UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO DE FÍSICA FÍSICA GERAL Prof. Antonio Vilela Pereira
André Normandes Lanzellotti T1 Mat. 201320530011
Relatório 1 Medida de Tempo com um Pêndulo
Rio de Janeiro Novembro de 2013
2
1
Introdução
O presente estudo visa demonstrar e avaliar os tipos de erros e incertezas aleatórias, e junto a um conjunto de dados coletados através da medição do tempo que o pêndulo leva para fazer um determinado número de oscilações, e através desses dados averiguar o movimento dos pêndulos e sua relação com o tempo de deslocamento do pêndulo no eixo liberado (ângulo) de acordo com o tamanho de seu fio. Dados esses analisados por métodos estatísticos, verificando a existência dos desvios e, quando houver, anomalias que as medições sofreram no processo, comprovando sua existência, uma vez que toda análise física é composta por uma medição e uma incerteza. 2
Objetivo
Este experimento visa demonstrar os tipos de erros e incertezas aleatórias, utilizando o movimento pendular como objeto de estudo, e calculando o tempo que leva 1 período de sua oscilação, avaliando que ao fazer um experimento repetidas vezes é possível reduzir os erros e incertezas aleatórios. Neste caso calcular o tempo que o pêndulo necessita para fazer as oscilações, uma vez que não é possível a exatidão que um computador e/ou robôs levam para efetuar esta tarefa, para isso aumentar o número de oscilações faz com que o erro e a imprecisão dados pela diferença entre o manual e o mecânico seja reduzido. Sendo assim possível uma aferição completa não só do movimento pendular, como também suas relações diretas e indiretas com o tempo, e a existência de possíveis erros que ocorrem em um experimento manual. 3
Metodologia
Utilizando um kit de pêndulos do laboratório de Física, e um cronômetro para medir o tempo, montar um instrumento que de para simular o movimento pendular. Pode ser feito montando traves fixas em forma de barra simétrica a uma superfície plana ou mesa reta, de tal forma que as traves não balancem junto ao movimento, estando as mais estáticas possíveis. Por fim, essas mesmas devem ter uma protuberância à sua ponta ou ao meio, para que possa ser colocado o pêndulo, de modo que o mesmo não se encoste às traves ou em qualquer outra superfície, pois dessa forma o movimento sofreria alterações, o que daria informações não condizentes com a realidade. Tendo estabelecido o objetivo ou modo a se alocar o pêndulo, é necessário estabelecer o peso do mesmo, o tamanho do fio que irá brandir o pêndulo e o ângulo ao qual o mesmo
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deverá ser liberado. Tendo em vista que todos esses componentes podem alterar diretamente o valor final da medição. Com os parâmetros definidos, deve-se liberar o pêndulo do ângulo determinado e contar das oscilações o tempo que as mesmas levam, que é definida pelo deslocamento da origem até o outro extremo e o retorno a mesma, contando assim uma oscilação. Para minimizar as incertezas, neste caso a falta de exatidão, que se tem no ato de soltar o pêndulo e liberar e/ou parar o cronômetro, é aumentado o número de oscilações, fazendo neste caso a contagem de quanto tempo se leva para que o pêndulo alcance 10 oscilações. Para melhor aproveitamento e para ter um grau de certeza maior, é necessário fazer esse mesmo processo o maior número de vezes possível. Neste estudo será dividido as medições em 8 grupos com cada grupo tendo 10 medições cada, coletando todos os dados e os colocando em uma tabela, que deve contar essas informações, e as análises que esse experimento gerou. 4
Dados Analisados
Após aferir todos os dados e separá-los em uma tabela (Tab.1), organizando-os em conforme foram calculados, neste caso o estudo se dará a partir de 8 Grupos de 10 medições no período de 10 oscilações com que obtiveram o mesmo Peso(20g), e comprimento do fio, e do ângulo de liberação do mesmo, porém não se afirma a exatidão do desses dados visto a incerteza que o processo manual. No caso o estudo para uma melhor análise do movimento terá como base um período (1 oscilação), logo divide-se todos os valores obtidos por 10, para obter um período ao invés de 10, medida essa realizada para diminuir o incerteza do ato de liberação do pêndulo e liberação e interrupção do cronômetro. Tab.1 Dados Coletados
