UAMI15673

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA UNIDAD IZTAPALAPA IZTAPALAPA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍA I NGENIERÍA

MÉTODOS PARA OBTENER METAS DE ENERGÍA Y ÁREA

SEMINARIO DE PROYECTOS I y II Para obtener la: LICENCIATURA EN INGENIERÍA EN ENERGÍA

Presenta: Donají Melchor Quintas Bajo la asesoría de: Dr. Juan Manuel Zamora Mata

México, D.F. Diciembre de 2010

AGRADECIMIENTOS

A mis padres, Bersalia y Arturo, mi preciada tía Sofía y a mi hermano Dani, mi equipo de toda la vida que esta siempre para apoyarme.

Al amor de mi vida Efren Huitrón Peralta, que siempre llevo en mi mente y en el corazón.

Al Dr. Juan Manuel Zamora Mata, agradezco su paciencia, dedicación y esmero que me demostró cada semana.

A la Universidad Autónoma Metropolitana por todo lo aprendido y vivido.

A mi amiga y compañera de estudio de quien aprendí mucho Alejandría.

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AGRADECIMIENTOS

A mis padres, Bersalia y Arturo, mi preciada tía Sofía y a mi hermano Dani, mi equipo de toda la vida que esta siempre para apoyarme.

Al amor de mi vida Efren Huitrón Peralta, que siempre llevo en mi mente y en el corazón.

Al Dr. Juan Manuel Zamora Mata, agradezco su paciencia, dedicación y esmero que me demostró cada semana.

A la Universidad Autónoma Metropolitana por todo lo aprendido y vivido.

A mi amiga y compañera de estudio de quien aprendí mucho Alejandría.

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ÍNDICE GENERAL Índice de tablas ............................................................. ........................................................................................... ..................................................... ....................... v Índice de figuras ............................................... .............................................................................. ............................................................ .................................... ....... vi

MÉTODOS PARA OBTENER METAS DE ENERGÍA Y ÁREA CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN. 1.1 Integración de procesos ........................................ ....................................................................... ......................................... .......... 1 1.2Optimización de procesos ........................................... .......................................................................... .................................... ..... 2 1.2.1 Ventajas e inconvenientes en la optimización de procesos ............ 4 1.3 Red de Recuperación de Calor C alor ............................................. ..................................................................... ........................ 5 1.3.1 Formulación Formu lación del problema ............................................. ..................................................................... ........................ 6 1.3.2 Métodos de solución al problema pr oblema de HENS........................... HEN S......................................... .............. 7 1.4 Estado del arte .................................................................... ................................................................................................. ............................. 8 1.5 Delimitación Deli mitación y Objetivos del de l trabajo tr abajo .............................. ............................................................. ............................... 9 CAPÍTULO 2. REDES DE CONSUMOS MÍNIMOS DE ENERGÍA EN INTERCAMBIO DE CALOR 2.1 Elementos Element os del Método del punto de pliegue ................................ .............................................. .............. 12 2.1.1 Requerimientos mínimos de servicios auxiliares: calentamiento y enfriamiento(RMSA) .............................................. ................................................... ..... 12 2.1.2 Balances de energía ...................................... ..................................................................... ......................................... .......... 13 2.1.3 Diagrama de Intervalos de Temperatura............................................. 14 2.1.3.1 Diagrama de cascada ...................................................... ................................................................ .......... 17 Requerimientos Requerimient os mínimos de servicios s ervicios generales general es ...................... ...................... 18 Temperatura del d el punto de pliegue ........................................... 18 2.1.4 Diagramas Diagr amas entalpía-temperatura ent alpía-temperatura (H-T) ................................. ................................................ ............... 19 2.1.5 Diagrama de curva cur va compuesta compuest a ...................................................... ........................................................... ..... 20 2.1.6 Curva Compuesta Integral .......................................................... .................................................................... .......... 21 2.1.7 El problema umbral ............................................. ........................................................................... .................................... ...... 24 2.2 Número Núme ro mínimo de intercambiadores i ntercambiadores .......................................................... .......................................................... 25

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2.3 Modelo de Transporte ..................................................................................... 26 2.3.1 Representación Gráfica ......................................................................... 26 2.3.2 Planteamiento general del modelo de transporte ............................ 27 CAPÍTULO 3. ESTIMACIÓN DEL ÁREA DE TRANSFERENCIA DE CALOR 3.1 Planteamiento de la fórmula ......................................................................... 38 3.2 Análisis de la Fórmula ...................................................................................... 40

CAPÍTULO 4. MÉTODO DE INTERVALOS DE TEMPERATURA DE JEżOWSKI PARA ESTIMAR EL ÁREA REQUERIDA PARA RECUPERACIÓN DE CALOR 4.1 Introducción ..................................................................................................... 43 4.2 Definiciones, conjuntos y notación ............................................................... 44 4.3 Procedimiento para formular la tabla de calor modificada propuesta por Jeżowski ...................................................................................................... 46 4.3.1 Tabla de calor estándar ........................................................................ 46 4.3.2 Tabla de calor modificada por Jeżowski............................................. 47 4.3.3 Modelo para minimizar área ................................................................. 52 4.3.4 Resultados ................................................................................................ 55 4.3.5 Mejora de la estructura y cálculo del área modificada ................... 56 CAPÍTULO 5. MÉTODOS DE DISTRIBUCIÓN DE CARGAS TÉRMICAS PARA METAS DE ÁREA MÍNIMA 5.1 Introducción ..................................................................................................... 57 5.2 Planteamiento del método matemático ..................................................... 58 5.2.1 Definiciones, conjuntos, subíndices y parámetros .............................. 59 5.3 Procedimientos para plantear la tabla de calor modificada ................... 62 5.3.1 Caso de estudio 1 ................................................................................... 64 5.4 Función objetivo............................................................................................... 70 5.5 Resultados del método de distribución de cargas térmicas ..................... 71 5.6 Pruebas variando el parámetro β ................................................................. 72 5.7 Validación del modelo ................................................................................... 72 CAPÍTULO 6. CASOS DE ESTUDIO 2 6.1 Introducción ..................................................................................................... 75

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6.2 Datos D atos del problema.................................. problema................................................................. ....................................................... ........................ 75 6.3 Balances B alances de energía ............................................................... ....................................................................................... ........................ 76 6.4 Diagrama de intervalos de temperatura tem peratura ................................................ ..................................................... ..... 76 6.5 Diagrama Dia grama de curvas compuestas ............................................................ ................................................................. ..... 79 6.6 Curva Compuesta Integral .......................................................... ............................................................................. ................... 79 6.7 Estimación de área de transferencia mediante el uso de la fórmula de Bath ......................................................... ........................................................................................ ............................................................ .................................. ..... 80 6.8 Modelo Model o de d e transporte ........................................................................ ..................................................................................... ............. 81 6.9 Número Núme ro mínimo de intercambiadores i ntercambiadores .......................................................... .......................................................... 81 6.10 Tabla de intervalos de temperatura de Jeżowski para estimar el área requerida para recuperación re cuperación de calor .................................... .............................................................. .......................... 82 6.11 Método de distribución de cargas térmicas para metas de área mínima .......................................................... ......................................................................................... ................................................. .................. 85 CAPÍTULO 7. CONCLUSIONES 7.1 Metas Me tas de energía ............................................................................. ............................................................................................ ............... 87 7.2 Metas de área......................................................... ....................................................................................... ......................................... ........... 88 REFERECIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................... ............................................................................................. ........................ 90

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ÍNDICE DE TABLAS Tabla 2.1

Datos para el caso de estudio 1 .............................................................. 12

Tabla 2.2

Formación de intervalos de temperatura Para el caso de estudio 1 .......................................................................... 15

Tabla 2.3

Tabla de calor para el caso de estudio 1 .............................................. 17

Tabla 2.4

Población de corrientes por intervalos de Entalpía para el caso de estudio 1.......................................................... 1 .......................................................... 21

Tabla 3.1

Corrientes calientes ........................................................................... .................................................................................... ......... 41

Tabla 3.2

Corrientes frías .................................................................... ............................................................................................. ......................... 41

Tabla 3.3

Cálculo de área empleando la fórmula de Bath ................................ 42

Tabla 4.1

Valores de LMTD’s .............................................................. ....................................................................................... ......................... 51

Tabla 4.2

Valores de las cargas térmicas ................................................................ 55

Tabla 4.3

Valores de área .................................................................. ........................................................................................... ......................... 55

Tabla 5.1

Cargas térmicas permitidas ...................................................................... 65

Tabla 5.2

Resultados para diferentes β .................................................................... 72

Tabla 5.3

Comparación Comparac ión del método con resultados en la literatura ................ 73

Tabla 6.1

Datos del caso de estudio 2 .......................................................... ..................................................................... ........... 75

Tabla 6.2

Formación de intervalos de temperatura para el caso De estudio 2 ................................................................................................. 77

Tabla 6.3

Tabla de calor para el caso de estudio 2 .............................................. 78

Tabla 6.4

Corrientes calientes, calientes , caso de estudio 2 ................................................. 80

Tabla 6.5

Corrientes frías, caso de estudio 2 .......................................................... 80

Tabla 6.6

Área de transferencia transferenc ia estimada caso de estudio 2 ............................ 81

Tabla 6.7

Resultados para diferentes β caso de estudio 2................................... 85

Tabla 6.8

Comparación del método con resultados en la literatura Caso de estudio 2 ....................................................................................... 85

Tabla 7.1

Tabla comparativa para resultados de metas de energía Caso de estudio 1 ....................................................................................... 87

Tabla 7.2

Resultados con fórmula de Bath caso de estudio 1 ............................ 87

Tabla 7.3

Resultados utilizando método de Jeżowski caso de estudio 1 .......... .......... 88

Tabla 7.4

Comparación del modelo de distribución de cargas Caso de estudio 1 ....................................................................................... 88

Tabla 7.5

Comparación del modelo de distribución de cargas Caso de estudio 2 ....................................................................................... 88

v

ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1.1

El proceso visto como tres sistemas interactuantes interactuan tes ............................. 5

Figura 2.1

Procesos químico simplificado simplifi cado ................................................................. 11

Figura 2.2

Diagrama de intervalos de temperatura correspondiente a Los datos de la tabla 2.1 ........................................................................... 15

Figura 2.3

Descomposición del comportamiento en el punto de pliegue........ ........ 18

Figura 2.4

Curvas compuestas para el caso de estudio 1 .................................... 22

Figura 2.5

Curva compuesta integral para el caso de estudio 1 ........................ 23

Figura 2.6

Variaciones del consumo de servicio de calentamiento Y enfriamiento en función del ∆Tmin ...................................................... 24

Figura 2.7

El problema umbral ............................................................................. .................................................................................... ....... 24

Figura 2.8

Representación Representaci ón general del modelo de transporte ............................ 26

Figura 2.9

Representación Representación gráfica del modelo de transporte Para una red de recuperación de calor ............................................... 27

Figura 2.10

Intervalos Interval os de temperatura temperat ura del ejemplo 1 .............................................. 30

Figura 2.11

Cargas térmicas de las corrientes de proceso ejemplo 1 ............. .................. ..... 31

Figura 2.12

Carga térmica cedida por H1 proveniente de cada intervalo ........ ........ 34

Figura 2.13

Solución del modelo de transporte para el caso de estudio 1 ......... ......... 37

Figura 4.1

Intervalos Interval os de temperatura temperat ura ........................................................................ 48

Figura 4.2

Tabla de intervalos de calor modificada por Jeżowski ............ .................. ........... ..... 49

Figura 4.3

Modelo de transporte aplicado a la tabla de calor modificada por Jeżowski ................................................................................................. 49

Figura 4.4

Estructura Estructur a espagueti y estructura compactada compact ada .................................. 56

Figura 5.1

Tabla de calor estándar caso de estudio 1........................................... 65

Figura 5.2

Intervalos permitidos para la corrientes corrientes caliente 1 y la corriente Fría 1 ............................................................................................................... 66

Figura 5.3

Intervalos Interval os permitidos para el caso de estudio 1 ................................... 66

Figura 5.4

Intervalos Interval os mayores que marcan la división ........................................... 67

Figura 5.5

Diagrama esquemático para mostrar la división del intervalo 4 Del caso de estudio 1................................................................................. 68

Figura 5.6

Tabla de calor modificada modificad a para una β=15% ........................................ 69

Figura 6.1

Diagrama de intervalos de temperatura correspondiente a los Datos de la tabla 6.1 .................................................................................. 77

Figura 6.2

Gráfica de curvas compuestas caso de estudio 2 .............................. 79

Figura 6.3

Curva compuesta integral caso de estudio 2 ...................................... 79

Figura 6.4

Intervalos Interval os de temperatura temperat ura caso de estudio 2 ....................................... 82

vi

Figura 6.5

Tabla de intervalos de calor modificada caso de estudio 2 ............. 84

Figura 6.6

Comparación de áreas obtenidas por diferentes métodos.............. 86

vii

D.M. QUINTAS

CAPITULO 1. INTRODUCCIÓN

CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN Información extraída de Puijaner L. , (2006)

1.1 Integración de procesos El diseño de procesos químicos se inicia con el análisis de los procesos de fabricación de productos químicos, de alta calidad y costos aceptables por la demanda. Un estudio inicial determina si el producto es aceptado en el mercado, si el resultado es positivo, se lleva a cabo el estudio preliminar de las operaciones básicas, es decir, la transformación de materias primas necesarias en productos acabados (síntesis del proceso). Esta etapa conducirá a diversas alternativas que deberán ser analizadas hasta obtener el diagrama de flujo final del proceso después de una optimización paramétrica o estructural. La etapa final consiste en la ingeniería de detalle (diseño mecánico) del equipo de proceso y su interconexión, instrumentación y servicios auxiliares. El diseño de procesos tanto continuos como discontinuos se lleva a cabo mediante simulación bajo el concepto de integración. El diseño integrado supone la integración apropiada de todos los elementos que requiere el proceso de fabricación (ingeniería de proceso), junto a un adecuado sistema de dimensionamiento (ingeniería de diseño) para producir el diagrama de flujo del proceso deseado. Un buen diseño deberá tener en cuenta los siguientes factores claves: aceptación de un amplia variedad de materias primas, previsión a ampliación de nuevos productos o variantes, integración energética, alto grado de automatización, previsión de perfiles de demanda variable (incierta), flexibilidad en las operaciones de la planta, minimización de residuos y emisiones (que cumplan la legislación medio ambiental), evaluación de riesgos y estrategias de control de calidad. Una vez que se examinan los diferentes subprocesos y alternativas que componen el diseño del proceso mediante modelos de simulación, queda pendiente un aspecto clave que es la relación entre las variables del proceso y su optimización. Antes de tomar una

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D.M. QUINTAS


decisión sobre el proceso preferido, cada una de las alternativas contendientes debería ser optimizada a fin de comparar procesos óptimos. Una solución a este problema es mejorar mediante simulaciones sucesivas el modelo del proceso. Dicho procedimiento está sujeto a una búsqueda y error que solamente permiten encontrar soluciones óptimas locales. En cambio el camino de búsqueda hacia el óptimo implica estrategias de optimización a partir de un modelo inicial. Para encontrar la mejor solución, se establece una función objetivo. En diseño de procesos, los objetivos incluyen costos de inversión y operación, rendimiento, beneficio, etc. Los valores de la función objetivo quedan determinados por las variables de proceso (tamaño de equipos, condiciones de operación). Finalmente, las relaciones entre las variables del problema deben ser restringidas dentro de ciertos límites. Las variables del proceso se clasifican en variables de decisión, que representan los grados de libertad, y variables dependientes, que se resuelven mediante variables de restricción. La optimización de procesos comúnmente se basa en programación matemática e investigación operativa, que permiten obtener soluciones rigurosas al problema del diseño óptimo. Sin embrago, consideraciones de tiempo de cálculo y sus consecuencias en costos de diseño, retrasos, inflación, etc., hacen necesario llegar a una solución óptima donde se utilice heurística.

1.2 Optimización de procesos La industria química y afín utiliza la optimización para ser más competitiva. Esta mejora normalmente lleva asociado un ahorro de costos (por ejemplo, al establecer la etapa de alimentación de una columna de destilación en función de consumo energético), una mayor eficacia de operación (por ejemplo, al fijar la temperatura de reacción que maximiza la conversión del producto principal y simultáneamente minimiza la conversión de los productos secundarios) o aspectos relacionados con la logística. Por lo tanto queda claro que muchas de las decisiones que se toman en la operación de las plantas químicas están basadas en la aplicación de herramientas de optimización.

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D.M. QUINTAS


Los factores que han contribuido al espectacular auge en la aplicación de técnicas de optimización son: •

Disponibilidad de computadoras con una creciente capacidad de cálculo y el establecimiento de redes de computadoras conectadas entre sí.

•

Desarrollo de algoritmos matemáticos robustos para la optimización. La mayoría de los métodos matemáticos se desarrollaron en áreas como la investigación de operaciones y el análisis numérico, mientras que su aplicación a sistemas complejos, como los estudiados en la ingeniería química, fue más tardía.

•

La mejora en los modelos de simulación de operaciones unitarias, junto con los de estimación económica, permite decidir entre alternativas similares.

A continuación se dará una visión global de las técnicas más utilizadas en ingeniería química: •

Programación lineal (LP, linear programming): tanto la función objetivo como las restricciones son lineales. Tiene en algunos casos una única solución, para ciertos problemas se tienen multiplicidad de soluciones a las cuales de forma particular se les denomina solución óptima local, en la mayoría de las ocasiones se utiliza el método simplex ara resolver este tipo de problemas.

•

Programación Lineal Mixta (MILP, mixed integer linear programming): incorpora variables discretas, que pueden ser binarias (0 ó 1) o enteras, a la programación lineal. El algoritmo más utilizado es Branch and Bound (ramificación y acotamiento).

•

Programación No Lineal (NLP, non-linear programming): algunas de las funciones involucradas no son lineales, por lo que la resolución del problema es más compleja debido a la posibilidad de que existan mínimos locales. El algoritmo de programación cuadrática sucesiva (SQP, sequential quadratic programming) es el más utilizado.

•

Programación no lineal mixta (MINLP, mixed integer non-linear programming): incorpora variables discretas (binarias o enteras) a la NLP. Normalmente el problema original se descompone en varios subproblemas que se resuelve dentro de una MILP.

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1.2.1 Ventajas e inconvenientes en la optimización de procesos No existe ningún método que garantice a priori la solución de un problema de optimización, por lo que lo mejor es aprovechar la estructura del problema (tipo de función objetivo, restricciones y variables) y utilizar métodos específicos para cada caso (LP, MILP, NLP, MINLP u otros). De todas formas, incluso seleccionando un buen algoritmo de cálculo, la convergencia y la robustez serán aspectos clave: un problema planteado de cierta forma puede no converger, mientras que planteado de otra forma su solución puede ser trivial (en muchas ocasiones basta con plantear un restricción de forma equivalente: A-B=0 o A/B=1). Lamentablemente, no existe ningún método que garantice la convergencia, ni ningún algoritmo que abarque todas las posibilidades dada la enorme variedad de problemas que se pueden encontrar en ingeniería química. A continuación se enumera una serie de consejos para tener un mejor desarrollo del problema: •

La mejor estrategia es mantener el modelo lo más sencillo posible. Esto es, si el problema se puede resolver rápidamente a mano, es mejor resolverlo a mano. Y si para resolverlo basta con utilizar el solver de Excel, entonces no es necesario utilizar ninguna herramienta.

