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Universidad Tecnólogica Nacional Facultad Regional Santa Fe

Ing. MECÁNICA

ESTABILIDAD II

TEORÍA TUBOS DE PARED GRUESA σθ

pi

Profesor:

Ing. Hugo A. Tosone J.T.P.:

Ing. Andrés Anca Junio de 2009

σr

ESTABILIDAD I I

TUBOS DE PARED GRUESA

CONTENIDOS 1.- Tubos de pared gruesa (simples) sometidos a presión. Ecuación diferencial de equilibrio. Compatibilidad de las deformaciones. Ecuaciones de contorno. Fórmulas de Lamé. Ejemplos: Tubo sometido solamente a presión interior “pi” o solamente a presión exterior “pe”. Tubos de pared “muy gruesa” con radio externo mucho mayor que el interno y prismas con agujeros, con presión interior. Análisis de tensiones. Conclusiones. Comparación entre resultados para Teoría para tubos de pared gruesa y Teoría aproximada para tubos de pared delgada (membrana). 2.- Determinación del corrimiento radial en tubos simples: a) Corrimientos provocados por la acción de presión interior, b) corrimientos provocados por la acción de presión exterior. Valores de interés. 3.- Aplicación de Hipótesis de falla al cálculo de tubos simples. Dimensionado de tubos con presión interior. Hipótesis de de la máxima tensión principal (Rankine). Hipótesis de de la máxima tensión de corte (Guest). Hipótesis de la máxima energía de distorsión (Huber-Hencky-Von Mises). Hipòtesis de la máxima deformación principal (Saint-Venant). Criterio de Clavarino para cilindros de pared gruesa con fondos. Aplicabilidad de las distintas hipótesis de falla: para material frágil y para material dúctil. Comparación de resultados con diferentes Hipótesis de falla. Observaciones conceptuales. Tensiones de trabajo en tubos de pared gruesa, para acero dúctil y para hierro fundido. 4.- Tubos zunchados o encamisados. Tensiones producidas por zunchado. Tensiones circuferenciales y radiales. Tubos zunchados con presión interior, dimensionado óptimo. Hipótesis de la máxima tensión principal (Rankine), presión de zunchado e interferencia o apretaje. Hipótesis de la máxima tensión tangencial (Guest), presión de zunchado e interferencia o apretaje. 5.- Tubos de pared gruesa (simples) en régimen plástico. Método de autozunchaje. Estado de autozunchado. Plastificación parcial.

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ESTABILIDAD I I


TUBOS Y RECIPIENTES DE PARED GRUESA SOMETIDOS A PRESIÓN Introducción: Los tubos, también denominados cilindros de pared gruesa sometidos a presión, están solicitados de modo tal que permite clasificarlos en el tipo axilsimétrico, al que le corresponde una distribución axilsimétrica de tensiones normales: σθ , σr , σa (circunferencial, radial y longitudinal), siendo nulas las tensiones de corte . En los cursos de Resistencia de materiales se estudian los tubos de pared delgada sometidos a presión interior. En ese estudio se supone que las tensiones radiales σr son nulas, que las tensiones circunferenciales σθ son constantes en todo el espesor de la pared y que las tensiones longitudinales σa existen solamente si los extremos del tubo poseen tapas. Las tensiones circunferenciales σθ en dicho caso se pueden obtener sencillamente, en base a la fig.1 del modo que sigue. Se considera aislado un pequeño elemento del perímetro, de longitud unitaria a lo largo del eje del tubo, al que se le coloca la fuerza p.r.dθ.1, (interior ejercida por la presión) como así también

θ

r dθ p e

la resultante σ θ .e.1 que actúan en el espesor de la pared, de modo de restituir el equilibrio.

de donde:

σθ =

σθ

σθ.e dθ

σθ.e

fig.1

Proyectando las fuerzas en la dirección radial resulta:

p.r.dθ = σ θ .e.dθ

σθ.e.dθ

p.r e

Ver además el tema “Membranas delgadas” con presión interior. Cuando se trata de tubos cuya pared posee gran espesor en relación con el radio, las suposiciones con respecto a σθ y σr hechas en el caso de tubos de pared delgada, conducen a errores importantes. En dicho caso es necesario considerar la existencia de las tensiones radiales σr lo que produce una variación considerable de las tensiones σθ en el espesor de la pared. Se trata de un caso de “estado elástico plano” en el que las tensiones y deformaciones no dependen del ángulo polar, es decir un caso axilsimétrico, en el que las tensiones σθ y σr sólo dependen del radio r. Es posible entonces calcular las tensiones utilizando las fórmulas de Lamé que se tratan en el tema “elasticidad en coordenadas polares” y que tiene n la siguiente forma:

σr =

B −A r2

σθ =

B +A r2

No obstante , el presente problema se analizará aplicando el método general de la teoría de la elasticidad que se desarrolla a continuación. A tal fin será necesario plantear las ecuaciones siguientes: • diferenciales de equilibrio. • de Compatibilidad de las deformaciones • de contorno.

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ESTABILIDAD I I


Ecuación diferencial de equilibrio Por tratarse de un “estado plano” axilsimétrico, donde no intervienen ni la variable “z” ni el ángulo polar θ, se considerará aislado, un pequeño prisma de seis caras limitado por dos planos perpendiculares el eje geométrico del tubo y separados una distancia unitaria, también por dos cilindros concéntricos con el eje del tubo y distantes dr, como así también por dos planos que contengan al eje longitudinal y que estén separados un ángulo diferencial, tal como se representa en el diagrama de cuerpo libre de la figuras 2 y 3. A las tensiones radiales σr se las considerará con signo positivo “+” si son de compresión ya que en la mayoría de los casos son de ese carácter, fig.3. También se despreciarán las fuerzas másicas porque son muy pequeñas en comparación con las producidas por la presión interna o externa.

