Unde_electromagnetice1

UNDE ELECTROMAGNETICE ELECTROMAGNETICE

141

2.UNDE ELECTROMAGNETICE 2.1. Scurt istoric In cartea "Electricitatea şi magnetismul", publicată în 1873, James Clerk Maxwell a prevăzut – drept consecinţă a ecuaţiilor de câmp – posibilitatea de a

genera / detecta unde electromagnetice. Ulterior, în anul 1883, George Francis Fitzgerald a observat că teoria Maxwell sugerează faptul că acest tip de unde poate fi obţinut prin modificări (variaţii) ale curentului electric. In anul 1887 Heinrich Hertz a produs şi – ulterior – a detectat primele unde radio (numite iniţial, din această cauză, unde her ţ iene iene ; ulterior undele electromagnetice având lungimi de undă "lungi" au fost rebotezate de către Marconi unde radiotelegrafice). Experimentele efectuate de Hertz (un genial experimentator) s-au bazat pe două dispozitive, la construcţia cărora a depus o muncă titanică. Primul dispozitiv este – ceea ce numim astăzi – eclatorul lui Hertz , a cărui structur ă poate fi urmărită în figura 2.1.

Figura 2.1

Bobina de inductie Ruhmkorff a. Eclatorul lui Hertz

b. Rezonatorul lui Hertz

Bobina de inducţie Ruhmkorff avea proprietatea de a induce în secundar o tensiune înaltă care – ajunsă la nivelul sferelor mici – producea o descărcare electrică şi (probabil) genera oscilaţii electromagnetice de înaltă frecvenţă (de ordinul 50 MHz). Existenţa acestor unde electromagnetice trebuia evidenţiată experimental, drept pentru care cel de-al doilea dispozitiv inventat de Hertz a fost rezonatorul care-i poartă numele. Rezonatorul lui Hertz (pe post de receptor) a fost amplasat în apropierea eclatorului. Experimentele care au stabilit geometria optimă a acestuia (adaptată frecvenţei undelor generate) au durat nouă ani. Ceea ce s-a obţinut – în primă fază – a fost observarea unor mici scântei între cele două sfere ale rezonatorului. Concluzia a fost că – între cele două dispozitive – s-a transmis ceva. Rezultatele obţinute au fost prezentate sub titlul "Despre fenomene de induc ţ ie ie provocate cu ajutorul unor procese electrice în izolan ţ i" i" într-o sesiune

142

ISTORIC. ECUAŢIA DE PROPAGARE A UNDELOR ELECTROMAGNETICE ŞI SOLUŢII ALE ACESTEIA

de comunicări a Academiei din Berlin (10 mai 1887). Ulterior Hertz a studiat maniera în care distanţa dintre cele două dispozitive influenţează efectele obţinute, apoi a efectuat experimente în urma cărora a demonstrat că undele electromagnetice au într-adevăr – aşa cum afirmase Maxwell – toate proprietăţile specifice luminii. Următorul moment semnificativ a fost anul 1897, când fizicianul rus Aleksandr Stepanovici Popov a construit prima antenă utilizată pentru a transmite unde radio la o distanţă de 5 km. Tot el, cu un an mai devreme, reuşise să transmită şi să recepţioneze (la o distanţă de 250 m) primul mesaj transmis în eter ; acesta, scris în alfabet Morse, era constituit din două cuvinte : "Heinrich Hertz" (ca un semn de omagiu la adresa acestuia). Anul 1901 este anul în care fizicianul german Ferdinand Braun foloseşte pentru prima oar ă – pentru recepţia undelor radio – un detector cu cristale (tot el este considerat inventatorul oscilografului catodic / părintele osciloscopului / în anul 1897). In acelaşi an Guglielmo Marconi realizează prima transmisie transatlantică (litera "S" în codul Morse) între Anglia şi Canada. Tot el, experimentând diferite tipuri de antene, a inventat (în 1905) antena radio orizontală direcţională. In anul 1909 Marconi şi Braun au primit premiul Nobel în fizică pentru inventarea telegrafiei f ăr ă fir. Anul 1901 consemnează şi numele lui Piotr Nikolaevici Lebedev care (independent de E.F. Nichols şi G.F. Hull) măsoar ă presiunea radiantă a luminii (dovedind că această mărime există !). Revenind puţin în timp, trebuie menţionate realizările din domeniul telegrafiei şi telefoniei cu fir. Astfel, în anul 1884 s-a realizat prima reţea de telefonie între oraşele Boston şi New York (folosindu-se proprietăţile tuburilor catodice (primitive) de a prelucra semnale de înaltă frecvenţă. In perioada 1884 – 1891 se afirmă şi inginerul croato – american Nikola Tesla care inventează alternatorul electric, apoi bobina ce-i poartă numele (şi care produce tensiuni ridicate la frecvenţe înalte). Tesla este inventatorul motorului asincron şi "părintele" curentului alternativ, a cărui utilitate a fost demonstrată în 1893 când, împreună cu George Westinghouse, a realizat prima instalaţie de iluminat (la Expoziţia Universală din Chicago, U.S.A). 1904 este anul în care John Ambrose Fleming inventează dioda cu vid. In 1906 fizicianul canadiano – america Reginald Aubrey Fessenden a inventat aparatul de radio cu modulaţie în amplitudine, realizând prima transmisie de voci şi muzică în eter. In 1913 A. Meissner a pus la punct un radioreceptor cu heterodină şi un emiţător de unde radio dotat cu tuburi electronice cu vid. In 1914 se inventează trioda. Anul 1915 este reţinut (în istoria fizicii şi tehnologiei) drept anul în care s-a realizat prima convorbire radiotelefonică transatlantică între oraşele Arlington (Virginia) şi Paris (turnul Eiffel). Tot atunci s-a consemnat prima convorbire telefonică trasatlantică între Alexander Graham Bell (aflat la New York) şi

UNDE ELECTROMAGNETICE

143

Thomas A. Watson (la San Francisco). Deşi contestat, Bell a fost recunoscut – în

cele din urmă – drept inventatorul telefonului (1876). 1918 este anul în care se pune la punct primul oscilator radio cu cristale iar Edwin H. Armstrong construieşte receptorul radio cu superheterodină. Urmează – în 1919 – construcţia unui receptor în gama de frecvenţe scurte – şi (în 1920) apariţia primului post de radio licenţiat, cu transmisiuni regulate. Perioada 1920 – 1940 corespunde intervalului de timp în care reţeaua de emisie radio s-a extins în toată lumea civilizată. Ca momente semnificative şi oarecum complementare, trebuie menţionate : - inventarea primului tub electronic ce generează microunde (magnetron) de către Albert W. Hull (1821) ; - realizarea primei celule fotoelectrice (1923) ; - începuturile televiziunii : în 1924 fizicianul american (de origine rusă) Vladimir Kosma Zworykin inventează iconoscopul (prima camer ă de televiziune) şi obţine primul brevet pentru un sistem de televiziune color ; - perfecţionarea dispozitivelor şi aparaturii : construirea pentodei (în 1927) şi apariţia radioului cu gama de frecvenţe medii (în 1929). Se consider ă că perioada 1940 – 1950 corespunde extinderii reţelei de televiziune la nivel planetar. Ce a urmat ? Ceea ce constatăm astăzi la fiecare pas : tehnologia indispensabilă f ăr ă de care mulţi dintre noi nu ar mai putea tr ăi ! (.. şi când te gânde şti că totul a început cu un sistem de ecua ţ ii, cu o predic ţ ie, cu experimente "primitive", cu intui ţ ie, cu geniu şi cu enorm de mult efort !)

