UNIVERSIDAD CENTROAMERICANA FACULTAD DE CIENCIA, TECNOLOGÍA Y AMBIENTE
DISEÑO Y APLICACIÓN DE CÓDIGOS EN MATLAB PARA CÁLCULO DE PARÁMETROS DINÁMICOS DINÁMICOS EN ANÁLISIS SÍSMICOS DE SUELO Y ESTRUCTURAS
Investigación Monográfica para obtener el título de Ingeniero Civil
Autores:
Br. Moisés David Hernández Martínez Br. Oswaldo José Mercado López
Tutor: PhD. Ing. Edwin A. Obando
Managua, Nicaragua Mayo 2015
AGRADECIMIENTO Por Moisés Hernández A Dios todo poderoso, mi amigo por excelencia y padre celestial, por no desampararme en ningún momento y darme las fuerzas necesarias para poder sobrellevar las dificultades presentadas. A mis padres y hermano, por el apoyo y cariño que me brindaron, y por creer en mí en todo momento. Además a mi madre Yadira Martínez, le agradezco la formación que me dio, y por fomentar en mí el deseo de saber cada día más. A mis abuelas María Martínez y Socorro Lara, que aunque no estén físicamente presentes siempre estarán en mi corazón. Gracias por sus bendiciones desde el cielo. A mi padre Omar Antonio Hernández, que gracias a su apoyo incondicional me apoyo en sus consejos y en los ánimos que me brindaba para continuar con mis estudios universitarios. A Gilbert Daniel Selva, por estar con migo en todo momento, como mi amigo, como mi compañero de ánimo, consejero en los momentos de dudas y como mi guía. A mi amiga, Lila Auxiliadora Ñurinda , por sus invaluables consejos, cariño y soporte en los momentos difíciles y mi ayuda emocional. También a mi iglesia y hermanos en Jesucristo nuestro señor seño r al que también agradezco, por que ha estado ahí cuando le he clamado por ayuda y fuerza. A mi excelente tutor PhD. Edwin Obando . A quien le agradezco la oportunidad de haber podido realizar tan interesante trabajo de tesis. Porque ha sido pilar fundamental para la construcción de este trabajo, agradezco su gran apoyo y entendiendo que nunca podré pagar su ayuda brindada, su disposición y guía en cualquiera de los tantos momentos que lo necesité. Agradeciendo a los profesores, Coordinador de la carrera Ing. Otoniel Baltodano Peña, y en especial al Ing. Jimmy Vanegas Salmerón por que ha sido también un pilar fuerte en mi educación universitaria, verdugo de todos los estudiantes de ingeniería civil en las asignatura de estructuras, nunca olvidaré sus enseñanzas y consejos. A mi tía Rosa Hernández, por su apoyo y consejo cuando no estaban mis padres, por su apoyo en cuanto a la alimentación y alojamiento y evitar de esa forma trasladarme desde Managua hasta el departamento de Granada. A todas las buenas personas que integran mi familia y amigos, amigos, y en general a todos aquellos que en cierta forma contribuyeron con mi formación profesional.
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AGRADECIMIENTO Por Moisés Hernández A Dios todo poderoso, mi amigo por excelencia y padre celestial, por no desampararme en ningún momento y darme las fuerzas necesarias para poder sobrellevar las dificultades presentadas. A mis padres y hermano, por el apoyo y cariño que me brindaron, y por creer en mí en todo momento. Además a mi madre Yadira Martínez, le agradezco la formación que me dio, y por fomentar en mí el deseo de saber cada día más. A mis abuelas María Martínez y Socorro Lara, que aunque no estén físicamente presentes siempre estarán en mi corazón. Gracias por sus bendiciones desde el cielo. A mi padre Omar Antonio Hernández, que gracias a su apoyo incondicional me apoyo en sus consejos y en los ánimos que me brindaba para continuar con mis estudios universitarios. A Gilbert Daniel Selva, por estar con migo en todo momento, como mi amigo, como mi compañero de ánimo, consejero en los momentos de dudas y como mi guía. A mi amiga, Lila Auxiliadora Ñurinda , por sus invaluables consejos, cariño y soporte en los momentos difíciles y mi ayuda emocional. También a mi iglesia y hermanos en Jesucristo nuestro señor seño r al que también agradezco, por que ha estado ahí cuando le he clamado por ayuda y fuerza. A mi excelente tutor PhD. Edwin Obando . A quien le agradezco la oportunidad de haber podido realizar tan interesante trabajo de tesis. Porque ha sido pilar fundamental para la construcción de este trabajo, agradezco su gran apoyo y entendiendo que nunca podré pagar su ayuda brindada, su disposición y guía en cualquiera de los tantos momentos que lo necesité. Agradeciendo a los profesores, Coordinador de la carrera Ing. Otoniel Baltodano Peña, y en especial al Ing. Jimmy Vanegas Salmerón por que ha sido también un pilar fuerte en mi educación universitaria, verdugo de todos los estudiantes de ingeniería civil en las asignatura de estructuras, nunca olvidaré sus enseñanzas y consejos. A mi tía Rosa Hernández, por su apoyo y consejo cuando no estaban mis padres, por su apoyo en cuanto a la alimentación y alojamiento y evitar de esa forma trasladarme desde Managua hasta el departamento de Granada. A todas las buenas personas que integran mi familia y amigos, amigos, y en general a todos aquellos que en cierta forma contribuyeron con mi formación profesional.
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Por Oswaldo Mercado Filipenses 4:13: “Todo lo puedo en Cristo que me fortalece” . Este logro más en mi vida se lo dedico especialmente a Dios, nuestro padre Celestial, por ser un fiel amigo en momentos de angustia y desesperación. Por haberme permitido llegar hasta este momento de mi vida con salud y bienestar. Por haberme dado las fuerzas y el conocimiento para culminar satisfactoriamente este trabajo investigativo.
A mi madre, Zeneyda López Muñoz, que gracias a su ayuda incondicional y el amor de madre me han hecho sentir un hijo lleno valentía para cumplir cada uno de las metas que se me presenten en el camino. Siempre que realizo las cosas mal, usted me aconseja para que las haga bien. Por haberme formado con buenos principios morales. A mi papá, Danilo Mercado, que por su confianza y valor de ver la vida, es un ejemplo que debo seguir. Le agradezco profundamente por haberme inculcado el amor al trabajo. Le agradezco, por todos los valores que me ha enseñado, pues hoy puedo decir que me han servido para enfrentar los retos que los da la vida. A mi abuela, Blanca Potosme, por ser una abuela ejemplar, que siempre me ha dado buenos consejos que me han servido a ver la vida de una manera maner a distinta, por los regaños que me daba cuando me portaba mal, me han sido útil para ser una excelente persona, y sobre todo, por animarme a seguir siempre adelante y no ver hacia atrás, motivo por el cual me fortaleció a culminar mi carrera profesional. A mi abuelo, Carlos Mercado, el cual fue un pilar fundamental en mi vida, y que a pesar de haber partido hace 17 años a la diestra del Padre, fue una gran persona que siempre confió en mí, siempre me confortaba con ese ánimo que siempre solía tener, me decía que luchara por lo que realmente quería y que nunca me diera por vencido, eso me inspiró a culminar este trabajo monográfico, gracias por enviarme muchas bendiciones abuelo, que Dios lo tenga en su Santo Reino. A mi novia, María José López, por brindarme su ayuda incondicional en todo momento, por enseñarme que se debe luchar por lo que se anhela en la vida y que todo se lo debemos encomendar a nuestro señor Jesucristo. Gracias por estar a mi lado en las buenas y en las malas, brindándome tu compañía sincera. En general, a toda mi familia porque siempre me han apoyado incondicionalmente, por confiar en mí y que la sabiduría que Dios me ha regalado en la vida, ha sido usado según su santa voluntad. Finalmente, le agradezco a todos mis amigos, principalmente a todos a aquellos me ayudaron en cada momento me mi vida. Que me brindaron s u amistad sincera, que a pesar de los problemas siempre me motivaron a seguir adelante.
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DEDICATORIA Por Moisés Hernández y Oswaldo Mercado Agradecemos a Dios nuestro Creador en primer lugar, por habernos per mitido llegar hasta aquí, por ser la luz en nuestros caminos, por darnos el don de la vida, por las bendiciones, por la pruebas que permiten que cada día seamos excelentes personas, por la sabiduría que nos regala para poder decidir entre lo bueno y lo malo, por las fuerzas que nos da para cumplir todas aquellas metas que aspiramos alcanzar. Sin la ayuda de Dios no lo hubiéramos logrado. Al Dr. Edwin Obando, quien de manera incondicional fue facilitador de conocimientos para que este trabajo se pudiera llevar a cabo sin ningún inconveniente. Por haber tenido siempre esa disposición de ayudarnos sin importar que tan ocupado tuviera su agenda de trabajo. Usted es un docente ejemplar, siempre nos motivó a seguir adelante en este trabajo investigativo brindándonos sus conocimientos en un área que desconocíamos. Gracias a usted, hoy podremos culminar con este sueño que tenemos desde hace cinco años. Al Ing. Jimmy Vanegas por ser un amigo incondicional, siempre estuvo dispuesto a ayudarnos en las dudas que surgían en análisis y diseño de estructuras. Gracias a usted logramos adquirir nuevos conocimientos. Además, fue un excelente profesor pues siempre destacó la importancia del análisis sísmico para las estructuras, motivo por el cual decidimos seleccionar esta área de investigación. Más que un docente, usted es nuestro amigo, le agradecemos por la confianza que usted nos brindó durante los años de estudio. A nuestra Decana Tarsilia Silva, por su gran apoyo en cuanto al tiempo que le solicitamos para culminar nuestro trabajo monográfico, en lo personal le decimos que usted fue y será siendo para nosotros una pieza muy importante en nuestro desarrollo profesional, muchas gracias por mostrarnos ese carisma, simpatía, humildad y deseo de ayudar a los estudiantes, usted es ejemplo para todos nosotros. A todos nuestros profesores, que por cinco años fueron pilares fundamentales en los conocimientos adquiridos y que gracias a ellos hoy podemos estar en ésta etapa más de nuestras vidas.
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CONTENIDO AGRADECIMIENTO ................................................................................................ i DEDICATORIA .......................................................................................................iii LISTADO DE FIGURAS ....................................................................................... viii LISTADO DE TABLAS ...........................................................................................xi NOTACIONES DE ESTE DOCUMENTO .............................................................. xiii RESUMEN ............................................................................................................ xvi ABSTRACT .......................................................................................................... xvii 1. INTRODUCCIÓN .............................................................................................. 1 1.1. JUSTIFICACIÓN ........................................................................................ 3 1.2. LIMITACIONES ......................................................................................... 4 2. OBJETIVOS ..................................................................................................... 5 2.1. OBJETIVO GENERAL ............................................................................... 5 2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS ...................................................................... 5 3. MATLAB Y SUS APLICACIONES EN LA INGENIERÍA ................................. 6 4. REVISIÓN DE LITERATURA: .......................................................................... 8 4.1. GENERALIDADES .................................................................................... 8 4.1.1. TIPOS DE ONDAS SÍSMICAS ............................................................ 8 4.1.1.1. Ondas de compresión ................................................................... 8 4.1.1.2. Ondas P ........................................................................................ 8 4.1.1.3. Las ondas S .................................................................................. 9 4.1.1.4. Ondas Super ficiales ...................................................................... 9 4.1.2. EFECTOS SISMICOS SOBRE EDIFICIOS ......................................... 9 4.1.3. FALLAS GEOLÓGICAS. .................................................................. 10 4.1.4. TIPOS DE FALLAS ........................................................................... 12 4.2. INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN Y REGISTROS SÍSMICOS ................ 13 4.2.1. Sismógrafos ....................................................................................... 13 4.2.2. Acelerogramas................................................................................... 13 4.2.2.1. Correcciones de Acelerogramas ................................................. 15 4.2.2.1.1. Corrección instrumental .......................................................... 15 iv
4.2.2.1.2. Corrección de línea base ........................................................ 15 4.2.2.2. Métodos para filtrar acelerogramas ............................................. 16 4.2.2.2.1. Filtros ideales .......................................................................... 16 4.2.2.2.2. Filtros Ormsby ......................................................................... 18 4.2.2.2.3. Filtros por ruidos...................................................................... 19
4.3. EVALUACIÓN NUMÉRICA DE LA RESPUESTA DINÁMICA ................ 20 4.3.1. Método de la interpolación de la excitación sísmica .................... 20 4.3.2. Método de las diferencias centrales .............................................. 22 4.3.3. Método de Newmark ........................................................................ 24 4.3.4. Transformada rápida de Fourier (FFT) ........................................... 26 4.3.5. Método de Nakamura: Relación espectral H/V .............................. 27 4.4. TIPOS DE ESPECTROS DE RESPUESTAS .......................................... 29 4.4.1. Espectro de respuesta .................................................................... 29 4.4.1.1. Espectro de respuesta de Deformación ...................................... 30 4.4.1.2. Espectro de respuesta de Pseudo-Velocidad ............................. 31 4.4.1.3. Espectros de respuesta de Pseudo-Aceleración ......................... 32 4.4.1.4. Construcción del espectro de respuesta ..................................... 32 4.5. ANÁLISIS DINÁMICO Y RESPUESTA DE LOS SISTEMAS LINEALES32 4.5.1. Generalidades .................................................................................. 32 4.5.1.1. Excitación sísmica....................................................................... 33 4.5.1.2. Modos de vibración y frecuencias naturales ............................... 33 4.5.1.3. Matrices modales y espectrales .................................................. 35 4.5.1.4. Ortogonalidad de los modos de vibrar ........................................ 36 4.5.1.5. Normalización de los modos de vibrar ........................................ 36 4.5.1.6. Amortiguamiento ......................................................................... 36 4.5.1.6.1. Vibraciones libres de sistemas amortiguados ......................... 37 4.5.1.7. Matriz de amortiguamiento .......................................................... 39 4.5.1.7.1. Matriz de amortiguamiento clásico .......................................... 39 4.5.1.7.1.1. Amortiguamiento de Rayleigh ........................................... 39 4.5.1.7.1.2. Amortiguamiento de Caughey ........................................... 42 4.5.1.8. Contribuciones a la respuesta modal .......................................... 43 4.5.1.8.1. Expansión modal del vector de excitación .............................. 43 v
4.5.1.8.2. Factores de contribución modal .............................................. 44 4.5.1.9. Expansión modal de las fuerzas sísmicas efectivas ................... 45 4.5.1.9.1. Respuestas modales ............................................................... 45 4.5.1.10. Respuesta dinámica de estructuras usando espectros de respuesta 47 4.5.1.10.1. Cálculo de respuesta modal ................................................. 48 4.5.1.10.2. Métodos de Combinación modal ........................................... 48 4.5.1.10.2.1. Método de CQC............................................................... 48 4.5.1.10.2.2. Método de SRSS ............................................................. 50 4.6. FUNDAMENTOS DE PROGRAMACIÓN EN MATLAB .......................... 51 4.6.1. Lenguaje de programación ............................................................. 51 5. ESTRUCTURA DE ALGORITMOS DESARROLLADOS EN MATLAB ........ 52 6. RESULTADOS ............................................................................................... 55 6.1. PROCESAMINTO DE SEÑALES ............................................................ 55 6.1.1. CORRECCIÓN DE LÍNEA BASE ...................................................... 56 6.1.2. FILTRADO ........................................................................................ 56
6.1.3. CORRECCIÓN DE REGISTRO OBTENIDO EL 19 DE MARZO DE 2008 POR MATLAB ....................................................................................... 57 6.1.4. VALIDACION CON DEEPSOIL ........................................................ 58 6.1.5. FILTRADO DEL REGISTRO OBTENIDO EL 19 DE MARZO DE 2008 POR MATLAB Y GEOPSY ................................................................... 59 6.2. EVALUACIÓN NUMÉRICA DE LA RESPUESTA DINÁMICA ................ 62 6.2.1. Método de la interpolación de la excitación .................................. 63 6.2.2. Método de la diferencia central ...................................................... 64 6.2.3. Método de Newmark: Aceleración Promedio contante ................ 65 6.2.4. Método de Newmark: Aceleración Lineal ...................................... 66 6.3. PARAMETROS DE DINAMCIA DE SUELO POR MEDIO DE LA RELACIÓN ESPECTRAL H/V. .......................................................................... 70 6.4. ASPECTOS DE DINÁMICA ESTRUCTURAL ......................................... 73 6.4.1. RUTINAS DE ANÁLISIS ................................................................... 73 6.4.2. DESCRIPCIÓN DE LA ESTRUCTURA DE 5 NIVELES ................... 73 6.4.3. CÁLCULO DE MODOS Y PERIODOS DE VIBRACIÓN .................. 75 6.4.4. CALCULANDO FUERZAS LATERALES ......................................... 78 7. CONCLUSIONES ........................................................................................... 90 vi
8. RECOMENDACIONES. .................................................................................. 92 9. BIBLIOGRAFÍA .............................................................................................. 94 10. ANEXOS ..................................................................................................... 96 CÓDIGO 1: CORRECCIÓN DE LÍNEA BASE ................................................ 100 CÓDIGO 2: FILTRADO ................................................................................... 101 CÓDIGO 3: MÉTODO DE LA INTERPOLACIÓN DE LA EXCITACIÓN......... 102 CÓDIGO 4: MÉTODO DE LA DIFERENCIA CENTRAL ................................. 103 CÓDIGO 5: MÉTODO DE NEWMARK: ACELERACIÓN PROMEDIO CONSTANTE. .................................................................................................. 103 CÓDIGO 6: MÉTODO DE NEWMARK: ACELERACIÓN LINEAL ................. 104 CÓDIGO 7: TODOS LOS MÉTODOS LINEALES COMBINADOS ................. 105 CÓDIGO 8: RELACIÓN ESPECTRAL H/V ..................................................... 107 CÓDIGO 9: ENVOLVENTE DEL ESPECTRO DEL RNC-07 .......................... 109 CÓDIGO 10: PARÁMETROS MODALES ESTRUCTURALES ...................... 109
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LISTADO DE FIGURAS Fig. 4.1: Tipos de ondas sísmicas. Fig. 4.2: Fallas Geológicas del área de Managua (INETER, 2002). Fig. 4.3: Fallas geológicas. Fig. 4.4: Tipos de fallas geológicas según su desplazamiento. Fig. 4.5: Ejemplos de sismógrafos. Fig. 4.6: Acelerogramas correspondientes a las tres componentes de un sismo. Fig. 4.7: Visualización del fichero binario correspondiente a un acelerograma obtenido en el acelerógrafo de Agrón (GR), el 24/02/97. Correspondiente al terremoto con epicentro en Huelma (GR), de m R=4.3. Fig. 4.8: Comportamiento de los filtros ideales paso-bajas, paso-altas, paso-banda. Fig. 4.9: Ejemplos de algunos filtros digitales. Fig. 4.10: Filtro Ormsby. Fig. 4.11: Izqda.: Efecto del ruido de alta frecuencia, Drcha.: Efecto del ruido de baja frecuencia. Fig. 4.12: Notación para una excitación interpolada linealmente. Fig. 4.13: Gráfico de la fuerza P i en el tiempo. Fig. 4.14: Esquema del modelo seguido por Nakamura (1989). Fig. 4.15: Descripción de la Razón Espectral H/V (Modificado de Ansal, 2004). Fig. 4.16: a) Aceleración del suelo b) Respuesta de deformación de tres sistema SDF con =2% y Tn=0.5, 1, 2 seg. c) Espectro de respuesta de deformación para =2%. (Chopra, 1995). Fig. 4.17: sistema de un grado de libertad, (a) fuerza aplicada p (t); (b) movimiento del terreno inducido por un sismo. Fig. 4.18: Sistema de un grado de gdl con amortiguamiento viscoso. Equilibrio de Fuerzas. Fig. 4.19: Respuesta de un sistema sobre amortiguado. Fig. 4.20: Respuesta de un sistema amortiguado. Fig. 4.21: (a) Amortiguamiento proporcional a la masa, (b) Amortiguamiento proporcional a la rigidez. Fig. 4.22: Variación de las frecuencias de amortiguamiento modal con la frecuencia natural: (a) amortiguamientos proporcionales a la masa y a la rigidez; (b) Amortiguamiento de Rayleigh. (Chopra, 2014). Fig. 4.23: Fuerzas externas: (a) s; (b) sn Fig. 4.24: Cálculo de las respuestas estáticas modales en cada entrepiso, a partir del vector de fuerzas sn: (a) cortante y momento de volteo en la base, (b) cortante en el i-ésimo entrepiso y momento de volteo en el i-ésimo nivel.
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Fig. 4.25: Variación de correlación para coeficiente in para la relación de frecuencia in (Chopra, 1995) Fig. 5.1: Diagrama de Flujo para analizar los parámetros dinámicos del suelo. Fig. 6.1: Acelerograma del sismo CIGEO-UNAN Managua, componente EW. a) Acelerograma sin corregir. b) Velocidad sin corregir. c) Desplazamiento sin corregir. Gráficos elaborados en Matlab Fig. 6.2: d) Aceleración Corregida por línea base. Los incisos (e) y (f) son velocidad y desplazamiento respectivamente ambas corregida por el código 1 programado en MATLAB. Fig. 6.3: Acelerograma del sismo CIGEO-UNAN Managua, componente EW. a) Registro de la aceleración corregido por el código 1 y la validación de DEEPSOIL. b) Muestra la velocidad (cm/s). c) Muestra los desplazamientos del terreno (cm), estos dos últimos incisos comparados con Deepsoil. Fig. 6.4: Filtrado de la señal por el filtro IIR Bandpass de orden 4, por el programa Geopsy. Fig. 6.5: Filtrado de la señal por el filtro IIR Bandpass de orden 4 de 0.5 a 12 HZ. Fuente Autores. Fig. 6.6: Acelerograma del sismo CIGEO-UNAN Managua, componente EW. Los gráficos: a, b, c, de parte izquierda presenta Aceleración, velocidad y desplazamiento corregido y filtrado. Fig. 6.7: Acelerograma del sismo CIGEO-UNAN Managua, componente EW. Los gráficos: d, e, f, de la parte derecha presentan solo corrección de Línea base. Fig. 6.8: Espectro corregido por línea base. Obtenido de la reunión de las funciones en MATLAB para cada método, Amort=5%. Fuente. Autores Fig. 6.9: Espectro corregido por línea base y filtrado. Obtenido de la reunión de las funciones en MATLAB para cada método, Amort=5%. Fuente. Autores. Fig. 6.10: Gráfico de Pseudo-Aceleración, Método de Newmark (APC, AL) y DEEPSOIL, Amort=5%. Fig. 6.11: Acelerogramas de la señal metroHVRS1_2.txt sin corregir, grafico elaborado en MATLAB, presenta: a) Componente Vertical Z (señal sin corrección), b) Componente NS (señal sin corregir), c) Componente EW (señal sin corregir). Fig. 6.12: Acelerogramas de la señal metroHVRS1_2.txt corregida, grafico elaborado en MATLAB por el Código 1, presenta en el eje y la aceleración (g), y en el eje x los periodos (s), para las componentes Z, NS, EW. Fig. 6.13: Representación del valor max y min de la desviación estándar correspondiente a la señal metroHVRS1_2, registrada en Metrocentro-Managua, y el espectro H/V, a). Muestras el espectro H/V en MATLAB y b). Presenta el espectro H/V de Geopsy. Fig. 6.14: Espectros H/V Combinados MATLAB y Geopsy ix
Fig. 6.15: Edificio de cortante de cinco niveles, modelamiento realizado en el programa SAP2000 Fig. 6.16: Ventana de trabajo en MATLAB, matriz de masas Fig. 6.17: Matriz de rigidez de la estructura de 5 niveles Fig. 6.18: Representación gráfica de los modos normalizados de vibración del marco de 5 niveles Fig. 6.19: Espectro de desplazamiento, del terremoto en la ciudad de Managua en 1972 Fig. 6.20: Método de combinación modal CQC para un edificio de 5 niveles Fig. 6.21: Modelo del marco de tres niveles de concreto reforzado. Fig. 6.22: Dimensiones de vigas y columnas para los dos primeros niveles de la estructura de 3 pisos Fig. 6.23: Dimensiones de vigas y columnas para el tercer nivel de la estructura de 3 pisos Fig. 6.24: Matriz de masa para la estructura de 3 niveles Fig. 6.25: Matriz de rigidez global de la estructura de 3 niveles Fig. 6.26: Representación gráfica de los modos normalizados de vibración del marco de tres niveles. Fig. 6.27: Espectro de desplazamiento del terremoto ocurrido en la ciudad de Managua 1972, magnitud de 6.2 en la escala de Richter. Fig. A10.1. Diagrama del Procesamiento algorítmico para obtener el espectro H/V. Fig. A10.2: Edificio de cinco niveles (ejemplo Chopra) Fig. A10.3: Ventana de trabajo en MATLAB, matriz de masas Fig. A10.4: Matriz de rigidez de la estructura Fig. A10.5: Representación gráfica de los modos normalizados de vibración Fig. A10.6: Espectro de desplazamiento, del terremoto en la ciudad de Managua en 1972
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LISTADO DE TABLAS Tabla 6.1: Amplitudes máximas en (g) del filtro Bandpass. Tabla 6.2: Métodos de la respuesta dinámica y funciones de MATLAB. Tabla 6.3: Aceleraciones espectrales máximas y periodos, para cada método. Tabla 6.4: Tabla comparativa de los valores producidos por los códigos de MATLAB y el programa Geopsy para la señal metroHVRS1_2: Tabla 6.5: Masa y rigideces por cada nivel para el edificio de 5 niveles Tabla 6.6: Periodos fundamentales y frecuencias naturales del edificio de 5 pisos Tabla 6.7: Datos de modos de vibrar de la estructura de 5 niveles, sin normalizar Tabla 6.8: Comparación de datos modales de vibración entre SAP2000 y rutina de cálculo para un marco de 5 niveles en la dirección X. Tabla 6.9: Obtención de manera automatizada de la contribución de fuerzas a cada nivel. Tabla 6.10: Propiedades modales y expansión modal en m1 Tabla 6.11: Fuerzas laterales para cada modo y por nivel en la dirección X Tabla 6.12: Respuestas estáticas máximas en la estructura de 5 niveles en la dirección X Tabla 6.13: Datos de desplazamientos y aceleraciones modales máximas del terremoto de Managua ocurrido en el año 1972. Tabla 6.14: Valores correspondientes a los desplazamientos generados en cada nivel, tomando en cuenta desplazamientos y aceleraciones modales del espectro del terremoto ocurrido en Managua en 1972. Desplazamientos respecto a la dirección X Tabla 6.15: Fuerzas estáticas equivalentes para el n-ésimo modo en la dirección X Tabla 6.16: Tabla comparativa de valores obtenidos para cortante basal y momento de volteo para un marco de 5 niveles. Tabla 6.17: Relaciones de frecuencias naturales (βin), 5 niveles Tabla 6.18: Coeficientes de correlación ( ρin), 5 niveles Tabla 6.19: Términos individuales de la regla CQC para el cortante basal Tabla 6.20. Datos de Masa y Rigidez para cada nivel. Tabla 6.21. Tabla de Periodos y Frecuencias de estructura de 3 niveles. Tabla 6.22: Comparación de datos modales de vibración entre SAP 2000 y rutinas de cálculo para un marco de tres niveles. Tabla 6.23: Datos de desplazamiento y aceleraciones modales máximas del terremoto de Managua en 1972. Tabla 6.24: Valores correspondientes a los desplazamientos generados en la dirección X para cada nivel del marco de tres niveles. Tabla 6.25: Tabla comparativa de valores obtenidos para cortante basal y momento de volteo para un marco de tres niveles.
