UNION DE ASIENTO RIGIDIZADA EMPERNADA La unión será calculada para resistir una fuerza vertical V con los siguientes datos: La fuerza V a ser transmitida El perfil W que transmite la fuerza V, todas sus características geométricas El esfuerzo de fluencia de la viga y del material del asiento Se utilizarán los siguientes cálculos, como se vió en clases, usando la nomenclatura indicada en el siguiente gráfico.
1. LONGITUD DE APOYO 1.1 Fluencia.- Sección J.10.2 La capacidad del alma a la fluencia vale:
R f R 1 R 2 N
R 1 R 2 N
1.
1.2 Arrugamiento o inestabilidad (Crippling).- Sección J.10.3 La capacidad del alma al arrugamiento (crippling) vale:
R a R 3 R 4 N
R a R 5 R 6 N
R 3 R 4 N
R 5 R 6 N
Cuando
2 N d
Cuando
N d
0.
0.
Donde:
Fy t
R 1 Fyw tw k 2.5F ywtwk R 2 Fy tw
2
0.4t w
R 3 tw Fyw E tf
R 4 tw Fyw E t f d
R 5 tw Fyw E tf d
R 6 tw Fyw E t f d
E Fyw
2
0.4t w
2
3
tf tw
tw
1.5
d tf
1.5 tw
0.4t w 1 0 .2
0.4t w
4
tw
tf
E Fyw tw
tf
2
tf
E Fyw tw
1.5
tf
E Fyw tw
d tf
Conociendo estos valores podremos entonces determinar las longitudes d e apoyo necesarias por ambos criterios:
Nf R 1 R 2 V
Na R 3 R 4 V
Na R 5 R 6 V
1.5V R 1 R 2 2V
R 3
N
Cuando
R 4 2V
d
R 5
N
Cuando
R 6
d
0.
0.
2. CORTE EN EL ALMA DEL PERFIL W.- Sección G2.1a Fuerza de Corte Admisible: h
Cuando
tw
2.24
1.
E Fy
Vn Fy Aw Cv
Donde:
R av Vn
Vn
yAwCv 0.6F
Cv 1.
h = Distancia libre entre alas menos el el radio radio del filete o esquina esquina Aw = Altura total por el espesor del alma = d*t w
3. CÁLCULO DE LOS PERNOS 3.1. C arg a actuante en el es pacio: pacio : P
Py
P
ey
ey
ez
C arg a tras tras ladad ladada a al al centroide Py
P
P
Pyez Pzey
Pzex Pxez
Pxey Py e
Mx Py Pz ey ez
My Px Pz ex ez
Mz Px Py ex ey
3.2. F uerzas uerz as C ortante or tantess A ctuantes s obre obr e el el pern perno o
Como sabemos, los esfuerzos cortantes son ocasionados por las fuerzas P x , Py y por el momento Mz. Como vimos en la teoría, es conveniente descomponer las fuerzas cortantes actuantes sobre el perno más esforzado en los ej es "x" e "y", " y", es decir:
R x Px A t Mz Iz A b ymax
R y Py At Mz Iz A b xmax
Px At Py
Mz
At
Iz
Mz Iz
A b yma
A b xma
Donde: At(n c)
Número total de pernos
nc
Ix Iy
Iz Ix Iy
Ix n c p A b
Iy n c g A b
A b 12 A b 12
Momento polar de inercia del área de pernos
c n p n 1 2
2
c n g c 1 2
2
2
A b d b
d b
Área del perno empleado
4 1
xmáx( n p )
( n 1) p
ymax(c g)
( c 1) g
Coordenada "x" del perno más esforzado
2
1
Coordenada "y" del perno más esforzado
2
3.3. F uerzas uer zas Trac T racci ci onantes A ctuantes s obre obr e el el pern perno o
Las fuerzas actuantes en tracción sobre los pernos de penden, como sabemos, de la Fuerza F z y de los momentos M x y My aunque consideraremos sólo M x porque en general M y=0. 3.3.1 3.3. 1 Fuerzas Fu erzas Di rectas rec tas F
FF Pz n c
Pz n c
FM Mx n c p
6M x n c p ( n
1)
FF FM
FT FF FM
3.3.2 3.3. 2 E fecto de Palanca Q
Como vimos en teoría, a la carga directa "F" recién analizada debemos añadir el llamado Efecto de Palanca, que nace de la deformación de los elementos de la unión, es una fuerza adicional "Q" cuyo valor está definido empíricamente en función del tipo de perno, es decir: Para pernos A307: Q307 307(F)