2.2. Spectrul electromagnetic

Prin definiţie radiaţia electromagnetică constă în emisia de unde electromagnetice - care permit transmisia informaţiei, respectiv a energiei, la distanţă. Totalitatea frecvenţelor (lungimilor de undă) posibile pentru unda electromagnetică constituie spectrul electromagnetic. După cum se observă în tabelul I, un subdomeniu al undelor electromagnetice este ocupat de aşa - numitele "radiaţii vizibile". In fapt este vorba despre lumină. Deoarece în istoria fizicii optica (studiul fenomenelor legate de lumină) a ocupat multă vreme - un loc separat, ea fiind indisolubil legată de experimente percepute prin intermediul percepţiei vizuale1 (impresiei percepute de acel instrument 1

Anticii erau familiariza ţi cu unele fenomene optice. Astfel, înc ă din Grecia antic ă învăţaţii au constatat c ă în medii omogene transparente lumina se propag ă în linie dreapt ă (această concluzie fiind o consecin ţă direct ă a modului în care apare umbra unui obiect iluminat de către o surs ă (Soare). Primele teorii legate de sim ţul văzului porneau de la ideea c ă "razele vizuale" ar pleca din ochi, asemenea unor tentacule. Pe aceste premize Euclid, în tratatele sale

144


particular, excepţional perfecţionat de către natur ă, pe care îl reprezintă ochiul uman), vom insista puţin asupra acestui subiect. Natura fizică a luminii a preocupat mulţi fizicieni. Astfel pe la mijlocul secolului al XVII- lea experimentele cu lumină au condus la concluzii diferite privind natura acesteia. Una dintre cele două teorii vehiculate în lumea ştiinţifică îi apar ţinea lui Isaak Newton - el reuşise să separe lumina albă în culorile sale componente şi era adeptul ipotezei că lumina este formată din particule foarte mici, care se pot mişca în vid şi în substanţă, satisf ăcând legile mecanicii clasice. Această ipoteză (cunoscută drept ipoteza corpuscular ă, formulată în 1704 / în tratatul numit Opticks) justifica propagarea rectilinie a luminii şi legea reflexiei (prin conservarea de energie şi de impuls mecanic) ; legea refracţiei, în forma : v n = 2 nu era susţinută de rezultatele experimentale iar fenomenul de dispersie era v1 explicat prin ipoteza existenţei a două tipuri de particule, unele "roşii" şi altele "albastre", de mărimi diferite. Pe poziţii opuse se afla teoria ondulatorie a lui Christian Huygens, formulată în 1678 în Tratatul asupra luminii (Traité de la lumière), înaintat Academiei din Paris2 . Această teorie se baza pe recunoaşterea ipotezei eterului (ca mediu substanţial prin intermediul căruia se transmiteau interacţiunile) ; lumina era considerată drept fiind de natura unei unde mecanice longitudinale care se propagă prin eter. In ceea ce priveşte legea refracţiei, relaţia propusă de Huygens era : v n= 1 v2 Conform teoriei lui Newton, la trecerea luminii dintr-un mediu optic mai puţin dens la unul cu densitate mai mare, viteza luminii ar fi trebuit să crească ; din punctul de vedere al teoriei lui Huygens, această viteză ar fi trebuit să fie mai mică. Prin urmare, stabilirea experimentală a acestor viteze a devenit un element esenţial şterea valabilităţii unei teorii sau a alteia ("experimentum pentru recunoa crucis"/experiment crucial). Ulterior mulţi alţi fizicieni au f ăcut nenumărate experimente, încercând să aducă argumente în favoarea unei teorii sau alteia. "Optica" şi "Cataoptica", a enun ţat principiul propag ării rectilinii a luminii şi legea egalit ăţii dintre unghiul de inciden ţă şi unghiul de reflexie. Lucretius, în poemul "De rerum natura", ar ăta că lumina provine de la corpuri, iar Ptolemeu (120 e.n.) încerca - pentru prima oar ă - s ă explice legea refrac ţiei luminii (afirmând c ă unghiul de inciden ţă şi unghiul de refrac ţie sunt mărimi direct propor ţionale ; abia în anul 1630 Decartes a formulat corect aceast ă lege, stabilit ă experimental de c ătre Snellius în anul 1621). In acest context trebuie men ţionat şi faptul c ă toţi aceşti învăţaţi confecţionau şi utilizau lentile. 2 Ca o curiozitate merit ă menţionat faptul că prima persoană care a afirmat c ă lumina ar avea un caracter ondulator a fost Leonardo da Vinci ; el a corelat reflexia luminii cu ecoul (cu reflectarea undei sonore).

145

UNDE ELECTROMAGNETICE TABELUL 1.

Denumire ⎧lungi ⎪medii Unde hertziene ⎨scurte ⎪ ⎩ultrascurte Microunde

Infraroşii

Radiaţii vizibile Radiaţii ultraviolete

DOMENIUL

λ

Circuite oscilante obi şnuite (RLC)

10-3 m <λ< 1 m

ν ν < 0,3 MHz 0,3 MHz <ν<3 MHz 3 MHz <ν<30 MHz 30 MHz <ν<300 MHz 300 MHz<ν<300 GHz

780 nm<λ< 0,3 mm

1 THz<ν<385 THz

Radiaţie termică Descărcări în gaze

400 nm<λ< 780 nm

385 THz<ν<750 THz

Radiaţie termică Descărcări în gaze Fluorescen ţă

10 nm <λ< 400 nm

750 THz<ν<3⋅104 THz

>103 m 2 10 m <λ< 103 m 102 m <λ< 10 m 1 m <λ< 10 m

Fotoni X 1 pm <λ< 10 nm (Röentgen) Fotoni γ

146

UNDELOR

λ < 1 pm (10 -12 m)

ELECTROMAGNETICE

Mod de generare

Cavităţi rezonante, tuburi speciale (clistroane), etc.

20

ν > 3⋅1020 Hz

Radiolocaţie Efect termoelectric Optică în infraro şu (pe sare gema) Termografie

Optica pe sticl ă Celule fotoelectrice Fotografiere, Camere video Optica de cuar ţ sau de fluorin ă Tranziţii cuantice ale electronilor Celule fotoelectrice sau atomici periferici (de valen ţă) fotomultiplicatori

Tranziţii cuantice ale electronilor din păturile profunde ale atomilor 3⋅10 Hz<ν<3⋅10 Hz 16

Aplicatii Telefonie Radiocomunicaţii Televiziune (în ultrascurte)

Radiaţie ca urmare a unor tranzi ţii cuantice nucleare (radioactivitate)

Difracţie în cristale Contori de particule Difracţia în cristale Contori de particule


In jurul anului 1800 Thomas Young, căruia i s-a alăturat mai târziu (1817) Augustin - Jean Fresnel, au realizat experimente care studiau interferenţa luminii. Rezultatele lor erau în favoarea teoriei ondulatorii. In perioada 1820 - 1850 Dominique - Françcois Arago , Léon Foulcault şi Armand - Hippolyte Fizeau au demonstrat că viteza luminii este mai mare în aer decât în apă. Acest lucru a reprezentat o reconfirmare a teoriei ondulatorii şi a convins o mare parte din fizicieni că această teorie este cea adevărată. Totuşi, după aproximativ 100 de ani, teoria corpuscular ă a luminii a început să fie din nou acceptată. Chiar înainte ca proprietăţile luminii să fie cunoscute, fizicienii au ar ătat că lumina este rezultatul activităţii electrice în atom (cunoaşterea electricităţii începuse să devină necesar ă pentru a înţelege comportamentul şi proprietăţile luminii !). In 1800 Alessandro Volta anunţa realizarea unei baterii electrice care putea produce un curent continuu. Oamenii de ştiinţă (precum Michael Faraday) au folosit această sursă pentru descoperirea de noi fenomene (cum ar fi electroliza sau capacitatea câmpurilor electrice şi magnetice de a se genera reciproc). După cum am văzut în primul paragraf, James Clerk Maxwell şi-a publicat în 1873 teoria în care formula legile de bază ale electromagnetismului ; el sublinia coincidenţa interesantă dintre viteza de propagare a undelor electromagnetice în vid şi viteza luminii ; această observaţie, coroborată cu alte date experimentale, a condus la următoarele concluzii importante : 1. Viteza de propagare a luminii în vid este egală cu viteza de propagare a