L=1 C≡D A≡B

pe pe

pi

Para el planteo de la condición de equilibrio en la dirección radial del elemento diferencial de longitud unitaria, se tendrán en cuenta las áreas que se consideran a continuación: Cara CDHG:

r .dθ.1 = r.dθ

Cara ABFE:

(r + dr ).dθ.1 = (r + dr ).dθ

Cara DBFH:

dr. 1 = dr

σr ⋅ d θ ⋅ r − (σ r + dσ r ) ⋅ ( r + dr ) ⋅ dθ − σ θ ⋅ dr ⋅ dθ = 0

D

z

σr dσr dr dr

σθ

C

B

dθ

D

1

E

simplificando dθ, operando algebraicamente y simpleficando el primer sumando resulta:

σr

− σ r ⋅ dr − dσ r ⋅ r − d σ r ⋅ dr − σ θ ⋅ dr = 0 Despreciando el infinitésimo de orden superior, dividiendo por dr y ordenando se obtiene:

σθ + σ r = −

dσ r dr

dθ


H

r

σθ

dr

σz

fig.3 θ

La [1] es la “Ecuación diferencial de equilibrio” entre fuerzas interiores en cada punto de radio r.

Las deformaciones que se producen son simétricas con respecto al eje del tubo y varía n a lo largo del radio. Consisten en un corrimiento radial de todos los puntos del espesor de la pared del tubo, siendo constante para todos los puntos de una misma circunferencia, pero variables con el radio r.

F

G θ

r.d

⋅ r [1]

Compatibilidad de las deformaciones

B

fig.2

A

Proyectando sobre la dirección radial, fig 4, resulta:

A

C

pi

A

C

O

dθ

σr r

r.dθ dr D

B

σθ fig.4

σr ddσr r dr σθ.d θ.dr

σθ.dr dθ

σθ.dr

2

ESTABILIDAD I I


Como muestra la fig.5, el punto D que pertenece a la superficie genérica de radio “r”, experimenta un corrimiento “u”, mientras que el punto B con radio “r+dr” lo hace en la cantidad “u+du”. El segmento DB de longitud “dr” experimentará entonces una variación de longitud “du”, por lo que la deformación unitaria resulta:

εr =

du dr

[2]

Además la deformación unitaria de la circunferencia de radio “r” se puede obtener, fig.6, haciendo:

2 π( r + u ) − 2π ⋅ r 2 π ⋅ r + 2 π ⋅ u − 2 πr 2π ⋅ u εθ = = = 2π ⋅ r 2π ⋅ r 2π ⋅ r

u εθ = r

Resultando:

dr

r

[3]

O

B

D

r

O

dr B

D

u+du

u

O

B´

D´

fig.5

Para que sean compatibles las deformaciones ε r y εθ se debe establecer una vinculación entre las expresiones [2] y [3]. Despejando u de la expresión [3] resulta:

u = r ⋅εθ

u r

derivando luego dicho producto con respecto a r se obtiene:

dε du = r ⋅ θ + εθ dr dr

D

du = εr dr dε ε r = r ⋅ θ + ε θ [4] dr

D´

pero por la [2]:

igualando ambas queda:

fig.6

La [4] es la “Ecuación de compatibilidad de deformaciones”. Es necesario expresar la [4] en función de las tensiones, pero se debe tener en cuenta que en el presente análisis σr es de compresión cuando su signo es positivo: La Ley de Hooke generalizada para este estado plano se expresa del siguiente modo:

σ σ ε r = − r − µ ⋅ θ [5] E E

εθ =

σθ σ +µ⋅ r E E

[6]

Reemplazando [5] y [6] en expresión [4] se obtiene :

σ  d σ σ  σ σ   σr − −µ⋅ θ  = r⋅  θ +µ⋅ r  + θ +µ⋅ r  E dr  E E E E  E multiplicando miembro a miembro por E y operando al factor entre paréntesis resulta:

(− σr − µ ⋅ σθ ) =  r ⋅ dσθ + µ ⋅ r ⋅ dσr  + (σθ + µ ⋅ σr ) 

dr

Teniendo en cuenta por la [1] que:

dr 

dσ r ⋅ r = −(σ θ + σ r ) = −σ θ − σ r dr

la expresión anterior queda así: TUBOS_GRUESOS.doc - 19/06/2009 19:35:00

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ESTABILIDAD I I


dσθ − µ ⋅ σθ − µ ⋅ σr + σθ + µ ⋅ σ r dr

− σ r − µ ⋅ σθ = r ⋅

simplificando los sumandos: “ µ ⋅ σ θ ” y “ µ ⋅ σr ” queda:

− σr = r ⋅

dσθ + σθ dr

ó

− (σ θ + σr ) = r ⋅

dσθ dr

y teniendo nuevamente en cuenta la [1]:

r⋅

dσ dσr = r⋅ θ dr dr

dσ θ dσ r − =0 dr dr

ó

d (σ − σ r ) = 0 dr θ lo que implica que: σ θ − σ r = cte = 2 A Debe ser por lo tanto:

[7]

Se cuenta entonces con dos ecuaciones en

σθ

y

σr :

la de equilibrio [1] y la de

compatibilidad de las deformaciones en función de las tensiones [7]:

dσ r ⋅r dr σθ − σ r = cte = 2A σθ + σr = −

[1] [7]

que conforman un sistema que permite hallar las respectivas funciones. Despejando σθ de la [7] y sustituyendo en la [1] se obtiene:

(σ r + 2 A ) + σ r = −

dσ r ⋅r dr

→

2 ⋅ (σ r + A ) = −

dσ r ⋅r dr

separando variables para poder integrar se obtiene:

2⋅

dσ r d( σ r + A ) dr =− =− r (σ r + A ) (σ r + A )

ya que la derivada de una función (σr) es igual a la

derivada de esa misma función a la que se le sume una constante A (σr+A). Integrando queda así: de donde se obtiene:

2 ⋅ ln( r ) = − ln( σr + A) + C

r2 ⋅ (σr + A) = eC = B σr =

De la [7] es:

→

ln[r 2 ⋅ (σr + A)] = C

que permite despejar

σr :

B − A [8] r2

σθ = 2 A + σr

y por la [8]:

Simplificando:

σθ =

B  σθ = 2 A +  2 − A  r 

B + A [9] 2 r

Las [8] y [9] se conocen con el nombre de “Ecuaciones de Lamé”. Las constantes A y B se determina n en cada caso por medio de las condiciones de contorno.