•

Normalmente es necesario dedicar más tiempo del que inicialmente uno tiene pensado en obtener el modelo del proceso, pese a que sea la fase más sencilla. En primer lugar, porque el modelo debe ser robusto. Y en segundo lugar, porque es crucial familiarizarse con el problema antes de intentar optimizarlo.

•

Siempre es una buena idea realizar análisis de sensibilidad, modificando las variables más importantes del proceso (±5-10%) para conocer su efecto sobre el sistema. Las variables típicas están relacionadas con las condiciones de operación (temperatura, razón de reflujo, purga de una corriente) o con el dimensionamiento de los equipos. Basándose en esta información se fijan los grados de libertad del proceso (normalmente se seleccionan las variables que tienen un mayor impacto en la función objetivo).

•

Hay que construir el modelo de optimización poco a poco, incluyendo las restricciones una a una, para detectar problemas lo antes posible. La posibilidad de resolver un problema complejo al primer intento es remota. En un principio se debe restringir la zona de búsqueda y después considerar relajar algunas de las restricciones, añadiendo complejidad a la función objetivo poco a poco.

•

Iniciar la optimización partiendo desde diferentes valores iniciales factibles, puesto que todos los métodos de optimización son altamente sensibles al valor inicial. De

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D.M. QUINTAS


esta forma, se minimiza el riesgo de obtener un mínimo local en lugar de un mínimo absoluto (en todo caso, normalmente el número de mínimos locales es pequeño). La existencia de múltiples óptimos se debe, normalmente, a discontinuidades en la función objetivo o a la no linealidad de las funciones. •

Se debe considerar que además de las restricciones evidentes (por ejemplo pureza máxima o satisfacer la demanda), existen restricciones lógicas (por ejemplo al comparar opciones mutuamente excluyentes) y restricciones inherentes al proceso (por ejemplo, las emisiones deben cumplir la legislación ambiental).

•

Analizar críticamente los resultados. Hay que comprobar si el resultado tiene significado físico y es coherente, y confirmar mediante el análisis de sensibilidad, que la solución es aceptable para un amplio rango de situaciones.

1.3 Red de Recuperación de Calor Los proceso químicos pueden considerarse como tres subsistemas que interactúan (figura 1.1): el proceso en sí mismo incluyendo reactores (en el caso más general) y unidades de separación, la red de intercambiadores de calor que incluye todas las corrientes de proceso a intercambiadores internos (entre corrientes de proceso) y, finalmente, la red de servicios que ha de satisfacer las necesidades externas de calor, potencia y vapor.

Energía

Servicios Generales Equipo Proceso

Materia Prima

Productos Subproductos Red de Intercambiadores

Pérdidas

Residuos

Figura 1.1 El proceso visto como tres subsistemas interactuantes.

La integración energética trata de estos tres subsistemas y de sus interacciones con el fin de conseguir una utilización eficiente de la energía disponible y obtener la red de intercambiadores de calor que permita que cada corrientes alcance la temperatura deseada a partir su temperatura de entrada. La optimalidad de dicha red se define como

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aquella de costo total mínimo, incluyendo los costes de operación e inversión de la misma, o área total mínima dependiendo. Asimismo, la red óptima debe ofrecer una buena operabilidad y flexibilidad frente a condiciones cambiantes del entorno (económicas, ecológicas y de seguridad) y una buena integración del proceso teniendo en cuenta su topología, los equipos disponibles en la planta y el rango de operación de dicho equipo. El primer método relacionado con el diseño de redes de intercambio de calor es de Ten Breck en 1944. Pero el problema de síntesis de redes de intercambio de calor (HENS) no aparece rigurosamente definido hasta 1969 en la publicación de Masso y Rudd. Una revisión bibliográfica completa se encuentra en el texto Gundersen y Naess (1988), y actualizaciones posteriores de Furman y Shanidis (2001) y Westerberg (2003), entre otras.

1.3.1 Formulación del problema El problema básico de HENS se puede plantear de la siguiente forma. Dados: Un

conjunto H de corrientes calientes del proceso deben ser enfriadas

desde su temperatura de entrada hasta la temperatura de salida deseada. Un

conjunto C de corrientes frías del proceso deben ser calentadas desde

su temperatura de entrada hasta la temperatura de salida requerida. Las

capacidades caloríficas y caudales de las corrientes calientes y frías del

proceso. Los

servicios generales disponibles y las temperaturas o rango de

temperaturas y costes de dichos servicios. Determine la red de intercambiadores con un costo de operación e inversión anualizada. Aunque la función puede variar a determinar requerimientos mínimos de energía o área.

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D.M. QUINTAS


1.3.2 Métodos de solución al problema de HENS Los métodos de solución al problema de síntesis de redes de calor pueden clasificarse en dos grandes grupos: A. Método de síntesis secuencial Los métodos de síntesis secuencial llevan a cabo una partición del problema de HENS en cierto número de intervalos, usualmente dividiendo el rango de temperaturas del problema en intervalos de temperatura. Así, el problema se descompone en una serie de subproblemas que se resuelven sucesivamente en orden decreciente, empleando para ello reglas heurísticas. Las estrategias generalmente empleadas se basan en hallar la red que minimice costos, área o energía. Existen dos métodos de sistema secuencial: a) Métodos de diseño evolutivo basados en el punto de pliegue (PDP, pinch en inglés) y sus derivados (pseudo PDP). b) Métodos basados en técnicas de programación matemática que utiliza formulaciones enteras mixtas lineales (MILP) o bien resuelven el problema de optimización no lineal. Los métodos del apartado a) constituyen la base de productos comerciales (por ejemplo SuperTarget, PinchExpress, AspenPinch) que han recibido una gran aceptación por parte de la industria, además de haber contribuido de forma significativa al ahorro energético en la industria de proceso durante esta última década. Por este motivo, y dado que otros métodos basados en la programación matemática no son alternativas razonables para resolver problemas a escala industrial, algunos elementos del método PDP se desarrollarán más adelante. B. Método de síntesis simultánea El objetivo de los métodos de síntesis simultánea de redes de intercambio de calor es hallar la red óptima sin descomponer el problema. Se trata de métodos basados en formulaciones no lineales del problema entero-mixto (MINLP) de HENS, sujeto a hipótesis que tratan de simplificar su complejidad y facilitar la búsqueda de la solución.

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D.M. QUINTAS


Por el momento la utilización de tales métodos sigue mayoritariamente restringida al campo de la investigación académica.

1.4

Estado del arte Para simplificar el problema de síntesis de redes de intercambio de calor, es

descompuesto en tres partes: (1) Encontrar los requerimientos mínimos de consumo para un problema dado y un valor de HRAT (Heat Recovery Approach Temperature) propuesto, (2) sintetizar una red de intercambio de calor que tenga un número mínimo de unidades, y que satisfaga los requerimientos mínimos de consumo, (3) minimizar el área total. De los datos del problema, y antes de diseñar la red, podemos obtener la siguiente información: •

Requerimientos mínimos, para un HRAT específico. (Hohmann, 1971; Raghavan, 1977; Linnhoff & Flower, 1978; Papoulias & Grossmann, 1983; Cerda et al., 1983; O’Young et al., 1988).

•

Número

mínimo

de

unidades,

para

requerimientos

específicos,

independiente del área (Hohmann,1971; Papoulias and Grossman,1983). •

Área mínima de la red para requerimientos específicos, independiente del número de unidades (Hohmann, 1971; Nishida et al., 1971; Raghavan, 1977; Townsend and Linnhoff, 1974).

En lo que respecta a minimizar área, autores como Yee &Grossmann(1990) proponen una superestructura, que es una representación por etapas, en donde en cada etapa, ocurre un intercambio de calor, de las corrientes calientes a las frías que se encuentran presenten en dicha etapa. Rev y Fonyo (1993), proponen usar contribuciones individuales ∆Ti a la diferencia de temperatura de aproximación mínima entre las corrientes calientes y frías, en esta propuesta, la temperatura de las corrientes debe ser cambiada proporcionalmente por el inverso del coeficiente de película de la corriente en cuestión, de acuerdo con la ecuación:

∆T i =

khi

−1

En donde k es una constante. El valor de k puede ser calculado para cualquier valor de ∆T min de una manera iterativa. Merdardo Serna y Arturo Jiménez(2004) se basan en el 8

D.M. QUINTAS


método utilizado por Rev y Fonyo, con la diferencia de que utilizan el concepto de pinch diverso como base para proponer su algoritmo. Colberg y Morari(1990) usan un modelo no lineal, lo que lo vuelve complejo, pero puede aceptar coeficientes de transferencia de calor que no sean iguales, utilizan intervalos de entalpía. El modelo de Jeżowski (2003), también se basa en intervalos de temperatura, pero este modelo es lineal, por lo que es más fácil de resolver. Este método se basa en el modelo de transporte, y no requiere del conocimiento de los intervalos de entalpía.

1.5

Objetivos y justificación de este trabajo En el proceso de determinación de redes de intercambiadores de calor, las técnicas

empleadas habitualmente exigen una primera etapa de determinación de la Máxima Energía Recuperable. Para ello, existen diversas técnicas basadas en métodos termodinámicos como el procedimiento de la tabla de calor (PP), y métodos matemáticos que empleando el modelo de transporte en etapas, se resuelven utilizando el método Simplex para Redes. A fin de explorar las posibilidades, los métodos que aplican programación lineal más actual y exponer los resultados de su aplicación, se presenta el actual trabajo. El siguiente trabajo es una presentación del contenido que se abordó dentro de la materia Seminario de Proyectos 1 y 2, y cuyos objetivos son: 

Explorar las técnicas como la del punto de pliegue, fórmula de Bath o el modelo de transporte, para tener una primera aproximación a los métodos más utilizados dentro de la programación lineal orientada a la optimización de procesos dentro de la industria.



El estudio y análisis del método presentado por Jacek Jeżoswki (2003), donde utiliza intervalos de temperatura (TI’s).



Plantear un método que nos permita resolver de forma menos compleja el problema de optimización de HEN’s , mejora del tiempo de ejecución, así como de los resultados con respecto a otros métodos presentados en el presente trabajo.

9

D.M. QUINTAS


En el siguiente capítulo vemos a fondo las técnicas de recuperación de energía, modelo para minimizar los consumos de energía tanto de calentamiento como de enfriamiento. Se abordan algunos elementos de la tecnología de punto de pliegue, como: análisis de la primera ley que es el punto de partida para comenzar con el estudio de las redes de intercambio de calor, para posteriormente hacer la tabla de intervalos de temperatura. Las curvas compuestas y la gran curva compuesta integral, que están basadas en los intervalos que se crean en la tabla de intervalos de temperatura. Para finalizar el capítulo, se aborda otro método para resolver el problema de metas de energía, que es el modelo de transporte, de forma gráfica se describe el procedimiento para poder plantear el método. Se analiza un caso de estudio, para comprender mejor la metodología de cada procedimiento. En los capítulos siguientes se abordan las metas de área, en el capítulo 3, en particular se utiliza la fórmula de Bath, propuesta por Townsend y Linnhoff en 1984 en un encuentro de investigadores en la Ciudad de Bath (U.K). En el capítulo 4, se aborda el modelo de Jeżowski, una parte fundamental del presente trabajo ya que introduce el nuevo modelo sin que uno sea consecuencia del otro, al familiarizarse con el modelo de transporte del capítulo 3, este nuevo modelo es de fácil introducción, debido a su similitud en el planteamiento con el modelo de transporte. Se propone un nuevo modelo, donde las cargas se distribuyen, de forma que ninguna sea mayor que una cota establecida, esto con el fin de crear una distribución uniforme, basados en un porcentaje fijo. El capítulo 6, presenta casos de estudio diversos utilizando los dos métodos centrales de este trabajo, el de Jezowski y el de distribución de cargas uniformes, dichos casos de estudio fueron resueltos con la ayuda de Gams, para disminuir tiempos de ejecución. Para poder comparar los resultados, utilizamos el capítulo 7, donde se discute cual método es mejor de acuerdo a lo obtenido en el presente trabajo. Además, se presentan las conclusiones de los otros métodos abordados. Los métodos de programación lineal, contribuyen en la industria al optimizar procesos, esto es recuperar energía en forma de calor, y también a disminuir los costos, creando redes más económicas, y que puedan recuperar la energía para cierto HRAT.

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D.M. QUINTAS

CAPITULO 2.METAS DE ENERGÍA

Capítulo 2 Redes de consumos mínimos de energía en intercambio de calor

2.1 Elementos del método del punto de pliegue Los procesos químicos son una sucesión de operaciones químicas y/o físicas que trasforman materias primas en productos, subproductos y residuos. Por ejemplo en la Figura 2.1 los reactantes pasan por la primera etapa de purificación antes de la operación de reacción que tiene lugar a continuación. Los productos y subproductos obtenidos son sometidos a una segunda operación de purificación donde se separan de los reactantes no convertidos. Estos últimos se reciclan a la primera sección de purificación. Energía

Materia prima

Purificación 1

Reacción

Pérdidas

Purificación 2

Subproductos Productos

Residuos

Figura 2.1 Proceso químico simplificado

Cada una de dichas transformaciones tiene lugar a una temperatura y presión determinadas. La tarea encomendada a la red de intercambio de calor y al sistema de servicios generales es conseguir que las corrientes de proceso alcancen las condiciones apropiadas para la operación siguiente. Por consiguiente, los datos requeridos son el estado inicial y final (objetivo) de la corriente que interviene en la integración energética. Dichos datos en términos generales, son: •

La temperatura y presión de entrada.

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D.M. QUINTAS


•

La temperatura y presión de salida.

•

El caudal y la composición de la mezcla en cada corriente, que constituye el transporte de materia entre operaciones.

2.1.1 Requerimientos Mínimos de Servicios Auxiliares: calentamiento y enfriamiento (RMSA) El punto de partida en el análisis de la integración energética con el método del punto de pliegue es el cálculo de los requerimientos mínimos de calentamiento y enfriamiento de la red de intercambiadores, necesarios para satisfacer la demanda de calor qhu o para las corrientes calientes que requieren ser enfriadas q cu, y donde el intercambio de calor entre corrientes calientes y frías es insuficiente para que alcancen su temperatura objetivo. Dicho cálculo puede realizarse sin tener que especificar una red de intercambio de calor. Asimismo, podemos determinar el número mínimo de intercambiadores sin necesidad de especificar la red. Una vez establecidos los RMSA y el número mínimo de intercambiadores, se podrá proceder al diseño de la red de intercambiadores. Supongamos el siguiente caso: Considere la información de la Tabla 2.1, en la que se muestran 2 corrientes frías y dos calientes, considerando una diferencia mínima de temperaturas de 20 K. Tabla 2.1. Datos para el caso de estudio 1(HRAT=20 K) Corriente de proceso Ts(K) To(K) FĈp(kW/K) h(kW/m2K) Qdisp/req(kW) H1 423 333 20 0.1 1800 H2 363 333 80 0.1 2400 C1 293 398 25 0.1 2625 C2 298 373 30 0.1 2250 Vapor 453 453 0.1 Agua de Enfriamiento 283 288 0.1 Este caso de estudio fue tomado de Colberg y Morari (1990), también se presenta en Jeżowski (2003). Se dan las temperaturas de entrada T o y salida T s de cada corriente y su contenido de calor CP=FCp, donde F es el flujo másico que discurre por la corriente y Cp es el calor específico del fluido en cada corrientes, suponiendo que se mantiene constante en el

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rango de temperaturas indicado. Aparecen también en la Tabla 2.1 los valores de las cantidades netas Q a suministrar o sustraer necesarias para que las corrientes alcancen sus temperaturas objetivo T o.

2.1.2 Balances de energía A partir de los datos de la Tabla 2.1, y de la tabla 2.2, tabla de intervalos de temperatura, obtenemos los valores de los RMSA para calentamiento es q hu y para enfriamiento qcu, y se extraen los siguientes balances de energía: Q H 1 = F 1C p1 (T s − T o ) = CP1∆T 1 = ( 423 − 333) * 20 = 1800kW Q H 2 = F 2C p 2 (T s − T o ) = CP2 ∆T 2 = (363 − 333) * 80 = 2400kW QC 3 = F 3C p 3 (T s − T o ) = CP3 ∆T 3 = ( 293 − 398) * 25 = −2625kW QC 4 = F 4 C p 4 (T s − T o ) = CP4 ∆T 4 = ( 298 − 373) * 30 = −2250kW

qdisp = 1800kW + 2400kW = 4200kW

(2.1.1)

qreq = 2625kW + 2250kW = 4875kW

(2.1.2)

qdisp + qhu = 4200kW + 1075kW = 5275kW

(2.1.3)

qreq + qcu = 4875kW + 400kW = 5275kW

(2.1.4)

De (2.1.3) y (2.1.4), tenemos: qhu

+ qdisp = qreq + qcu

(2.1.5)

La ecuación (2.1.5) nos dice que la energía que tenemos en las corrientes calientes, qdisp, más la energía del servicio de calentamiento, q hu, debe ser igual a la energía que debemos suministrar a las corrientes frías, q req, más la ayuda de servicio de enfriamiento, qcu. H1 qH1=1800 kW

ESTADO ESTACIONARIO

C1 qC1= 2250 kW

H2

qH2=2400 kW

HU

qhu=1075 kW

qc2= 2625 kW

C2

qCU= 400 kW

CU

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La primera ley de la termodinámica no contempla el hecho de que es únicamente posible transferir calor de una corriente caliente a una fría si la temperatura de la corriente caliente está por encima de la correspondiente a la corriente fría. Por lo tanto, para obtener un estimado físico razonable de los requerimientos de calentamiento y enfriamiento, una fuerza motriz positiva debe existir en la tabla de calor entre la corriente fría y caliente. Es decir, que se debe satisfacer también la segunda ley. La segunda ley de la termodinámica nos dice que es imposible un proceso cuyo único resultado sea la transferencia de energía en forma de calor de un cuerpo de menor temperatura a otro de mayor temperatura. Lo que esta ley nos dice es también conocido como enunciado de Clausius. La segunda ley reafirma a la primera, y nos indica que en la tabla de calor solo se debe transferir calor de intervalos de mayor temperatura a intervalos de menor temperatura.

2.1.3 Diagrama de intervalos de temperatura Una forma sencilla de asegurar el cumplimiento de la segunda ley en la aplicación del análisis de integración energética es la representación de las corrientes de proceso susceptibles de un intercambio energético en el llamado diagrama de intervalos de temperatura (Umeda et al., 1978; Linnhoff y Flower, 1978). El diagrama de intervalos de temperatura parte de la selección de una diferencia de temperaturas mínima ∆T min entre las corrientes que intercambian calor como fuerza impulsora del intercambio. Para construir esta tabla, primero ordenamos las temperaturas de suministro y objetivo (Tabla 2.2 (a)) las remarcamos con negritas, posteriormente para T H restamos el HRAT correspondiente, y para T C sumamos el HRAT (Tabla 2.2 (b)), ahora se ordenan de forma descendente (Tabla 2.2 (c)), por último suprimimos las temperaturas que se repiten, para así obtener nuestra escala de temperaturas.

