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UNIDADES 2 y 3 MECÁNICA MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES Tomados de Physics, Serway, e-book, 2005

Fisica, Vol. 1 GRM. Física I. Semestre 2014-1

Ohanian/Markert, 2009 Tipler/Mosca 2005 Bauer, 2011

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MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN

GRM. Física I. Semestre 2011-1

Usain Bolt gana su segundo oro en Moscú, en la carrera de 200 m hizo un tiempo de 19.66 segundos, le falta una medalla para superar a Carl Lewis 2

Rapidez promedio

Pero es una determinación relativa…


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Velocidad promedio para movimiento rectilíneo

Un automóvil que se mueve en línea recta. El eje x coincide con esta línea recta. GRM. Física I. Semestre 2011-1

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Velocidad promedio para movimiento rectilíneo Gráfica de posición contra tiempo de un automóvil que acelera y luego se detiene.

Velocidad promedio para el intervalo de t1 = 8.0 s a t2 es la pendiente de la línea GRM. Física I. Semestre 2011-1 recta P1 y P2

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Velocidad instantánea Gráfica de posición contra tiempo para un automóvil que se mueve con velocidad variable

En un intervalo de tiempo puede aproximarse a la gráfica por una línea recta corta (azul) GRM. Física I. Semestre 2011-1

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Velocidad instantánea

Velocidad instantánea como derivada de x con respecto a t

• Para hallar las velocidades instantáneas a tiempos diferentes, se trazan las tangentes a la gráfica en estos tiempos y se miden sus pendientes.


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Aceleración: es un cambio en la velocidad

La aceleración promedio para el intervalo de t1 = 0 a t2 = 10.0 s es la pendiente de la línea recta Q 1Q 2

• Aceleración promedio GRM. Física I. Semestre 2011-1

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Aceleracion instantánea • La aceleración instantánea es el límite de la aceleración promedio conforme t se aproxima a 0 2 vx dvx d x a x  lim   2 t 0 t dt dt

• La pendiente del gráfico de velocidad vs. tiempo es la aceleración • La línea verde representa la aceleración instantánea • La línea azul es la aceleración promedio


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Aceleración La aceleración instantánea en t = 4 s es la pendiente de la tangente en ese punto.


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Aceleración instantánea como función del tiempo

• Aceleración instantánea como derivada de v con respecto a t GRM. Física I. Semestre 2011-1

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EJEMPLO: Cuando se está viajando en automóvil en un camino recto, se puede estar viajando en sentido positivo o negativo, y se puede tener una aceleración positiva o negativa. Asocie las siguientes combinaciones de velocidad y aceleración a) Vel (+), acel (+) b) Vel (+), acel (-) c) Vel (-), acel (+)

d) Vel (-), acel (-) GRM. Física I. Semestre 2011-1

1. Desacelerando en el sentido positivo. 2. Acelerando en el sentido negativo. 3. Acelerando en el sentido positivo. 4. Desacelerando en el sentido negativo. 12

Aceleración y Velocidad • Cuando la velocidad y la aceleración de un objeto están en la misma dirección, el objeto incrementa su rapidez. • Cuando la velocidad y la aceleración de un objeto están en dirección opuesta, el objeto desacelera. Observe el Bat-móvil:

• El carro se mueve con velocidad constante positiva (mostrada por las flechas rojas que se mantienen del mismo tamaño).  La aceleración es igual a cero. GRM. Física I. Semestre 2011-1

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Observe :

• La velocidad y la aceleración están en la misma dirección. • La aceleración es uniforme (las flechas azules se mantienen en la misma longitud) • La velocidad se incrementa (flechas rojas más largas)  Esto muestra una aceleración positiva y una velocidad positiva.

• La aceleración y la velocidad están en direcciones opuestas. • La aceleración es uniforme (las líneas azules se mantienen en la misma longitud) • GRM. La Física velocidad decrece (las flechas rojas se hacen más cortas) I. Semestre 2011-1  La velocidad es positiva y la aceleración negativa.

