Una progresión armónica es una sucesión de números tales que sus recíprocos forman una progresión aritmética. Se llaman progresiones armónicas porque cada término es la media armónica entre el anterior y el siguiente. 1/ak = (1/ak-1+ 1/ak+1)/2 1.- 9 termino de 12, 8, 6,..... si tomamos sus reciprocos reciprocos 1/12, 1/8, 1/6... debe ser una una progresión aritmética por lo que d= 1/8-1/12=1/24 el termino 9º de la progresión aritmética será b9=1/12+8·1/24=5/12 por lo que el 9º termino de la progresión armónica será a9=1/b9=12/5 2.- 7 termino de 0.6, 0.4, 0.3,.... si tomamos sus reciprocos reciprocos 1/0.6, 1/0.4, 1/0.3... debe ser una una progresión aritmética por lo que d= 1/0.4-1/0.6=5/6, el termino 7º de la progresión aritmética será b7=1/0.6+6·5/6=20/3 por lo que el 7º termino de la progresión armónica será a7=1/b7=3/20 3.- 12 termino de 3, 3/2, 1,...... si tomamos sus reciprocos reciprocos 1/3, 2/3, 1... debe ser una progresión aritmética por lo que d= 2/3-1/3=1/3 el termino 12º de la progresión aritmética será b12=1/3+11·1/3=4 por lo que el 12º termino de la progresión armónica será a12=1/b12=1/4
Una progresión armónica es una sucesión de números tales que sus recíprocos forman una progresión aritmética. 1/a, 1/(a+d), 1/(a+2d),...,1/(a+nd) Se llaman progresiones armónicas porque cada término es la media armónica entre el anterior y el siguiente. 1/ak = (1/ak-1+ 1/ak+1)/2
Def.: Progresión Armónica. Decimos que una progresión es armónica si es una sucesión de números cuyos recíprocos forman una progresión aritmética. Aquí entendemos por recíprocos a los inversos multiplicativos. Entonces por ejemplo la progresión es armónica dado que los recíprocos es una progresión aritmética. De esta forma podemos usar lo
que sabemos acerca progresiones aritméticas relacionados con progresiones armónicas.
para
poder
resolver
problemas
Por ejemplo, El segundo término de una progresión armónica es y el octavo es entonces sabemos que sus recíprocos pertenecen a una progresión aritmética. Tomamos como y de donde sabemos:
Restando la primera ecuación a la segunda, obtenemos que esto implica que sustituyendo en cualquiera de las dos ecuaciones y despejando obtenemos que por lo tanto, el término n-ésimo de la progresión está dado por la siguiente fórmula
A los términos que están entre dos términos dados y se llaman medios armónicos entre a y b, para interporlar medios armónicos solo basta con buscar una progresión aritmética entre dos números y sacar los recíprocos. La media armónica es la resultante de interpolar un solo médio armónico entre dos números dados. Esto lo podemos expresar como sigue:
Pero recordemos que al ser armónico la “distancia ” que hay entre y es la misma, en términos matemáticos esto se podría traducir como:
Tan tan, cabe mencionar que las media aritmética, geométrica y armónica se relacionan de la siguiente manera, quedando como ejercicio para el lector, su demostración:
Determinar si la siguiente Sucesión
es o no una Progresión Armónica.
Solución: Debemos analizar si la sucesión de los términos recíprocos es una P.A. Entonces en la Sucesión y
Luego
es una P.A
es una
Progresión Armónica.
