UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Control Digital_299006_13 Fase 2- Parte Teórica
CONTROL DIGITAL FASE 2
Presentado por: FERNANDO ANTONIO CRUZ JOSE ALBERTO ZAFRA DARIO JAVIER CHAVEZ DEVIER REYNALDO LOPEZ
Grupo: 299006_13
Tutor JOAN SEBASTIAN BUSTOS
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA NOVIEMBRE 2016
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INTRODUCCION
El diseño de Sistemas de control digitales en espacio de estados, es de gran importancia en la ingeniería electrónica, puestos que estos pueden determinar por completo el estado de este mismo en el futuro, el orden de un sistema es igual que el número de variables de estado necesarias para establecer de manera única su estado. En
el
siguiente
trabajo
encontraremos
una
serie
de
ejercicios
donde
manipularemos las variables de estado, encontrando su forma canónica controlable, obtenemos la respuesta escalón con la matriz de transición de estado y determinamos el vector de retroalimentación K con los polos en lazo cerrado.
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DESARROLLO DE ACTIVIDADES EJERCICIO 1 Determine la forma canónica controlable en variables de estado para el siguiente sistema G(z): 𝐺(𝑧) =
0.004528(𝑧 + 0.1048) (𝑧 − 0.1048)(𝑧 − 0.5187)
0.004528(𝑍 + 0.1048)
𝐺(𝑧) =
0.004528𝑧 + 0.0004745344 𝑧 2 − 0.6235𝑧 + 0.0543598
Multiplicamos todos los términos de la expresión por 𝑧 −2 que es el coeficiente de mayor orden. 𝑧 −2 ∗ (0.004528𝑧 + 0.0004745344) 𝐺(𝑧) = −2 𝑧 ∗ (𝑧 2 − 0.6235𝑧 + 0.0543598)
𝐺(𝑧) =
0.004528𝑧 −1 + 0.0004745344𝑧 −2 1 − 0.6235𝑧 −1 + 0.0543598𝑧 −2
𝑮(𝒛) =
𝑪(𝒁) 𝑬(𝒛) ∗ 𝑬(𝒛) 𝑹(𝒁)
𝑪(𝒁) 𝑹(𝒁) 𝑪(𝒁) 𝑮(𝒛) = = 𝑬(𝒛) 𝑬(𝒛) 𝑹(𝒛)
𝑪(𝒁) 0.004528𝑧 −1 + 0.0004745344𝑧 −2 = 𝑬(𝒛) 1 − 0.6235𝑧 −1 + 0.0543598𝑧 −2
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(1 − 0.6235𝑧 −1 + 0.0543598𝑧 −2 )𝑪(𝒁) = 𝑬(𝒛)(0.004528𝑧 −1 + 0.0004745344𝑧 −2 ) Coeficientes 𝑎1 = 0.6235
𝑎2 = −0.0543598
𝑏0 = 0
𝑏1 = 0.004528
𝑏2 = 0.0004745344
Ecuación Matricial de espacio de estados 0 𝑋1(𝐾 + 1) 𝑋1 (𝐾) 0 1 ( )=( )∗( ) + ( ) 𝑈𝑘 𝑋2(𝐾 + 1) 𝑋2(𝐾) −𝑎2 −𝑎1 1 𝑋1(𝐾 + 1) 0 ( )=( 𝑋2(𝐾 + 1) −0.0543598
0 𝑋1 (𝐾) 1 )∗( ) + ( ) 𝑈𝑘 𝑋2(𝐾) 0.6235 1
𝑋1 (𝐾) 𝑋1 (𝐾) 𝑌̂ = 𝑏1 − 𝑎1𝑏0 ∗ ( ) + 𝑏2 − 𝑎2𝑏0 ∗ ( ) + 𝑏 𝑜 𝑈(𝑘) 𝑋2(𝐾) 𝑋2(𝐾) 𝑋1 (𝐾) 𝑌̂ = [(0.004528 − 0.6235 ∗ 0) (0.00047453 − 0.054 ∗ 0)] ( ) + 𝑏 𝑜 𝑈(𝑘) 𝑋2(𝐾)
𝑋1 (𝐾) 𝑌̂ = [(0.004528 − 0.6235 ∗ 0) (0.00047453 − 0.054 ∗ 0)] ( ) + 𝑏 𝑜 𝑈(𝑘) 𝑋2(𝐾) 𝑦(𝑘) = (0.004528
𝑋1 (𝐾) 0.00047453) ( ) + 0𝑈(𝑘) 𝑋2(𝐾)