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Tabla A10.1: Coeficientes en las fórmulas de recurrencia (Método de la interpolación de la excitación sísmica). Tabla A10.2: Método de la Diferencia Central. Tabla A10.3: Método de Newmark (Aceleración Promedio Constante y Aceleración Lineal) Tabla A10.4: Método de Newmark: Sistemas Lineales Tabla A10.5: Respuestas estáticas modales Tabla A10.6: Masa y rigideces por cada nivel Tabla A10.7: Periodos fundamentales y frecuencias naturales del edificio de 5 pisos Tabla A10.8: Modos de vibrar de la estructura de cinco niveles (Chopra) Tabla A10.9: Comparación de modos normalizados de la estructura de 5 niveles con el programa SAP2000. Tabla A10.10: Obtención de manera automatizada de la contribución de fuerzas a cada nivel. Tabla A10.11: Propiedades modales y expansión modal en m1 Tabla A10.12: Fuerzas laterales para cada modo y por nivel Tabla A10.13: Respuestas estáticas máximas Tabla A10.14: Datos de desplazamientos y aceleraciones modales máximas del terremoto de Managua ocurrido en el año 1972. Tabla A10.15: Valores correspondientes a los desplazamientos generados en c ada nivel, tomando en cuenta desplazamientos y aceleraciones modales del espectro del terremoto ocurrido en Managua en 1972. Tabla A10.16: Fuerzas estáticas equivalentes para el n-ésimo modo Tabla A10.17: Tabla comparativa de valores obtenidos para cortante basal y momento de volteo para un marco de 5 niveles. Tabla A10.18: Relaciones de frecuencias naturales ( βin) Tabla A10.19: Coeficientes de correlación ( ρin) Tabla A10.20: Términos individuales de la regla CQC para el cortante basal Tabla A10.21: Comandos de Matlab
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NOTACIONES DE ESTE DOCUMENTO Toda la simbología utilizada en esta tesis se define a continuación. Abreviaturas. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
1GDL: Un solo grado de libertad. Cm: Centro de masa. CM: Carga Muerta. CQC: Combinación Cuadrática Completa. CV: Carga Viva. FDT: Trasformada discreta de Fourier. FFT: Trasformada Rápida de Fourier. PSA: Pseudo-Aceleración. PSD: Densidad Espectral de Potencia (Power spectral Density por sus siglas en ingles). 10. MDC: Método de la Diferencia Central. 11. PSV: Pseudo-Velocidad. 12. GDL: Grados de Libertad. 13. SRSS: Raíz Cuadrada de la suma de los cuadrados. 14. VGDL: Varios Grados de Libertad. 15. ABSSUM: Suma Absoluta. Acento.
1. : Condensada de k (Rigidez). 2. ( ¯): Factor de contribución modal. Prefijos.
1. : Incremento en un paso de tiempo. 2. : Incremento en un paso de tiempo extendido. Subíndice.
1. : Aceleración. 2. : Velocidad. 3. : Desplazamiento. 4. g: Terreno. 5. i : Número de paso de tiempo. 6. A (t): Pseudo-Aceleración, en fórmula. 7. f : Sistema de base fija. 8. f s i : Fuerza Restauradora en el momento i . 9. m: Masa del sistema. 10. : Amortiguamiento. 11. t: Tiempo. 12. P: Fuerza externa. 13. k: Rigidez.
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14. c: Coeficiente de amortiguamiento. 15. C : Coeficiente (Tabla A10.1). 16. D : Coeficiente (Tabla A10.1). 17. A : Coeficiente (Tabla A10.1). 18. D : Coeficiente (Tabla A10.1). 19. D: Constante Arbitraria, ordenada del espectro de deformación. 20. e: Excentricidad de masa de rotación. 21. E: Módulo de elasticidad. 22. B: Constante de integración, constante arbitraria coeficiente de la ecuación (5.2.5). 23. B1 y B2: Constantes arbitraria. 24. Dy: Ordenada del espectro de deformación de cedencia. 25. m: Matriz de masa. 26. u g : Desplazamiento del terreno. 27. : Aceleración del Terreno. 28. pi : Valor de p (t) en el tiempo i 29. t : Tiempo Variable. 30. t i : Tiempo en el i -ésimo pico. 31. T n : Periodo natural no amortiguado. 32. T D : Periodo natural amortiguado. 33. : Vector de desplazamiento. 34. V: Ordenada del espectro de Pseudo-velocidad. 35. Vb: Cortante Basal. 36. (x,y): Coordenadas Cartesianas. 37. : Parámetro del método de Newmark. 38. : Parámetro del método de Newmark. 39. A , D , V : Factores de amplificación espectral. 40. n : Frecuencia natural no amortiguada. 41. D : Frecuencia natural amortiguada en (rad/s). 42. : Ángulo de Fase. 43. : Variable de tiempo ficticia. 44. : Duración de una fuerza impulsiva. 45. U , R , W : Valores de tolerancia. 46. 0 2 / T 0 47. T a , T b , T c , T d , T e , T f : Periodos que definen las regiones espectrales.
48. Lhn : Ver ecuación 4.109. 49. n : Coeficiente de contribución modal (Ver ecuación 4.101). 50. h : Altura de entrepiso. xiv
51. h j : Altura del j-ésimo nivel. 52. s, sa, sb: distribuciones espaciales de p (t). 53. r st : Respuesta estática al valor de s. 54. r n st : n-ésimo respuesta estática modal. 55. V in st : n-ésimo respuesta estática modal Vi. 56. u st n : n-ésimo respuesta estática modal u. 57. u i : Desplazamientos laterales del marco i. 58. u st bn : n-ésimo respuesta estática modal. 59. Dn : Ordenada del espectro de desplazamiento. 60. An : Ordenada del espectro de Pseudo-Aceleración. 61. V b : Cortante basal 62. M b : Momento de volteo. 63. in : Relación de frecuencias naturales. 64. in : Coeficiente de correlación.
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RESUMEN En esta investigación se realizó la demostración y validez de los códigos programados en MATLAB para el análisis de la evaluación numérica a la respuesta dinámica, así como el cociente espectral H/V, y algunos parámetros de Dinámica estructural, también se realizó el algoritmo para corrección de línea base y filtrado de la señal por el filtro IIR Bandpass, con el fin de ampliar los conocimientos en esta temática. El uso de métodos a la respuesta dinámica permite obtener espectros de aceleraciones, velocidad y desplazamiento de una señal sísmica o una señal con ruido ambiental. Por otro lado la técnica de la razón espectral H/V permite el análisis de las tres componentes de una señal (NS, EW, Z) con la finalidad de obtener las respuestas espectrales máximas a partir de un cociente que toma las frecuencias máximas y mínimas. No obstante en el área estructural, también se programó un algoritmo, cuya finalidad es que permita analizar estructuras en 2D de n-grados de libertad. Cabe mencionar que el programa ordena de manera automática en matrices los valores de masas y rigideces de cada nivel de la estructura que se está analizando, para ello basta únicamente introducir los datos de los mismos. Además, se extraen gráficamente cada modo de vibrar, así como los valores de periodos fundamentales (Tn) y frecuencias naturales de vibración. Posteriormente se utilizó una señal sísmica, que primeramente haya sido corregida y filtrada en los cód igos elaborados, para obtener el espectro de desplazamiento y de Pseudo-aceleración, y de esta manera extraer los datos de desplazamientos y aceleraciones modales, en función de los periodos de la estructura. Estos datos, son de gran utilidad para calcular los cortantes basales y momentos que actúan en la base de la estructura.
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ABSTRACT In this investigation show and validity of code programmed in MATLAB for the numerical analysis of the dynamic response evaluation was performed, and the spectral ratio H/V, and Structural Dynamics some parameters, the correction algorithm is also conducted baseline and signal filtering by IIR Bandpass filter, in order to increase knowledge on this subject. Using the dynamic response methods allows to obtain spectra of acceleration, velocity and displacement of a seismic signal or a signal with background noise. Furthermore the technique of spectral ratio H/V allows the analysis of the three components of a signal (NS, EW, and Z) in order to obtain the maximum spectral responses from a ratio taking the maximum and minimum frequencies. However in the structural area, an algorithm was also scheduled, whose purpose is to analyze 2D structures of n-degrees of freedom. It is noteworthy that the program automatically ordered values in matrices mass and stiffness of each level of the structure being analyzed, it is sufficient to enter only the values thereof. Furthermore, each mode graphically extracted vibrate and fundamental periods values (Tn) and natural frequencies of vibration. Subsequently a seismic signal, which has been corrected first and codes developed filtered to obtain the spectrum of pseudodisplacement and acceleration, and thus extract the data of displacements and accelerations manners, depending on the periods used structure. These data are useful to calculate the basal cutting and moments acting at the base of the structure.
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1. INTRODUCCIÓN Con el advenimiento de las computadoras, la automatización de los procedimientos de cálculo en las distintas disciplinas de la ingeniería, ha permitido lograr avances que ha beneficiado de manera notable a la sociedad actual. Particularmente en áreas propensas a fenómenos naturales como son los sismos, es de gran relevancia entender cómo las distintas obras civiles interactúan con el emplazamiento de s uelo sobre el cual estas ubican y como este es afectado por la energía que es liberada por los terremotos. Para el análisis del efecto de las ondas sísmicas generadas por terremotos tanto en el emplazamiento de suelo como en las estructuras es a menudo realizado por software computacional, los cuales permiten modelar de manera bastante precisa los distintos fenómenos de propagación de ondas. Sin embargo, la mayoría de estos softwares son usados como caja negra dado que permiten únicamente ingresar los datos de entrada para la obtención de los resultados, lo cual no permite conocer los pasos previos e incluso las incertidumbres asociadas a los métodos usados por el programa. Esta limitante tiende a restringir la profundidad del estudio por ende da pocas facilidades para realizar investigaciones en la materia. En Nicaragua, la mayoría de estudios relacionados al comportamiento de sistemas de suelo y edificio han sido por medios de softwares comerciales, cuyo análisis se llevan a cabo con bastante exactitud y en ocasiones con poca flexibilidad, lo cual limita por un lado el detalle con que se estudian los parámetros dinámicos tanto de suelo como estructuras, y por otro lado la oportunidad de hacer experimentación o modelación bajo condiciones variables. Para poder llevar acabo la experimentación se debe aplicar investigaciones de parámetros dinámicos de sistemas, sometidos a cargas sísmicas por lo cual es necesario tener dominio de un lenguaje de programación apropiado como es el caso de MATLAB, en nuestro país algunos ingenieros en diversas universidades que promueven la investigación y el desarrollo de productos novedosos, han utilizado este software que tiene utilidad en diversos campos de la ciencia y la ingeniería, como por ejemplo: Obando et.al, 2010 y 2011; Chavarría & Berrios, 2013. Todos ellos han aplicado algoritmos en Matlab para hacer análisis de suelo y de estructuras. Con el fin de proponer una herramienta y demostrar su aplicación en el análisis de sistemas de suelo y estructuras, en este trabajo de investigación se propone el diseño y aplicación de rutinas de cálculos elaborados en MATLAB, las cuales estarían enfocadas en dos fases: 1
Procesamiento y análisis de señales sísmicas obtenidas en el terreno, así como cálculo de espectro elástico de respuestas basado en los métodos dominio de tiempo (Método de la interpolación de la excitación sísmica, Método de las diferencias centrales y Método de Newmark), también se incorpora al análisis de Dinámica de Suelo el espectro de Nakamura o Razón espectral H/V, que es utilizado por muchos ingenieros por su facilidad y confianza en los datos.
Diseño de las rutinas que estarán enfocadas en el cálculo de parámetros modales de sistemas múltiples grados de libertad, tales como periodo fundamental de la estructura y modos de vibrar, usando vectores propios, factores de partición modal, así como el cálculo de fuerzas laterales obtenidas de la combinación modal tales como CQC y SRSS.
Este trabajo tiene como objetivo principal demostrar la versatilidad y eficiencia en la aplicación del lenguaje MATLAB y por otro lado estimular a los investigadores en esta área a diseñar sus propias rutinas de cálculo, las cuales a su vez pueden ser validadas por softwares comerciales cuya eficacia y publicidad este aceptada.
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1.1.
JUSTIFICACIÓN
La ciudad de Managua, desde hace muchos años ha venido creciendo poblacionalmente, y por ende presenta mayor demanda en infraestructuras como: casa, hospitales, oficinas, centros turísticos, etc., por lo que ha venido avanzando territorialmente. Managua, se encuentra ubicada en una zona donde las actividades sísmicas son constantes debido al gran número de fallas existentes en todo el territorio, para ello es necesario que se cuente con estudios de respuesta sísmica del suelo que permitan evaluar las respuestas dinámicas que presentan las estructuras durante la excitación brusca del suelo. A la vez estas estructuras, al ser expuesta al movimiento sísmico, presentan deformaciones tales como: cortantes basales, daños en los muros de carga y de corte, fisuras en columnas y vigas, etc. Los estudios desarrollados a la fecha por Edwin A. Obando et al. (2011), hace necesario obtener espectros que permitan evaluar las capacidades de los tipos de suelos existentes en la ciudad de Managua, de la misma manera evaluar las condiciones con que se encuentran para soportar cualquier movimiento de un sismo, cuya finalidad es de obtener valores de aceleraciones y deformaciones máximas que se utilizan para el cálculo del comportamiento de las estructuras durante un evento sísmico. Uno de los aspectos de gran importancia es que las estructuras que se desean analizar y diseñar de acuerdo a las condiciones del sitio, tengan un mejor comportamiento dinámico durante un sismo, es decir, que el edificio se desplace en la misma dirección y velocidad del sismo, logrando que las deformaciones de los elementos estructurales sean mínimas. Actualmente, existen pocos conocimientos de estudios de respuestas sísmicas aplicados a las estructuras, solamente se cuenta con conocimientos de los parámetros de las características del suelo establecidos en el Reglamento Nacional de la Construcción (RNC-07). Los estudios previos hacen hincapié en una comparación de los espectros de respuesta que se realiza en el sitio y con el establecido en el RNC-07, esta investigación permitirá obtener habilidades de programación para la creación de rutinas que se limite en obtener espectros de diseño y de respuesta sísmica para una determinada estructura. En su lenguaje de programación se incorporará el lenguaje de MATLAB, con el fin de obtener valores de diseño y así realizar construcciones seguras para que soporte los desplazamientos sísmicos.
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1.2.
LIMITACIONES
En primera instancia, se hace la salvedad que estas rutinas programadas en MATLAB, son una herramientas destinadas para el análisis de parámetros de suelo y estructura, no propone en ninguna manera, el análisis de la estratigrafía del suelo en esta área, y en el área de estructura no realiza el diseños de elementos estructurales ni la revisión de los mismos, por lo cual el usuario deberá limitarse a obtener datos únicamente dinámicos para mejorar el comportamiento de la estructura ante cualquier sismo y de esa forma diseñar de manera eficiente los elementos estructurales importante. La herramienta se limita a realizar análisis de un sismo y algunos parámetros dinámicos de la estructura, como por ejemplo coeficiente de participación modal, cortante basal, fuerzas laterales externa, desplazamiento de cada nivel, combinaciones modales entre otras, es decir que el usuario al utilizar estos códigos para el análisis dinámico del suelo y la estructura, debe tener cuidado al adquirir ésta información de las rutinas. El usuario debe tener la limitante de no usar estas rutinas para el análisis no lineal de la evaluación numérica de la respuesta dinámica del suelo y en caso de la parte dinámica estructural, este solamente hace el análisis dinámico de los vectores propios, así como los modos de vibrar para marcos en el plano, en ninguna forma estas rutinas están diseñadas para el análisis dinámico en el espacio y no permite análisis de las torsiones. Otra limitante es que por el tiempo solamente se tomaron los tópicos de mayor relevancia para el análisis dinámico del suelo y de la estructura, por lo que no se pudo programar otros parámetros que a pesar de no tener mucha importancia en esta tesis si tiene influencia en la dinámica suelo y estructura, cabe mencionar que ambos campos tiene una amplia gama de información debido a los muchos estudios y descubrimientos científicos que han encontrado. Cabe mencionar que el usuario debe tener conocimiento en estas áreas de la ingeniería civil para poder manipular estas rutinas de manera correcta, ya que los creadores de estas no se hacen responsable del mal manejo de parte del usuario al obtener datos errón eos, también el usuario debe apegarse a lo que está programado, y no pedirle a esta rutinas lo que no está en ellas, ya que aún faltan parámetros de poca importancia pero que el usuario pueda necesitarla. Estos aspectos restringen ciertas consideraciones en el análisis de suelo y estructura, pero no implica que esta herramienta sea incapaz de realizar un análisis eficiente, ya que estas rutinas están validadas con software comerciales, y por ultimo debido al tiempo no se pudo elaborar un entorno gráfico, con la finalidad de mejorar el trabajo investigativo. 4
2. OBJETIVOS 2.1.
2.2.
OBJETIVO GENERAL Desarrollar códigos en MATLAB para cálculo de parámetros dinámicos en análisis sísmicos de suelo y estructuras.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS Diseñar un algoritmo para el manejo automatizado de corrección de línea base, filtrado de señales sísmicas e integración de registros acelerográficos. Crear rutinas para la elaboración de espectros de respuesta usando métodos de: Interpolación de la excitación sísmica, diferencia central y método de Newmark utilizando varios registros de entrada. Diseñar rutinas del método de razón espectral H/V, para que de forma automatizada se obtengan frecuencias máximas y mínimas de sismos que tengan sus tres componentes. Automatizar una rutina para una estructura de n-gados de libertad que permita calcular periodos y modos de vibrar, así como el coeficiente de partición modal. Determinar las fuerzas laterales obtenidas por los métodos CQC y SRSS, tomando en cuenta las fuerzas cortantes de un edificio de varios niveles. Validar los resultados obtenidos de los códigos respecto a los programas comerciales, tales como GEOPSY, DEEPSOIL V5.1 y SAP2000.
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3. MATLAB Y SUS APLICACIONES EN LA INGENIERÍA Con la modernización de los sistemas virtuales y la evolución de la informática, la ingeniería ha alcanzado un nivel de investigación avanzado en sus diferentes ramas. En la actualidad el análisis de parámetros de índole natural, como por ejemplo climatología, sismo, viento, etc., ha sido determinado por medio de software con mucha precisión en sus algoritmos y los resultados que estos arrojan son confiables. En nuestro país son pocas las personas investigadoras que se encargan de elaborar sus propias rutinas o algoritmos para analizar cualquier fenómeno natural, ya que las universidades no fomentan la investigación haciendo uso de sus propias herramientas informáticas, siempre se emplean software elaborados en otros países y los estudiantes quedan con un lago de dudas respecto al proceso de cálculo que hace el programa en su interior, lo que debilita el análisis de los resultados. En Nicaragua, han habido personas que han contribuido a la investigación ingenieril para mejorar el análisis dinámico de suelo y estructura, tal es el caso de PhD. Edwin Obando Hernández que elaboró una investigación sobre un mecanismo móvil del sensor de barreno de multi-profundidad para estudiar la base superficial del suelo mediante un modelo matemático llamado función de transferencia que no es más que un cociente que relaciona la respuesta de un sistema a una señal de entrada o excitación (Obando et.al, 2010 y 2011), también Rainer Parrales elaboro un estudio sobre las propiedades dinámicas del suelo en la ciudad de Managua realizando un código en MATLAB para analizar los resultados de la frecuencia natural del suelo, aplicando el método de Nakamura (Parrales, 2006); Y los Br. Darwin Chavarría y Freddy Berrios (Chavarría & Berrios, 2013), quienes elaboraron un software basados en lenguaje de programación MATLAB, que puede analizar estructuras bajo el método de las rigideces, este software lleva por nombre: AEstruct2D V1.0 , todas estas personas son investigadoras de la Universidad Nacional Autónoma de Nicaragua (UNAN-Managua), y como estudiantes tenemos que lograr fomentar en la UCA este espíritu investigativo, elaborando nuestros propios programas para obtener resultados confiables. Por otro lado, MATLAB no solo se aplica a la Ingeniería, también tiene aplicaciones en la ciencia como por ejemplo: En la climatología, medicina, economía, entre otr as aplicaciones como por ejemplo: En el área de filtrado de señales, también en las estadísticas, física etc.
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A pesar que en nuestro país, MATLAB no se incorpora en las áreas mencionadas anteriormente, si se aplica a la ingeniería, es una lástima que lo profesionales sean incapaz de usar este software porque piensan que ya existen programas en los cuales introducen un dato y obtiene resultados y a como se expone en párrafos anteriores debemos de quitar esa venda de los ojos para saber analizar de forma más certera los datos, es decir, que tengamos menos incertidumbre con los números que arrojan estos programas elaborados en otros países. MATLAB tiene otras aplicaciones como por ejemplo: Electrónica. Filtrado y procesamiento de señales sísmicas. Finanzas. Hidráulica.
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4. REVISIÓN DE LITERATURA: 4.1. GENERALIDADES 4.1.1. TIPOS DE ONDAS SÍSMICAS Hay varios tipos diferentes de ondas sísmicas, y todas ellos se mueven de maneras diferentes. Los dos principales tipos son ondas de compresión y ondas super ficiales.
Las ondas de compresión pueden viajar a través de las capas internas de la tierra, pero las ondas de super ficie sólo pueden moverse por la super ficie del planeta como las ondas sobre el agua. La energía de los terremotos genera ondas de c ompresión y ondas super ficiales.
Fig. 4.1: Tipos de ondas sísmicas
4.1.1.1.
Ondas de compresión
Recorriendo el interior de la tierra, las ondas de compresión llegan antes que las ondas super ficiales emitidas por un terremoto. Estas ondas son de mayor ancho de banda que las ondas de super ficie.
4.1.1.2.
Ondas P
El primer tipo de onda de compresión es la onda P u onda primaria. Esta es la más rápida de las ondas sísmicas, y, en consecuencia, la primera en “llegar” a una estación sísmica. La onda P puede moverse a través de roca sólida y los fluidos,
como el agua o las capas líquidas de la tierra. Comprime y descomprime la roca como las ondas de sonido hacen con el aire. A veces los animales pueden escuchar las ondas P de un terremoto. Los perros, por ejemplo, suelen comenzar ladrando histéricamente justo antes del terremoto (o más concretamente, antes de que las ondas super ficiales lleguen). Por lo general, la gente sólo puede sentir el golpe y el ruido de las ondas super ficiales.
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Las ondas P hacen que las partículas se muevan en la misma dirección en que se mueve la onda, que es la dirección en que la energía se mueve y es la dirección de propagación de la onda. 4.1.1.3.
Las ondas S
El segundo tipo de onda de las que se desplazan a través de la tierra es la onda S u onda secundaria, que es la segunda ola que se siente en un terremoto. Una onda S es más lenta que una onda P y sólo puede moverse a través de roca sólida, no a través de cualquier medio líquido. Es esta característica de las ondas S que llevó a los sismólogos a la conclusión de que el núcleo de la Tierra es líquido. Las ondas S mueven las partículas de roca arriba a abajo o de lado a lado – perpendicularmente a la dirección en que la onda está viajando (la dirección de propagación de la onda). 4.1.1.4.
Ondas Super ficiales
Estas ondas, también conocidas como ondas Love y Rayleigh, por los primeros investigadores que las estudiaron, viajan sólo a través de la corteza y son de una frecuencia más baja que las ondas S y P. Por eso se distinguen fácilmente en un sismograma a pesar de llegar después que las ondas de S y P, porque las ondas super ficiales son casi totalmente responsables de los daños y la destrucción asociada a los terremotos. Este daño y la fuerza de las ondas super ficiales resultan
menores en los terremotos cuyo hipocentro es más profundo.
4.1.2. EFECTOS SISMICOS SOBRE EDIFICIOS El aspecto de mayor importancia en el diseño estructural para resistir fuerzas sísmicas radica en el sistema lateralmente resistente del edificio. En la mayoría de los edificios, este sistema se compone de una combinación de elementos horizontales distribuidores (por lo regular, diafragmas de techos y piso) y eleme ntos verticales de arriostramiento muros de cortante, marcos rígidos, marcos armados, etc.). (E. Carreño & A. Suarez, 1999) La falla de cualquier parte de este sistema, o de las conexiones entre las partes puede producir daños importantes en el edificio, incluso la posibilidad del colapso total.
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La intensidad de la vibración inducida en un edificio depende tanto de las características del movimiento del terreno, como de las propiedades dinámicas de la estructura. A medida que la intensidad de la excitación aplicada al edificio aumenta, se generan cambios en las propiedades dinámicas del mismo, la que alteran su respuesta. En términos generales, el comportamiento deja de ser linear, la rigidez tiende a bajar y el amortiguamiento tiende a aumentar. (E. Carreño & A. Sua rez, 1999) La intensidad del movimiento sísmico es uno de los peligros al que están expuestas las construcciones. Para tomar en cuenta el peligro sísmico, frecuentemente se recurre al uso de espectros de diseño que dependen, entre otros aspectos, de la cercanía del sitio a las fuentes generadoras de temblores y de las condiciones locales del terreno. (Ulises Mena Hernández & Rocha, 2008). El conocimiento de las fuerzas de los terremotos, el análisis de sus efectos sobre las estructuras, el desarrollo de normas de construcción y los métodos para determinar el riesgo sísmico sobre las construcciones son algunas de las principales motivaciones para el estudio de los acelerogramas.(E. Carreño & A. Suarez, 1999)
4.1.3. FALLAS GEOLÓGICAS. Según (INETER, 2002) La ciudad de Managua cuenta con una elevada densidad de fallas geológicas activas y sufrió en 1931 y 1972 dos terremotos destructivos que causaron grandes pérdidas de vidas humanas y enormes daños materiales. Se cree que las fallas principales que atraviesan la parte central de Managua tiene pocos kilómetros de longitud y con esta característica pueden generar terremotos relativamente moderados de magnitudes hasta 6.5 Richter. Por otro lado, las fallas que forman los límites Este y Oeste del graven de Managua (Falla Cofradía, Falla Mateare).
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Fig. 4.2: Fallas 4.2: Fallas Geológicas del área de Managua (INETER, 2002)
Las fallas son fracturas en las cuales ha tenido lugar el desplazamiento relativo de los dos lados de la ruptura. La longitud de las fallas puede alcanzar desde varios metros hasta cientos de kilómetros y extenderse desde la superficie a varias decenas de kilómetros de profundidad. (Verastegui, Daniel, 1999). La presencia de fallas en la superficie no necesariamente implica que el área tiene actividad sísmica, así como la inexistencia de las mismas no n o implica que el área sea a sísmica, ya que muchas veces las fracturas no alcanzan a aflorar en la superficie (Figura 4.3). Si bien la superficie en una falla puede ser irregular, esta puede ser representada aproximadamente como un plano, el cual está descrito por su rumbo y buzamiento. El rumbo es la línea de intersección del plano de falla con un plano horizontal; el azimut del rumbo es utilizado para describir su orientación respecto al Norte y el buzamiento es el ángulo de inclinación desde el plano horizontal hasta el plano de falla. (Verastegui, Daniel, 1999).
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Fig. 4.3: Fallas 4.3: Fallas geológicas
4.1.4. TIPOS DE FALLAS FALLAS Según su movimiento, existen tres tipos de falla: normal, inversa y de desgarradura. Las fallas normales son propias de las zonas en tracción; se produce un desplazamiento hacia abajo de la porción inferior. Las fallas inversas corresponden a zonas de compresión, se produce un desplazamiento hacia arriba de la porción inferior a como se muestra en la figura 4.4. (Torrez & Inca, 2001).
Fig. 4.4: Tipos 4.4: Tipos de fallas geológicas según su desplazamiento
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4.2. IN 4.2. INST STRU RUME MENT NTOS OS DE MED MEDIC ICIÓ IÓN N Y REGIS REGISTR TROS OS SÍSM SÍSMIC ICOS OS 4.2.1. Sismógrafos Las características de las ondas sísmicas y su propagación han podido estudiarse gracias a instrumentos que registran las vibraciones sísmicas conocidos como sismógrafos. Dependiendo del tipo de instrumento utilizado se puede obtener el desplazamiento, velocidad o aceleración del suelo; lo cual está determinado por el rango útil de frecuencias a medir ( ω), con respecto a la frecuencia natural del instrumento (ωn). (Will (Williams, iams, 1998).
Fig. 4.5: Ejemplos de sismógrafos
Los sismógrafos registran el movimiento respecto al tiempo de un péndulo que oscila libremente dentro de un marco sujeto al suelo; este movimiento es registrado por un estilete o pluma sobre un tambor rotatorio. En los sismógrafos modernos, el movimiento del péndulo se convierte en señales electrónicas que se registran en la memoria de una computadora.
