Estadística Industrial MCE Héctor Héctor Eduardo Eduardo De Cos Cholu Cholula la
Temario – Unidad 1 1.2. Estimadores puntuales e Intervalos de confianza. 1.3. σ Conocida o para una muestra grande. 1.4. Desviación Estándar de una población desconocida y una muestra pequeña. 1.5. Intervalo de confianza para una proporción. 1.6. Factor de corrección para una población finita. 1.7. Tamaño apropiado de una muestra.
Temario – Unidad 2 2.2. Errores Tipo I y Tipo II. 2.3. Metodología para la prueba de hipótesis. 2.4. Pruebas de significancia de una y dos colas.
Temario – Unidad 1 1.2. Estimadores puntuales e Intervalos de confianza. 1.3. σ Conocida o para una muestra grande. 1.4. Desviación Estándar de una población desconocida y una muestra pequeña. 1.5. Intervalo de confianza para una proporción. 1.6. Factor de corrección para una población finita. 1.7. Tamaño apropiado de una muestra.
Temario – Unidad 2 2.2. Errores Tipo I y Tipo II. 2.3. Metodología para la prueba de hipótesis. 2.4. Pruebas de significancia de una y dos colas.
Temario – Unidad 2 (continuación) 2.5. Pruebas de hipótesis para la media. 2.6. El valor de P en las pruebas de hipótesis. 2.7. Pruebas de hipótesis para las proporciones.
Temario – Unidad 3 3.2. Pruebas de hipótesis de las muestras de poblaciones independientes. 3.3. Pruebas de hipótesis para la diferencia entre las proporciones muestrales de dos poblaciones. 3.4. Comparación de las medias de la población con muestras pequeñas. 3.5. Pruebas de hipótesis de dos muestras dependientes. 3.6. Comparación de muestras dependientes e independientes
Temario – Unidad 4 4.1. Introducción ANOVA. 4.2. Distribución F. 4.3. Comparación de dos varianzas de población. 4.4. Suposiciones de ANOVA. 4.5. La prueba de ANOVA. 4.6. Inferencias sobre pares de medias de tratamiento. 4.7. Análisis de la varianza en dos direcciones.
Temario – Unidad 5 5.1. Introducción Regresión lineal y correlación. 5.2. El coeficiente de correlación y de determinación. 5.3. Pruebas de significancia del coeficiente. 5.4. Análisis de regresión. Mínimos cuadrados. 5.5. Error estándar de estimación. 5.6. Intervalos de confianza e intervalos de predicción.
Temario – Unidad 6 6.1. Introducción rgegresión lineal múltiple 6.2. Análisis de regresión múltiple. 6.3. Error estándar de estimación múltiple. 6.4. Tabla ANOVA. 6.5. Análisis de varianzas residuales.
Temario – Unidad 7 7.1. Introducción serie de tiempo y proyección. 7.2. Componentes de una serie de tiempo. 7.3. Método de promedio móvil. 7.4. Método de promedio móvil ponderado. 7.5. Tendencia lineal. 7.6. Método de los mínimos cuadrados. 7.7. Variación estacional. 7.8. Distribución Weibull.
Criterios de evaluación
Asistencia mínima obligatoria: 80% (Derecho a calificación ordinaria)
Examen por unidad:
Examen Unidad 1:
25%
* 20%
Examen por unidad:
Examen Unidades 2 y 3:
25%
* 20%
Examen por unidad:
Examen Unidades 4 y 5:
25%
* 20%
Examen por unidad:
Examen Unidades 6 y 7:
25%
* 20%
Examen Unidad 1: 25%
____
* 20%
100%
100%
* Entrega de proyecto:
Porcentaje de calificación final:
No hay reposición de exámenes
Examen extraordinario al final de curso (calificación máxima 8.0).
Participaciones CORRECTAS = punto extra sobre cualquier parcial.
