UNIDAD UNO: TEORÍA DE CONJUNTOS

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA Formatos de autoevaluación y coevaluación

UNIDAD UNO: TEORÍA DE CONJUNTOS PROCESO OPERATIVO Y PROPOSITIVO DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS

PENSAMIENTO LOGICO Y MATEMATICO 200611A_223

BERNAL ARENAS DANIEL EDUARDO JAIR ROBERTO RIBERO ESLEIDY YUMARI CARRILLO CAROLINA GUERRERO LUIS EDUARDO ANGARITA ESTUDIANTE OSCAR JHONNY GOMEZ DIRECTOR

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA TECNOLOGÍA EN GESTIÓN INDUSTRIAL Junio de 2015

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INTRODUCCIÓN En esta actividad sobre teoría de conjuntos elementos y propiedades y operaciones con conjuntos lo que se busca es que nosotros como estudiantes comprendamos y apliquemos adecuadamente los elementos de la teoría general de conjuntos en el estudio y análisis del todo el contenido programado en esta unidad y dinamizarle proceso de aprendizaje en situaciones especificas donde es pertinente dar aplicabilidad a todo lo que aprendamos, de igual manera, aprender a utilizar los conceptos de propiedades analíticas y gráficas y las operaciones de conjuntos para dar una adecuada solución a estos problemas que se plantean, poder así argumentar la estructura de planteamiento del problema y la resolución de cada situaciones la Segunda Fase se realizó un consolidado grupal en donde vamos a desarrollar tres problemas que se plantearon mediante pasos consecutivos que se llevaron a cabo con base a los aportes que realizo cada uno delos integrantes del grupo en los cuales mediante conceptos y diagramas se les dio una adecuada interpretaciones enunciado y una solución a las propiedades analíticas, gráficas y las operaciones de conjuntos Rama de las matemáticas a las que el matemático Ferdinand Ludwing Philipp Cantor es el padre de la Teoría de Conjuntos, dio su primer tratamiento formal en1870. El concepto de conjunto es uno de los más fundamentales en matemáticas, incluso más que la operación de contar, pues se puede encontrar implícita o explícitamente, en todas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas. En su forma explícita, los principios y terminología de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y precisas y para explicar conceptos abstractos como el infinito. En el año 1874, apareció el primer trabajo revolucionario de Cantor sobre la Teoría de conjuntos.


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OBJETIVOS Con esta actividad se busca que el estudiante comprenda y aplique adecuadamente los elementos de la Teoría General de Conjuntos en el estudio y análisis de situaciones problemas específicos donde es pertinente la aplicabilidad de propiedades y operaciones, de acuerdo a las fuentes documentales referenciadas para dinamizar el proceso de aprendizaje. Identificar así mismo los diferentes tipos de falacias y determinar ejemplos aplicados la vida cotidiana.


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RESUELVE 1. Fase individual A continuación se plantean cinco problemas de la temática de Teoría de Conjuntos, de manera que cada uno de los estudiantes del grupo colaborativo escogerá uno de ellos para plantear su proceso y resolverlo para llegar a la solución buscada; el estudiante deberá publicar en el Foro de Interacción y Producción el problema seleccionado con el fin de evitar que otro compañero seleccione el mismo problema, es decir en esta Fase Individual cada estudiante resolverá un problema diferente. Es necesario que utilicen los conceptos, las operaciones, propiedades analíticas y gráficas de los conjuntos lo que permite dar una adecuada interpretación al enunciado. Así se puede argumentar la estructura, planteamiento del problema y la resolución de cada situación. 1.1.

Primer Aporte Individual:

Socializar la conceptualización y algunos ejemplos de alguna de las operaciones entre conjuntos, las operaciones son:     

Unión entre conjuntos. Intersección de conjuntos. Complemento de un conjunto. Diferencia de conjuntos. Diferencia Simétrica de conjuntos.