4.2.2. Acelerogramas Según (Torrez (Torrez & Inca, 2001) Los acelerómetr acelerómetros, os, también también conocid conocidos os como sismógrafos de movimiento fuerte, se diseñan para registrar directamente movimientos del suelo cercanos y producen un registro conocido como acelerograma.. Los instrumentos se orientan de tal forma que registren la acelerograma aceleración del suelo en función del tiempo para tres direcciones o componentes 13
normales. En la Figura 4.6 se muestran los acelerogramas registrados en una estación durante un sismo en Friuli (Italia), el 5 de mayo de 1976. El análisis sísmico requiere de la digitalización numérica de los acelerogramas, es decir convertir el registro en una serie de datos de aceleración - tiempo. Los acelerogramas dan una información directa del movimiento sísmico, especialmente apta para estimar la respuesta de las estructuras y edificios. La aceleración como medida instrumental de la intensidad se ha constituido así en el parámetro base para el análisis estructural sísmico.
Fig. 4.6: Acelerogramas correspondientes a las tres componentes de un sismo
Tradicionalmente, en el análisis dinámico de estructuras, las acciones sísmicas son introducidas como acelerogramas que actúan sobre la cimentación. Los programas computacionales usualmente permiten que un único acelerograma, que actúa de manera simultánea sobre todos los elementos que conforman la cimentación, sea las fuentes de las solicitaciones sísmicas. (Proaño, 2007) Existen circunstancias especiales en que el modelamiento mediante acelerogramas que actúan sobre la cimentación, es insuficiente para conocer el comportamiento dinámico de la estructura. Una de las alternativas viables cuando se emplean programas comerciales es la utilización de Diagramas de Desplazamiento. (Proaño, 2007). 14
Tanto el registro de acelerogramas como su tratamiento han ido cambiando a medida que han evolucionado los sistemas de adquisición y el almacenamiento y procesado de los datos. (Espinoza & Gilmore, 2002) El conocimiento de las fuerzas que actúan sobre un emplazamiento, debida a los terremotos, el análisis de sus efectos sobre las estructuras, el desarrollo de normas de construcción y los métodos para determinar el riesgo sísmico sobre las construcciones son algunas de las principales motivaciones para el estudio de acelerogramas. En ellos, el parámetro de mayor interés es la aceleración del suelo, aunque también son importantes, la velocidad y el desplazamiento. Así si suponemos una estructura simple con una masa concentrada en su tejado y consideramos la fuerza lateral concentrada en los elementos verticales, que serían las paredes o columnas. (Espinoza & Gilmore, 2002) 4.2.2.1.
Correcciones de Acelerogramas
Para obtener una determinación lo más exacto posible de los valore s de aceleración que se han producido durante un terremoto en el lugar de registro, es necesario hacer un cuidadosos tratamiento de los registros, puesto que los datos que se recogen en campo están en un formato original propio del acelerógrafo (binario), será necesario hacer un conversión de los mismos a formato ASCII.(E. Carreño & A. Suarez, 1999). El acelerograma obtenido, presenta una serie de errores que deberán ser corregidos para que dicho registro sea apto para ser utilizado. A continuación se presentan los distintos métodos para corregir los datos obtenidos: 4.2.2.1.1. Corrección instrumental Consiste en la convolución del registro con la función de transferencia del instrumento. Para ello, debemos conocer las constantes de calibración del instrumento, como son la sensibilidad del acelerómetro, la frecuencia natural ω n, y el amortiguamiento obteniéndose así un acelerograma corregido. (E. Carreño & A. Suarez, 1999). 4.2.2.1.2. Corrección de línea base A veces, ocurre que los valores del acelerograma se encuentran desplazados respecto a la línea cero de aceleración. Este error puede ocurrir porque el acelerógrafo no esté perfectamente nivelado en su emplazamiento, o bien porque el sistema de registro provoque una deriva de los datos respecto a la línea de base. 15
Aunque este error puede ser inapreciable en aceleración, puede ser muy importante cuando se obtienen la velocidad y el desplazamiento por integración, ya que estamos contabilizando el área que hay entre la curva de aceleración y la línea de base.
Fig. 4.7: Visualización del fichero binario correspondiente a un acelerograma obtenido en el acelerógrafo de Agrón (GR), el 24/02/97. Correspondiente al terremoto con epicentro en Huelma (GR), de m R=4.3
4.2.2.2. Métodos para filtrar acelerogramas 4.2.2.2.1. Filtros ideales Los filtros ideales, son aquellos que están definidos como una función escalonada, del siguiente modo: a) Filtro ideal paso-bajo: Elimina todas las frecuencias superiores a una dada 0 y deja pasar sin atenuación las frecuencias inferiores. b) Filtro ideal paso-altas: Elimina todas las frecuencias inferiores a una dada 0 y deja pasar sin atenuación las frecuencias superiores. c) Filtro ideal paso-banda: Elimina todas las frecuencias inferiores a una dada 1 y las superiores a 2 , y deja pasar sin atenuación las comprendidas entre 1 y 2 . Un ejemplo de todos ellos lo vemos representado en la Figura 4.8.
16
Fig. 4.8: Comportamiento de los filtros ideales paso -bajas, paso-altas, paso-banda.
Pero en la práctica, estos filtros ideales no se pueden utilizar, ya que su función de transferencia en el tiempo es de longitud infinita. Sin embargo, se utilizan aproximaciones a ellos, con filtros tales como el “box car” o “Bartlett”, el “Hanning”, el “Butterworth frecuencial” o lo s filtros Gaussianos, (Figura 4.9).(E. Carreño & A.
Suarez, 1999).
Fig. 4.9: Ejemplos de algunos filtros digitales.
17
4.2.2.2.2. Filtros Ormsby El filtro digital más utilizado, es el filtro Ormsby, ya que es una aproximación a un filtro ideal en el dominio de las frecuencias, y que además tiene definición en el dominio del tiempo. Si consideramos el caso del filtro Ormsby paso-bajas, las expresiones matemáticas de la función de transferencia, viene dada por:
Si Si Si
H ( )
t t c
H ( )
H ( )
(Ec. 4.1) (Ec. 4.2) (Ec. 4.3)
Siendo:
(Ec. 4.4)
La frecuencia angular, donde es la línea; frecuencia de terminación.
es la frecuencia de corte y la
Su forma gráfica la podemos ver en la figura 4.10. Este filtro se aplica en el dominio del tiempo mediante la convolución de la señal con la respuesta del filtro: S (t )
(Ec. 4.5)
s ( ) h(t ) dt
Siendo S´ (t) la señal filtrada, S (t) la señal sin filtrar y h (t) la respuesta temporal del filtro.
Fig. 4.10: Filtro Ormsby
18
Una de las principales ventajas del filtro Ormsby es que no s permite conocer el error que cometemos respecto a la función de transferencia ideal. El filtro Ormsby pasoaltas, se define como: 1 H ( )
(Ec. 4.6)
El filtro de Ormsby paso-banda, es una combinación de ambos, y precisa de dos pares ( c , t ). 4.2.2.2.3. Filtros por ruidos Una vez que el acelerograma ha sido corregido tanto de línea base como de corrección instrumental, habrá que tener en cuenta la rep ercusión que el ruido tiene sobre el acelerograma. Este ruido puede estar causado tanto por fenómenos naturales como por el tratamiento de los datos. Así podremos considerar que el acelerograma es la suma de la señal sísmica más el ruido, con la siguiente ecuación: (Ordaz & Montoya, 2000). a(t ) s(t ) r (t )
(Ec. 4.7)
Donde: a (t) el acelerograma sin corregir. s (t) la señal sísmica r (t) el ruido.
Fig. 4.11: Izqda.: Efecto del ruido de alta frecuencia, Drcha.: Efecto del ruido de baja frecuencia
19
El ruido que afecta al acelerograma puede ser de dos tipos:
a) Ruido de alta frecuencia: Cuando aparece por encima de la banda de frecuencias en la que trabajamos. Este ruido afecta fundamentalmente a los picos de aceleración. Sin embargo, no afecta mucho en el proceso de integración, ya que el área bajo la curva es prácticamente la misma que para la señal corregida, dado que las desviaciones por encima y por debajo se compensan. b) Ruido de baja frecuencia: Cuando aparece por debajo de la banda de frecuencias en la que trabajamos. Afecta al proceso de integración básicamente, ya que al integrar la aceleración para obtener velocidad y desplazamiento, estamos obteniendo el área bajo la curva. 4.3.
EVALUACIÓN NUMÉRICA DE LA RESPUESTA DINÁMICA
4.3.1. Método de la interpolación de la excitación sísmica Según (Chopra, 2014), en el caso de los sistemas lineales es posible desarrollar un procedimiento numérico muy eficiente mediante la interpolación de la excitación en cada intervalo de tiempo y el desarrollo de la solución exacta usando los métodos del capítulo 4. Si los intervalos de tiempo son cortos, la interpolación lineal es satisfactoria. En la figura 4.12 se muestra que durante el intervalo de tiempo la función de excitación está dada por: pi p( ) pi (Ec. 4.8) t i
Fig. 4.12: Notación para una excitación interpolada linealmente
Donde
pi pi 1 pi
(Ec. 4.9)
20
Y la variable de tiempo t varía de 0 a _ ti . Por simplicidad algebraica, se consideran primero los sistemas sin amortiguamiento; más tarde, el procedimiento se ampliará para incluir este parámetro. La ecuación a resolver es: (Ec. 4.10)
Sometidas a las condiciones iniciales . La respuesta durante el intervalo de tiempo es la suma de tres partes:
1. La vibración libre debido al desplazamiento inicial y la velocidad en . 2. La respuesta a la fuerza de paso con condiciones iniciales nulas. 3. La respuesta a la fuerza incremental ( ) con condiciones iniciales nulas.
Al adaptar las soluciones disponibles para estos tres casos en los puntos:
(Ec. 4.11) (Ec. 4.12) (Ec. 4.13)
Respectivamente se obtiene:
conduce a:
(Ec. 4.14)
Y la diferenciación de
Si se evalúan estas ecuaciones en velocidad en el instante i+1:
(Ec. 4.15)
, se obtiene desplazamientos y la
(Ec. 4.16) (Ec. 4.17)
21
Estas ecuaciones pueden reescribirse después de sustituir la ecuación (5.2.1b) como fórmulas de recurrencia:
(Ec. 4.18) (Ec. 4.19)
Al repetir la deducción anterior para los sistemas amortiguados por debajo del nivel crítico (es decir, ), se observa que las (Ec. 4.19) también son aplicables a los sistemas amortiguados con las expresiones para los coeficientes A, B,…, D’ dadas en la tabla A10.1 (ver tabla en anexo). Los coeficientes dependen de los parámetros del sistema y , y del intervalo de tiempo
Como las fórmulas de recurrencia provienen de la solución exacta de la ecuación de movimiento, la única restricción en el tamaño del paso de tiempo es que permita una aproximación cercana a la función de excitación y que proporcione resultados de respuesta en intervalos de tiempo lo suficientemente cercanos de manera que no se pierdan los picos de la respuesta.
Este procedimiento numérico es de gran utilidad cuando la excitación se define en intervalos de tiempo espaciados de tal forma (Como en la aceleración del suelo en un sismo) que la interpolación lineal es en esencia perfecta. Si el paso de tiempo es constante, los coeficientes A, B,…, D’ necesita calcularse solo una vez.
Fig. 4.13: Gráfico de la fuerza P i en el tiempo.
4.3.2. Método de las diferencias centrales (Chopra, 2014) Este método se basa en una aproximación por diferencias finitas de las derivadas temporales del desplazamiento (es decir, la velocidad y la aceleración). Si se toman pasos de tiempo constantes, las expresiones de diferencias centrales para la velocidad y la aceleración en el tiempo i son:
22
(Ec. 4.20)
Al sustituir estas expresiones aproximadas para la velocidad y la aceleración en la ecuación (5.1.3), especificada para sistemas elástico lineal, resulta:
(Ec. 4.21)
En esta ecuación, y ya se conocen (a partir de la aplicación del procedimiento para los pasos de tiempo anteriores). La transferencia de estas cantidades conocidas al lado derecho conduce a:
(Ec. 4.22)
O
Donde:
(Ec. 4.23) (Ec. 4.24)
Y
(Ec. 4.25)
Entonces, la incógnita ui+1 está dada por:
(Ec. 4.26) La solución ui+1 en el tiempo i + 1 se determina a partir de la condición de equilibrio, ecuación (4.21), en el tiempo i sin usar la condición de equilibrio, ecuación (4.22), en el tiempo i + 1. Estos métodos se denominan métodos explícitos. (Ec. 4.27) ;
Si se despeja u1 de la primera ecuación y se sustituye en la segunda, resulta (Ec. 4.28) El desplazamiento inicial u0 y la velocidad inicial están dados y la ecuación de movimiento en el tiempo 0 (t 0= 0) (Ec. 4.29) Proporciona la aceleración en el tiempo 0: (Ec. 4.30) La Tabla A10.2 (ver en anexo) resume el procedimiento ya antes descrito, tal y como podría implementarse en una computadora. El método de la diferencia central podría “fallar”, dando resultados sin sentido, debido al redondeo numérico si el paso
23
de tiempo elegido no es lo suficientemente corto. El requisito específico para su estabilidad es: (Ec. 4.31) Esto nunca es una limitación para los sistemas de 1GDL debido a que es necesario elegir un paso de tiempo mucho más pequeño si se desea obtener resultados exactos. Por lo regular, para definir la respuesta adecuadamente, y en la mayoría de los análisis de respuestas ante sismos se elige un paso de tiempo aún más corto (generalmente Δt =0.01 a 0.02 s) para definir la aceleración del terreno üg (t ) con precisión.
4.3.3. Método de Newmark Según (Chopra, 2014), en 1959, N. M. Newmark desarrolló una familia de métodos paso a paso en el tiempo basándose en las siguientes ecuaciones: .
.
..
..
1 t U t U t U 0.5 t U t U
U i 1 U i
i
.
U i 1 U i
2
..
2
i
(Ec. 4.32)
i 1
..
(Ec. 4.33)
i 1
Los parámetros y definen la variación de la aceleración durante un paso de tiempo y determinan las características de estabilidad y precisión del método. La selección típica de es de 1/2, y es satisfactoria desde todos los puntos de vistas, incluido el de la precisión. Estas dos ecuaciones, en combinación con la ecuación de equilibrio (Ec.4.32) al final del paso de tiempo, proporcionan la base para calcular en el tiempo i+1 a partir de conocidas en el tiempo i. Para implementar estos cálculos es necesario iterar debido a que la desconocida aparece en el lado derecho de la ecuación (Ec.4.32). Por otro lado, para los sistemas lineales es posible modificar la formulación original de Newmark, a fi n de permitir la solución de las ecuaciones (Ec.4.32) y (Ec.4.33) sin iteración. Antes de describir esta modificación se demuestra que los conocidos métodos de la aceleración promedio constante y el método de la aceleración lineal son dos casos especiales del método de Newmark.
Casos especiales Para estos dos métodos, la tabla A10.3 (ver tabla en anexo) resume el desarrollo de la relación entre las respuestas en el tiempo i +1 las cantidades correspondientes en el tiempo i . La ecuación (a) describe los supuestos de que la variación de la aceleración durante un paso de tiempo es constante, igual a la aceleración promedio, o que varía linealmente. La integración de da la ecuación
24
(b) para la variación de la velocidad en el paso de tiempo, en el que se sustituye para obtener la ecuación (c) de la velocidad en el instante i +1. La integración de de la ecuación (d) para la variación del desplazamiento en el paso del tiempo, en el que se sustituye para obtener la ecuación (d) del desplazamiento en el instante i +1. Al comparar las ecuaciones (c) y (d) con la ecuación (a), se demuestra que las ecuaciones de Newmark con y son iguales a las que se deducen suponiendo una aceleración promedio constante y aquellas con y corresponden al supuesto de una variación lineal de la aceleración.
Sistema Lineal Para los sistemas lineales es posible modificar la formulación original de Newmark: (Ec. 4.34) De la ecuación (4.33) puede expresarse en terminos de :
(Ec. 4.35)
Si se sustituye la ecuación (4.35) en la ecuación (4.32), resulta
(Ec. 4.36)
Enseguida, las ecuaciones (4.35) y (4.36) se sustituyen en la ecuación que controla el movimiento (4.34) en el instante i +1. Esta sustitución da: (Ec. 4.37)
Donde
(Ec. 4.38)
Y
(Ec. 4.39) Con y conocidas a partir de las propiedades del sistema m, k y c, los parámetros del algoritmo y , y el estado del sistema en el tiempo i definido por , el desplazamiento en el tiempo se calcula como: (Ec. 4.40) 25
Según (Chopra, 2014), una vez que se conoce , la velocidad y la acelración pueden calcularse a partir de la (Ec. 4.35) y (Ec. 4.31), respectivamente. La aceleración tambein puede obtenerse con base en la ecuación del movimiento en el tiempo .
(Ec. 4.41)
En vez de hacerlo mediante la ecuación (4.35). Para inicair los calculo en cada paso de tiempo, se requiere la ecuación (4.36) a fin de obtener (vea la ecuación 4.24). En el metodo de Newmark la solución en el tiempo se determina apartir de la ecuación (4.34), la condición de equilibrio en el tiempo . Estos métodos se denominan “ Métodos implicitos ”. Aunque la fuerza restauradora es una función implícita de la desconocida, fue fácil de calcular para los sistemas lineales. En la tabla A10.4 (ver tabla en anexo) se resume la solución paso a paso en el tiempo utilizando el método de Newmark, tal como podría implementarse en una computadora.
El método de Newmark es estable si:
(Ec. 4.42)
y ), esta condición se convierte en: Para (
(Ec. 4.43a)
Lo anterior implica que el método de la aceleración promedio constante es estable para cualquier , sin importar cuan grande sea; sin embargo, es exacto solo si es lo suficientemente pequeño. Para un ( y ), la ecuación (4.42) indica que el método de la aceleración lineal es estable si:
(Ec. 4.43b)
Sin embargo, como en el caso del método de la diferencia central, esta condición tiene poca importancia en el análisis de los sistemas de 1GDL debido a que es necesario utilizar un paso de tiempo mucho más corto que 0.551T n si se desea obtener una representación exacta de la excitación y la respuesta.
4.3.4. Transformada rápida de Fourier (FFT) La transformada rápida de Fourier es un método matemático para la transformación de una función del tiempo en una función de la frecuencia. A veces se describe como la transformación del dominio del tiempo al dominio de frecuencia. En MATLAB, es un algoritmo que reduce el tiempo de cálculo de n2 pasos a n·log2(n). 26
El único requisito es que el número de puntos en la serie tiene que s er una potencia de 2 (2n puntos).
4.3.5. Método de Nakamura: Relación espectral H/V Nakamura propuso en el año 1989, que el cociente entre la componente horizontal y la componente vertical en el dominio frecuencial era un buen estimador de la respuesta de sitio. Esta técnica se aplicó por primera vez a microtemblores de zonas urbanas de Japón. (Infante, 2006) Nakamura supone que la razón H/V o ratio espectral corresponde a la función de transferencia de los niveles superficiales sometidos a movimientos horizontales. Basa su trabajo en la hipótesis de que un microtemblor está compuesto por un cuerpo principal de ondas y por ondas superficiales Rayleigh, inducidas por fuentes artificiales (trenes, tráfico, etc.). Estas ondas superficiales se consideran perturbaciones que es necesario eliminar.(Infante, 2006) En un artículo reciente, Nakamura (2000) mantiene su opinión original en la cual la relación H/V en el rango de frecuencia pico no se ve afectada por el modo fundamental de las ondas Rayleigh. Explica este pico como un resultado directo de la múltiple refracción de las ondas SH.(Infante, 2006)
Fig. 4.14: Esquema del modelo seguido por Nakamura (1989)
(Infante, 2006) Para lograrlo, Nakamura realizó los siguientes postulados: Las ondas Rayleigh sólo afectan a la parte superior del nivel y en cambio no afectan a la base del nivel de suelo. 27
El efecto de las ondas Rayleigh es visible principalmente en el movimiento vertical, y por tanto se puede definir el ratio. S VS
Es
(Ec. 4.44)
S VB
Donde: SVS y SVB corresponden al espectro de amplitudes de Fourier en la superficie S y en la base B del nivel. Este ratio toma el valor de 1 si no existe presencia de ondas Rayleigh y <1 si se incrementa la presencia de estas ondas superficiales. El efecto de la onda Rayleigh es igual en superficie para el movimiento vertical y horizontal Nakamura propuso una función de transferencia modificada corregida para ondas Rayleigh. Una expresión de la función de transferencia clásica es:
S T
S HS S HB
(Ec. 4.45)
Donde SHS y SHB corresponden al espectro de amplitud de Fourier en la superficie S y la base B del nivel del suelo. La función de transferencia modificada propuesta por Nakamura tiene la siguiente expresión: S M
S T S ES
S HS * S VB S HB * S VS
(Ec. 4.46)
Donde: SM (ec.4.46). F, es la función de transferencia modificada, S T es el ratio y S VB la base y la superficie del estrato, respectivamente. Y S VS es la función de transferencia clásica según son los espectros de amplitudes de Fourier en la base y superficie del estrato, respectivamente. Esta ecuación se simplificó a partir de los resultados en tres ciudades Japonesas que para el rango frecuencial de 0.1 a 20 Hz establecían que: S HB S VB
1
(Ec. 4.47)
Por tanto, la función de transferencia modificada de Nakamura se expresa como: S M
S HS S VS
(Ec. 4.48)
Según la relación anterior (Ec. 4.48), la función de transferencia en las capas superficiales es posible estimarla empleando solamente el movimiento en superficie.
28
Nakamura concluye que la relación o cociente espectral entre la componente horizontal y vertical del movimiento en un mismo sitio puede ser usada como un estimativo de los efectos de sitio en lugar de estudio. En la figura 4.15 se presenta un esquema que describe la técnica de relación espectral entre la componente horizontal y vertical del movimiento registrado en la superficie de una capa sedimentaria (relación espectral H/V).
Fig. 4.15: Descripción de la Razón Espectral H/V (Modificado de Ansal, 2004)
4.4.
TIPOS DE ESPECTROS DE RESPUESTAS
4.4.1. Espectro de respuesta Los espectros de respuesta fueron inicialmente propuestos por Biot en el año 1932 y luego desarrollados por Housner, Newmark y muchos otros investigadores. Actualmente, el concepto de espectro de respuesta es una importante herramienta de la dinámica estructural, de gran utilidad en el área del diseño sismo resistente. De forma general se puede definir espectro como un gráfico de respuesta máxima (expresada en términos de desplazamientos, velocidad, aceleración o cualquier otro 29
parámetro de interés) que produce una acción dinámica determinada en una estructura u oscilador de un grado de libertad(Crisafulli & Villafañe, 2002). Se puede definir una variedad de espectros de respuesta en función de la cantidad de respuesta que se grafique. Se pueden obtener las respuestas de los siguientes picos a partir de: uo
(T n , ) max u (t , T n , )
.
.
(T n , ) max u (t , T n , )
uo ..
uo
(Ec. 4.49)
t
(Ec. 4.50)
.. t
(T n , ) max u (t , T n , )
(Ec. 4.51)
Donde: u o = Espectro de respuesta de deformación .
uo= ..
uo=
Espectro de respuesta de velocidad Espectro de respuesta de aceleración
T n = Periodo natural de vibración =
Amortiguamiento Los espectros de respuesta u o se pueden graficar versus Tn para un fijo. Se .
..
pueden hacer lo mismo para u o y u o . (Chopra, 1995) 4.4.1.1.
Espectro de respuesta de Deformación
Para obtener un espectro se procede a sacar los máximos de la respuesta dinámica de desplazamiento relativo de la masa respecto al suelo para sistemas con diferentes períodos e igual amortiguamiento y se gráfica contra el período de vibración del sistema. El máximo valor del desplazamiento relativo que tendría un sistema de un grado de libertad, con ciertas características es: Sd (T , ) u max
(Ec. 4.52)
El espectro de desplazamiento es de utilidad para determinar la máxima fuerza en el resorte o columnas de un sistema de un grado de libertad con un período T cuando se somete a un determinado sismo. En la Figura 4.16 Se muestra el procedimiento para la obtención del espectro de respuesta de deformación, el cual fue desarrollado para el movimiento sísmico de 30
“El centro”, Figura 4.16a. La variación de deformación inducida por el movimiento
del suelo se muestra en la figura 4.16b, donde en cada sistema el valor pico de deformación es determinado a partir del histograma de deformación. El valor de la amplitud u0 es determinado para cada sistema en el espectro de respuesta de deformación. Si repiten los cálculos para un rango de valores de Tn, manteniendo constante, se puede obtener el espectro de respuesta de deformación Figura 4.16c. (Chopra, 1995)
Fig. 4.16: a) Aceleración del suelo b) Respuesta de deformación de tres sistema SDF con =2% y Tn=0.5, 1, 2 seg. c) Espectro de respuesta de deformación para =2%. (Chopra, 1995)
4.4.1.2.
Espectro de respuesta de Pseudo-Velocidad
Considerando una cantidad V para un sistema simple de frecuencia natural, n relacionada con una deformación pico D uo, debido al movimiento sísmico del suelo, se puede determinar el espectro de respuesta de Pseudo-Velocidad, a partir de la siguiente expresión (Chopra, 1995):
V n D
2 D T n
(Ec. 4.53)
Donde: V= Pseudo Velocidad Pico
31
4.4.1.3.
Espectros de respuesta de Pseudo-Aceleración
Considerando una velocidad A para un sistema simple de frecuencia natural n, relacionado a una deformación pico D uo debido al movimiento sísmico del suelo, se puede determinar el espectro de respuesta de Pseudo-aceleración a partir de la siguiente ecuación (Chopra, 1995).
2 A n D T n 2
2
(Ec. 4.54)
D
Donde: A= Pseudo-aceleración Pico. 4.4.1.4.
Construcción del espectro de respuesta .
El espectro de respuesta para un componente u g (t ) de movimiento del suelo puede ser desarrollado a partir de los siguientes pasos: ..
1. Definir numéricamente la aceleración del suelo, u g (t ) : Típicamente, las ordenadas del movimiento del suelo son definidas cada 0.02 segundos. 2. Seleccionar el periodo natural de vibración T n y la relación de amortiguamiento de un sistema SDF. 3. Calcular la respuesta de deformación u (t) de este sistema debido al
..
4. 5. 6. 7.
4.5.
movimiento del suelo u g (t ) por cualquier método numérico. Determinar la amplitud máxima, u o. Las ordenadas espectrales son: D= uo, V= (2 /Tn)*D y A= (2 /Tn)2*D Repetir los pasos del 2 al 5 para un rango de valores T n y Presentar los resultados de los pasos 2 al 6 gráficamente, ya sea por separado o combinados.
ANÁLISIS DINÁMICO Y RESPUESTA DE LOS SISTEMAS LINEALES
4.5.1. Generalidades En dinámica estructural, el número de coordenadas independientes necesario para especificar la configuración o posición de un sistema en cualquier instante de tiempo se conoce como el número de grados de libertad. Toda estructura continua tiene un número infinito de grados de libertad. (Paz, 1992). Las estructuras simples son aquellas pueden idealizarse como una masa m concentrada o agrupada soportada por una estructura sin masa con rigidez k en la 32
dirección lateral. Dicha idealización es apropiada para esta pérgola con un techo de concreto pesado sostenido por columnas ligeras de tubo de acero, que pueden suponerse carentes de masa. El techo de concreto es muy rígido y la flexibilidad de la estructura en la dirección lateral (u horizontal) la proporcionan en su totalidad las columnas.(Chopra, 2014)
Fig. 4.17: sistema de un grado de libertad, (a) fuerza aplicada p (t); (b) movimiento del terreno inducido por un sismo.
4.5.1.1.
Excitación sísmica
Según (Nicola Tarque Ruíz & Fuentes, 2003) La respuesta del oscilador viscoelástico sometido a un movimiento en su base, se determina resolviendo la ecuación diferencial: ..
.
..