NO saber clase anterior = punto menos sobre cualquier parcial.
Contacto vía correo electrónico:
[email protected]
Estimación de parámetros ESTIMADOR PUNTUAL Estadístico calculado a partir de información de la muestra para estimar el parámetro poblacional. Una ESTIMACIÓN PUNTUAL de un parámetro es un número único que puede ser considerado como un valor sensible de θ. Se obtiene una estimación puntual seleccionando un estadístico apropiado y calculando su valor con los datos muestrales dados. El estadístico seleccionado se llama ESTIMADOR PUNTUAL de θ. Si tres vidas útiles de baterías medidas en días hubieran sido x 1 = 5.6, x 2 = 4.5 y x 3 = 6.1, el uso del estimador (promedio) habría dado por resultado la estimación: x = (5.6 + 4.5 + 6.1)/3 = 5.40.
Por tanto, se lee como “el estimador puntual de µ es la media muestral ”. La proposición “la estimación puntual de µ es 5.40” se escribe concisamente como . = 5.40 (miu testada)
Estimación de parámetros Ejemplo: Se tienen 20 valores de ruptura dieléctrica de una resina epóxica:
Proponer distintos métodos de estimación:
Estimación de parámetros Entonces, ¿cuál estimador es el mejor? Un estimador preciso sería uno que produzca errores de estimación pequeños, así que los valores estimados se aproximarán al valor verdadero.
Una medida general de precisión es el error cuadrático medio
Se dice que un estimador puntual ˆ es un estimador insesgado de si E ( ) = θ con todo valor posible de θ. Si no es insesgado, la diferencia se conoce como el sesgo de .
Estimación de parámetros
Primer estimador Sesgado
Primer estimador Sesgado
Segundo estimador Insesgado
Segundo estimador Sesgado
Principio de estimación insesgada: Cuando se elige entre varios estimadores diferentes de θ, se elige uno insesgado.
Estimación de parámetros Propuestas de estimadores:
Estimación de parámetros Propuestas de estimadores:
Principio de estimación insesgada con varianza mínima Entre todos los estimadores de θ insesgados, se selecciona el de varianza mínima. El resultante se llama estimador insesgado con varianza mínima (EIVM) de θ.
Estimación de parámetros En algunas situaciones, es posible obtener un estimador con sesgo pequeño que se preferiría al mejor estimador insesgado.
Estimación de parámetros Además de reportar el valor de una estimación puntual, se debe dar alguna indicación de su precisión. La medición usual de precisión es el error estándar del estimador usado.
Métodos de estimación El método de momentos La idea básica de este método es poder igualar ciertas características muestrales, tales como la media, a los valores esperados de la población correspondiente.
Método de momentos
Método de momentos
Ejemplo:
Método de momentos
Ejemplo:
Método de momentos Ejemplo:
Método de momentos
Método de momentos Ejemplo:
Método de momentos Ejemplo:
Método de momentos Ejemplo:
Método de momentos Ejemplo: Si tuviésemos los siguientes valores, ¿cuál sería el resultado de los estimadores anteriores?
DATO IMPORTANTE!! Si no nos indican los momentos, podemos tomar en cuenta la siguiente propiedad:
Método de momentos Tarea: Estimar r y p
Método de momentos Tarea: Estimar r y p
Aunque r por definición debe ser positivo, el denominador de podría ser negativo, lo que indica que la distribución binomial negativa no es apropiada (o que el estimador de momento es defectuoso).