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ESTABILIDAD I I


Ecuaciones de contorno. Ejemplos. a) Tubo sometido solamente a presión interior “pi” Fuerzas externas: pi ≠ 0 pe = 0 Condiciones de contorno: para r=a es:

σr = pi

para r=b ; es:

σr = 0

pi

B − A = pi [10] 2 a

+

σr

b

B − A = 0 [11] 2 b

Con r=b:

σθ

compresión

En consecuencia, efectuando las correspondientes sustituciones en la expresión [8] se obtiene: Con r=a:

+

tracción

a

fig.7-a

con la [10] y la [11] se obtienen las dos constantes A y B: Restando [10] y [11]:

B B − = pi a2 b2

quedando: sustituyendo [12] en [11] resulta:

ó

b2 − a2 1 1 B ⋅  2 − 2  = B ⋅ 2 2 = pi a ⋅b a b 

a 2 ⋅ b2 B = pi ⋅ 2 b − a2 a2 A = pi ⋅ 2 b − a2

[12] [13]

Reemplazando [12] y [13] en la [9] se obtiene :

pi a 2 ⋅ b2 a2 σθ = 2 ⋅ 2 + pi ⋅ 2 r b − a2 b − a2

ó

procediendo de igual modo con la [8] resulta:

a 2  b 2  [14] σθ = pi ⋅ 2 2  2 + 1 b −a  r  a 2  b2  σr = p i ⋅ 2 2  2 − 1 b −a  r 

[15]

Por ser r = b, σθ y σr resultan positivas, que implica: σθ de tracción y σr de compresión. En las expresiones [14] y [15] el radio “r” opera en el denominador, por lo tanto las tensiones σθ y σr serán máximas para el menor valor de r (r = a) y mínimas para el mayor valor (r = b). para r=a:

para r=b:

a 2  b2  σθ = pi ⋅ 2 2  2 + 1 a b −a a  a2  b2  σr = pi ⋅ 2 2  2 − 1 a b −a a  2 2 a b  σθ = pi ⋅ 2 2  2 + 1 b b −a b  2 2 a b  σr = pi ⋅ 2 2  2 − 1 b b −a b 

→

σθ

a

→

b2 + a2 = pi ⋅ 2 = σθ máx b − a2

σr = pi = σ r a

→ →

σθ

b

[16]

[17]

máx

2⋅a2 = pi ⋅ 2 b − a2

σr = 0

[18] [19]

b

En la fig. 7-a se muestra la variación de ambas tensiones. A la σr se la representa hacia “abajo” para mostrar gráficamente su carácter de “compresión” ya q ue su signo es contrario al habitual.


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ESTABILIDAD I I


b) Tubo sometido solamente a presión exterior “pe ” Fuerzas externas: pi

=0

e

pe ≠ 0

Condiciones de contorno: para r=a es: para r=b ; es:

σr = 0

a

σr = p e

σr +

compresión

En consecuencia, efectuando las correspondientes sustituciones en la expresión [8], se obtiene: Con r=a:

B −A=0 a2

Con r=b:

b

B − A = pe b2

fig.7-b

De estas ecuaciones se obtiene A y B:

a 2 ⋅ b2 [20] B = −pe ⋅ 2 b − a2

σθ -

compresión

b2 [21] A = − pe ⋅ 2 2 b −a

Sustituyendo las [20] y [21] en las [8] y [9] se obtiene:

b 2  a 2  [22] σθ = −p e ⋅ 2 2  2 + 1 b −a  r 

b2  a 2  [23] σr = − pe ⋅ 2 2  2 − 1 b −a r 

Por ser r = a resulta σ θ < 0 (compresión) y σ r > 0 (compresión). La tensión σθ será máxima para r=a, mientras que σr será máxima para r = b. para r=a:

b2  a2  σθ = −p e ⋅ 2 2  2 + 1 a b −a a  2 2 b a  σr = − pe ⋅ 2 2  2 − 1 a b −a a 

→

σθ

a

→

2 ⋅ b2 = −p e ⋅ 2 = σθ máx b − a2

σr = 0

[24] [25]

a

para r=b:

b2  a 2  σθ = − pe ⋅ 2 2  2 + 1 b b −a b  2 2 b a  σr = −pe ⋅ 2 2  2 − 1 b b −a b 

→

σθ

b

→

b2 + a2 = − pe ⋅ 2 = σθ míx b − a2

σr = p e = σr b

[26] [27]

máx

En la fig. 7-b se muestra la variación de ambas tensiones

Tubos de pared “muy gruesa” y prismas con agujeros, con presión interior Tubo con radio externo “b” mucho mayor que “a”: Las tensiones circunferenciales σθ y σr que ocurren en el tubo están dadas por las expresiones [14] y [15], las que se pueden escribir condensadas del siguiente modo:

a2  b2  a2 b2 a2 σθ,r = pi ⋅ 2 2 ⋅  2 ±1 = pi ⋅ 2 2 ⋅ 2 ± pi ⋅ 2 2 b −a  r b −a r b −a  Cuando b>>1 se puede admitir sin gran error que b2 – a2 ≈ b2 y que a2 /b2 ≈ 0 .


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ESTABILIDAD I I


y en esas condiciones las expresiones de las tensiones quedan así:

a2 σθ ≅ p i ⋅ 2 [14´] r

a2 σr ≅ pi ⋅ 2 r

TRACCIÓN

siendo σθ de tracción y σr de compresión Significa entonces que en todo el espesor de un tubo de pared muy gruesa, las tensiones circunferenciales y radiales, son para cada radio, de igual valor absoluto y de carácter contrario (tracción y compresión) como muestra la gráfica de la fig.8-a.

25% pi p

2,9% pi a

2a 3a

4a

5a

6a

σr

Del análisis de las expresiones [14´] y [15´] surge que ambas tensiones son máximas en la superficie interior, donde el radio mínimo es r=a:

σθmáx ≅ σ rmáx ≅ p i

σθ

pi

[15´]

COMPRESIÓN

pi

fig.8-a

También se puede comprobar haciendo algunos cálculos que dichas tensiones decrecen rápidamente al aumentar el radio r. Por ejemplo para: r= 6.a es:

σθ=σr = 0,028 p i ≈ 3% p I ~1,06 pi

Ello implica que a una distancia “6.a” del centro del tubo, las tensiones valen aproximadamente 3% de las máximas que se dan en la pared interna. Por otra parte, si el radio externo fuese por ejemplo b=6.a, el estado tensional calculado con las expresiones exactas [14] y [15], sería el que muestra la fig.8-b, destacando lo siguiente :

σθ TRACCIÓN p

~6% pi a

- Los valores máximos de σθ y σr son casi iguales. - Ambas tensiones decrecen muy rápidamente asemejándose mucho a los resultados obtenidos con las expresiones aproximadas [14´] y [15´].