146


In jurul anului 1800 Thomas Young, căruia i s-a alăturat mai târziu (1817) Augustin - Jean Fresnel, au realizat experimente care studiau interferenţa luminii. Rezultatele lor erau în favoarea teoriei ondulatorii. In perioada 1820 - 1850 Dominique - Françcois Arago , Léon Foulcault şi Armand - Hippolyte Fizeau au demonstrat că viteza luminii este mai mare în aer decât în apă. Acest lucru a reprezentat o reconfirmare a teoriei ondulatorii şi a convins o mare parte din fizicieni că această teorie este cea adevărată. Totuşi, după aproximativ 100 de ani, teoria corpuscular ă a luminii a început să fie din nou acceptată. Chiar înainte ca proprietăţile luminii să fie cunoscute, fizicienii au ar ătat că lumina este rezultatul activităţii electrice în atom (cunoaşterea electricităţii începuse să devină necesar ă pentru a înţelege comportamentul şi proprietăţile luminii !). In 1800 Alessandro Volta anunţa realizarea unei baterii electrice care putea produce un curent continuu. Oamenii de ştiinţă (precum Michael Faraday) au folosit această sursă pentru descoperirea de noi fenomene (cum ar fi electroliza sau capacitatea câmpurilor electrice şi magnetice de a se genera reciproc). După cum am văzut în primul paragraf, James Clerk Maxwell şi-a publicat în 1873 teoria în care formula legile de bază ale electromagnetismului ; el sublinia coincidenţa interesantă dintre viteza de propagare a undelor electromagnetice în vid şi viteza luminii ; această observaţie, coroborată cu alte date experimentale, a condus la următoarele concluzii importante : 1. Viteza de propagare a luminii în vid este egală cu viteza de propagare a undelor electromagnetice în vid. 2. Lumina - asemenea undelor electromagnetice - sufer ă fenomene de reflexie, refracţie, polarizare, interferenţă, difracţie ; legile / relaţiile care modelează asemenea fenomene sunt identice. 3. Asemenea undelor electromagnetice lumina se propagă şi în absenţa substanţei (în vid). 4. Responsabilitatea impresionării ochiului uman îi revine intensităţii câmpului electric (vezi experienţa Wiener). 5. Domeniul de lungimi de undă pentru care lumina este vizibilă este inclus în domeniul mult mai mare (infinit) al lungimilor de undă posibile pentru unda electromagnetică. Revenind la discuţia despre natura luminii, trebuie subliniat faptul că în 1888, în timpul experimentelor f ăcute, Hertz a observat că lumina care cade pe un metal produce "ruperea" unei sarcini negative (efectul fotoelectric). Experimentele ulterioare au sugerat că aceste sarcini ar putea fi nişte particule. In continuare alte experimente au ar ătat că electronii există şi că reprezintă elemente de bază ce intr ă în alcătuirea atomului. In jurul anului 1900 era deja clar că electronii liberi sunt sarcini negative şi că mişcarea acestora într-un conductor dă naştere curentului electric. In anul 1900 fizicianul Max Plank , explicând radiaţia termică, devine iniţiatorul teoriei cuantice pe baza căreia, în anul 1905, Einstein a explicat efectul


147

fotoelectric, afirmând că lumina este formată din particule pe care le-a numit fotoni. Fiecărui foton îi corespunde o cuantă de energie dată de relaţia E = h ⋅ ν (unde ν este frecvenţa luminii iar h este constanta lui Planck). Robert Andrews Millikan a măsurat în anul 1906 sarcina electronului cea mai mică sarcină obţinută experimental. Trei ani mai târziu Ernest Rutherford a ajuns la concluzia că toţi atomii au un "miez" încărcat pozitiv (nucleul) - în care este concentrată cea mai mare parte din masa atomului şi care este înconjurat de electroni. In 1913 Niels Bohr a prezentat modelul atomului de hidrogen , pe baza căruia a explicat existenţa unor spectre de emisie şi absorbţie ; în acest fel s-a stabilit legătura dintre lumină şi structura atomică. Arthur H. Compton a ar ătat (în 1923) că reflexia razelor X pe o ţintă poate fi explicată dacă se consider ă că ele ar fi - în fapt - nişte particule. Astfel, teoria corpuscular ă a câştigat din ce în ce mai mult teren, f ăr ă să explice (însă) anumite fenomene ondulatorii, cum ar fi difracţia. Totuşi (în 1927) Clinton J. Davisson şi Lester H. Germer au descoperit că un fascicul de electroni poate fi difractat pe cristale. In acest fel ei au demonstrat că atât teoria corpuscular ă cât şi cea ondulatorie erau corecte. (Ulterior lucr ările lui Heisenberg, Dirac, Louis de Broglie, au ar ătat că dualitatea undă - corpuscul nu este caracteristică numai luminii, ci oricărui flux de particule : electroni, protoni, etc.) O dovadă experimentală directă în sprijinul teoriei referitoare la natura electromagnetică a luminii a fost obţinută în anul 1947, când s-a constatat că electronii acceleraţi în betatroane până la energii de ordinul MeV emit lumină. Deoarece s-a demonstrat că lumina este un fenomen ondulator de natur ă electromagnetică , optica (ca domeniu de sine st ăt ător) a fost subordonat ă teoriei electromagnetismului.

Studiul fenomenelor optice a cunoscut - pe parcursul timpului - trecerea prin următoarele metode : a) optica geometrică, bazată pe noţiunea de rază de lumină, pentru care legile propagării şi formării imaginilor fac abstracţie de natura luminii ; b) optica ondulatorie, caz în care interferenţa, polarizarea, difracţia luminii sunt explicate cu instrumentele (matematice) ale electromagnetismului (undelor electromagnetice) ; c) optica fotonică, pentru care aspectul corpuscular al undelor devine predominant (vezi efectul fotoelectric). Concluzii

Lumina (în sens clasic) desemnează gama frecvenţelor / lungimilor de undă din spectrul electromagnetic / care pot fi recepţionate şi de către ochiul uman. Lungimile de undă corespunzătoare se plasează în domeniul 400 ÷ 780 nm (vezi tabelul II). Cele mai multe surse nu radiază lumină monocromatică (lumină de o singur ă culoare, având o frecvenţă / lungime de undă unică). Ceea ce se numeşte lumină albă este un amestec al tuturor culorilor din spectrul vizibil.

148


λ (nm) 400 ÷ 450 450 ÷ 500 500 ÷ 550 550 ÷600 600 ÷ 650 650 ÷ 780

Tabelul II Culoare violet albastru verde galben portocaliu roşu

Sursele de lumină difer ă în funcţie de maniera în care se realizează transferul de energie de la sarcini electrice (electroni) la unda emisă. Astfel, dacă energia provine de la căldur ă, atunci sursa se numeşte incandescent ă. Dacă energia iniţială este de altă natur ă (chimică sau electrică) sursa se numeşte luminescent ă. Un caz particular de sursă monocromatică şi directivă este reprezentată de laser . Pentru fiecare mod de a produce lumina există şi un mod particular de a o detecta (aşa cum căldura produce lumină incandescentă, la rândul ei lumina incandescentă - când este detectată - produce căldur ă măsurabilă). Proprietăţile particulare ale luminii, fenomenele care pot avea loc (propagare în diverse medii, reflexie, refracţie, dispersie, interferenţă, difracţie, rezonanţă) precum şi o mare parte dintre aplicaţii, pot fi / şi sunt studiate în cadrul teoriei mai generale a undelor electromagnetice. 2.3. Ecuaţia de propagare a undelor electromagnetice.