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Grupo 1 t(s) 1,291 1,291 1,293 1,303 1,303 1,310 1,297 1,275 1,284 1,297
Grupo 2 t(s) 1,296 1,297 1,303 1,322 1,331 1,287 1,309 1,310 1,300 1,310
Grupo 3 t(s) 1,322 1,306 1,316 1,306 1,312 1,312 1,297 1,316 1,306 1,297
Grupo 4 t(s) 1,306 1,321 1,319 1,309 1,300 1,322 1,306 1,309 1,296 1,297
Grupo 5 t(s) 1,297 1,301 1,303 1,303 1,306 1,306 1,291 1,297 1,301 1,303
Grupo 6 t(s) 1,300 1,306 1,332 1,320 1,300 1,309 1,313 1,319 1,325 1,316
Grupo 7 t(s) 1,293 1,303 1,307 1,307 1,312 1,309 1,315 1,320 1,318 1,315
Grupo 8 t(s) 1,308 1,309 1,315 1,316 1,300 1,313 1,309 1,311 1,309 1,300
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Para um melhor entendimento e visualização do comportamento do conjunto de dados, uma solução viável é a junção de todas as informações obtendo uma tabela de frequência com os dados dos 8 grupos aferidos.(Tab.2 e Gráfico1) Tab.2 Frequência Geral
Tempo (s) 1,2750 1,2840 1,2870 1,2910 1,2930 1,2960 1,2970
Frequência 1 1 1 3 2 2 8
Tempo (s) 1,3000 1,3010 1,3030 1,3060 1,3070 1,3080 1,3090
Frequência 6 2 7 8 2 1 8
Tempo (s) 1,3100 1,3110 1,3120 1,3130 1,3150 1,3160 1,3180
Frequência 3 1 3 2 3 4 1
Tempo (s) 1,3190 1,3200 1,3210 1,3220 1,3250 1,3310 1,3320
Frequência 2 2 1 3 1 1 1
Histograma
9 8 7 6 a i c n5 ê u q4 e r F 3
G8 G7 G6 G5 G4
2
G3
1
G2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 4 7 1 3 6 7 0 1 3 6 7 8 9 0 1 2 3 5 6 8 9 0 1 2 5 1 2 7 8 8 9 9 9 9 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Tempo (s)
4.1
G1
1
Trabalhando os dados
Tendo esses dados como base do presente estudo fez-se uma análise quanto a Amplitude e a Média de cada grupo analisado (Tab.3). Fazendo um breve estudo sobre o comportamento dessas informações, constatou-se: Amplitude: é
calculada para saber o tamanho da dispersão da média, calculada pelo
maior número encontrado no intervalo menos o menor número encontrado, dados pela fórmula: 1
Gráfico 1: Histograma feita com base nos 8 grupos relacionados e de qual grupo vem cada informação. Assim como a relação a média,
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Média: é
um valor de referência para estimar o valor intermediário, é um valor que
representa o seu conjunto de dados. Calcula-se pela soma de todos os valores dentro do
̅ ∑
conjunto, divididos para quantidade de elementos dentro desse conjunto, dados pela fórmula:
Tab.3 Parâmetros de posição e dispersão
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A
Grupo 1 t(s) 1,291 1,291 1,293 1,303 1,303 1,310 1,297 1,275 1,284 1,297
Grupo 2 t(s) 1,296 1,297 1,303 1,322 1,331 1,287 1,309 1,310 1,300 1,310
Grupo 3 t(s) 1,322 1,306 1,316 1,306 1,312 1,312 1,297 1,316 1,306 1,297
Grupo 4 t(s) 1,306 1,321 1,319 1,309 1,300 1,322 1,306 1,309 1,296 1,297
Grupo 5 t(s) 1,297 1,301 1,303 1,303 1,306 1,306 1,291 1,297 1,301 1,303
Grupo 6 t(s) 1,300 1,306 1,332 1,320 1,300 1,309 1,313 1,319 1,325 1,316
Grupo 7 t(s) 1,293 1,303 1,307 1,307 1,312 1,309 1,315 1,320 1,318 1,315
Grupo 8 t(s) 1,308 1,309 1,315 1,316 1,300 1,313 1,309 1,311
0,035
0,044
0,025
0,026
0,015
0,032
0,027
0,016
1,294
1,307
1,309
1,309
1,301
1,314
1,310
1,309
1,309 1,300
Aplicando essas informações no nosso grupo de dados, obtem-se mais algumas
informações para nos ajudar a contabilizar suas diferenças, igualdades e incertezas. Como a frequência o desvio padrão, o erro da média e a estimativa padrão (Tab.4-1 e Tab.4-2). Para isto vale lembrar que: Desvio Padrão: é
a medida para precisar o nível de dispersão, também uma das
medidas mais utilizadas no campo da Física para informar a estimativa de erro. O desvio padrão pode ser calculado de duas formais o amostral ou populacional que influi no que será calculado. Quando se é utilizado todos os dados, é calculada como a raiz quadrada do somatório da diferença ao quadrado entre os elementos do grupo de dados e a média, divididos pelo número de elementos do grupo. Que pode ser calculado pela fórmula:
̅ ̅ ( ) ) ( ( ̅)
O também chamado erro da medida 2 é calculado quando pega-se uma parte do todo, ou seja, uma amostra é calculada como a raiz quadrada do somatório da diferença ao 2
Neste estudo os cálculos de dados amostrais serão tratados como medidas (A). Assim como os dados Populacionais como medidas (P).