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D.M. QUINTAS


Tabla 2.2 Formación de intervalos de temperatura (a) acomodo en la tabla, (b) resta o suma de HRAT, (c) ordenamiento de temperaturas, (d) tabla final TH

TC

TH

TH

TC

TC

TH

TC

423

423 403

423 403

423

403

363

363 343

418 398

418

398

333

333 313

393 373

393

373

333

333 313

363 343

363

343

398

418 398

333 313

333

313

373

393 373

333 313

318

298

298

318 298

318 298

313

293

293

313 293

313 293

(b)

(c)

(a)

(d)

A partir de la Tabla 2.2 (d), se forma la figura 2.2, que indica los intervalos de temperatura que han sido determinados por los extremos de cada corriente, es decir, sus temperaturas de entrada y salida. H1 20

H2 80

TH 423

TC 403

418

398

393

373

363

343

333

313

318

298

C1 25

C2 30

293

313

Figura 2.2 Diagrama de intervalos de temperatura correspondiente a los datos de la tabla 2.1. Ahora se expande la tabla de calor, para hacer un análisis de lo que podemos obtener de estos datos, (ver tabla 2.3). La columna (2) de la tabla 2.3, es el calor disponible de las corrientes, es decir, la energía que contienen las corrientes calientes, y

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que se puede utilizar, para que esta corriente alcance su temperatura objetivo, sigue la ecuación:

∑ FCP

q disp , k =

T k

Hi ∆

(2.1.3)

iε I k

Por ejemplo para el intervalo 4, tenemos: qdisp , 4 = FCP H 1 ∆T 4 + FCP H 2 ∆T 4 = ( 20 + 80) kW / K * 30 K = 3000kW

Para el calor requerido, columna (3), podemos utilizar la ecuación (2.1.4), solo que ahora se aplica para las corrientes frías. q req , k =

∑ FCP

T k

Cj ∆

(2.1.4)

j ε J k

En cada intervalo de temperaturas es posible el intercambio de calor entre corrientes calientes y frías, ya que queda garantizado un ∆T min entre ellas. Obviamente, también es posible el intercambio de calor entre intervalos a más alta temperatura con los de corrientes a temperaturas más bajas. Si se restringe el intercambio de calor a las corrientes dentro de cada intervalo de temperaturas, la cantidad de calor máxima transferible en cada intervalo de temperatura vendrá dada por: qrec = min[ qdisp , qreq ]

(2.1.5)

Más adelante se describirán las columnas restantes. En la Tabla 2.3, se muestra la tabla de intervalos de temperatura, desglosada, donde la columna 4, representa la ecuación (2.1.5) nos dice.

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Tabla 2.3 Tabla de calor para el caso de estudio 1.

H1 20

H2 80

TH

423

TC

403

C1 25

C2 30

∆T

qdisp

qreq

qrec

qneto

qhu

Hacumh

Hacumc

(K)

(kW)

(kW)

(kW)

(kW)

(kW)

(kW)

(kW)

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

qhu

4200

5 418

100.00

1075.00

500.00

625.00

500.00

-125.00

41000

5275

3600

4650

3000

3000

0

1350

1175.00

600.00

1650.00

600.00

-1050.00

1050.00

343

30

333

0.00

373

30

363

0.00

398

25 393

100.00

3000.00

1650.00

1650.00

1350.00

0.00

313

15

0.00

825.00

0.00

-825.00

1350.00 525

318

298

5

1800

2400

313

293

2625 2250

0.00

125.00

4200

0.00

4875

-125.00

3800

525.00

400 qcu

2.1.3.1 Diagrama de cascada El diagrama de intervalos de temperatura nos indica las cantidades netas de calor en exceso necesario para el enfriamiento y calentamiento en cada intervalo que podría suministrarse por un servicio de frío y de calor, respectivamente. Sin embargo una forma más eficiente de suministro es utilizar el exceso de calor disponible en cierto intervalo para cubrir el déficit de enfriamiento del siguiente a temperaturas más bajas garantizando de esta manera el cumplimiento de la segunda ley. De esta forma, el exceso de calor se transfiere de forma de cascada de intervalos a más alta temperatura hacia los de más baja temperatura.

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400

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La columna (5), resulta de la sustracción de la columna (2) y la (3). De esta columna, observamos que hay valores negativos, entonces, observamos donde hay un cambio de signo, el primero esta del intervalo 3 al 4, este punto donde cambio el signo se llama punto de pliegue (PDP) entonces sumamos los tres valores por arriba de este punto, para obtener el valor de los requerimientos de calentamiento, q hu. Colocamos este valor arriba, en la columna (6), conforme bajamos, sumamos el valor de q neto, primero tenemos 1075 kW, sumamos q neto = 100 kW, en el siguiente intervalo tendremos 1175 kW, y así sucesivamente, al valor al final de esta columna, obtendremos el valor de q cu. En la tabla de calor, se muestra como fluye la energía en cascada a través de cada intervalo (Tabla 2.2, columna 6). Requerimientos Mínimos de Servicios Auxiliares (RMSA)

Por construcción del diagrama de cascada, columna 6 Tabla 2.3, se observa que para un HRAT= 20 K, el consumo mínimo de servicios de calentamiento se halla al comienzo de la cascada. Correspondiente a q hu= 1075 kW. Asimismo, el consumo mínimo de servicios de enfriamiento se halla en el extremo inferior de la cascada que son q cu= 400 kW. Temperatura del punto de pliegue (TPDP)

El punto de pliegue se encuentra, para las corrientes frías en 343 K, y para las calientes en 363 K, entonces la temperatura del punto de pliegue se encuentra a 353 K. Por encima del punto de pliegue se deben suministrar 1075 kW, y por debajo del punto de pliegue se deben retirar 400 kW.

HU mín =1075

Q

kW

PP

CU mín=400

Q

kW

Figura 2.3. Descomposición del comportamiento en el punto de pliegue

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El punto de pliegue (PDP) define la mínima fuerza impulsora permitida por cierto ∆Tmin. La temperatura del punto de pliegue permite descomponer el problema de diseño de la red de intercambiadores. Es decir, por encima de dicha temperatura “solamente se debe suministrar calor”, mientras que por debajo de ella “solamente se debe suministrar enfriamiento” de un servicio auxiliar externo. Normalmente el punto de pliegue no aparece a una temperatura extrema del proceso, si no que corresponde a la posición del proceso donde el intercambio energético es más difícil. Es decir, que los intercambios de calor son más fáciles alejados del PDP. Por ello el punto de pliegue identifica el cuello de botella del proceso. El análisis de las corrientes involucradas en el PDP será de gran ayuda para mejorar la eficiencia energética del proceso.

2.1.4 Diagramas entalpía-temperatura (T-H) El comportamiento térmico de un proceso se caracteriza por la evolución entalpíatemperatura, que puede representarse en el llamado diagrama T-H. En el caso de un intercambiador de calor, el cambio de entalpía H asociado a una corriente del mismo viene dado por la primera ley de la termodinámica: H=Q±W,

(2.1.4.1)

Teniendo en cuenta que no tiene lugar trabajo mecánico, W=0.Por consiguiente, la ecuación (2.1.4.1) queda simplificada así: H=Q

(2.1.4.2)

Donde Q representa la demanda de calor entre las temperaturas, To y Ts asociada a cierta corriente de proceso, la cual viene dada por: T s

∫

Q = CPdT

(2.1.4.3)

T o

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Si CP es constante, es decir, independiente de la temperatura en el rango de operación contemplado, la ecuación (2.1.4.3) se convierte en: Q = CP(T s − T o )

(2.1.4.4)

Es importante notar que, dado que solamente intervienen cambios de entalpía, el origen en el eje de entalpía es arbitrario. La representación T-H se utilizará en los diagramas de curva compuesta, que sirven de soporte al diseño de la red de intercambiadores de calor. Las columnas de H acumh y Hacumc , (tabla 2.3) muestran la carga acumulada en las corrientes frías y calientes, estas nos permiten construir las curvas compuestas y la curva compuesta integral.

2.1.5 Diagrama de curva compuesta El diagrama de entalpía-temperatura puede ser de gran utilidad en el análisis de integración energética de un proceso si, en vez de representar aisladamente cada corriente del proceso, procedemos a la representación del perfil compuesto de todas las corrientes calientes del mismo y del perfil compuesto correspondiente a las corrientes frías. Dichos perfiles representan cómo se compartirían las diversas corrientes del proceso como si se tratase de una corriente única. Para ello, dentro de cada intervalo de temperaturas, se combinan las diversas corrientes calientes (frías) para producir una curva compuesta caliente (fría). Dicha curva caliente (fría) tiene un CP equivalente en cada intervalo que es la suma de los valores de las corrientes individuales. De la tabla 2.4, se observa que para las corrientes calientes existen 2 intervalos de temperatura que delimitan el cambio en la población de corrientes. El primer intervalo va desde TH= 333 K y termina en T H= 363 K, (intervalo:∆T 3, población: H1, H2)el segundo intervalo va de T H= 363 K hasta T H= 423 K, (intervalo :∆T 4, ∆T 5 , ∆T6 población: H 1), los valores de la entalpía acumulada se muestran en la columna H acumh. En la tabla 2.4, se muestra la población de corrientes, por intervalos de entalpía, para las corrientes frías y calientes. 20

D.M. QUINTAS


Tabla 2.4. Población de corrientes por intervalo de entalpía para el Caso de estudio 1, (a) corrientes calientes, (b) corrientes frías Intervalo

Intervalo

Población de

Hacumh(kW)

TH (K)

corrientes

0-3000

333-363

H 1, H2

3000-4200

363-423

H1

(a)

Intervalo

Intervalo

Población de

Hacumc(kW)

TC (K)

corrientes

400-525

293-298

C1

525-4650

298-373

C 1, C2

4650-5275

373-398

C1

(b) Solamente los cambios de entalpía son de interés, pudiendo ser el origen arbitrario de la escala.

2.1.6 Curva Compuesta Integral La Curva Compuesta Integral(CCI) resulta de especial interés en el análisis y estudio de integración energética de procesos. La representación de la CCI muestra el perfil combinado de la curva compuesta caliente y fría en un solo diagrama T-H mediante la representación de las entalpías correspondientes a los valores promedio de las temperaturas de las curvas compuestas caliente y fría. Por definición, la entalpía a temperatura del punto del pliegue (PDP) es cero. A partir de este punto, la CCI se construye fácilmente a partir del diagrama de cascada por encima y por debajo del punto de pliegue. Se tienen las siguientes reglas heurísticas de diseño para redes de intercambio con consumo mínimo de energía: 21

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•

No se debe transferir calor a través del punto de pliegue.

•

Calentar solamente por encima del punto de pliegue.

•

Enfriar únicamente por debajo del punto de pliegue.

Es importante hacer notar las limitaciones existentes en el procedimiento de cálculo de los RMSA, que requiere como datos: Los valores de F Cp(FC) para todas las corrientes. Es decir, los valores de los

•

flujos másicos F y el calor específico del fluido. Las temperaturas de entrada y salida de todas las corrientes

•

Sin embargo, los valores de las variables de diseño que fijan los flujos másicos del proceso (por ejemplo, conversión, purga, composición, relación molar entre reactantes, etc.) se deben determinar a partir de un análisis de optimización. Para cada variable, la optimización contempla en general los costes de reciclado que dependen a su vez de la red de intercambiadores. Es decir, que los valores óptimos de los flujos másicos dependen del diseño de la red de intercambiadores, pero éstos son a su vez datos del diseño de la red. Para resolver este dilema, calculamos la red de intercambiadores en función de los flujos másicos para estimar las condiciones óptimas de diseño. 452

450

I H1, H2 CW

II

IV H1 C1, C2

III H1,H2 C1, C2

H1 H2 C1

453

V ST C1, C2

VI ST C1

423

398

400 333

373 363

] K [ T 350

364.82 338.25 337 343

333

300

293

298 288

283

qcu 250 0

400

5 2 1

1000

2000 2475

3000 H[kW]

4000 1200

450

5000 625

Figura 2.4Curvas compuestas para el caso de estudio 1

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D.M. QUINTAS


CURVA COMPUIESTA INTEGRAL 430 410

qhu

390 370

qrec 350 ] K [ T

330 310 qcu 290 270 250 0.00

500.00

1000.00

1500.00

2000.00

2500.00

H[kW]

Figura 2.5 Curva compuesta integral para el caso de estudio 1. La información de la tabla 2.4, reproduce la información del diagrama de curvas compuestas que se observa en la Figura 2.4. En esta figura se observan 6 intervalos, donde las líneas cambian de pendiente, como se presentó en la tabla 2.4, son los cambios de población de las corrientes. A partir de estos cambios de población se determinan las temperaturas de entrada y salida de cada intervalo. En las curvas existe un punto de mayor acercamiento, se ubica en: para las calientes T H= 363 K, y para las frías T C= 343 K, la diferencia ∆T min= 20 K, que corresponde al HRAT. En los extremos de las curvas, donde no hay apareamientos, encontramos un q hu =1075 kW, y un q cu= 400 kW. De igual manera podemos obtener estos dos valores en la curva compuesta integral, en la parte superior e inferior. El punto de pliegue se identifica fácilmente en la Figura 2.5, es donde la H=0 kW, en T=353 K.

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D.M. QUINTAS


2.1.7 El problema umbral Se ha considerado que el punto de pliegue divide el proceso en dos zonas. Sin embargo, existen ciertos problemas que conducen a situaciones límite donde una de las zonas puede desaparecer. Supóngase el caso de la Figura 2.6 a. Esta situación requiere el consumo de ambos servicios, calor y frío.

T

a)

QH

b)

c)

T

QC

H

T

QC

H

QC1

QC2

H

Figura 2.6 Variaciones del consumo de servicio de calentamiento y enfriamiento en función de ∆T min. A medida que ambas curvas compuestas se aproximan (∆T min disminuye), decrece el requerimiento de servicio de calor hasta desaparecer (Figura 2.6 b) y luego llegar a la situación de la figura 2.6 c, en la que el consumo de servicio de enfriamiento ocurre tanto en el extremo inferior de la curva compuesta de las corrientes frías como en el superior. Es decir, a partir de la situación de la figura 2.6 b, el consumo de servicios generales (de enfriamiento) es constante (Q C1+QC2=QC). Dicha situación se conoce como problema umbral. La representación de los consumos mínimos de servicio de calor Q Hmin y frío Q Cmin a medida que ∆T min disminuye aparece en la figura 2.7. Como puede observarse a partir del escenario b (umbral) el consumo mínimo de servicios externos permanece constante aunque ∆Tmin disminuya, correspondiendo en este caso a un servicio de enfriamiento. En ciertos problemas de umbral desaparecen los requerimientos de servicio de calentamiento y en otros los requerimientos de enfriamiento. QHmin QCmin QHmin QCmin

∆Tmin Figura 2.7 El problema umbral correspondiente al escenario b.

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D.M. QUINTAS


2.2 Número mínimo de intercambiadores El análisis precedente ha permitido determinar los requerimientos mínimos de servicios de calentamiento y enfriamiento externos de forma previa al diseño de la red de intercambio entre corrientes de proceso. A partir de los resultados obtenidos se puede predecir el número mínimo de intercambiadores necesario antes de realizar el diseño detallado de dicha red.

Análisis de la primera ley Del análisis precedente se han deducido los requerimientos mínimos de servicios de calentamiento y de enfriamiento que cumplen con la segunda ley para un valor determinado de ∆Tmin. De acuerdo a la teoría de grafos (Euler), que establece el número mínimo de intercambiadores entre corrientes de proceso que satisface los requerimientos de las mismas: NE= NS + NU + L – S NE: Número de intercambiadores (enlaces en teoría de grafos). NS: Número de corrientes del proceso (nodos en teoría de grafos). NU: Número de servicios auxiliares. L : Número de lazos S : Número de sistemas independientes Tenemos 2 corrientes calientes H1 y H2, dos corrientes frías C1 y C2, por lo que N s =4. De acuerdo a la figura 2.4, se tienen como mínimo 3 servicios auxiliares esto se obtiene del número de intervalos que quedan sin aparearse, es decir los intervalos I, V, y VI, donde se suministra la energía o se retira según sea el caso con ayuda de servicios de calentamiento o enfriamiento según corresponda. Se supone no hay loops en la red. Y tomando en cuenta que el número mínimo de componentes en el sistema es 1.Tenemos: NE = 4 + 3 + 0 – 1 = 6

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D.M. QUINTAS


2.3 Modelo De Transporte El Modelo de Transporte es un problema particular de la Programación Lineal; trata de determinar la red óptima para transportar una mercancía desde las fuentes directamente a sus destinos, sin intermediarios. Origen

b1

Unidades de oferta

Destinos c11 : x11

1

1

b2

bm

2

2

. .

. .

m

n

a1

a2

Unidades de demanda

an

cmn : xmn

Figura 2.8 Representación General del Modelo de Transporte Cada fuente ó destino es un nodo, el arco ó flecha que une a la fuente con un destino es la ruta, esta tiene dos tipos de información, a sabe, la cantidad de mercancías que irán por esa ruta, así como el costo de llevar esa cantidad de mercancías por esa ruta determinada.

2.3.1 Representación Gráfica Como se ilustra en la figura 2.9, se puede pensar en el calor como una mercancía que es transportada desde las corrientes calientes como las fuentes, hasta las corrientes frías como los sumideros respetando las restricciones impuestas por la primera y la segunda leyes de la termodinámica para la transferencia de calor.

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D.M. QUINTAS

Intervalos de Temperatura


Corrientes Calientes (Fuentes)

Corrientes Frías (Destinos)

Intervalo 1

Intervalo 2

Intervalo 3

Intervalo 4

Figura 2.9 Representación gráfica del Modelo de Transporte para una red de recuperación de calor

2.3.2 Planteamiento General del Modelo de Transporte A continuación se muestra la nomenclatura utilizada en el modelo: Índices: i = corriente fría j = corriente caliente k = intervalo para corriente fría l = intervalo para corriente caliente

Parámetros: aik = Calor requerido por la corriente fría i en su intervalo de temperatura k. b jl = Calor disponible de la corriente caliente j en su intervalo de temperatura l.

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D.M. QUINTAS

L


= Número total de intervalos de temperatura.

C-1 = Número de corrientes de proceso frías H-1 = Número corrientes de proceso calientes. C H

= Número total de corrientes frías del problema. = Número total de corrientes calientes del problema.

Variables continuas positivas: qik,jl = Calor transferido de la corriente caliente j en su intervalo l, hacia la corriente

fría i en su intervalo de temperatura k. Podemos escribir nuestro modelo del transporte para el problema para consumo mínimo de energía como sigue: C

Minq

ik , jl

L

H L

∑∑∑∑ C

ik , jl

qik . jl

(2.3.1)

i =1 k =1 j =1 l =1

sujeto a : H

L

∑ ∑q j =1

ik , jl

= a ik

(2.3.2)

l =1

i = 1,2,…,C. k = 1,2 ,…,L .

(2.3.4)

 C L ∑∑ q ik , jl  i =1 k =1



= b jl 

qik , jl ≥ 0 para todo



i,j,k,l.

(2.3.5)

(2.3.6)

Donde:

C ik , jl = 0

si i y j son corrientes de proceso con apareamiento permitido; i.e., l ≤ k

C ik , jl = 0

si i y j son las dos corrientes de servicio auxiliar ( i.e., i = C , j = H )

C ik , jl = 1 solo cuando i ó j sean una de las dos corrientes de servicio auxiliar

28

D.M. QUINTAS


C ik , jl = M Cualquier otro caso, donde M es un número muy grande (pensado (2.3.7)

como ∞)

Comentarios a) La ecuación (2.3.2) dice que el calor requerido por la corriente fría i en el intervalo k debe ser satisfecho transfiriendo calor de alguna parte entre las corrientes calientes. b) La ecuación (2.3.3) dice que el calor disponible en la corriente caliente j en el intervalo I debe ceder su calor en alguna parte a corrientes frías. c) La ecuación (2.3.6) dice que todo calor transferido debe ser no negativo, esto es ningún calor puede fluir de una corriente fría a una caliente pues estaríamos violando la segunda ley de la termodinámica. d) La ecuación (2.3.1) es la función objetivo que se minimizará con los coeficientes del costo definidos por

(2.3.7),

en ésta se minimiza el costo de la

transferencia de calor de cada corriente en cada intervalo. e) Nótese que en el cuarto caso del costo (2.3.7), estamos introduciendo los apareamientos prohibidos entre corrientes, es decir, para poder prohibir apareamientos entre corrientes calientes que se encuentran en un nivel de temperatura mas bajo que una corriente fría declaramos el costo de esta transferencia con un precio muy alto, por lo cual al minimizar el costo, automáticamente desechamos ese apareamiento, otra manera sería simplemente no declarar ese apareamiento, es decir, no incluir en el balance del nodo, la transferencia de calor prohibida, ó “ hacia” arriba en los intervalos de temperatura.