Método de máxima verosimilitud El método de máxima probabilidad lo introdujo por primera vez R. A. Fisher, genetista y estadístico en la década de 1920. La mayoría de los estadísticos recomiendan este método, por lo menos cuando el tamaño de muestra es grande, puesto que los estimadores resultantes tienen ciertas propiedades de eficiencia deseables. Que X 1, X 2, …, X n tengan una función masa de probabilidad o una función de densidad de probabilidad:
donde los parámetros θ1, …, θm tienen valores desconocidos. Cuando x 1, …, x n son los valores muestrales observados y la función anterior se considera como una función de θ1, …, θm, se llama función de verosimilitud. Las estimaciones de máxima verosimilitud (EMV) son aquellos valores de las θi que incrementan al máximo la función de probabilidad, de modo que:
Cuando se sustituyen las X i en lugar de las x i, se obtienen los estimadores de máxima
Método de máxima verosimilitud Idealmente, se busca obtener el logaritmo natural de la función de distribución o de la función de masa, se deriva esta última función con respecto al parámetro deseado y se iguala a cero, encontrando entonces el estimador o un conjunto de ecuaciones que permiten obtener los estimadores correspondientes. Ejemplo: Se obtuvo una muestra de diez cascos de ciclista nuevos fabricados por una compañía. Al probarlos, se encontró que el primero, el tercero y el décimo estaban agrietados, en tanto que los demás no. Sea p = P ( casco agrietado) y defina X 1, …, X 10 como X i = 1 si el i-ésimo casco está agrietado y cero de lo contrario. En ese caso las x i son 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, así que la función masa de probabilidad conjunta de la muestra es
Encontrar el estimador binomial “p”
Método de máxima verosimilitud Idealmente, se busca obtener el logaritmo natural de la función de distribución o de la función de masa, se deriva esta última función con respecto al parámetro deseado y se iguala a cero, encontrando entonces el estimador o un conjunto de ecuaciones que permiten obtener los estimadores correspondientes.
Método de máxima verosimilitud Idealmente, se busca obtener el logaritmo natural de la función de distribución o de la función de masa, se deriva esta última función con respecto al parámetro deseado y se iguala a cero, encontrando entonces el estimador o un conjunto de ecuaciones que permiten obtener los estimadores correspondientes.
Método de máxima verosimilitud Idealmente, se busca obtener el logaritmo natural de la función de distribución o de la función de masa, se deriva esta última función con respecto al parámetro deseado y se iguala a cero, encontrando entonces el estimador o un conjunto de ecuaciones que permiten obtener los estimadores correspondientes.
Método de máxima verosimilitud Idealmente, se busca obtener el logaritmo natural de la función de distribución o de la función de masa, se deriva esta última función con respecto al parámetro deseado y se iguala a cero, encontrando entonces el estimador o un conjunto de ecuaciones que permiten obtener los estimadores correspondientes.
^
Método de máxima verosimilitud Suponga que X 1, X 2, . . . , X n es una muestra aleatoria de una distribución exponencial con parámetro λ. Debido a la independencia, la función de verosimilitud es un producto de las funciones de densidad de probabilidad individuales:
Método de máxima verosimilitud Suponga que X 1, X 2, . . . , X n es una muestra aleatoria de una distribución exponencial con parámetro λ. Debido a la independencia, la función de verosimilitud es un producto de las funciones de densidad de probabilidad individuales:
El ln(verosimilitud) es
Método de máxima verosimilitud Suponga que X 1, X 2, . . . , X n es una muestra aleatoria de una distribución exponencial con parámetro λ. Debido a la independencia, la función de verosimilitud es un producto de las funciones de densidad de probabilidad individuales:
El ln(verosimilitud) es
λ)[ln(verosimilitud)] a cero se obtiene: Si se iguala ( d/d
^
Método de máxima verosimilitud Ejercicio: Sean X 1, X 2, . . . , X n una muestra aleatoria de una distribución normal. La función de probabilidad es:
Pista: al momento de derivar se debe hacer parcialmente con respecto a cada parámetro deseado.
Método de máxima verosimilitud Ejercicio: Sean X 1, X 2, . . . , X n una muestra aleatoria de una distribución normal. La función de probabilidad es:
Pista: al momento de derivar se debe hacer parcialmente con respecto a cada parámetro deseado. Resultado:
Estimación de funciones de parámetros
Ejemplo:
Intervalos de confianza Una estimación puntual, por el hecho de ser un solo número no proporciona información sobre la precisión y confiabilidad de la estimación.