0.5
Para pernos A325:
F
Q325 F a b d b w tf
100 100 b d b 70a d b
2
2
2
18 w tf 2
21w tf
Para pernos A490:
F
Q490 F a b d b w tf
100 100 b d b 62a d b
2
2
2
14 w tf 2
21w tf
Donde: db es el diámetro del perno tf es e espesor del ala w es el paso entre perno y perno (p) 3.3.3 3.3. 3 C arg a Di recta rec ta Total sobr e el el pern perno o
Entonces, la fuerza total a resistir sobre el perno más esforzado será la suma de "F" más "Q": T(F Q)
F
3.4. D is eño a flexi ón del perfi l
En el caso de emplear un perfil WT, los valores de a y b serían
a bf g
1
pero siempre
2 bf g
b bf tw g
a
2tf
2 g tw 8 in 1
1
Entonces verificamos la flexión en el ala del perfil, empleando el mayor de los momentos M1F y M2F que se hallaron en clases: M1F( F b Q a) M2F( Q a)
Fb Q
Q
Siendo entonces el esfuerzo actuante por flexión:
f b M w tf
6M 2
wt f
Recordando que en este caso el esfuerzo admisible para la flexión, indicado por el Reglamento AISC:
y 0.75F
F b Fy
3.5. F uerzas uerz as A dmis ibles para la la Tr acci ón - Corte C orte
Como siempre, (Sec. B3.4): R a
R n
B3 2
Donde:
Ra = Fuerza requerida (actuante) Rn/Ω = Radm = Fuerza admisible Rn = Fuerza nominal del Perno Ω = Factor de seguridad
3.5.1. 3.5. 1. Perno P ernoss Ti po Apoyo A poyo
Según Sec. J3.7 "Conexiones Tipo Apoyo bajo esfuerzo combinado de corte y tracción": En Tracción:
R´nt F´nt A b
F´nt A b
J3-2
2.0
Donde:
F´nt Fnt Fnv f v
Fnt
1.3Fnt
Fnv
J3-3b
f v
Fnt = Esfuerzo nominal en Tracción de la tabla J3.2 Fnv = Esfuerzo nominal en Corte de la Tabla J3.2 f v = Esfuerzo Requerido (actuante) en corte
y
En Corte: Tambien debemos verificar que la Fuerza Requerida (Actuante) en Corte, R a ,no sea mayor que la Fuerza Resistente en corte combinado R´ nv/Ω, donde R´ nv = Rnv = Fnv Ab es la fuerza nominal en corte puro, indicada en la Sec J3.6, Tabla J3.2 (sin modificación por esfuerzo combinado):
R nv
Fnv A b
R nv Fnv A b
R´nv R nv
Ver Tabla J3.2
3.5.2. 3.5. 2. Perno P ernoss Ti po Fr ic ci ón
En Corte: Como está indicado en la Sec, J3.9.- "Esfuerzo combinado de Corte y Tracción en Conexiones tipo Deslizamiento Crítico", del Reglamento AISC:
R´nv R nv k s
donde:
R nv k s
Rnv = Resistencia al deslizamiento de cada perno, dada por la Sec. J3.8, para corte puro ks = Factor de reducción debido a la carga actuante de tracción que reduce reduce la fuerza inicial de apriete de las placas, T b.
R nv Du hsc T b Ns
k s Ta Du T b N b
DuhscT bNs
1 D
1.5Ta
u T b N b
donde:
μ = Coeficiente de Rozamiento entre las placas de metal hsc = Factor dependiente del tamaño del agujero Ns = Número de superficies de deslizamiento Nb = Número de pernos que resistien la carga traccionante total Ta = Fuerza Fuerza de tracción debida a las combinaciones de carga ASD Tb = Tracción mínima estipulada para el perno empleado dado en la Tabla J3.1 Du = 1.13 Multiplicador indicado en J3.8
En Tracción: En lo concerniente a la tracción consideramos la resistencia nominal a tracción combinada igual a la resistencia nominal a tracción pura.