Dicho de otra forma, los apareamientos termodinámicamente

rechazados se dan como costo cercano a infinito para imposibilitar

ser parte de

cualquier solución óptima. f) No se asocia ningún costo a un apareamiento permitido entre corriente de proceso – corriente de proceso, pues lo que deseamos es recuperar energía, y al permitir el apareamiento entre corrientes de proceso eso es precisamente lo que estamos logrando al minimizar el costo de la transferencia de calor.

29

D.M. QUINTAS


g) De la misma manera lo hacemos entre corriente de servicio auxiliar -servicio auxiliar calentamiento ó enfriamiento (esta última meta nunca se había puesto en ejecución en una red). Lo anterior porque sabemos que permitir el apareamiento entre estas corrientes de manera real no es racional, así, si al llevar a cabo la solución del modelo de minimización, obtuviéramos un valor dado para el intercambio de energía entre servicios auxiliares, sabemos que en realidad no pondremos a esas corrientes en contacto. h)

Los apareamientos termodinámicamente rechazados se dan como costo

cercano a infinito para imposibilitar ser parte de cualquier solución óptima.

Retomando los datos de la tabla 2.1, para aplicar el modelo de transporte. Primero en una tabla de calor se muestra la división de corrientes en sus respectivos intervalos de temperatura (figura 2.10).

H1 20

H2 80

1 2 3 4 5 6

TH 423

TC 403

418

398

393

373

363

343

333

313

318

298

313

C1 25

C2 30

293

Figura 2.10 Intervalos de temperatura del ejemplo 1.

Tenemos los siguientes conceptos: aik = carga térmica requerida por la corriente fría i en el intervalo k b jl = carga térmica disponible en la corriente caliente j en el intervalo l

30

D.M. QUINTAS


Entonces, debido a estas definiciones obtenemos la siguiente figura:

H2 80

H1 20

0

bH0

1

b11= 100

2

b12= 500

3

b13= 600

4

b14= 600 b24= 2400

5 6

St

TH

TC

C2 30

C1 25

453 423

403

418

398

a12= 625 393

373

363

343

333

313

318

298

313

a13= 750

a23= 900

a14= 750

a24= 900

a15= 375

a25= 450

a16= 125

293

7 288

8

Cw 283

Figura 2.11 Cargas térmicas de las corrientes de proceso Ejemplo 1

De la figura 2.10, se observa que existen 8 intervalos, comenzando por un intervalo 0, a diferencia de la tabla de calor, donde solo tenemos 6. Esto se debe a la necesidad de tener un intervalo para los requerimientos de calentamiento, en este caso el intervalo 0, donde tenemos el vapor a 453 K. En el intervalo 7, no existe corriente de proceso o para los servicios, sin embargo es necesaria, para poder delimitar, la corriente de enfriamiento, que se encuentra en el intervalo 8, donde el agua de enfriamiento, va desde 283 K a 288 K. Para las corrientes de proceso, solo se tomará en cuenta del intervalo 1 al 6.

Para introducir a la notación del modelo, se presentan los siguientes balances: b1l = carga térmica disponible en la corriente caliente H1 en el intervalo l, así:

31

D.M. QUINTAS


6

∑

b1l =1800

l =1

b2l = carga térmica disponible en la corriente caliente H2 en el intervalo l, así: 6

∑

b2l =2400

l =1

2

6

j =1

l =1

∑ ∑

b jl

= carga térmica disponible en las corrientes calientes H1 y H2 en todos los L

intervalos 6

2

∑ ∑ j =1

a1l = carga

b jl = 4200

l =1

térmica requerida por la corriente fría C1 en el intervalo l, así: 6

∑

a1k =2625

k =1

a2l = carga

térmica requerida por la corriente fría C2 en el intervalo l, así: 6

∑

a2k =2250

k =1

2

6

i =1

k =1

∑ ∑

aik =

carga térmica requerida por las corrientes frías C1 y C2 en todos los L

intervalos 2

6

∑ ∑ i =1

aik = 4875

k =1

Así se obtiene la energía disponible de cada corriente caliente, así como la energía requerida por las corrientes frías. En la figura 2.3.6, se observa la distribución que puede seguir la carga que transfiere la corriente caliente H 1 en los intervalos del 1 al 4, en que se encuentra presente, a las corrientes frías C 1 en los intervalos 1 al 6 y C 2 en el intervalo 3 al 5. Los apareamientos prohibidos, no se toman en cuenta, debido a la simplicidad que esto produce al modelo, pues se omiten los términos que estos apareamientos producen al momento de minimizar el área. De forma análoga, se aplicó este criterio a las demás corrientes, H 2, C1 y C2. Entonces, para la corriente caliente H2, presente en el intervalo 4, puede aparearse con la

32

D.M. QUINTAS


corriente fría C1, presente en los intervalos 4, 5 y 6, y con la corriente fría C2, presente en los intervalos 4 y 5. Hay que recordar que no es posible posible transferir energía de un intervalo de menor temperatura a uno de mayor, es decir j≤k, en la figura 2.3.6, la línea roja que va de H13 a C12, ilustra un apareamiento prohibido. La línea roja que va del servicio de calentamiento b H0 al servicio de enfriamiento a C8, también es un apareamiento prohibido, pues no tiene sentido transferir energía entre los servicios auxiliares, debido al gasto que implica y el mal uso.

33

D.M. QUINTAS


453 Va or 423 b11=100

0

bH0

403

1

H1

418 b12=500

398

2

C1

H1

393

373 C1

b13=600

3

H1 C2

363 b14=600

343 C1

H1

4 b14=2400

C2

H2

333

313 C1

5 C2

318

298

6

C1

313

293

7 288 Agua de Enfriamiento

aC8

8 283

Figura 2.12 Carga térmica cedida por H1 proveniente de cada intervalo

34

D.M. QUINTAS


Aplicando el modelo de transporte: Min a C8 + b H 0

Sujeto a: Balances de energía para la Corriente Caliente H 1: 100 = q H1,1,C1,2 + q H ,C + q H1,1,C1,4 + q H1,1,C1,5 + q H1,1,C1,6 + q H1,1,C2,3 + q H1,1,C2,4 + q H1,1,C2,5 + q H1,1,a 1,3 1,1 500 = q H1,2 ,C1,2 + q H1,2 ,C1,3 + q H1,2 ,C1,4 + q H1,2 ,C1,5 + q H1,2 ,C1,6 + q H1,2 ,C2,3 + q H1,2 ,C2,4 + q H1,2 ,C2,5 + q H1, 2,a 600 = q H1,3 ,C1,3 + q H1,3 ,C1,4 + q H1,3 ,C1,5 + q H1,3 ,C1,6 + q H1,3 ,C2,3 + q H1,3 ,C2,4 + q H1,3 ,C2,5 + q H1,3 ,a

600 = q H1,4 ,C1,4 + q H1,4 ,C1,5 + q H1,4 ,C1,6 + q H1,4 ,C2,4 + q H1,4 ,C2,5 + q H1,4 ,a

Balances de energía para la Corriente Caliente H 2:

2400 = q H2,4 ,C1,4 + q H 2,4 ,C1,5 + q H2,4 ,C1,6 + q H2,4 ,C2,4 + q H2,4 ,C2,5 + q H 2,4 ,a

Balances de energía para la Corriente Fría C 1: 625 = q b,C1,2 + q H1,1,C1,2 + q H1,2 ,C1,2 750 = q b,C1,3 + q H1,1 ,C1,3 + q H1,2 ,C1,3 + q H1, 3,C1,3 750 = q b,C1,4 + q H1,1,C1,4 + q H1,2 ,C1,4 + q H1,3 ,C1,4 + q H1,4 ,C1,4 + q H 2,4 ,C1,4 375 = q b,C1,5 + q H1,1,C1,5 + q H1,2 ,C1,5 + q H1,3 ,C1,5 + q H1,4 ,C1,5 + q H 2,4 ,C1,5 125 = q b,C1,6 + q H1,1,C1,6 + q H1,2 ,C1,6 + q H1,3 ,C1,6 + q H1,4 ,C1,6 + q H2,4 ,C1,6

Balances de energía para la Corriente Fría C 2: 900 = q b,C2,3 + q H1,1,C2,3 + q H1,2 ,C2,3 + q H1,3 ,C2,3 900 = q b,C2,4 + q H1,1,C2,4 + q H1,2 ,C2,4 + q H1,3 ,C2,4 + q H1,4 ,C2,4 + q H 2,4 ,C2,4 450 = q b,C2,5 + q H1,1,C2,5 + q H1,2 ,C2,5 + q H1,3 ,C2,5 + q H1,4,C2,5 + q H2,4 ,C2,5

35

D.M. QUINTAS

CAPITULO 2 .METAS DE ENERGÍA

Balances de energía para los Servicios Auxiliares: a C8 = q H1,1,a + q H1,2 ,a + q H1,3,a + q H1,4 ,a + q H2,4 ,a b H 0 = q b,C1,2 + q b,C1,3 + q b, C 2,3 + q b,C1,4 + q b,C, 2,4 + q b,C1, 5 + q b,C 2,5 + q b,C1,6 q H i,k ,C j,l , q H i,k ,a , q b, C j,l , ac7 , b H 0 ≥ 0 , para i=1,2, j=1,2, k=1,…,4, l=2,…,6.

Al resolver el modelo con ayuda de Solver complemento de Excel, se obtiene la distribución que se presenta en la Figura 2.13, los valores que son de nuestro interés son: b H 0 = 1075kW a C8 = 400kW

Se observa que los resultados obtenidos en la primera parte de este capítulo, sección 2.1.3, en específico, la tabla 2.3 columna (6), coinciden con los resultados obtenidos del modelo de transporte.

36

D.M. QUINTAS

453

CAPITULO 2 .METAS DE ENERGÍA

Vapor

1075 423

bH0

b11=100

H1

0 403 100

1

418 b12=500

398 H1

393

500 25

C1

H1

2

373

750 b13=600

a12=625

C1

a13=750

600

3 C2

300

a23 =900

363

343 600

b14=600

H1

C1

150

a14=750

4 b24=2400

H2

C2

900

a24=900

333

313 375

C1

a15=375

5 450

C2

a25=450

318

298 125

C1

a16=125

313

6

293

7 288 400

Agua de enfriamiento

aC8

8 283

Figura 2.13 Solución del modelo de transporte para el caso de estudio 1.

37

D.M. QUINTAS

CAPITULO 3 ESTIMACIÓN DEL ÁREA

Capítulo 3 Estimación del área de transferencia de calor

Una vez calculados los requerimientos mínimos de servicios generales de enfriamiento y calentamiento del proceso, se puede estimar el área mínima de intercambio de dichos servicios, antes de llevar a cabo el diseño detallado de la red de intercambiadores. Una metodología para realizar dicha estimación fue desarrollada por Townsend y Linnhoff (1984) como extensión del trabajo realizado por Hohmann (1971).

3.1 Planteamiento de la fórmula El área total A del intercambiador entre dos corrientes de proceso correspondiente a una utilización óptima del potencial de transferencia de calor entre dos curvas compuestas puede estimarse de forma sencilla considerando ambas curvas compuestas, la de las corrientes calientes y la de las corrientes frías como una corriente global a la que corresponde un coeficiente global de transferencia de calor U mediante la siguiente expresión: Sal

A =

∫ U (T

dQ

cal

Ent

− T fría )

(3.1)

Suponiendo que el calor específico Cp es constante para cada corriente (independiente de la temperatura), el resultado de la integración es:

A =

Q U ∆T LM

=

Q U (∆T 1 − ∆T 2 ) ∆T ln 1 ∆T 2

(3.2)

38

D.M. QUINTAS


Donde ∆T1 y ∆T 2 son las diferencias de temperatura en los extremos caliente y frío del intercambiador de calor respectivamente y ∆T LM es la media logarítmica de la diferencia de temperaturas. En el caso general, la curva compuesta caliente y fría de la figura 2.4 puede dividirse en k intervalos sucesivos de CP constante, de tal forma que el resultado de la integración de la ecuación 3.1 viene dado por la suma de las áreas Ak calculadas mediante la ecuación 3.2 para cada sección: K

A =

K

Qk

∑ A =∑ U ∆T

k

k =1

i =1

(3.3)

LMi

Sin embargo, el valor de U no es constante para todo el proceso. Adicionalmente ocurre que en cada tramo de CP constante puede existir más de una corriente. Townsend y Linnhoff (1984) demostraron que la expresión general para el cálculo del área en cualquier intervalo k viene dada por: A =

Qk  cal 1

∑  ∆T LM  i hi

frías

+

1 

∑h j

j

 

(3.4)

Donde hi y h j son los coeficientes individuales de película de transmisión de calor para el fluido caliente i y el fluido frío j, respectivamente. Por consiguiente, la estimación del área total de la red de intercambiadores viene dada por:

 I qi ∑ ∑  ∆ T k =1 LMk  i hi K

A =

1

J

+

q j 

∑h j

  j 

(3.5)

Donde qi y q j son el calor de las corrientes i y j en el intervalo de entalpía k. La ecuación 3.5 también es conocida como fórmula de Bath. El procedimiento expuesto es aproximado y por lo tanto no obtiene los mismos resultados alcanzados una vez diseñada la red de intercambiadores. Sin embargo, la ecuación (3.5) proporciona una estimación razonable del área requerida. También es importante notar que el cálculo abreviado del área, permite el análisis previo y mejora del

39

D.M. QUINTAS


∆T min hacia el compromiso óptimo entre costos de inversión (red de intercambiadores) y

de operación (ahorro energético resultante).

3.2 Análisis de la fórmula A partir de las curvas compuestas, presentadas en la sección 2 (figura 2.4), se obtienen las tablas 3.1 y 3.2, se toman en cuenta 6 intervalos de entalpía. En la tabla 3.1, se encuentran las corrientes calientes, para el último intervalo de entalpía, no tenemos corrientes de proceso, sin embargo, completamos, el espacio que se nota en la gráfica, con servicios auxiliares (vapor). En la tabla 3.2, están las corrientes frías, en el intervalo de entalpía 6, aparece la corriente fría C1, que será calentada por el servicio descrito anteriormente. De igual manera sucede para el intervalo de entalpía 1, donde solo existen las corrientes H1 y H2, por lo que es necesario un servicio de enfriamiento. Para los intervalos de entalpía 2, 3, 4 y 5, existen apareamientos, que nos permiten recuperar calor. Para poder aplicar la fórmula de Bath (ecuación 3.5) de manera más sencilla, se desglosaron las sumas (Tabla 3.1 y 3.2) de las corrientes frías y calientes, para posteriormente obtener los valores de áreas (tabla 3.3), que sumadas resultan en un área de 2896.27 m 2. Se observa la consistencia de los resultados pues qhu, que es la suma de los intervalos donde se utiliza vapor, tiene un valor de 450 kW más 625 kW que es igual a 1075 kW. Mientras que para qcu, que se encuentra en los intervalos donde se usa agua de enfriamiento, se tiene un valor de 400 kW. Las temperaturas, se obtienen de la figura 2.4, al trazar los intervalos de entalpía, algunas temperaturas son fáciles de obtener, corresponden a las temperaturas de entrada y objetivo de las corrientes, que se tienen en la tabla 2.1. Par el resto de las temperaturas, se observa que corrientes participan en el intervalo, la carga de este intervalo, y así obtenerlas.

40

D.M. QUINTAS


Tabla 3.1. Corrientes calientes Corrientes Calientes (Hi) Intervalo(k) 1 2 3

Corrientes H1 H2 H1 H2 H1 H2

T Hi,s (K)

T Hi,o(K)

337

333

338.25

337

363

338.25

qHi,k

qHi,k/hi

80

800

320

3200

25

250

100

1000

495

4950

1980

19800

ΣqHi,k/hi

4000 1250 24750

4

H1

423

363

1200

12000

12000

5

Vapor

453

453

450

4500

4500

6

Vapor

453

453

625

6250

6250

Tabla 3.2 Corrientes Frías Corrientes Frías (C j) Intervalo(k)

Corrientes

T Cj,s(K)

T Cj,o(K)

qHi,k

qHi,k/hi

ΣqHi,k/hi

1

Agua de Enf.

283

288

400

4000

4000

2

C1

293

298

125

1250

1250

298

343

1125

11250

1350

13500

343.00

364.82

545.45

5454.55

654.55

6545.45

364.82

373.00

204.55

2045.45

245.45

2454.55

373.00

398.00

625.00

6250.00

3 4 5 6

C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1

24750 12000.00 4500.00 6250.00

41

D.M. QUINTAS


Posteriormente se aplica la ecuación (3.5): Tabla 3.3 Cálculo del área empleando la Fórmula de Bath Intervalo(k)

∆hi(kW)

dth

dtc

∆T ln,k

Ak(m2)

1

400

49

50

49.49

161.62

2

125

40.25

44

42.09

59.38

3

2475

20

40.25

28.95

1709.59

4

1200.00

58.18

20.00

35.75

671.21

5

450.00

80.00

88.18

84.02

107.11

6

625.00

55.00

80.00

66.72

187.34

2896.27

42

D.M. QUINTAS

CAPITULO 4 MÉTODO DE JEżOWSKI

Capítulo 4 Método de intervalos de temperatura de Jeżowski para estimar el área requerida para recuperación de calor

4.1 Introducción Este método es usado para calcular las metas de área para el diseño de redes de intercambio de calor. La aproximación está basada en la solución de un problema de programación lineal modelado como un problema de transporte óptimo. Este modelo de transporte utiliza intervalos de temperatura y no requiere el uso de intervalos de entalpía para un nivel fijo de recuperación de calor. Se utiliza una regla heurística basada en el número de intervalos de temperatura que mantiene el número de variables y restricciones en límites razonables, mientras asegura resultados bastante precisos. Este método de metas de área puede, incluso, aplicarse a redes de intercambio que utilizan intercambiadores multipaso (1-2). Los resultados demuestran que las soluciones de la aproximación propuesta están muy cerca de los calculados por métodos basados en programación no lineal compleja. Igual que en trabajos previos de metas de áreas (Yee, Colberg, Merdardo), se asume que las cargas de los servicios auxiliares son fijas y el número mínimo de apareamientos no es conocido. Para estimar el área mínima requerida por una red de recuperación de calor, es necesario resolver un problema de optimización donde la función objetivo corresponde a la suma del área de recuperación de calor que surge del intercambio de calor permitido dentro de las corrientes de proceso y restricciones sujetas a balances de energía de los apareamientos. Para asegurar la linealidad, se tienen que estimar las medias logarítmicas de temperaturas (LMTD’s) antes de la optimización. Por tanto los valores de LMTD’s tiene que ser dados como datos del problema.