(Ec. 4.55) Donde el término del segundo miembro de la ecuación representa una fuerza externa equivalente a la excitación sísmica ü s (t), que se representa como la aceleración en la base de la estructura en función del tiempo. La solución de esta ecuación despreciando la componente de la vibración libre, que se disipa rápidamente, es: m u c u ku m u s (t )
u (t )
1
D
1 ..
u( )e
[ wn ( t )]
sen [ D (t )]d
(Ec. 4.56)
0
Donde ωD es la frecuencia circular natural amortiguada de la estructura. Dada la complejidad de la (Ec. 4.56) y la gran variabilidad que presenta la aceleración Del suelo ü s (t), la evaluación en forma analítica del desplazamiento u (t) es prácticamente imposible. 4.5.1.2.
Modos de vibración y frecuencias naturales
En el análisis del comportamiento elástico de las estructuras, las frecuencias y los modos naturales cumplen un rol importante en la evaluación de la respuesta dinámica, ya que se encuentran relacionados con la forma que el sistema responde ante una solicitación.(Nicola Tarque Ruíz & Fuentes, 2003) . 33
Recordando que la ecuación del movimiento en vibración libre está dada por (Bazán & Meli, 2007): ..
(Ec. 4.57) La representación matemática de los modos ϕ de un sistema no amortiguado en vibración es: u(t ) qn (t ) n (Ec. 4.58) mu ku 0
Derivando dos veces la (Ec. 4.58): ..
u (t )
(Ec. 4.59)
n2 q n (t ) n
Donde: ..
(Ec. 4.60) Reemplazando ecuaciones (4.57), (4.58) en (4.56) obtenemos sistemas de ecuaciones lineales homogéneas: q n (t ) n2 q n (t )
[ n2 m n k n ]qn (t ) 0
(Ec. 4.61)
Donde qn (t) representa la variación de los desplazamientos en el tiempo, y se determina con la expresión: qn (t ) An cos n t Bn sen n t
(Ec. 4.62)
Los valores An y Bn de la ecuación (4.65) se calculan en función de las condiciones iniciales del sistema. La ecuación (4.61) presenta dos soluciones. La primera se determina cuando qn (t ) 0 , por lo tanto u(t ) 0 , entonces no existe movimiento del sistema. Ésta es la denominada “solución trivial”. La se gunda se obtiene igualando a cero la expresión
[ n2 m n
k n ] de
k n n2 m n
la ecuación (4.61): (Ec. 4.63)
La solución de esta ecuación, se conoce como problema de valor propio, para el cual existen diversos métodos y algoritmos de solución. Despejando la ecuación (4.67) y sacándole factor común resultaría la siguiente expresión: [k n2 m] n 0 (Ec. 4.64) 34
La (Ec. 4.64) se analiza para un conjunto de N ecuaciones homogéneas, donde la solución trivial ϕn=0 se descarta, por lo que la solución es: det[k n2 m] 0
(Ec. 4.65) En la ecuación (4.65) se deben obtener N valores de frecuencias circulares de 2
vibración, siendo conocido el factor n como valor propio. Debido a que las matrices m y k, son simétricas y positivas, se puede comprobar que las raíces de la e cuación característica serán siempre reales y positivas. 4.5.1.3.
Matrices modales y espectrales
Según (Chopra, 2014) Los N valores propios, y sus respectivas frecuencias naturales y modos de vibración, se ensamblan en matrices. Los N vectores propios se pueden evaluar en una sola matriz cuadrada (Ec. 4.66), donde cada columna representa un modo natural de vibración:
11 12 jn 21 22 : : N 1 N 2
... ...
1 N
2 N
: : ... NN
(Ec. 4.66)
La matriz se le suele llamar matriz modal, y a la matriz de valores propios matriz espectral:
,
12 22 2 (Ec. 4.67) : 2 Cada valor y vector propio debe cumplir con la (Ec. 4.64), que se expresa como: k n
m n n2
(Ec. 4.68)
La ecuación (4.67) es equivalente a: k m 2
(Ec. 4.69)
35
4.5.1.4.
Ortogonalidad de los modos de vibrar
Según (Bazán & Meli, 2007) Es posible demostrar que los modos naturales correspondientes a las diferentes frecuencias naturales satisfacen las siguientes condiciones de ortogonalidad cuando n r . nT k r 0
(Ec. 4.70)
nT m r 0
(Ec. 4.71)
4.5.1.5.
Normalización de los modos de vibrar
Al calcular los modos de vibración natural, se obtiene valores relativos. relativos . Si el vector n es un modo natural, cualquier vector proporcional a n es en esencia el mismo modo natural, puesto que cumple con la (Ec. 4.72). En ocasiones, se aplican factores de escala a los modos naturales para estandarizar sus elementos asociados con varios grados de libertad. Este proceso se llama normalización normalización.. A veces resulta conveniente normalizar cada modo de forma que su elemento más grande sea la unidad. Otras veces, puede ser ventajoso normalizar cada modo de forma que el elemento que corresponde a un grado de libertad particular, por ejemplo, el piso superior de un edificio de varios niveles, sea la unidad. En los análisis teóricos y los programas de computación es común normalizar los modos de manera que Mn tenga valores unitarios. La manera de normalizar los modos es la siguiente: Mn nT m n
4.5.1.6.
(Ec. 4.72)
Amortiguamiento
El amortiguamiento es el proceso causante de que un movimiento vibratorio disminuya su amplitud con el tiempo. Su origen puede ser diverso: por rozamiento de dos superficies, como consecuencia de la fricción interna o histéresis del propio material.(Nicola Tarque Ruíz & Fuentes, 2003) Para aproximar las distintas formas de amortiguamiento es habitual en dinámica estructural emplear un amortiguamiento viscoso. En este caso la fuerza amortiguadora es proporcional a la velocidad. .
Fa c x
(Ec. 4.73) 36
Donde la constante c de amortiguamiento equivalente es tal que origina la misma disipación de energía que la producida por el amortiguamiento real de la estructura. 4.5.1.6.1. 4.5.1 .6.1. Vibraci Vibraciones ones libres de sistemas amortiguados amortiguados En la figura 4.18, se representa esquematizado el sistema de un grado de libertad con amortiguamiento viscoso.
Fig. 4.18: 4.18: Sistema de un grado de gdl con amortiguamiento viscoso. Equilibrio de Fuerzas
Ecuación de movimiento: ..
.
(Ec. 4.74)
m x c x kx 0
La solución a esta ecuación tiene la forma: x(t ) e
c 2m
t
A e
r 1t
1
A2 e r t 2
(Ec. 4.75)
Donde r 1 es= r 1
c2
4m 2
k m
r 2
(Ec. 4.76)
Donde A1 y A2 se calculan de nuevo a partir de las condiciones iniciales. La respuesta del sistema depende del valor de r 1 y r 2 en la (Ec. 4.76). Se pueden distinguir dos casos: Si
c2 4m 2
k m
las raíces r 1 y r 2 son reales. El sistema está sobre amortiguado y
tiende exponencialmente a su posición de equilibrio sin oscilar (a como se demuestra en la figura 4.19). En el caso particular en que r 1 y r 2=0 se dice que el sistema está críticamente amortiguado, ya que tiende a la posición de equilibrio en el menor tiempo posible. Esto sucede para un valor crítico de la constante de amortiguamiento, c cr, que se muestra a continuación: 2
ccr 2 4m
k
ccr 4km 2m n m
(Ec. 4.77)
37
La relación entre la constante de amortiguamiento de un sistema y la constante de amortiguamiento crítico se denomina factor de amortiguamiento :
c c cr
c
(Ec. 4.78)
2m n
Fig. 4.19: Respuesta de un sistema sobre amortiguado
Si
c2 4m 2
k m
, si c < c cr , como sucede habitualmente en estructuras de edificación,
las raíces r1 y r2 son complejas y el sistema vibra con amplitud decreciente hacia su posición de equilibrio (a como se muestra en la figura 4.20). La respuesta del sistema adopta entonces la forma c
t
x(t ) e 2m A1 cos d t A2 sen d t
(Ec. 4.79)
Donde: d
k m
c2 4m
2
n 1 2
(Ec. 4.80)
Donde d es la frecuencia de vibración amortiguada. Dado que en edificación el factor de amortiguamiento de las estructuras suele ser inferior a 0.1, se verifica que d n , la frecuencia de oscilación libre del sistema no va a depender de su amortiguamiento.
Fig. 4.20: Respuesta de un sistema amortiguado
38
4.5.1.7.
Matriz de amortiguamiento
¿Cuándo se requiere la matriz de amortiguamiento? La matriz de amortiguamiento debe definirse por completo si el análisis modal clásico no es aplicable. Tal es el caso de las estructuras con amortiguamiento no clásico, incluso si el interés se limita a su respuesta elástico lineal. El análisis modal clásico tampoco es aplicable al análisis de sistemas no lineales, aun cuando el amortiguamiento tenga una forma clásica. (Chopra, 2014) Uno de los problemas no lineales más importantes que interesan aquí es el cálculo de la respuesta de las estructuras más allá de su intervalo elástico lineal durante los sismos.(Chopra, 2014) La matriz de amortiguamiento para estructuras prác ticas no debe calcularse a partir de las dimensiones estructurales, de los tamaños de los elementos estructurales ni del amortiguamiento de los materiales estructurales utilizados. 4.5.1.7.1. Matriz de amortiguamiento clásico El amortiguamiento clásico es una idealización apropiada si los mecanismos de amortiguamiento que se distribuyen a lo largo de toda la estructura son similares (por ejemplo, un edificio de varios niveles con un sistema estructural y materiales estructurales semejantes en toda su altura).(Chopra, 2014). 4.5.1.7.1.1. Amortiguamiento de Rayleigh Considere primero un amortiguamiento proporcional a la masa y un amortiguamiento proporcional a la rigidez: c a0 m c a k 1
(Ec. 4.81)
Donde las constantes a0 y a1 tienen unidades de s y s, respectivamente. Para estas dos matrices de amortiguamiento la matriz C es diagonal en virtud de las propiedades de ortogonalidad modal; por lo tanto, se trata de matrices de amortiguamiento clásico.
39
Fig. 4.21: (a) Amortiguamiento proporcional a la m asa, (b) Amortiguamiento proporcional a la rigidez
Relación las fracciones de amortiguamiento modal para un sistema de amortiguamiento proporcional a la masa con el coeficiente a0 . El amortiguamiento generalizado para el n-ésimo modo: cn
a0 M n
(Ec. 4.82)
Y la fracción de amortiguamiento modal es:
a0 1
(Ec. 4.83)
2 n
La fracción de amortiguamiento es inversamente proporcional a la frecuencia natural. El coeficiente a0 puede seleccionarse de manera que se obtenga un valor específico de la fracción de amortiguamiento en cualquier modo, por ejemplo ζ 0 para el i -ésimo modo:(Chopra, 2014) a0 2 i i
(Ec. 4.84)
Al haber determinado a0 , la matriz de amortiguamiento c y la fracción de amortiguamiento en cualquier otro modo, por ejemplo el n-ésimo modo. De manera similar, las fracciones de amortiguamiento modal para un sistema con amortiguamiento proporcional a la rigidez pueden relacionarse con el coeficiente a1. En este caso, C n
a1 n2 M n
Y
a1 2
n
(Ec. 4.85)
La fracción de amortiguamiento se incrementa linealmente con la frecuencia natural. El coeficiente a1 puede seleccionarse de manera que se obtenga un valor es pecífico de fracción de amortiguación en cualquier modo, por ejemplo ζ1 para el j-ésimo modo: 40
a1
2 j
(Ec. 4.86)
j
Al haber determinado a1, la matriz de amortiguamiento c se conoce a partir de la ecuación (4.85a) y la fracción de amortiguamiento en cualquier otro modo está dada por la ecuación (4.85b). Como un primer paso hacia la construcción de una matriz de amortiguamiento que sea en cierta medida consistente con los datos experimentales, se considera el amortiguamiento de Rayleigh: c a0 m a1 k
(Ec. 4.87)
La fracción de amortiguamiento para el n-ésimo modo de tal sistema es:
a0 1
2 n
a1 2
(Ec. 4.88)
n
Los coeficientes de a 0 y a1 pueden determinarse a partir de las fracciones de amortiguamiento especificadas ζi y ζ j para los modos i-ésimo y j-ésimo, respectivamente: 1 1 / i 2 1 / j
i a 0
i j a1 j
(Ec. 4.89)
Estas dos ecuaciones algebraicas pueden resolverse para determinar los coeficientes a0 y a1. Si se supone que ambos modos tienen la misma fracción de amortiguamiento ζ, lo cual es razonable con base en los datos experimentales,
entonces: 2 i j
2
(Ec. 4.90) i j j Al aplicar este procedimiento a un problema práctico, los modos i y j con las fracciones de amortiguamiento especificadas deben elegirse de manera que garanticen valores razonables para las fracciones de amortiguamiento en todos los modos que constituyen de manera significativa a la respuesta. Por ejemplo, considere que se incluirán cinco modos en el análisis de la respuesta y que para a0
i
a1
todos ellos se desea aproximadamente la misma fracción de amortiguamiento ζ.
La figura 4.22b sugiere que la fracción de amortiguamiento para los modos segundo y tercero ser á algo menor que ζ y para el quinto modo será algo mayor que ζ. La fracción de amortiguamiento de los modos superiores al quinto aumentará 41
monotónicamente con la frecuencia y las respuestas modales correspondientes se eliminarán, en esencia, debido a sus grandes amortiguamientos.
Fig. 4.22: Variación de las frecuencias de amortiguamiento modal con la frecuencia natural: (a) amortiguamientos proporcionales a la masa y a la rigidez; (b) Amortiguamiento de Rayleigh. (Chopra, 2014).
4.5.1.7.1.2. Amortiguamiento de Caughey Según (Chopra, 2014) Si se desea especificar valores para las fracciones de amortiguamiento en más de dos modos, debe tenerse en cuenta la forma general de una matriz de amortiguamiento clásico, conocida como el amortiguamiento de Caughey: l
N 1
cm
a m k 1
(Ec. 4.91)
l
l 0
Donde N es el número de grados de libertad en el sistema y a 1 son constantes. Los tres primeros términos de la serie son: a0 m(m 1k ) 0
a0 m
a1 m(m 1 k )1 a1 k
a 2 m(m 1 k ) 2
a 2 km
1
k
(Ec. 4.92)
Así la ecuación (4.95) con sólo los dos primeros términos es igual al amortiguamiento de Rayleigh. Suponga que se desean especificar las relaciones de amortiguamiento para los J modos de un sistema de N grados de libertad. Entonces, es necesario incluir J términos en la serie de Caughey: l
J 1
a m k
cm
1
l
(Ec. 4.93)
l 0
42
Y la fracción de amortiguamiento modal ζn está dada por:
n
J 1 1 2
a l
2 l 1 n
(Ec. 4.94)
l 0
Según (Chopra, 2014) Los coeficientes al pueden determinarse a partir de las fracciones de amortiguamiento especificadas en cualesquiera j modos, por ejemplo los J primeros modos, al resolver las J ecuaciones algebraicas (4.94) para las incógnitas al , l 0 a J-1. Al haber determinado los a l , la matriz de amortiguamiento
c se conoce a partir de la ecuación (4.93) y las fracciones de amortiguamiento para los modos n=j+1, j+2,…., N están dadas por la ecuación (4.94). Es recomendable que estas fracciones de amortiguamiento se calculen de manera que garanticen valores razonables. 4.5.1.8.
Contribuciones a la respuesta modal
4.5.1.8.1. Expansión modal del vector de excitación Ahora se considerará un caso de carga común en el que las fuerzas aplicadas p j (t ) tienen la misma variación en el tiempo p (t ) y su distribución espacial está definida por s, independientemente del tiempo. Así: (Ec. 4.95)
p (t ) sp(t )
Una idea central de esta formulación, que resultará instructiva, consiste en expandir el vector s como: s
N
N
s m r
r 1
r
r
(Ec. 4.96)
r 1
T Si la ecuación anterior se multiplica en ambos lados por n y se usa la propiedad de la ortogonalidad de los modos, resulta:
nT s n M n
(Ec. 4.97)
La contribución al n-ésimo modo a s es: s n
n m n
(Ec. 4.98)
43
La cual es independiente de la manera en que los modos se normalicen. La expansión de la ecuación (sumatoria) tiene dos propiedades útiles: 1- El vector de fuerza sn p (t) produce una respuesta sólo en el n-ésimo modo, sin que haya en ningún otro modo. 2- La respuesta dinámica en el n-ésimo modo se debe por completo al vector de fuerza parcial sn p (t). 4.5.1.8.2. Factores de contribución modal En esta sección se describen procedimientos para determinar los factores de contribución modal para la fuerza cortante en la base V b y el desplazamiento u N del techo (N-ésimo piso) de un edificio de varios niveles. En la figura 4.23 se muestran las fuerzas externas s y sn. La fuerza lateral al nivel del j-ésimo nivel es el j-ésimo elemento de sn: s jn
(Ec. 4.99)
n m j jn
Donde m j es la masa concentrada y jn es el vector de la forma del n-ésimo modo en el j-ésimo nivel. Como resultado de las fuerzas estáticas sn. La fuerza cortante en la base es: N
st bn
V
N
s jn n m j jn j 1
(Ec. 4.100)
j 1
Fig.4.23: Fuerzas externas: (a) s; (b) s n st 1 Los desplazamientos de nivel son u n k s n
(Ec. 4.101) 44
El desplazamiento del techo es: u st n 4.5.1.9.
n n2
(Ec. 4.102)
Nn
Expansión modal de las fuerzas sísmicas efectivas
La distribución espacial de las fuerzas sísmicas efectivas P ef (t ) está definida por
s m . Esta distribución de fuerza puede expandirse como la sumatoria de las distribuciones de fuerza inercial sn. m
N
N
s m n
n 1
n
(Ec. 4.103)
n
n 1
Al sustituir 1 en la ecuación anterior se obtiene la expansión modal de la distribución espacial de las fuerzas sísmicas efectivas: m1
N
N
s m n
n 1
n
(Ec. 4.104)
n
n 1
Donde:
n
Lhn Mn
N
Lhn
m j jn j 1
Mn
N
m j
2 jn
(Ec. 4.105)
j 1
La contribución del n-ésimo modo a m1 es s n , un vector de fuerzas laterales s jn en los diferentes niveles. s n
n m n
s jn
n m j jn
(Ec. 4.106)
4.5.1.9.1. Respuestas modales La contribución del n-ésimo modo a los desplazamientos nodales u (t) es:
u n (t ) n q n (t ) n n Dn (t )
(Ec. 4.107)
Existen dos procedimientos del análisis estático para determinar las fuerzas en los diversos elementos estructurales (vigas, columnas, muros, etcétera) a partir de los desplazamientos u (t). En el análisis sísmico se recomienda el segundo de estos procedimientos, que utiliza fuerzas estáticas equivalentes, puesto que facilita la comparación de los procedimientos de análisis dinámico con las fuerzas de diseño sísmico. 45
La distorsión, o deformación, en el entrepiso j está dada por la diferencia entre los desplazamientos de los niveles superior e inferior.
jn (t ) u jn (t ) u j 1,n (t ) n ( jn j 1,n ) Dn (t )
(Ec. 4.108)
Las fuerzas estáticas equivalentes f n (t ) para el n-ésimo modo son: f n (t ) sn An (t )
f jn (t ) s jn An (t )
(Ec. 4.109)
Donde: f jn es la fuerza lateral en el j-ésimo nivel. Entonces la respuesta
r n (t ) al
n-
ésimo modo está dada por: r n (t ) r n st An (t )
(Ec. 4.110)
Fig. 4.24: Cálculo de las respuestas estáticas modales en cada entrepiso, a partir del vector de fuerzas sn: (a) cortante y momento de volteo en la base, (b) cortante en el i-ésimo entrepiso y momento de volteo en el i-ésimo nivel. st
La respuesta estática modal r n se determina mediante un análisis estático del edificio debido a las fuerzas externas sn (figura 4.23). Al aplicar estas fuerzas a la estructura, la dirección de las fuerzas está controlada por el signo algebraico de jn . Por lo tanto, todas estas fuerzas para el modo fundamental actuarán en la misma dirección, como se muestra en la figura 4.24a pero para modos a partir del segundo y superiores; éstas cambiarán de dirección para los niveles superiores en la 46
estructura. Para hacer uso de las ecuaciones de las repuestas estáticas modales, (ver Tabla A10.5 en anexo). ( Lhn ) 2
M
n L
L n
h j m j jn
* n
h n
* n
h
M n
L n
(Ec. 4.111)
Lhn
N
(Ec. 4.112)
j 1
4.5.1.10. Respuesta dinámica de estructuras usando espectros de respuesta La respuesta dinámica de estructuras se puede determinar a partir de un espectro de respuesta. Este procedimiento es un tipo de análisis estadístico que permite determinar la respuesta probable de una estructura ante la aceleración sísmica del suelo. Dicho movimiento puede determinarse en cada dirección como una curva digitalizada del espectro de respuesta de Pseudo-aceleración espectral de respuesta versus el periodo de la estructura (CSI, 2005). Este análisis utiliza la respuesta dinámica máxima de todos los modos que tienen una contribución importante a la respuesta estructural total. Dichos modos pueden calcularse a partir de un análisis de eignvectores o un análisis de vectores de Ritz. Se recomiendan los vectores, puesto que estos dan resultados más exactos para el mismo número de modos (Wilson & Button, 1982). Las contribuciones modales máximas se combinan de manera estadística para obtener una respuesta estructural total aproximada. Los parámetros de respuesta correspondientes incluyendo fuerzas, momentos y desplazamientos, deben denominarse Parámetros de Respuesta Elástica. Las ecuaciones de equilibrio dinámico que relacionan la respuesta de una estructura ante un movimiento de suelo está dada por: .
..
..
..
..
Ku(t ) C u(t ) M u(t ) m x u gx (t ) m y u gy (t ) m z u gz (t )
(Ec. 4.113)
Donde: K=Matriz de rigidez C=Matriz de amortiguamiento M=Matriz diagonal de masa .
..
u , u , u =
son los desplazamientos, velocidades y aceleraciones respecto al suelo relativamente. m x , m y , m z =Cargas unitarias de aceleración
47
..
..
..
u gx , u gy , u gz =Componentes
4.5.1.10.1.
de la aceleración uniforme del suelo.
Cálculo de respuesta modal
El valor pico de “n” número de modo de contribución r n (t) para la respuesta r (t)
puede obtenerse a partir de un espectro de respuesta o de un espectro de diseño a partir de (Chopra, 1995): r no
r n st An
(Ec. 4.114)
Donde el subíndice “o” representa el valor pico, definido como el valor máximo absoluto y An A(T n , n ) es el espectro de Pseudo-aceleración para un periodo natural Tn y una relación de amortiguamiento
. El signo algebraico r es el mismo no
st de r n porque An es positivo por definición y representa la respuesta modal máxima.
El valor pico r o de la respuesta total r (t) es estimado a partir de la respuesta modal máxima r no (n=1, 2, 3,…..N), de acuerdo con algún método de combinación modal. 4.5.1.10.2.
Métodos de Combinación modal
Para una dirección dada de aceleración, los desplazamientos máximos, las fuerzas, y los esfuerzos son calculados a lo largo de una estructura para cada uno de los modos de vibración. Estos valores modales se combinan para una cantidad de respuesta dada para producir un solo resultado positivo para la dirección de aceleración (CSI, 2005). Existe gran variedad de métodos aplicables en esta línea, pero los que más se han utilizado por expertos de la ingeniería sísmica, son: el CQC Y SRSS puesto que poseen un fundamento teórico más confiable en comparación con otros métodos. 4.5.1.10.2.1. Método de CQC El método de Combinación Cuadrática Completa (CQC) se basa en la teoría de vibraciones aleatorias, y tiene gran aceptación entre la mayoría de los ingenieros. Este método ha sido integrado como opción en la mayoría de los programas modernos de computadora para el análisis sísmico. El valor pico de una fuerza típica puede ser estimado con base en los valores máximos modales, con la aplicación de la siguiente ecuación de suma doble, (Chopra, 1995): 48
r no
N
N
r r
in io no
(Ec. 4.115)
i 1 n 1
Donde, r no es la fuerza modal asociada con el modo n. La duplicación de suma se realiza sobre todos los modos. Se puede aplicar ecuaciones similares a los desplazamientos de nodos, los desplazamientos relativos, cortantes de base y momento de vuelco. Los coeficientes modales transversales, in , para el método CQC se presenta con amortiguación constante. Se muestra en la figura 4.25, la variación de correlación para coeficiente in , el cual se determina con la siguiente ecuación: in
8 2 (1 in ) in3 / 2 (1 in2 ) 2
4 2 in (1 in ) 2
(Ec. 4.116)
Donde: in
i n
(Ec. 4.117)
El valor de in debe ser igual a o menor que 1. Es importante notar que el arreglo de coeficientes de modo transversal es simétrico, y que todos los términos son positivos.
49
Fig. 4.25: Variación de correlación para coeficiente in para la relación de frecuencia in (Chopra, 1995)
4.5.1.10.2.2. Método de SRSS El Método de la Raíz Cuadrada de la Suma de los cuadra dos (SRSS) considera los valores máximos modales para estimar los valores de los desplazamientos o de las fuerzas. El método SRSS asume que todos los valores máximos modales son estadísticamente independientes. Este método es integrado en varios softwares comerciales de análisis estructural y de diseño como ETABS, SAP2000, entre otros. Este método es aplicable para estructuras bidimensionales cuando la relación entre los periodos de cualquier modo alto con cualquier modo bajo, es de 0.75; o menor, y la relación de amortiguamiento no excede el 5%. El valor pico de una fuerza típica puede ser estimado con la siguiente ecuación (Chopra, 1995): r
N
r
2
no
(Ec. 4.118)
n 1
Donde r no = es la fuerza modal asociada con el modo n.
50
4.6.
FUNDAMENTOS DE PROGRAMACIÓN EN MATLAB
4.6.1. Lenguaje de programación Los algoritmos genéticos pueden ser programados fácilmente en cualquier lenguaje de programación. Sin embargo, uno de los que más se está utilizando actualmente en las áreas de la ingeniería es Matlab. (Hernández Romero, 2012). MATLAB es tanto un lenguaje de programación como un entorno de trabajo. Por esta razón se pueden trabajar en él tanto en el modo de consola (Es decir, en el que se hacen cálculos cuyo resultado se obtiene inmediatamente por medio de los comandos adecuados, que se dan en línea) como en el modo rutina (es to es, programas cuyos comandos están codificados). Ambos modos pueden ponerse en relación entre sí. Por ejemplo, una rutina (cuya denotación general es un archivo M, * .m) puede pedir datos de la consola, a través del comando input; igualmente, una estructura típica de un programa, como es un bucle for- -end se puede pulsar en la consola directamente sin necesidad de hacer un programa tipo M. (Hurtado Gómez, 2000) Las características más importantes de MATLAB son un manejo directo de vectores, matrices y cadenas de caracteres como objetos; su posibilidad de trabajar con números reales o complejos indistintamente: la no exigencia de declarar variables y arreglos para reserva de memoria y la posibilidad de combinar matemática simbólica con numérica, entre otras. Todo esto, aunado a la disponibilidad de múltiples funciones matemáticas ya programadas y librerías especializadas (los famosos toolboxes) hacen que los programas escritos en MATLAB sean altamente compactos en comparación con los equivalentes en FORTRAN, C, PASCAL, etc. Esto reporta grandes ventajas para los textos de carácter didáctico, debido a que se facilita el estudio de un programa complejo de ciencias o de ingeniería, al ocupar todos los comandos unas pocas líneas. Esto es especialmente cierto cuando se manejan vectores y matrices como bloques enteros, es decir, cuando 110 es necesario trabajar con sus elementos individuales. En el caso del análisis de estructuras el manejo de bloques enteros es posible salvo cuando se requiere ensamblar matrices de rigidez, por ejemplo. (Hurtado Gómez, 2000).