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Ejercicio para practicar: En los campeonatos mundiales de pista y campo de 1991 de Tokio, Japón, Carl Lewis estableció un nuevo record mundial de los 100 m planos. A continuación se muestra una lista de los tiempos en los que llegó a las marcas de 10 m, 20 m, etc. Determine la velocidad promedio para cada intervalo de 10 s. Determine también la aceleración promedio considerando dos valores de velocidad promedio y vea el desempeño del atleta durante la carrera. ¿es constante su velocidad? Trace los gráficos de posición vs. tiempo y velocidad promedio vs tiempo.

t (s)

X (m)

0.00

0

1.88

10

2.96

20

3.88

30

4.77

40

5.61

50

6.46

60

7.30

70

8.13

80

9.00

90

9.87

100

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Movimiento con aceleración constante

a)

Aceleración contra tiempo para movimiento con aceleración constante; esta gráfica muestra un valor constante de 2.0 m/s2 b) Velocidad contra tiempo; esta gráfica es una línea recta de pendiente de 2.0 m/s2 c) GRM. Gráfica de posición contra tiempo; la gráfica es una parábola. Física I. Semestre 2011-1 16

Gráfico de la curva de movimiento: desplazamiento vs. tiempo • La pendiente de la curva es la velocidad. • La línea curva indica que la velocidad es cambiante – Y por lo tanto, hay aceleración ! GRM. Física I. Semestre 2011-1

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Gráfico de la curva de movimiento: curva velocidad vs. tiempo • La pendiente da la aceleración. • La línea recta indica aceleración constante.


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Gráfico de movimiento: curva aceleración vs. tiempo • La pendiente cero indica aceleración constante.


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Ecuaciones cinemáticas para el caso especial de movimiento con aceleración constante, donde t0 = 0 (tiempo inicial)

Además GRM. Física I. Semestre 2011-1

vx prom = ½ (vxf + vxi) 20

Ejemplo: Movimiento con aceleración constante Mientras un avión se desplaza por la pista para alcanzar la rapidez de despegue, se acelera por sus motores de propulsión a chorro. En un vuelo específico se ha determinado que la aceleración promedio es de ax = 4.3 m/s2. Bajo la suposición de aceleración constante y partiendo del reposo, a) ¿cuál es la velocidad de despegue del avión después de 18.4 s? b) ¿qué distancia ha recorrido el avión en la pista hasta el momento del despegue?


Respuesta:

Vx = 79 m/s

x = 7.3 x102 m

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Ejemplo 2: Movimiento con aceleración constante Ahora, como reto sencillo para Ud., considere el siguiente problema, también de portaaviones:

Un jet aterriza en un portaaviones a 63 m/s. a) ¿Cuál es su aceleración (constante) si se detiene en 2.0 s debido a un cable de arresto que traba el jet y lo deja en reposo? b) Si el jet toca al portaaviones en x0 = 0, ¿cuál es su posición final?

Respuesta para Ud.:

ax = - 32 m/s2 xf = 63 m

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Ejemplo 3: Movimiento con aceleración constante Un automóvil que viaja con rapidez constante de 45.0 m/s pasa por donde un patrullero en motocicleta está oculto detrás de un anuncio espectacular. Un segundo después de que el automóvil pasa el anuncio, el patrullero sale de su escondite para detener al automóvil, que acelera constantemente a 3.00 m/s2. ¿Cuánto tiempo tarda en darle alcance al automóvil? Respuesta para Ud.:

t = 31 s

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MÁS EJEMPLOS: Movimiento con aceleración constante • Deformación de la parte frontal de un automóvil que choca con una barrera. El origen de las coordenadas está en la barrera.


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MÁS EJEMPLOS: Movimiento con aceleración constante

• Un automóvil frenando. El origen de las coordenadas está en el punto en el que el conductor detecta un accidente


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MÁS EJEMPLOS: Movimiento con aceleración constante

• Una minivan que frena y un camión que va a velocidad constante permanece sin cambio. El origen de las coordenadas está en el punto donde se inicia el frenado. La posición inicial de la minivan es x0 = 0 y la del camión es x’0 = 12 m. GRM. Física I. Semestre 2011-1

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• EJEMPLOS DE MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN: CAÍDA LIBRE

La aceleración de la caída libre


Fotografía estroboscópica de una manzana y de una pluma en caída libre en una cámara en vacío parcial. La manzana y la pluma se soltaron simultáneamente desde la escotilla en la parte superior. La fotografía se hizo dejando abierto el obturador de la cámara y disparando un flash de luz a intervalos regulares

