TUGAS AKHIR MODUL 3
NAMA
: DEDI SULAIMAN
NIM
: 18290418010048 18290418010048
1) Buktikan secara formal Teorema berikut. Jika fungsi
, : → , ∈ , lim→ () = , dan kontinu di titik , buktikan
bahwa
lim ( (()) ()) = lim l→ im ()
→
Bukti: a. Jika fungsi f dan g memenuhi R g D f , g kontinu di c D g dan f kontinu di g (c) D f , maka fungsi f g kontinu di c
b. Jika fungsi f dan g memenuhi R g D f , g kontinu di c D g dan f kontinu pada D f , maka f g kontinu pada D f Berdasarkan teorema tersebut maka dapat digunakan untuk menghitung limit. Pada teorema (a), kekontinuan fungsi f g menghasilkan:
lim ( °) ° )() = °().
→
Kemudian,
lim ( (()) ()) = ( () = li lim m (). →
→
Jadi, dapat disimpulkan bahwa
lim→ ( (()) ()) = (lim→ ()) ())
(Terbukti)
2) Tentukan bilangan yang yang akar pangkat pangkat empat yang utama (bernilai positif) melebihi dua kali bilangan tersebut secara maksimal. Penyelesaian: Misalkan: bilangan tersebut adalah a, sehingga 4
a 2a
(4 a ) 4 ( 2a ) 4 a 16a 16 a 4 a 16 a 4 0
a (1 16a 3 ) 0
Titik pembuat nol: a = 0 dan a 3
1 16
1 23 2
Garis Bilangan:
Sketsa Grafik:
Sehingga diperoleh:
1
23 2
HP = x 0 a
, x R
3) a) Lukislah daerah D yang dibatasi oleh
() = + 2, sumbu , = −2, dan
= 3 , kemudian hitung (i) ∫ ( + 2) dan (ii) luas daerah D dengan berbagai cara yang Anda ketahui. Apakah yang dapat Anda simpulkan tentang luas daerah? (b) Dengan menggunakan daerah D pada (a), hitunglah volum benda yang
terjadi apabila daerah D diputar mengelilingi sumbu menggunakan metode cakram dan rumus kerucut. Buatlah kesimpulan dari kedua hasil jawaban tersebut. Penyelesaian: a. Sketsa Grafik:
Cara I 3
3
2( x 2)dx 2 x 2 x 2 1
2
1
1
2
2
[ (3) 2 2(3)] [ ( 2) 2 2( 2)] 9
4
2 9
2
[ 6] [ 4] [ 6] [2 4]
2 9 2
8 1
12 satuan luas 2
Cara II Dengan Menggunakan Rumus Luas Segitiga 1 Luas = xaxt 2 1 = x5 x5 2 1 = 12 satuan luas 2 Kesimpulan: Luas daerah pada bidang datar, daerah D yang dibatasi oleh grafik fungsi f, b
x=a dan x=b, dan sumbu X adalah L=
f ( x)dx a
b. Metode Cakram 3
V [ f ( x )] 2 dx 2 3
V [ x 2] 2 dx 2
3
V [ x 2 4 x 4]dx 2 3
1 V x 3 2 x 2 4 x 3 2 1 1 V (3) 3 2(3) 2 4(3) ( 2) 3 2(2) 2 4( 2) 3 3 27 8 18 12 8 8 3 3
V
27 8 30 3 3 35 V 30 3 V
V
125 3
satuan volum
Rumus Volume Kerucut Jika daerah D diputar maka membentuk kerucut, dengan r = 5 dan t = 5 1 2 V r t 3 1 2 V (5) (5) 3 125 V satuan volum 3 Kesimpulan: Volum Benda Putar dari suatu daerah D pada bidang datar yang diputar dengan suatu poros tertentu, dimana D dibatasi oleh grafik f, sumbu X, x = a, dan x = b diputar dengan poros sumbu X, dengan metode cakram, adalah: b
V [ f ( x)]2 dx a
Hasil yang diperoleh sama dengan mencari Volume dengan menggunakan Rumus Volume Kerucut.
