Master IST 1ère année
UE 434
Université Paris-Sud Paris-S ud 11 / ENS Cachan
Examen du 11 mai 2011 9h à 12h (durée 3 heures)
L es deu x par pa r t i es A et B doi do i ven t êtr e r é di gé es sur su r des cop c opii es sé par pa r é es
!
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PARTIE A - LIGNES DE TRANSMISSION
Les exercices doivent être résolus en utilisant les abaques de Smith fournies en annexe ; les constructions doivent être réalisées avec soin en mettant bien en évidence les différentes étapes. I. Coefficient de réflexion 1. Quelle est l'expression, dans le cas le plus général, du coefficient de réflexion à une distance d d'une d'une charge en fonction de sa valeur au niveau de la charge ? Justifier physiquement cette expression (sans
calculs).
B
A
Z L d Figure 1. – Ligne Ligne de transmission
50 Ω , connectée à un amplificateur dont l'entrée peut être modélisée par une charge capacitive ( R L 15 Ω en série avec C L 0,979 pF ). La 1 8 fréquence de travail est f 5 GHz et la vitesse de propagation sur la ligne est V P 1,68 10 m.s ; On considère une ligne d'impédance caractéristique Rc
le coefficient d'absorption vaut 1 dB/m. 2.1 Déterminer à l'aide de l'abaque de Smith le coefficient de réflexion au niveau de la charge (point A
Fig. 1) ainsi que le taux d'ondes stationnaires.
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2.2 Déterminer en utilisant l'abaque de Smith le coefficient de réflexion à une distance de 1,26 cm de la charge (point B Fig.1) le taux d'ondes stationnaires correspondant et le modèle équivalent.
II. Paramètres S
On considère deux quadripôles, caractérisés par leur matrices S respectives S ( A) et S ( B ) , placés en cascade. Déterminer le paramètre S 21 du quadripole équivalent.
III. Adaptation d'impédance pour une antenne
Les mesures effectuées sur une antenne pour un système de télévision conduisent à un coefficient de réflexion au niveau de cette antenne Γ L ayant pour module Γ L 0.66 et pour phase ( Γ L ) 110 . L’impédance caractéristique du système est, comme en vidéo, Rc
75 Ω .
1. Proposer en utilisant l'abaque de Smith un modèle équivalent de cette antenne. Que vaut le taux d'onde stationnaire. 2. On se propose de faire une adaptation de cette antenne à l'impédance caractéristique.
Pourquoi choisir a priori la technique d'adaptation avec des éléments discrets réactifs ? Déterminer toutes les solutions possibles, choisir celle qui paraît la plus satisfaisante.
IV. Propriétés d'un amplificateur
Les paramètres S d'un transistor FET ont été mesurés à la fréquence 2 GHz, avec une impédance caractéristique Rc 50 Ω :
S 11 0,894 / 60,6 , S 12
0,020 / 62,4 ,
S 21 3,122 / 123,6 , S 22
0,781/ 27,6 .
1. Le transistor peut-il être considéré comme unilatéral ? 2. Le transistor peut-il être considéré comme inconditionnellement stable ?
Quelle sont les conséquences du résultat précédent ?
On donne : u
S 11 S 21 S 12 S 22 2 2 1 S 11 1 S 22
; K
1 S 11
2
S 22 2 Δ 2
2 S 21 S 12
où
Δ représente
le déterminant
de la matrice de répartition (matrice S ).
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PARTIE B - ANTENNES
I. Ouverture rayonnante
On considère une ouverture rayonnante de forme rectangulaire dans le plan z = 0. Elle s'étend entre x = -a/2 et +a/2 suivant l'axe (Ox) et y = -b/2 et +b/2 suivant l'axe (Oy). Le champ électrique dans le plan de l'ouverture (loi d'illumination) est de la forme E ouv E ouv ( x, y) e x . Le point d'observation M, de coordonnées sphériques (r,,), est situé à grande distance de l'ouverture. La caractéristique
vectorielle de rayonnement de l'ouverture est notée F F(, ) e pol où (,,) sont les coordonnées
cartésiennes du vecteur u repérant la direction d'observation (OM). La longueur d'onde d'émission est notée . On suppose de plus a = b >> . On a :
F(, )
jk
a / 2 b / 2
E
2 a / 2 b / 2
ou v
( x, y) e jk ( x y ) dx dy
1. Dans le cas d'une loi d'illumination uniforme, calculer F(,) puis tracer en la justifiant l'allure du diagramme de rayonnement dans le plan x = 0. Qu'en est-il dans le plan y = 0 ? 2. Exprimer dans les conditions énoncées précédemment la largeur du lobe principal de rayonnement en fonction de et a puis calculer le niveau N s de lobe secondaire.