51
5. ESTRUCTURA DE ALGORITMOS DESARROLLADOS EN MATLAB Para el diseño de las rutinas de análisis en Matlab se consideran las siguientes etapas:
a) Procesamiento de señales El procesamiento de señales consistirá, en la remoción de ruidos ambientales, remoción del offset, y otros ruido como por ejemplo el adquirido por la misma máquina acelerográfica, esto se hará por medio de la técnica corrección de línea base, que no es más que el acelerograma esté en la línea base del eje horizontal es decir la línea paralela al tiempo en segundos. De igual manera, se hará uso de la técnica de filtrado digital IIR, en la cual se usará un filtro Butterworth Bandpass de orden 4. IIR significa: Infinite Impulse Response: Es el tipo de filtro digital resultante de aproximar un filtro análogo.
b) Respuesta dinámica de sistemas lineales En este inciso hace referencia a los métodos : interpolación, diferencia central, y las variantes del método de Newmark que son Aceleración promedio constante y aceleración lineal. Por lo general, la solución analítica de la ecuación de movimiento para un sistema de un solo grado de libertad no es posible si la excitación [fuerza p (t ) o aceleración del terreno ü g (t )] varía arbitrariamente con el tiempo o si el sistema no es lineal. Tales problemas pueden abordarse mediante métodos numéricos paso a paso en el tiempo para la integración de ecuaciones diferenciales. Existe una gran cantidad de información, incluyendo los capítulos más importantes de varios libros, sobre estos métodos para resolver distintos tipos de ecuaciones diferenciales que se presentan en el área general de la mecánica aplicada. Esta información incluye el desarrollo matemático de estos métodos, su precisión, su convergencia y sus propiedades de estabilidad, así como sus aplicaciones computacionales. Antes de crear los espectros mediante la evaluación a la respuesta dinámica, se tuvo que haber hecho el análisis de procesamiento de datos, por lo cual, se debe asegurar que el registro sísmico este limpio.
52
c) Cociente espectral H/V Para este inciso, se realizará el cociente espectral H/V o método e Nakamura la cual consiste en analizar preliminarmente los períodos fundamentales de los suelos mediante esta técnica, y verificar de manera eficiente la frecuencia máxima del pico que se genera. El programa Matlab se ha estructurado en tres pasos para este método: Corrección de línea base, filtrado, y por último determinación del cociente espectral H/V para cualquier señal. Primero se realiza una lectura del archivo que contiene los datos de entrada. Dichos datos son la componente Z, la componente NS y la componente EW de la señal registrada. Se realiza un filtrado de todas las componentes obtenidas mediante la función filtfilt . Dicha función deja pasar las altas frecuencias de la señal. (Ver figura A10.1) El siguiente análisis consiste en el cálculo de los espectros de Fourier mediante la aplicación de la transformada rápida de Fourier (fft ) sobre cada una de las componentes. Finalmente, se grafican los espectros de amplitudes de Fourier así obtenidos para cada una de las componentes. Finalmente se aplica la técnica de Nakamura, para ello se calculan los cocientes espectrales dividiendo el espectro de amplitudes de Fourier por el espectro de amplitudes de Fourier de la componente Z. Posteriormente se grafican las ratios espectrales calculadas que permiten obtener un análisis preliminar de los períodos predominantes del suelo.
d) Dinámica estructural Se requiere realizar un análisis dinámico de estructura s con n-grados de libertad, el código elaborado demuestra de manera sencilla, cálculos modales, basta solamente en modelar una estructura en 2D, determinarle las rigideces por medio de sus elementos estructurales y las masas que soportará en cada nivel. En el capítulo 4.3 demostró que una señal debe ser corregida por motivos de ruidos ambientales o descalibración del instrumento de medición. Esta señal, una vez corregida y filtrada se usa, para extraer desplazamientos y aceleraciones espectrales que permiten obtener desplazamientos en cada nivel, cortantes basales y momentos de volteos.
53
Los rutinas desarrollados en MATLAB, siguen el presente algoritmo para su proceso ordenado y lógico, con este mismo orden bosquejado se seguirá el proceso de demostración de los códigos. Análisis automatizado de sistemas dinámicos
Procesamiento de señales
Corrección de línea base
Filtrado de señales
respuesta dinámica de sistemas lineales
Método de la interpolación de la excitación
Método de las diferencias centrales
Cociente espectral H/V
Métodos de Newmark
Método de aceleración lineal
Método de Nakamura
Método de aceleración promedio constante
Dinámica estructural
Cálculos de modos de vibrar de la estructura
Desplazamientos
Cortante Basal y Momento de volteo
Fig. 5.1: Diagrama de Flujo para analizar los parámetros dinámicos del suelo.
En la figura 5.1, se muestra el proceso algorítmico de cada una de las rutinas. Primero la señal sísmica debe ser corregida y filtrada con un filtro de orden 4, no obstante cuando se desarrolla la parte de la dinámica estructural, retoma los conceptos de respuestas dinámicas de sistemas lineales con el objetivo de extraer cualquier espectro de los métodos presentados de la evaluación numérica a la respuesta dinámica.
54
6. RESULTADOS En esta sección se presentan los resultados obtenidos del procesamiento de datos realizados según los métodos expuestos en los capítulos 4.2 y 4.3. Inicialmente se muestran los resultados de las funciones programadas en MATLAB, corrección de línea base y filtrado de un acelerograma, de igual forma, los métodos de evaluación a la respuesta dinámica, así como, el algoritmo para la relación espectral H/V, cada una validándolas con los software DEEPSOIL y GEOPSY, que son software comerciales aceptados por los usuario, esto debido a su fácil uso y precisión de los resultados. Luego se muestran los resultados para algunos parámetros de Dinámica estructural, programados en MATLAB en la cual, se presentan modos de vibrar de la estructura, cortantes, momentos, periodos fundamentales, frecuencias naturales y combinaciones modales de una estructura cual quiera en 2D, haciendo uso del RNC-07, validándola con el software SAP2000. En la parte de dinámica de suelo se programaron nueve códigos en MATLAB, las cuales se referencian a continuación con sus respectivas funciones:
6.1.
PROCESAMIENTO DE SEÑALES
El procesamiento de señales es importante porque permite saber qué propiedades tiene un conjunto de datos adquiridos, en sí, permite llevar una señal a una forma en la cual se pueda interpretar mejor, de igual manera, permite corregir aquellas perturbaciones durante el proceso de adquisición de los datos. Toda señal cruda presenta condiciones inherentes, es decir, presenta ruidos que van desde lo ambiental así como el generado por el ruido del acelerógrafo, lo cual provoca el offset que es un fenómeno donde la señal no parte ni termina en la línea base, por esta razón es necesario aplicar corrección de línea base. Una herramienta importante en el procesamiento de señales es el filtrado, que se utiliza para adecuar una señal recibida y ser interpretada de una mejor forma o limpiarla para poderla apreciar más claramente. Los filtros ayudan en este sentido, eliminando componentes de frecuencia indeseadas o que no interesan.
55
6.1.1. CORRECCIÓN DE LÍNEA BASE Es un tipo de tratamiento que corrige determinadas tendencias a la línea base que aportan ruido a la señal. Este tratamiento de seña l está programado en MATLAB, a continuación se presenta la función que permite ejecutar el código 1. [Acc, vel, disp]= CorrLB (Acc, dt, fmin, fmax)
Nota: Para ver los códigos dirigirse a Anexos. Esta función tiene incorporada POLIFIT : Que encuentra los coeficientes de un polinomio y POLIVAL: Devuelve el valor de un polinomio de n grados evaluados en x, también realiza la corrección de offset para que la señal comience de cero y termine en cero, en la línea base.
6.1.2. FILTRADO En algunas aplicaciones resulta necesario reducir o eliminar ciertas amplitudes de frecuencia de las señales. Este proceso se conoce como filtrado. Dentro de las funciones de MATLAB está filt que es un filtro digital IIR Bandpass que deja pasar un determinado rango de frecuencias de una señal y atenúa el paso del resto con la finalidad de eliminar los ruidos naturales, el orden tomado es 4, esto con el objetivo de hacer pasar las frecuencias altas y mínimas esto para obtener una señal más exacta. El motivo que se utiliza un filtro de orden 4 es decir, es porque describe el grado de aceptación o rechazo de frecuencias por arriba o por debajo de la respuesta respectiva a la frecuencia de corte. Por ejemplo un filtro de primer orden, cuya frecuencia de corte es igual a uno presentará una atenuación de 6dB, de segundo orden 12dB y de cuarto orden (El que se está usando) atenúa 18dB. El código usado para filtrar la señal es el siguiente: function [FiltAcc, vel, disp]= Filt(Acc, dt, fs, fmin, fmax) Wn= [fmin fmax]; [b, a]=butter (4, Wn/ (0.5*fs),'bandpass'); FiltAcc = filtfilt (b, a, Corr_Terr);
56
6.1.3. CORRECCIÓN DE REGISTRO OBTENIDO EL 19 DE MARZO DE 2008 POR MATLAB A continuación se presentan los datos de una señal sísmica tomada en el CIGEO de la UNAN-Managua llamada 19Marzo2008, esta señal posee tres componentes Z, NS, EW, se tomó una de las componentes que es la EW para demostrar la funcionalidad de las rutinas programadas en MATLAB. Por otra parte, el suelo tiene las siguientes características: De 0-50m Arcilloso y arena, de 50 a 100m toba volcánica para generar piedra cantera esto según (Obando et.al, 2010 y 2011) en un estudio sobre el mecanismo de barreno para estudiar la base superficial del suelo. La figura 6.1 representa los datos de Aceleración, velocidad y desplazamiento en MATLAB sin corregir, y la figura 6.2 representa la corrección de Línea base que realiza el Código 1 de MATLAB programados por los autores de esta Monografía.
Fig. 6.1: Acelerograma del sismo CIGEO-UNAN Managua, componente EW. a) Acelerograma sin corregir. b) Velocidad sin corregir. c) Desplazamiento sin corregir. Gráficos elaborados en Matlab
57
Fig. 6.2: d) Aceleración Corregida por línea base. Los incisos (e) y (f) son velocidad y desplazamiento respectivamente corregida por el código 1 programado en MATLAB.
6.1.4. VALIDACION CON DEEPSOIL Para poder validar el código 1 de MATLAB, que realiza la corrección de línea base, es necesario utilizar el software comercial llamado DEEPSOIL V5.1, a continuación presentamos: Aceleración, velocidad y desplazamiento, transpuestos para determinar la similitud con el código programado.
58
Fig. 6.3: Acelerograma del sismo CIGEO-UNAN Managua, componente EW . a) Registro de la aceleración corregido por el código 1 y la validación de DEEPSOIL. b) Muestra la velocidad (cm/s). c) Muestra los desplazamientos del terreno (cm), estos dos últimos incisos comparados con Deepsoil.
Como se puede observar, cuando transponemos los gráficos generados por MATLAB y Deepsoil, se logra apreciar que presentan la misma forma, es decir los gráficos son casi idéntico, existe cierta discrepancia pero es mínima, ya que no se logra observar errores de inconsistencia en las componentes de aceleración, velocidad y desplazamiento. Por otro lado, casi no se puede apreciar los desplazamientos esto debido a que los periodos son muy cortos, el desplazamiento máxima está ubicado entre el rango de los 33.54s hasta los 39.02s, con desplazamiento que tiene un rango de 0.010cm hasta los 0.018cm.
6.1.5. FILTRADO DEL REGISTRO OBTENIDO EL 19 DE MARZO DE 2008 POR MATLAB Y GEOPSY A continuación se presentará una comparación de la señal sísmica mencionada anteriormente en cuanto a su aceleración corregida por línea base, se observará una pequeña discrepancia respecto al filtrado de la misma señal (corregida) para verificar el filtro Bandpass, y cómo éste repercute en las amplitudes de la señal, primero el filtro que realiza Geopsy (figura 6.4) y luego la transpuesta de la aceleración corregida y la aceleración filtrada (figura 6.5). 59
Fig. 6.4: Filtrado de la señal por el filtro IIR Bandpass de orden 4, por el programa Geopsy.
Fig. 6.5: Filtrado de la señal por el filtro IIR Bandpass de orden 4 de 0.5 a 12 HZ. Fuente Autores.
Como se puede observar, el filtrado realizado por nuestro código en MATLAB es bastante idéntico al realizado por Geopsy, al comparar los picos máximos de amplitudes se obtuvieron los datos presentados en la tabla 6.1:
Tabla 6.1: Amplitudes máximas en (g) del filtro Bandpass. MATLAB GEOPSY Periodo X Amplitud Y Periodo X Amplitud Y 38.88 0.01305 23.89 0.0122
60
Finalmente, se presentan en las figuras 6.6 y 6.7 filtrado y cor rección de línea base respectivamente:
Fig. 6.6: Acelerograma del sismo CIGEO-UNAN Managua, componente EW. Los gráficos: a, b, c, de parte izquierda presenta Aceleración, velocidad y desplazamiento corregido y filtrado.
61
Fig. 6.7: Acelerograma del sismo CIGEO-UNAN Managua, componente EW. Los gráficos: d, e, f, de la parte derecha presentan solo corrección de Línea base.
Discusión: Se cumple la teoría del filtro Bandpass, es un filtro que reduce o elimina ciertas amplitudes innecesarias que están presentes en los parámetros de Aceleración, velocidad y desplazamiento, por otro lado, el rango de hertzios es la adecuada ya que no atenúa demasiado las amplitudes de la aceleración, en caso contrario habría que utilizar otro filtro, pero este se aplica al caso. 6.2.
EVALUACIÓN NUMÉRICA DE LA RESPUESTA DINÁMICA
Para poder llevar acabo, los espectros elásticos de respuestas, presentamos de primera instancias las funciones de cada método que hacen posibles obtener dichos gráficos. Se adoptará de aquí en adelante la abreviación (APC), para mencionar Aceleración Promedio Constante y AL para aceleración lineal.
Tabla 6.2: Métodos de la respuesta dinámica y funciones de MATLAB. MÉTODO Interpolación de la excitación Diferencia Central Newmark APC Newmark AL
FUNCIÓN U=interpSDOF (P,ti,Amort,m,Tn,Dt). U=M_de_la_diferencia_central(p,ti,Amort,m,Tn,Dt) U=Metodo_Newmark_PC(p,ti,Amort,m,Tn,Dt)
U=Metodo_Newmark_Lineal(p,ti,Amort,m,Tn,Dt) 62
Estas funciones, permiten introducir coeficiente en la ecuación de recurrencia que da la solución exacta a la ecuación de movimiento, estos coeficientes son: P, t i, de igual forma Amort , que es el amortiguamiento de 0.05, m que es la masa del sistema, Tn que es el tiempo dado en segundo y finalmente Dt que es la variación del tiempo. En estas funciones están condensados los cálculos de los coeficientes de la ecuación de recurrencia, así como las ecuaciones diferenciales de velocidad y desplazamientos (Ver marco teórico y algoritmos en anexos). Cabe
señalar,
que
las funciones: Metodo_Newmark_PC y U=Metodo_Newmark_Lineal son idénticas en ecuaciones y funciones, la diferencia radica en parámetros Beta y Gamma. Los parámetros ß y γ definen la variación de la aceleración durante un paso de tiempo y determinan las características de estabilidad y precisión del método. (Ver capítulo 4.3 y algoritmos en anexos). Una vez presentada la función para corregir los acelerogramas, filtrado y las funciones de los métodos de evaluación numérica a la respuesta dinámica del suelo que aparecen en el texto Anil K. Chopra, presentamos los algoritmos para cada método lo que hace posible los plot de Pseudo deformación, Pseudo velocidad, Pseudo aceleración.
6.2.1. Método de la interpolación de la excitación function U=interpSDOF(P,ti,Amort,m,Tn,Dt) clear all; clc; %----------------------CARGANDO ACELEROGRAMA---------------------load 'Met_CIGEO_EW.txt' Amort=0.05; m=0.2533; Dt=0.005; ti= Met_CIGEO_EW (:,1); p= Met_CIGEO_EW (:,2)*32.2*12*m; Tn=0.01:0.01:10; %---------PARAMETROS A SER RELLENADOS CON DATOS RESULTANTES------U=zeros(length(p),length(Tn)); for j=1:length(Tn) U(:,j)=interpSDOF(p,ti,Amort,m,Tn(j),Dt); end %-------------VALORES MAXIMOS DE LAS FUNCIONES-----------Umax=max(abs(U)); %--------OBTENIENDO ESPECTROS DE PSEUDO-ACELERACIÓN------PSA=Umax.*(2*pi./Tn).^2; %PLOTEANDO GRÁFICAS (PERIODO VS ESPECTROS DE PSEUDO-ACELERACIÓN) semilogx(Tn,PSA./(32.2*12),'-b','LineWidth',1.5)
63
%ESTABLECIDNO NOMBRES AL TITULO DE LA GRÁFICA Y A LOS EJES RESPECTIVAMENTE xlabel('Periodo (s)') ylabel('Aceleracion (g)') title('Acelerograma del sismo CIGEO,UNAN-Managua')
Para poder observar el algoritmo programado de las fórmulas para este método ver anexo código 2. Para hacer posible el espectro de aceleración, solamente cargamos el sismo en la función load, esta función lo que hace es llamar el registro sísmico de una archivo con extensión texto (txt), para crear el espectro, pero hay que tener cuidado de que la señal sísmica haya sido corregida anteriormente y filtrada por el código 1. Posteriormente observamos la variación del tiempo del acelerograma para poder determinar los intervalos de tiempo, la señal pasa por un ciclo con la finalidad de que sea funcional (Recursivo) con cualquier tamaño del registro, y por ultimo Ploteamos el PSA (Espectro de Pseudo-Aceleración) pero de forma logarítmica con la función semilogx . Si deseamos observar Pseudo-velocidad y Pseudo-deformación, solo desbloqueamos en MATLAB quitando los dobles símbolos de porcentaje y automáticamente genera estos espectros (Ver código 6 en anexos). De igual forma fueron programados los otros métodos, ya que todos tiene la particularidad de ser casi semejante, pero con condiciones diferentes.
6.2.2. Método de la diferencia central function U=M_de_la_diferencia_central(p,ti,Amort,m,Tn,Dt) clear all; clc; %---------------------------CARGANDO ACELEROGRAMA----------------load 'Met_CIGEO_EW.txt' %-----------------------------DATOS DE ENTRADA-------------------Amort=0.05; m=0.2533; Dt=0.005; ti= Met_CIGEO_EW (:,1); p= Met_CIGEO_EW (:,2)*32.2*12*m; Tn=0.01:0.01:10; %-------------PARAMETROS A SER RELLENADOS CON DATOS RESULTANTES--U=zeros(length(p),length(Tn)); for j=1:length(Tn) U(:,j)=M_de_la_diferencia_central(p,ti,Amort,m,Tn(j),Dt);
64
end %---------------------VALORES MAXIMOS DE LAS FUNCIONES-----------Umax=max(abs(U)); %----------------OBTENIENDO ESPECTROS DE PSEUDO-ACELERACIÓN------PSA=Umax.*(2*pi./Tn).^2; %PLOTEANDO GRÁFICAS(PERIODO VS ESPECTROS DE PSEUDO-ACELERACIÓN)--semilogx(Tn,PSA./(32.2*12),'-b','LineWidth',1.5) %ESTABLECIDNO NOMBRES AL TITULO DE LA GRÁFICA Y A LOS EJES RESPECTIVAMENTE xlabel('Periodo (s)') ylabel('Aceleracion (g)') title('Acelerograma del sismo CIGEO,UNAN-Managua')
Para poder observar el algoritmo programado de las fór mulas para este método ver anexo código 3
6.2.3. Método de Newmark: Aceleración Promedio contante function U=Metodo_Newmark_PC(p,ti,Amort,m,Tn,Dt) clear all; clc; %---------------------------CARGANDO ACELEROGRAMA----------------load 'Met_CIGEO_EW.txt' %-----------------------------DATOS DE ENTRADA-------------------Amort=0.05; m=0.2533; Dt=0.005; ti= Met_CIGEO_EW (:,1); p= Met_CIGEO_EW (:,2)*32.2*12*m; Tn=0.01:0.01:10; %-------------PARAMETROS A SER RELLENADOS CON DATOS RESULTANTES--U=zeros(length(p),length(Tn)); for j=1:length(Tn) U(:,j)=Metodo_Newmark_PC(p,ti,Amort,m,Tn(j),Dt); end %---------------------VALORES MAXIMOS DE LAS FUNCIONES-----------Umax=max(abs(U)); %----------------OBTENIENDO ESPECTROS DE PSEUDO-ACELERACIÓN------PSA=Umax.*(2*pi./Tn).^2; %PLOTEANDO GRÁFICAS(PERIODO VS ESPECTROS DE PSEUDO-ACELERACIÓN)-semilogx (Tn,PSA./(32.2*12),'-b','LineWidth',1.5) %ESTABLECIDNO NOMBRES AL TITULO DE LA GRÁFICA Y A LOS EJES RESPECTIVAMENTE xlabel('Periodo (s)') ylabel('Aceleracion (g)') title('Acelerograma del sismo CIGEO,UNAN-Managua')
65
Para poder observar el algoritmo programado de las fór mulas para este método ver anexo código 4
6.2.4. Método de Newmark: Aceleración Lineal function U=Metodo_Newmark_Lineal(p,ti,Amort,m,Tn,Dt) clear all; clc; %---------------------------CARGANDO ACELEROGRAMA----------------load 'Met_CIGEO_EW.txt' %-----------------------------DATOS DE ENTRADA-------------------Amort=0.05; m=0.2533; Dt=0.005; ti= Met_CIGEO_EW (:,1); p= Met_CIGEO_EW (:,2)*32.2*12*m; Tn=0.01:0.01:10; %-------------PARAMETROS A SER RELLENADOS CON DATOS RESULTANTES--U=zeros(length(p),length(Tn)); for j=1:length(Tn) U(:,j)=Metodo_Newmark_Lineal(p,ti,Amort,m,Tn(j),Dt); end %---------------------VALORES MAXIMOS DE LAS FUNCIONES-----------Umax=max(abs(U)); %----------------OBTENIENDO ESPECTROS DE PSEUDO-ACELERACIÓN------PSA=Umax.*(2*pi./Tn).^2; %PLOTEANDO GRÁFICAS(PERIODO VS ESPECTROS DE PSEUDO-ACELERACIÓN)--semilogx (Tn,PSA./(32.2*12),'-b','LineWidth',1.5) %ESTABLECIDNO NOMBRES AL TITULO DE LA GRÁFICA Y A LOS EJES RESPECTIVAMENTE xlabel('Periodo (s)') ylabel('Aceleracion (g)') title('Acelerograma del sismo CIGEO,UNAN-Managua)
Es necesario mencionar, que las rutinas son flexible en cuanto a los datos que pueda introducir usuario, es decir los parámetros de entrada como el amortiguamiento, la variación del tiempo, el periodo, estos son diferentes en cada registro sísmico, en la cual nuestras rutinas pueden adaptarse a cualquier dato distinto de estos acelerogramas. También es necesario mencionar que el usuario debe saber los datos de entrada correctos para que los códigos no arrojen datos erróneos, ya que los creadores de estas rutinas no se hacen responsables del mal uso por parte del usuario.
66
Para poder observar el algoritmo programado de las fór mulas para este método ver anexo código 5 Para validar estas rutinas usaremos el programa DEEPSOIL V5.1 también usaremos la señal sísmica del CIGEO, UNAN-Managua que tiene por nombre 18Marzo2008, usaremos una sola componente y será la componente EW, ya que la hemos corregido y filtrado anteriormente donde también se pr esenta la velocidad y desplazamiento de MATLAB con DEEPSOIL. A continuación el espectro de aceleración de la agrupación de las funciones en MATLAB. Primero veremos los espectros combinados de los métodos antes mencionados, solo con corrección de línea base, luego presentaremos el espectro de los mismos métodos pero esta vez con la señal filtrada.
Fig. 6.8: Espectro corregido por línea base. Obtenido de la reunión de las funciones en MATLAB para cada método, Amort=5%. Fuente. Autores.
67
Fig. 6.9: Espectro corregido por línea base y filtrado. Obtenido de la reunión de las funciones en MATLAB para cada método, Amort=5%. Fuente. Autores.
Como se puede notar, hay una mejor presencia espectral en el gráfico de la figura 6.9, esto debido al filtrado que se le hizo a la señal por el código 1, se aprecia claramente la atenuación en la aceleración, eliminado aceleraciones no deseadas, lo cual al aplicarle filtro a la señal queda más limpia y se puede verificar en el espectro de la figura 6.9 (No sobresalen picos al comienzo del espectro). En gráfico de la figura 6.8 y 6.9, se pueden observar que los métodos: De la interpolación tiene una aceleración espectral de 0.0542g. Diferencia central con una aceleración espectral de 0.0562g, estos métodos no completa la curva hasta los 0.01s esto debido a la baja precisión que tienen en cuanto a la variación del tiempo, es por esta razón que el espectro para estos métodos no son tan precisos como los métodos de Newmark. Newmark posee dos variables de estabilidad (beta y gamma) que hace que el espectro sea más exacto, los dos casos de Newmark presentan el mismo pico debido a que sus algoritmos son casi iguales, los picos son de 0.05384g.
68
Tabla 6.3: Aceleraciones espectrales máximas y periodos, para cada método. Método Interpolación de la excitación. Diferencia Central. Newmark (APC) Newmark (AL) Espectro de DEEPSOIL
Acc. Espectral (y) en g. 0.0542 0.0562 0.05384 0.05384 0.05384
Periodo (x) en s. 0.59436 0.59436 0.59436 0.59436 0.59436
A continuación se presenta el mismo espectro pero esta vez se verá que métodos son los más aproximados a espectro de DEEPSOIL, se aprecia claramente que los métodos que genera el espectro más cercano al programa de validación son las dos variantes de Newmark, por lo que se considera que algoritmo interno de DEEPSOIL, es basado en este método.
Fig. 6.10: Gráfico de Pseudo-Aceleración, Método de Newmark (APC, AL) y DEEPSOIL, Amort=5%.
Las tres graficas poseen el mismo pico de aceleración, a continuación se presentan los datos extraídos de MATLAB: Acc (y)=0.05384g y Periodo (x)=0.59436s.
69
6.3.
PARAMETROS DE DINAMCIA DE SUELO POR MEDIO DE LA RELACIÓN ESPECTRAL H/V.
Para demostrar que el código 6 es funcional (Ver código completo en anexos), se deberá tomar una señal con ruido ambiental que contenga tres componentes, la lógica del orden de las componentes programadas en MATLAB es: Z, NS, EW, de esa forma cuando validemos en Geopsy, tengamos cuidado de introducir el mismo orden de las componentes. Usaremos el registro Metrocentro, acelerograma ubicado en Metrocentro, la cual tiene un espesor de suelo de 10 metros, se tomaron 200 frecuencias de muestreo en un período de 18 minutos, la señal lleva por nombre: metroHVRS1_2.txt. Este pequeño pedazo de código permite calcular el espectro H/V, la variable num está formada por short2 (NS), short3 (EW) que contiene las amplitudes de Fourier, el suavizado de la señal y las transformadas rápidas de Fourier (FFT), den. Contiene el numerador del cociente espectral short1, la cual debe de ser dividida entre las componentes short2 (NS), short3 (EW) que están dentro de la variable num. Y esto el cociente de Nakamura. num=sqrt((short2.^2)+(short3.^2)); den=short1; HVSR=(num./den); subplot(2,1,1);semilogx(freq,AverHVSR,'-b','LineWidth',2);grid on,hold on semilogx(freq,maxAmp,'-r','LineWidth',2) semilogx(freq,minAmp,'-g','LineWidth',2) subplot(2,1,2);semilogx(freqG,Average,freqG,minG,freqG,maxG,'r','LineWidth',1.5);grid on,hold on axis([1 fmax 0 10]) xlabel('FRECUENCIA (Hz)') ylabel('HVRS O Nakamura') title ('ESPECTRO HVRS,CIGEO_M_Nakamura')
La función en MATLAB que genera el espectro H/V, es la función semi-logaritmica, que tiene incorporado como elementos a graficar: La frecuencia, el promedio de los datos del espectro, y por ultimo las deviaciones estándar que es útil para promediar el máximo y mínimo de la señal. A continuación presentamos los acelerogramas sin corregir de las tres componentes de la señal, cabe mencionar que antes de encontrar el espectro H/V, la señal debe ser corregida y filtrada por el código 1, luego aplicamos el código del método de Nakamura validándolo con Geopsy. 70
Fig. 6.11: Acelerogramas de la señal metroHVRS1_2.txt sin corregir, grafico elaborado en MATLAB, presenta: a) Componente Vertical Z (señal sin corrección), b) Componente NS (señal sin corregir), c) Componente EW (señal sin corregir).