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EJERCICIO 2 Mediante el uso de la matriz de transición de estado obtenga la respuesta al escalón y[n] del sistema digital descrito por las siguientes matrices de estado y condición inicial: 𝐺=[
0 1 ], −0.2 −0.9
1 𝐻 = [ ], 1
𝑐 = [1
0],
1 𝒙(0) = [ ] −1
Sugerencia: Siga los pasos deducidos en (http://www.esi2.us.es/~danirr/apuntesIC4.pdf)
𝐺=[
0 1 1 1 ] , 𝐻 = [ ] , 𝐶 = [1 0], 𝑥(0) = [ ] −0.2 −0.9 1 −1
La ecuación de la matriz de estado Ψ(k) es: 𝛹(𝑘) = 𝐺 𝑘 = 𝑧 −1 [(𝑧𝐼 − 𝐺)−1 𝑧] Calculando (𝑧𝐼 − 𝐺)−1 : (𝑧𝐼 − 𝐺)
−1
1 = (𝑧 ( 0
0 0 1 )−( )) 1 −0.2 −0.9
−1
𝑧 −1 −1 ) 0.2 𝑧 + 0.9
(𝑧𝐼 − 𝐺)−1 = (
(𝑧𝐼 − 𝐺)−1 =
(𝑧𝐼 − 𝐺)−1
(𝑧𝐼 − 𝐺)−1
−1
𝑧 0 0 1 = (( )−( )) 0 𝑧 −0.2 −0.9
1 𝑧 + 0.9 1 .( ) 𝑧 2 + 0.9𝑧 + 0.2 −0.2 𝑧
𝑧 + 0.9 1 2 = ( + 0.9𝑧 + 0.2 𝑧 + 0.9𝑧 + 0.2) −0.2 𝑧 𝑧 2 + 0.9𝑧 + 0.2 𝑧 2 + 0.9𝑧 + 0.2 𝑧2
−4 5 −10 10 + + = (𝑧 + 0.5 𝑧 + 0.4 𝑧 + 0.5 𝑧 + 0.4) 2 2 5 4 − − 𝑧 + 0.5 𝑧 + 0.4 𝑧 + 0.5 𝑧 + 0.4
Ahora obtenemos Ψ(k): 𝛹(𝑘) = 𝑧 −1 [(𝑧𝐼 − 𝐺)−1 𝑧]
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−4 5 −10 10 + + 𝛹(𝑘) = 𝑧 −1 [(𝑧 + 0.5 𝑧 + 0.4 𝑧 + 0.5 𝑧 + 0.4) 𝑧] 2 2 5 4 − − 𝑧 + 0.5 𝑧 + 0.4 𝑧 + 0.5 𝑧 + 0.4 −4𝑧 5𝑧 −10𝑧 10𝑧 + + 𝛹(𝑘) = 𝑧 −1 [(𝑧 + 0.5 𝑧 + 0.4 𝑧 + 0.5 𝑧 + 0.4)] 2𝑧 2𝑧 5𝑧 4𝑧 − − 𝑧 + 0.5 𝑧 + 0.4 𝑧 + 0.5 𝑧 + 0.4 𝛹(𝑘) = (
−4(−0.5)𝑘 + 5(−0.4)𝑘 2(−0.5))𝑘 − 2(−0.4)𝑘
−10(−0.5))𝑘 + 10(−0.4)𝑘 ) 5(−0.5))𝑘 − 4(−0.4)𝑘
Teniendo en cuenta la transformada Z de la entrada (escalón unitario) y que se sabe que: 𝑋(𝑧) = (𝑧𝐼 − 𝐺)−1 [𝑧𝑥(0) + 𝐻𝑈(𝑧)] 𝑧 𝑧 𝑧2 1 1 1] = [ 𝑧 ] + [ 𝑧 − 1 ] = 𝑧 − 1 𝑧𝑥(0) + 𝐻𝑈(𝑧) = 𝑧 [ ] + [ ] [𝑧 − 𝑧 𝑧 −𝑧 −1 1 −𝑧 2 + 2𝑧 𝑧−1 𝑧−1 [ 𝑧−1 ]
Realizando la multiplicación nos queda: 1.3810𝑧 7.6667𝑧 6.2857𝑧 − + 𝑧 + 0.5 𝑧 + 0.4 ] 𝑋(𝑧) = [ 𝑧 − 1 0.3810𝑧 3.8333𝑧 2.5143𝑧 + − 𝑧−1 𝑧 + 0.5 𝑧 + 0.4 Y de ahí, aplicando la transformada inversa 𝑥(𝑘) = [
1.3810 − 7.6667(−0.5)𝑘 + 6.2857(−0.4)𝑘 ] 0.3810 + 3.8333(−0.5)𝑘 − 2.5143(−0.4)𝑘
Finalmente la ecuación de salida seria: 𝑦(𝑘) = 𝐶𝑥(𝑘) = [1
0]𝑥(𝑘)
𝑦(𝑘) = 0.5238 − 10.6667(−0.5)𝑘 + 8.3429(−0.4)𝑘
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EJERCICIO 3 Siguiendo todos los pasos del ejemplo 1.5 de http://www.esi2.us.es/~danirr/apuntesIC4.pdf , determine el vector de realimentación K tal que los polos en lazo cerrado se encuentren ubicados en 𝑧 = 0.5 ± 0.75𝑗, para el siguiente sistema:
𝐺=[
0 1 0 ],𝐻 = [ ] −0.2 −1 1
Nota: Debe hacer el cálculo del vector de realimentación usando todos los métodos del ejemplo.