UNIÓN ENTRE CONJUNTOS La Unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A, al conjunto B o a ambos conjuntos. El símbolo de la Unión es "U" y se lee unión o reunión. Simbólicamente se escribe así: AUB La unión de conjuntos se puede escribir también como A+B y se llama suma de conjuntos. Para la solución de problemas es recomendable el diagrama de Ven Ejemplo: Hallar AUB, si: A:{1, 2, 3} y B:{3, 4, 5, 6} Solución AUB:{ 1, 2, 3, 4, 5, 6} En la Unión de conjuntos no se repiten los elementos que pertenecen a ambos conjuntos, en este caso el 4. PROPIEDADES DE LA UNION DE CONJUNTOS 1. La Unión de conjuntos es conmutativa: Es decir el orden de los conjuntos no altera la Unión. AUB = BUA


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2. La Unión de conjuntos es asociativa: Si son más de dos conjuntos los que se unen, pueden asociarse de manera libre, ejemplo: (AUB) U C = A U (BUC) Al resolver una asociación de conjuntos es recomendable operar primero, con el conjunto que está entre paréntesis INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS La intersección de A y B es otro conjunto A ∩ B que contiene sólo los elementos que pertenecen tanto a A como a B. En teoría de conjuntos, la intersección de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto que contiene los elementos comunes a los conjuntos de partida. Por ejemplo, dado el conjunto de los números pares P y el conjunto de los cuadrados C de números naturales, su intersección es el conjunto de los cuadrados pares D: En otras palabras: Así, por ejemplo, si A = { a, b, c, d, e} y B = { a, e, i, o}, entonces la intersección de dichos conjuntos estará formada por todos los elementos que estén a la vez en los dos conjuntos, esto es: A B = { a, e} La intersección de conjuntos se denota por el símbolo ∩ por lo que D = P ∩ C. Dados dos conjuntos A y B, su intersección es otro conjunto que contiene los elementos que pertenecen a ambos conjuntos: La intersección de dos conjuntos A y B es otro conjunto A ∩ B cuyos elementos son los elementos comunes aA y B : Ejemplo. Sean A = {5, λ, ♠, c} y B = {ω, c, 0, Δ, 5, R}. Entonces la intersección es A ∩ B = {5, c}. Sean los conjuntos de números naturales C = {n: n es una potencia de 2} y D = {n: n es un cubo}. Su intersección es C ∩ D = {n: n es una potencia de 2 y un cubo} = {n: n es una potencia de 2 cuyo exponente es múltiplo de 3} = {8, 64, 512, ...}. Sean los conjuntos de números pares e impares. Su intersección es el conjunto vacío ∅, ya que no existe ningún número natural que sea par e impar a la vez. Cuando la intersección de dos conjuntos es vacía, se dice que son disjuntos: Dos conjuntos A y B se dicen disjuntos si su intersección es el conjunto vacío: GENERALIZACIONES La intersección de un número finito de conjuntos, superior a dos, se define teniendo en cuenta que, debido a la propiedad asociativa (más abajo), el orden en el que se intersequen los conjuntos es irrelevante: La definición más general en teoría de conjuntos se refiere a una familia de conjuntos, un conjunto cuyos elementos son conjuntos a su vez:


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Sea M una familia de conjuntos. Su intersección ∩M se define como: De este modo, la intersección de un número finito de conjuntos es sólo un caso particular de esta definición general: A ∩ B = ∩M, donde M = {A, B} A1 ∩ ... ∩ An = ∩M, donde M = {A1, ..., An} La intersección general de conjuntos se denota de diversas maneras: Donde esta última se aplica en el caso de que utilicemos un conjunto índice, definiendo M como {Ai: i ∈ I}. COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO El complemento o el conjunto complementario de un conjunto dado es otro conju nto que contiene todos los elementos que no están en el conjunto original. Para poder definirlo es necesario especificar qué tipo de elementos se están utilizando, o de otro modo, cuál es el conjunto universal. Por ejemplo, si se habla de números naturales, el complementario del conjunto de los números primos P es el conjunto de los números no primos C, que está formado por los números compuestos y el 1: P={2,3,5,7,…} C={1,4,6,8,9,…} A su vez, el conjunto C es el complementario de P. El conjunto complementario se denota por una barra horizontal o por el superíndice«∁», por lo que se tiene: P∁ = C, y también C(ralla arriba) = P. El conjunto complementario de A es la diferencia (o complementario relativo) entre el conjunto universal y A, por lo que ambas operaciones (complementario y diferencia) tienen propiedades similares. El conjunto complementario de A es la diferencia (o complementario relativo) entre el conjunto universal y A, por lo que ambas operaciones (complementario y diferencia) tienen propiedades similares. Dado un conjunto A, su complementario es el conjunto formado por los elementos que no pertenecen a A:

