VARIANSI

BAB I PENDAHULUAN

1.1

Latar Belakang

Pada dasarnya statistika dapat didefinisikan didefinisikan sebagai pengetahua pengetahuan n yang  berhubungan dengan pengembangan dan penggunaan metoda serta teknik untuk   pengumpulan, penyajian, penganalisisan dan pengambilan kesimpulan mengenai  populasi berdasarkan sekumpulan data. Dalam pengambilan kesimpulan, umumnya diperlukan metode analisis dengan semua s emua asumsi terpenuhi. Akan tetapi  pada kenyataannya pemenuhan asumsi tersebut kadang sulit untuk dilakukan, sehingga dalam banyak hal sering bergantung pada ketepatan dalam pemilihan metode metode analisi analisiss yang yang tepat. tepat. Salah Salah satu metode metode analisi analisiss yang yang biasa biasa diguna digunakan kan adala adalah h Analis nalisis is Varian riansi si untu untuk k ranca rancang ngan an perco percoba baan an.. Sebe Sebelu lum m dilak dilakuk ukan an  pengujian Analisis Variansi, data hasil pengamatan tersebut ters ebut terlebih dahulu harus memenuhi asumsi-asumsi yang mendasari analisis variansi tersebut. al tersebut  perlu diperhatikan karena jika tidak terpenuhinya satu atau lebih asumsi dapat memp mempen enga garu ruhi hi baik baik tara taraff nyat nyataa maup maupun un kepe kepeka kaan an uji uji ! atau atau t terh terhad adap ap  penyimpangan

sesungguhnya

dari

hipotesis

nol.

"isal

dalam

kasus

ketaknormalan, taraf nyata yang sesungguhnya biasanya lebih besar daripada yang dinyatakan dinyatakan dapat mengakibat mengakibatkan kan peluang peluang ditolaknya ditolaknya hipotesis nol lebih besar,  padahal hipotesis itu benar #Steel $ %orrie, %orrie, &''()*+. %idak terpenuhinya asumsi-asums asumsi-asumsii AAV AAVA dapat mengakibatk mengakibatkan an kekeliruan kekeliruan dalam pengambilam pengambilam keputusan suatu hipotesis. Adapun asumsi-asumsi AAV AAVA yang harus dipenuhi salah satunya adalah a dalah memiliki variansi yang homogen. /ntuk menghitung variansi homogennya pada dasarny dasarnyaa kita kita harus harus menget mengetahu ahuii cara menghi menghitun tung g varian variansi si secara secara umumny umumnya. a. Dalam teori probabilitas dan statistika varians dari bahasa inggris adalah variance atau ragam suatu peubah peubah acak adalah adalah ukura ukuran n bagi bagi perseba persebaran ran (disperse)  (disperse)  data. 0ang diukur adalah seberapa jauh data tersebar di sekitar rerata.

1121P P341 5A61

1stilah varians pertama kali diperkenalkan diperkenalkan oleh !isher dalam makalahnya makalahnya  pada tahun &'&7 yang berjudul The Corre Correlat lation ion Betwee Between n Relati Relatives ves on the Suppos Suppositi ition on of Mendeli Mendelian an Inherit Inheritanc ancee #2or #2orel elasi asi di Antara ntara 2erab 2erabat at dalam dalam 2erangka 2erangka Pe8arisan Pe8arisan "endel. "endel. Pada makalah makalah ini saya akan membaha membahass secara  X   X   X  merinci merinci cara menghitung menghitung variansi dari  jika diskrit dan variansi dari  jika  X 

 kontinu.

1.2

Rumusan Masalah

&.*. &.*.& &

Apa Apa penge pengerti rtian an dari dari Va Varians riansii 9  X 

&.*. &.*.* *

Apa Apa rumus rumus Va Varian riansi si dari dari

 X 

 jika

 X 

diskrit diskrit dan Variansi dari

 X 

 jika

kontinu 9 &.*.( &.*.(

Apa saja sifat sifat : sifat sifat dari dari Varians rians 9

1.3

Tujuan Pe Penusunan Ma Makalah

&.(.& &.(.&

"engeta "engetahui hui pengert pengertian ian dari dari Va Variansi riansi

&.(.&

"engetahui rumus Variansi dari

 X 

 X 

  jika

 X 

diskrit diskrit dan Variansi dari

 X 

 jika

  kontinu sehingga bisa mengerjakan latihan soal menggunakan

rumus tersebut &.(.* &.(.*

"engeta "engetahui hui apa apa saja saja sifat sifat : sifat sifat dari dari Va Variansi riansi

1.!

