1. a.
Ruang sampel suatu percobaan
adalah himpunan semua hasil yang mungkin
dari suatu percobaan
.
b. c. 2. a.
Kejad jadian ian sed sederh erhana adalah suatu kejadian yang memiliki satu titik sampel. Kejadian ma majemuk adalah suatu kejadian yang memiliki lebih dari satu titik
sample. Macam-macam kejadian: 1. Kejadian pasti : kejadian yang pasti muncul dalam suatu percobaan. Contoh : Dalam percobaan pelemparan uang logam, kejadian pasti adalah munculnya gambar(G) atau angka(A). Artinya dalam percobaan itu pasti muncul G atau A. Dalam hal ini kejadian pasti adalah {G,A} 2. Kejadian mustahil : kejadian yang tidak mngkin muncul dalam suatu. percobaan. Contoh : Dalam percobaan sebuah dadu, kejadian mustahil adalah munculnya sesuatu yang tak mungkin misalnya angka 0 atau 8. Adapun {0} adalah kejadian mustahil. 3. Kejadian sederhana : kejadian yang memiliki satu titik sample. Contoh : dalam percobaan melempar sebuah dadu dimana kejadian K adalahmunculnya mata dadu 2, yaitu K = {2} dengan n(K) = 1 maka K adalah kejadian sederhana. Jika K adalah kejadian dari suatu percobaan dan hanya memuat satu hasil percobaan atau n(K) = 1 maka K disebut diseb ut kejadian sederhana. 4. Kejadian majemuk : kejadian yang memiliki lebih dari satu titik sample. Contoh : Dalam percobaan melempar sebuah dadu misalnya, kejadian munculnya mata dadu ganjil {1,3,5}, munculnya mata dadu bilangan prima {2,3,5} munculnya mata dadu kurang dari 4 {1,2,3}, masing-masing merupakan kejadian majemuk. Jika M adalah kejadian dari suatu percobaan dan n(M) > 0 maka M disebut kejadian majemuk.
1. Kejadian yang saling ekslusif, ekslusif, yaitu kondisi dimana jika kejadian yang satu sudah terjadi maka kejadian yang lain tidak mungkin terjadi P(E1 U E2) = P(E1) + P(E2) Contoh : Jika peluang terambil satu kartu ‘hati’ pada setumpuk kartu bridge adalah 13/52 dan peluang terambil kartu ‘wajik’ adalah 13/52. Maka peluang terambil kartu ‘hati’ atau ‘wajik’ adalah 13/52 + 13/52 = 26/52 atau sama dengan peluang terambil kartu yang merah, artinya kalau tidak ‘hati’ berarti ‘wajik’yang terambil. Jika yang satu sudah terambil maka yang lain tidak akan terambil. P(♥ U ♦) = P(♥) + P(♦) = 13/52 + 13/52 = ½
2.
Kejadian yang saling inklusif, yaitu kondisi dimana jika kejadian yang satu sudah terjadi maka kejadian yang lain masih mungkin terjadi P(E1 U E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1 ∩ E2) Contoh : Jika peluang terambil satu kartu ‘hati’ pada setumpuk kartu bridge adalah 13/52 dan peluang terambil kartu ‘As’ adalah 4/52. Maka peluang terambil kartu ‘hati’ atau ‘As’ adalah 13/52 + 4/52 – 1/52 = 16/52. Disini perhitungan di kurangi 1/52 karena pada pengambilan kartu ‘hati’ atau ‘As’ ada kemungkinan terambil kartu ‘hati’ yang ‘As’ dengan peluang 1/52 P(♥ U As) = P(♥) + P(As) – P((♥ ∩ As) = 13/52 + 4/52 – 1/52 = 16/52
3.
Kejadian yang saling independen, yaitu kondisi dimana jika kejadian yang satu tidak berhubungan dengan kejadian yang lain P(E1 ∩ E2) = P(E1). P(E2) Contoh : Dilakukan pelemparan dua buah dadu. Jika peluang munculnya mata 1 pada dadu pertama = 1/6 dan peluang munculnya mata 1 pada dadu kedua = 1/6. Maka peluang dalam satu kali pelemparan 2 dadu akan muncul mata 1 pada dadu pertama dan mata 1 pada dadu kedua adalah 1/6 x 1/6 = 1/36 P(1│I ∩ 1│II) = P(1│I). P(1│II) = 1/6 x 1/6 = 1/36
adalah himpunan yang anggota - anggotanya merupakan anggota A sekaligus anggota B. Irisan himpunan A dan B dinyatakan dengan notasi : A ∩ B = { x | x ε A dan x ε B } Contoh : S = { 1,2,3,4,5,6,7 }, A = { 1,2,3,4,5,6 } dan B = { 2,3,5,7 }
b. Irisan dua Himpunan A dan B
Diagram Vennnya : A ∩ B = { 2,3,5 } merupakan anggota persekutuan antara himpunan A dan B.