43

D.M. QUINTAS


Para obtener aproximaciones precisas de las metas de área, Briones y Kokossis (1999) construyen un procedimiento que requiere el uso de intervalos de entalpía, curvas compuestas, calculadas en base a la contribución de ∆T i de las corrientes, y además usan un algoritmo complejo para calcular LMTD’s. En la aproximación propuesta por Jeżowski (2003), se utilizan intervalos de temperatura (TI’s). Solamente se usan los TI’s por: a) considerar apareamientos prohibidos, b) Extender el problema a metas de costos y c) simplificar información (intervalos de entalpía no necesarios). Adicionalmente, se utiliza la formulación del modelo de transporte aunque requiere más variables que el comúnmente usado en el modelo de transbordo. La razón es que este último utiliza el calor residual proveniente de las corrientes de proceso. Los residuos pueden causar serios problemas con la estimación de aproximaciones de temperatura y asignando coeficientes de transferencia de calor a las corrientes individuales. Además, la estimación de las temperaturas para los “mini apareamientos” en el modelo propuesto es sencilla, e incluso pueden ser calculadas a mano. Como consecuencia, la preparación de la información es sencilla.

4.2 Definiciones, conjuntos y notación Definición Ceil. En matemáticas y ciencias de la computación, ceil de las funciones

corresponde a asignar un número real mayor a la anterior. Más precisamente, ceil (x) = ⌈ x ⌉ es el mayor entero no mayor que x. Gauss presenta el soporte de notación cuadrada [x] para la función de ceil en su tercera prueba de la reciprocidad cuadrática (1808).

Esto sigue

siendo el estándar en matemáticas, Iverson presentó los nombres de "piso" (floor) y "techo" (ceil) y las anotaciones correspondientes ⌊ x ⌋ y ⌈ x ⌉ en su libro de 1962 Un lenguaje de programación. Ambas anotaciones se utilizan ahora en las matemáticas.

44

D.M. QUINTAS


Conjuntos

El conjunto de corrientes es definida como: Hi={i/i=1,…,NH=corrientes calientes, Ej., corrientes calientes de proceso y servicios auxiliares de calentamiento} C j={j/j=1,…,NC=corrientes frías, Ej., corrientes frías de proceso y servicios auxiliares de enfriamiento}

Para incluir los apareamientos prohibidos, definimos el conjunto Fij, donde la corriente i ∈ Hi no puede intercambiar calor con la corriente j ∈ C j. Fij={(i,j)/i Hi, j ∈ C j, apareamiento entre ellos esta prohibido}

Ahora las corrientes deben dividirse en elementos pequeños, para los cuales se definen los siguientes conjuntos: Parámetros Him{i/i ∈ Hi, donde i esta en el intervalo m}

C jn={j/j ∈ C j, donde j esta en el intervalo n}

qim,jn, representa la carga que se transfiere de la corriente caliente i en el intervalo m, a la corriente fría j en el intervalo n.

Para qim,jn, m,n=1, …, M, está definida solo para m≤n. Apareamientos entre servicios de calentamiento y servicios de enfriamiento son prohibidos. Modelo para metas de área M M

min

qim , jn

1

∑∑ LMTD ∑ ∑ (1 h + 1 h )

−1

m =1 n =1

m ,n j∈¸C jn i∈H im

i

(4.1)

j

M

∑ ∑q

im , jn

= ∆ H im ; i ∈ Hi; m=1, …, M

(4.2)

n =m j∈C jn

45

D.M. QUINTAS


M

∑ ∑q

im , jn

= ∆ H jn ; j ∈ C jn; n=m, …, M

(4.3)

m =1 i∈H m

qim , jn = 0; i ∈ Him; j ∈ C jn; i,j ∈ Fij; m=1,…,M; n=m,…,M

(4.4)

qim , jn ≥ 0; i ∈ Him; j ∈ C jn; i,j ∉ Fij; m=1,…,M; n=m,…,M

(4.5)

Ecuaciones (4.2) y (4.3) son balances de energía. Ecuación (4.4) fuerza a los apareamientos prohibidos a cancelarse. Y por ultimo, la desigualdad (4.5) asegura que las cargas tomen solo valores positivos.

4.3 Procedimiento para formular la tabla de calor modificada propuesta por Jeżowski Primero se tiene que construir intervalos de temperatura y parámetros del modelo (LMTD’s). Además, algunos cálculos posteriores pueden ser realizados para incrementar la exactitud de los resultados. Tenemos los siguientes pasos en el método propuesto por Jeżowski: (A) crear intervalos de temperatura (TI’s); (B) solución del modelo; (C) mejorar la estructura y cálculo del área.

4.3.1 Tabla de calor estándar El tamaño de los TI’s es un punto muy importante. Claramente, se nota que entre más pequeño sea el TI, las diferencias de temperaturas son menores, acercándose más al área mínima. Sin embargo, esto nos lleva a un tener un gran número de variables. Nótese que el modelo de transporte tiene solución con un algoritmo polinomial, y alargar el número de variables, provoca un mayor tiempo computacional de ejecución. Se ha creado un esquema de división de TI’s que mantiene el número de intervalos dentro de límites razonables y asegura un área mínima muy precisa.

46

D.M. QUINTAS


El procedimiento es similar al aplicado en Tecnología de Punto de Pliegue. Una división preliminar es construida en base a las temperaturas de entrada y salida de las corrientes, como describen Linnhoff y Flower (1978). En cuanto a la selección del valor de la diferencia de temperaturas para construir los intervalos, es suficiente con usar un número pequeño que cumpla con las restricciones termodinámicas. Nótese que esto sigue el concepto de doble temperatura. Las cargas de servicios auxiliares son calculadas para un HRAT, mientras que la diferencia de temperaturas aplicada en la división de los intervalos es equivalente a la mínima aproximación de temperatura en el intercambiador (EMAT).

4.3.2 Tabla de calor modificada por Jeżoswki Se determina el tamaño medio del intervalo como sigue: dT medio = max[3dT min ,10]

(4.5)

Donde dTmin, corresponde al intervalo más pequeño después de realizar la división preliminar con la tabla de calor estándar. Cada intervalo con valor mayor al dTmedio, es dividido en Nad intervalos, como sigue: N ad = dT / dT medio 

(4.6)

Este esquema no produce un gran número de variables.

Utilizando el ejemplo desarrollado en el capítulo 2 y 3, se desarrolla aquí el método de Jeżowski para plantear la tabla de calor modificada. a) Calcular el tamaño de los TI’s( Intervalos de Temperatura)

47

D.M. QUINTAS


A partir de los intervalos hechos en la sección tabla de intervalos de temperatura, se obtiene la información: ∆T

H2 80

H1 20

24 25 11 30 34 5

TH 423

TC 422

399

398

374

373

363

362

333

332

299

298

294

C1 25

C2 30

293

Figura 4.1. Intervalos de temperatura Seleccionamos el ∆Tmin = 5 Tenemos: dTmedio= Max[3∆Tmin,10],

entonces:

dTmedio= Max[15,10]=15

Cada intervalo mayor a dTmedio, se divide en Nad intervalos, de acuerdo con: Nad= ceil [∆T/dTmedio]

Tomando en cuenta los intervalos tenemos: ∆T

∆T>15

Nad

24

No

Ceil(24/15)=2

25

Si

Ceil(25/15)=2

11

Si

Ceil(11/15)=1

30

Si

Ceil(30/15)=2

34

No

Ceil(34/15)=3

5

No

Ceil(5/15)=1

48

D.M. QUINTAS


b) Con el nuevo numero de intervalos, crear una nueva tabla de intervalos de temperatura. Intervalo

H1 20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

H2 80

TH

TC

423

421

411

410

399

398

386.5

C1 25

C2 30

385.5

374

373

363

362

348

347

333

332

321.66

320.66

310.33

309.33

299

298

294

293

Figura 4.2 Tabla de intervalos de calor modificada Jeżowski Se observa que de la figura 4.1 a la figura 4.2, aumentamos de 6 intervalos de temperatura a 11, la corriente C2, es la que más intervalos genera, doblando el número al crear la tabla de calor modificada. Cabe señalar que no es la de mayor flujo másico, la c orriente H2, solo se logra dividir tan sólo en dos intervalos, lo que no le permite lograr una distribución que ocupe menos área. c)

Modelo de transporte aplicado a la tabla de calor modificada de Jeżowski. Se trata de Distribuir las cargas, a los apareamientos que son permitidos. (Analogía con el modelo de transporte), como ya se presentó en la sección 2 del presente trabajo, no se debe transferir energía de intervalos de menor temperatura a los de mayor temperatura. En la figura 4.3, se ilustra los apareamientos que son factibles, para la corriente H1 en los primeros intervalos.

49

D.M. QUINTAS


423 ∆H11=100

H1

1

418 ∆H12=250

398 H1

C1

405.5 ∆H13=250

H1

C1

3

∆H14=375

4

H1 C2

378

∆H24=450

358 C1

∆H15=375

H1

5 C2

363 ∆H16=300

∆H13=312.5

373 C1

∆H15=300

2

385.5

393

∆H14=300

∆H12=312.5

∆H25=450

343 H1

C1

∆H16=375

6 ∆H26=1200

H2

C2

348 ∆H17=300

∆H26=450

328 H1

C1

∆H17=375

7 ∆H27=1200

H2

C2

333

∆H27=450

313 C1

∆H18=375

8 C2

∆H28=450

298 C1

∆H29=125

293 Figura 4.3 Modelo de transporte aplicado a la tabla de calor modificada por Jeżowski

50

9

D.M. QUINTAS


d) Cálculo de parámetros Primero para calcular las diferencias logarítmicas (LMTD), utilizamos la media logarítmica, la cual se describe a continuación:

LMTDm ,n =

dth − dtc , donde: dth = T si ,m − T o j ,n , dtc = T oi ,m − T s j ,n  dth  ln   dtc 

T si ,m :Temperatura de suministro de la corriente i en el intervalo m. T oi ,m : Temperatura objetivo de la corriente i en el intervalo m. T s j ,n :Temperatura de suministro de la corriente j en el intervalo n. T o j ,n : Temperatura objetivo de la corriente j en el intervalo n. Para todos los intervalos donde las corrientes existen y el apareamiento ente la corriente i la corriente j es permitido, se forma la siguiente matriz: Tabla 4.1 Valores de LMTD’s

m n 1 2 3 4 5 6 7 b m n 1 2 3 4 5 6 7 b

dth 91 79 67 54.5 42 31 16 121

3 4 dth dtc LMTD dth dtc 25 25.5 25.24 37.5 38 13 13.5 13.24 25.5 26 1 1 1 13.5 13.5 1 1

LMTD 37.74 25.74 13.5 1

dth 50 38 26 13.5 1

55 67.5 61.03 67.5 80 73.57 80 8 dtc 90.34 78.34 65.84 53.34 42.34 27.34 12.34 132.34

LMTD 90.67 78.67 66.42 53.92 42.17 29.13 14.09 126.6

dth 102.34 90.34 78.34 65.84 53.34 42.34 27.34 132.34

9 dtc 101.7 89.67 77.17 64.67 53.67 38.67 23.67 143.7

LMTD 102 90.00 77.75 65.25 53.50 40.47 25.46 137.93

5 dtc 49 37 24.5 12 1

LMTD dth 49.49 61 37.49 49 25.24 37 12.73 24.5 1 12 1

91 85.382 91

dth 113.7 101.7 89.67 77.17 64.67 53.67 38.67 143.7

10 dtc 113 101 88.5 76 65 50 35 155

LMTD 113.3 101.3 89.08 76.58 64.83 51.81 36.8 149.3

6 dtc 64 52 39.5 27 16 1

dth 76 64 52 39.5 27 16 1 106 98.31 106

dth 125 113 101 89 76 65 50 155

LMTD 62.49 50.49 38.24 25.73 13.9 1

11 dtc 118 106 94 81 70 55 40 160

LMTD 121.5 109.5 97.2 84.69 72.96 59.86 44.81 157.5

7 dtc 79 67 54.5 42 31 16 1 121

dth 135 123 111 98.5 86 75 60

LMTD 77.49 65.49 53.24 40.74 28.95 16 1 113.3

a dtc 128 116 103.5 91 80 65 50

Apareamientos prohibidos

51

LMTD 131.46 119.46 107.20 94.700 82.96 69.88 54.84

D.M. QUINTAS


A continuación, se deben obtener los coeficientes globales de transferencia de calor (U), en este caso, los coeficientes de transferencia de calor (h) de cada una de las corrientes, son constantes, por lo que se puede usar el mismo U Para simplificar más la información, tenemos: hH1=hH2=hC1=hC2 =0.1

 1 =  h H 

U H 1 ,C 1

1 

 1 =  h H 

1 

−1

1   1 + = +  hC   0.1 0.1 

=

0.05

=

0.05

=

0.05

=

0.05

−1

2

 1 =  h H 

1 

2

U H 2 ,C 2

−1

1

1

U H 2 ,C 1

−1

1   1 + = +  hC   0.1 0.1 

1

U H 1 ,C 2

kW/m2K, por tanto para las diferentes U’s, podemos nombrar una sola.

 1 =  h H 

1   1 + = +  hC   0.1 0.1 

−1

1

+

2

−1

1 

−1

hC 1 

−1

1   1 = +   0.1 0.1 

U = U H 1 ,C 1 = U H 1 ,C 2 = U H 2 ,C 1 = U H 2 ,C 2

4.3.3 Modelo para minimizar área Ahora se aplica el modelo planteado en la sección 4.3.3, cuidando de aplicar bien el fundamento del modelo de transporte. Cabe señalar que los apareamientos prohibidos no aparecen en el modelo, por simplificación, otra forma es incluirlos, pero introducir un costo muy grande en la función objetivo para dichos términos, y con esto se asegura que no serán utilizados. Minimizar:

 11 q H ,C  ∑ LMTD1, n  n=3 1,1

11

+

1, n

q H ,C 1, n 1,4

∑ LMTD n=4

11

+

n =7

+

7 ,n

q H ,C 2, n 1,1

n =5

10

+

q H ,C 2, n 1,4

∑ LMTD 10

+

+

1, n

n= 5

n =7

n =3

11

+

q H ,C 2, n 1,7 7 ,n

+

2,n

q H ,C 1, n 1,5

∑ LMTD n=5

11

+

∑ LMTD n =5

10

+

q H ,C 1, n 2,6 6,n

∑

11

+

2, n

q H ,C 2, n 1,5

10

+

q H ,C 2, n 2,6

∑ LMTD n=6

6 ,n

q H ,C 1, n 1,3

10

∑ LMTD n =3

11

+

n =5 LMTD5,n

5, n

∑ LMTD n= 6

q H ,C 2, n 1,2

10

∑ LMTD

4,n

∑ LMTD

q H ,C 1, n 1,2

11

∑ LMTD

4, n

q H ,C 1, n 1,7

∑ LMTD

10

3, n

q H ,C 1, n 1,6

∑ LMTD n =6

11

+

+

∑ LMTD n =7

∑ LMTD n =5

10

+

7 ,n

q H ,C 2, n 1,6

∑ LMTD 10

+

.

3, n

n =6

6, n

q H ,C 1, n 2,7

q H ,C 2, n 1,3

6,n

q H ,C  1 2, n 2,7 

∑ LMTD n =7

7 ,n

52

  U

D.M. QUINTAS


Sujeto a: Balances de energía para la corriente caliente H1 ∆H11 =

240 = q H1,1,C1,2 + q H ,C + q H1,1,C1,4 + q H1,1 ,C1,5 + q H1,1 ,C1,6 + q H1,1,C1,7 + q H1,1 ,C1,8 + q H1,1 ,C1,9 1,3 1,1 + qH

1,1

∆H12 = 240 = q H

1,2

+ qH

1,2

,C2,4 + q H1,1,C2,5 + q H1,1,C2,6 + q H1,1,C2,7 + q H1,1,C2,8 + q H1,1,a

,C1,2 + q H1,2 ,C1,3 + q H1,2 ,C1,4 + q H1,2 ,C1,5 + q H1,2 ,C1,6 + q H1,2 ,C1,7 + q H1,2 ,C1,8 + q H1,2 ,C1,9

,C2,4 + q H1,2 ,C2,5 + q H1,2 ,C2,6 + q H1,2 ,C2,7 + q H1,2 ,C2,8 + q H1,2 ,a

∆H13 = 250 = q H1,3 ,C1,3 + q H1,3 ,C1,4 + q H1,3 ,C1,5 + q H1,3 ,C1,6 + q H1,3 ,C1,7 + q H1,3 ,C1,8 + q H1,3 ,C1,9 + q H1,3 ,C2,5 ∆H14 = 250 = q H1,4 ,C1,4 + q H1,4 ,C1,5 + q H1,4 ,C1,6 + q H1,4 ,C1,7 + q H1,4 ,C1,8 + q H1,4 ,C1,9 + q H1,4 ,C2,4 + q H1,4 ,C2,5

+ qH

1,4

∆H15 = 220 = q H

1,5

+ qH

,C2,6 + q H1,4,C2,7 + q H1,4 ,C2,8 + q H1,4,a

,C1,5 + q H1,5,C1,6 + q H1,5,C1,7 + q H1,5,C1,8 + q H1,5,C1,9 + q H1,5,C2,5 + q H1,5 ,C2,6 + q H1,5,C2,7

,C2,8 + q H1,5,a

1,5

∆H16 = 300 = q H

1,6

∆H17 = 300 = q H

,C1,6 + q H1,6 ,C1,7 + q H1,6 ,C1,8 + q H1,6 ,C1,9 + q H1,6,C2,6 + q H1,6 ,C2,7 + q H1,6 ,C2,8 + q H1,6 ,a

1,7

,C1,7 + q H1,7 ,C1,8 + q H1,7 ,C1,9 + q H1,7 ,C2,7 + q H1,7 ,C2,8 + q H1,7 ,a

Balances de energía para la corriente caliente H2 ∆H 26 = 1200 = q H

2,6

∆H 27 = 1200 = q H

2,7

,C1,6 + q H2,6 ,C1,7 + q H2,6 ,C1,8 + q H2,6 ,C2,9 + q H 2,6 ,C2,6 + q H 2,6 ,C2,7 + q H 2,6 ,C2,8 + q H2,6 ,a ,C1,7 + q H 2,7 ,C1,8 + q H 2,7 ,C2,9 + q H 2,7 ,C2,7 + q H 2,7 ,C2,8 + q H 2,7 ,a

Balances de energía ara la corriente Fría C1 ∆H13 = 312.5 = q b,C

+ qH

1,3

∆H14 =

1,1

,C1,3 + q H1,2 ,C1,3 + q H1,3 ,C1,3

312.5 = q b,C1,4 + q H1,1 ,C1,4 + q H1,2 ,C1,4 + q H1,3 ,C1,4 + q H1,4 ,C1,4

∆H15 = 275

= q b,C

∆H16 = 375

= q b,C

∆H17 = 375

=

1,5

1,6

+ qH

,C1,5 + q H1,2 ,C1,5 + q H1,3,C1,5 + q H1,3,C2,5 + q H1,5 ,C1,5 + q H ,C + q H ,C + q H ,C + q H ,C + q H ,C + q H ,C + q H ,C 1,1 1,6 1,2 1,6 1,3 1,6 1,4 1,6 1,5 1,6 1,6 1,6 2,6 1,6 1,1

q b,C1,7 + q H1,1,C1,7 + q H1,2 ,C1,7 + q H1,3 ,C1,7 + q H1,4 ,C1,7 + q H1,5 ,C1,7 + q H1,6 ,C1,7 + q H1,7 ,C1,7 + q H ,C + q H ,C ∆H18 = 283.5 = q b,C + q H ,C + q H ,C + q H ,C + q H ,C + q H ,C + q H ,C + q H ,C 1,8 1,1 1,8 1,2 1,8 1,3 1,8 1,4 1,8 1,5 1,8 1,6 1,8 1,7 1,8 2,6