Reamintim câteva dintre concluziile importante ale capitolului anterior (capitolul 1) : 1. Câmpul electromagnetic reprezintă o formă specială de existenţă

obiectivă a materiei. Din punct de vedere macroscopic, acesta are o repartiţie continuă în spaţiu şi timp. 2. Câmpul electromagnetic este purtătorul unei cantităţi de energie de

natur ă electromagnetică, energie capabilă să se transforme în alte forme de energie, cum ar fi : energie termică, energie mecanică, etc. Energia electromagnetică se propagă prin contiguitate (de la punct la punct) cu viteză de propagare finită. Pe lângă energie, câmpul electromagnetic posedă şi impuls 3 . 3. Câmpul electromagnetic este un ansamblu indisolubil format din câmpul

electric şi câmpul magnetic, fiind generat de corpurile care se află în anumite stări sau având o existenţă independentă. Cei patru vectori caracteristici sunt (în primă fază) : 3

Piotr Nicolaevici Lebedev, fizician rus, este cel care a impus ideea existen ţei impulsului undei electromagnetice, m ăsurând presiunea luminii asupra corpurilor solide (1899) şi gazoase (1907).

UNDE ELECTROMAGNETICE r r

relatii de material

E(r , t )⎫⎪

vectori r r ⎬ B( r , t )⎪⎭ fundamentali

⇒

149

r

⎧D(rr , t ) ⎨r r ⎩H(r , t )

Se admite c ă aceşti vectori sunt continui în funcţie de coordonate şi de timp, în orice punct ordinar al spa ţiului, şi că derivatele lor sunt continue. Prin urmare câmpul electromagnetic este un câmp vectorial. Câmpul electromagnetic constituie un sistem fizic, distinct de substan ţă, care reprezint ă o realitate independentă. Acest sistem fizic se mai nume şte radia ţ ie electromagnetică. 4. Structura local ă – în fiecare punct şi în fiecare moment – a câmpului

electromagnetic este o solu ţie a ecuaţiei de propagare a undelor electromagnetice ; ea decurge din ecua ţiile câmpului electromagnetic, formulate de c ătre Maxwell, şi / sau din ecuaţiile potenţialelor (1.91) , respectiv a cuadripoten ţialului (1.109). Varianta A. S-a demonstrat c ă în vid se obţine - pentru potenţiale (scalar şi

ţial - ecuaţia : vector) / respectiv cuadripoten r r c A = −μ 0 J

⇒ cV

cA =

−μ0J

= −ρ / ε

⇒ cu

A

r ⎧r i ⎫ = ⎨A, V ⎬ , J = {J , icρ} ⎩ c ⎭

1 ∂2 ∂2 = Δ − 2 ⋅ 2 (x 4 = ict ) c =∑ 2 ∂ x c ∂t i =1 i 4

⇒ si

In medii ideale (riguros liniare, omogene, izotrope, conservative, nedispersive, f ăr ă histerezis - ceea ce reprezintă un concept idealizat) rezultă : sau 1 = ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → = = A A 0 0 , unde x ivt , v = c v 4 ε ≠ ε 0 , μ ≠μ 0 εμ Varianta B. Ecuaţii asemănătoare se obţin

şi pentru toţi vectorii ce

caracterizeaz ă câmpul electromagnetic : r

r

r

r

D = εE B = μH

r

σ=0 ⇒J=0 ε, μ = ma(rimi scalare, independente de pozitie si de timp De exemplu :

in domeniul din afara

⇒

surselor (ρ = 0)

r

∂D ∂t r r ∇D = 0 (∇E = 0) r

∇×H =

r

∂B ∂t r r ∇B = 0 (∇H = 0) r

∇× E = -

150

ISTORIC. ECUAŢIA DE PROPAGARE A UNDELOR ELECTROMAGNETICE ŞI SOLUŢII ALE ACESTEIA r

r

r

r

⎫ ∇ × (∇ × H ) = ∇(∇H ) − ΔH = −ΔH r r r⎪ 2 2 ⎬ r r ∂D ∂ ∂ ∂B ∂H ∇ × = (∇ × D ) = ε (∇ × E ) = −ε 2 = −εμ 2 ⎪ ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t ⎭ de unde se obţine ecuaţia : r ⎧ unde : v = 1 2 r ∂H ⎪ (2.1) ΔH − εμ 2 = 0 ⎨ εμ r ∂t ( ⎪⎩adica vH = 0 Plecând de la aceleaşi ecuaţii (diferenţiale Maxwell) de mai sus, dar “izolând” altă mărime, se obţin ecuaţii asemănătoare : r ⎧⎪ v B = 0 (2.2) r ⎨ r ⎪⎩ v D = 0 ; vE = 0 Forma similar ă a ecuaţiilor vectoriale (2.1) + (2.2) - care se transfer ă la nivelul fiecarei componente scalare - sugerează posibilitatea de a adopta o formulare generală a problemei : 4 ∂ 2ψ (2.3) ∑ ∂x 2 = 0 i =1 i unde ψ = oricare din componentele vectorilor de mai sus. In sistem de coordonate carteziene, ecuaţia (2.3) are forma : ∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ 1 ∂ 2ψ + 2 + 2 − 2 ⋅ 2 =0 2 ∂x ∂y ∂z v ∂t

(2.4)

fiind o ecuaţie cu derivate par ţiale, de tip hiperbolic ; v este o constantă de material, care are dimensiunea unei viteze (vezi : analiză dimensională). Soluţiile acestei ecuaţii (formele explicite ale funcţiei ψ ( punct, timp) ) sunt determinate - întotdeauna- de geometria şi de condiţiile de frontier ă ale problemei. 2.4. Soluţii ale ecuaţiilor de propagare : tipuri de unde 2.4.1. Unde sferice

In capitolul 4 (volumul I), unde s-a discutat cazul undelor elastice, am ar ătat că ecuaţia caracteristică oricăror tipuri de unde are aceeaşi formă : cea dedusă anterior. Prin urmare, în privinţa soluţiilor, ne aşteptăm să avem concluzii asemănătoare. Reamintim că - atunci când se aproximează sursele reale cu surse punctiforme 4 – iar mediul în care are loc propagarea este omogen şi izotrop, sursa are simetrie sferică, iar soluţia ecuaţiei undelor are forma : 4

Sursele reale au întotdeauna întindere finit ă dar - la distan ţe suficient de mari comparativ cu dimensiunea lor - ele pot fi considerate cuasipunctiforme (practic localizate întrun punct).


151 (

unda progresiv a ( (directa) 644 744 8

ψ(r, θ/, ϕ/, t ) Mărimea :

(

unda regresiv a ( (inversa)

644 744 8

1 ⎡ r ⎞⎤ 1 ⎡ ⎛ r ⎞⎤ ψ( r , t ) = ⋅ f ⎢c ⋅ ⎛ ⎜ t − ⎟⎥ + ⋅ g ⎢c'⋅⎜ t + ⎟⎥ r ⎣ ⎝ v ⎠⎦ r ⎣ ⎝ v ⎠⎦ ⎛ r ⎞ const. ⋅ ⎜ t ± ⎟ = ϕ(r , t ) se numeşte faza undei ; avem două ⎝ v ⎠

datorita simetriei sferice

=

situaţii posibile : r ⎞ ϕ1 = const. ⋅ ⎛ ⎜t − ⎟ ⎝ v ⎠ Condiţia ϕ(r , t ) = const. permite identificarea acelor suprafeţe pe care faza are o aceeaşi valoare; acestea se numesc suprafeţe echifaze sau suprafeţe de undă . In cazul de faţă : r ⎞ dr ϕ1 (r , t ) = const. ⋅ ⎛ ⎜ t − ⎟ = const. ⇒ v = dt ⎝ v ⎠ mărime ce reprezintă viteza de fază (viteza de deplasare a suprafeţelor echifază). a)

La un moment de timp precizat t0 , condiţia ϕ1 (r , t 0 ) = const. conduce la relaţia r = const.; prin urmare, suprafe ţ ele echifaze sunt sfere concentrice, cu centrul în sursă . r Mărimea τ = reprezintă timpul în care unda parcurge distanţa r de la v sursă la punctul de observaţie, în timp ce mărimea (t − τ) are drept semnificaţie întârzierea pe care o are perturbaţia în punctul de observaţie în raport cu sursa. Explica ţ ie :

