Ejercicios Unidad 3
Actividad 3. Operaciones elementales en ecuaciones y solución de sistemas de ecuaciones
Para realizar la actividad revisa el contenido de la Unidad 3 de la asignatura
1.4.1. Definición de operaciones elementales sobre sistemas de ecuaciones
Consideremos los sistemas de ecuaciones (1) y (2) donde el sistema (2) se obtiene remplazando E2 con rE1 + E2, donde r es un número real.
(1)
(2)
a11 x1 + a12 x2 + …+ a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + …+ a2n xn = b2 …….……………………………... am1 x1 + am2 x2 + …+ amn xn = bm a11 x1 + a12 x2 + ……………. + a1n xn = b1 (a21 + r a11)x1 + (a22 + r a12) x2 + … + (a2n + r a1n) xn = b2 + rb1 …….……………………………………………………………….... am1 x1 + am2 x2 + ……………. + amn xn = bm
Tenemos que si (x 1, …, xn) = (c1, …, cn) es solución del segundo sistema, i.e., (a21 + r a 11)c1 + (a22 + r a12)c2 + … + (a2n + r a1n)cn = b 2 + rb1 entonces también es solución del sistema original puesto que sustituyendo en la segunda ecuación y simplificando obtenemos que a 21c1 + a 22c2 + … + a2ncn = b 2 como se demuestra a continuación: (a21 + r a11)c1 + (a22 + r a12)c2 + … + (a2n + r a1n)cn = b2 + rb1 a21c1 + a 22c2 + …+ a2ncn + ra 11c1 + ra12c2 + … + r a1ncn = b2 + rb1 a21c1 + a22c2 + …+ a2ncn + r(a11c1 + a12c2 + … + a1ncn) = b2 + rb1 a21c1 + a22c2 + … + a2ncn + rb 1 = b2 + rb1 a21c1 + a22c2 + … + a2ncn = b 2
Actividad 2. Espacios Ejercicio 1. Demuestra, en forma similar que una solución del primer sistema es solución del segundo sistema.
En el Teorema 6 obtuvimos los n – r vectores solución Ar+1 = (-d’1,r+1, -d’2,r+1, … , -d’r,r+1, 1, 0, …, 0) Ar+2 = (-d’1,r+2, -d’2,r+2, … , -d’r,r+2, 0, 1, …, 0) …………………………………………………. An = (-d’1,n, -d’2,n, … , -d’r,n, 0, 0, …, 1)
Ejercicio 2. Demuestra que las Ai son linealmente independientes, i.e., dada una combinación lineal de las Ai, i = r+1, … , n, que es igual a 0, i.e., 0 = xr+1 Ar+1+xr+1 Ar+1+…+ xn An ∙
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∙
Entonces xr+1 = … = xn = 0.
1. Sustituye las coordenadas de las A i en xr+1 Ar+1+xr+1 Ar+1+…+ xn An ∙
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∙
2. Iguala las coordenadas correspondientes de 0 con las del vector que resulta de la sustitución anterior. Empezando con X = (x 1, …, xn) ε N, i.e. tal que X es solución del sistema homogéneo a11 x1 + a12 x2 + …+
a1n xn = 0
a21 x1 + a22 x2 + …+
a2n xn = 0
…….……………………………... am1 x1 + am2 x2 + …+ amn xn = 0
Obtuvimos que: n
n
n
X = (- d’1,jx j,- d’2,jx j, … ,- d’r,jx j, xr+1, …, xn)Ar+1 = (-d’1,r+1, -d’2,r+1, … , -d’r,r+1, 1, 0, …, 0) jr 1
Vimos que
jr 1
jr 1
Actividad 2. Espacios Ar+1 = (-d’1,r+1, -d’2,r+1, … , -d’r,r+1, 1, 0, …, 0) Ar+2 = (-d’1,r+2, -d’2,r+2, … , -d’r,r+2, 0, 1, …, 0) …………………………………………………. An = (-d’1,n, -d’2,n, … , -d’r,n, 0, 0, …, 1)
Forman una base de N. Por lo tanto, todo vector de N debe ser combinación lineal de la A i. Ejercicio 3. Comprueba que una solución arbitraria es combinación lineal de las A i: siguiendo los pasos 1 y 2. X = xr+1 Ar+1 + xr+1 Ar+1 + … + x n An ∙
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∙
1. Sustituye las coordenadas de las A i en xr+1 Ar+1+xr+1 Ar+1+…+ xn An ∙
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2. Compara las coordenadas de X con las del vector que resulta de la sustitución anterior.