Esta definición presupone que se ha especificado un conjunto universal U, pues de otro modo, en la afirmación «todos los x que no están en A», la palabra «todos» es ambigua. Si se menciona explícitamente el conjunto universal U, entonces el complementario de A es el conjunto de todos los elementos de U que no están en A, por lo que la relación con la diferencia es clara


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Por otro lado, considerando un conjunto universal, la diferencia entre dos conjuntos puede expresarse utilizando la noción de complementariedad:

Ejemplo. El complementario del conjunto de todos los hombres es el conjunto de todas las mujeres (hablando de personas). Hablando de números naturales, el complementario del conjunto {1, 5, 6, 7, 8, 10} es el conjunto {2, 3, 4, 9, 11, 12, ...}. El complementario del conjunto A en la imagen es la zona sombreada de azul (el conjunto universal U es toda el área del rectángulo) PROPIEDADES Puesto que el conjunto universal contiene todos los elementos en consideración, y el conjunto vacío no contiene a ninguno, se tiene lo siguiente:

Puesto que la noción de complementariedad está relacionada la negación en lógica, la primera posee propiedades similares a la segunda:

con

Existen también unas relaciones entre las operaciones de unión e intersección a través del complemento:

DIFERENCIA DE CONJUNTOS Se denomina diferencia de A y B (en ese orden), y se representa A-B, al conjunto formado por todos los elementos de A que no son elementos de B. Complemento de un conjunto: Dado un conjunto de referencia, toda vez que una cierta propiedad determina un subconjunto, formado por los elementos que la verifican, determina al mismo


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tiempo otro subconjunto, que es el de los elementos que no la verifican. A este subconjunto se le llama complemento del primero, respecto del conjunto de referencia. Por ejemplo, si tomamos como referencia el conjunto de todos los animales, y dentro de él llamamos M al conjunto de los mamíferos, veremos que automáticamente queda configurado otro conjunto, al que llamaremos N, de los animales no mamíferos. Diremos que N es complemento de M, y la notación será: N = M’ o también N = M Al conjunto de referencia lo llamaremos referencial, designándolo con la letra griega omega (Ω), o también universal, como ya vimos. Llamaremos complemento de un conjunto A respecto de un referencial Ω, al conjunto de todos los elementos de Ω que no pertenece a A. Es decir: A’ = Ω - A Ya vimos en la definición de diferencia, esto mismo se podría escribir: ∈Ω ∧ x∉A} O directamente, si el referencial está sobreentendido: ∉A} Propiedades del complemento: Las siguientes propiedades están, todas ellas, basadas en la definición de complemento. Queda su demostración, entonces, a cargo del estudiante. Propiedad 1 Propiedad 2 Propiedad 3 Propiedad 4 Propiedad 5

A’ ∩ A = ∅ (A’)’ = A (∅)’ = Ω Ω’ = ∅ A∪A’ = Ω

Los teoremas de importancia: Si un conjunto A está contenido en B, el complemento de B está contenido en el complemento de A. Quedo atenta a sus comentarios. DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS En teoría de conjuntos, la diferencia simétrica de dos conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto cuyos elementos son aquellos que pertenecen a alguno de los conjuntos iniciales, sin pertenecer a ambos a la vez. Por ejemplo, la diferencia simétrica del conjunto de los números pares P y el conjunto de los cuadrados perfectos C es un conjunto D que contiene los cuadrados impares y los pares no cuadrados:

La diferencia simétrica de conjuntos se denota por Δ, por lo que P Δ C = D.