3. Toujours dans les mêmes conditions, calculer la directivité de l'ouverture dans la direction u telle que = = 0 et = 1. On rappelle que : 2
D(; )
4
E(x, y) e jk (.x.y) dx dy ouverture
E 2 (x, y) dx dy
2
ouverture
4. La loi d'illumination s'exprime désormais sous la forme : E ' ( x; y) E 0 cos
2
y . Démontrer que b
la caractéristique vectorielle de rayonnement peut s'écrire sous la forme F(, )
jkE 0 2
A() B()
où A() est une loi obtenue à la question 1 et :
B()
b 2
b 2 2 b b 2
sin
L'allure du diagramme de rayonnement dans le plan y = 0 est donnée pour b = 10 sur la figure 2 suivante :
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1 0,8 0,6 0,4 0,2 0
-1
-0,5
0
0,5
1
Cosinus directeur Figure 2. Diagramme de rayonnement 5. Comparer qualitativement ce diagramme de rayonnement à celui tracé à la question 1 puis exprimer dans le cas de la loi E' et dans le plan x = 0 la largeur ' du lobe principal de rayonnement en fonction de et b. Calculer enfin le niveau Ns' de lobe secondaire. 6. Calculer la directivité de dans la direction = = 0 et = 1. Comparer l'expression obtenue au cas de la loi d'illumination uniforme. Conclusion ? II. Antenne linéaire
On considère un dipôle électrique oscillant élémentaire, de moment I dz/ placé à l’origine d’un trièdre rectangle direct (O, e x , e y , e z ), et parallèle à l’axe (Oz) (cf. Fig 3.1). I représente l'amplitude du
courant dans le dipôle, dz la longueur du dipôle, et sa pulsation d'oscillation. On désigne par
dE dip (r, e r ) le champ rayonné à grande distance par ce dipôle, tel que :
dE dip (r , e r ) A I dz sin
e jkr r
e
où (r,,) sont les coordonnées sphériques du point d’observation M dans le trièdre de référence (O, e r , e , e ), A un paramètre dépendant des caractéristiques du dipôle, de et du milieu de
transmission. z
z
z M(r,
M(r,
M(r,
r
l /2
I(z)
dz/2 y
O
O
y
O
y
-dz/2
x
x
x
- l /2
Figure 3.1
Figure 3.2
Figure 3.3
1. On déplace le dipôle parallèlement à l’axe (Oz) de telle sorte qu’il se retrouve centré en z =
(cf. Fig 3.2). Calculer le champ dE (r, e r ) rayonné par le dipôle dans sa nouvelle position en fonction
de dE dip (r, e r ) et de . 4/5
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On considère maintenant une antenne filaire, de longueur l , centrée en O et parallèle à l’axe (Oz) ( cf. Fig 3.3). Soit I(z) le courant circulant sur le fil.
2. Montrer que le champ E (r, e r ) rayonné par cette antenne peut se mettre sous la forme suivante :
E(r , e r ) A F()
e jkr r
e
où F() est donné par le produit de sin() et d'une intégrale G() dont on donnera l'expression. Pour z compris entre -l /2 et +l /2 (I est nul sinon), on considère une onde de courant de la forme :
I(z) I 0 e jz 3. Montrer que G() est proportionnel à une fonction en sinc(u) où sinc(u) = sin(u)/u et u est une fonction de k, l et . Tracer sinc(x) en précisant les abscisses pour lesquelles cette fonction s'annule. 4. On suppose désormais que l = 10. Tracer pour variant entre 0 et l'allure des variations de |F()| pour = 0 (indication : il est "instructif" de tracer tout d'abord sur un même graphe les deux fonctions de dont F est le produit). Déterminer la direction M du maximum de rayonnement et la largeur du lobe principal. Commenter le graphe obtenu, pour ce qui est notamment de ce la directivité de l'antenne obtenue. 5. Reprendre la question précédente pour = -k, comparer le graphe obtenu au graphe précédent, estimer la valeur de M et la largeur du lobe principal (indication : raisonner qualitativement plutôt que par le calcul à l'aide du graphe des deux fonctions de dont F est le produit). 6. Que se passe-t-il si on passe à = k ? 7. Conclure sur l'intérêt de l'antenne si on peut faire varier de – k à +k.
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