A=(l, 1,1)
B=(2, 3, 0) C=(3, 5, -2) D=(0, -1,1) Piden demostrar AB || CD
Entonces si ABIICD si 3 K 6R tal que AB = KTD
De aquí tenemos que ÁB=(1,2, -1) CD=(-3, -6, 3) Por lo tanto K=-3 Entonces 3 KeR / *AB=:-3CD 3
Demostrar (AxB)xA.A=0 para todo A y B en tres dimensiones. jcrmnrrgmTW Sea Ay B