2a

3a

σr

4a

5a

6a

COMPRESIÓN

pi

fig.8-b

Esto permite enunciar la siguiente conclusión: Si todos los puntos del contorno exterior de un componente como el que muestra la fig.8-c, están alejados una distancia considerable (por ejemplo más de 6.a) del centro del orificio de radio “a”, cualquiera sea la configuración del contorno exterior, no tendría influencia de importancia en el estado tensional en las cercanías del orificio.

>6a

>6a

fig.8-c

El cálculo de la resistencia de componentes de este tipo, puede resolverse entonces como si se tratase de un tubo de pared muy gruesa, utilizando con buena aproximación las expresiones aproximadas [14´] y [15´] para el cálculo de las máximas tensiones radiales y circunferenciales en el borde interno, y su eventual empleo en la correspondiente hipótesis de rotura, las que se tratan más adelante. En consecuencia la presión “pi” que se pueda aplicar a un componente de gran espesor ya sea tubular o de otra forma externa, estará limitada por la resistencia del material σadm y no por el radio externo o el contorno exterior, teniendo en cuenta lógicamente la hipótesis de rotura correspondiente al material de que se trate. TUBOS_GRUESOS.doc - 19/06/2009 19:35:00

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ESTABILIDAD I I


Teoría para tubos de pared gruesa vs. teoría para tubos de pared delgada. Comparación de los resultados. Se analizará el caso de tubos sometidos sólo a presión interior. Por medio de la teoría para cilindros de pared delgada se supone despreciable a σr y se considera que σθ se distribuye uniformemente en el espesor de la pared. Con esas hipótesis y siendo “e=b-a” el espesor de pared, se obtiene lo siguiente para la tensión circunferencial:

σθ =

pi ⋅ a a = pi ⋅ e b −a

σθ =

pi η −1

η=

siendo:

b a

Con la teoría para tubos de pared gruesa se obtuvo, fórmula [16]:

σθ

máx

b2 + a2 η2 + 1 = pi ⋅ 2 2 = p i ⋅ 2 b −a η −1

con

η=

b a

σθ

Relacionando ambas expresiones se obtiene:

σθ

máx

σθ

η2 + 1 pi ⋅ 2 2 2 η − 1 ( η + 1) ⋅ (η − 1) (η + 1) ⋅ (η − 1) = = = 2 1 η − 1 (η + 1) ⋅ ( η − 1) pi ⋅ η −1

σθ

Finalmente:

máx

σθ

pi

fig.9

σθ

(η 2 + 1) = (η + 1)

pi

La siguiente tabla brinda algunos resultados: b η= a

σθ

máx

σθ

1

1,1

1,2

b

a

1,3

1,4

1,8

2

a

máx

b

2,5

fig.10 1

1,05 1,109 1,17 1,23 1,51 1,67 2,07

Se aprecia que cuando

η=

b ≥ 1,2 el error es superior al 10%. a

Las especificaciones de la A.S.M.E (American Society of Mechanical Engeneers) establecen que se debe calcular en base a la teoría de tubos de pared gruesa cuando: • si en tuberías de acero es: • si en tubos de calderas es:

b ≥ 1,2 (que corresponde a un error mayor al 10%) a b η = ≥ 1,1 (que corresponde a un error mayor al 5%) a

η=


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ESTABILIDAD I I


Determinación del corrimiento radial “u” Más adelante se analizará el comportamiento de los tubos dobles que se construyen por medio de dos tubos simples como los analizados hasta el momento, de tal modo que el exterior (camisa) zuncha al interior por medio de una pequeñísima interferencia entre los radios del tubo y la camisa. En ese estudio será necesario conocer el corrimiento radial de los puntos de la superficie exterior del tubo como así también el corrimiento radial de los puntos de la superficie interior de la camisa. Por tal motivo será necesario evaluar dichos corrimientos. A tal efecto se considerará nuevamente la expresión [6] de la deformación perimetral, como también la expresión [1] de la Ley de Hooke.

εθ =

u r

[6]

εθ =

σθ σ +µ⋅ r E E

[1]

Igualando ambas expresiones resulta:

u σθ σ = +µ⋅ r r E E

de donde se obtiene :

u=

r (σ θ + µ ⋅ σr ) [28] E

a) Corrimientos provocados por la acción de presión interior “pi” solamente : Las expresiones [14] y [15] se pueden expresar del siguiente modo:

a2  b2  pi ⋅ a 2 σθ = pi ⋅ 2 2  2 + 1 = 2 2 2 (b 2 + r 2 ) b −a r  r (b − a )

[14]

a 2  b2  pi ⋅ a 2 σr = p i ⋅ 2 2  2 − 1 = 2 2 2 (b2 − r 2 ) b −a  r  r (b − a )

[15]

Reemplazándolas en la [28] se obtiene:

pi ⋅ a 2 r  pi ⋅ a 2  2 2 u=  2 2 (b + r ) + µ ⋅ 2 2 ( b2 − r 2 )  2 2 E  r (b − a ) r (b − a )  o también:

pi ⋅ a 2  b 2 + r 2 b2 − r 2  u= +µ⋅ 2   [29] E ⋅ r  b2 − a2 b − a2 

En el radio interior r = a resulta:

pi ⋅ a  b 2 + a 2  ua = + µ  2  [30] E  b − a2  b) Corrimientos provocados por la acción de presión exterior “pe” solamente: Se utilizan las expresiones [22] y [23] que se pueden expresar del siguiente modo:

b2  a2  pe ⋅ b 2 σθ = −p e ⋅ 2 2  2 + 1 = − 2 2 2 ⋅ (a 2 + r 2 ) b −a  r r (b − a )  TUBOS_GRUESOS.doc - 19/06/2009 19:35:00

[22]