_
Debido a la variabilidad del muestreo, virtualmente nunca es el caso de que x = µ . La estimación puntual no dice nada sobre qué tan cerca pudiera estar a µ. Una alternativa para reportar un solo valor sensible del parámetro que se está estimando es calcular y reportar un intervalo completo de valores factibles: una estimación de intervalo o un intervalo de confianza (IC). Un intervalo de confianza siempre se calcula seleccionando primero un nivel de confianza, el cual mide el grado de confiabilidad del intervalo. Un nivel de confianza de 95% implica que 95% de todas las muestras daría un intervalo que incluye µ, o cualquier otro parámetro que se esté estimando y sólo 5% de las muestras darían un intervalo erróneo. Los niveles de confianza más frecuentemente utilizados son 95%, 99% y 90%. Mientras más alto es el nivel de confianza, más fuerte es la creencia de que el valor del parámetro que se está estimando queda dentro del intervalo.
Intervalos de confianza El ancho del intervalo da información sobre la precisión de una estimación de intervalo. Si el nivel de confianza es alto y el intervalo resultante es bastante angosto, el conocimiento del valor del parámetro es razonablemente preciso. Un muy amplio intervalo de confianza, sin embargo, transmite el mensaje de que existe gran cantidad de incertidumbre sobre el valor de lo que se está estimando.
Intervalos de confianza
Importancia de los intervalos de confianza Interpretación del nivel sigma Menor a 3-Sigma: El proceso no cumple con los requerimientos del cliente. 3-Sigma: El proceso ocasionalmente cumple los requisitos del cliente, no hay lugar para perturbaciones. 4-Sigma: Salida estándar. 5-Sigma: Salida excelente. 6-Sigma: Suficientemente perturbaciones.
robusto
para
tolerar
un
alto
numero
de
Importancia de los intervalos de confianza Desempeño de proveedor 3σ Salida = 99.73%. 54,000 prescripciones erróneas al año. 1,350 cirugías fallidas por semana. 54,000 paquetes perdidos por hora. Mas de 40,500 recién nacidos que se les caen a los doctores o enfermeras al año. Falta de luz o de servicio telefónico por 30 minutos a la semana.
Desempeño de proveedor 6σ Salida = 99.9995 %. 1 prescripción incorrecta en 25 años. 1 cirugía fallida en 20 años. 35 paquetes perdidos al año. 3 recién nacidos que se les caen a los doctores o enfermeras al año. Falta de luz o servicio telefónico por 6 segundos en 100 años.
Valores “Z” INTERVALO DE CONFIANZA Conjunto de valores formado a partir de una muestra de datos de forma que exista la posibilidad de que el parámetro poblacional ocurra dentro de dicho conjunto con una probabilidad especifica. La probabilidad especifica recibe el nombre de nivel de confianza. ¿Como determinar un intervalo de confianza de 95%? La amplitud del intervalo se determina por medio del nivel de confianza y de la magnitud del error estándar de la media. El error estándar de la media indica la variación en la distribución de las medias muestrales. Se trata, en realidad, de la desviación estándar de la distribución muestral de medias. La formula se repite enseguida:
donde: es el símbolo del error estándar de la media. σ
es la desviación estándar poblacional.
Valores “Z” Modo de empleo de un valor “z”
Valores “Z” Ejemplo:
Valores “Z” Ejemplo:
Valores “Z” Ejemplo:
Valores “Z” Cómo determinar intervalos para distintos valores de confianza “z”.