• r sursa = 0 , ϕ1sursa = ϕ1 (0, t 0 ) valoarea fazei specifice perturba ţiei (oscilaţiei) la momentul iniţial t0 (la sursă) ; • La r ≠ 0 perturbaţia ajunge după scurgerea unui interval de timp t ' = t 0 + τ (unde τ = r / v este timpul necesar propag ării). In acel moment şi în acel punct faza undei directe este : r ⎞⎤ r r ⎞⎤ ⎡ ⎡ ⎛ ϕ1 (r , t ') = ϕ1 ⎢const. ⋅ ⎛ ⎜ t '− ⎟⎥ = ϕ1 ⎢const. ⋅ ⎜ t 0 + − ⎟⎥ = ϕ1 (0, t 0 ) = ϕ1sursa ⎝ v ⎠⎦ ⎝ v v ⎠⎦ ⎣ ⎣ prin urmare unda direct ă ajunsă în punctul r la momentul t’ > t 0 are aceeaşi fază ca în sursă ⇒ undele diverg (pleacă) din sursă, motiv pentru care se numesc unde progresive sau unde directe.

dr r ⎞ ϕ1 (r , t ) = const.'⋅⎛ ⎜ t + ⎟ ⇒ = −v dt ⎝ v ⎠ prin urmare undele converg către sursă, numindu-se b)

inverse.

unde regresive sau unde

152


2.4.2. Unda plană. Unda armonică plană.

Reamintim (vezi capitolul 4, volumul I) c ă unda plană reprezintă o aproximare a undei sferice în situa ţia în care distan ţa faţă de sursă este mare. Frontul de undă sferic este aproximat cu planul tangent la sfer ă, perpendicular pe direcţia de propagare. Din acest motiv, în expresia fazei dependen ţa de r este înlocuită cu dependenţa de ξ (abscisa planului tangent). Expresia undei directe devine : r ξ ⎞ 1 ⎡ ⎛ ξ ⎞⎤ ϕ1 ( r , t ) = const ⋅ ⎛ ⎜ t − ⎟ ⇒ ψ(ξ, t ) = ⋅ f ⎢const ⋅ ⎜ t − ⎟⎥ (2.5) ξ ⎣ ⎝ v ⎠ ⎝ v ⎠⎦ Observa ţ ie. Dacă se pune condiţia ϕ1 = const se obţine relaţia : ξ = const. (care defineşte un plan perpendicular pe axa Ox, în punctul de abscisă ξ .

Unda se nume şte plană deoarece suprafe ţ ele echifaze sunt plane. Unda armonică plană reprezintă forma concretă pentru funcţia de undă

ψ,

în cazul în care aceasta depinde de o singur ă coordonată spaţială. In aceste condiţii :

ξ ⎞ ⎫ ⎡ ⎛ ξ ⎞ ⎤ j ⎢ ω⋅⎜ t m ⎟ + ϕ 0 ⎥ ϕ(ξ, t ) = ω ⋅ ⎛ ⎜ t m ⎟ + ϕ0 ⎪ ⎣ ⎝ v ⎠ ⎦ ⎝ v ⎠ ( ) ψ ξ = ⋅ , t A e ⎪ jϕ(ξ , t ) ⎪ ψ(ξ, t ) = A ⋅ e ⎪ (folosim notaţia în complex, care uşurează ⎬ ( ⎪ calculele ; altfel ar trebui să scriem : "−" ⇒ unda progresiva ψ (ξ, t ) = A ⋅ cos ϕ(ξ, t ) ) ( ⎪ "+" ⇒ unda regresiva ⎪ ⎪ ⎭ Observa ţ ii. Reamintim că : • Unda armonică plană este un concept idealizat, în natur ă neexistând asemenea unde . • Utilitatea folosirii ei este dată de faptul că orice perturbaţie, oricât de complicată, poate fi reprezentată prin intermediul integralei Fourier, ca o sumă de perturbaţii elementare de forma : jωt

+∞

a (ω) ⋅ e dω ⇒ ψ(t) = N ⋅ ∫ a (ω) ⋅ e jωt dω -∞

⇒ propagarea fiecărei perturbaţii elementare este descrisă de o undă armonică. • Forma exponenţială a funcţiilor de undă armonice uşurează calculele, iar reconstituirea undei originale se face (în cazul liniarităţii mediului) prin simpla superpoziţie a undelor elementare. • O serie de procese ondulatorii (elementare) întâlnite în practica pot fi descrise - într-o primă aproximaţie - prin unde de forma :


⎡ ⎛ ξ ⎞

Reamintim că în definirea şi discutarea proprietăţilor undei armonice plane intervin următoarele mărimi : A = amplitudinea undei ( ϕ0 = ϕ(0,0) = faza initiala

ξ

r

1ξ

r

r

⎤

U (ξ, t ) = Re ψ(ξ, t) = A ⋅ cos ⎢ω⎜ t - ⎟ + ϕ0 ⎥ ⎣ ⎝ v ⎠ ⎦

direcţia de propagare

z

153

M y

x

ω=

Figura 2.2

∂ϕ = viteza de variatie a fazei (frecventa) ∂t

⎧"-" corespunde undei progresive ∂ϕ k = m r = m∇ϕ = gradientul fazei unde semnul ⎨ ∂r ⎩ "+" corespunde undei regresive r

r

k se numerşte vector de undă (tridimensional). Versorul 1ξ defineşte direcţia de propagare a undei iar M este punctul în care se doreşte a se stabili expresia undei plane. Reamintim că : r

r

r

1ξ ⋅ r = ξ (proiecţia lui r pe direcţia de propagare ξ, efectuată pentru a determina abscisa planului echifaz care trece prin punctul M) r

r

r

r

r

1ξ = 1k = cos α ⋅ 1x + cos β ⋅ 1y + cos γ ⋅ 1z deci : r

∂ϕ

∂ϕ ∂ξ ⎫

k = m r = m ⋅ r ⎪ r r r ω ω r ∂r ∂ξ ∂r ⎪ r ( ) k = cos 1 cos 1 cos 1 ± ⋅ α ⋅ + β ⋅ + γ ⋅ = ± ⋅ 1ξ ⎬ x y z r v v ∂ξ ⎪ = 1 r ⎪⎭ ∂r ξ (2.6) unde : r

k =

ω v

⎛ k = ω ⋅ cos α ; k = ω ⋅ cos β ; k = ω ⋅ cos γ ⎞ ⎜ x ⎟ y z v v v ⎝ ⎠

= (k 2x + k 2y + k 2z )

r

Utilizarea vectorului de undă k permite obţinerea unei forme echivalente de exprimare pentru unda armonică plană :

ψ(ξ, t )

⎡ ⎛ ξ ⎞ ⎤ j ⎢ ω⋅⎜ t m ⎟ + ϕ 0 ⎥ = A ⋅ e ⎣ ⎝ v ⎠ ⎦

r

⎡ ⎛ 1 ⋅ rr ⎞ ⎤ j ⎢ ω⋅⎜⎜ t m k ⎟⎟ + ϕ 0 ⎥ v ⎠ ⎢⎣ ⎝ ⎥⎦

= A⋅e

r r

j [(ωt − k ⋅ r )+ ϕ 0 ]

= A⋅e

(2.7)

respectiv (prin separarea variabilelor) : r

jωt

ψ(ξ, t ) = ψ(r , t ) = A ⋅ e

⋅e

rr

− jk ⋅r

r

⋅ e jϕ0 = Φ(r ) ⋅ e jωt

(2.8)

154


In ecuaţia generală de propagare a undelor, separarea variabilelor are drept consecinţă obţinerea unei ecuaţii de forma : r jωt 2 r ( ∂ Φ 1 r ) ⋅ e =0 e jωt ⋅ ΔΦ ( r ) − 2 ⋅ 2 ∂t v