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ESTABILIDAD I I


b2  a 2  pe ⋅ b 2 σr = − pe ⋅ 2 2  2 − 1 = − 2 2 2 ⋅ (a 2 − r 2 ) b −a  r r (b − a ) 

[23]

Reemplazando [22] y [23] en la [28] se obtiene:

u=

r pe ⋅ b 2 pe ⋅ b2  2 2 − ⋅ ( a + r ) − µ ⋅ ⋅ (a 2 − r 2 )   2 2 2 2 2 2 E  r (b − a ) r (b − a ) 

pe ⋅ b 2  a 2 + r 2 a2 − r2  u=− +µ⋅ 2 E ⋅ r  b 2 − a 2 b − a 2 

y operando queda:

pe ⋅ b 2  r 2 + a 2 r 2 − a 2  [31] u=− −µ⋅ 2 E ⋅ r  b2 − a 2 b − a 2 

→

En el radio exterior r = b resulta:

ub = −

pe ⋅ b  b 2 + a 2  [32] − µ  E  b 2 − a 2 

σθ

máx

Aplicación de Hipótesis de falla al cálculo de tubos Dimensionado de tubos con presión interior “pi”

σrmáx

Los puntos mas exigidos de los tubos solicitados por presión a interior, son los de la cara interna donde el estado tensional es más severo, no solamente por ser máximos los valores de las fig.11 tensiones radial y circunferencial, sino también porque σ1 y σ3 ( tensiones principales extremas) son de carácter contrario (tracción y compresión) siendo la tensión longitudinal σ2 nula, o inclusive, cuando se trata de tubos con tapas (recipientes) la tensión longitudinal (de tracción) resulta de menor valor que la tensión circunferencial máxima ya estudiada. Por tratarse de un estado múltiple de tensiones y a fin de poder comparar el riesgo de falla con un estado monoaxial, es necesario utilizar algunas de las Hipótesis de falla debiéndose utilizar en cada caso, la más adecuada para el material que compone el tubo. Se deducirán las fórmulas que se obtienen con algunas de las Hipótesis más usuales: Hipótesis de Rankine (de la máxima tensión principal) En este caso la tensión de comparación es: siendo:

σc = σ1

σc : tensión de comparación de un estado monoaxial. σ1 : tensión principal máxima para el estado tensional del tubo en estudio.

Para el caso de presión interior, en valor absoluto siempre resulta La máxima te nsión principal es:

σ1 = σθ máx

La condición de resistencia será:

σc = σθ

máx

≤ σ adm

σθmáx > σ rmáx

σ1

σ

y considerando el signo “=” la condición queda así:

η2 + 1 pi ⋅ 2 = σadm η −1

→

σadm η2 + 1 = 2 pi η −1

siendo:

η=

b a

σrmáx σθ

máx

fig.12 TUBOS_GRUESOS.doc - 19/06/2009 19:35:00

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ESTABILIDAD I I


σ Haciendo: ϕ = adm pi

la expresión queda así:

η2 + 1 ϕ= 2 η −1

De esa expresión será necesario conocer el valor de “η” ya que es la relación entre a y b. Como el radio “a” es generalmente un dato de diseño previo al cálculo del espesor, con el valor de η será posible calcular b. Se debe entonces despejar “η”:

ϕ(η2 − 1) = η2 + 1

→

ϕ ⋅ η2 − ϕ − η2 − 1 = 0 η=

de donde:

→

η2 (ϕ − 1) = ϕ + 1

ϕ + 1 [33] ϕ −1

La expresión [33] tiene solución real solamente para ϕ > 1 lo que implica que la tensión admisible debe cumplir la condición: σadm > pi Hipótesis de Guest (de la máxima tensión de corte) En este caso la tensión de comparación es: τC

τc = τmáx

≤ τadm

debiendo ser

es la tensión de corte de comparación con un estado monoaxial, que ocurre a 45°, en un ensayo de tracción, cuando la tensión normal: σt = 2 τmáx (fig.13). tensión de corte máxima para el tubo en estudio que corresponde al radio de la circunferencia de Mohr . Por lo tanto , si en lugar de comparar tensiones de corte, se comparan las tensiones normales, se deberá utilizar el diámetro de tal circunferencia:

τmáx

σc = σ1 − σ3

La condición entonces se puede expresar de la siguiente forma: pero:

σ1 = σθ

σc = σ1 − σ3 ≤ σadm

σ3 = −σ r

máx

máx

Se ha colocado el signo “-“ debido a que en el estudio de los tubos se consideró a la tensión radial de compresión con signo “+”, en cambio para el análisis tensional a las tensiones de compresión le corresponde signo “-“. Usando el signo “=” se plantea así:

σadm = σθ Siendo:

máx

+ σr

P

máx

η2 + 1 = pi ⋅ 2 η −1

σθmáx

τ

σr máx = pi

entonces:

η2 + 1 (η2 + 1) + (η2 − 1) ϕ = 2 +1= η −1 η2 − 1

ϕ ⋅ η − ϕ − 2η = 0 2

→

η (ϕ − 2) = ϕ 2


τmáx = σ2t

σt=σ c=σ1−σ3 τ

compresión

tracción

σ

σ3=-σrmáx

τ máx =σ1−σ 3 2

σ1=σθ máx

σθ

σr

ϕ(η2 − 1) = (η2 + 1) + (η2 − 1) = 2η2 2

tracción

σ

Reemplazando:

η2 + 1  η2 + 1  σadm = pi ⋅ 2 + p = p ⋅ + 1 η − 1 i i  η2 − 1 

P

t

pi fig.13 11

ESTABILIDAD I I


η=

finalmente resulta :

ϕ [34] ϕ− 2

La expresión [34] tiene solución real solamente para ϕ > 2 lo que implica que la tensión admisible debe cumplir la condición: σadm > 2⋅ pi Hipótesis de Huber-Hencky-Von Mises (de la máxima energía de distorsión) Para un estado de tensiones principales (no existen tensiones de corte), la expresión de la tensión de comparación es:

σ2 = c

Por ser

[

1 (σ1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ1 )2 2

]

σ2 = 0 la anterior se simplifica del siguiente modo:

] [ ]