R nt
R´nt R nt
3.6.
R nt Fnt A b
Fnt A b
Ver Tabla J3.2 para F nt
P ri meras aprox imaci ones
Las primeras aproximaciones dependen del tipo de perno empleado, es decir, si el perno fuera del Tipo Apoyo, como quiera que el esfuerzo admisible al corte tiene un valor constante, conviene comenzar aproximando el número de pernos necesario para controlar este esfuerzo y luego analizar la tracción. En cambio, cuando se emplea el Tipo Fricción, el esfuerzo admisible invariante es el de tracción, de modo que conviene empezar por él, para terminar con la aproximación al corte. 3.6.1. 3.6. 1. Perno P ernoss Ti po Fr ic ci ón 3.6.1.1 3.6. 1.1 A prox imaci ón del número de pernos por Tracc T racc ión
Al efecto, comenzaremos por asumir un número de filas "n", "n", suponiendo que los otros parámetros parámetros han sido definidos por el problema mismo o tienen menos variabilidad, como es el paso "p" y del número de columnas "c". En tal circunstancia conoceríamos el momento actuante y por tanto la fuerza "F", entonces, si asumimos que el efecto de palanca "Q" es un porcentaje de "F", estaremos en condiciones de aproximar el diámetro de los pernos. Si el valor hallado en esta primera instancia no es satisfactorio, cambiamos "n" y recalculamos el diámetro, pudiendo i nclusive cambiar los parámetros normalmente invariantes como el paso, el número de columnas , etc. 3.6.1.2 3.6. 1.2 A prox imaci ón del E fecto de Palanca
Por lo visto líneas arriba, el efecto de palanca depende de muchas variables, es necesario entonces establecer una forma aproximada para hallar este valor "Q", en tal sentido, primero prim ero hallaremos el valor aproximado del espesor del ala "t f ", usando la relación aproximada demostrada en teoría: tfaprox ( F b w)
F b 9ksi w
3.6.1.3 3.6. 1.3 A prox pr oximaci imaci ón de los pernos perno s al C orte or te
Conocido el valor aproximado del diámetro de los pernos y su número, tenemos entonces todos los parámetros necesarios para determinar tanto el esfuerzo actuante como el esfuerzo admisible, pudiendo entonces juzgar si dichos parámetros son o nó suficientes para controlar el corte en los pernos.
3.6.2 3.6. 2 Per nos Tipo Ti po apoyo
En este caso, es recomendable que com encemos por el corte porque el esfuerzo admisible para esta solicitación es constante, de modo que podemos asumir algunos parámetros como invariantes: "p", "g", etc. y otros como variables con valores iniciales aproximados: "n" y "d b" principalmente, hasta que satisfagan los requisitos del c orte, luego pasamos a la tracción, etc., de la manera vista en el punto 6.1
3.7.
V erifi eri ficaci caci ón
Con el valor aproximado del espesor del ala, pasamos a elegir el perfil adecuado y con eso estamos en condiciones de calcular los otros parámetros "a" y "b", de modo que podemos determinar el valor exacto de "Q" y con él pasamos a verificar la tracción en el perno más esforzado, la flexión en el ala del perfil y el corte (si es que hubiera algún cambio).
4. ESPESOR DEL RIGIDIZADOR El espesor t del rigidizador debe ser mayor que los valores indicados a continuación: 4.1 Por flexocompresión
1
tfc Fy V N ds V e
y 0.6F
V N
ds
6V e ds
2
Siendo la excentricidad e:
La
e La N c
N 2
La
c
4
4.2 Por corte
tv VT Fy ds
VT 0.4F y d s
Para cuyo efecto deben calcularse previamente los siguientes valores:
L La c atan
La c
ds La c
La
L
c
2cos ( )
V N( V )
Vcos ()
VT( V )
Vsin( )
CASO DE ESTUDIO Deseamos calcular una unión de asiento rigidizada capaz de resistir el 80 % de la capacidad a corte Rav de un perfil perfil W12X50, usando usando pernos A 325 Tipo Fricción como se vé en la Fig. Datos del perfil W:
1
6
12. 1
tw 0.3
k
Fyw 36
tf 0.6
E 29 10 10
d
Fy 36
16 3
bf
8.0
A modo de verificación copiamos los valores valores incluidos en el Manual AISC ASD referidos a este perfil: Vn=87.8/.9=97.44 R3=55.1//.75=73.47 R5=50.3/.75=67.07
R1=45.8/1=45.8 R4=5.96/.75=7.94 R6=7.95/.75=10.6
R2=13.3/1=13.3
1 E.- Cálculo de la carga actuante Capacidad Nominal de Corte:
1.