+ qH

∆H19 =

2,6

1,7

2,7

1,7

,C1,8 + q H2,7 ,C1,8

283.5 = q b,C1,9 + q H1,1,C1,9 + q H1,2 ,C1,9 + q H1,3 ,C1,9 + q H1,4 ,C1,9 + q H1,5 ,C1,9 + q H1,6 ,C1,9 + q H1,7 ,C1,9

53

D.M. QUINTAS


+ qH ∆H110 =

283.5

=

=

,C1,9 + q H2,7 ,C1,9

q b,C1,10 + q H1,1 ,C1,10 + q H1,2 ,C1,10 + q H1,3 ,C1,10 + q H1,4 ,C1,10 + q H1,5 ,C1,10 + q H1,6 ,C1,10 + q H1,7 ,C1,10

+ qH

∆H111 = 125

2,6

2,6

,C1,10 + q H2,7 ,C1,10

q b,C1,11 + q H1,1,C1,11 + q H1,2 ,C1,11 + q H1,3 ,C1,11 + q H1,4 ,C1,11 + q H1,5 ,C1,11 + q H1,6 ,C1,11 + q H1,7 ,C1,11

+ qH

2,6

,C1,11 + q H2,7 ,C1,11

Balances de energía para la corriente Fría C2 ∆H 25 = 330

q b,C 2,5 + q H1,1 ,C 2,5 + q H1,2 ,C 2,5 + q H1,3 ,C 2,5 + q H1,3 ,C 2,5 + q H1,5 ,C2,5

=

∆H 26 = 450

=

q b,C 2,6 + q H1,1 ,C2,6 + q H1,2 ,C 2,6 + q H1,3 ,C 2,6 + q H1,4 ,C 2,6 + q H1,5 ,C 2,6 + q H1,6 ,C 2,6 + q H 2,6 ,C 2,6

∆H 27 = ∆H 28

450 = q b,C2,7 + q H1,1,C2,7 + q H1,2 ,C 2,7 + q H1,3 ,C2,7 + q H1,4 ,C 2,7 + q H1,5 ,C2,7 + q H1,6 ,C2,7 + q H1,7 ,C2,7 + q H ,C + q H ,C 2,6 2,7 2,7 2,7 = 340.2 = q b,C + q H ,C + q H ,C + q H ,C + q H ,C + q H ,C + q H ,C + q H ,C 2,8 1,1 2,8 1,2 2,8 1,3 2,8 1,4 2,8 1,5 2,8 1,6 2,8 1,7 2,8 + qH

∆H 29

,C2,8 + q H 2,7 ,C2,8 = 339.9 = q b, C + q H , C + q H ,C + q H , C + q H , C + q H , C + q H , C + q H , C 2,9 1,1 2,9 1,2 2,9 1,3 2,9 1,4 2,9 1,5 2,9 1,6 2,9 1,7 2,9 + q H ,C + q H ,C 2,6 2,9 2,7 2,9

∆ H 210 =

339.9

2,6

= q b ,C + qH

2,6

+ 2,10

q H1,1 ,C2,10 + q H1,2 ,C 2,10 + q H1,3 ,C 2,10 + q H1,4 ,C2,10 + q H1,5 ,C 2,10 + q H1,6 ,C 2,10 + q H1,7 ,C2,10

,C2,10 + q H 2,7 ,C 2,10

Balances de energía para los servicios auxiliares 400 = q H1,1 ,a + q H1,2 ,a + q H 1,3 ,a + q H1,4 ,a + q H1,5 ,a + q H1,6 ,a + q H1,7 ,a + q H 2,6 ,a + q H 2,7 ,a 1075 = q b,C1,3 + q b,C1,4 + q b,C1,5 + q b,C1,6 + q b,C1,7 + q b,C1,8 + q b,C1,9 + q b,C1,10 + q b,C1,11 + q b,C 2,5 + q b,C 2,6 + q b,C 2,7 + q b,C

2,8

+ q b,C

2,9

+ q b,C

2,10

q H1,1 ,C1, n , q H1,2 ,C1, n , q H1,3 ,C1, n , q H1,4 ,C1,n 1 , q H1,5 ,C1, n 2 , q H1,6 ,C1, n 3 , q H1,7 ,C1, n 4 , q H 2,6 ,C1, n 3 , q H 2,7 ,C1, n 4 , q b,C1, n ≥ 0 Donde n=3,…,11 +

+

+

+

+

+

q H1,1 ,C2, n , q H1,2 ,C 2, n , q H1,3 ,C 2, n , q H1,4 ,C 2, n , q H1,5 ,C 2,n , q H1,6 ,C 2, n 1 , q H1,7 ,C 2, n 2 , q H 2,6 ,C2, n 1 , q H 2,7 ,C 2, n 2 , q b,C 2, n ≥ 0 Donde n=5,…,10 +

+

+

+

q H 1,m ,a , q H 2,m 5 , a ≥ 0 +

Donde n=1,…,7

54

D.M. QUINTAS

4.3.4


Resultados

Así obtenemos los siguientes resultados, resumidos en la siguiente matriz: Tabla 4.2 Valores de las cargas térmicas H1,1 H1,2 H1,3 H1,4 H1,5 H1,6 H1,7 H2,6 H2,7 b

C1,3 0 0 0

C1,4 0 0 0 0

C1,5 74.81 0 0 0 0

C1,6 C1,7 C1,8 C1,9 C1,10 C1,11 C2,5 C2,6 C2,7 C2,8 C2,9 C2,10 a 32.77 80.19 52.22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 90.12 149.88 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 141.85 108.15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 110.24 139.75 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 44.58 175.42 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 51.84 58.09 39.43 51.11 65.22 34.32 0 0 0 0 0 0 37.68 45.075 26.45 28.99 70.56 91.24 0 0 0 0 278.58 225.41 62.09 223.48 274.98 135.46 0 0 0 0 0 0 144.05 238.18 98.55 141.12 269.34 308.76 0 0 0 0 312.5 312.5 200.19 249.81 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Tabla 4.3 Valores de área H1,1 H1,2 H1,3 H1,4 H1,5 H1,6 H1,7 H2,6 H2,7 b

C1,3 0 0 0

C1,4 0 0 0 0

C1,5 30.23 0 0 0 0

C1,6 C1,7 C1,8 C1,9 C1,10 C1,11 C2,5 10.49 32.4 0 0 0 0 0 35.70 0 0 0 0 0 0 74.19 0 0 0 0 0 0 85.69 0 0 0 0 0 0 30.79 0 0 0 0 0 0 64.79 39.88 19.48 0 0 0 29.60 24.49 11.80 0 0 348.23 154.75 30.68 0 0 0 113.15 129.43 43.98 0 0 102.39 84.95 46.89 0 0 0 0 0 0 58.51

C2,6 C2,7 C2,8 16.71 0 0 59.37 0 0 56.57 0 0 108.63 0 0 121.17 0 0 63.88 44.78 0 0 0 279.34 188.78 0 0 0 0 0 0

C2,9 C2,10 a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 16.99 0 0 22.78 38.35 33.27 66.93 0 0 110.86 146.36 112.59 0 0

Al resolver el problema mediante la aplicación de la metodología propuesta por Jeżowski en Excel, usando Solver, obtenemos los resultados de las tablas 4.2 y 4.3, las cargas y áreas que se habilitaron dentro del modelo se leen como se indica a continuación: q H 1,1 , C 1, 5 = 74.81kW

A H 1,1 , C 1, 5 = 30.23m

2

q H 1,1 , C 1, 6 = 32.77kW

A H 1,1 , C 1, 6 = 10.49 m 2

q H 1,1 , C 2 , 5 = 80.19kW

A H 1,1 , C 2 , 5 = 32.4 m 2

q H 1,1 , C 2 , 6 = 52.22kW

A H 1,1 , C 2 , 6 = 16.71m 2

Los apareamientos prohibidos no fueron tomados en cuenta por lo que no existe valor alguno para ellos, mientras que 34 apareamientos entre corrientes de procesos están presenten, y por parte de los servicios auxiliares, se tienen 6 apareamientos, cuyas áreas con relativamente grandes debido a los LMTD. Así para las demás cargas y áreas, el Área Total mínima es de 3089.87 m2. A partir de este punto, el siguiente paso es opcional, el resultado de este método es una buena aproximación, pero si se desea mejorarlo, se 55

D.M. QUINTAS


deben realizar una serie de ajustes, para los cuales no existe una metodología específica, quedando el resultado en manos del criterio de quien reproduzca el ejercicios, por tanto esta modificación no es muy factible de ser realizada a pesar de disminuir el área hasta en un 15%.

4.3.5 Mejorar la estructura y cálculo del área modificada El modelo produce una estructura de red que es una estructura tipo spaghetti. La corriente i es dividida de acuerdo al número de apareamientos que se obtengan en la solución del modelo de área, como se indica en 4.3.2 a 4.3.5. Sin embargo algunos arreglos pueden causar sobre estimaciones de área. Como ejemplo tomemos una estructura totalmente dividida y que resulta de la solución del modelo, que contiene dos apareamientos en intervalos adyacentes, que corresponden a la misma corriente, como se muestra en la figura 5.3 (a). Estos apareamientos pueden ser colocados de forma más simple, como la suma de ambas cargas, que puede ser intercambiada por un solo equipo en lugar de dos. La conexión en paralelo de la figura 5.3 (a) tiene una distribución de fuerzas de empuje desiguales, mientras que la figura 5.3 (b) tiene apareamientos que contienen más fuerza de empuje. 1

h

Tm-1

Tm

h

Tm-1

1+2

Tm

2

c

Tm-1

Tm

Tm+1

(a)

c

Tm-1

Tm+1 (b)

Figura 4.4 (a) estructura de spaghetti (b) estructura pero compactada Por tanto, para la solución del modelo, una estructura modificada puede surgir con apareamientos como el descrito anteriormente. Esta estructura modificada, está entre 10 y 15% por debajo que la solución del modelo. Sin embargo, este paso se considera adicional, y puede ser omitido para reducir los cálculos y por que el modelo produce una buena aproximación al área mínima. 56

D.M. QUINTAS

CAPÍTULO 5 MÉTODO DE DISTRIBUCIÓN DE CARGAS TÉRMICAS

Capítulo 5 Método de distribución de cargas térmicas para metas de área mínima.

5.1 Introducción Dentro de los métodos de programación lineal para minimizar área, entre los más empleados se encuentran aquellos que utilizan intervalos de entalpía, como el método de Linnnhoff y Flower, donde, además se utilizan las curvas compuestas, lo que vuelve al método tedioso y complicado. En el capítulo 4, se presentó el método de Jeżowski, que se basa en primero establecer intervalos de temperatura, y así tener cierta carga térmica por intervalo y posteriormente distribuirlas. Aquí surge una pregunta crucial ¿Qué pasaría si primero se distribuyen las cargas térmicas, de tal forma que entre cada una de ellas tengan valores cercanos, o al menos que no varíen tanto unos de otros, y con estas cargas térmicas poder formar los intervalos de temperatura, para poder minimizar el área. Se considera una corriente caliente i, que necesita ser enfriada y una corriente fría j, que necesita ser calentada, asociados a cada corriente se conocen su flujo de capacidad calorífica FĈp, que es el producto del flujo másico F y la capacidad calorífica Ĉp, su temperatura Ts de suministro y su temperatura objetivo T o. Cada corriente tiene un ˆ p (T − T ) para la corriente cierto contenido de energía térmica definido como: qi = F i C i si oi ˆ p (T − T ) para la corriente fría, no todo el caliente, y de forma análoga q j = F j C j sj oj

contenido energético de la corriente caliente i, puede ser recibido por la corriente fría j, por tanto, se debe conocer cual es la mayor cantidad de energía que se puede transferir, y sobre todo cual es la mejor distribución para lograr este intercambio. Dentro de la tabla de calor estándar, los intervalos son definidos por las temperaturas de suministro y objetivo de las corrientes, y el HRAT, lo que da como resultado una distribución un tanto especial, pues muchas veces la carga se concentra en un solo 57

D.M. QUINTAS


intervalo, lo que provoca que en los restantes solo una parte muy pequeña de esta sea colocada. Para evitar este problema, y no solo un intervalo se quede con la mayor parte de la carga térmica qi ,k o q j ,k , debemos asegurar una distribución correcta; para lograrlo, designamos un parámetro que indicará como dividir los intervalos existentes en otros cuya carga térmica sea distribuida subuniformemente, este parámetro, designado como β, representará un porcentaje de la carga térmica que contiene la corriente. Tomemos a la corriente caliente i, designamos cierta β, y obtenemos un valor que será el parámetro a considerar para dividir los intervalos, pues designará la máxima carga térmica que se puede colocar en un intervalo, a la que llamaremos qi max =

β 100

⋅ qi .

Se ha

considerado que los valores adecuados para β van de 5% a 25%, si son menores a este rango, el problema se vuelve complejo en el sentido de que se tienen demasiadas variables y restricciones a considerar lo que aumenta el costo computacional, por otro lado si son mayores a este rango, la división resulta innecesaria pues la aproximación no será buena en comparación con los métodos disponibles en la literatura. De forma similar para la corriente fría j se tiene q j max =

β 100

⋅ q j

. Ahora obtenemos el número mínimo en

que se debe dividir el intervalo, basándonos en qi ,k ≤ qi max para la corriente caliente i, y en q j ,k ≤ q j max para la corriente fría j, obtenemos N i ,k =

qi ,k qi max

y N j ,k =

q j ,k q j max

,

respectivamente. A partir de estos valores, se seleccionan los mayores de cada intervalo, así se asegura que ningún intervalo tenga una carga mayor a la carga máxima establecida, para los intervalos que tengan valores menores a esta no hay problema pues el intervalo no se divide. Para poder formar la nueva tabla de calor modificada, se reconstruyen las escalas de temperaturas, de las corrientes calientes y de las frías.

5.2 Planteamiento del modelo matemático Al igual que otras metodologías, las cargas térmicas de los servicios son las que se determinan para cierto nivel de recuperación de calor (HRAT). Se utilizan conjuntos para plantear solo las ecuaciones que sean necesarias.

58

D.M. QUINTAS


5.2.1 Definiciones, Conjuntos, Subíndices y Parámetros

Definición Ceil. En matemáticas y ciencias de la computación, ceil de las funciones

corresponde a asignar un número real mayor a la anterior. Más precisamente, ceil (x) = ⌈ x ⌉, devuelve el número entero más pequeño que sea mayor que el argumento x. Gauss presenta el soporte de notación cuadrada [x] para la función de ceil en su tercera prueba de la reciprocidad cuadrática (1808).

Esto sigue siendo el estándar en

matemáticas, Iverson presentó los nombres de "piso" (floor) y "techo" (ceil) y las anotaciones correspondientes ⌊ x ⌋ y ⌈ x ⌉ en su libro de 1962 Un lenguaje de programación. Ambas anotaciones se utilizan ahora en las matemáticas.

Subíndices i

=corriente caliente de proceso.

j =corriente fría de proceso. k =intervalo de la tabla de calor estándar. m =intervalo de la tabla de calor modificada para las corrientes calientes.

n =intervalo de la tabla de calor modificada para las corrientes frías.

Conjuntos I = {i : i es una corriente caliente de proceso o auxiliar, i=1,…,NH} J = { j : j es una corriente fría de proceso o auxiliar, j=1,…,NC} K = {k : k es un intervalo de temperatura, k=1,…, NK} K i = {k ∈ k : k es un intervalo de temperatura donde la corriente caliente i tiene una

carga térmica diferente de cero}

59

D.M. QUINTAS


K j = {k ∈ k : k es un intervalo de temperatura donde la corriente fría j tiene una carga

térmica diferente de cero}

Parámetros qi

= carga térmica disponible en la corriente caliente i.

q j

= carga térmica requerida en la corriente fría j.

qi ,k

= carga térmica disponible en la corriente caliente i en el intervalo de temperatura k , de acuerdo con la tabla de calor estándar .

q j ,k

= carga térmica requerida de la corriente fría j en el intervalo de temperatura k , de acuerdo con la tabla de calor estándar.

∆T k

= diferencial de temperatura existente en el intervalo k.

qi max

= carga térmica máxima permitida para la corriente caliente i, en cada intervalo de temperatura.

q j max

= carga térmica máxima permitida para la corriente fría j, en cada intervalo de temperatura .

N i ,k

= número mínimo de subintervalos en que debe dividirse un intervalo k para satisfacer el criterio β de la corriente caliente i.

60

D.M. QUINTAS


= número mínimo de subintervalos en que debe dividirse un intervalo k para

N j ,k

satisfacer el criterio β de la corriente fría j.

= número de subintervalos que deben crearse en el intervalo de temperatura

NPK

k para cumplir con el criterio de carga máxima para todas las corrientes.

T k , NPk

= temperatura superior del subintervalo NPk , que surge de la división del intervalo k .

T k ,sup

= Temperatura superior de un intervalo k .

T k ,inf

= Temperatura inferior de un intervalo k .

∆ H H ,m

= Cambio en entalpía, para la corriente caliente i en el intervalo m.

∆ H C ,n

= Cambio en entalpía, para la corriente fría j en el intervalo n.

β

= Porcentaje máximo de la carga térmica disponible, o requerida, en una

i

j

corriente que se permite colocar en un intervalo de temperatura.

δ k

= Partición del intervalo k, para la construcción de la tabla de calor modificada.

61

D.M. QUINTAS

5.3


Procedimientos para Plantear la tabla de calor modificada

a) Creación de la Tabla de calor Estándar. Obtener la tabla de calor estándar que

corresponda a un HRAT=1, utilizamos el método descrito en el capítulo 2, sección 2.1.3. Posteriormente se obtiene el valor de la delta de temperaturas de cada intervalo, ∆Tk (como se ejemplifica en la figura 2.3, columna(1)) , y los valores de qi ,k y q j ,k . b) Cálculo de cargas térmicas máximas permitidas para corrientes calientes y frías. Elegir el valor de β (%), y qi max y q j max . Empleando las siguientes expresiones:

qi max =

β 100

⋅ qi , i ∈ I

q j max =

β 100

⋅ q j , j ∈ J

(5.1)

Nótese que los valores de las ecuaciones representadas en (5.1), no dependen del intervalo donde se encuentren dichas cargas térmicas, ya que para toda una corriente i o j, será igual. c) Obtención del número mínimo de elementos en que se debe dividir el intervalo . Para

obtener N i ,k y N j ,k , aplicamos las ecuaciones 5.2 a 5.5.

 0  N i ,k =  qi ,k   qi max   0  N j ,k =  q j ,k     q j max  

i ∈ I , k ∈ K \ K i 

(5.2)

i ∈ I , k ∈ K i

(5.3)

   

j ∈ J , k ∈ K \ K j   j ∈ J , k ∈ K j 

(5.4) (5.5)

 

Las ecuaciones (5.2) y (5.4), obligan a los elementos que no existen para las corrientes calientes i o para las corrientes frías j, a tomar el valor de 0, así se evita el problema de la no existencia de las corrientes en determinados intervalos. Mientras que las ecuaciones (5.3) y (5.4), dividen los intervalos donde las corrientes de proceso existen, con base en el porcentaje que se eligió en el inciso B; recuérdese la definición de la función ceil, manda el número más pequeño de elementos posibles pero mayor al argumento .