⇒

r

ΔΦ(r ) +

ω2 v

2

r

r

r

⋅ Φ( r ) = 0 sau ΔΦ( r ) + k 2 ⋅ Φ( r ) = 0

(2.9)

numită ecuaţie atemporală a undelor (ecuaţie de tip Helmholtz). Acceptăm pentru intensitatea undei definiţia : I = ψ * ⋅ ψ = A2

(2.10)

deoarece A = ψ * ⋅ψ (amplitudinea undei) este o mărime accesibilă măsur ării, propor ţională cu energia undei şi invariantă în raport cu orice transformare a fazei undei (invarianţă de etalon de speţa a II-a, după nomenclatura lui Pauli). Caz particular : Dacă funcţia de undă este un vector în spaţiul cartezian,

atunci :

I = ψ *x ⋅ ψ x + ψ *y ⋅ ψ y + ψ *z ⋅ ψ z

Dat fiind faptul că funcţia de undă (exprimată prin intermediul unei exponenţiale, respectiv al unei funcţii trigonometrice) este periodică , putem discuta în amănunt despre periodicitate în contextul în care discuţia implică cele două variabile (coordonata şi timpul) : • Perioada T, care indică periodicitatea undei în raport cu variabila t (timp) se obţine punând condiţia : 2π ψ ( t ) = ψ( t + nT) ⇒ ωnT = 2nπ , T = acelasi ξ ω 1 ω unde mărimea : ν = = se numeşte frecvenţă (= numărul de perioade din T 2π unitatea de timp). • Lungimea de undă este distanţa parcursă de suprafaţa de undă în intervalul de timp de o perioadă. Această mărime reflectă periodicitatea funcţiei de undă în raport cu variabila ξ : 2π λ ψ (ξ) = ψ(ξ + nλ) ⇒ ωn = 2nπ , λ = ⋅ v = v ⋅ T acelasi t v ω (λ = lungimea de unda = drumul parcurs de planul de fază constantă în timp de o perioadă) Observaţie finală. Deoarece perturbaţia iniţială este de natur ă electromagnetică, funcţia ψ(ξ,t) poate fi oricare dintre mărimile locale ale r câmpului electromagnetic : intensitatea câmpului electric Er , intensitatea câmpului r r magnetic H , inducţia electrică D , inducţia magnetica B, potenţialul magnetic r vector A , etc.


155

Deoarece undele electromagnetice acoper ă o gamă foarte largă de frecvenţe unghiulare, car e se împarte în mai multe subdomenii, se recomandă a se consulta tabelul I , prezentat în introducerea acestui capitol. 2.4.3. Problemă rezolvată (justificare a soluţiei propuse de d’Alembert)

Se consider ă o undă electromagnetică plană care se propagă într-un dielectr ic de-a lungul axei Ox. Ecuaţia de propagare a câmpului electric este : r r ∂ 2E 1 ∂ 2E = 2⋅ 2 2 ∂x c ∂t Să se arate că ecuaţia de mai sus admite soluţii de tipul : r E (E x (x, t ), E y ( x , t ), E z ( x , t ) ) , unde componentele E i ( x, t ) = f ( t ± x c ) . Rezolvare r

r

r

r

E = E x ( x, t ) ⋅ 1x + E y ( x, t ) ⋅ 1y + E z ( x, t ) ⋅ 1z Ecuaţia :r r 2 2 ∂E 1 ∂E = 2⋅ 2 2 c ∂t ∂x este echivalentă cu trei ecuaţii scalare de forma :

∂ 2Ei 1 ∂ 2Ei = 2 ⋅ 2 , i = x, y, z 2 ∂x c ∂t Pentru a găsi soluţii ale acestei ecuaţii, se observă că - dacă se face schimbarea de variabilă (valabilă pentru orice ecuaţie de acelaşi tip cu cea de sus) : ⎧α = t − x / c ⇒ E i ( x , t ) = E i ( α , β) ⎨ ⎩β = t + x / c se obţine : ∂ 2 E i ∂ ⎛ ∂E i ⎞ ∂ ⎡ ∂E i ∂α ∂E i ∂β ⎤ ∂ ⎡ ∂E i ⎛ 1 ⎞ ∂E i ⎛ 1 ⎞⎤ 1 ∂ ⎡ ∂E i ∂E i ⎤ • = ⎜ ⋅ + ⋅ = − ⎟= ⎜− ⎟ + ⎜ ⎟ = ⋅ ⎥= ∂α ∂x 2 ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂x ⎢⎣ ∂α ∂x ∂β ∂x ⎥⎦ ∂x ⎢⎣ ∂α ⎝ c ⎠ ∂β ⎝ c ⎠⎥⎦ c ∂x ⎢⎣1∂β 42 4 43 4 ⎦ notam cu F

1 ⎡ ∂F ∂α ∂F ∂β ⎤ 1 ⎡ ∂F ∂F ⎤ 1 ⎡ ∂ ⎛ ∂E ∂E ⎞ ∂ ⎛ ∂E ∂E ⎞⎤ = ⋅ ⎢ ⋅ + ⋅ ⎥ = 2 ⋅ ⎢ − ⎥ = 2 ⋅ ⎢ ⎜⎜ i − i ⎟⎟ − ⎜⎜ i − i ⎟⎟⎥ = c ⎣ ∂α ∂x ∂β ∂x ⎦ c ⎣ ∂β ∂α ⎦ c ⎣ ∂β ⎝ ∂β ∂α ⎠ ∂α ⎝ ∂β ∂α ⎠⎦

∂ 2Ei ⎤ 1 ⎡ ∂ 2Ei ∂ 2Ei = 2 ⋅⎢ 2 + 2 −2 ∂α ∂β ⎥⎦ c ⎣ ∂α ∂β

∂ 2 E i ∂ ⎛ ∂E i ⎞ ∂ ⎡ ∂E i ∂α ∂E i ∂β ⎤ ∂ ⎡ ∂E i ∂E i ⎤ ⎡ ∂G ∂α ∂G ∂β ⎤ ⎟= • = ⎜ ⋅ + ⋅ = + ⎥⎦ = ⎢⎣ ∂α ⋅ ∂t + ∂β ⋅ ∂t ⎥⎦ = ∂t ⎝ ∂t ⎠ ∂t ⎢⎣ ∂α ∂t ∂β ∂t ⎥⎦ ∂t ⎢⎣1∂α ∂β ∂t 2 4 4244 3 ⎡ ∂2 E i ∂2 E i ∂2 E i ⎤ ⎥ = ⎢ 2 + 2 +2 ∂α ∂β ∂β ⎣ ∂α ⎦

G

156


Ecuaţia de propagare devine : 1 ∂ 2Ei 1 ∂ 2Ei 1 ∂ 2 Ei 1 ∂ 2 Ei 1 ∂ 2Ei 1 ∂ 2Ei ⋅ + ⋅ −2 2 ⋅ = ⋅ + ⋅ +2 2 ⋅ c 2 ∂α 2 c 2 ∂β2 c ∂α ∂β c 2 ∂α 2 c 2 ∂β2 c ∂α ∂β ceea ce implică :

⎧ ∂ ⎛ ∂E i ⎞ ∂ ⎪ ∂α ⎜ ∂β ⎟ = ∂α f ' (β) = 0 ⇒ f' (β) nu depinde de α ⎪⎪ ⎝ ⎠ ∂ 2Ei =0 ⇒⎨ ∂α ∂β ⎪ ∂ ⎛ ∂E ⎞ ∂ ⎪ ⎜ i ⎟ = g ' (α) = 0 ⇒ g' (α) independent de β ⎪⎩ ∂β ⎝ ∂α ⎠ ∂β In consecinţă integrala generală trebuie să fie de forma :

E i (α, β) = g(α) + f (β) soluţie propusă de către d’Alembert, sau :