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Diferencia simétrica de dos conjuntos A y B. Dados dos conjuntos A y B, su diferencia simétrica, A Δ B, es un conjunto que contiene los elementos de A y los de B, excepto los que son comunes a ambos: La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es otro conjunto A Δ B cuyos elementos son todos los elementos deA o B, a excepción de los elementos comunes a ambos: si y sólo si, o bien

o bien

Ejemplo. Sean A = {a, ♠, 5, Z} y B = {8, #, a, Γ, ♠}. La diferencia simétrica es A Δ B = {5, Γ, #, Z, 8}. Sean los conjuntos de polígonos T = {pentágonos} y R = {polígonos regulares}. La diferencia simétrica contiene los polígonos regulares y pentágonos que no sean ambas cosas a la vez, o sea: R Δ T = {Pentágonos irregulares y polígonos regulares que no posean 5 lados}. La definición de la diferencia simétrica puede reducirse fácilmente a las operaciones de unión, intersección y diferencia:

Generalizaciones La diferencia simétrica es conmutativa y asociativa por lo que al tomar la diferencia simétrica de más de dos conjuntos, el orden en el que se realizan las operaciones es irrelevante (ver más abajo). Así es que se puede definir la diferencia simétria de una familia de conjuntos finita:

Puede comprobarse que una definición alternativa para esta diferencia de varios conjuntos es incluir sólo los elementos que aparecen un número impar de veces:

Propiedades[editar] Artículo principal: Álgebra de conjuntos


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De la definición de diferencia simétrica puede deducirse directamente: Nilpotencia. La diferencia simétrica de un conjunto consigo mismo es el conjunto vacío:

La diferencia simétrica de un conjunto y uno de sus subconjuntos es la diferencia entre ellos:

La diferencia simétrica tiene propiedades semejantes a las operaciones con números: Propiedad asociativa. La diferencia simétrica de los conjuntos A y B Δ C es igual que la diferencia simétrica de los conjuntos A Δ B y C :

Propiedad conmutativa. La diferencia simétrica de los conjuntos A y B es igual a la diferencia simétrica de los conjuntos B y A :

Elemento neutro. La diferencia simétrica de un conjunto A con el conjunto vacío es el mismo conjunto A:

Además, con respecto a la intersección existe una ley distributiva: Propiedad distributiva

Las propiedades de la intersección y la diferencia simétrica son similares a las del producto y la suma en Z2. Esto implica que el conjunto potencia de un conjunto dado X tiene estructura de anillo considerando estas dos operaciones. Este anillo se corresponde (es isomorfo) al anillo de las funciones de X con valores en Z2, con la suma y producto punto a punto. La correspondencia asigna a cada subconjunto de X su función característica. Segundo Aporte Individual: Planteamiento y resolución (utilizando las operaciones necesarias y la representación a través del Diagrama de Venn) de uno de los siguientes problemas de Teoría de Conjuntos (sólo selecciona uno e informa en el foro el seleccionado para que no sea escogido por otro integrante): 1. Al analizar la preferencia educativa en 500 estudiantes de la UNAD respecto a matricularse en el periodo académico de 16 semanas o en el período académico de 8 semanas se generaron los siguientes datos: 138 personas preferían el periodo de 16 semanas pero no el de 8 semanas. 206 personas evidenciaron la facilidad de matricular en ambos periodos académicos. 44 personas no mostraron empatía con estos periodos académicos, manifestaron que sería bueno aprender por cursos y no por periodos. De acuerdo a la información dada:


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a. ¿Cuántos estudiantes en total se inclinan por el periodo de 16 semanas? b. ¿Cuántos estudiantes prefieren matricularse en el periodo académico de 8 semanas? c. ¿Cuántos estudiantes prefieren el periodo de 8 semanas pero no el de 16 semanas? d. ¿Cuántos estudiantes evidenciaron matricularse por lo menos en uno de los dos periodos académicos?

a. ¿Cuántos estudiantes en total se inclinan por el periodo de 16 semanas? Para el periodo de 16 semanas se inclinaron 344 estudiantes 138+206=344 b. ¿Cuántos estudiantes prefieren matricularse en el periodo académico de 8 semanas? Para el periodo académico de 8 semanas prefieren matricularse 318 206+112=318 c. ¿Cuántos estudiantes prefieren el periodo de 8 semanas pero no el de 16 semanas? Prefieren el periodo de 8 semanas 112 estudiantes. 206+138+44=388