62

D.M. QUINTAS


d) Identificación de intervalos que requieren ser refinado s. Considere una matriz de

coeficientes mayores o iguales que cero, que representa el número de elementos en que se debe dividir el intervalo ( N i ,k , N j ,k ,0), recordemos que el 0 implica que en ese intervalo la corriente de proceso (fría o caliente) no existe. Así, de cada intervalo se obtiene el número mayor, visto de otro forma, de cada renglón de la matriz de coeficientes de cargas térmicas, se selecciona coeficiente con mayor valor numérico, que será el que defina el número de subintervalos que deben crearse, es decir:

NPk = Max{ N i , k , N j , k }

k ∈ K

(5.6)

i∈ I j ∈ J

La ecuación 5.6, marca el número de subintervalos que se tendrán, se observa ahora la ventaja que tiene el poner el valor de 0 a los intervalos donde no existen las corrientes de proceso, pues estos no se dividirán, y siempre que exista un número mayor a 0, será el que defina la división. e) Cálculo de la partición de un intervalo. Para dividir el intervalo de acuerdo a lo

estipulado en el inciso anterior. Obtenemos δ k :

δ k =

∆T k

NPk

k ∈ K

(5.7)

Este parámetro, nos indica el tamaño que deben tener los intervalos de temperatura, para poder construir la nueva escala de temperaturas. Nótese la parte fundamental del modelo que consiste en la construcción de intervalos de cargas térmicas primero, para luego crear intervalos de temperatura. f)

Intervalos de temperatura para la tabla de calor modificada. Se obtiene una escala

de temperaturas que usaremos para construir la nueva tabla de calor, utilizando la ecuación 5.8: T k , NPk − p = T k , NPk − p +1 − δ k , donde p=1,…,NPk , k ∈ K

(5.8)

63

D.M. QUINTAS


Por decisión del autor utilizaremos la escala de temperaturas de las corrientes calientes (TH) para los intervalos de temperatura que se crean, cabe señalar que si se desea se puede realizar el mismo procedimiento pero con base a la escala de temperaturas de las corrientes frías (T C). En la siguiente figura se esquematiza la formación de la escala de temperaturas: T H T k , NPk = T k ,sup T k , NPk −1 = T k , NPk − δ k T k , NPk −2 = T k , NPk −1 − δ k

k

T k , NPk −3 = T k , NPk −2 − δ k NPk

T k , 0 = T k ,inf

Nótese que la temperatura T k , NP corresponde a la que delimita al intervalo, o sea la k

temperatura superior que encontramos para k, en la tabla de calor estándar, al igual que para T k , 0 , corresponde a la temperatura inferior del intervalo k en la tabla de calor estándar. g) Construcción de la tabla de calor modificada. Ahora que ya se tiene la escala de

temperaturas de las corrientes calientes (T H), solo restamos 1 grado para formar la escala de temperaturas de las corrientes frías (T c), si se decidió establecer la escala (TC), se hace lo contrario, se suma 1 grado y se obtiene la escala (T H), con base en estas escalas, obtenemos el ∆T k del intervalo, para la tabla de calor modificada, y así calcular las cargas en cada intervalo, es decir, obtenemos: ∆ H i ,m y ∆ H j ,n . h) Aplicamos la función objetivo a la tabla de calor modificada. Este procedimiento se

describe más a fondo en la próxima sección 5.4.

64

D.M. QUINTAS


5.3.1 Caso de estudio 1 (Jeżowski, 2003) Retomando el caso de estudio 1, presentado en la Tabla 2.1, sección 2.1.1, del capítulo 2 (Jeżowski, 2003):

a) Creación de la Tabla de calor Estándar. H2 80

H1 20

1

1,1=480

2

q1,2=500

3

q1,3= 220

4

1,4=

TH

TC

423

422

399

398

C2 30

C1 25

∆Tk (K)

24 25

q1,2= 625

600

2,4=

5 6

2400

374

373

363

362

333

332

299

298

294

1,3=

275

q2,3= 330

11

1,4=

750

q2,4= 900

30

1,5=

850

q2,5= 1020

34

q1,6= 125

5

293

Figura 5.1 Tabla de calor estándar caso de estudio 1. Se tienen 6 intervalos. b) Cálculo de cargas térmicas máximas permitidas para corrientes calientes y frías. Tabla 5.1 Cargas térmicas permitidas H1 Qdisp/qreq(kW) qi max , q j max (kW)

H2

1800 2400 450

600

C1

C2

2625

2250

656.25 562.5

65

D.M. QUINTAS


c) Obtención del número mínimo de elementos en que se debe particionar el intervalo.

H1 20

TH 423

TC 422

C1 25

1

N 1,1 = 480 450  = 1.06  = 2

2

N 1, 2 = 500 / 450  = 1.11 = 2

399

398

3

N 1, 3 = 220 / 450 = 0.48 = 1

374

373

4

N 1, 4 = 600 450  = 1.33 = 2

363

362

N 1, 4 = 750 656.25 = 1.14  = 2

5

N 1,5 = 0

333

332

N 1,5 = 850 656.25 = 1.29 = 2

6

N 1, 6 = 0

299

298

N 1, 6 = 125 656.25 = 0.19  = 1

294

293

N 1,1 = 0 N 1, 2 = 625 656.25 = 0.95 = 1 N 1,3 = 275 656.25 = 0.41 = 1

Figura 5.2 intervalos permitidos para la corriente caliente 1 y la corriente fría 1. Todos los resultados se redondean al entero más próximo, de acuerdo a la función ceil.

d) Identificación de intervalos que requieren ser refinados. Para todos los intervalos, se obtiene: H1 20

H2 80

1

N1,1=2

N2,1= 0

2

N1,2=2

N2,2= 0

3

N1,3= 1

N2,3= 0

4

N1,4= 2

N2,4= 4

5

N1,5= 0

N2,5= 0

6

N1,6= 0

N2,6= 0

TH

TC

423

422

399

398

374

373

363

362

333

332

299

298

294

C2 30

C1 25

NPk

N1,1= 0

N2,1= 0

2

N1,2= 1

N2,2= 0

2

N1,3= 1

N2,3= 1

1

N1,4= 2

N2,4=2

4

N1,5 =2

N2,5= 2

2

N1,6= 1

N2,6= 0

1

293

Figura 5.3 Intervalos permitidos para el caso de estudio 1(Jeżowski, 2003). De cada intervalo seleccionamos el mayor, que será el que marcará la nueva tabla de calor.

66

D.M. QUINTAS


De cada intervalo, nos quedamos con los valores mayores, de acuerdo a la columna NPk , colocando los valores en la tabla de calor estándar, obtenemos:

H2 80

H1 20

1

NP1=2

2

NP2=2

3

NP3= 1 NP4= 4

4 5 6

TH

TC

423

422

399

398

374

373

363

362

333

332

299

298

294

C2 30

C1 25

NP,3= 1

NP3= 1

NP5 =2

NP5= 2

NP6= 1

293

Figura 5.4 Intervalos mayores que marcan la división.

e) Cálculo de la partición de un intervalo. De acuerdo a la ecuación 5.7, para cada intervalo se obtiene el δ k , retomamos la figura 5.1, la columna ∆T k , algunos serían:

δ 4

=

∆T 4

NP4

=

30 4

=

7.5

δ 5

=

∆T 5

NP5

=

34 2

= 17

f) Intervalos de temperatura para la tabla de calor β. utilizaremos la escala de las calientes TH. Tomaremos el intervalo 4, ya que es que más refinamiento requiere, para ejemplificar el uso de la ecuación 5.8. T k , NPk − p = T k , NPk − p +1 − δ k , donde p=1,…,NPk

T 4, 4 = T sup, 4 = 363 T 4,3 = T 4 , 4 − δ 4 = 363 − 7.5 = 355.5 T 4, 2 = T 4, 3 − δ 4 = 355.5 − 7.5 = 348 T 4,1 = T 4, 2 − δ 4 = 348 − 7.5 = 340.5 T 4, 0 = T 4,inf = T 4,1 − δ 4 = 340.5 − 7.5 = 333

67

D.M. QUINTAS


En la siguiente figura observamos de forma más clara la división que se planteo.

T 4, 4 = T 4,inf = 363 T 4, 3 = 355.5 T 4 , 2 = 348

k= 4

T 4 ,1 = 340.5

NP4= 4

T 4 , 0 = T 4,inf = 333

Figura 5.5 Diagrama esquemático para mostrar la división del intervalo 4, del caso de estudio 1 (Jeżowski, 2003) El procedimiento se repite para el resto de los intervalos.

68

D.M. QUINTAS


g) Construcción de la tabla de calor nueva para cierta β. Obtenemos la tabla de calor con los intervalos permitidos. H2 80

H1 20

1

∆HH1,1=240

2

∆HH1,2=240

3

∆HH1,3= 250

4

∆HH1,4= 250

5

∆HH1,5=220

6

∆HH1,6=150

∆HH26= 600

7

∆HH1,7=150

∆HH27= 600

8

∆HH1,8=150

∆HH28= 600

9 10 11 12

∆HH1,9=150

∆HH29= 600

TH

TC

423

422

411

410

399

398

386.

385.5

374

373

363 355.5

348

362

C1 25

C2 30

∆HC1,3= 312.5 ∆HC1,4= 312.5 ∆HC1,5= 275

∆HC2,5= 330

∆HC1,6= 187.5

∆HC2,6= 225

∆HC1,7= 187.5

∆HC2,7= 225

∆HC1,8= 187.5

∆HC2,8= 225

∆HC1,9= 187.5

∆HC2,9= 225

∆HC1,10= 425

∆HC2,10= 510

∆HC1,11= 425

∆HC2,11= 510

354.5

347

340.5

333

332

316

315

299

298

∆HC1,12= 125 294

293

Figura 5.6 Tabla de calor modificada, para una β=25%. Ahora se tienen 12 intervalos, se duplicó la cantidad de intervalos, se nota en la corriente H2, como la carga de 2400 Kw ya no se concentra en un solo intervalo. Esto genera más libertad para poder colocar las cargas térmicas, que ahora son 4 de 600 Kw, con intervalos de las corrientes frías.

h) Aplicamos la función objetivo a la tabla de calor nueva para cierta β.

69

D.M. QUINTAS


5.4 Función Objetivo Para formular la función objetivo, se sigue el planteamiento del modelo de transporte, Capítulo 2, Metas de Energía, sección 2.3 Modelo de transporte, a cada intervalo m, se le asocia un intervalo n, siempre y cuando este apareamiento sea permitido. Tenemos los siguientes parámetros:

LMTDm ,n

=

Media logarítmica asociado al apareamiento del intervalo m con n. Definida para m,n=1,…,K, solo si m≤n.

= Carga térmica asociada al apareamiento de una corriente caliente i en el

qim , jn

intervalo m con una corriente fría j en el intervalo n. Definida para m,n=1,…,K, solo si m≤n. hi

= Coeficiente de transferencia de calor de la corriente caliente i.

h j

= Coeficiente de transferencia de calor de la corriente fría j.

∆ H H ,m i

= Cambio en entalpía, elemento de la carga térmica total de la corriente caliente Hi, para el intervalo m, formados a partir del método planteado en la sección anterior 5.2.1, último inciso.

∆ H C ,n j

= Cambio en entalpía, elemento de la carga térmica total de la corriente fría C j, para el intervalo n, formados a partir del método planteado en la sección anterior 5.2.1, último inciso.

Es necesario definir el siguiente conjunto: F im , jn = {(i, j ) : i ∈ I , j ∈ J , n ∈ K hi ,m ∈ K cj un apareamiento entre ellos está prohibido, es

decir cuando m>n o entre servicios auxiliares}

70

D.M. QUINTAS


Modelo para metas de área: K

min

K

qim , jn

NC NH

1

∑∑ LMTD ∑∑ (1 h + 1 h )

−1

m =1 n =1

m , n j ∈ J i∈ I

i

(1)

j

Restricciones: K

∑∑ q

im , jn

= ∆ H H , m ; i ∈ I; m=1, …, K

(2)

im , jn

= ∆ H C , n ; j ∈ J; n=m, …, K

(3)

i

n = m j∈J

K

∑∑ q

j

m =1 i∈I

qim , jn = 0; i ∈ I; j ∈ J; i,j ∈ Fij; m=1,…,K; n=m,…,K (4) qim , jn ≥ 0; i ∈ I; j ∈ J; i,j ∉ Fij; m=1,…,K; n=m,…,K (5)

La ecuación 1, implica minimización del área total de la red de intercambio de calor, de acuerdo a los subíndices, se toman en cuentan las corrientes calientes y frías de proceso, así como servicios auxiliares de calentamiento y enfriamiento. Las ecuaciones (2) y (3), marcan balances de energía para las cargas térmicas, estos plantean la cantidad de energía que una corriente caliente puede ceder a la vez de la cantidad de energía de una corriente fría puede aceptar, además aseguran los objetivos de calentamiento y enfriamiento de las corrientes de proceso, planteadas desde antes de empezar el algoritmo. En (4), se fuerza a los apareamientos prohibidos a tomar el valor de 0. Y por último la desigualdad (5) asegura que las cargas térmicas solo tomen valores positivos.

5.5 Resultados del método de distribución de cargas térmicas Al igual que el capítulo 4, se desarrollan las LMTD’s y las U’s, para simplificar datos. Se diseñó un programa en GAMS, donde fácilmente se pudieron realizar estos cálculos, que

71

D.M. QUINTAS


no deben constituir mayor problema. Se retoma el modelo de transporte para distribuir las cargas térmicas. Al resolver nuestro modelo se obtuvo un Área Total mínima de

2953.53 m2.

5.6 Pruebas variando el parámetro β Al ser β, un parámetro, no defino o con valor fijo, se puede tener la libertad de mover el valor de esta, a continuación se realizó para el caso de estudio 1 del presente trabajo Tabla 2.1, extraído de Jeżowski, 2003, un ejercicio donde claramente se pude observar el efecto que tiene variar β. Tabla 5.2 Resultados para diferentes β β

# int. De temperatura

# variables # restricciones

Área Total(m2)

25%

12

193

33

2953.53

20%

14

269

39

2923.58

15%

17

417

49

2923.24

10%

24

800

69

2905.20

5%

46

2865

131

2898.83

A pesar de tener valores de β relativamente grandes, se obtienen valores muy buenos,

menores en algunos casos que los reportados en la literatura. Al incrementar en 2 el número de intervalos, el parea mejora en un 1.02%. Aumentar los intervalos de 14 a 17, no ayuda mucho pues la mejora es tan solo de 0.01%. Sin embargo al subir a 24 intervalos se tiene un área menor, de 2905.2 m 2. El mejor registro es de 2898.83 m 2, esto representa un 1.88% menos si se compara con el área obtenida al 25%.

5.7 Validación del modelo Con respecto al modelo de Jeżowski, comparamos resultados, la primera diferencia radica en el número de intervalos, pues en Jeżowski usamos 11 intervalos, con 136

72

D.M. QUINTAS


variables de carga, mientras que en nuestro modelo de distribución de cargas uniformes, el mejor resultado arrojó 46 intervalos, con 657 variables de carga. Así utilizar intervalos de más, incrementa el número de variables, pero mejora por mucho el cálculo del área, que es razonable, teniendo en cuenta, que nuestro resultado se aproxima al de Yee & Grossman, que es el mejor reportado. Además de que no requerimos el paso extra que utiliza Jeżowski, donde cambia la estructura para mejorar el área. La distribución que proponemos, ayuda mucho a tener un área menor que la de Jeżowski, pues tenemos intervalos con cargas más pequeñas, lo que produce una mejor distribución de estas, en especial, para la corriente 2, ésta se encuentra solo en el intervalo 4, la carga es muy grande, por lo que cuando queremos aplicar el modelo de Jeżowski, ésta se divide solo en 2, porque la diferencia de temperaturas es pequeña, pero el FCp de la corriente 2, es grande, eh ahí el problema, esta gran carga, no se puede distribuir “bien” , al aplicar nuestro modelo, esta corriente de divide en 35 intervalos, y tenemos cargas más pequeñas, dando libertad a que haya mejor distribución, y minimizar el área. Tabla 5.3 Comparación del método de distribución de cargas con resultados de la literatura Autor(es)

Área (m2)

Modelo de Jeżowski

2925

Yee & Grossmann

2898.9

Townsend & Linnhoff

2896

Colberg & Morari

2896

Método de distribución de cargas β=25% Método de distribución de cargas β =20% Método de distribución de cargas β =15% Método de distribución de cargas β =10% Método de distribución de cargas β =5%

2953.53 2923.58 2923.24 2905.20 2898.83

73

D.M. QUINTAS


Nuestro método, con respecto a los resultados reportados con la literatura, es buena aproximación. Con respecto al método de Colberg & Morari, varía un 0.097%, este método es la mejor aproximación, como ya se explicó es un método no lineal, lo que lo vuelve complejo, eh ahí una ventaja de nuestro método. Townsend & Linnhoff, reporta el resultado de la ya expuesta fórmula de Bath, al ser estos los precursores de este método, ese resultado es el mejor, además de ser reproducible, nuestro método varía un 0.097% con respecto a este. Yee & Grossmann, utilizan una superestructura que utiliza etapas, donde los intervalos de temperatura se van distribuyendo, en cuanto el calor se transfiere, o sea el calor residual, esta complejidad, hace que el resultado sea bueno, pues se acerca mucho al reportado por Townsend &Linnhoff , nuestra solución se acerca mucho a la de Yee & Grossmann. Por último comparando nuestro resultado con el de Jeżowski, nos encontramos 26.17 m 2 por debajo de su propuesta, lo cual indica que el método resulta satisfactorio tomando en cuenta que en nuestro método, no se requiere modificar la red solución del algoritmo que se plantea, es decir, no se requiere ver que apareamientos se pueden reescribir como uno solo para así mejorar el área, esta es una gran ventaja, aunque pagamos con más variables, lo cual es razonable, teniendo en cuenta, lo bien que nos acercamos al resultado de la fórmula de Bath.

74

D.M. QUINTAS

CAPÍTULO 6 CASO DE ESTUDIO 2

Capítulo 6 Caso de estudio 2

6.1 Introducción Para aclarar conceptos y poder visualizar de forma más clara los resultados obtenidos del nuevo método, se realizo el siguiente caso de estudio extraído de Jeżowski(2003). Como punto de comparación se utiliza el método de Jeżowski, además de resultados obtenidos por otros autores. Este caso de estudio además de ayudar a fortalecer los conocimientos, tiene la peculiaridad de que los coeficientes de transferencia de calor varían, a diferencia del caso de estudio 1, donde los h’s son constantes. Esto permite probar el método de distribución de cargas, y evaluar su comportamiento ante tal situación, además de tiempos de ejecución y resultados.