Cv
1.
Con la geometría del perfil valores determinamos su capacidad al corte:
yAwCv 0.6F
Vn Fy Aw Cv
yAwCv 97.422 Vn 0.6F
Aw d tw 4.51 R av
Vn
d t
Aw d tw
Igual al valor copiado líneas arriba (del Manual AISC)
64.948
Entonces, de acuerdo con el planteamiento del pr oblema, la carga actuante V vale V 0.80 Ra v
A partir de aqui seguimos el orden orden antes planteado:
51.959
2 E. Longitud de Apoyo necesaria Resistencias del alma:
ywtw k 45.787 R 1 2.5F 2
R 3 0.4t w
E Fyw
2 3 R 4 0.4t w d
2
R 5 0.4t w
tw
tw
73.587
1.5
4
tf
E Fyw 7.961 tw
tf
1.5 tw
1 0 .2
2
w R 6 0.4t
t f
R 2 Fy t w 13.32
tf
tw
d tf
tf
E Fyw 67.118 tw
1.5
tf
E Fyw 10.614 tw
Valores que coinciden con los estractados del Manual. Entonces:
Nf
Na
Na
1.5V
R 1
R 2 2V
R 3
R 4
2V
R 5
R 6
2.414
3.81
Cuando
3.467
Cuando
N d N d
Na
0.2
0.313
d Na
0.2
0.284
d
Se adopta N=3.5 in, entonces La=N+xo=3.5+.5=4 in xo 0.5i
La
4i
N
3.5in
Para fines consiguientes introducimos algunos valores con unidades: Fy 36ksi
V 52kip
3 E.- Pernos A 3.1. Análisis de cargas En el espacio: Respecto de los ejes centroidales de pernos Adoptando
v
Px 0
V 52kip n 1 ( p ) v 5.5in ey
2.5in
n
3
p
c
2
Pz 0
Py
ex 0
3i
ez La
2
N 2
2.25in
Debe notarse que ey no afecta al cáculo, asi:
Pyez Pzey
Mx Mx Py Pz ey ez 117in·kip
Pzex Pxez
My My Px Pz ex ez
Pxey Py e
Mz Mz Px Py ex ey
Mx Py Pz ey ez My Px Pz ex ez
Mz Px Py ex ey
0
0
De modo que solamente se tiene la fuerza cortante Py y el momento flector constante Mx 3.2 Aproximación del diámetro del perno por Tracción 3.2.1 Fuerza actuante de tracción en el p erno más esforzado De acuerdo con la asumción anterior n
3
p
3in
v
5in 2. 5i
Asi la excentricidad y el momento valen: valen: e1y
n
1 2
( p )
v 5.5in
M1x Py ez Pz e1 y
117in·kip
Entonces las fuerzas actuantes sobre el perno más esforzado son: Pz F1F n c
0
F1M
6M1x n c p ( n
1)
9.75kip
Sumando ambas componentes: F1 F1F F1M
9.75kip
Asumiendo que el efecto de palanca es es el 80% de "F" la carga actuante actuante T es: T1 F11. 1.8 17.55kip
3.2.2 Fuerza Admisible en tracción por perno De la Sec. 3 anterior: En Tracción: En lo concerniente a la tracción consideramos la resistencia nominal a tracción combinada igual a la resistencia nominal a tracción pura.