Como se puede observar las señales contiene ruidos ambientales en sus aceleraciones, por lo que hay que corregirla y filtrarla para poder usarlas en el espectro de Nakamura. La corrección de las tres componentes se presenta a continuación.
Fig. 6.12: Acelerogramas de la señal metroHVRS1_2.txt corregida, grafico elaborado en MATLAB por el Código 1, presenta en el eje y la aceleración (g), y en el eje x los periodos (s), para las componentes Z, NS, EW.
Una vez presentadas las correcciones de las tres componentes de la señal, utilizamos el software Geopsy y cargamos la señal metroHVRS1_2 para obtener el espectro H/V, posteriormente extraemos los datos del espectro H/V del programa Geopsy y lo cargamos en MATLAB para comparar desde ahí la similitud entre ambos programas. (Nota: Para ver el grafico que genera Geopsy de la señal mencionada anteriormente dirigirse a los anexos.). 71
Fig. 6.13: Representación del valor max y min de la desviación estándar correspondiente a la señal metroHVRS1_2, registrada en Metrocentro-Managua, y el espectro H/V, a). Muestras el espectro H/V en MATLAB y b). Presenta el espectro H/V de Geopsy.
Como se puede observar, hay una pequeña discrepancia entre los espectros, esto debido principalmente al suavizado que se le aplica a la señal, en Geopsy el algoritmo es un poco diferente al programado por los autores pero la diferencia de error es mínima.
Tabla 6.4: Tabla comparativa de los valores producidos por los códigos de MATLAB y el programa Geopsy para la señal metroHVRS1_2: Tipo de Gráfico Datos Código 6 Datos programa Geopsy. Dif. De Error. Std Amp max. Espectro H/V Std Amp min.
X 8.582 8.582 8.582
Y 4.7 4.2 3.8
X 8.456 8.456 8.456
Y 3.8 3.2 2.7
X 0.126 0.126 0.126
Y 0.9 1 1.1
Por otra parte al superponer los gráficos y suavizando en nuestro algoritmo el espectro H/V de tal forma que presente las mismas características del espectro de Geopsy, resulta:
72
Fig. 6.14: Espectros H/V Combinados MATLAB y Geopsy
6.4.
ASPECTOS DE DINÁMICA ESTRUCTURAL
En este capítulo se presentan matemáticamente los conceptos básicos del análisis dinámico de edificios en los que se fundan los métodos dinámicos en paso en el tiempo, estipulados en el libro “ Dinámica de estructuras”. Los conceptos fundamentales y procedimientos numéricos relacionados con el análisis dinámico se describen mediante su aplicación a estructuras sencillas, aunque se puede aplicar a estructuras de mayor complejidad ya que los algoritmos desarrollados en MATLAB, están automatizados para cualquier tipo de estructura, siempre y cuando sea totalmente simétrica y con diafragma rígido.
6.4.1. RUTINAS DE ANÁLISIS Para enfocar la aplicación que se le da a los métodos de interpolación de la excitación, de las diferencias centrales y los métodos de Newmark en la excitación sísmica del terreno, se procederá a modelar una estructura de 5 niveles, a la cual se comprobará mediante análisis sus respectivas respuestas dinámicas modales, para ello se escogió el acelerograma del terremoto ocurrido en Managua. Cada registro de acelerograma contiene una serie de datos, que una vez tratados y graficados en forma de espectros elásticos, muestran desplazamientos, velocidades y aceleraciones espectrales máximas del terreno y de la estructura.
6.4.2. DESCRIPCIÓN DE LA ESTRUCTURA DE 5 NIVELES A manera de comprobar que el algoritmo desarrollado en el software MATLAB es funcional, se modelará un marco rígido de 5 niveles, cuyas dimensiones de columnas y vigas son de 1.312ft x 1.312ft respectivamente. Cada altura de entrepiso es de 12 ft. Además se irá comprobando paralelamente con el programa SAP2000, 73
que es una de las herramientas muy poderosas que actualmente los ingenieros utilizan para análisis y diseño de estructuras. En la figura 6.9, se aprecia el entorno de trabajo del software SAP2000, cuyo interfaz es sencilla y cómoda para los usuarios.
Fig. 6.15: Edificio de cinco niveles, modelamiento realizado en el programa SAP2000
Utilizando la rutina de cálculo automatizada en MATLAB (Ver código 10 en Anexo), se procederá a darle solución a este edificio de cinco niveles, para ello se deberá estructurar datos de entrada, como la rigidez y masa en cada nivel, tales valores permitirán calcular las frecuencias naturales de vibración, periodos fundamentales y los modos de las estructura. A continuación en la tabla 6.5, se muestran los valores de rigidez y de las masas para cada nivel del edificio:
Tabla 6.5: Masa y rigideces por cada nivel para el edificio de 5 niveles Nivel 1 2 3 4 5
Rigideces 1790 Kips/in 1790 Kips/in 1790 Kips/in 1790 Kips/in 1790 Kips/in
Masas 400 Kips/g 400 Kips/g 400 Kips/g 400 Kips/g 400 Kips/g 74
Primeramente se define la cantidad de niveles que se está analizando, ya que es punto de partida para el dimensionamiento de la matriz de masa y la matriz de rigidez, cabe mencionar que los datos de la tabla 6.5, únicamente basta con introducirlos y el código, automáticamente las ensambla en matrices diagonales, como se muestra en la figura 6.16 y 6.17.
6.4.3. CÁLCULO DE MODOS Y PERIODOS DE VIBRACIÓN %Estableciendo dimensión de la matriz de masa m=zeros(N, N); m1=240/ m2=240/ m3=240/ m4=240/ m5=240/
(32.2*12); (32.2*12); (32.2*12); (32.2*12); (32.2*12);
%kips/g %kips/g %kips/g %kips/g %kips/g
%Estableciendo dimensión de la matriz de rigidez k=zeros(N, N); %Introduciendo el valor de las rigideces k1=94.62; %kips/in k2=94.62; %kips/in k3=94.62; %kips/in k4=94.62; %kips/in k5=94.62; %kips/in
Se creó una función llamada rigideces en matrices de 5x5.
, que permitiera ordenar las masas y las
FUNCTMYK
0 0 0 0 1.0352 0 1.0352 0 0 0 kips seg 2 0 0 1.0352 0 0 in 0 0 1.0352 0 0 0 0 0 0 1.0352 Fig. 6.16: Ventana de trabajo en MATLAB, matriz de masas
0 0 0 3580 1790 1790 3580 1790 0 0 kips 0 1790 3580 1790 0 in 0 1790 3580 1790 0 0 0 0 1790 1790 Fig. 6.17: Matriz de rigidez de la estructura de 5 niveles
75
El siguiente paso es calcular los periodos fundamentales y frecuencias natur ales de vibración, para eso se creó una función llamada FRECPERIOD creada en MATLAB, permitiera obtener estos parámetros automáticamente, reflejados en la tabla 6.6:
Tabla 6.6: Periodos fundamentales y frecuencias naturales del edificio de 5 pisos T n(periodos fundamentales) seg SAP2000 RUTINA MATLAB % ERROR 0.5343 0.5309 0.6363 Modo 1 0.1832 0.1819 0.7096 Modo 2 0.1170 0.1154 1.3675 Modo 3 0.0912 0.0898 1.5350 Modo 4 0.0800 0.0787 1.6250 Modo 5 W n (frecuencias naturales) rad/seg 11.76 11.8357 0.6395 Modo 1 34.286 34.5483 0.7592 Modo 2 53.673 54.4621 1.4488 Modo 3 68.827 69.9636 1.6245 Modo 4 78.508 79.7971 1.6154 Modo 5 Una vez que se han calculado los respectivos valores de las frecuencias naturales y los periodos fundamentales de la estructura, se calcularán los respectivos modos de vibrar del edificio. %CALCULANDO LOS MODOS DE VIBRACIÓN DE LA ESTRUCTURA %Este ciclo permite calcular modos para n-niveles n_dof=5; Modes=zeros (n_dof-1, n_dof-1);
Para obtener cada uno de los modos se utilizó la func ión FUNCTMODOS; que está en dependencia de la matriz de masa y la matriz de rigidez. Los modos de vibrar de una estructura, son fundamentales ya que nos permiten determinar su comportamiento ante un evento sísmico. Los datos obtenidos de los modos de la estructura se pueden apreciar en la tabla 6.7, y a como s e puede observar estos no son los modos que realmente actúan en la estructura, pues en primera instancia se propone un valor unitario, que servirá de ayuda para encontrar el resto de los valores modales.
Tabla 6.7: Datos de modos de vibrar de la estructura de 5 niveles, sin normalizar Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 4 Modo 5 1 1 1 1 1 1.9190 1.3097 0.2846 -0.8308 -1.6825 2.6825 0.7154 -0.9190 -0.3097 1.8308 3.2287 -0.3728 -0.5462 1.0882 -1.3979 3.5133 -1.2036 0.7635 -0.5944 0.5211
76
Para encontrar los modos de vibrar, se deben normalizar los modos de la tabla 6.7, ya que estos no son los que en sí actúan en el edificio. Igualmente la función antes descrita arroja los valores de estos modos de manera automática y se pueden apreciar en la tabla 6.8, que además muestran los valores obtenidos en sap2000.
Tabla 6.8: Comparación de datos modales de vibración entre SAP2000 y rutina de cálculo para un marco de 5 niveles en la dirección X. Obtenidos en SAP2000 (pulg) Modo1 Modo2 Modo3 Modo4 Modo5 0.1670 0.4479 0.5866 0.5391 0.3204 0.3204 0.5866 0.1670 -0.4479 -0.5391 0.4479 0.3204 -0.5391 -0.1670 0.5866 0.5391 -0.1670 -0.3204 0.5866 -0.4479 0.5866 -0.5391 0.4479 -0.3204 0.1670 % de error entre los modos de vibrar Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 4 Modo 5 3.5329 4.0857 5.6768 11.8345 4.8689 2.7466 3.1367 3.2934 7.7026 1.3356 2.5899 3.1835 6.7705 4.4311 11.8479 2.5413 3.5329 7.3034 5.5745 16.1866 2.5742 3.5429 6.0281 5.5243 16.9461
RUTINA DE CÁLCULO (pulg) Modo1 Modo 2 Modo3 Modo4 0.1611 0.4296 0.5533 0.4753 0.3116 0.5682 0.1615 -0.4134 0.4363 0.3102 -0.5026 -0.1744 0.5254 -0.1611 -0.2970 0.5539 0.5715 -0.5200 0.4209 -0.3027
Modo5 0.3048 -0.5463 0.5171 -0.3754 0.1387
Los modos normalizados de la tabla 6.8, se pueden graficar, con el fin de representar, el comportamiento en cada nivel del edificio respecto al eje X (Figura 6.18).
Fig. 6.18: Representación gráfica de los modos normalizados de vibración del marco de 5 niveles
77
sa=[0 0 0 0 1]'; sb=[0 0 0 -1 2]';
Estos parámetros se hacen fáciles de calcular utilizando la función FUNCTExpMod tomando en consideración los modos de vibración sin normalizar, se procederán a determinar vectores de fuerzas laterales, que están en función de los valores de sa y sb (ver código de programación) que permiten determinar el factor de contribución modal, o sea, determinar cuánta es la fuerza lateral obtenida que contribuye para cada modo, a como se muestran en la tabla 6.9:
Tabla 6.9: Obtención de manera automatizada de la contribución de fuerzas a ca da nivel. Vectores de fuerzas utilizando Sa Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 4 Modo 5 0.1014 -0.2500 0.2720 -0.1788 0.0554 0.1946 -0.3274 0.0774 0.1486 -0.0932 0.2720 -0.1788 -0.2500 0.0554 0.1014 0.3274 0.0932 -0.1486 -0.1946 -0.0774 0.3563 0.3009 0.2077 0.1063 0.0289 Vectores de fuerzas utilizando Sb 0.1096 -0.4225 0.7386 -0.6851 0.2594 0.2104 -0.5534 0.2102 0.5692 -0.4364 0.2941 -0.3023 -0.6788 0.2122 0.4748 0.3539 0.1575 -0.4034 -0.7455 -0.3625 0.3851 0.5086 0.5640 0.4072 0.1352 Como se había dicho anteriormente, el cálculo de los modos normalizados se hace con el objetivo de hacer que la variable Mn sea la unidad (tabla 6.10), de ésta manera de recalcularán los valores de los coeficientes de contribución modal, para cada piso, esto se hace, ya que es necesarios el cálculo de parámetros modales tales como: fuerzas laterales, contante basal, momento en la base, y los desplazamiento que se generan en el techo. Estos parámetros pueden ser encontrados con la función siguiente FUNCTREM
6.4.4. CALCULANDO FUERZAS LATERALES Tabla 6.10: Propiedades modales y expansión modal en m1 Modo Mn Ln 1 2.1336 1 1 0.6717 2 1 0.3540 3 1 0.1972 4 1 0.0901 5
Γn=Ln /Mn
2.1336 0.6717 0.3540 0.1972 0.0901
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Los parámetros modales son fundamentales para una estructura, puesto que están en función de propiedades modales, que son fundamentales para el cálculo de las fuerzas laterales actuantes en cada entrepiso, para ello, también se emplea la función anterior. La función flipud, permite, reordenar la matriz de cada una de las fuerzas calculadas con anterioridad (Datos de la tabla 6.9), de abajo hacia arriba y una vez, desarrollado este paso, basta con realizar una suma acumulado (cumsum), y de esta manera obtendremos las fuerzas laterales actuantes , que se presentan en la tabla 6.11.
Tabla 6.11: Fuerzas laterales para cada modo y por nivel en la dirección X Modo 1 0.3563 0.6837 0.9557 1.1503 1.2517
Modo 2 0.3009 0.3941 0.2152 -0.1122 -0.3621
Modo 3 0.2077 0.0591 -0.1909 -0.1134 0.1586
Modo 4 0.1063 -0.0883 -0.0329 0.1157 -0.0632
Modo 5 0.0289 -0.0486 -0.0528 -0.0403 0.0150
De igual manera, utilizando las propiedades modales, permitirán obtener las respuestas estáticas modales máximas, es decir, el cortante en la base de cada nivel, el cortante en el quinto nivel y el momento que se genera en la base de la edificación, todos estos datos generados se pueden apreciar en la Tabla 6.12.
Tabla 6.12: Respuestas estáticas máximas en la estructura de 5 niveles en la dirección X Modo Cortante en cada nivel Cortante techo Momento en la base 4.3977 Kips 1.2517 Kips 15.4504 Kips-in 1 0.4359 Kips -0.3621 Kips -0.5246 Kips-in 2 0.1211 Kips 0.1586 Kips 0.0924 Kips-in 3 0.0375 Kips -0.0632 Kips -0.0223 Kips-in 4 0.0078 Kips 0.0150 Kips 0.0041 Kips-in 5 Hasta este punto, únicamente se han calculado las respuestas estáticas máximas de la estructura cortante de 5 niveles, para comprender el comportamiento de la misma ante un evento sísmico, basta con cargar a la plataforma de programación un sismo de gran importancia, que en su debida ocurrencia generó grandes desastres. En este caso se utilizará la señal sísmica del terremoto de Managua de 1972. Como lo que se desea determinar es el espectro de Pseudo-deformación, a través de parámetros de entrada como: el amortiguamiento, la masa, la variación del tiempo y el valor de la fuerza p, se obtiene el espectro de desplazamientos que presenta el terreno ante la excitación sísmica (Figura 6.19).
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Fig. 6.19: Espectro de desplazamiento, del terremoto en la ciudad de Managua en 1972
Con FUNCTESPECTR, se obtiene el espectro de desplazamiento cuyos valores que interesan extraer son los desplazamientos modales de la estructura, posterior a eso se aplica (Ec. 4.54) para obtener matemáticamente las aceleraciones modales existentes. En la rutina de cálculo se empleó la función find, una manera de buscar internamente los valores modales, los que se pueden apreciar en la tabla 6.13:
Tabla 6.13: Datos de desplazamientos y aceleraciones modales máximas del terremoto de Managua ocurrido en el año 1972. Dn (in) An (in/seg 2 ) 0.4812 0.0123 0.4213 0.0916 0.1682 0.0911 0.1066 0.0953 0.0839 0.0974 Empleando la función FUNCTMODAL, obtenemos los cálculos de fuerzas laterales, cortante basal, cortante en el j-ésimo nivel y los desplazamientos que se generan. A continuación se muestra una tabla comparativa 6.14:
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Tabla 6.14: Valores correspondientes a los desplazamientos generados en cada nivel, tomando en cuenta desplazamientos y aceleraciones modales del espectro del terremoto ocurrido en Managua en 1972. Desplazamientos respecto a la dirección X SAP2000 Rutina de cálculo % de error Primer modo Primer modo 0.1027 in 0.1027 in 0.0000 0.1971 in 0.1986 in 0.7552 0.2755in 0.2780 in 0.8992 0.3316 in 0.3347 in 0.9262 0.3608 in 0.3641 in 0.9063 Las fuerzas estáticas equivalentes (f) se calculan multiplicando los valores conocidos de sn (tabla 6.9) por An (tabla 6.13), se repiten estos cálculos para cada uno de los modos de la estructura. Para cada modo el valor máximo de cualquier fuerza en los entrepisos o fuerza en los elementos se calcula mediante el análisis estático de la estructura sometida a las fuerzas estáticas equivalentes laterales (fn), los valores de estas fuerzas actuantes en cada modo se representan en la tabla 6.15.
Tabla 6.15: Fuerzas estáticas equivalentes para el n-ésimo modo en la dirección X Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 4 Modo 5 3.7231 3.5740 4.4761 3.1987 0.8891 7.1446 4.6810 1.2740 -2.6576 -1.4960 9.9872 2.5568 -4.1135 -0.9907 1.6279 12.0208 -1.3323 -2.4449 3.4807 -1.2429 13.0805 -4.3018 3.4176 -1.9012 0.4633 Como toda estructura expuesta a un movimiento sísmico, es de esperarse que al actuar este fenómeno la edificación presentará una fuerza cortante basal que actúa en la base de la estructura (V), es necesario determinar esta fuerza lateral actuante de modo que el edificio presente capacidades de contrarrestar y resistir esta fuerza, ya que de lo contrario los elementos comenzarían a agrietarse, llevándolos al colapso de la estructura. Además, al existir una fuerza cortante, también se genera un momento en la base (Mb), este momento actúa como volteo en el empotramiento del edificio. Los valores de cortante y momento se aprecian en la tabla 6.16.
Tabla 6.16: Tabla comparativa de valores obtenidos para cortante basal y momento de volteo para un marco de 5 niveles. RUTINA MATLAB SAP2000 Modo V (Kips) Mb (Kips-in) V (Kips) Mb (Kips-in) % error V % error Mb 6.1410 0.0159 45.9562 7750.1 48.963 7751.335 1 11.9503 -0.9263 5.1777 -299.1 4.625 -296.355 2 1.0612 3.0210 2.6094 95.6 2.582 98.578 3 9.7087 2.1723 1.1300 -32.2 1.03 -32.915 4 16.1806 -0.6711 0.2414 6 0.288 5.96 5 81
Una vez determinadas las repuestas modales máximas, se procederá a calcular mediante combinaciones modales de acuerdo con la regla de ABSSUM, SRSS y CQC. El uso de estas combinaciones se ilustra para los valores de los cortantes basales, aunque se puede realizar, para el momento de volteo, desplazamientos generados en el techo y para el cortante en el piso superior. Primeramente se realizará la combinación modal de la suma absoluta (ABSSUM), el resultado que se obtenga debe dar cercano al valor exacto (6.8664 kips), luego se procedió a programar el método de SRSS, para ello se aplicó la (Ec. 4.115), y se obtuvieron los siguientes datos: Para la suma absoluta se obtuvo un valor de 10.9411 y para el método SRSS un valor 6.8245. A como se puede ver, el método que mayor se acopla al valor exacto es el SRSS, pero, para corroborar se aplicará el método CQC. Finalmente se empleó el método CQC (Combinación cuadrática completa), y para poder hacer funcionar este método primero se tuvo que realizar la relación de frecuencias ( βin). Los datos obtenidos de esta frecuencia se presentan en la tabla 6.17. Para poder aplicar el método, también se tiene que calcular los coeficientes de correlación ( ρin) utilizando las (Ec. 4.117) y (Ec. 4.115) Los datos de los coeficientes de correlación se presentan en la tabla 6.18. Una vez obtenidos todos los datos cruzados, se aplica la ecuación (Ec. 4.116), y así se obtiene el valor de la combinación para el edificio cortante de 5 niveles.
Tabla 6.17: Relaciones de frecuencias naturales (βin), 5 niveles 1.0000 0.3426 0.2173 0.1692 2.9190 1.0000 0.6344 0.4938 4.6015 1.5764 1.0000 0.7784 5.9112 2.0251 1.2846 1.0000 6.7420 2.3097 1.4652 1.1406
0.1483 0.4330 0.6825 0.8768 1.0000
Tabla 6.18: Coeficientes de correlación ( ρin), 5 niveles 1.0000 0.0069 0.0027 0.0017 0.0069 1.0000 0.0442 0.0178 0.0027 0.0442 1.0000 0.1358 0.0017 0.0178 0.1358 1.0000 0.0014 0.0122 0.0623 0.3652
0.0014 0.0122 0.0623 0.3652 1.0000
Al multiplicar los valores de βin y ρin, que hasta ahora ya fueron calculados aplicando
este método, se procederá a calcular términos individuales de la regla CQC, estos datos se expresan en la tabla 6.19.
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Tabla 6.19: Términos individuales de la regla CQC para el cortante basal 2112 1.6 0.3 0.1 0 1.6 26.8 0.6 0.1 0 0.3 0.6 6.8 0.4 0 0.1 0.1 0.4 1.3 0.1 0 0 0 0.1 0.1 El método CQC, puede graficarse tan solo asignando los valores de βin en el eje X y ρin en el eje Y. La gráfica que se obtiene, adquiere aspecto de campana y su comportamiento está en dependencia del amortiguamiento y d e las frecuencias que adquiere la estructura (Figura 6.20). Por otro lado, el coeficiente de correlación jamás será mayor que 1 y la amplitud de este gráfico está en dependencia que tan lejanos o cercanos estén las frecuencias naturales de vibración de la estructura.
Fig. 6.20: Método de combinación modal CQC para un edificio de 5 niveles
Una vez obtenidos los datos de la Tabla 6.19, se procede a realizar la doble sumatoria de la (Ec. 4.115), esto permitirá obtener un solo valor de la combinación modal lográndose obtener el valor de la combinación modal de 6.8916.
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Ejemplo de Aplicación. La siguiente estructura de concreto, es un marco con diafragma rígido, que tiene tres niveles, las dimensiones de los elementos estructurales vigas y columnas están en dependencia de la rigidez que tenga cada nivel, los modos de vibrar está relacionado con el valor de la masa del edificio:
Fig. 6.21: Modelo del marco de tres niveles de concreto reforzado.
Las siguientes secciones de concreto de 3000 PSI, fueron obtenidas a partir de la inercia de los elementos y el módulo de elasticidad que se describe a continuación:
E= 29,000 ksi. I= 1/12*h 4 (in4)
Los datos de entrada a considerar de las masas y de rigideces para cada nivel se resumen en la tabla 6.20:
Tabla 6.20. Datos de Masa y Rigidez para cada nivel. Datos/N° de Pisos Piso 1 piso 2 Piso 3
Masa (kip/g) 800 800 400
Rigidez (kip/in) 1016 1016 406.4
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Partiendo esas dos condiciones se dimensionó el tamaño de los elementos que se presentan:
Viga 1: 14in x 14in y Columna 1: 14in x 14in
Fig. 6.22: Dimensiones de vigas y columnas para los dos primeros niveles de la estructura de 3 pisos
Viga 2: 10.895in x 10.895in y Columna 2: 10.895in x 10.895in
Fig. 6.23: Dimensiones de vigas y columnas para el tercer nivel de la estructura de 3 pisos
Nota: Cabe mencionar que nuestro análisis no permite el diseño de los elementos ni el chequeo de los mismos, ya que, se estaría incumpliendo con las limitantes de este trabajo investigativo. Los datos de la tabla 6.19, se ensamblan en matrices diagonales de masas y de rigideces, obtenida a través del pequeño código: %Dimensión de la matriz N=3; %Estableciendo dimensión de la matriz de masa m=zeros(N,N); m1=800/(32.2*12); %kips/g m2=800/(32.2*12); %kips/g m3=400/(32.2*12); %kips/g %Estableciendo dimensión de la matriz de rigidez k=zeros(N,N); %Introduciendo el valor de las rigideces k1=1016; %kips k2=1016; %kips k3=406.4;%kips %Este ciclo permite ordenar la matriz de rigidez de la estructura k_index=[k1,k2,k3];
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Los datos valores de las masas y de las rigideces para cada nivel se introducen dependiendo de la cantidad de números de pisos que se vaya a analizar, y la función FUNCTMYK automáticamente ordena en matrices dichos datos que posteriormente permitirán obtener valores de periodos y frecuencias de la estructura. Las matrices se pueden apreciar en la figura 6.24 y figura 6.25. 0 0 2.0704 kips seg 2 0 2.0704 0 in 0 0 2.0704 Fig. 6.24: Matriz de masa para la estructura de 3 niveles 0 2.032e3 1.016e3 1.016e3 1.4224e3 0.4064e3 kips in 0 0.4064e3 0.4064e3
Fig. 6.25: Matriz de rigidez global de la estructura de 3 niveles
De las matrices de masa y rigidez, se obtiene los modos de vibración de la estructura, frecuencias y periodos fundamentales que se muestran en la tabla 6.21:
Tabla 6.21. Tabla de Periodos y Frecuencias de estructura de 3 niveles. Tn (Periodos Fundamentales) seg SAP2000 Rutina MATLAB % Error 0.5619 0.5688 1.22797651 Modo1 0.268 0.2648 1.19402985 Modo2 0.1688 0.1694 0.35545024 Modo3 Wn (Frecuencias Naturales) rad/seg. 11.182 11.0459 1.21713468 Modo1 23.443 23.7397 1.265623 Modo2 37.227 37.0931 0.35968517 Modo3 Posteriormente, es fundamental que toda estructura vibre ante fuerzas externas actuantes, que de una manera alteran su grado estático, llevándola a adquirir vibraciones naturales, tales datos se muestran en la tabla 6.22: Tabla 6.22: Comparación de datos modales de vibración entre SAP 2000 y rutinas de cálculo para un marco de tres niveles. Datos Obtenidos de SAP 2000 Modo 1 Modo 2 Modo 3 0.249 0.3461 0.5094 0.4388 0.3164 -0.3991 0.6559 -0.6888 0.1478 % de error de los modos de vibrar Modo 1 Modo 2 Modo 3
Datos Obtenidos de MATLAB Modo 1 Modo 2 Modo 3 0.2573 0.3637 0.5334 0.4506 0.31 -0.4287 0.6538 -0.7146 0.1712
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3.2258 2.6187 0.3211
4.8391 2.0645 3.6104
4.4994 6.9045 13.668
En la tabla 6.22, se muestran los modos directamente normalizados, es decir, los que realmente actúan en la estructura, que adiciona lmente se pueden graficarse en el plano a través de la rutina programada en MATLAB, figura 6.26:
Fig. 6.26: Representación gráfica de los modos normalizados de vibración del marco de tres niveles.
A continuación se precederá a determinar parámetros dinámicos modales del marco de tres niveles, tomando en cuenta el terremoto de Managua1972_EW, el cual será de utilidad para obtener el espectro de desplazamiento (Fig. 6.20), y de esta manera lograr la obtención de los desplazamientos máximos modales que actúan en la estructura, posteriormente empleando la (Ec.4.54) permitirá determinar las aceleraciones modales del terreno.