Man"aat Makalah

Dapat memberikan informasi kepada pembaca tentang pengertian Variansi, Variansi,  X 

rumus Variansi dari

 X 

 jika

 X 

 diskrit dan Variansi Variansi dari

, sifat : sifat dari Variansi Variansi dan contoh soal.

2121P P341 5A61

 X 

 jika

 kontinu

BAB II PEMBAHA#AN

2.1

Pengert$an %a %ar$ &a &ar$ans$

2uadrat dari simpangan si mpangan baku adalah varian atau ragam. Varians Varians digunakan untuk mengetahui seberapa jauh persebaran nilai hasil observasi terhadap rata :  rata. Varians merupakan ukuran penyebaran yang paling sering dipakai dalam statistik. 5erikut ini akan dijelaskan definisi variansi dari sebuah peubah acak yang  berlaku bagi peubah acak diskrit maupun kontinu. kontinu. "isalny "isalnyaa  X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu. kontinu. Variansi Variansi dari  X  didefinisikan sebagai ) ar  ar # X - =  E [ X  −  E ( X ) ]

*

atau :

ar # X - =  E ( X  − µ )

*

*

σ  x

Variansi dari peubah acak X  acak X  sering  sering dinotasikan dengan Bukt$ ' ar # X - =  E ( X  − µ )

3121P P341 5A61

*

.

=  E ( X  * − * ⋅ µ  ⋅  X  + µ * )

=  E ( X  * ) − * µ  ⋅ E # X - + µ * =  E ( X  * ) − * µ  ⋅ µ  + µ * ar  ar # X - =  E ( X  * ) − µ *

ar ( X )

=  E ( X  * ) − [ E ( X ) ] *

 atau Penghi Penghitun tungan gan varian varianss dari dari sebuah sebuah peubah peubah acak dapat dapat dilaku dilakukan kan dengan dengan dua dua rumus, yaitu ) &. Perumusan Perumusan varians varians berdasar berdasarkan kan fungsi fungsi peluang peluang atau fungsi fungsi densita densitass a. Perumu Perumusan san varia varians ns dari dari peub peubah ah acak acak disk diskrit rit  b. varians dari peubah acak kontinu *. Perumusan Perumusan varians varians berdasarka berdasarkan n penguraian penguraian lebih lebih lanjut lanjut dari dari rumus varians varians.. Dalam hal ini, penghitungan penghitungan variansnya variansnya berlaku berlaku untuk untuk peubah peubah acak diskrit dan kontinu. 2.2 2.2

Rumu Rumuss &ar$an r$ans$ s$ D$sk D$skr$ r$tt %an %an ()nt ()nt$n $nu u a. &ar$an r$ans$ s$ D$sk D$skr$ r$tt ;ika  X adal adalah ah peub peubah ah acak acak disk diskrit rit dan dan  p(x)   p(x)  adalah nilai fungsi

 peluang dari X dari X di x di x,, maka variansi dari X dari X didefinisikan sebagai )

ar ( X )

= ∑ ( X  − µ ) * ⋅  p# x x

*)nt)h ' &. "isalnya "isalnya distribus distribusii peluang peluang dari peubah peubah acak acak < adalah

sebagai berikut)  x

( )

 p  x

1

2

3

1

1

1

2

3

6

itung Var# Var# X  9 Penelesa$an'

!121P P341 5A61

5erdasarkan definisi varians diskrit, maka)

( X ) =

∑ ( x −

 µ )

*

. p( x)

 x

Var  Var   µ 

=  E ( X ) = ∑ x. p( x)  x

Dengan) (

= ∑ x. p( x )  x =&

= (&). p(&) + ( *) . p( *) + ( () . p( () &    &    &   = (&).    + ( *).  + ( ().    *    (    =  

 µ 

=  E ( X  ) = &+ =  =

(

*

     # X - = ∑  x −   . p( x ) (    x =&   (

;adi) Var Var *

*

*

             =   & −   . p(&) +  * −   . p( *) +  ( −   . p( ()   (     (     (   >   &    &   &    &=   &   =       +     +       '   *    '   (     '   =  

= *+ '

# X - =

& *?