500-388=112

d. ¿Cuántos estudiantes evidenciaron matricularse por lo menos en uno de los dos periodos académicos? 456 estudiantes evidenciaron matricularse en cualquiera de los dos periodos académicos. 138+206+112=456. 2. En el CCAV Eje Cafetero hay un cierto número de estudiantes que se matricularon en el primer periodo intersemestral de este año 2015, para lo cual debemos de determinar dicho número. Se sabe que cada uno de los estudiantes matriculados en dicho centro estudia, al menos, uno de los tres siguientes cursos: Pensamiento Lógico y Matemático (PLM), Catedra Unadista (CU), Herramientas Teleinformática (HT). Pues bien, al verificar en Registro y control la base de datos se obtuvo la siguiente información:


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Pensamiento Lógico y Matemático 48 matricularon; 45 se matricularon en Catedra Unadista; en Herramientas Teleinformáticas 49 estudiantes figuran matriculados; 28 matricularon simultáneamente PLM y CU; 26 matricularon de manera conjunta PLM y HT; los cursos de Catedra Unadista y Herramientas Teleinformáticas poseen 28 estudiantes matriculados simultáneamente; los tres cursos fueron matriculados a la vez por 18 estudiantes. Se pregunta:  ¿Cuántos estudiantes ingresaron al CCAV Eje Cafetero para el primer intersemestral de este año 2015?  ¿Cuántos estudian Pensamiento Lógico y Matemático junto con Catedra Unadista, pero no Herramientas Teleinformáticas? ¿Cuántos estudian únicamente Herramientas Teleinformáticas? Pensamiento Lógico y Matemático = (PLM) = A Catedra Unadista = (CU) = B Herramientas Teleinformática = (HT) = C A = 48 B = 45 C = 49 A + B = M =28 A + C = N =26 B + C = O =28 A + B + C = X =18

3. Un conjunto formado por 250 personas presentó una prueba formada por tres preguntas. Luego de la corrección, se obtuvieron los siguientes resultados: 27 respondieron correctamente las tres preguntas, 31 respondieron correctamente sólo la primera y la segunda pregunta, 32 respondieron correctamente sólo la primera y la tercera pregunta, 15 respondieron correctamente sólo la segunda y la tercera pregunta, 134 respondieron correctamente la pregunta 1, 87 respondieron correctamente la segunda pregunta y 129 respondieron correctamente la pregunta tres. Con la ayuda del diagrama de Venn calcule el número de personas que no respondió correctamente ninguna pregunta. Este problema presenta un problema ya que el número de muestras supera el tamaño de la muestra.


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4. A continuación se presenta un gráfico obtenido al analizar los estudiantes del año pasado que presentaron la prueba nacional en Tema A, B y C que reprobaron dicha prueba y fue necesario que habilitaran el curso. El Diagrama de Venn es el siguiente:

Con relación a dichos datos se desea conocer: a. Número de estudiantes que habilitaron: 64 estudiantes habilitaron b. Número de estudiantes que presentaron tema B y C: Fueron 5 estudiantes c. Número de estudiantes que presentaron o el Tema B, o Tema A o Tema C: Tema A 13 estudiantes, tema B 27 estudiantes, tema C 7 estudiantes. d. Número de estudiantes que presentaron Tema A y B: Fueron 4 estudiantes e. Número de estudiantes que sólo presentaron Tema A: Fueron 13 estudiantes f. Número de estudiantes que presentaron los tres Temas de Evaluación: Fueron 3 estudiantes. g. Número de estudiantes que presentaron Tema c pero no el Tema B: Fueron 12 estudiantes. 5. En el Instituto INVIL de la Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD, hay 14 estudiantes que siguen al mismo tiempo los cursos de francés e inglés, hay 16 que estudian francés, 27 que estudian inglés y 7 no estudian idiomas. Halle el número de estudiantes que estudian en el instituto. Sugerencia: Represente los conjuntos en un diagrama de Venn.