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Fig. 6.27: Espectro de desplazamiento del terremoto ocurrido en la ciudad de Managua 1972, magnitud de 6.2 en la escala de Richter.
De la figura 6.27, se logran apreciar los valores de Dn y An correspondiente a este terremoto, los cuales se plasman en la tabla 6.23.
Tabla 6.23: Datos de desplazamiento y aceleraciones modales máximas del terremoto de Managua en 1972. Dn (in) 0.3359 0.0514 0.0447
An (in/seg2) 0.1061 0.0750 0.1591
Utilizando los valores de la tabla 6.22, se pueden determinar parámetros modales que permitan obtener desplazamientos que se generan en cada nivel a como se muestran en la tabla 6.24.
Tabla 6.24: Valores correspondientes a los desplazamientos generados en la dirección X para cada nivel del marco de tres niveles. Datos Obtenidos de SAP 2000 Datos Obtenidos de MATLAB % ERROR Primer Modo Primer Modo 0.1789 in 0.1852 in 3.4017 0.3151 in 0.3243 in 2.8368 0.4709 in 0.4706 in 0.0637 Una vez obtenido los desplazamientos en cada nivel se procede a calcular el cortante que se genera en la base y el momento de volteo, para ello se debe utilizar los modos de vibrar de la estructura y los valores de la tabla 6.22. Estos datos se pueden apreciar en la tabla 6.25. 88
Tabla 6.25: Tabla comparativa de valores obtenidos para cortante basal y momento de volteo para un marco de tres niveles. Rutina en MATLAB SAP2000 % Errores Modos V (Kips) Mb (Kips-in) V (Kips) Mb (Kips-in) % error V % error Mb 30.7175 5737.1 29.022 5675.72 5.5196 1.0698 1 0.9595 -293.6 0.989 284.7 2.9828 3.0313 2 -0.3796 36.7 -0.408 35.159 6.9607 4.1989 3
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7.
CONCLUSIONES
Posteriormente a realizar el diseño de algoritmos para el manejo automatizado de acelerogramas digitales para cualquier sismo de diferentes periodos de tiempo, que permitan la creación de los espectros de aceleración, método de la razón espectral H/V o método de Nakamura, así como el filtrado y la corrección de línea base, se ha evidenciado que es relativamente sencillo crear algoritmos bien definidos y códigos ordenados con métodos sistemáticos como lo son los métodos de Evaluación numérica a la respuesta dinámica para crear los espectro de PSA, PSV, PSD. Al realizar la corrección de línea base y filtrado de la señal se ha logrado obtener satisfactoriamente el registro sísmico corregido proporcionado por el acelerógrafo con alto contenido de ruido, además el filtro usado bandpass mejorar la señal para obtener datos más seguros y aceleraciones máximas y mínimas más suaves, mejora la calidad de los resultados, esto aporta en gran manera el entendimiento de las correcciones y filtrados que hacen alguno programas comerciales. Se logró realizar el algoritmo para cada método de evaluación numérica a la respuesta dinámica y para ello las rutinas elaboradas solo se le pueden cargar archivos con extensión txt, ya que al cargar un archivo con otra extensión por ejemplo xls, la rutina no entenderá esta extensión, y no se podrá llevar a cabo el análisis. Con el desarrollo de las nuevas tendencias de análisis de dinámica de suelo, y la facilidad del cociente de Nakamura, se logró desarrollar el código base del método de razón espectral H/V, por lo que se comparó su precisión con el software comercial Geopsy, obteniendo bastante precisión pero con ciertas discrepancias pequeñas, esto debido al suavizado y filtro usado por el programa de validación, que es algo diferente al programado en MATLAB, pero lo que caracteriza este método es que no importa de qué forma se comporten las gráficas obtenidas y la validadas, con tal de obtener el mismo valor de frecuencia máxima del suelo. Al comparar los resultados, de dinámica de suelo para diversos sismos con condiciones de terrenos diferentes, las rutinas aquí mostradas proporcionan velocidades y aceleraciones similares a las de Deepsoil V5.1. Geopsy emplea filtrado a las aceleraciones las cuales se pudo validar con el algoritmo programado en Matlab, se pudo notar que se tiene relativa precisión, por lo que se puede expresar que los resultados de los códigos desarrollados son confiables y satisfacen los objetivos planteados.
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Está bien claro que una estructura puede ser analizada en el plano, y que se puede realizar mediante programas comerciales, como es el caso de Sap200 0, que es una herramienta muy poderosa en análisis y diseño de elementos estructurales. En la actualidad, la mayoría de profesionales, únicamente dependen de estos pro gramas, que en sí facilitan los cálculos de una estructura creando de esta manera una gran caja negra en su proceso algorítmico, es por ello que se creó satisfactoriamente un código que permitió calcular parámetros modales dinámicos de estructuras de cualquier cantidad de niveles. El proceso de la programación de los códigos, fue un caso muy especial ya que permitió obtener de manera fácil y rápida, las frecuencias naturales y periodos fundamentales para un edificio de n-pisos, de la misma manera, permitió obtener los modos de vibración correspondientes. Tales datos, permitieron determinar parámetros dinámicos de la estructura, tales como fuerzas laterales, cortantes que se genera en la base y el momento de volteo del marco, para ello fue necesario cargar un registro sísmico con el fin de obtener el espectro de deformación y el espectro de Pseudo-aceleración, para extraer desplazamientos y aceleraciones modales máxima del terreno. Por otro lado, al momento de validar los datos generados, con el programa SAP2000 y la rutina de cálculo, se logró observar que el rango del porcentaje de error existente entre ambos programas, el valor máximo es del 16%, creando de esta manera un error prácticamente aceptable ya que el valor obtenido no debe excederse del 20%. Estas posibles variaciones, de los datos obtenidos en ambos programas, se deben a que el programa SAP2000, toma en cuenta de manera diferente los valores de masas y rigideces de los elementos, además de que toma en cuenta todos los decimales mientras que los códigos únicamente utiliza cuatro decimales, lo que perjudica en la exactitud de los valores.
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8.
RECOMENDACIONES
Es importante mencionar, que la dinámica estructural es una de las ramas de la Ingeniería Civil de mucho estudio, ya que, con esta se determinan diferentes comportamientos que tendrá la estructura ante un desplazamiento del suelo (Sismo). También es importante recalcar con mucha responsabilidad el uso adecuado de estas rutinas, ya que si no se tiene las bases necesarias en esta disciplina se corre el riesgo de obtener información errónea, lo cual provocará un mal diseño estructural sismoresistentes. Se recomienda a las autoridades superiores y al coordinador de la carrera, incorporar en el pensum, la asignatura de: Dinámica Estructural , ya que esto dará mayor conocimiento a los estudiantes en dos puntos de vista: Desde el punto de vista laboral, y diseño símico. Desde el punto de vista académico, es decir, a los estudiantes que quieran incursionar sobre esta temática, ya no le dificultará comprender mucho de los parámetros que conlleva un correcto análisis sísmico del suelo y estructura. Además que la Universidad Centroamericana promueva el desarrollo de proyectos investigativo que mezcle el área de programación con la ingeniería Civil, así como este trabajo.
En lo concerniente al desarrollo de estas rutinas o códigos, se pueden incorporar más aspectos y parámetros en el diseño algorítmico que vendrán a mejorar y optimizar estas rutinas:
Realización de un entorno gráfico, que permita interactuar el usuario con el software.
Realizar de una manera más jerárquica los plot de las diferentes graficas e incorporar parámetros como el Pushover.
Desarrollar códigos para los métodos no lineales.
Incorporar los datos del RNC-07.
Desarrollar e incorporar más filtros como por ejemplo: Filtros Ormsby para las distintas señales sísmicas.
Tomar en cuenta la programación de algunos parámetros de normativas extranjeras como el FEMA 356 y 440.
Realizar el algoritmo para montar una estructura de diferentes niveles que este afectado bajo parámetros dinámicos y de suelo. 92
Todo los aspectos mencionados permitirán optimizar las funcionalidad de las rutinas de cálculo, a la misma vez será de gran ayuda a todos los profesionales de nuestro país, que se interesan en la rama de la ingeniería sísmica, pues actualmente se emplean softwares comercial, que hacen que los usuarios introduzcan datos y que directamente el programa arroje la solución a problemas ingenieriles, y evitando de esta manera una caja negra de incógnitas respecto al posible algoritmo de calculo que emplea en el software. Es por ello la finalidad este trabajo investigativo, para que tanto estudiantes como profesionales, sepan de donde se obtienen los resultados de la dinámica estructural. De la misma manera animamos a los futuros estudiantes, a que mejoren las rutinas de programación, que tomen la iniciativa de incorporarles métodos y aplicaciones nuevas, ya que en un futuro será una herramienta muy fuerte en la dinámica estructural.
93
9.
BIBLIOGRAFÍA
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95
10. ANEXOS Tabla A10.1: Coeficientes en las fórmulas de recurrencia (Método de la interpolación de la excitación sísmica).
sin D t cos D t 1 2
A e n t
1 e t sin D t D 2 1 2 2 t 1 2 C e sin D t 1 cos D t 2 D t n t k n t 1
B
n
n
D
2 2 2 t 2 1 1 sin D t cos D t e t n t n t k D
1
n
n sin D t 1 2 t B e cos D t sin D t 1 2 A e
n t
n
C
n 1 1 n t e k t 1 2
1 sin D t cos D t t t 1 2
t 1 e D sin D t cos D t 2 k t 1 1
n
Tabla A10.2: Método de la Diferencia Central. 1.0.
Cálculos iniciales 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5.
2.0.
Cálculos para el tiempo de paso i 96
2.1. 2.2. 2.3. 3.0.
;
Repetición para el próximo paso de tiempo
Reemplace i por i+1 y repetir los pasos 2.1, 2.2, y 2.3 para el siguiente paso de tiempo
Si la excitación es la aceleración del terreno , de acuerdo con la ecuación (1.7.6), reemplace por en la tabla 2. Las calculadas, dan los valores de la respuesta respecto al terreno. Si es necesario, la velocidad y la aceleración totales pueden calcularse con facilidad y
Tabla A10.3: Método de Newmark (Aceleración Promedio Constante y Acel. Lineal) Aceleración Promedio Aceleración Lineal N° de la Ec.
(Ec. a) (Ec. b) (Ec. c) (Ec. d) (Ec. e)
97
Tabla A10.4: Método de Newmark: Sistemas Lineales Casos especiales.
y ) Método de la aceleración Lineal ( y )
1. Método de la aceleración promedio constante ( 2. 1.0.
Cálculos Iniciales.
1.2. Seleccione ; 1.3. ; 1.4. Cálculos para cada paso en el tiempo 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 1.1.
2.0.
3.0. Repetición para el siguiente paso de tiempo. Reemplace por aplique los pasos 2.1 a 2.4 para el siguiente paso de tiempo.
y
Si la excitación es laaceleración del terreno , de acuerdo con la ecuación (1.7.6), reemplace por en la tabla 5.4.2. Las calculadas, dan los valores de la respuesta respecto al terreno. Si es necesario, la velocidad y la aceleración totales pueden calcularse con facilidad y
98
Lectura de la señal (Componentes Z, NS, EW)
Corrección de Linea base, Filtrado de la señal.
parametro de la longitud superficial y el tiempo, determinación de las variables vel, y desplazamiento.
Parametrod de Procesamiento..
Cálculos de las amplitudes para cada componente con su fft.
Aplicación de la función movavg para el movimiento de la particula.
Graficas H/V, Hamming y Tukeywin
Fig. A10.1. Diagrama del Procesamiento algorítmico para obtener el espectro H/V.
99
Tabla A10.5: Respuestas estáticas modales Respuesta,
V i
r
st Respuesta estática modal, r n N
V in st
s jn j 1
M i
N
st in
M
(h j hi )s jn j 1
V b
N
s jn n Lhn M n*
st bn
V
j 1
M b
N
st bn
M
h j s jn n L n hn* M n* j 1
n / n2 jn
u j
u st jn
j
st jn n / n2 jn j 1,n
h j Es la altura del j-ésimo nivel por encima de la base. Se puede observar que M n* * y hn son independientes de la manera en que se normalizan los modos, a
h
diferencia de M n , Ln y
n .
CÓDIGO 1: CORRECCIÓN DE LÍNEA BASE %%%%%%%%%%%%%%%%PROCESAMIENTO DE SEÑALES%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%CORRECCIÓN DE LINEA BASE%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% clear all; clc; %Cargando el archivo de la señal load 19March2008.txt; %Estableciendo parametros %Define la tasa de muestreo %Antes del 25 de rebrero se registro 100 sa/s, despues 200 sa/s freq=100; %Frecuencia %Estableiendo el intervalo del tiempo, que esta en dependencia de la %frecuencia dt=1/freq;
%Intervalo de tiempo
%X19March2008= Terremoto del 19 de Marzo de 2008 CIGEO(UNANMANAGUA)
100
Acc=(X19March2008(:,1)./5./1)*981; %Aceleraion de la señal %Definiendo la longitud del tiempo %Longitud de tiempo en la superficie t1=((0:length(Acc)-1))*dt; %Longitud de la superficie %Fijando inicio de tiempo en cero t=t1-dt; t=t'; %Transponiendo el tiempo %Programando la rutina de corrección de linea base %Primeramente se definen los componentes de la aceleración que van de 1 a 6 Coeficiente=polyfit(t,Acc,3); CorrLB=polyval(Coeficiente,t); %Corrigiendo la aceleracion en la superficie Corr_Terr=Acc-CorrLB; PGA=max(abs(Corr_Terr)); plot(t,Corr_Terr,'k'),grid %Defininedo nombres a los ejes %Definiendo título a la gráfica resultante xlabel('Tiempo(segundos)') ylabel('Aceleración') title('CORRECCIÓN DE LÍNEA BASE(CIGEO,UNAN-MANAGUA)')
CÓDIGO 2: FILTRADO clear all; clc; %Cargando el archivo de la señal load 19March2008.txt; dt=0.01; fs=1/dt; fmin=0.5; fmax=12; Wn= [fmin fmax]; [b, a]=butter (4, Wn/ (0.5*fs),'bandpass'); FiltAcc = filtfilt (b, a, Corr_Terr); plot(t,FiltAcc), %Integrando serie de datos para la obtencion de velocidad y desplazamiento %Usando la funcion Cumsun-matlab vel=(cumsum(FiltAcc)*dt);vel=vel-mean(cumsum(FiltAcc)*dt); disp=(cumsum(vel)*dt);disp=disp-mean(cumsum(vel)*dt);
101
CÓDIGO 3: MÉTODO DE LA INTERPOLACIÓN DE LA EXCITACIÓN %--------------MÉTODO DE LA INTERPOLACIÓN DE LA EXCITACIÓN-------%-----------------------CALCULOS INICIALES.----------------------%Amort=0.05; %m=0.2533; %Tn=1; wn=2*pi/Tn; k=m*(wn.^2); %Dt=0.1; %CALCULOS EXTRAS CON EL FIN DE REDUCIR TERMINOS DE LAS ECUACIONES wD=wn*sqrt(1-(Amort.^2)); a=exp(-Amort*wn*Dt); b=sin(wD*Dt); c=cos(wD*Dt); d=Amort/(sqrt(1-(Amort.^2))); e=2*Amort/(wn*Dt); f=(1-2*Amort.^2)/(wD*Dt); g=(2*Amort.^2 -1)/(wD*Dt); h=wn/(sqrt(1-(Amort.^2))); %---CALCULANDO COEFICIENTES EN LAS FÓRMULAS DE RECURRENCIA-------A=a*((d*b)+c); B=a*((1/wD)*b); C=(1/k)*((((e+((((a*(((f-d)*(b)-((1+e)*(c)))))))))))); D=(1/k)*(((((1-e+((((a)*(((g*b)+(e*c))))))))))); Apri=-a*((wn/sqrt(1-(Amort.^2))*b)); Bpri=a*((c-(d*b))); Cpri=(1/k)*(((((1/Dt)+((((a*(((h+((1/Dt)*d))*b)+((1/Dt)*c)))))))))); Dpri=(1/k)*(1/Dt)*((((1-(((a*((d*b)+c)))))))); %-------INTRODUCIENDO COEFICIENTES EN ECUACIONES DE RECURRENCIA%ti=(0:Dt:1); %p=10.*sin(pi.*ti/0.6); U=zeros(1,length(ti)); vel=zeros(1,length(ti)); for i = 1:length(ti)-1; U(i+1)=A*U(i)+B*vel(i)+C*P(i)+D*P(i+1); vel(i+1)=Apri*U(i)+Bpri*vel(i)+Cpri*P(i)+Dpri*P(i+1); end
102
CÓDIGO 4: MÉTODO DE LA DIFERENCIA CENTRAL %----------------------CÁLCULOS INICIALES---------------------%Amort=0.05; %m=0.2533; %Tn=1; %Dt=0.1; wn=2*pi/Tn; k=m*(wn.^2); c=2*m*Amort*wn; %lOS DATOS DE di, vi, SON DESPLAZAMIENTO Y VELOCIDAD INICIAL K=(m/(Dt^2))+(c/(2*Dt)); a=(m/(Dt^2))-(c/(2*Dt)); b=k-((2*m)/(Dt^2)); %CÁLCULO PARA CASO EN EL TIEMPO %ti=(0:0.1:1); %p=10.*sin(pi.*ti/0.6); U=zeros(1,length(ti)); P_1=zeros(1,length(ti)); for i = 2:length(ti)-1; P_1(i)=p(i)-(a*U(i-1))-(b*U(i)); U(i+1)= (P_1(i))/(K); end
CÓDIGO 5: MÉTODO DE NEWMARK: ACELERACIÓN PROMEDIO CONSTANTE %--------------------CALCULOS INICIALES-------------------%Amort=0.05; %m=0.2533; %Tn=1; wn=2*pi/Tn; k=m*(wn.^2); %Dt=0.1; C=2*m*Amort*wn; %P0=0; %u0=0; %upri=0; beta=1/4; gamma=1/2;
103
D=gamma/beta; %E=1/beta; F=1/(beta*Dt); %G=1/(2*beta); H=1/((beta)*(Dt^2)); %D2U=((P0-C*upri-k*u0)/m); a1=((1/(beta*Dt^2))*m)+((gamma/(beta*Dt))*C); a1=((1/(beta*Dt^2))*m)+((gamma/ (beta*Dt))*C); a2=((1/(beta*Dt))*m)+(((D)-1)*C); a3=(((1/(2*beta))-1)*m)+(((Dt)* a3=(((1/(2*beta ))-1)*m)+(((Dt)*(((D/(2))-1)*C))) (((D/(2))-1)*C))); ; K=k+a1; %ti=(0:0.1:1); %p=10.*sin(pi.*ti/0.6); P_1=zeros(1,length(ti)); U=zeros(1,length(ti)); Vel=zeros(1,length(ti)); Acc=zeros(1,length(ti)); for i for i = 1:length(ti)-1; P_1(i+1)=p(i+1)+a1*U(i)+a2*Vel(i) P_1(i+1)=p(i+1)+ a1*U(i)+a2*Vel(i)+a3*Acc(i); +a3*Acc(i); U(i+1)=P_1(i+1)/K; Vel(i+1)=(((gamma*F)*((U(i+1)-U(i Vel(i+1)=(((gamm a*F)*((U(i+1)-U(i)))))+((1-D)*Vel )))))+((1-D)*Vel(i)); (i)); Acc(i+1)=(((H)*((U(i+1)-U(i)))))Acc(i+1)=(((H)*( (U(i+1)-U(i)))))-(((F)*Vel(i)))-A (((F)*Vel(i)))-Acc(i); cc(i); end
CÓDIGO 6: MÉTODO DE NEWMARK: ACELERACIÓN LINEAL %clear all; %clc; %Amort=0.05; %m=0.2533; %Tn=1; wn=2*pi/Tn; k=m*(wn.^2); %Dt=0.1; C=2*m*Amort*wn; %P0=0; %u0=0; %upri=0; beta=1/6; gamma=1/2; D=gamma/beta;
104
%E=1/beta; F=1/(beta*Dt); %G=1/(2*beta); H=1/((beta)*(Dt^2)); %D2U=((P0-C*upri-k*u0)/m); a1=((1/(beta*Dt^2))*m)+((gamma/(beta*Dt))*C); a1=((1/(beta*Dt^2))*m)+((gamma/ (beta*Dt))*C); a2=((1/(beta*Dt))*m)+(((D)-1)*C); a3=(((1/(2*beta))-1)*m)+(((Dt)* a3=(((1/(2*beta ))-1)*m)+(((Dt)*(((D/(2))-1)*C))) (((D/(2))-1)*C))); ; K=k+a1; %ti=(0:0.1:1); %p=10.*sin(pi.*ti/0.6); P_1=zeros(1,length(ti)); U=zeros(1,length(ti)); Vel=zeros(1,length(ti)); Acc=zeros(1,length(ti)); for i for i = 1:length(ti)-1; P_1(i+1)=p(i+1)+a1*U(i)+a2*Vel(i) P_1(i+1)=p(i+1)+ a1*U(i)+a2*Vel(i)+a3*Acc(i); +a3*Acc(i); U(i+1)=P_1(i+1)/K; Vel(i+1)=(((gamma*F)*((U(i+1)-U(i)))))-2*Vel(i)Vel(i+1)=(((gamma*F)*((U(i+1)-U(i )))))-2*Vel(i)((Dt/2)*Acc(i)); Acc(i+1)=(((H)*((U(i+1)-U(i)))))Acc(i+1)=(((H)*( (U(i+1)-U(i)))))-(((F)*Vel(i)))-2 (((F)*Vel(i)))-2*Acc(i); *Acc(i); end
CÓDIGO 7: TODOS LOS MÉTODOS LINEALES COMBINADOS %-----------------------RUTINA EN MATLAB---------%-----------------------RUTINA MATLAB--------------------------------------%------------------UNIFICANDO %-----------------UNIFICANDO LAS 4 GRÁFICAS--------GRÁFICAS-------------------------------%----------------------MÉTODOS %---------------------MÉTODOS LINEALES-------LINEALES-----------------------------------------%----ELABORADO POR: MOISES MARTÍNEZ Y OSWALDO MERCADO-----------MERCADO-----------clear all all; ; close all all; ; clc; %---------------------------CARGANDO %---------------------------CAR GANDO ACELEROGRAMA---ACELEROGRAMA----------------------------load 'componente_EW.txt' %-----------------------------DATOS %-----------------------------D ATOS DE ENTRADA---------ENTRADA----------------------------Amort=0.05; m=0.2533; Dt=0.01; ti=filtromatlab(:,1); p=filtromatlab(:,2)*32.2*12*m; Tn=0.01:0.01:10;
105
PSADEEPSOIL=depsoil(:,2); %-------------PARAMETROS %-------------P ARAMETROS A SER RELLENADOS CON DATOS RESULTANTES-U1=zeros(length(p),length(Tn)); U2=zeros(length(p),length(Tn)); U3=zeros(length(p),length(Tn)); U4=zeros(length(p),length(Tn)); for j=1:length(Tn) for j=1:length(Tn) U1(:,j)=Metodo_Newmark_Lineal(p,ti,Amort,m,Tn(j) U1(:,j)=Metodo_Newmark_Lineal(p ,ti,Amort,m,Tn(j),Dt); ,Dt); U2(:,j)=M_de_la_diferencia_cen U2(:,j)=M_de_l a_diferencia_central(p,ti,Amort, tral(p,ti,Amort,m,Tn(j),Dt); m,Tn(j),Dt); U3(:,j)=interpSDOF(p,ti,Amort,m U3(:,j)=interpS DOF(p,ti,Amort,m,Tn(j),Dt); ,Tn(j),Dt); U4(:,j)=Metodo_Newmark_PC(p,ti, U4(:,j)=Metodo_ Newmark_PC(p,ti,Amort,m,Tn(j),Dt) Amort,m,Tn(j),Dt); ; end %---------------------VALORES MAXIMOS DE LAS FUNCIONES-----------%---------------------VALORES Umax1=max(abs(U1)); Umax2=max(abs(U2)); Umax3=max(abs(U3)); Umax4=max(abs(U4)); %----------------OBTENIENDO %---------------OBTENIENDO ESPECTROS DE DEFORMACIÓN---DEFORMACIÓN----------------------plot(Tn,Umax1,'--r', plot(Tn,Umax1,'--r' ,'LineWidth' 'LineWidth',2); ,2); hold on on; ; grid on on; ; plot(Tn,Umax2); plot(Tn,Umax2) ; hold on on; ; plot(Tn,Umax3); plot(Tn,Umax3) ; hold on on; ; plot(Tn,Umax4); plot(Tn,Umax4) ; hold on on; ; hold off off; ; xlabel('Periodos xlabel( 'Periodos (Tn)') (Tn)') ylabel('Deformación ylabel( 'Deformación (Dn)') (Dn)') title('Acelerograma title( 'Acelerograma Managua1972EW') Managua1972EW' ) %----------------OBTENIENDO ESPECTROS DE PSEDO-VELOCIDAD %----------------OBTENIENDO PSEDO-VELOCIDAD------------------PSV1=Umax1.*(2*pi./Tn); PSV2=Umax2.*(2*pi./Tn); PSV3=Umax3.*(2*pi./Tn); PSV4=Umax4.*(2*pi./Tn); plot(Tn,PSV1./(32.2*9.81),'--r', plot(Tn,PSV1./(32.2*9.81),'--r' ,'LineWidth' 'LineWidth',2); ,2); hold on on; ; grid on on; ; plot(Tn,PSV2./(32.2*9.81)); plot(Tn,PSV2./ (32.2*9.81)); hold on on; ; plot(Tn,PSV3./(32.2*9.81)); plot(Tn,PSV3./ (32.2*9.81)); hold on on; ; plot(Tn,PSV4./(32.2*9.81)); plot(Tn,PSV4./ (32.2*9.81)); hold on on;hold ;hold off off; ; xlabel('Periodos xlabel( 'Periodos (Tn)') (Tn)') ylabel('Velocidad ylabel( 'Velocidad (Vn)') (Vn)') title('Acelerograma title( 'Acelerograma Managua1972EW') Managua1972EW' ) %-------------OBTENIENDO %-------------O BTENIENDO ESPECTROS DE PSEUDO-ACELERACI PSEUDO-ACELERACIÓN--------ÓN--------PSA1=Umax1.*(2*pi./Tn).^2; PSA2=Umax2.*(2*pi./Tn).^2;
106
PSA3=Umax3.*(2*pi./Tn).^2; PSA4=Umax4.*(2*pi./Tn).^2; x=PSA3'; y=PSA4'; %PLOTEANDO GRÁFICAS(PERIODO VS ESPECTROS DE PSEUDO-ACELERACIÓN) semilogx(Tn,PSA1./(32.2*12),'-r','LineWidth',3); hold on; grid off; semilogx(Tn,PSA2./(32.2*12),'--b','LineWidth',2.4); hold on; semilogx(Tn,PSA3./(32.2*12),'--g','LineWidth',3); hold on; semilogx(Tn,PSA4./(32.2*12),'--y','LineWidth',2.3); hold on; semilogx(Tn,PSADEEPSOIL./(32.2*12),'-k','LineWidth',2); hold on; xlabel('Periodos (s)') ylabel('spectral Acc(g)') title('Sismo CIGEO-UNAN Managua. Señal 19March2008 Componente EW Filtrada')
CÓDIGO 8: RELACIÓN ESPECTRAL H/V clear all; close all; clc; load 'metroHVRS1_2.txt'; load 'metroHVRS1_2_G.txt'; freqG=metroHVRS1_2_G(:,1); Average=metroHVRS1_2_G(:,2); minG=metroHVRS1_2_G(:,3); maxG=metroHVRS1_2_G(:,4); % Estableciendo registro sismico(CIGEO,UNANMANAGUA)..................... %Cargasmos cada una de las direcciones del sismo data=metroHVRS1_2; % Parametros de preprocesamiento....................................... dt=0.005; fs=1/dt; fmin=0.5; fmax=25; t=(1:length(data(:,1))).*dt;
%Frecuencia de muestreo
for ff=1:3 [acc(:,ff),vel(:,ff),u(:,ff)]= CorrLB(data(:,ff),dt,fs,fmin,fmax);
107
end % Seleccionando ventanas para calculo de HVSR................................ l_sig=length(acc(:,1))*dt; l_wind=3; % longitud en minutos l_req=l_wind*60; n=floor(l_sig/l_req); wind1=1; wind2=wind1+l_req*100; increm=l_req*(0:5)*100; for kk=1:n-1 UD(:,kk)=acc((wind1+increm(kk)):(wind2+increm(kk)),1); NS(:,kk)=acc((wind1+increm(kk)):(wind2+increm(kk)),2); EW(:,kk)=acc((wind1+increm(kk)):(wind2+increm(kk)),3); end NFFT=(2.^nextpow2(length(UD(:,1)))); %Trasnformada Rapida de Fourier AmpUD=abs(fft(UD,NFFT)); AmpNS=abs(fft(NS,NFFT)); AmpEW=abs(fft(EW,NFFT)); lead=1000; lag=1000; for ss=1:n-1 [short1(:,ss), long1(:,ss)]=movavg(AmpUD(:,ss),lead,lag,40); [short2(:,ss), long2(:,ss)]=movavg(AmpNS(:,ss),lead,lag,40); [short3(:,ss), long3(:,ss)]=movavg(AmpEW(:,ss),lead,lag,40); end num=sqrt((short2.^2)+(short3.^2)); den=short1; HVSR=(num./den); HVSR=HVSR(1:NFFT/2,:); freq=(linspace(0,1,NFFT/2)*fs/2); AverHVSR=mean(HVSR,2); s=std(HVSR,0,2); maxAmp=AverHVSR+s; minAmp=AverHVSR-s;
108
subplot(2,1,1);semilogx(freq,AverHVSR,'-b','LineWidth',2);grid off,hold on semilogx(freq,maxAmp,'-r','LineWidth',2) semilogx(freq,minAmp,'-g','LineWidth',2) subplot(2,1,2);semilogx(freqG,Average,freqG,minG,freqG,maxG,'r','LineWidth',1.5);grid off,hold on %semilogx(freq,AverHVSR,freqG,Average,'-b','LineWidth',2);grid off,hold on axis([1 fmax 0 10]) xlabel('FRECUENCIA (Hz)') ylabel('HVRS O Nakamura') title ('ESPECTRO HVRS,CIGEO_M_Nakamura')
CÓDIGO 9: ENVOLVENTE DEL ESPECTRO DEL RNC-07 function a=RNC07(Tn,Ta,Tb,Tc,a0,S) d=2.7*a0; for ii=1:length(Tn) if Tn(ii)Tc a(ii)=(S*d)*(Tb./Tc)*((Tc./Tn(ii)).^2); end end end
CÓDIGO 10: PARÁMETROS MODALES ESTRUCTURALES %----------------------------RUTINA EN MATLAB--------------------%----FRECUENCIAS, PERIODOS Y MODOS DE VIBRAR DE UNA ESTRUCTURA---%---------ELABORADO POR: MOISES MARTÍNEZ Y OSWALDO MERCADO-------clear all; close all; clc; format short %----------------------------------------------------------------%--------------------------DATOS DE ENTRADA----------------------%----------------------------------------------------------------%Dimensión de la matriz N=5; %Estableciendo dimensión de la matriz de masa m=zeros(N,N); m1=100/(32.2*12);
%(Kips/g)
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m2=100/(32.2*12); %(Kips/g) m3=100/(32.2*12); %(Kips/g) m4=100/(32.2*12); %(Kips/g) m5=100/(32.2*12); %(Kips/g) %Este ciclo permite ordenar la matriz de masa de la estructura m_index=[m1,m2,m3,m4,m5]; %Estableciendo dimensión de la matriz de rigidez k=zeros(N,N); %Introduciendo el valor de las rigideces k1=31.54; k2=31.54; k3=31.54; k4=31.54; k5=31.54; %Este ciclo permite ordenar la matriz de rigidez de la estructura k_index=[k1,k2,k3,k4,k5]; %Obteniendo las matrices de las masas y de las rigideces [m,k]=FUNCTMYK(m_index,m1,m2,m3,m4,m5,k_index,N,k1,k2,k3,k4,k5); % LAS FRECUENCIAS DE LA ESTRUCTURA Y PERIODOS DE LA ESTRUCTURA [wn_fc,wn,Tn]= FRECPERIOD(k,m); %CALCULANDO LOS MODOS DE VIBRACIÓN DE LA ESTRUCTURA %Esta función permite calcular modos para n-niveles n_dof=N; Modes=zeros(n_dof-1,n_dof-1); [Modes_tot,H,M1,Modes_norm,Graf_mod]=FUNCTMODOS(n_dof,k,m,wn_fc,Mo des); %plot(Graf_mod+kk*2.5,H,'o-','LineWidth',2); hold on; title('Modos de vibrar de la estructura'); xlabel('Vibraciones'); ylabel('Altura del edificio'); %EXPANSIÓN MODAL DEL VECTOR DE EXCITACIÓN (ANÁLISIS MODAL) %Considerando dos grupos de fuerzas aplicadas sa y sb sa=[0 0 0 0 1]'; sb=[0 0 0 -1 2]'; [M1,L1,gamma1,S1a,L2,gamma2,S1b]=FUNCTExpMod(n_dof,sa,sb,Modes_tot ,m); %CALCULANDO PROPIEDADES MODALES Y EXPANSIÓN MODAL DE m1 %RECALCULANDO FUERZAS LATERALES y PARÁMETROS MODALES %CALCULANDO RESPUESTAS ESTÁTICAS MÁXIMAS [Mn,Ln,Gamma,Sn,Vst_diag,Vst_5n,Mom_bn]=FUNCTREM(n_dof,m,Modes_nor m,S1a,Modes_tot);
110
%DESPLAZAMIENTOS MÁXIMOS EN CADA NIVEL %Primero se carga el archivo txt del registro sísmico %Cargando datos de entrada %Aplicando método de interpolación de la excitación sísmica load 'Managua1972EW.txt' Amort=0.05; %Este es el amortiguamiento ma=0.2533; %Esta es la masa Dt=0.005; %Variación del tiempo ti=Managua1972EW(:,1); p=Managua1972EW(:,2)*32.2*12*ma; T_n=0.01:0.01:6; %Estas son los Tn del suelo %Graficando espectro de desplazamiento %Extrayendo valores de desplazamientos modales %Extrayendo Aceleraciones modales [Umax,index,Dn,An]=FUNCTESPECTR(p,ti,Amort,ma,T_n,Dt,Tn); %Graficando espectro de desplazamiento hold off plot(T_n,Umax,'--r','LineWidth',2); hold on; grid on; %DESPLAZAMIENTO EN CADA NIVEL (tomando en cuenta el espectro) %CALCULANDO FUERZAS EXTERNAS %CALCULANDO RESPUESTAS MODALES MÁXIMAS [u,f,V_b,V,V_5n,Mb_s,u_5n]=FUNCTMODAL(n_dof,Modes_norm,Gamma,Dn,Sn ,An,Mom_bn) %CALCULANDO COMBINACIÓN MODAL (ABSSUM,SRSS,CQC) %SE UTILIZARÁ UN AMORTIGUAMIENTO DE 5% amort=0.05; [Cortante_b,Cort_b,Bin,pin_1,pin_2,Vb_1,Vb_2,cqc1,cqc2]=COMBMODAL( V_b,n_dof,wn,amort,V); hold off semilogx(Bin,pin_1,'-','LineWidth',2);hold on; semilogx(Bin,pin_2,'--','LineWidth',1); title('Método de combinación modal CQC'); xlabel('Relación de frecuencia Bin=wi/wn'); ylabel('Coeficiente de correlación pin'); legend('- Ecuación 13.7.8','--Ecuación 13.7.10');
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EJEMPLO DE APLICACIÓN: A manera de comprobar que el algoritmo desarrollado en el software MATLAB, se procederá a realizar un ejercicio de un marco rígido de 5 niveles que aparece en el libro de “Dinámica de Estructuras” de Anil K. Chopra. Dicho ejercicio se localiza en
la página 483, y posee las siguientes características.