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quadrado entre os elementos do grupo de dados e a média, divididos pelo número de elementos
do
grupo
menos
um.
Que
( ̅)( ̅) ∑ ( ̅) Erro da Média:
pode
ser
calculado
pela
fórmula :
é o tipo de erro vinculado as incertezas na medição, é o erro
ordinalmente obtido pela falta de precisão (erros do tipo A) na medição, erros esses resultantes de flutuações no processo de medição. O erro da média pode ser calculado como o
√
valor do desvio padrão (amostral ou populacional) divididos pela raiz do total de elementos do grupo de dados. Obtidos pela fórmula:
Tab.4-1 Erro da Média e estimativa padrão
Média (A) Desvio Padrão (A) Erro da média (A) Estimativa Padrão (A)
Grupo 1 t(s) 1,29440 0,0101 0,0032 1,2944±0,0032
Grupo 2 t(s) 1,3065 0,0129 0,0041 1,3065±0,0041
Grupo 3 t(s) 1,3090 0,0082 0,0026 1,3090±0,0026
Grupo 4 t(s) 1,3085 0,0096 0,0030 1,3085±0,0030
Tab.4-2 Erro da Média e estimativa padrão
Média (A) Desvio Padrão (A) Erro da média (A) Estimativa Padrão (A)
Grupo 5 t(s) 1,3008 0,0046 0,0015 1,3008±0,0015
Grupo 6 t(s) 1,3140 0,0105 0,0033 1,3140±0,0033
Grupo 7 t(s) 1,3099 0,0080 0,0025 1,3099±0,0025
Grupo 8 t(s) 1,3090 0,0055 0,0017 1,3090±0,0017
Visando ver e descobrir em um parâmetro menor, a Análise dos Grupos visa ajudar o quer pode acontecer, ou o que aconteceu de errado em suas medidas, assim como descobrir sua variação e os desvios de cada um. Esses valores sozinhos, ainda não há como ter uma exatidão ou mesmo precisão do que foi analisado, visto isso, é necessário também ver o grupo não como pequenas amostras, mais também verificar os dados de análise populacional do grupo de dados por inteiro(Tab.5). Tab.5 Amplitude(P) Média (P) Desvio das Médias Desvio Padrão (P) Erro da média (P) Estimativa Padrão (P)
Valor Absoluto Aproximação 0,057s 0,057s 1,306513s 1,3065s 0,006049051199003s 0,0061s 0,010310181557567s 0,0103s 0,0011527133411543 0,0012s 1,3065±0,0012s
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5
Análise dos Resultados
Com todos os dados calculados, e devidamente organizados a extração dos dados é facilitada. Comparando as medidas que cada amostra obteve entre si e com o grupo de dados completo são ressaltadas algumas das principais características e possíveis erros dos grupos. Constatou-se que os desvios contrariamente ao que se esperava não se apresentaram de maneira uniforme, e variaram de 0,0046s até 0,0129s, parâmetro esse diretamente ligado a amplitude dos grupos, pois quanto maior a amplitude do grupo, maior será o valor do seu desvio padrão, comprovando que o desvio padrão é variabilidade dos valores em torno da média. Vale notar que, o grupo que obteve o menor desvio (Grupo 5), a menor variabilidade ou o grupo de valores mais próximos, não obteve o valor mais próximo da média (Grupo 2), grupo este que obteve o maior valor de desvio. Provando que o nível de precisão e de exatidão, não estão sempre diretamente relacionados, o Grupo 5 está mais preciso, porém os valores, não são os mais próximos, enquanto no Grupo 2 o valor que é o mais próximo dos valores da média constatados, possui valores bem dispersos, confirmando sua maior amplitude e desvio. No âmbito populacional dos dados, o desvio padrão, mostrou-se como valor de referência para comparação com os demais desvios, analisando os dados pode-se afirmar que os valores calculados possuíram uma proximidade entre si, de tal forma que os dados não possuem uma discrepância grande. Esses desvios mostram a variação entre os grupos, e com todo o grupo de dados. Neste estudo, constatou-se também que o valor do desvio padrão(P) é intermediário entre os demais erros da medida. Porém pelo experimento ter a presença de valores maiores que o valor da média (em ocorrência, não frequência), esse valor tendeu a ser maior do que o devido, uma vez que o valor do desvio padrão deveria ser menor, pela maior incidência de dados medidos, onde se precisa mais o valor, e tem-se uma menor relevância de erros.