Valores “Z” Uso de tablas “z”:
Valores “Z” ¿Por qué decidirse por un nivel de confianza de 95% cuando un nivel de 99% es alcanzable? Porque el precio pagado por el nivel de confianza más alto es un intervalo más ancho. Como el intervalo de 95% se extiende 1.96 errores muestrales a cada lado de x , el ancho del intervalo es 2(1.96) = 3.92 errores muestrales. Asimismo, el ancho del intervalo de 99% es 2(2.58) = 5.16 errores muestrales. Es decir, se tiene más confianza en el intervalo de 99% precisamente porque es más ancho. Si se considera que el ancho del intervalo especifica su precisión o exactitud, entonces el nivel de confianza del intervalo está relacionado de manera inversa con su precisión. La estimación de un intervalo altamente confiable puede ser imprecisa por el hecho de que los puntos extremos del intervalo pueden estar muy alejados, mientras que un intervalo preciso puede acarrear una confiabilidad relativamente baja. Por consiguiente no se puede decir de modo inequívoco que se tiene que preferir un intervalo de 99% a uno de 95%; la ganancia de confiabilidad acarrea una pérdida de precisión. Una estrategia atractiva es especificar tanto del nivel de confianza deseado como el
Valores “Z” La fórmula general para el tamaño de muestra n necesario para garantizar un ancho de intervalo w se obtiene a partir de:
Ejemplo:
Un intensivo monitoreo de un sistema de tiempo compartido de computadoras sugiere que el tiempo de respuesta a un comando de edición particular está normalmente distribuido con desviación estándar de 25 milisegundos. Se instaló un nuevo sistema operativo y se desea estimar el tiempo de respuesta promedio verdadero en el nuevo entorno. Suponiendo que los tiempos de respuesta siguen estando normalmente distribuidos con 25, ¿qué tamaño de muestra es necesario para asegurarse de que el intervalo de confianza de 95% resultante tiene un ancho de (cuando mucho) 10?
Valores “Z” La fórmula general para el tamaño de muestra n necesario para garantizar un ancho de intervalo w se obtiene a partir de:
Ejemplo:
Un intensivo monitoreo de un sistema de tiempo compartido de computadoras sugiere que el tiempo de respuesta a un comando de edición particular está normalmente distribuido con desviación estándar de 25 milisegundos. Se instaló un nuevo sistema operativo y se desea estimar el tiempo de respuesta promedio verdadero en el nuevo entorno. Suponiendo que los tiempos de respuesta siguen estando normalmente distribuidos con 25, ¿qué tamaño de muestra es necesario para asegurarse de que el intervalo de confianza de 95% resultante tiene un ancho de (cuando mucho) 10?
Valores “Z” Valor de z es un numero de desviaciones estándar entre la media de los datos del proceso y el dato de interés. Si nuestro valor de interés es “x” de una población con “μ” y “σ”, tenemos:
ValorZ
( x
¿Que tan lejos esta el valor de interés de la media de la población?
)
¿Que tan típica es la distancia?
Esto representa el numero de desviaciones estándar a las que el valor de interés “x” esta localizado respecto a la media
El valor de Z tiene muchas intenciones: Estandariza los datos para permitir entender de mejor modo diferentes casos Es utilizado para encontrar las probabilidades de las distribuciones normales
Valores “Z” Utilizando el valor de Z podemos hacer comparaciones entre diferentes procesos Ejemplo: El tiempo de ciclo de la estación de retrabajo de los probadores finales se encuentra bajo investigación. (procesos A y B):
Retrabajos de A μ = 7 minutos σ = 1 minuto
Retrabajos de B μ = 3 minutos σ = 0.5 minuto
El técnico trabaja 8 minutos
El técnico trabaja 4 minutos
para retrabajar una pieza
Z = (8-7) / 1 = 1
para retrabajar una unidad
Z = (4-3) / 0.5 = 2
Valores “Z” Z(x
Z ( x
σ μ
m)
s)
(m m) s
(0 0) s
(m s m) s
0
(s) s
1
1 0
Ventajas: “Todos nosotros estamos hablando el mismo lenguaje”, esto significa, que cualquiera de nosotros entiende el significado del valor de Z. No es importante en este ámbito el contexto original de los datos, porque estamos hablando y trabajando con datos estandarizados.
