MÉTODOS DE ANÁLISIS PARA SISTEMAS DE CONTROL EN TIEMPO DISCRETO
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Jhon Jairo Anaya Díaz
CAPITULO 1 Ing.
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11/04/2014
MUESTREO MEDIANTE IMPULSOS
Muestreo: Proceso de pasar de Retención: Proceso de pasar de
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a a
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MUESTREO MEDIANTE IMPULSOS
La señal existe para todos los valores de
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La señal existe para valores concretos periodo de muestreo. Tiempo entre dos muestras sucesivas frecuencia de muestreo. Número de muestras por unidad de tiempo. (f) Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata
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MUESTREO MEDIANTE IMPULSOS •
Periodo dan la Periodo es una
T: las señales , y misma secuencia. T/2: y coinciden, secuencia distinta. Ing.
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MUESTREO MEDIANTE IMPULSOS •
Muestrear una señal continua equivale a multiplicarla por un tren de impulsos (funciones delta de Dirac) δT(t), siendo:
(t kT ) T
k 0
Se considera la salida del como un tren de impulsos cuyas intensidades son iguales a los valores muestreados en los respectivos instantes de muestreo, y la señal resultante se puede expresar matemáticamente como: * x (t ) x(kT ) (t kT )
k 0
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MUESTREO MEDIANTE IMPULSOS •
•
También se puede escribir la ecuación así: Aplicando la transformada de Laplace a ambos miembros de la ecuación se obtiene:
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MUESTREO MEDIANTE IMPULSOS •
Si definimos:
o también
La ecuación se convierte en:
Observe que en segundo miembro de la anterior ecuación es exactamente el segundo miembro de la ecuación de la definición de la transformada , de allí que:
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MUESTREO MEDIANTE IMPULSOS •
De forma general:
Note que es una variable compleja y el periodo de muestreo. La transformada de Laplace de es la misma que la Transformada Z de si Ing.
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MUESTREO MEDIANTE IMPULSOS •
también llamado , es el dispositivo que permite reconstruir una señal continua a partir de valores discretos de una secuencia, o convierte la señal digital en una señal continua en el tiempo. Es el proceso inverso al muestreo de una señal. El retenedor genera la señal en tiempo continuo ( ); esta se obtiene durante el tiempo y se puede aproximar con el polinomio en τ de esta manera:
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MUESTREO MEDIANTE IMPULSOS A fin de obtener una reconstrucción ideal, se define el bloqueador ideal como aquel cuya transformada de Fourier T w es: H ( w)
0
w
siendo el periodo de muestreo de la secuencia La respuesta impulso es: h(t )
sin( w0t ) w0t
con w0 2
T
MUESTREO MEDIANTE IMPULSOS La representación gráfica de estos bloqueadores muestra en la figura.
•
se
Bloqueador ideal en tiempo Bloqueador ideal en frecuencia 1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
-0.2 -0.2
-0.4 -10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-0.4 -10
Sistema no causal, ya que negativos. Ing.
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
no es cero para tiempos
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MUESTREO MEDIANTE IMPULSOS •
•
. De forma general, la exactitud de la aproximación de la señal continua mejora a medida que el orden aumenta. Sin embargo, la mayor exactitud se obtiene con el costo de mayor retardo de tiempo, que puede provocar inestabilidad en el sistema de control. El más simple de los retenedores es , denominado retenedor de orden cero o ZOH del inglés “Zero Orden Hold”.
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MUESTREO MEDIANTE IMPULSOS •
: Es un dispositivo de retención que convierte la señal muestreada en una señal continua que reproduce aproximadamente la señal aplicada al muestreador. El dispositivo de retención más simple convierte la señal muestreada en una señal constante entre dos instante de muestreo consecutivo.
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MUESTREO MEDIANTE IMPULSOS •
•
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Un retenedor de orden cero presenta la siguiente función de transferencia
Cuando se muestrea la señal de entrada en instantes discretos , la señal muestreada pasa a través del dispositivo de retención. Este dispositivo que es un filtro paso bajas, alisa la señal muestreada produciendo la señal que es constante desde el último valor hasta disponer del próximo valor de muestreo es decir:
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MUESTREO MEDIANTE IMPULSOS •
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MUESTREO MEDIANTE IMPULSOS Considere:
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MUESTREO MEDIANTE IMPULSOS •
•
Puesto que: Reemplazando en la ecuación de la sumatoria
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RETENCIÓN DE DATOS •
(FOH) La salida del retenedor de primer orden es una función polinomial de primer orden en función del tiempo: τ < T h(kT +τ )= a ), 0 ≤ 1τ + x(kT
La mejor interpolación que se puede lograr es que h(kT −T)= x( kT −T), por lo tanto tomando a τ =T, la constante a 1 es igual a:
RETENCIÓN DE DATOS •
De allí que:
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RETENCIÓN DE DATOS •
Ahora para obtener la función de transferencia del retenedor de primer Orden se va a suponer una entrada escalón
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RETENCIÓN DE DATOS •
La función de transferencia del retenedor de orden uno es entonces:
los retenedores de orden superior no son prácticos ya que causan retraso y ruido, además no son muy fácil su implementació. Ing.
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RETENCIÓN DE DATOS •
Comparación del error por los métodos de ZOH y FOH para una onda sinusoidal
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BIBLIOGRAFÍA •
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Sistemas De Control En Tiempo Discreto. Segunda Edición. Sistemas de Control Continuo y Discreto
•
Computer Controlled Systems.
•
Tercera Edición Modern Contol Ingineering.
•
Primera Edición. •
•
•
Analog And Digital Control System Design. Tercera Edición Control Automático de Procesos. Primera Edición Sistemas de Control Moderno. Décima Edición.