R nt
R nt Fnt A b
R´nt R nt
R adm R nt
R´nt R nt
Para pernos A325:
per2 per2
0 0
Fnt 90ksi d
"Diám"
Ver Tabla J3.2 para F nt
2.0
i 1 8
Fnt A b
i
per2 per2
3 8
0 1
i
1
A
8
"Area"
i
per2 per2
d i
0 2
2
A R nt
4
"R´nt"
i
per2 per2
Fnt
0 3
1ksi
"Radm" R nt
per2 per2
d i i 0
per2 per2
"Diám" 0.5 0.625 0.75 0.875 1 1.125 1.25 1.375
per2 per2
"Area"
Ai i 1
per2 per2
R nt i 2
i
per2 per2
i
i 3
i
"R´nt" "Radm"
0.196
17.671
0.307
27.612
0.442
39.761
0.601
54.119
0.785
70.686
0.994
89.462
1.227
110.447
1.485
133.64
13.806 19.88 27.059 35.343 44.731 55.223 66.82 8.836
Podemos ver entonces que necesitamos un diámetro de 3/4", 19.88>17.55, éste seguramente requerirá requerirá un tamaño mediano para el espesor del ala del perfil WT.
3.3. Aproximación del espesor del ala Como dijimos, para para el valor valor de "F1=13.53 kip" hallado en la primera aproximación tenemos, asumiendo asumiendo un valor para b: b1
2.i 2.i
w p
F1b1
t1
9ksi w
3 in Es mucho para un angular
0.85in
Con el espesor definido pasamos a elegir los angulares, con las siguientes dimensiones: b1
3.5in
b2
3.5in
tp
.85 16 16 13.6
t
7
i 8
3.4. Aproximación de los pernos al corte 3.4.1. Fuerza admisible Hacemos referencia nuevamente a lo dicho en la Sec. 10.2
R adm R´nv
R´nv
R´nv R nv k s
R nv Du hsc T b Ns
R nv k s
1.7
DuhscT bNs
k s Ta Du T b N b
1
1.5Ta Du T b N b
Si verificamos el perno necesario por tracción, 7/8", los parámetros a emplear valen:
0.3
superficie Clase A
Du
1.1
hsc
1
Agujero estándar
Ns
1
Un plano de frición
T b 28ki
Perno de 3/4"
Entonces
R nv
11.07 4kip ki p DuhscT b Ns 11.074
Para calcular el factor de reducción "ks" por la acción de la fuerza actuante de tracción T a, tenemos que ésta es igual a la fuerza P z incrementada por el efecto de palanca. Destacamos aqui que el efecto traccionante del m omento no es considerado aquí porque simult áneamente se dán fuerzas de tracción y compresión, de modo que se anulan los efectos a favor y en contra de la fricción. Asumiendo que el efecto de palanca sea Q = 0.8*P z, tenemos: Pz 0
Ta 1.8P z0
Entonces:
k s
y
R adm
1
1.5Ta Du T b N b
R´nv
N b
1
6.292kip
nc 6
R´nv
R nv k s 11.074kip
10.3.2 Fuerza Actuante en Corte El valor absoluto de la fuerza cortante es: R1y
Py n c
8.667kip
Como es insuficiente el número de pernos y el espesor del angular es exagerado, se cambia el diseño usando un perfil WT reemplazando a los dos angulares y aumentando el número de filas a 4:
3 E.- Pernos A 3.1. Análisis de cargas En el espacio: Respecto de los ejes centroidales de pernos Adoptando
v
Px 0
Py V 52kip n 1 ey ( p ) v 2
ex 0
2. 5i
n
4
p
3in
c
2
Pz 0
7 in
ez La
N 2
2.25in
Debe notarse que ey no afecta al cáculo, asi:
Pyez Pzey
Mx Mx Py Pz ey ez 117in·kip
Pzex Pxez
My My Px Pz ex ez
Pxey Py e
Mz Mz Px Py ex ey
Mx Py Pz ey ez
My Px Pz ex ez
Mz Px Py ex ey
0
0
De modo que solamente se tiene la fuerza cortante Py y el momento m omento flector constante Mx 3.2 Aproximación del diámetro del perno por Tracción 3.2.1 Fuerza actuante de tracción en el perno más esforzado Asumiremos como primera aproximación aproximación 5 filas de pernos n
4
p
3in
v
.5in 2.5i
Asi la excentricidad y el momento valen: valen: e1y
n
1 2
M1x Pyez Pz e1 y
( p ) v 7 in
117in·kip
Entonces las fuerzas actuantes sobre el perno m ás esforzado son: F1F F1M
Pz n c
0 6M1x
n c p (n
1)
5.85kip
Sumando ambas componentes: F1 F1F F1M
5.85kip
Aunque no existiría efecto de palanca si el ala del WT estuviera soldada a la placa de asiento, asumiendo que no es así y aproximando que el efecto de palanca es el 80% de "F" la carga actuante T es: T1 F11. 1 .8 10.53kip
3.2.2 Fuerza Admisible en tracción por perno No obstante que a la tracción es suficiente un perno de 5/8", debido al corte se persiste en emplear pernos de 3/4" 3.3. Aproximación del espesor del ala Como dijimos, para para el valor valor de "F1=13.53 "F1=13.53 kip" hallado en la primera primera aproximación tenemos, asumiendo asumiendo un valor para b: b1
2.5in
t1
F1b1 9ksi w
w p 0.736in
3 in No parece mucho !!!!!