[ [

1 2 1 2 2 2 2 2 2 σ1 + σ3 + (σ3 − σ1 ) = σ1 + σ3 + σ1 + σ3 − 2 ⋅ σ1 ⋅ σ3 2 2 1 2 2 2 2 σ2C = 2σ1 + 2σ3 − 2 ⋅ σ1 ⋅ σ3 = σ1 + σ3 − σ1 ⋅ σ3 2 σ2C =

σ c = σ1 + σ3 − ⋅σ1 ⋅ σ3 ≤ σ2adm 2

Entonces la condición de resistencia será: y siendo:

σ1 = σθ

σ3 = −σr

máx

la anterior queda así:

]

2

2

máx

σ2c = σ2

θmáx

+ ( −σ r

máx

)2 − σθ

máx

⋅ (−σr

máx

) ≤ σ2

adm

Reemplazando las tensiones por sus expresiones y utilizando el signo “=” resulta: 2

o también:

2 η2 + 1   η + 1 2   pi ⋅ 2  + ( −pi ) −  pi ⋅ 2  ⋅ (− pi ) = σ2 adm  η − 1  η −1  2 2 2  η + 1  η + 1   σadm  2 2  2  +1 +  2  =   =ϕ p  η − 1  η − 1  i 

desarrollando el primer miembro, simplificando y agrupando se obtiene: Operando para explicitar ϕ resulta:

ϕ2η4 − 2ϕ2η2 + ϕ2 − 3η4 − 1 = 0

→ (ϕ2 − 3) ⋅ η4 − 2ϕ2 ⋅ η2 Queda una ecuación de segundo grado en η2 cuya solución es:

2ϕ2 ± 4ϕ4 −4(ϕ2 −3)⋅(ϕ2 −1) ϕ2 ± 4ϕ2 −3 η = = 2(ϕ2 − 3) ϕ2 − 3 2

→

3η4 + 1 ϕ = 2 (η − 1)2 2

+ (ϕ2 − 1) = 0

ϕ2 ± 4ϕ2 −3 η= ϕ2 − 3

Para que esa expresión tenga solución real, en el denominador debe ser ϕ2 > 3, y para que resulte η>1 debe utilizarse el signo “+” de del numerador del radical.


12

ESTABILIDAD I I


Con esa consideración resulta:

ϕ2 + 4ϕ2 −3 [35] η= ϕ2 − 3

ϕ> 3

siendo válida si:

σadm > 3⋅ pi

ó

rmáx

Hipòtesis de Saint-Venant (de la máxima deformación principal) La tensión de comparación es, fig.14: Siendo:

σ1 = σθ

máx

σ2 = 0

σθ

σc = σ1 − µ⋅ σ2 −µ⋅ σ3

σ3 = −σr

σ2 =0

máx

La condición de resistencia será: σc = σθ

máx

σθ

máx

−µ ⋅ (−σr

) ≤ σadm

máx

σrmáx

fig.14

máx

Reemplazando las tensiones por sus expresiones y utilizando el signo “=” resulta:

η2 + 1 σadm = pi ⋅ 2 − µ ⋅ (− pi ) η −1 σadm η2 + 1 + η2 ⋅ µ − µ =ϕ= pi η2 − 1

ϕ ⋅ η2 − ϕ − η2 − µ ⋅ η2 = ϕ + 1 − µ η=

finalmente resulta:

→

η2 + 1 + η2 ⋅ µ − µ σadm = pi ⋅ η2 − 1

→

ϕ ⋅ (η2 − 1) = η2 + 1 + η2 ⋅ µ − µ

→

η2 (ϕ − 1 − µ) = ϕ + 1 − µ

ϕ + (1 − µ) ϕ − (1 + µ)

[36]

La expresión [36] tiene solución real solamente para

ϕ > (1+ µ) .

La tensión admisible debe cumplir entonces la condición:

σadm > (1 + µ) ⋅ pi

Nota: Las ecuaciones de Birnie para tubos abiertos coincide con esta teoría. (Ver WallanceDoughtie, “Elementos de Máquinas”) Criterio de Clavarino (para c ilindros de pared gruesa con fondos) Cuando el tubo posee fondos (recipiente), surgen tensiones de tracción “σa“ en sentido longitudinal, fig.14-a, y entonces se presenta estado en el cual las tres tensiones principales poseen valores no nulos.

b

σθ

máx

σrmáx

σa σr máx

σa=σ2

a

σ3

σ1 σ

σ2

σr máx σθ

máx

fig.15-a TUBOS_GRUESOS.doc - 19/06/2009 19:35:00

fig.15-b 13

ESTABILIDAD I I


Si a la tensión longitudinal “σa“ se la considera uniformemente distribuida en toda la sección transversal normal al eje del tubo, se la puede calcular haciendo el cociente entre la fuerza y el área:

σa =

pi ⋅ ( π ⋅ a 2 ) a2 = p ⋅ i π ⋅ b2 − π ⋅ a 2 b2 − a 2

siendo: η = b

queda:

a

σa =

pi η2 − 1

Utilizando la hipótesis de Saint-Venant (de la máxima deformación) resulta:

σc = σ1 − µ ⋅ σ 2 − µ ⋅ σ3

Siendo:

σ1 = σθ

máx

σ2 = σa

La condición de resistencia es:

σ c = σθ

máx

(

− µ ⋅ σa − µ ⋅ − σ r

máx

σ3 = −σr

máx

)≤ σ

adm

Reemplazando las tensiones por sus expresiones y utilizando el signo “=” resulta:

p η2 + 1 σadm = pi ⋅ 2 − µ ⋅ 2 i − µ ⋅ (− pi ) η −1 η −1 2 σadm η +1 µ η2 + 1 − µ + µ ⋅ η2 − µ) η2 (1 + µ) + (1 − 2µ) =ϕ= 2 − +µ = = pi η − 1 η2 − 1 η2 − 1 η2 − 1

ϕ ⋅ (η2 − 1) − η2 (1 + µ) = (1 − 2µ)

→

ϕ ⋅ η2 − ϕ − η2 (1 + µ) = (1 − 2µ)

η2 [ϕ − (1 + µ)] = ϕ + (1 − 2µ)

→

η2 =

finalmente resulta:

η=

ϕ + (1 − 2µ) ϕ − (1 + µ)

ϕ + (1 − 2µ) ϕ − (1 + µ)

[37]

La expresión [37] tiene solución real solamente para

ϕ > (1 + µ ) .