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Objetos en caída libre • Un objeto en caída libre es cualquier objeto que se mueva libremente, solamente bajo la influencia de la gravedad. • No depende del movimiento inicial del objeto. Ejemplos: – Objetos liberados desde el reposo – Lanzados hacia abajo – Lanzados hacia arriba GRM. Física I. Semestre 2011-1

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Aceleración de objetos en caída libre • La aceleración de un objeto en caída libre se dirige hacia abajo, sin importar su movimiento inicial. • La magnitud de la aceleración de la caída libre es g = 9.80 m/s2 – g varia con la latitud – g se reduce al incrementarse la altitud – 9.80 m/s2 es el promedio en la superficie terrestre GRM. Física I. Semestre 2011-1

• Se desprecia la resistencia del aire • El movimiento de caída libre es un movimiento con aceleración constante en una dimensión • Por conveniencia se fija como positivo el eje ascendente (hacia arriba) • Se emplean las ecuaciones de movimiento con ay = g = -9.80 m/s2 29

Ejemplo 1. (Serway) A una piedra que se lanza desde lo alto de un edificio se le da una velocidad inicial de 20.0 m/s directo hacia arriba. El edificio tiene 50.0 m de alto y la piedra apenas libra el borde del techo en su camino hacia abajo, como se muestra en la siguiente figura.

i) Use tA = 0 como el tiempo cuando la piedra deja la mano del lanzador en la posición (A) y determine el tiempo en el que la piedra llega a su altura máxima. ii) Encuentre la altura máxima de la piedra iii) Determine la velocidad de la piedra cuando regresa a la altura desde la que se le lanzó. iv) Encuentre la velocidad y posición de la piedra en t = 5.0 s GRM. Física I. Semestre 2011-1

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Análisis del Ejemplo 1. • La velocidad inicial en A es hacia arriba (+) y la aceleración es g (-9.8 m/s2). • En B, la velocidad es 0 y la aceleración es g (-9.8 m/s2). • En C, la velocidad tiene la misma magnitud que en A, pero es en dirección opuesta. • El desplazamiento es –50.0 m (termina 50.0 m por debajo de su punto inicial) Respuestas para Ud. tB = 2.04 s yB = 20.4 m vyC = -20.0 m/s vyD = -29.0 m/s yD = -22.5 m

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Ejemplo 2. (Ohanian/Markert) En Acapulco, clavadistas profesionales divierten a los turistas saltando al mar desde un risco de 36 m de altura (ver figura). a) ¿Durante cuánto tiempo caen? b) ¿Cuál es la velocidad de impacto en el agua?

Salto de un clavadista. El cambio de posición es negativo (x-x0 < 0)

Respuestas para Ud. t = 2.7 s

vx = -26 m/s

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Como reto para Ud. Intente resolver los siguientes problemas: Ejemplo 3. (Tipler/Mosca) Juan trepa a un árbol para escuchar mejor al conferenciante de su ceremonia de graduación que se celebra al aire libre. Desgraciadamente olvidó sus prismáticos abajo. María lanza los prismáticos hacia Juan, pero su fuerza es mayor que su precisión. Los prismáticos pasan a la altura de la mano extendida de Juan 0.69 s después del lanzamiento y vuelven a pasar por el mismo punto 1.68 s más tarde. a) ¿A qué altura se encuentra Juan? b) Determinar la velocidad inicial de los prismáticos y la velocidad que llevan cuando pasan a la altura de Juan en su trayectoria descendente. GRM. Física I. Semestre 2011-1

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Ejemplo 4. (Ohanian/Markert)

Un arco potente, como los que se usan para establecer récords mundiales de arquería, puede lanzar una flecha a una velocidad de 90 m/s. ¿A qué altura subirá una flecha si se dispara verticalmente hacia arriba? ¿Cuánto tardará en regresar al suelo? ¿Cuál será la velocidad al tocar tierra?

Por simplicidad ignore la fricción del aire y trate la flecha como una partícula ideal.