Himpunan A dan B saling berpotongan, dituls A = B. Dua himpunan yang tidak mempunyai irisan dikatakan saling lepas dan dinyatakan dengan notasi // adalah himpunan yang anggota - anggotanya merupakan anggota A saja, atau anggota B saja, atau anggota persekutuan A dan B.
c. Gabungan dua himpunan A dan B
Gabungan himpunan A dan B dinyatakan dengan notasi A Ù B = { x | x ε A atau x ε B } Contoh A = { 0,2,4,6,8 } B = { 2,3,5,7 } Diagram Vennya A Ù B = { 0,2,3,4,5,6,7,8 } 3. a.
adalah suatu susunan unsur-unsur berbeda dalam urutan tertentu tanpa ada unsur yang boleh diulang.
b.
adalah campuran atau gabungan atau susunan dari semua atau sebagian elemen dari suatu himpunan yang tidak mementingkan urutan elemen.
4. a.
Peluang terjadinya A, bila B telah terjadi atau Peluang A, jika peluang B diketahui. P ( AB ) Didefinisikan , P ( A | B ) = P ( B )
Permutasi
Kombinasi
Peluang Bersyarat P(A B) :
asalkan b. 5.
( ) 0.
P B ≠
Peluang terjadinya B, bila A telah terjadi atau Peluang B, jika peluang A diketahui. Peluang Bersyarat P(B A) :
Aturan Keputusan Bayes :
Sebuah aturan yang menyatakan strategi yang dipilih dari yang tersedia adalah bahwa untuk yang nilai yang diharapkan dari hasil yang terbesar.
Contoh Soal : 1. Tentukanlah nilai kemungkinan (a) Sisi ‘muka’ berada di atas jika sebuah mata uang dilemparkan sekali; (b) Bayi yang akan dilahirkan seorang ibu ialah laki-laki. Penyelesaian (a)
Ada dua hal yang bisa terjadi, yaitu berada di atas itu sisi M atau sisi B sehingga P(M) = .
(b)
Hal yang bisa terjadi ialah kelahiran bayi laki-laki atau wanita sehingga P(laki-laki) = .
(Dalam masalah kelahiran biasanya selalu dianggap yang akan lahir itu seorang bayi laki-laki atau wanita saja sedangkan kelahiran kembar atau yang lainnya tidak diperhatikan). 2. Sebuah dadu dilemparkan sekali. Tentukanlah nilai kemungkinan dadu menunjukkan angka (a) 5; (b) 3 atau lebih. Penyelesaian (a)
Ada 6 hal yang bisa terjadi, yang masing-masing mempunyai peluang sama, sehingga P(5) =
(b)
.
Pada peristiwa dadu menunjukkan angka 3 atau lebih, A = {3,4,5,6} memuat 4 titik sampel sehingga P(A) =
.
3. Diambil sebuah kartu dari selengkap kartu bridge terkocok. Tentukanlah nilai kemungkinan terambilnya kartu (a) As ;
(b) Raja (dengan lambang K) ; (c) Gambar ‘daun’ Penyelesaian
Ruang sampelnya terdiri dari 52 titik sampel yang masing-masing mempunyai peluang sama. (a)
Ada 4 kemungkinan kartu As terambil, sehingga P(As) = .
(b)
Ada 4 kemungkinan kartu Raja terambil, sehingga P(K) =
(c)
Ada 13 kemungkinan kartu gambar ‘daun’, sehingga ‘daun’)=
P(kartu
.
4. Dari baskom yang berisi 7 bola merah, 5 bola biru, dan 3 bola hitam diambil sebuah di antaranya. Tentukanlah nilai kemungkinan bola yang diambil (a) Merah; (b) Biru; (c) Hitam. Penyelesaian
Misalkan peristiwa terambilnya bola merah, biru, dan hitam berturut-turut diberi lambang M, B, dan H. Maka (a)
P(M) =
(b)
P(B)
(c)
P(H)=
=
= = =
= . = .
=
.