⎡ ⎛ x ⎞⎤ ⎡ ⎛ x ⎞⎤ E i (α, β) = g ⎢c⎜ t − ⎟⎥ + f ⎢c⎜ t + ⎟⎥ c ⎠⎦ c ⎠⎦ ⎝ 43 ⎝ 43 ⎣ 42 ⎣ 42 1 1 unda progresiva unda regresiva (inversa) Mărimile f (...) şi g(...) sunt - cum am mai precizat - funcţii arbitrare, determinate de condiţii particulare (la limită) impuse undei, iar mărimea “c” este obligatoriu - o constantă. O expresie particular ă este, în acest caz, unda armonică plană :

ψ(ξ, t ) =

⎡ ⎛ ξ ⎞ ⎤ j ⎢ ω⋅⎜ t − ⎟ ⎥ A ⋅ e ⎣ ⎝ v ⎠ ⎦

r

⎡ ⎛ 1k ⋅ rr ⎞ ⎤ ⎟⎥ j ⎢ ω⋅⎜⎜ t − v ⎟⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝

= A⋅e

r r

j(ωt − k ⋅ r )

= A⋅e

2.5. Generarea undelor electromagnetice (tratare clasică)

In literatura de specialitate se arat ă că sistemele simple, car e generează câmpuri electrice şi magnetice (câmpuri electromagnetice - unde şi fotoni- ) sunt : a) Sarcini electrice punctiforme care se deplaseaz ă accelerat în vid ; generarea câmpului electromagnetic în tot spa ţiul este exprimat ă / confirmată de existenţa celor două soluţii ale ecua ţiei cuadripotenţialului : r ⎧ v = viteza de deplasare a sarcinii V= ⋅ ∫ dv , potentialul scalar ⎪⎪ electrice in vid 4πε 0 r unde ⎨ r r μ (calcule relativiste ) v ρ ⎪ r A = 0 ⋅ ∫ dv , potentialul vector ⎪⎩(A si V sunt potentiale retardate) 4π r Concluzie : Sarcina electrică care se deplasează accelerat generează, la distanţe suficient de mari, o undă electromagnetică sferică, în care vibraţiile

1

ρ


157

r r

vectorilor E , H sunt perpendiculare pe direcţia de propagare a undei (această ultimă afirmaţie urmează a fi demonstrată într-un paragraf dedicat proprietăţilor undei electromagnetice). Domeniul din spaţiu în care se propagă unda electromagnetică sferică se numeste zonă de undă. b) Dipolul electric oscilant (echivalent unui oscilator liniar) generează undă

electromagnetică. Existenţa dipolilor şi proprietăţile acestora (în special proprietatea de a genera câm p) a fost discutată la capitolul de electromagnetism (paragraful 1.1.3). Datorită undei electromagnetice generate (radiaţiei), oscilatorul pierde energie. Această pierdere de energie se reflectă în amortizarea oscilaţiilor, implicit în schimbarea frecvenţei. Prin urmare, undele electromagnetice emise nu sunt riguros monocromatice. Tot din cauza faptului că energia electromagnetică scade exponenţial, rezultă că fiecare oscilator în parte emite energie sub formă de unde electromagnetice într-un interval de timp foarte scurt : E( t ) = E 0 ⋅ e − jω0t ⋅ e − γ / 2 IMax

(2.11)

Figura 2.2

ω

ω0 ω0 -Δω / 2

ω0 +Δω / 2

Dacă se foloseşte transformarea Fourier inversă, analizându-se consecinţele în ceea ce priveşte spectrul de frecvenţe emise, se constată că unda electromagnetică generată de un oscilator constă dintr-o suprapunere de unde armonice de pulsatie ω , unde :

• oscilaţia primar ă poate fi considerată ca o suprapunere de oscilaţii, fiecare pe frecvenţa ei ; • fiecare din aceste oscilaţii ar e o durată finită în timp. Mărimea lui Δω are implicaţii asupra valorii lui Δλ. Retinem ideea oscilaţiei de durată finită, pe care o vom folosi în cele ce urmează. Observa ţ ii : 1. In practica, deoarece pentru λ = 5000Å rezultă

Δλ ≅ 10 −4 Å , se observă că lărgimea naturală Δλ a liniei spectrale este foarte mică ; prin urmare unda electromagnetică (la sursă) poate fi considerată practic monocromatică. 2. Tot în urma unor calcule şi a unor experimente, rezultă că pentru un electron în atom, la ω0 = 4 ⋅ 1015 rad/s (valoare medie în domeniul vizibil),

158


intervalul de timp între momentul emisiei şi cel pentru care energia oscilatorului scade de “e” ori este τ ≅ 10 −8 s (timpul de viaţă al unui electr on într-o stare excitată) . Reţinem şi utilizăm în continuare ideea oscilaţiei de durată finită. 2.5.1. Propagarea perturbaţiilor de durată finită a) Deoarece toate perturbaţiile reale (oscilaţiile) au o durată finită, trebuie

văzut cum influenţează fenomenele tranzitorii forma funcţiei de undă. Avem o perturbaţie (oscilaţie) de durată finită, care are loc într-un punct din spaţiu (sursă). Expresia oscilaţiei (dependente doar de timp) din punctul precizat, este (vezi figura 2.3) : Re ψ

⎧ 0 , t ≥ Δt / 2 ψ( t ) = ⎨ ⎩A 0 ⋅ e jω0 t , t < Δt / 2

Aşa cum am mai ar ătat, pentru a afla ce anume frecvenţe intr ă în compunerea acestei oscilaţii, aplicăm transformarea Fourier inversă :

t

Δt / 2

Δt / 2

(2.12)

(oscilatie într-un punct dat)

+∞

a (ω) = ∫ ψ( t ) ⋅ e − jωt dt

Figura 2.3

−∞

(formula Meslin - Fourier) Prin urmare : a (ω) =

+ Δt / 2

j (ω0 − ω )t

∫ A0 ⋅ e

− Δt / 2

j (ω0 − ω )⋅

Δt e ⋅ ⋅

2A 0

=

(ω0 − ω) ⋅ 2

⇒ a (ω) ∝ unde τ = (ω0 − ω) ⋅

Δt

⎡ j (ω0 −ω)⋅ Δ2t − j (ω0 −ω)⋅ Δ2t ⎤ dt = ⋅ ⎢e −e ⎥= j(ω0 − ω) ⎢⎣ ⎥⎦ A0

Δt 2

Δt 2

−e 2 j

− j (ω0 − ω )⋅

Δt 2

= A0 ⋅ Δt ⋅

τ

2

sin 2 τ

τ

sin τ

2

(semnul “∝“ se traduce prin “propor ţional”).

(2.13)

2 Concluzie. O perturbaţie de durată finită nu se caracterizează printr-o singur ă frecvenţă ci este compusă dintr-o infinitate de oscilaţii armonice de diferite frecvenţe ω, amplitudinile a(ω) neavând valori semnificative decât pentru τ ∈ [-π , π].


159

Funcţia a 2 (ω) = a 2 (τ) este reprezentată în figura 2.4 Se observă că :

• pentru : τ ≅ π ⇒ Δω ⋅ Δt ≅ 2π

Figura 2.4

(relaţie de imprecizie) ; ea exprimă incertitudinea determinării frecvenţei în raport cu durata perturbaţiei ;

a 2 (τ) = a 2 (ω)

• când Δt → ∞ , Δω→0 ; o undă riguros monocromatică (armonică) trebuie emisă un -3 π -2 π - π

0

π

2π

3π

τ

interval de timp infinit, fiind întinsă în tot spaţiul ;

• atunci când Δt → 0 , Δω→ ∞ ; frecvenţele tind să ocupe toată banda, de la 0 la ∞ . b) Studiem maniera în care se propagă o perturbaţie de durată finită, a cărei

“mărime” (amplitudine) are valori semnificative în domeniul de frecvenţe : ω0 − Δω / 2 ≤ ω ≤ ω0 + Δω / 2 Recurgem la o simplificare a problemei, impunând următoarea condiţie : pentru Δ ω foarte mic în raport cu pulsaţia centrală ω0 se consider ă : a( )

const. = A

Cu aceasta aproximaţie putem scrie : , ω ≥ ω0 + Δω / 2 ⎧0 ⎪ a (ω) = ⎨ 2πA , ω0 − Δω / 2 < ω < ω 0 + Δω / 2 ⎪0 , ω ≤ ω 0 − Δω / 2 ⎩ Condiţia : ω0 − Δω / 2 ≤ ω ≤ ω0 + Δω / 2