Fig. A10.2: Edificio de cinco niveles (ejemplo Chopra)
Utilizando la rutina de cálculo automatizada en MATLAB (Ver código 10), se procederá a darle solución a este edificio de cortante de cinco niveles, para ellos se deberá estructurar datos de entrada, como lo son la matriz de rigidez y la matriz de masa, conociendo estos datos, dará lugar a calcular las frecuencias naturales de vibración, periodos fundamentales y los modos de las estructura. Este marco se realizará paralelo a SAP2000, con el propósito de comparar los datos. A continuación en la tabla 10.6, se muestran los valores de rigidez y de las masas para cada nivel del edificio:
Tabla A10.6: Masa y rigideces por cada nivel Nivel 1 2 3 4 5
Rigideces 31.54 Kips/in 31.54 Kips/in 31.54 Kips/in 31.54 Kips/in 31.54 Kips/in
Masas 100 Kips/g 100 Kips/g 100 Kips/g 100 Kips/g 100 Kips/g
Los datos brindados en la tabla, se procedieron a introducirlos en el código, a como se puede apreciar, en el algoritmo desarrollado que inicia con clear a ll, esto es para que los datos no se acumulen en una sola ventana de trabajo, esto conllevaría a obtener datos acumulados y por ende un dato erróneo, se emplea clc a fin de las ventanas de trabajo se cierren y que el usuario tenga la libertad de abrir cualquier
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dato generado, y format short, es para que el programa me dé pocos decimales. Los datos generados son los siguientes: Primeramente, definimos el número de pisos que tendrá la estructura, esto es fundamental, pues de este valor está en dependencia nuestra matriz de rigidez y de masa. En ésta sección, se toma en cuenta los datos de las rigideces y de las masas del edificio cortante de cinco niveles. Los datos se insertan a fin que estos se ordenen automáticamente en una matriz. La matriz se ordena en dependencia del número de niveles, en pocas palabras, nuestra estructura es de 5 niveles, por ende nuestra matriz será de 5x5. %Estableciendo dimensión de la matriz de masa m=zeros(N, N); m1=100/(32.2*12); m2=100/(32.2*12); m3=100/(32.2*12); m4=100/(32.2*12); m5=100/(32.2*12); %Estableciendo dimensión de la matriz de rigidez k=zeros(N, N); %Introduciendo el valor de las rigideces k1=31.54; k2=31.54; k3=31.54; k4=31.54; k5=31.54;
La función FUNCTMYK, generada en MATLAB, tiene la finalidad de crear de manera automatizada, la matriz diagonal de masa y la matriz diagonal de rigidez. Automáticamente, el programa nos lanza la matriz de masas, pues el ciclo for-end que aparece, nos permite ordenarla una vez que digitemos los valores correspondientes de las masas para cada nivel. 0 0 0 0 0.2588 0 0.2588 0 0 0 0 0 0.2588 0 0 0 0 0 0 . 2588 0 0 0 0 0 0.2588 Fig. A10.3: Ventana de trabajo en MATLAB, matriz de masas
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En la figura A10.3 se muestra la matriz diagonal de las masas. Y se puede apreciar que la matriz tiene una dimensión de 5x5 igual a como se muestra la matriz de rigidez en la figura A10.4: 0 0 0 63.08 31.54 31.54 63.08 31.54 0 0 0 31.54 63.08 31.54 0 0 0 31 . 54 63 . 08 31 . 54 0 31.54 31.54 0 0 Fig. A10.4: Matriz de rigidez de la estructura
Toda estructura posee frecuencias naturales de vibración y para ello se utiliza la ecuación---, de esta sección. Una vez obtenido estos valores de frecuencias, se procede a determinar los periodos fundamentales de vibración, los cuales son los tiempos requeridos para completar un ciclo del movimiento armónico simple en los modos de vibración. La función [wn_fc, wn, Tn]= FRECPERIOD (k, m) creada en MATLAB, permite obtener estos parámetros automáticamente, reflejados en la Tabla A10.8:
Tabla A10.7: Periodos fundamentales y frecuencias naturales del edificio de 5 pisos T n(periodos fundamentales) seg SAP2000 MATLAB DATOS LIBRO % DE ERROR 0.1900 1.9958 1.9996 2 Modo 1 0.1606 0.6839 0.685 0.685 Modo 2 0.0460 0.4344 0.4346 0.4346 Modo 3 0.0000 0.3383 0.3383 0.3383 Modo 4 0.0000 0.2966 0.2966 0.2966 Modo 5 W n (frecuencias naturales) rad/seg 0.1874 3.1481 3.1422 Modo 1 0.1589 9.1865 9.1719 Modo 2 0.0366 14.464 14.4587 Modo 3 0.0108 18.572 18.5740 Modo 4 0.0359 21.177 21.1846 Modo 5 En la tabla A10.7, los valores correspondientes a los Tn, se puede observar que no existe mucha diferencia de errores, ya que se obtienen valores cercanos a los brindados por el autor del libro. Posteriormente se obtienen los modos de vibrar de la estructura. %CALCULANDO LOS MODOS DE VIBRACIÓN DE LA ESTRUCTURA %Este ciclo permite calcular modos para n-niveles n_dof=5; Modes=zeros (n_dof-1, n_dof-1);
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Para obtener cada uno de los modos se hizo útil la función FUNCTMODOS; que de una manera está en dependencia de la matriz de masa y la matriz de rigidez. Los modos de vibrar de una estructura, son fundamentales ya que nos permiten determinar su comportamiento ante un evento sísmico. Los datos obtenidos de los modos de la estructura se pueden apreciar en la Tabla A10.8.
Tabla A10.8: Modos de vibrar de la estructura de cinco niveles (Chopra) Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 4 Modo 5 1 1 1 1 1 1.9190 1.3097 0.2846 -0.8308 -1.6825 2.6825 0.7154 -0.9190 -0.3097 1.8308 3.2287 -0.3728 -0.5462 1.0882 -1.3979 3.5133 -1.2036 0.7635 -0.5944 0.5211 Estos modos obtenidos no son los que en sí actúan en el edificio, por lo que se deben normalizar de modo que se obtengan valores reales que actúan en la deformación de la estructura. Igualmente la función antes descrita arroja los valores de estos modos de manera automática y se pueden apreciar en la Tabla A10.9.
Tabla A10.9: Comparación de modos normalizados de la estructura de 5 niveles con el programa SAP2000.
RUTINA DE CÁLCULO (pulg) Modo1 Modo2 Modo3 Modo4 Modo5 0.3340 0.8958 1.1733 1.0782 0.6409 0.6409 1.1733 0.3340 -0.8958 -1.0782 0.8958 0.6409 -1.0782 -0.3340 1.1733 1.0782 -0.3340 -0.6409 1.1733 -0.8958 1.1733 -1.0782 0.8958 -0.6409 0.3340 % de error entre los modos de vibrar Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 4 Modo 5 1.4371 1.5405 1.8324 2.7917 1.7631 1.3419 1.5000 2.1257 2.0205 0.9275 1.3284 1.7787 1.8828 1.1078 2.7444 1.3356 0.6886 2.5901 1.8580 3.2708 1.3722 1.3819 1.5405 1.2482 2.8144
Modo1 0.3292 0.6323 0.8839 1.0638 1.1572
SAP2000 (pulg) Modo 2 Modo3 Modo4 0.8820 1.1518 1.0481 1.1557 0.3269 -0.8777 0.6295 -1.0579 -0.3303 -0.3317 -0.6243 1.1515 -1.0633 0.8820 -0.6329
Modo5 0.6296 -1.0682 1.1411 -0.8665 0.3246
Los modos normalizados de la figura 10.4, se pueden graficar, con el fin de representar, el comportamiento en cada nivel del edificio (Tabla A10.9).
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Fig. A10.5: Representación gráfica de los modos normalizados de vibración
sa=[0 0 0 0 1]'; sb=[0 0 0 -1 2]';
Estos parámetros se hacen fáciles de calcular utilizando la función FUNCTExpMod; tomando en consideración los modos de vibración sin normalizar, se procederán a determinar vectores de fuerzas laterales, que están en función de los valores de sa y sb (ver código de programación) que permiten determinar el factor de contr ibución modal, o sea, es determinar cuanta de la fuerza lateral obtenida contribuye para cada modo, a como se muestran en la Tabla A10.10:
Tabla A10.10: Obtención de manera automatizada de la contribución de fuerzas a cada nivel. Vectores de fuerzas utilizando Sa Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 4 Modo 5 0.1014 -0.2500 0.2720 -0.1788 0.0554 0.1946 -0.3274 0.0774 0.1486 -0.0932 0.2720 -0.1788 -0.2500 0.0554 0.1014 0.3274 0.0932 -0.1486 -0.1946 -0.0774 0.3563 0.3009 0.2077 0.1063 0.0289 Vectores de fuerzas utilizando Sb 0.1096 -0.4225 0.7386 -0.6851 0.2594 0.2104 -0.5534 0.2102 0.5692 -0.4364 0.2941 -0.3023 -0.6788 0.2122 0.4748 0.3539 0.1575 -0.4034 -0.7455 -0.3625 0.3851 0.5086 0.5640 0.4072 0.1352
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Como se había dicho anteriormente, el cálculo de los modos normalizados se hace con el objetivo de hacer que la variable Mn sea la unidad (Tabla A10.11), de ésta manera de recalcularán los valores de los coeficientes de contribución modales, para cada piso, esto se hace, ya que es necesarios el cálculo de parámetros modales tales como: fuerzas laterales, contante basal, momento en la base, y los desplazamiento que se generan en el techo. Estos parámetros pueden ser encontrados con la función siguiente FUNCTREM:
Tabla A10.11: Propiedades modales y expansión modal en m1 Modo Mn Ln 1 1.0668 1 1 0.3359 2 1 0.1770 3 1 0.0986 4 1 0.0450 5
Γn=Ln /Mn
1.0668 0.3359 0.1770 0.0986 0.0450
Los parámetros modales son fundamentales para una estructura, puesto que están en función de propiedades modales, que son fundamentales para el cálculo de las fuerzas laterales actuantes en cada entrepiso, para ello, también se emplea la función anterior. La función flipud, permite, reordenar la matriz de cada una de las fuerzas calculadas con anterioridad (Datos de la tabla A10.12), de abajo hacia arriba y una vez, desarrollado este paso, basta con realizar una suma acumulado (cumsum), y de esta manera obtendremos las fuerzas laterales actuantes.
Tabla A10.12: Fuerzas laterales para cada modo y por nivel Modo 1 0.3563 0.6837 0.9557 1.1503 1.2517
Modo 2 0.3009 0.3941 0.2152 -0.1122 -0.3621
Modo 3 0.2077 0.0591 -0.1909 -0.1134 0.1586
Modo 4 0.1063 -0.0883 -0.0329 0.1157 -0.0632
Modo 5 0.0289 -0.0486 -0.0528 -0.0403 0.0150
De igual manera, utilizando las propiedades modales, permitirán obtener las respuestas estáticas modales máximas, es decir, el cortante en la base de cada nivel, el cortante en el quinto nivel y el momento que se genera en la base de la edificación, todos estos datos generados se pueden apreciar en la tabla A10.13.
Tabla A10.13: Respuestas estáticas máximas Modo Cortante en cada nivel Cortante techo 4.3977 Kips 1.2517 Kips 1 0.4359 Kips -0.3621 Kips 2 0.1211 Kips 0.1586 Kips 3 0.0375 Kips -0.0632 Kips 4 0.0078 Kips 0.0150 Kips 5
Momento en la base 15.4504 Kips-in -0.5246 Kips-in 0.0924 Kips-in -0.0223 Kips-in 0.0041 Kips-in 117
Hasta este punto, únicamente se han calculado las respuestas estáticas máximas de la estructura cortante de 5 niveles, para comprender el comportamiento de la misma ante un evento sísmico, basta con cargar a la plataforma de programación un sismo de gran importancia, que en su debida ocurrencia generó grandes desastres. En este caso se utilizará la señal sísmica del terremoto de Managua que ocurrió en 1972. Como lo que se desea determinar es el espectro de Pseudo-deformación, a través de parámetros de entrada como: el amortiguamiento, la masa, la variación del tiempo y el valor de la fuerza p, se obtiene el gráfico que representa a los desplazamientos (Figura A10.6) que presenta el terreno ante la excitación sísmica.
Fig. A10.6: Espectro de desplazamiento, del terremoto en la ciudad de Managua en 1972
Con la función FUNCTESPECTR, del espectro de desplazamiento obtenido, se extraen automáticamente los valores de desplazamientos y aceleraciones modales para los periodos correspondientes a la estructura, par a ello se emplea la aplicación find, los valores que se obtuvieron al graficar el espectro fueron los siguientes:
Tabla A10.14: Datos de desplazamientos y aceleraciones modales máximas del terremoto de Managua ocurrido en el año 1972. Dn (in) An (in/seg 2 ) 0.4809 0.0123 0.4206 0.0916 0.1685 0.0911 0.1067 0.0953 0.0838 0.0974
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Empleando la función FUNCTMODAL, Posee parámetros de entrada el coeficiente de contribución modal, los modos normalizados y los datos modales desplazamientos y aceleraciones; con el fin de obtener los cálculos de fuerzas laterales, cortante basal, cortante en el j-ésimo nivel y los desplazamientos que se general, todos estos datos se muestran en la tabla A10.15:
Tabla A10.15: Valores correspondientes a los desplazamientos generados en cada nivel, tomando en cuenta desplazamientos y aceleraciones modales del espectro del terremoto ocurrido en Managua en 1972. SAP2000 Rutina de cálculo % de error Primer modo Primer modo 0.3503 0.1707 in 0.1713in 0.4866 0.3272 in 0.3288in 0.6527 0.4566 in 0.4596 in 0.7050 0.5493 in 0.5532 in 0.7143 0.5977 in 0.6020 in Las fuerzas estáticas equivalentes (f) se calculan multiplicando los valores conocidos de sn (Tabla A10.12) por An (Tabla A10.14), se repiten estos cálculos para cada uno de los modos de la estructura. Para cada modo el valor máximo de cualquier fuerza en los entrepisos o fuerza en los elementos se calcula mediante el análisis estático de la estructura sometida a las fuerzas estáticas equivalentes laterales (fn), los valores de estas fuerzas actuantes en cada modo se representan en la tabla A10.16.
Tabla A10.16: Fuerzas estáticas equivalentes para el n-ésimo modo Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 4 Modo 5 0.4378 2.7551 1.8930 1.0127 0.2810 0.8402 3.6084 0.5388 -0.8414 -0.4728 1.1745 1.9709 -1.7396 -0.3137 0.5145 1.4136 -1.0271 -1.0339 1.1020 -0.3929 1.5382 -3.3160 1.4453 -0.6019 0.1464 Como toda estructura expuesta a un movimiento sísmico, es de esperarse que al actuar este fenómeno la edificación presentará una fuerza cortante basal que actúa en la base de la estructura (V), es necesario determinar esta fuerza lateral actuante de modo que el edificio presente capacidades de contrarrestar y resistir esta fuerza, ya que de lo contrario los elementos comenzarían a agrietarse, llevándolos al colapso de la estructura. Además, al existir una fuerza cortante, también se genera un momento en la base (Mb), este momento actúa como volteo en el empotramiento del edificio. Los valores de cortante y momento se aprecian en la tabla A10.17.
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Tabla A10.17: Tabla comparativa de valores obtenidos para cortante basal y momento de volteo para un marco de 5 niveles. RUTINA MATLAB SAP2000 PORCENTAJE ERROR Modo V (Kips) Mb (Kips-in) V (Kips) Mb (Kips-in) % error V % error Mb 3.9230 0.9502 5.4043 227.8440 5.625 225.679 1 2.9610 0.6760 3.9912 -57.6471 3.873 -57.26 2 0.5850 1.9375 1.1035 10.1109 1.11 9.915 3 2.4928 4.5811 0.3577 -2.5515 0.349 -2.674 4 8.2569 0.8879 0.0763 0.4772 0.07 0.473 5 Una calculadas las repuestas modales máximas, se procederá a calcular mediante combinaciones modales de acuerdo con la regla de ABSSUM, SRSS y CQC. El uso de estas combinaciones se ilustra para los valores de los cortantes basales, aunque se puede realizar, para el momento de volteo, desplazamientos generados en el techo y para el cortante en el piso superior. Primeramente se realizará la combinación modal de la suma absoluta (ABSSUM), el resultado que se obtenga debe dar cercano al valor exacto (6.8664 Kips), luego se procedió a programar el método de SRSS, para ello se aplicó la (Ec. 4.115), y se obtuvo un valor de 10.9411 al aplicar ABSSUM y 6.8245 para SRSS, para mayor seguridad de los datos se demostrará el proceso de cálculo del método de combinación modal CQC, cuyo método está incorporado en el software comercial SAP2000. Finalmente se empleó el método CQC (Combinación cuadrática completa), y para poder hacer funcionar este método primero se tuvo que realizar la relación de frecuencias ( βin). Los datos obtenidos de esta frecuencia se presentan en la tabla A10.18. Para poder aplicar el método, también se tiene que calcular los coeficientes de correlación ( ρin) cuyos datos se presentan en la tabla A10.19. Una vez o btenidos todos los datos cruzados se obtienen valores de la combinación para el edificio cortante de 5 niveles (Figura A10.7).
Tabla A10.18: Relaciones de frecuencias naturales (βin) 1.0000 0.3426 0.2173 0.1692 2.9190 1.0000 0.6344 0.4938 4.6015 1.5764 1.0000 0.7784 5.9112 2.0251 1.2846 1.0000 6.7420 2.3097 1.4652 1.1406
0.1483 0.4330 0.6825 0.8768 1.0000
Tabla A10.19: Coeficientes de correlación ( ρin) 1.0000 0.0069 0.0027 0.0069 1.0000 0.0442 0.0027 0.0442 1.0000 0.0017 0.0178 0.1358 0.0014 0.0122 0.0623
0.0014 0.0122 0.0623 v 1.0000
0.0017 0.0178 0.1358 1.0000 0.3652
120
Al multiplicar los valores de βin y ρin, que hasta ahora ya fueron calculados aplicando
este método, se procederá a calcular términos individuales de la regla CQC, estos datos se expresan en la tabla A10.20.
Tabla A10.20: Términos individuales de la regla CQC para el cortante basal 29.2390 0.1482 0.0161 0.0033 0.0006 0.1482 15.9866 0.1945 0.0254 0.0037 0.0161 0.1945 1.2141 0.0535 0.0052 0.0033 0.0254 0.0535 0.1276 0.0100 0.0006 0.0037 0.0052 0.0100 0.0058 El método CQC, puede graficarse tan solo asignando los valores de βin en el eje X y ρin en el eje Y. La gráfica que se obtiene, adquiere aspecto de campana y su comportamiento está en dependencia del amortiguamiento y d e las frecuencias que adquiere la estructura.
Fig. A10.7: Método de combinación modal CQC
Una vez obtenidos los datos de la Tabla 10.19, se procede a realizar la doble sumatoria de los datos mostrados, esto permitirá obtener un solo valor de la combinación modal (Figura 10.6), cuyo dato resultante es de 6.8916, que es más cercano y más confiable que el método de SRSS.
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Tabla A10.21: Comandos de Matlab PROGRAMACIÓN DE MATLAB Significado La Sintaxis es:
Bucles o control de flujos If, elseif ejecuta un grupo de if expresión lógica instrucciones dependiendo Instrucciones y else de qué cierta expresión elseif expresión lógica lógica sea cierta o no. Instrucciones else Instrucciones end For
While
Break
Utilizamos la sentencia for cuando queremos repetir un ciclo determinado n número de veces. Esta sentencia se ejecuta mientras haya elementos verdaderos (true) y se termina cuando los elementos de la condición son falsos (false). Con Break terminamos o “cortamos” el bucle más
interno de una sentencia, ya sea if o while.
Continue Continue pasa el control a la siguiente iteración de un for o while, ignorando cualquier instrucción
For índice=inicio:incremento:final instrucciones end
while expresión instrucciones end
k=1; w(1)=24-k^2; for k=2:10 a=24-k^2; if a>=0 v(k)=a else break end end k=0; for x=-1:.1:1 if x==0 continue 122