Valores “Z” Cómo determinar intervalos de confianza cuando se desconoce la desviación estandar
Valores “Z” Ejemplo:
Valores “Z” Ejemplo:
Intervalos de confianza con varianza desconocida Intervalo de confianza para la media con desviación estándar desconocida
Ejemplo La expectativa del cliente en la refinería es que la cantidad promedio de aceite por barril es igual a 55,0 galones. Usted decide tomar una muestra aleatoria de 20 barriles para determinar cuál es el promedio real. En su muestra de 20 barriles, encontrará que la media de la muestra, x, es igual a 54,860 galones y que la desviación estándar, s, es igual a 1,008 galones. Los datos reales eran éstos: 54.1, 53.3, 56.1, 55.7, 54.0, 54.1, 54.5, 57.1, 55.2, 53.8, 54.1, 54.1, 56.1, 55.0, 55.9, 56.0 ,54.9, 54.3, 53.9, 55.0 ¿Qué es un intervalo de confianza del 95% para el verdadero
Intervalos de confianza con varianza desconocida Entrar a Minitab, ingresar los datos en la primera columna, después:
1. Seleccione Stat > Basic Statistics > Display Descrip tive Statisti cs 2. Ingrese ‘C1’ en Variables 3. Haga clic en OK
Intervalos de confianza con varianza desconocida
Resultados para: Oilrefinery.MTW
Estadística descriptiva: C1
Variable C1
N
N*
20
0
Media 54,860
Media SE 0,225
DesvSt
Mínima
Q1
1,008
53,300
54,100
Media 54,700
Q3 55,850
Variable máxima C1
57,100
Así es c om o h emo s calc ul ado la media y la desviación estándar
Intervalos de confianza con varianza desconocida
1 2
1. Seleccione Seleccione Stat>Basic Statistics>Graphical Summary 2. Seleccionar ‘C1’ para Variables 3. Haga Haga clic en OK
3
Intervalos de confianza con varianza desconocida Summary for C1 Ander son-Da rling Norma lity Test A-Squ ared P- Value
0.60 0.105
Me an St De v Variance S ke ke wn wn es es s
54.860 1.008 1.016 0 .5 .5 60 60 02 02 6
Ku rt rt os os is is N
54
55
56
57
- 0. 0.5 09 09 79 79 7 20
Minim um um 1 st st Qu ar ar ti ti le le Me dia n
53.300 5 4. 4.1 00 00 54.700
3 rd rd Qu ar ar ti ti le le Ma xim um um
5 5. 5.8 50 50 57.100
95% Confidence Interval for Mean 54.388
55.332
95% Confidence Interval for Median 54.100
55.582
95% Confidence Interval for StDev
95% Conf idence Intervals
0.767
1.472
Mean
Median 54.0
54.4
54.8
55.2
55.6
Tenemos un i ntervalo de co nfianza del 95% 95% de que la media real está está com prendid a entre 54,3882 y 55,3318.
Intervalo de confianza para la proporción de una población Sea p la pr prop opor orci ción ón de “éxitos” en un una a po pobl blac ació ión, n, do dond nde e éxito ide dent ntif ific ica a a un indi in divi vidu duo o u obje jeto to que ti tie ene una pr pro opi pie edad esp spe ecí cíffic ica a (p. ej ej., ., in indi divi vid duos que se grad adu uar aro on en un una a univ ive ers rsid ida ad, compu puttado dora rass que no re req qui uie ere ren n se serrvi viccio de garantía, etc.). Una variable aleatoria de n individuos que tiene que ser selecc sel eccion ionad ada a y X es el número de éxitos en la muest strra. Sie iemp mprre que n sea pequeño comparado con el tamaño de la población, X pued pu ede e se serr co cons nsid ider erad ada a co como mo un una a va vari riab able le al ale eat ator oria ia bi bino nomi mial al co con n E ( X X ) np y . . Además, si tanto np≥10 como nq≥10, X tiene X np(1 p) aproxi apr oxima madam dament ente e una dis distri tribuc bución ión nor normal mal..