& *?

+

7 *?

= '

Var

*. Misalkan X menyatakan banyaknya bagian yang cacat dari suatu mesin bila 4 suku cadang diambil secara cak dari proses produksi. Distribusi peluang X:  x

 p ( x )

+121P P341 5A61

1

2

3

0,3

0,4

0,3

Hitunglah varians dari X! Penyelesaian: 5erdasarkan definisi varians diskrit, maka)

( X ) =

∑ ( x −

 µ )

*

. p ( x )

 x

Var  Var   µ 

=  E ( X ) = ∑ x. p( x )  x

Dengan: (

= ∑ x. p( x)  x =&

= (&). p(&) + ( * ). p ( *) + ( (). p ( () = (&).( +,() + ( *).( +,> ) + ( ().( +,() = ( +,() + ( +,7) + ( +,')  µ 

ar # X - =

=  E ( X ) = *,+

(

∑ ( x − *,+) . p( x ) *

 x =&

 Jadi:

= (& − *) * . p(&) + ( * − *) * . p( *) + ( ( − *) * . p( () = (&).( +,() + ( +).( +,> ) + (&) ( +,() = +,= ,. &ar$an r$ans$ s$ ()nt ()nt$n $nu u ;ika ;ika  X adalah peubah acak kontinu dan  f(x)   f(x)  adalah nilai fungsi

densitas dari X dari X di x di x,, maka variansi dari X dari X didefinisikan sebagai )

ar  a r ( X )

=

∞

∫ # X  −

 µ -

*

⋅  f  # x-

−∞

*)nt)h '

&. "isalny "isalnyaa fun fungsi gsi densita densitass dari dari X  X berbentuk  berbentuk )   f  ( x )

-121P P341 5A61

=

* x + * (

@ + <  x < &

dx

ar # X -

itung



Penelesa$an '

5erdasarkan definisi rataan kontinu, maka ) &

 µ 

=  E ( X ) = ∫  x ⋅  f  # x-

dx

+

i. * x + *   = ∫  x ⋅     dx (     + &

&

= ∫ 

* x *

(

+

*

=

(

=

&

 x

(

+  x

(

* (

+& (

  µ 

=  E ( X ) =

121P P341 5A61

( (

+ * x

=

 '

*

     +

dx

5erdasarkan definisi nilai ekspetasi kontinu, maka )  E ( X 

&

*

) = ∫  x ⋅  f  # x*

dx

+

ii. * x + *   = ∫  x * ⋅     dx (     + &

&

* x (

= ∫ 

=

*

 x

=

+

>

* (

&

 x

(

&

*

+

*

dx

(

+

&

+ * x *

(

(

=

(

=

(

     +

+

> =

(

?  E ( X  * )

=

= (

=

? &7

ar # X - =  E # X  * - − [ E ( X ) ]

*

;adi ) *

   = −      &7  '   ?

=

ar # X - =

? &7

−

&&? &>7

*. "isalkan  X

* 7&

=

=? &>7

−

>+ &>7

= +,+7+

menyatakan menyatakan permintaan minyak goreng goreng #dalam

liter menjelang hari raya. !ungsi padat dari X dari  X sebagai berikut )

/121P P341 5A61

  f  # x- = *# x − &- @ & < B

<*

= + @ x lainn!a ar # X -

  itung



Penelesa$an '

5erdasarkan definisi rataan kontinu, maka ) *

 µ 

=  E ( X ) = ∫  x ⋅  f  # x-

dx

&

i. *

= ∫  x ⋅ *( x − &) dx &

*

= *∫  x ⋅ ( x − &) dx &

*

= *∫   x * −  x dx &

 & ( & *  *   = *   x −  x    *  &    (  

  & ( & *    & ( & *    = *     #*- − #*-  −  #&- − #&-    * *    (      (     &= &*    * (    = *     −  −  −          = =    = =   

0121P P341 5A61

 > &    = *  −    −       =   =   

 µ 



&+

=

=

=  E ( X ) = * ⋅ =

=

 (

5erdasarkan definisi nilai ekspetasi kontinu, maka )

ii.