Para evitar un efecto de palanca grande, se prefiere aumentar el espesor del ala, entonces se prueba un perfil W10x88 d
10.84i 10.84
tw .605i
bf 10.2 1 0.27 7in
tf .99in
3.4. Aproximación de los pernos al corte 3.4.1. Fuerza admisible Hacemos referencia nuevamente a lo dicho en la Sec. 10.2
R adm R´nv
R´nv
R´nv R nv k s
R nv Du hsc T b Ns
R nv k s
1.7
DuhscT bNs
k s Ta Du T b N b
1
1.5Ta Du T b N b
Si verificamos el perno necesario por tracción, 7/8", los parámetros a emplear valen: superficie Clase A
0.3 Du
1.1
hsc
1
Agujero estándar
Ns
1
Un plano de frición
T b 28kip
Perno de 3/4"
Entonces
R nv Du hsc T b Ns
11.074 11. 074kip
Para calcular el factor de reducción "k s" por la acción de la fuerza actuante de tracción T a, tenemos que ésta es igual a la fuerza P z incrementada por el efecto de palanca. Destacamos Destacamos aqui que el efecto traccionante del momento no es considerado aquí porque simult áneamente se dán fuerzas de tracción y compresión, de modo que se anulan los efectos a favor y en contra de la fricción. Asumiendo que el efecto de palanca palanca sea Q = 0.8*Pz, tenemos: Pz 0
Ta 1.8P z
Entonces:
k s
y
R adm
0
N b
1.5Ta
1
1
Du T b N b
R´nv
nc 8
R´nv
R nv k s 11.074 11.07 4kip ki p
6.292kip
3.4.2 Fuerza Actuante en Corte El valor absoluto de la fuerza cortante es: R1y
Py
n c
6.5kip
Finalmente se adopta el empleo de 4 filas y dos columnas de pernos de 3/4" 3.5 Verificación 3.5.1 Efecto de palanca, Verificación de la tracción g
5.5in
b1
g tw
a1
1
2
1 2
1 8
in
2.385in
bf g 2.385in
Entonces:
a1
pero
2tf 1.98in
d1 b
a1
6 8
in
2tf
Q1 F 1
100 100 b1 d1 b 70a1 d1 b
2
2
2
18 w tf
2
3.401kip
Valor exacto
21w tf
T1 F1 Q1 9.251kip
Entonces es suficiente el diámetro de 3/4" empleado Tadm = 19.88 3.5.2. Verificación de la Flexión en el ala Momentos actuantes en el ala: MF1 F1b1 b1
7.218in·kip Q1a1
MF2 Q1 a1 6.735in·kip
Luego hallamos el esfuerzo empleando para el mayor de los dos momentos f1 b
6MF1 2
14.728ksi
wt f
Toda vez que este esfuerzo es menor que el Esfuerzo Admisible en la flexión, Fb=0.75*36=27 ksi, admitimos el valor adoptado para t f . 3.5.3.- Verificación al corte Como quiera que el efecto de palanca no altera el cálculo aproximativo, no se alteran los resultados obtenidos. La fuerza Pz = 0, la tracción se debe solamente al mo mento, por tanto el aumento de tracción se compensa con el aumento de la compresión.