Extremos del intervalo de confianza.
Intervalo de confianza para la proporción de una población
Intervalo de confianza para la proporción de una población Si el tamaño de muestra es bastante grande, z 2/(2n) es insignificante comparado con p,z 2/(4n2) bajo la raíz cuadrada es insignificante comparado con ˆ pˆq /bbn es insignificante comparado con 1. Si se desechan estos términos insignificantes se obtienen los límites de confianza aproximados
Ejemplo: El artículo “Repeatability and Reproducibility for Pass/Fail Data” ( J. of Testing and Eval., 1997: 151-153) reportó que en n=48 ensayos en un laboratorio particular, 16 dieron por resultado la ignición de un tipo particular de sustrato por un cigarrillo encendido. Sea p la proporción a largo plazo de tales ensayos que producirían ignición. Una estimación puntual de p 16/48=0.333.
Intervalo de confianza para la proporción de una población Un intervalo de confianza para p con un nivel de confianza de aproximadamente 95% es:
Intervalo de confianza para la proporción de una población Si se iguala al ancho del intervalo de confianza para p al ancho preespecificado w se obtiene una ecuación cuadrática para el tamaño de muestra n necesario para dar un intervalo con un grado de precisión deseado. Si se suprime el subíndice en z /2 , la solución es:
Omitiendo los términos en el numerador que implican w 2 se obtiene
Intervalo de confianza para la proporción de una población
Intervalo de confianza para la proporción de una población
Intervalos de confianza unilaterales
Intervalos de confianza para muestras pequeñas Si el tamaño de muestra es pequeño, no es probable que S se aproxime a σ, de modo que la variabilidad de la distribución de Z surge la aleatoriedad tanto en el numerador como en el denominador. Esto implica que la distribución de probabilidad de ( X )/(S/n) se dispersará más que la distribución normal estándar. El resultado en el cual están basadas las inferencias introduce una nueva familia de distribuciones de probabilidad llamada familia de distribuciones t.
Intervalos de confianza para muestras pequeñas (T – Student)
El número de grados de libertad con T es n -1 porque, aunque S está basada en las n desviaciones X 1 X , . . . , Xn X , ( Xi X ) implica que sólo n – 1 de éstas están “libremente determinadas”. El número de grados de libertad para una variable t es el número de desviaciones libremente determinadas en las cuales está basada la desviación estándar estimada en el denominador de T .