 E ( X 

*

*

) = ∫  x

*

.  f  # x- dx

&

*

= ∫  x * .*( x − &) dx &

*

= *∫  x * # x − &- dx &

*

= *∫   x ( −  x * dx &

 & > & (  *   = *   x −  x    (  &    >  

  & > & (    & > & (    = *     #*- − #*-  −  #&- − #&-    ( (    >      >     >7 (*     ( >    = *     −  −  −        &* &*    &* &*     &= &    = *  −    −       &*   &*   

1 1 2 1 P P 3 4 1 5 A 6 1

 E ( X  * )

= *⋅

&? &*

=

(> &*

=

&? =

ar # X - =  E # X  * - − [ E ( X ) ]

*

;adi )

2.3

=

&?

=

&?

ar # X - =

&

=

=

*

   −       (  

−

* '

=

& &7

−

+ &7

&7

#$"at  s$"at &ar$ans$

5erikut ini akan dijelaskan beberapa sifat dari varians. Dal$l 1

a" #i$a c adalah adalah se%uah se%uah $onstanta& $onstanta& 'a$a ar (c)   Bukt$ '

5erdasarkan definisi dari perumusan varians, maka ) ar  ar #c- =  E Dc −  E #c -C*

=

 E #c

−

c *

=  E #+ar #c- = +

#terbukti Dal$l 2

%" #i$a X adalah adalah peu%ah peu%ah aca$ aca$ dan c adalah adalah se%uah se%uah $onsta $onstanta& nta& 'a$a 'a$a : ar # X  + c- = ar # X 11 1 2 1 P P 3 4 1 5 A 6 1

Bukt$ '

5erdasarkan definisi dari perumusan varians, maka ) ar  a r # X  + c- =  E [ ( X  + c ) −  E ( X  + c ) ]

*

=  E [ X  + c −  E ( X ) −  E #c-] * =  E [ X  + c −  E ( X ) − c] * =  E [ X  −  E # X -] * ar # X  + c- = ar # X -

 #terbukti Dal$l 3

c" #i$a a dan % adalah adalah dua dua %uah %uah $onstanta $onstanta dan X adalah adalah peu%ah peu%ah aca$& aca$& 'a$a : ar  ar # aX  + %- = a * ⋅ ar  ar # X Bukt$ '

5erdasarkan definisi dari perumusan varians, maka ) ar  a r # aX  + %- =  E [ ( aX  + % ) −  E ( aX  + % ) ]

*

=  E [ aX  + % −  E ( aX ) −  E ( % ) ] * =  E [ aX  + % − a ⋅ E ( X ) − %] *

12 1 2 1 P P 3 4 1 5 A 6 1

=  E [ aX  − a ⋅ E ( X ) ] *

= a * ⋅ E [ X  −  E ( X ) ] * ar  ar # aX  + %- = a * ⋅ ar  ar # X  #terbukti 5erikut ini akan diberikan contoh penggunaan sifat-sifat varians diatas. *)nt)h '

&. "isalkan "isalkan !arah mengun mengundi di sebuah sebuah dadu yang yang seimbang. seimbang. ;ika ;ika peubah peubah acak < menyatakan kuadrat dari munculnya angka pada mata dadu, maka hitunglah a. Var   ( 2 X )  b. Var Var

(

1 2

)

 X −1

Penelesa$an '

Distribusi peluang dari < berbentuk)  x

 p ( x )

&

>

'

&=

*

(=

1

1

1

1

1

1

6

6

6

6

6

6

5erdasarkan definisi rataan diskrit, maka)

 E ( X ) =

∑ x. p( x)  x

i. &    &    &    &    &    &   = (&)     + ( >)   + ( ')   + (&= )  + ( *)  + ( (= )    =    =    =    =    =    =  

&

>

'

&=

=

=

=

=

= + + +  E ( X )

= '& =

13 1 2 1 P P 3 4 1 5 A 6 1

+

* =

+

(= =

 E ( X  *

= ∑ x * . p( x )  x

ii. &    &    &    &    &    &   = (&)     + (&=)   + ( 7&)   + (&'=)  + ( =*)   + (&*'= )     =    =    =    =    =    =  

&

>

'

&=

=

=

=

=

= + + +  E ( X  * )

+

* =

+

(= =

= **& =

( X ) =  E ( X  * ) − [ E ( X ) ] * "aka ) Var  *

**&    '&   =     −      =     =  

=     

**&  

=     

   −     

=

7*7&  

&(.*'+   (=

(=

   −     

   

7*7&   (=

   

++'