La tensión admisible debe cumplir entonces la condición:

σadm > (1 + µ) ⋅ pi

El espesor de pared que se obtiene es levemente menor que si no se tienen en cuenta los fondos. Por lo tanto utilizando el criterio de Birnie (Saint-Venant sin fondos) el tubo queda sobredimensionado. Aplicabilidad de las distintas hipótesis de falla: Si la presión en un cilindro de pared gruesa se aplica estáticamente (ya que una carga repetida puede conducir a rotura por fatiga) pueden establecerse las siguientes conclusiones: Para material frágil (con rotura por fractura frágil: acero de alto carbono , hierro fundido, aluminio fundido, etc.): en este caso las deformaciones son esencialmente elásticas hasta la fractura, por lo que la hipótesis de falla más adecuada es la de Rankine (máxima tensión principal). Para material dúctil (en el caso en que se deba considerar la falla funcional por el inicio de las deformaciones plásticas en los puntos de mayor tensión: acero de bajo contenido de carbono, latón, bronce, aleación de aluminio, etc.): la hipótesis más conveniente es la de Guest (máxima tensión tangencial) o la de la máxima energía de distorsión (Huber). TUBOS_GRUESOS.doc - 19/06/2009 19:35:00

14

ESTABILIDAD I I


Para material dúctil (falla por fluencia generalizada o plastificación generalizada de una gran parte de la pared del tubo): en este caso no pueden aplicarse ninguna de las teorías de la falla, pues ellas predicen el comienzo de las deformaciones plásticas. La deformación anelástica generalizada va acompañada de una redistribución de las tensiones, cosa que aumenta la capacidad del tubo para resistir presión, la que será considerablemente mayor que la presión con la que se inicia la deformación anelástica. En ese caso es necesario efectuar un análisis de las tensiones considerando el proceso de las deformaciones anelásticas en toda la pared del tubo, cuestión que se analiza al final del presente tema. Comparación de resultados con diferentes Hipótesis de falla. Los resultados que se obtienen por la aplicación de las distintas hipótesis de falla, pueden graficarse con fines comparativos representando la relación η=b/a en función de ϕ=σadm/p i .

η=b/a

Máx. energ. de distorsión

Guest

Saint Venant

Rankine

6

5

4

3

2 2 1,73

8

1

1,3

1

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

10

5

3,33

2,5

2

1,66

1,43

1,25

1,1

1

pi/σadm σadm/pi

fig.16 Para cada una de las hipótesis de falla , estas curvas permiten por un lado visualizar el valor de la presión interior que soportará en condiciones de seguridad un tubo de pared gruesa de material y dimensiones conocidas, como así también visualizar los valores de las dimensiones necesarias para que no sea sobrepasada la tensión admisible, cuando se conoce la presión interior. Del análisis de las mismas se obtienen las conclusiones siguientes: a) Al dimensionar un tubo sometido a presión interior teniendo a ϕ=σadm/pi como dato, con la teoría de Guest (máxima tensión de corte) se obtienen los mayores espesores de pared del tubo, mientras que con la de hipótesis de Rankine se obtienen los menores espesores. b) Al verificar un tubo de dimensiones conocidas (dato η=b/a), la presión “pi“ que se puede aplicar, será máxima para los tubos cuyo material determinó su cálculo por medio de la hipótesis de Rankine, mientras que resultará mínima si el material determinó su cálculo por medio de la hipótesis Guest (máxima tensión de corte). Observación conceptual: La elección de una determinada hipótesis de falla, no se efectúa en función del mayor o menor rendimiento (economía de material) que se logra con cada una de TUBOS_GRUESOS.doc - 19/06/2009 19:35:00

15

ESTABILIDAD I I


ellas, sino en función del material a emplear en la construcción del tubo, de acuerdo al uso para el que se destinará. Tensiones de trabajo en tubos de pared gruesa. Comentarios extraídos de A. Wallace, “Cálculo de Elementos de Máquinas” Para acero dúctil: En los tubos de pared gruesa simples sometidos a presión interior, como así también en los tubos compuestos que luego se analizarán, la máxima tensión circunferencial se presenta en la superficie interna del tubo. En consecuencia las sobretensiones momentáneas no son tan serias como en otros elementos de máquinas, puesto que el material en la superficie interna puede fluir ligeramente y reajustar la distribución de tensiones sin que se produzca la falla. Por lo tanto es posible adoptar tensiones de trabajo relativamente altas, y si no existen cargas de impacto, se considera satisfactorio adoptar un 85% de la tensión de fluencia. Para hierro fundido: Los tubos de pared gruesa de hierro fundido o de acero colado, están propensos a tener defectos de fundición y a ser menos seguros que los tubos de pared delgada. Es por eso que para los cilindros fundidos es conveniente adoptar tensiones admisibles lo mas altas posibles, a fin de obtener mejores piezas fundidas por resultar menos gruesa su pared, no siendo conveniente diseñarlos con espesor mayor al estrictamente necesario.


16

ESTABILIDAD I I


TUBOS ZUNCHADOS O ENCAMISADOS Tensiones producidas por zunchado En los tubos gruesos (simples) sometidos a presión interior, se producen tensiones en dirección tangente σθ y en dirección radial σr, que adquieren valores máximos en la cara interior del tubo y luego decrecer de forma más o menos rápida en función del mayor o menor espesor de la pared del mismo. En las fórmulas de dimensionado se observa que cuando la presión es muy elevada el espesor resulta muy grande y en ese caso el decrecimiento de las tensiones es muy acentuado. Ello conduce a un mal aprovechamiento del material, ya que los puntos de la cara interior son los únicos en los que la tensión de comparación (ver teorías de rotura) coincide con la tensión admisible prefijada. Con el objeto de mejorar esta situación y conseguir una distribución de tensiones más uniforme, se recurre al zunchado o encamisado, que consiste en construir el tubo en dos o más partes.

a c

En el caso de dos partes (tubo doble) se trata de un tubo interior y de otro exterior llamado camisa, de manera que el radio interior de la camisa sea levemente inferior al radio exterior del tubo interior. El montaje se puede realizar por calentamiento de la camisa o por enfriamiento del tubo interior, o también por “clavado” de ambos por medio de una prensa. Suponiendo que el radio exterior del tubo excede al radio interior de la camisa en una cantidad δ denominada “apretaje”, entonces después del montaje se produce una presión “pz ” entre ambos.