5. Suatu baskom berisi 10 bola pingpong yang masing-masing diberi nomor 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Dari dalamnya diambil satu bola. Tentukanlah nilai kemungkinan terambilnya bola bernomor (a) Bilangan prima ; (b) Bilangan yang habis dibagi 2; (c) Bilangan yang habis di bagi 3. Penyelesaian
Misalkan p menyatakan nilai kemungkinan setiap kejadian itu, maka (a)
Karena ada 5 bilangan prima dari kesepuluh bilangan itu, p =
=
; (b)
Bilangan yang habis dibagi 2 ada 5 buah, sehingga p =
(c)
Bilangan yang habis dibagi 3 ada 3 buah, sehingga p =
; .
6. Satu mata uang yang tangkup dilemparkan dua kali. Tentukanlah nilai kemungkinan (a) ‘muka’ tampak pada lemparan pertama ; (b) Hasil lemparan pertama dan kedua sama ; (c) Paling sedikit satu ‘muka’ berada di atas. Penyelesaian
Keadaan yang bisa terjadi dalam pelemparan satu mata uang dua kali ialah MM;MB;BM;BB, di mana MB menyatakan ‘muka’ pada lemparan pertama dan ‘balik’ pada lemparan kedua. Sehingga nilai kemungkinan itu ialah (a) p = (b) p = (c)
p =
7. Bila satu dadu yang tangkup dilemparkan dua kali, tentukanlah nilai kemungkinan (a) hasil lemparan pertama genap dan kedua gasal;
hasil lemparan pertama dan kedua sama; hasil lemparan pertama dan kedua gasal.
(b) (c)
Penyelesaian
Tabel 1.1 menyatakan ruang sampel hasil pelemparan sebuah dadu dua kali. Tabel 1.1 Hasil pelemparan dadu dua kali I
II
1
2
3
1 (1,1) (1,2) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,5) (3,6)
4
5
(1,3)
(1,4)
(2,3)
(2,4)
(3,3)
(3,4)
6
Dengan melihat tabel itu dapat dihitung bahwa (a) nilai kemungkinan hasil lemparan pertama genap dan kedua gasal ialah p = (b) p = (c)
p =
; dan
= 9
1 =
6
=
4
.
8. Dari soal 7 di atas, tentukan nilai kemungkinan jumlah angka yang tampak dari dua kali lemparan itu ialah (a) 5 ; (b) 10; dan (c) Kurang dari 11. Penyelesaian
Misalkan J = jumlah angka yang tampak pada lemparan pertama dan kedua. Dengan pertolongan Tabel 1.1, didapat 4
(a)
P(J = 5) =
(b)
P(J = 10) =
36
;
3 36
;
(c)
P(J ≤ 11) =
33 36
;
9. Pengantin baru mengatakan bahwa mereka menginginkan 3 orang anak dari pernikahannya. Bila keinginannya terpenuhi, tentukanlah nilai kemungkinan bahwa anaknya (a) wanita semua; (b) satu pria dan dua wanita; (c) pria semua. Penyelesaian
Urutan kelahiran yang bisa terjadi dapat disusun sebagai berikut PPP PPW PWP WPP PWW WPW WWP WWW
Dimana PWP = anak pertama pria, kedua wanita, dan ketiga pria. Jadi di sini ada 8 kejadian yang berpeluang sama, maka (a)
P (wanita semua) =
(b)
P (1 pria) =
(c)
P 3 pria) =
3 8 1 8
1 8
;
;
.
10.Ada dua orang A dan B yang mencalonkan diri sebagai kepala desa di desa X. Pemilihan dilakukan secara bebas dan rahasia. Setelah pemilihan, empat orang pemilih (sebarang) ditanya mengenai pilihannya, dan dianggap mereka memberikan jawaban yang jujur. Tentukanlah nilai kemungkinan bahwa (d) ke 4 orang itu memilih calon A ; (e) 3 orang memilih calon A ; dan 2 orang memilih calon A. (f) Penyelesaian
Kemungkinan pilihan mereka dapat disusun sebagai daftar berikut AAAA BAAA BABA BABB
AAAB AABB BAAB BBAB AABA ABBA BBAA BBBA ABAA ABAB ABBB BBBB
Dimana ABAB menyatakan orang pertama memilih calon A, orang kedua memilih B, yang ketiga memilih A, dan orang keempat memilih B. Maka (a)
P(4 orang itu memilih A)
(b)
P(3 orang memilih A)=
(c)
P(2 orang memilih A)=
=
1 16
4
1 =
16
4
6 16
3 =
8
; .