1.3200
Gráfico 2: Dispernsão Desvio das Médias x Erro das Médias
1.3150 Erro das Médias Desvio das Médias
) 1.3100 s ( o1.3050 p m1.3000 e T
1.2950 1.2900 1.2850 0
1
2
3
4 5 Grupos
6
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8
9
8
Após a analise do gráfico 2, pode-se concluir que o desvio das médias é o intervalo de maior relevância dos resultados de cada grupo, com exceção do primeiro os demais estão dentro da margem que compõe o valor do desvio das médias, ou possuem parte do seu valor neste intervalo, levando a acreditar que os valores destes grupos são compatíveis. 6
Conclusão
Após estudos, e comparações, e tendo como base o movimento pendular, pode se concluir que o valor estimado padrão é de 1,3065±0,0012s. Com este valor é possível concluir que se obteve um bom nível de precisão, pois ao efetuar o experimento repetidas vezes o nível de erros aleatórios e a imprecisão diminuem. Ao longo do experimento observaram-se possíveis razões para a ocorrência do erro, como por exemplo, o ângulo que o pêndulo é liberado em relação ao ponto de partida ou em relação a proximidade da mesa. Averiguando que ao relar na mesa o pêndulo diminuía sua velocidade desacelerando o movimento e, portanto levando mais tempo para concluir sua oscilação. Conforme o pendulo é solto pela mão percebe-se que a precisão de liberar o pêndulo e iniciar o cronômetro não é sempre alcançada o que leva a possíveis milésimos de segundos acrescidos ou subtraídos do tempo final. Também a forma como o pêndulo é liberado influi em sua trajetória, uma vez que o mesmo deve ser liberado de forma uniforme. Toda forma contrária a essa influi diretamente na alteração do seu tempo, para mais ou menos, como por exemplo, quando o pêndulo girando em seu próprio eixo o leva menos tempo para completar a oscilação ou ao bater com mais intensidade em uma superfície paralela a estrutura leva mais tempo para terminar a oscilação. Com essas relações ao longo do estudo foi verificado com erros e experimentos próximos, que o peso não influi diretamente no período, com um peso menor, o tamanho da oscilação diminui ângulo, mas o valor permanece próximo, medindo em média 3 1,250±0,001s. E conforme o movimento pendular, o tamanho do fio também influência no tempo, pois quanto menor o fio, menor o tempo de oscilação. Portanto pode se entender que mesmo mudando os parâmetros como o tamanho do fio, ângulo, e peso, o resultante deverá sempre ser constante, pois o período do pêndulo é o intervalo de tempo que o mesmo leva para percorrer a toda a trajetória, ou seja, retornar a origem, uma vez que esse movimento é caracterizado como movimento pendular. 3
Medida aferida com peso de 2g. Dados(1,248; 1,250 1,249;1,251;1,250)
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Bibliografia
SANTORO, Alberto
et al. – Estimativa
Janeiro Ed UERJ, 2013. FILHO, Atacílio Alves
e Erros em experimentos de física – 3.ed.
Rio de
Cavalcante. O período do pêndulo : Porque Galileu estava ao mesmo
tempo certo e errado. 2005. 18f. Monografia (graduação em matemática) - Departamento de Matemática, Universidade Federal de Minas Gerais, Minas Gerais.