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Ejemplo 5. (Tipler/Mosca) y

ymáx

v

v0

y0

Año 2018: Un estudiante de física del grupo 3, contento por su graduación, lanza su birrete hacia arriba con una velocidad inicial de 14.7 m/s. Considerando que su aceleración es 9.81 m/s2 hacia abajo (desprecie la resistencia del aire). a) ¿Cuánto tiempo tarda el birrete en alcanzar su punto más alto? b) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada? c) Suponiendo que el birrete se retoma a la misma altura de la que ha salido ¿Cuánto tiempo permanece en el aire?

0 GRM. Física I. Semestre 2011-1

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Tarea (no se entrega). Otros Problemas de Repaso 1) Un conductor de temperamento agresivo acelera a fondo su motor al ponerse en verde el semáforo y luego frena rápidamente para el siguiente semáforo en luz roja. La aceleración como función del tiempo se muestra en la siguiente figura para 0  t  10 s. Si el conductor comenzó desde el reposo en el origen en t = 0, dibuje con precisión la velocidad y la posición como función del tiempo.

2) Suponga que se arroja una piedra directamente hacia arriba de modo que alcanza una altura máxima y luego cae de regreso. En el instante en que la piedra alcanza la altura máxima ¿su velocidad es positiva, negativa o cero? ¿su aceleración es positivo, negativa o cero? Suponga que el eje x se dirige hacia abajo 3) Se deja caer un vaso lleno de agua desde lo alto de un edificio ¿Se derramará el líquido fuera del vaso mientra este cae? ¿Por qué? GRM. Física I. Semestre 2011-1

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La relatividad del movimiento y la suma de velocidades • • • • •

El sistema de coordenadas x’ y y’ (azul) del barco se mueve en relación con el sistema de coordenadas x – y • (verde) de la costa


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La relatividad del movimiento y la suma de velocidades Regla de la suma para las velocidades, también conocida como transformación galileana de velocidades La velocidad en los dos marcos de referencia difiere sólo por una constante Vo. Por lo que las aceleraciones en los dos marcos de referencia son iguales: PARA MARCOS DE REFERNCIA EN MOVIMIENTO UNIFORME EN RELACION MUTUA, LA ACELERACIÓN ES UNA CANTIDAD ABSOLUTA.


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MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES Componentes de la velocidad y la aceleración

Trayectoria de un automóvil por las calles de la ciudad de Nueva York


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Componentes de la velocidad y la aceleración a) En un pequeño intervalo de tiempo dt, el desplazamiento es P1P2 y los cambios en las coordenadas x y y son dx y dy

b) Los desplazamientos dx y dy son los catetos de un triángulo rectángulo GRM. Física I. Semestre 2011-1

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Componentes de la velocidad y la aceleración, 2D Componentes de la velocidad instantánea Componentes de la aceleración instantánea

Magnitud de la velocidad en términos de los componentes GRM. Física I. Semestre 2011-1

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Componentes de la velocidad y la aceleración

Automóvil tomando una curva. Las flechas indican las direcciones del movimiento


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Los vectores velocidad y aceleración En un pequeño intervalo de tiempo dt, los cambios en las coordenadas x y y son dx y dy. El vector de desplazamiento es dxi + dxj. Este vector es tangente a la trayectoria de la partícula, como lo es también el vector de la velocidad

v = (dxi + dyj)/dt GRM. Física I. Semestre 2011-1

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Representaciones vectoriales y de componentes de (a) la velocidad

(b) la posición de una partícula que se mueve con una aceleración constante a.I. Semestre 2011-1 GRM. Física

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Extensión de las ecuaciones cinemáticas para dos dimensiones


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Los vectores velocidad y aceleración

Vectores velocidad de un proyectil en diferentes instantes GRM. Física I. Semestre 2012-1

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Los vectores velocidad y aceleración a) Una “bomba volcánica” después del impacto en el suelo

b) El vector de velocidad inicial de la “bomba volcánica” y sus componentes GRM. Física I. Semestre 2011-1

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Movimiento de proyectiles

Trayectoria de una bomba volcánica con una velocidad inicial v0+


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Movimiento de proyectiles

Trayectoria de una bomba soltada por un bombardero. La componente vertical inicial de la velocidad es cero y la componente horizontal inicial es la misma que la del bombardero GRM. Física I. Semestre 2011-1

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Ejemplo para resolver: El final del salto con esquíes (Serway, 2005) Una esquiadora deja la rampa y se desliza en la dirección horizontal con una rapidez de 25.0 m/s. El plano de aterrizaje bajo ella cae con una pendiente de 35°. ¿Dónde aterrizará en el plano?


