Actividad 2. Subespacios, independencia y dependencia lineal, bases y dimensión Para realizar la actividad revisa los contenidos del material de la Unidad 3 de la asignatura.
El sistema homogéneo de m ecuaciones con n incógnitas donde todos los coeficientes son cero es el sistema trivial de ecuaciones.
0x1 + 0x2 + … + 0xn = 0 0x1 + 0x2 + … + 0xn = 0 ………………………… 0x1 + 0x2 + … + 0x 0 xn = 0
¿Cuál es el espacio de soluciones de este sistema? El espacio nulo del sistema de ecuaciones homogéneas Consideremos el subconjunto N de Rn, que consiste de todos los n-tuplos (x1, x2, …, xn) donde las componentes son una solución del sistema. a11 x1 + a12 x2 + …+
a1n xn = 0
a21 x1 + a22 x2 + …+
a2n xn = 0
…………………………………… am1 x1 + am2 x2 + …+ amn xn = 0
El subconjunto N no es vacío puesto que 0 = (0, 0, … , 0) está en N, i.e., x i = 0, i = 1, … ,n es claramente una solución del sistema. Las propiedades que satisfacen satisfacen todos los elementos de Rn, permiten demostrar fácilmente que N satisface las propiedades de cerradura, i.e., si x, y están en N y r es un número real, entonces, x + y, r x están en N. ∙
Por lo tanto N, con la suma y multiplicación escalar, es un espacio vectorial, llamado el espacio nulo del sistemas de ecuaciones homogéneas. Como ejemplo demostramos a k1(rx1) + ak2(rx2) + … + akn(rxn) = 0, para k = 1, 2 …, m. Tenemos, por las propiedades de los números reales que akl(r x1) = r(aklx1), l = 1, 2, … , n. Así que ∙
r(aklx1) + r(aklx2) + … + r(aklxn) = r(ak1x1 + ak22 + … + aknxn) = r0 = 0.
Ejercicio 1. Demuestra que: Si x, y están en N x + y está en N. El subespacio L(V, W) de transformaciones lineales de F(V, W) El subconjunto del espacio vectorial F(V, W) que consiste de todas las transformaciones lineales T: V W es un subespacio. Como se mencionó anteriormente, basta mostrar las propiedades de →
cerradura, i.e., que la suma de dos transformaciones lineales es una transformación lineal y que el producto escalar de un real por una transformación lineal es una transformación lineal. La demostración es una consecuencia directa de las definiciones y propiedades de espacios vectoriales y transformaciones lineales. Ejercicio 2. En la demostración que sigue justifique cada paso con la propiedad usada. (S + T)(a x + b y) = S(a x + b y) + T(a x + b y) ∙
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Por definición de suma de funciones
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= a S(x) + b S(y) + a T(x) + b T(y)
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= a S(x) + a T(x) + b S(y) + b T(y)
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= a (S(x) + T(x)) + b (S(x) + T(x))
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= a (S + T)(x) + b (S + T)(x)
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El subespacio generado por combinaciones lineales de conjunto de vectores Una combinación lineal de A1, A2, … , A n es un vector de la forma: a1 A1 + a2 A2 + … + a n An con a1, a2 , … , an escalares, i.e. números reales. ∙
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El subconjunto, denotado por [A1, A2, … , An], de todas las combinaciones lineales de A1, A2, … , An es un subespacio vectorial de V. Ejercicio 3. Demuestra que: La suma de dos combinaciones lineales es una combinación lineal y que multiplicar una combinación lineal por un escalar resulta en una combinación lineal. Ejercicio 4. Combinaciones lineales Si A = c1 A1 + c2 A2 + … + cn An, y B = b A + b1 A1 + b2 A2 + … + bn An entonces B se reduce a ∙
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una combinación lineal de las A i. Sustituyendo la A como combinación de las Ai en la B computa a la B como combinación lineal con solo las A i.
Teorema 5 Todo espacio vectorial V de dimensión finita n es isomorfo a Rn. Demostración. Este resultado es una consecuencia directa del teorema anterior.
Podemos definir una
transformación lineal T: V Rn como sigue: →
Puesto que dimV = n, podemos tomar una base A = {A 1, … , A n}. Todo vector A V se puede escribir en forma única como una combinación lineal de las Ai A = a1 A1 + a2 A2 + … + an An ∙
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La transformación lineal asocia al vector A sus coordenadas: T(A) = (a1, a2, … ,an) Ejercicio 5. Demuestra que T es realmente una transformación lineal. Esto es una consecuencia directa de la observación que las coordenadas de la suma de dos vectores se obtienen como la suma de las coordenadas y las coordenadas del producto de un vector por un escalar se obtienen como el producto de las coordenadas por el escalar. Ejercicio 6. Demuestra que T es biyectiva, i.e., a. Primero, hay que ver que T es inyectiva: Si T(A) = T(A’) entonces A = A’ b. Segundo, hay que ver que T es suprayectiva: para todo vector (a 1, a2, … ,a n), existe A V tal que T(A) = (a1, a2, … ,an).