6.2 Datos del problema Como se ya se mencionó, este caso de estudio fue tomado de Jeżowski (2003), además aparece en la literatura en artículos como Colberg y Morari (1990) y Yee y Grossmann (1990), es un problema sencillo de dos corrientes calientes y dos corrientes frías, donde se requiere recuperar calor, mediante la implementación de una red de intercambio de calor, el objetivo será determinar la meta de área mínima que requiere dicho intercambio. Tabla 6.1 Datos del caso de estudio 2. Corriente de proceso Ts(K) To(K) FĈp(kW/K) h(kW/m2K) Qdisp/req(kW) H1 395 343 4 2.0 208 H2 405 288 6 0.2 702 C1 293 493 5 2.0 1000 C2 353 383 10 0.2 300 Vapor 520 519 2.0 Agua de Enfriamiento 278 288 2.0

75

D.M. QUINTAS


6.3 Balances de energía A partir de los datos de la Tabla 6.1, y de la tabla 6.2, tabla de intervalos de temperatura, obtenemos los valores de los RMSA para calentamiento es q hu y para enfriamiento qcu, y se extraen los siguientes balances de energía: Q H 1 = F 1C p1 (T s − T o ) = CP1∆T 1 = (395 − 343) * 4 = 208kW Q H 2 = F 2C p 2 (T s − T o ) = CP2 ∆T 2 = ( 405 − 288) * 6 = 702kW QC 3 = F 3C p 3 (T s − T o ) = CP3 ∆T 3 = ( 293 − 493) * 5 = −1000kW QC 4 = F 4 C p 4 (T s − T o ) = CP4 ∆T 4 = (353 − 383) *10 = −300kW

qdisp = 208kW + 702kW = 910kW qreq = 1000kW + 300kW = 1300kW

qdisp + qhu = 910kW + 620kW = 1530kW qreq + qcu = 1300kW + 230kW = 1530kW

Se cumple: qhu + qdisp = qreq + qcu

6.4 Tabla de calor estándar Para el diagrama de intervalos de temperatura se tiene un HRAT= 10 K. Para construir esta tabla, primero ordenamos las temperaturas de suministro y objetivo (Tabla 6.2 (a)) las remarcamos con negritas, posteriormente para T H restamos el HRAT correspondiente, y para TC sumamos el HRAT (Tabla 6.2 (b)), ahora se ordenan de forma descendente (Tabla 6.2 (c)), por último suprimimos las temperaturas que se repiten, para así obtener nuestra escala de temperaturas. El procedimiento es similar al utilizado en la sección 2.1.3 del capítulo 2.

76

D.M. QUINTAS


Tabla 6.2 Formación de intervalos de temperatura (a) acomodo en la tabla, (b) resta o suma de HRAT, (c) ordenamiento de temperaturas, (d) tabla final TH

TC

TH

TH

TC

TC

405

405 395

503 493

395

395 385

405 395

343

343 333

395 385

288 278

393 383

503 493

363 353

288 493 383

393 383

353

363 353

293

303 293

(a)

TH

503 493

405 395 395 385 393 383 363 353

343 333

343 333

303 293

303 293

288 278

(b)

TC

288 278

(c)

(d) A partir de la Tabla 6.2 (d), se forma la figura 6.1, que indica los intervalos de temperatura que han sido determinados por los extremos de cada corriente, es decir, sus temperaturas de entrada y salida. H1 4

H2 6

TH 503

TC 493

405

395

395

385

393

383

363

353

343

333

303

293

288

278

C1 5

C2 10

Figura 6.1 Diagrama de intervalos de temperatura correspondiente a los datos de la tabla 6.1.

77

D.M. QUINTAS


Ahora se expande la tabla de calor, para hacer un análisis de lo que podemos obtener de estos datos, (ver tabla 63). La columna (2) de la tabla 6.3, es el calor disponible de las corrientes, es decir, la energía que contienen las corrientes calientes. El calor requerido, lo ubicamos en la columna (3). No se entrar a detalle, pues ya se hizo un análisis de estos conceptos en el capítulo 2. Tabla 6.3 Tabla de calor para el caso de estudio 2.

H1 4

H2 6

TH 503

TC

C1 5

C2 10

∆T

qdisp

qreq

qrec

qneto

qhu

Hacumh

Hacumc

(K)

(kW)

(kW)

(kW)

(kW)

(kW)

(kW)

(kW)

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

910

1530

910

1040

850

990

830

980

530

530

330

430

330

230

0

230

qhu

493

98 405

702

288

50.00

50.00

10.00

130.00

20.00

10.00

10.00

10.00

140.00

300.00

450.00

300.00

-150.00

150.00

200.00

100.00

100.00

100.00

0.00

240.00

200.00

200.00

40.00

100.00

293

15

208

60.00

333

40 303

620.00

353

20 343

-490.00

383

30 363

0.00

385

2 393

490.00

395

10 395

0.00

278

1000 300

90.00

910

0.00

0.00

1300

3800

90.00

140.00

230 qcu

78

D.M. QUINTAS


6.5 Diagrama de curvas compuestas I H2 CW

550

II H2 C1

III H1,H2 C1

IV H1,H2 C1, C2

V H2 C1 C2

VII ST C1

VI ST C1 C2

520

519

493

500

450 ] K [ T

405 395

400 363

374.33

343

350

383

378.33

353 326.33 288

300

288

313

293

278

qcu 250 0.00

230

200.00

400.00

0 0 1

600.00

200

320

800.00

H[kW]

0 6

1000.00

0 7

1200.00

1400.00

550

Figura 6.2 Gráfica de curvas compuestas caso de estudio 2 En la figura 6.2 observamos los diferentes cambios de pendiente que se dan al sumar las corrientes, se tiene un total de 7 intervalos, de los cuales en el primero se requiere servicios de enfriamiento, y los intervalos 6 y 7 utilizamos servicios de calentamiento. Por lo que como mínimo tendremos 3 servicios auxiliares, y como mínimo 4 intercambios de corrientes de proceso.

6.6 Curva Compuesta Integral La figura 6.3, nos permite 550

ubicar qhu

la

temperatura

del

punto de pliegue en 358 K,

500

además 450

de

servicios

de

enfrimiento de 230 kW, y de calentamiento de 640 kW.

] K [ 400 T

qrec

350

Figura 2.3 Curva Compuesta Integral caso de estudio 2.

300

qcu 250 0.00

100.00

200.00

300.00

400.00

500.00

600.00

700.00

H[kW]

79

D.M. QUINTAS


6.7 Estimación del área de transferencia mediante el uso de la fórmula de Bath Utilizando la figura 6.2, se realizaron los cálculos para estimar el área de transferencia de calor, utilizamos la fórmula de Bath, procedimiento similar al realizado en el capítulo 3, primero se obtienen para las corrientes calientes, ΣqHi,k /hi, y se realiza en mismo procedimiento para

las frías. Se divide por intervalos, en cada uno se coloca la corriente que participa, la carga térmica, y las temperaturas de entrada y salida de cada intervalo, se tienen 7 intervalos, en el intervalo 1, utilizamos agua de enfriamiento, mientras que en el 6 y 7 se usa vapor. Después se calculan los LMTD’s que se forman con el apareamiento de las corrientes, en los diferentes intervalos, para finalmente aplicar la fórmula de Bath, que arrojará una aproximación del área de transferencia. Tabla 6.4 Corrientes calientes, caso de estudio 2 Intervalo(k) 1 2 3 4 5 6 7

Corrientes Calientes (Hi) Corrientes THi,s(K) THi,o(K) H2 326.333 288 H2 343 326.333 H1 363 343 H2 H1 395 363 H2 H2 405 395 Vapor 520 519 Vapor 520 519

qHi,k qHi,k /hi 230 1150 100 500 80 40 120 600 128 64 192 960 60 300 70 35 550 275

ΣqHi,k /hi 1150 500 640 1024 300 35 275

Tabla 6.5 Corrientes frías, caso de estudio 2. Intervalo(k) 1 2 3 4 5 6 7

Corrientes Frías (C j) Corrientes TCj,s(K) TCj,o(K) Agua de enf. 278 288 C1 293 313 C1 313 353 C1 353.00 374.33 C2 C1 374.33 378.33 C2 C1 378.33 383.00 C2 C1 383.00 493.00

qHi,k 230 100 200 106.67 213.33 20.00 40.00 23.33 46.67 550.00

qHi,k /hi 115 50 100 53.33 1066.65 10.00 200.00 11.67 233.35 275.00

ΣqHi,k /hi 115 50 100 1119.98 210.00 245.02 275.00

80

D.M. QUINTAS


Tabla 6.6 Área de transferencia estimada, caso de estudio 2.

Intervalo(k) 1 2 3 4 5 6 7

∆hi(kW)

∆Tln,k 21.09 31.64 18.20 14.69 23.54 138.83 67.42

dth dtc 38.3333 10 30 33.3333 10 30 20.67 10.00 26.67 20.67 137.00 140.67 27.00 136.00

230 100 200 320.00 60.00 70.00 550

Ak (m2) 59.99 17.38 40.65 145.91 21.67 2.02 8.16 295.78

6.8 Número mínimo de intercambiadores Tenemos 2 corrientes calientes H1 y H2, dos corrientes frías C1 y C2, por lo que N s =4. De acuerdo a la figura 2.2, se tienen como mínimo 3 servicios auxiliares esto se obtiene del número de intervalos que quedan sin aparearse, es decir los intervalos I, VI, y VII, donde se suministra la energía o se retira según sea el caso con ayuda de servicios de calentamiento o enfriamiento según corresponda. Se supone no hay loops en la red. Y tomando en cuenta que el número mínimo de componentes en el sistema es 1.Tenemos: NE = 4 + 3 + 0 – 1 = 6

6.9 Modelo De Transporte asociado a la tabla de calor estándar Al aplicar el modelo de transporte se tiene una figura como la siguiente: H2 6

H1 4

0

bH0

TH

Va or

1 2

TC

C2 10

C1 5

520 503

493

405

395

a11= 490 a12= 50

b22= 60

3

b13= 8

b23= 12

395

385

b14= 120

b24= 180 393

383

4 5

b15= 80

b25= 120

36

6

b26= 240 343

7

b27= 30

8

b28= 60

353

333

303

293

298

288

288

278

a13= 10 a14= 150

a24= 300

a15= 100 a16= 200

Agua de enfriamiento

81

D.M. QUINTAS


En el intervalo 0, se encuentra el servicio de calentamiento, del intervalo 1 al 8, encontramos las corrientes de proceso, en último intervalos, se dividió en dos sólo para poder ejemplificar la ubicación del servicio de enfriamiento, que va de 278 K a 288 K. Se debe recordar no transferir energía de un intervalo de menor temperatura a uno de mayor. Al resolver el modelo se obtienen los requerimientos de enfriamiento y calentamiento: b H0 = 620kW , a C8 = 230kW

6.10 Tabla de intervalos de temperatura de Jeżowski para estimar el área requerida para recuperación de calor En esta sección se sigue la metodología presentada en el capítulo 4. La parte central del método se desarrolla a continuación, que consiste en crear la tabla de calor modificada con los pasos que plantea Jeżowski. Es importante recalcar que la tabla inicial debe ser hecha con un HRAT =1 K. a) Calcular el tamaño de los TI’s( Intervalos de Temperatura) A partir de los intervalos hechos en la sección tabla de intervalos de temperatura, se obtiene la información: H1 ∆T 4 89 10 11 30

11 49 6

H2 6

TH 494

TC 493

405

404

395

394

384

383

354

353

343

342

294

293

288

287

C1 5

C2 10

Figura 6.4 Intervalos de temperatura caso de estudio 2

Seleccionamos el ∆Tmin = 6

82

D.M. QUINTAS


Tenemos: dTmedio= Max[3∆Tmin,10],

entonces:

dTmedio= Max[18,10]=18

Cada intervalo mayor a dTmedio, se divide en Nad intervalos, de acuerdo con: Nad= ceil [∆T/dTmedio]

Tomando en cuenta los intervalos tenemos: ∆T

∆T>15

Nad

89

Si

Ceil(89/18)=5

10

No

Ceil(10/18)=1

11

No

Ceil(11/18)=1

30

Si

Ceil(30/18)=2

11

No

Ceil(11/18)=1

49

Si

Ceil(49/18)=3

6

No

Ceil(6/18)=1

83

D.M. QUINTAS


b) Con el nuevo numero de intervalos, crear una nueva tabla de intervalos de temperatura. Intervalo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

H1 4

H2 6

TH

TC

494

493

476.2

475.2

458.4

457.4

440.6

439.6

422.8

421.8

405

404

395

394

384

383

369

368

354

353

343

342

326.6

325.6

310.3

309.3

294

293

288

287

C1 5

C2 10

Figura 6.5 Tabla de intervalos de calor modificada caso de estudio 2 Se pasa de 6 intervalos, sin contar la división hecha para ejemplificar el agua de enfriamiento, a 14 intervalos. Resultados Al resolver el modelo de áreas, sin dejar de lado las restricciones del modelo de transporte, se obtiene un área de 335.16 m 2, sin realizar el último paso de modificar el área, realizando arreglos, uniendo cargas o cambiando algunas.

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6.11 Método de distribución de cargas térmicas para minimizar área. La metodología usada es la que se planteó en el capítulo 5, para este caso de estudio, se evaluaron valores de β de 25% a 5%, de 5 en 5 por ciento. Tabla 6.7 Resultados para diferentes β caso de estudio 2 # int. De

β

temperatura

# variables # restricciones

Área Total(m2)

25%

12

142

34

288.02

20%

17

263

47

275.58

15%

19

363

55

272.37

10%

28

726

79

271.08

5%

52

2400

146

272.63

Tabla 6.8 Comparación del método de distribución de cargas con resultados de la literatura caso de estudio 2

No.

Autor(es)

Área (m2)

1

Tabla de calor estándar

1603.41

2

Modelo de Jeżowski

335.16

3

Yee & Grossmann

263.6

4

Townsend & Linnhoff

295.7

5

Colberg & Morari

258.8

6

Método de distribución de cargas β=25%

288.02

7 8 9 10

Método de distribución de cargas β =20% Método de distribución de cargas β =15% Método de distribución de cargas β =10% Método de distribución de cargas β =5%

275.58 272.37 271.08 272.63

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Figura 6.6 Comparación de áreas obtenidas por diferentes métodos. 1800 1600 1400

) 1200

2

m1000 ( a e r 800 Á 600 400 200 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Método

Se observa que desde el uso de una β=25%, se logra un resultado menor al de la fórmula de Bath, y se supera el resultado que arroja la tabla de calor estándar, aquí se comprueba la mala distribución que posee la tabla de calor, tiene una distribución especial, pues en algunos intervalos se concentra la carga, lo que produce áreas muy grandes, y una distribución ineficiente. Con las diferentes pruebas realizadas con β, se observa que existe una tendencia que al principio decrece, y en un valor de β=10%, se forma un mínimo local, para después incrementar el valor, y la tendencia crece. Este comportamiento es debido en gran medida a la diferencia que existe de coeficientes de transferencia de calor entre las corrientes.

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CAPITULO 7 CONCLUSIONES

Capítulo 7 Conclusiones

Analizaremos nuestros resultados y los compararemos con los que otros autores (citadas en las referencias) han obtenido, discutiremos cual será la mejor opción, tomando en cuenta rapidez de solución, variables en el modelo, dificultad del mismo, cantidad de pasos empleados, exactitud y que tanto se alejan unos resultados de otros.

7.1 Metas de energía La metodología del punto de pliegue da un acercamiento al desarrollo de redes de intercambio de calor óptimas. Gracias a esta se conoce los requerimientos mínimos de energía, para calentamiento y enfriamiento, de acuerdo a los resultados del capítulo 1, para el ejemplo desarrollado en dicho capítulo, tenemos: Tabla 7.1 Tabla comparativa de resultados para metas de energía Tabla de intervalos de

Modelo de

Colber &

temperatura

transporte

Morari

qhu (kW)

400

400

400

qcu (kW)

1075

1075

1075

Meta: Energía

Al tener un HRAT fijo, los requerimientos no deben variar, sea cual sea el método usado, la tabla de intervalos de temperatura se desglosa y surge de manera más sencilla, debido a esto presenta una ventaja sobre el modelo de transporte. Sin embargo, con el modelo de transporte enriquecemos la información, al denotar los apareamientos prohibidos, así como obtener los valores de las cargas que se activan al resolver el modelo (ver capítulo 1 sección 2.3.2).

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7.2 Metas de área Minimizar el área, nos implica una disminución del capital de inversión, por tanto es importante saber que diseño nos daría un área mínima, entonces fijamos un target (meta), que nos indique hasta cuanto es posible reducir nuestra variable. A continuación se resumen los resultados obtenidos en los capítulos 3,4 y 5, donde se utilizaron modelos lineales, que minimizan el área, todos con diferente metodología. Primero realizaremos una comparación de nuestros resultados contra los de otros autores, para ver que tan buenos fueron nuestros cálculos. Tabla 7.2 Resultados con Fórmula de Bath caso de estudio 1 Solución propia Jeżowski (Fórmula de Bath) A(m2)

A(m2)

2896.27

2896

Nuestra aproximación es buena, el error se debe al redondeo, que se utiliza en las temperaturas y que se transfiere a las áreas de intercambio. La fórmula de Bath es una de las aproximaciones más utilizadas, debido a su excelente exactitud, en casos en que los coeficientes de película de las corrientes calientes y frías son todos iguales, además que solo se requiere información de la tabla de calor, que se despliega en las curvas compuestas y la gran curva compuesta. Tabla 7.3 Resultados utilizando modelo de Jeżowski caso de estudio 1 Solución propia

Modelo de Jeżowski

Modelo de Jeżowski usando tabla de calor.

A(m2)

A(m2)

A(m2)

3089.87

2925

3346.68

Al reproducir los resultados de Jeżowski, no logramos la meta que ellos reportan, sin embargo nuestra aproximación oscila dentro de los límites que son correctos, pues ellos a partir de este resultado (3089.87), unen apareamientos, que son adyacentes y que comparten alguna corriente, como se explicó en el capítulo 4, sección 4.3. Nuestro resultado está 5.6% por arriba del reportado por Jeżowski, el cual antes de realizar los ajustes para mejorar el diseño, se encuentra entre 10 a 15% arriba. Como extra, se resolvió

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el modelo de Jeżowski, utilizando la tabla original de intervalos de temperatura, con lo cual, el área sube con respecto a la solución que utiliza la tabla de calor modificada, esto equivale a 8.3%, y con respecto al resultado de Jeżowski, aumenta 14.41%. Por esta razón es necesario modificar la tabla de intervalos de temperatura, cambiándola a ∆T min =1 K, pues así las cargas tienen más libertad de “moverse”, además de que los dt’s son más grandes, por lo que el área disminuye. Para el caso de estudio 2, se tiene un resultado por debajo del obtenido por Jeżowski. Tabla 7.4 Comparación del modelo de distribución de cargas caso de estudio 1 Solución

Modelo de

Colberg &

Yee &

Townsend &

propia

Jeżowski

Morari

Grossmann

Linnhoff

A(m2)

A(m2)

A(m2)

A(m2)

A(m2)

2953.53

2925

2896

2898.9

2896

Tabla 7.5 Comparación del modelo de distribución de cargas caso de estudio 2 Solución

Modelo de

Colberg &

Yee &

Townsend &

propia

Jeżowski

Morari

Grossmann

Linnhoff

A(m2)

A(m2)

A(m2)

A(m2)

A(m2)

271.08

260.6

258.8

263.6

295.7

El método de distribución de cargas, representa una forma sencilla de resolver problemas de metas de área para redes de recuperación de calor, entre las ventajas que lo caracterizan están: 

La metodología a seguir es realmente sencilla, surge de forma secuencial.



No requiere de pasos extra para mejorar el área.



Resultados de área precisas, para los coeficientes de calor constantes, resultados con variación menor al 1%.

Algunas de las desventajas que se encontraron: 

Mayor número de intervalos de temperatura.



Al tener más intervalos, el tiempo de ejecución es mayor.



Para coeficientes de calor variables los resultados no son muy precisos, sin embargo el porcentaje de variación es menor al 5%.

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Este método es una buena herramienta para obtener metas de área, tomando en cuenta los diferentes métodos existentes en la literatura, es un método sencillo, no requiere más que información extraída de la tabla de calor, no requiere curvas compuestas. Además que el resultado se da de forma directa sin necesidad de acomodar cargas para lograr una mejor aproximación.

90

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