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Tarea 5 (se entrega): EL COYOTE Y EL CORRECAMINOS


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Tarea 5 (se entrega): Un decidido coyote está nuevamente en persecución del elusivo correcaminos. El coyote usa un par de patines (marca ACME), con ruedas de propulsión, que proporcionan una aceleración horizontal constante de 15 .0m/s2. El coyote parte del reposo a 70.0 m de la orilla de un risco en el instante en que el correcaminos lo pasa en la dirección del risco. a) Si se supone que el correcaminos se mueve con rapidez constante, determine la rapidez mínima que debe tener para alcanzar el risco antes que el coyote. En el borde del risco, el correcaminos escapa al hacer un giro repentino mientras el coyote continúa de frente. Los patines del coyote permanecen horizontales y continúan funcionando mientras el coyote está en vuelo, de modo que su aceleración, mientras está en el aire es (15.0 i – 9.80 j) m/s2. b) El risco está a 100 m sobre el suelo plano de un cañón. Determine dónde aterriza el coyote en el cañón.

c) Determine las componentes de la velocidad de impacto del coyote. GRM. Física I. Semestre 2011-1

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Una piedra es lanzada hacia arriba desde lo alto de un edificio, a un ángulo de 30.0° con la horizontal y con una rapidez inicial de 20.0 m/s. La altura del edificio es de 45.0 m

Ejemplo para resolver: ¡Vaya brazo ! (Serway, 2005)

a) ¿Cuánto tarda la piedra en llegar al suelo? b) ¿Cuál es la rapidez de la piedra justo antes de golpear el suelo?


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ALCANCE HORIZONTAL Y ALTURA MÁXIMA EN UN PROYECTIL


Revise en un texto de Física I Universitaria la deducción de estos casos particulares de movimiento 55 en dos dimensiones.

Ejemplo para resolver: Salto de longitud (Serway, 2005)

Un atleta que participa en salto de longitud deja el suelo a un ángulo de 20.0° sobre la horizontal y con una rapidez de 11.0 m/s. a) ¿Qué distancia salta en la dirección horizontal? b) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza? El atleta mexicano Luis Rivera ganó una histórica medalla de bronce en la prueba de salto de longitud, en el Mundial de Atletismo Moscú 2013, con un registro de 8.27 metros. En la Universiada Mundial de Kazán 2013, obtuvo la medalla de oro con un salto de 8.46 metros 56

Movimiento circular uniforme

Vectores velocidad instantánea para una partícula en movimiento circular uniforme


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Movimiento circular uniforme

ACELERACIÓN CENTRÍPETA (dirección es hacia el centro del círculo) Una partícula en movimiento circular uniforme, experimenta una aceleración radial a puesto que la dirección de v cambia con el tiempo.

PERÍODO EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR Intervalo de tiempo requerido para una revolución completa de la partícula 58

Ejemplo para resolver: Aceleración centrípeta de la Tierra (Serway, 2005) ¿Cuál es la aceleración centrípeta de la Tierra a medida que se mueve en su órbita alrededor del Sol? Dato: radio de la órbita de la Tierra alrededor del Sol = 1.496x1011 m.


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Aceleraciones tangencial y radial Aceleración total

Si el vector velocidad v (siempre tangente a la trayectoria) cambia en dirección y magnitud, las componentes de la aceleración a son una componente tangencial at y otra componente radial ar GRM. Física I. Semestre 2011-1

La componente de aceleración radial surge de una cambio en dirección del vector velocidad.

La componente de aceleración tangencial causa un cambio en la rapidez v de la partícula. 60

Ejemplo para resolver: En la cumbre (Serway, 2005) Un automóvil muestra una aceleración constante de 0.300 m/s2 paralela a la autopista. El automóvil pasa sobre una elevación en el camino tal que, lo alto de la elevación tiene forma de círculo con 500 m de radio. En el momento en que el automóvil está en lo alto de la elevación, su vector velocidad es horizontal y tiene una magnitud de 6.00 m/s.

¿Cuáles son la magnitud y dirección del vector aceleración total para el automóvil en ese instante?


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