I – F = 14 F = 16 I = 27 NE = 7 Total Instituto = 64


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FASE GRUPAL La segunda fase corresponde a la producción intelectual que como grupo lleguen a consolidar. La Fase Grupal está comprendida en dos momentos: El primer momento consiste en la participación significativa de cada integrante en el E-Portafolio del Curso. Para este aporte, cada estudiante escogerá una de las siguientes propiedades de las operaciones entre conjuntos (publicará en el Foro de Interacción y Producción la propiedad seleccionada para evitar que otro integrante la seleccione) y evidenciará en el E-Portafolio la demostración o un ejemplo. Las propiedades son: Leyes de Idempotencia. Leyes Asociativas. Leyes Conmutativas. Leyes distributivas. Leyes de D´Morgan.

EL SEGUNDO MOMENTO DE LA FASE GRUPAL consiste en entregar un documento en PDF, en el cual, como grupo realicen el planteamiento y la solución del siguiente problema de Teoría de Conjuntos: En un estudio realizado en 24 municipios de Colombia por los aprendientes de la UNAD de la escuela de agrarias encontraron los siguientes datos, 20 especies de serpientes arbóreas, 24 especies de serpientes son terrestres, 24 especies de serpientes son de agua, 19 especies de serpientes son venenosas, además


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algunas especies de serpientes presentan algunas de las siguientes características: 6 especies arbóreas también terrestres, 10 especies que son acuáticas también son arbóreas, 4 especies arbóreas son terrestres y también son acuáticas, 9 especies de las serpientes terrestres también son acuáticas, 3 especies que son terrestres también son acuáticas y son venenosas, 6 especies terrestres son también son venenosas, 8 especies de serpientes que son acuáticas también son venenosas ¿Cuántas especies estudiaron los Herpetólogos?

20 especies de serpientes arbóreas, A 24 especies de serpientes son terrestres, B 24 especies de serpientes son de agua, C 19 especies de serpientes son venenosas, D 6 especies arbóreas también terrestres, 10 especies que son acuáticas también son arbóreas, 4 especies arbóreas son terrestres y también son acuáticas, 9 especies de las serpientes terrestres también son acuáticas, 3 especies que son terrestres también son acuáticas y son venenosas, 6 especies terrestres son también son venenosas, 8 especies de serpientes que son acuáticas también son venenosas

(U)=? (A)=20 (B)=24 (C)=24 (D)=19 (A∩B)=6 (C∩A)=10 (A∩B∩C)=4 (B∩C)=9 (B∩C∩D)=3 (B∩D)=6 (C∩D)=8 Obtención de conjuntos particular: les restamos la intercesión donde intervienen para saber la cantidad que hay en realidad. (A+B+C+D)=(A)+(B)+(C)+(D)-(A∩B)


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(A+B+C+D)=20+24+24+19-6-10-9-6-8+4+3 (A+B+C+D)= 55 ¿Cuántas especies estudiaron los Herpetólogos? RTA/= Los herpetólogos estudiaron un total de 55 especies Al momento de relacionar más de tres conjuntos en el diagrama de ven se evidencia que en el ejercicio o problema no se pudo expresar gráficamente ya que por la forma geométrica se dificulto por lo tanto se quedó una expresión por fuera pero en el resultado teniendo en cuenta las operaciones realizadas se obtiene el resultado a la pregunta del problema


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CONCLUSIÓN Con este trabajo hemos aprendido muchas cosas en las que algunos de nosotros no teníamos conocimientos sobre estos temas y ha sido de gran importancia para nuestra vida, en esta etapa del desarrollo del conocimiento sobre estas teorías de conjuntos, gracias al estudio y al análisis de las temáticas dadas por la universidad y fuentes documentales referenciadas e investigadas y son estos conocimientos lo que nos ayuda a ir creciendo poco a poco, paso a paso lo que nos va llevando día a día a ser cada vez mejores personas, mejores profesionales para `prestar un servicio oportuno y adecuado a una sociedad que cada día exige más.

UNIDAD UNO: TEORÍA DE CONJUNTOS

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