Solución: z= 0.5 ± 0.75j 𝐺=[
0 1 0 ], 𝐻 = [ ] −0,2 −1 1
Se desea determinar una matriz K, tal que los polos de bucle cerrado sean el par complejo conjugado 𝑧 = 0.5 ± 0.75𝑗 En primer lugar hay que determinar la controlabilidad del sistema. Para ello, se forma la matriz de controlabilidad: [𝐻 ⋮ 𝐺𝐻] = [0 1
1 ] −1
Cuyo rango es igual a dos (basta comprobar que su determinante es distinto de cero), por lo que el sistema es controlable y se puede proceder a calcular K. La ecuación característica de bucle cerrado deseada es: |𝑧𝐼 − 𝐺 + 𝐻𝐾| = (𝑧 − 0,5 − 0,75𝑗)(𝑧 − 0,5 + 0,75𝑗) = 𝑧 2 − 𝑧 − 0,5625 = 0 Por tanto, los coeficientes αi son en este caso α1 = −1 y α2 = -0,5625. Por otra parte, la ecuación característica de bucle abierto del sistema es: 𝑧 −1 [𝑧𝐼 − 𝐺] = [ ] 0,2 𝑧 + 1 Por lo que los coeficientes 𝑎1 son en este caso 𝑎1 = 1 𝑦 𝑎2 = 0.2 A partir de aquí se puede aplicar cualquiera de los métodos explicados anteriormente.
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Método 1
𝐾 = [𝛼2 − 𝑎2 ⋮ 𝛼1 − 𝑎1 ]𝑇 −1
Obsérvese que el sistema viene dado en forma canónica controlable, por lo que T = I y por tanto: 𝐾 = [0.3625 − 2] Método 2 (Formula de Ackermann) 𝐾 = [0
1][𝐻 ⋮ 𝐺𝐻]−1 ϕ(G)
ϕ(G) = 𝐺 2 − 𝐺 + 0.5𝐼 0 1 −0.2 −1 0.5 0 ϕ(G) = [ ]−[ ]+[ ] −0,2 −1 0.2 0.8 0 0.5 −0.7 −2 ϕ(G) = [ ] 0.4 0.3 −1 −0.7 −2 0 1 𝐾 = [0 1] [ ] [ ] 0.4 0.3 1 −1 𝐾 = [0.3625 − 2] Método 3 Este procedimiento es apropiado para sistemas de bajo orden como el que nos ocupa. En primer lugar, se toma K = [k1 k2] y se formula la ecuación característica de bucle cerrado en función de K: 0 1 0 |𝑧𝐼 − 𝐺 + 𝐻𝐾| = |[𝑧 0] − [ ] + [ ] [𝑘1 −0,2 −1 0 𝑧 1 𝑧 = | 0,2 + 𝑘1
𝑘2 ]|
−1 | 𝑧 + 1 + 𝑘2
= 𝑧 2 + (1 + 𝑘2 )𝑧 + 𝑘1 + 0,2 = 0 La comparamos con la ecuación característica deseada (1) e identificamos coeficientes: 𝑘1 + 0,2 = 0,5625 𝑘1 = 0,3625
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1 + 𝑘2 = −1 𝑘2 = 2 𝐾 = [0.3625 − 2]
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CONCLUSIONES
Algunas funciones de transferencia puede ser escrita como un espacio de estados, utilizando el modelo de espacios de estado, a lo que se llama forma canónica controlable, si un sistema no es controlable no se puede utilizar este método. Mediante el uso de la matriz de transición de estado es posible hallar la respuesta escalón del sistema digital teniendo en cuenta la transformada z. Existen tres métodos para determinar el vector de retroalimentación K tal que los polos en lazo cerrado estén ubicados en una posición preestablecida, que son el método uno donde el sistema viene dado en una forma canónica controlable, el segundo método utiliza la fórmula de Ackermann y el método 3 que es apropiado para sistemas de bajo orden y tiene una ecuación característica de bucle cerrado en la función de K. Al resolver los ejercicios se observó la importancia del concepto de matriz de transición de estado, el vector de realimentación K, la forma canónica controlable en variables de estado y la aplicación de la transformada Z en sistemas discretos. Se comprendió el concepto de estado de un sistema dinámico que es el conjunto más pequeño de variables de estado. El Control digital es una herramienta técnica de alto grado que brinda solución a diversos problemas de control y de digitalización de señales de campo.
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BIBLIOGRAFIA Rodríguez D, Bordons C, (2007), Apuntes de ingeniería de control. Págs. (1-24) España, Escuela Técnica Superior de Ingeniería. http://www.esi2.us.es/~danirr/apuntesIC4.pdf. UNER, (2007), Método del espacio de estado. Argentina, Universidad Nacional de Entre Rios, Facultad de Ingeniería. http://www.bioingenieria.edu.ar/academica/catedras/control/archivos/materi al/Anexos/anexo_ve.pdf