=

(=

ar ( X ) ( * X ) = a * .ar  a. Var   ++'   = ( *) * .       (=   ++'   = >.       (=  

( * X ) =

++' '

Var  Var   b. Var Var

(

1 2

)

 X −1

= a * .ar ( X ) *

&    ++'   =      .( − &) * .    *     (=  

1! 1 2 1 P P 3 4 1 5 A 6 1

&    ++'   =     .(&).    >     (=  

(

Var

1 2

= ++'

)

 X −1

&>>

*. "isalny "isalnyaa fung fungsi si densita densitass dari dari X   X  berbentuk  berbentuk )

 * ( x )

= & @+ <  x < & = +@  x lainnya. ar ( * X  + &+ )

ar  ar ( ( X ) itung

 dan

.

Penelesa$an '

5erdasarkan definisi rataan kontinu, maka ) &

 µ 

=  E ( X ) = ∫  x ⋅& dx +

i. &

= ∫  x

dx

+

=

 µ 

=  E ( X ) =

& *

&

 x

*

  +

& *

5erdasarkan definisi nilai ekspetasi kontinu, maka )

1+ 1 2 1 P P 3 4 1 5 A 6 1

 E ( X 

&

*

) = ∫  x ⋅& dx *

+

ii. &

= ∫  x *

dx

+

=

 E # X  * - =

& (

&

 x

(

  +

& (

ar # X - =  E # X  * - − [ E ( X ) ]

;adi ) *

&   = −      (  *   &

&

&

(

>

= −

ar  a r # X - =

& &*

#eh$ngga '

ar  ar ( ( X )

= ( * ⋅ ar  ar # X -

a. &   = ( ') ⋅       &*  

ar ( ( X )

=

' &*

=

1- 1 2 1 P P 3 4 1 5 A 6 1

( >

*

ar  ar ( * X  + &+ )

= a * ⋅ ar  ar # X -

 b.

= * * ⋅ ar  ar # X &   = > ⋅       &*   ar ( * X  + &+)

=

> &*

=

& (

BAB III PENUTUP

3.1

#$mulan

1 1 2 1 P P 3 4 1 5 A 6 1

o

&ar$ans$ r$ans$ adalah kuadrat dari simpangan baku. Varians digunakan untuk 

mengetahui mengetahui seberapa jauh persebaran nilai hasil observasi terhadap rata :  rata. Varians merupakan ukuran penyebaran yang paling sering dipakai dalam statistik. statist ik. Variansi Variansi dari X dari X didefinisikan sebagai ) &ar$ans$ %ar$ X %$%e"$n$s$kan se,aga$ ' ar  ar # X - =  E [ X  −  E ( X ) ]

*

atau:

o

ar # X - =  E ( X  − µ ) &ar$ans$ D$skr$t

ar ( X )

*

= ∑ ( x − µ ) * ⋅  p# x x

o

&ar$ans$ ()nt$nu

∞

ar ( X )

=

∫ # x −

 µ -

*

⋅  f  # x-

dx

−∞

o

#$"at  s$"at &ar$ans$ Dal$l 1

Dal$l  #i$a2 c adalah se%uah $onstanta& $onstanta& 'a$a a ar (c)  

 #i$a X adalah peu%ah aca$ dan c adalah se%uah $onstanta& 'a$a : Dal$l 3

ar # X  + c- = ar # X -

 #i$a a dan % adalah dua %uah $onstanta dan X adalah peu%ah peu%ah aca$& 'a$a : ar  ar # aX  + %- = a * ⋅ ar  ar # X 1/ 1 2 1 P P 3 4 1 5 A 6 1

3.2

#aran

6ebih banyak membaca buku dan latihan soal maupun yang lainnya untuk  memahami tentang t entang Variansi. Variansi.

DA4TAR PU#TA(A

;. Purcell, Ed8in. *++>. +al$ulus *++>.  +al$ulus.. ;akarta) Erlangga. "ahendra,

Eka.*+&.Statisti$

,asar

,ala'

-enelitian

 -endidi$an.Surabaya.Paramita.  -endidi$an.Surabaya.Paramita. errhyanto, ar.*++'. ar.*++'. -en*antar  -en*antar Statisti$a Mate'atis.5andung.0rama Mate'atis.5andung.0rama Fidya. Fidya.

10 1 2 1 P P 3 4 1 5 A 6 1

2 1 2 1 P P 3 4 1 5 A 6 1