(2.14)

poate fi scrisă în termeni de vectori de undă : k 0 − Δk / 2 ≤ k ≤ k 0 + Δk / 2 Deoarece Δk este foarte mic, putem recurge la o dezvoltare în serie Taylor :

⎛ dk ⎞ + ....... ⎟ ⎝ dω ⎠ ω0

k (ω) = k (ω0 ) + (ω − ω0 ) ⋅ ⎜

Funcţia de undă ψ( x, t ) a undei rezultante este dată de :

PROPAGAREA PERTURBAŢIILOR DE DURATĂ FINITĂ

160

ψ(x, t) =

+∞

1 ⋅ ∫ a(ω) ⋅ e j (ωt −kx )dω = 2π −∞

= A⋅

ω0 + Δω / 2

∫

⎡ ⎤ ⎛ dk ⎞ ω0 + Δω / 2 j ⎢ωt −k 0x −(ω−ω0 )⋅⎜ ⎟ ⋅x ⎥ ⎝ dω ⎠ω0 ⎥⎦ ⎢ A⋅ e⎣ dω =

∫

ω0 −Δω / 2

⎡

⎛ dk ⎞ ⋅x ⎤ ⎥ ⎟ ⎝ dω ⎠ω0 ⎥⎦

j ⎢(ω−ω0 )t −(ω−ω0 )⋅⎜

e j (ω0t −k 0x ) ⋅ e

⎢⎣

dω =

ω0 −Δω / 2

ω0 + Δω / 2

j (ω0 t − k 0 x )

j (ω− ω0 )⋅[t −( dk / dω)ω0 ⋅x ]

=A e 43 ∫ e 1⋅42 4 4 ⋅ =ψ0 ( x,t ) ω0 −Δω / 2

dω

ψ0 (x, t) are expresia unei unde armonice plane. Facem schimbarea de variabil ă : ω − ω0 = Δω = q ⎫ pentru valorile particular e ⎧ω = ω0 − Δω / 2 ⇒ q = -Δω/2 ⎯ → ⎨ ⎬ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ dω = dq ⎭ ⎩ ω = ω0 + Δω / 2 ⇒ q = Δω/2 Notăm expresia : t − (dk / dω)ω0 ⋅ x = b şi calculăm integrala : Δω / 2

j bq

∫ e

j b

dq =

e

Δω 2

−e

− j b

Δω 2

j b

Δω / 2

2 b

= ⋅ sin ξ = 2 ⋅

Δω sin ξ Δω unde ξ = b ⋅ 2 2 ξ

Deci :

ψ( x, t ) = ψ 0 ( x , t ) ⋅ Δω ⋅

sin ξ

ξ Raportul

sin ξ

Figura 2.5

(2.15)

ξ

sin ξ

ξ

este un

factor de modulare. O astfel de undă este

Δx -π

+π

ξ

nearmonică şi cuasimonocromatică , fiind de fapt

un pachet de unde (cu alte cuvinte un grup de unde care se propagă).

sin ξ = 1 maxim principal Pentru ξ = 0 ⇒ lim ξ →0 ξ Caˆnd : sinξ = 0⎫ π ⎬ ⇒ ξ = 2n minime ξ≠0 ⎭ 2 Notaţia Δx desemnează lărgimea pachetului de unde = distanţa dintre minimele de ordinul întâi, corespunzătoare valorilor : ξ = -π şi ξ = +π.


161

Pachetul de unde se prezintă sub forma unei perturbaţii localizate într-o regiune relativ puţin întinsă. Re ψ

pachetul de unde

x

x

Δx

(la momentul t1)

(la momentul t2)

(propagarea pachetului de unde) Figura 2.7

Figura 2.6

Amplitudinea undei : A ( x, t ) = A ⋅ Δω ⋅

sin ξ

ξ

depinde de timp prin intermediul variabilei ξ. Expresia funcţiei de undă arată că, pe lângă suprafaţa de undă k 0 ⋅ x − ω0 ⋅ t = const., care se propagă cu viteza de fază v, se poate defini şi o suprafaţă de egală amplitudine (echiampl itudine), ca loc geometric al punctelor care au - la un moment dat - aceeaşi amplitudine. Suprafaţa de egală amplitudine se deplasează cu viteza vg , numită viteză de grup, a cărei legătur ă cu alte caracteristici ale undei se stabileşte din condiţia de constanţă a amplitudinii : A(x, t) = const. In particular se poate discuta despre viteza de deplasare a amplitudinii maxime a grupului de unde. Aceasta corespunde condiţiei : sin ξ cosξ = =1 lim lim 1 ξ ξ→ 0 ξ→0

⎤ x dω ⎞ Δω Δω ⎡ ⎛ dk ⎞ ξ = 0 ⇒ b = ⋅ ⎢t − ⎜ ⎟ ⋅ x ⎥ = 0 ⇒ v g = = ⎛ ⎜ ⎟ 2 2 ⎢⎣ ⎝ dω ⎠ω0 ⎥⎦ t ⎝ dk ⎠ω0 şi este viteza de grup a pachetului de unde, respectiv viteza de transport a energiei. Consecinţe :

• In medii nedispersive : ω k = , v = viteza de faza v

PROPAGAREA PERTURBAŢIILOR DE DURATĂ FINITĂ

162

dω d = (kv ) = v dk dk Se constată că în medii nedispersive viteza de fază coincide cu viteza de vg =

grup.

• In medii dispersive : dω d dv ( vk ) = v + k vg = = dk dk dk

(2.16.a)

formulă care poartă numele de relaţia lui Rayleigh. Totodată : dv dv dλ dv d ⎛ 2π ⎞ dv ⎛ 2π ⎞ = ⋅ = ⋅ ⎜ ⎟ = ⋅⎜− 2 ⎟ dk dλ dk dλ dk ⎝ k ⎠ dλ ⎝ k ⎠ 2π dv dv (2.16.b) ⋅ = v−λ⋅ k dλ dλ Pentru dispersii foarte pronunţate - în timpul propagării - are loc destr ămarea pachetului de unde.

⇒ vg = v −

Deoarece detecţia şi măsurarea caracteristicilor unei unde se bazează pe înregistrarea efectelor energetice ale acesteia , măsuratorile de viteze de propagare furnizează numai valori ale vitezei de grup. Important. Viteza de fază poate depăşi viteza luminii, f ăr ă a contrazice

primul postulat al teoriei relativităţii restrânse. In schimb viteza de grup (viteza de transfer a energiei) nu depăşeşte niciodată viteza luminii în vid ! Observa ţ ie asupra simplifică rilor introduse şi a rezultatelor ob ţ inute :

Δω ⋅ Δt ≥ 2π dar Δω = v g ⋅ Δk ⎫⎪ (2.17) ⎬ ⇒ Δk ⋅ Δx ≥ 2π Δt = Δx / v g ⎪⎭ Se observă că : - atunci când Δx → 0 (pachet localizat) ⇒ Δk nedeterminat ; - atunci când Δk → 0 (undă armonică) ⇒ Δx → ∞ , unda se întinde în tot spaţiul. Relaţiile (2.17) sunt relaţii de nedeterminare (de incertitudine / de imprecizie). Ele spun, pe de o parte, că unda armonică strict monocromatică reprezintă un concept ideal (ceea ce am mai ar ătat puţin mai înainte). Pe de altă parte, în cazul unui pachet de unde nu se poate stabili cu aceeaşi precizie vectorul de undă şi vectorul de poziţie care localizează pachetul de unde în spaţiu. Relaţiile de incertitudine stabilite pentru undele clasice sunt valabile şi pentru undele de Broglie asociate microparticulelor.

Unde_electromagnetice1

Recommend Documents