Intervalos de confianza para muestras pequeñas (T – Student)
Intervalos de confianza para muestras pequeñas (T – Student) Ejemplo de búsqueda para “valor t”
Intervalos de confianza para muestras pequeñas (T – Student)
Intervalos de confianza para muestras pequeñas (T – Student)
Intervalos de confianza para muestras pequeñas (T – Student) Ejemplo: Como parte de un proyecto más grande para estudiar el comportamiento de paneles de revestimiento sometidos a esfuerzo, un componente estructural extensamente utilizado en Estados Unidos, el artículo “Time-Dependent Bending Properties of Lumber” ( J. of Testing and Eval., 1996: 187-193) reportó sobre varias propiedades mecánicas de especímenes de madera de pino escocés. Considere las siguientes observaciones de módulo de elasticidad (MPa) obtenidas un minuto después de cargar una configuración:
Por consiguiente x =14 532.5 y sx = 2055.67
Intervalos de confianza para muestras pequeñas (T – Student)
El tamaño de muestra es 16, así que un intervalo de confianza para el módulo de elasticidad medio de la población está basado en 15 grados de libertad. Un nivel de confianza de 95% para un intervalo bilateral requiere el valor crítico t de 2.131. El intervalo resultante es:
Intervalos de confianza para muestras pequeñas (T – Student) En algunas ocasiones se desea predecir solo un valor futuro (el valor inmediato siguiente), para estos casos lo ideal es establecer un intervalo de predicción
La interpretación de un nivel de predicción de 95% es similar a la de un nivel de confianza de 95%; si se calcula el intervalo para muestra tras muestra, a la larga 95% de estos intervalos incluirán los valores futuros correspondientes de
Intervalos de confianza para muestras pequeñas (T – Student)
Ejercicio: Con n = 10, x = 21.90, s = 4.134 y t 0.02 = 2.262, un intervalo de predicción de 95% para el contenido de grasa de un solo perro caliente es
Intervalos de confianza para muestras pequeñas (T – Student)
Ejercicio: Con n = 10, x = 21.90, s = 4.134 y t 0.02 = 2.262, un intervalo de predicción de 95% para el contenido de grasa de un solo perro caliente es
Intervalos de confianza para la varianza y la desviación estándar Aun cuando las inferencias por lo que se refiere a la varianza 2 o a la desviación estándar de una población en general son de menos interés que aquellas con respecto a una media o proporción, hay ocasiones en que se requieren tales procedimientos. En el caso de una distribución de población normal, las inferencias están basadas en el siguiente resultado por lo que se refiere a la varianza muestral S2.
Intervalos de confianza para la varianza y la desviación estándar Comportamiento de una función ji cuadrada (chi cuadrada):
Conforme contenga más grados de libertad tenderá a volverse simétrica.
Intervalos de confianza confianza para la varianza y la desviación estándar
Intervalos de confianza confianza para la varianza y la desviación estándar
Intervalos de confianza confianza para la varianza y la desviación estándar
Cuidado!!! NO SON los mismos valores
Intervalos de confianza para la varianza y la desviación estándar Ejemplo:
Valores de temperatura en el manejo de metales fundidos en colado-1: 1470
1510
1690
1740
1900
2000
2030
2100
2200
2290
2380
2390
2480
2500
2580
2700
2190
Intervalos de confianza para la varianza y la desviación estándar Ejemplo:
Valores de temperatura en el manejo de metales fundidos en colado-1: 1470
1510
1690
1740
1900
2000
2030
2100
2200
2290
2380
2390
2480
2500
2580
2700
Valores de ji cuadrada:
2190
Intervalos de confianza para la varianza y la desviación estándar Ejemplo:
Valores de temperatura en el manejo de metales fundidos en colado-1: 1470
1510
1690
1740
1900
2000
2030
2100
2200
2290
2380
2390
2480
2500
2580
2700
Valores de ji cuadrada: Intervalo de confianza para la varianza:
2190
Intervalos de confianza Ejercicios:
El artículo “Ultimate Load Capacities of Expansion Anchor Bolts” ( J. of Energy Engr . , 1993: 139-158) reportó los siguientes datos resumidos sobre resistencia al esfuerzo cortante (klb/pulg2) para una muestra de pernos de anclaje de 3/8 pulg: n = 78, x = 4.25, s = 1.30. Calcule un límite de confianza inferior utilizando un nivel de confianza de 90% para una resistencia al esfuerzo cortante promedio verdadero.
Intervalos de confianza Ejercicios: Una legisladora estatal desea encuestar a los residentes de su distrito para ver qué proporción del electorado está consciente de su posición sobre la utilización de fondos estatales para solventar abortos.
a. ¿Qué tamaño de muestra es necesario si el intervalo de confianza de 95% para p debe tener un ancho de cuando mucho 0.10 independientemente de p?
b. Si la legisladora está firmemente convencida de que por lo menos 2/3 del electorado conoce su posición, ¿qué tamaño de muestra recomendaría?