b

δ

δ

fig. 17

El valor de “pz ” se obtiene haciendo uso de una condición de compatibilidad de las deformaciones siguiente: “el incremento del radio interno de la camisa más la disminución del radio exterior del tubo, debe ser igual al “apretaje” δ. Utilizando las ecuaciones [30] y [32] de los corrimientos radiales, y suponiendo que ambos componentes son del mismo material, adecuando los radios de ambos y considerando valores absolutos de los corrimientos, se plantea lo siguiente:

c  b2 + c 2  c  c2 + a 2  p z ⋅  2 2 + µ  + pz ⋅  2 − µ =δ E b −c E c − a2  

[38]

en la que el primer sumando corresponde al corrimiento (dilatación) de la camisa producida por pz y el segundo a la contracción del tubo ocasionada por esa misma presión. Operando algebraicamente se obtiene:

c  b2 + c2 c2 + a 2  pz ⋅  2 +µ+ 2 − µ = δ 2 2 E b − c c −a  2 2 2 2 2 c ( b + c ) ⋅ (c + a ) + (c + a 2 ) ⋅ ( b 2 − c 2 ) pz ⋅ ⋅ =δ E (b 2 − c 2 ) ⋅ (c 2 − a 2 ) TUBOS_GRUESOS.doc - 19/06/2009 19:35:00

17

ESTABILIDAD I I


c c 4 − c 2 ⋅ a 2 + b 2 ⋅ c 2 − b 2 ⋅ a 2 + b 2 ⋅ a 2 − a 2 ⋅ c2 + c 2 ⋅ b 2 − c 4 pz ⋅ ⋅ =δ E ( b 2 − c 2 ) ⋅ ( c2 − a 2 ) simplificando:

finalmente:

c − 2 ⋅ a 2 ⋅ c2 + 2 ⋅ c2 ⋅ b2 pz ⋅ ⋅ =δ E ( b 2 − c 2 ) ⋅ (c 2 − a 2 )

E ⋅ δ ( b 2 − c 2 ) ⋅ (c 2 − a 2 ) pz = ⋅ 2 ⋅ c3 b2 − a2

[39]

La presión “pz ” origina tensiones σθ de tracción en la camisa y de compresión en el tubo. Además, en ambos componentes se originan tensiones radiales σr de compresión. Ambas tensiones se pueden calcular por medio de las ecuaciones para tubos simples con presión interior o exterior según corresponda. En el siguiente cuadro se representan los estados tensionales parciales, originados por la presión de zunchado y por la presión interior pi, que sumados algebraicamente permiten evaluar el estado final de tensiones radiales y circunferenciales debidos a la acción da ambas. Las tensiones de compresión se han dibujado hacia abajo independientemente del signo asignado por convención:

Camisa con sólo presión interior " pz"

σθ'

c

pz

c

Tubo con sólo presión exterior " pz"

a σr'

pz

a

σr''

pi

σθ''

b

2 c2 b  ' σr = pz ⋅ 2 ⋅  2 − 1 2 b −c r  2 2 c b  σ'θ = p z ⋅ 2 2 ⋅  2 + 1 b −c  r 

Ambos componente con sólo presión interior " pi"


2

σr''' b

c a  ⋅  2 − 1 2 c −a r  2 2 c a  σ'θ' = − p z ⋅ 2 ⋅  2 + 1 2 c −a  r  σ'r' = − p z ⋅

2

σθ'''

2

a2 = pi ⋅ 2 b − a2 a2 σ'θ' ' = p i ⋅ 2 2 b −a σ'r' '

 b2  ⋅  2 − 1 r   b2  ⋅  2 + 1 r 

18

ESTABILIDAD I I


r

VALORES EXTREMOS

σ'r = 0

σ 'r' ' = 0 b

b

c2 σ 'θ = 2 ⋅ p z ⋅ 2 b b − c2

σ 'r = p z

σ 'r' = pz

c

c

b +c σ 'θ = p z ⋅ 2 2 c b −c 2

b

a2 = 2 ⋅ pi ⋅ 2 b − a2 a2 b2 − c2 σ'r' ' = pi ⋅ 2 ⋅ 2 c c b − a2 a 2 b2 + c 2 ' ' ' σθ = pi ⋅ 2 ⋅ 2 c c b − a2 σ 'θ' ' b

2

σ 'θ'

c

c2 + a 2 = −pz ⋅ 2 c − a2

σ'r' = 0

σ'r'' = pi

a

a

2

σ 'θ'

a

c

c = −2 ⋅ p z ⋅ 2 2 c −a

σ 'θ''

a

a

b2 + a 2 = pi ⋅ 2 b −a2

En consecuencia, las expresiones de las tensiones resultantes en ambos componentes del tubo doble sometido presión interior “p i” serán: Tensiones circuferenciales σθ En la camisa:

σθ = σ 'θ + σ'θ'' = p z ⋅ c

c

c

b +c a b − c [40] + p ⋅ ⋅ i b2 − c2 c2 b2 − a 2 2

2

2

2

σθc

θ

c2 a2 ' ' ' ' σθ = σθ + σθ = 2 ⋅ p z ⋅ 2 2 + 2 ⋅ pi ⋅ 2 b b b b −c b − a2

σθa

2

pi

σθci

A

σθ

ci

c

c

σθ = σ 'θ' + σ 'θ'' a

c2 + a2 a 2 b 2 − c2 + p ⋅ ⋅ i c2 − a2 c2 b2 − a 2 c2 b 2 + a 2 [41] = −2 ⋅ p z ⋅ 2 + pi ⋅ 2 c − a2 b − a2

a

a

Tensiones radiales σr:

a

c

c

a

σr = σ 'r + σ 'r' ' = 0 b b b

A

pi

En el tubo:

a b − c [42] σ r = σ 'r + σ 'r'' = p z + p i ⋅ 2 ⋅ 2 c c c c b −a2 2

2

σ r = σ 'r' + σ 'r'' = p i a a a TUBOS_GRUESOS.doc - 19/06/2009 19:35:00

2

b

σr

En la camisa:

a 2 b 2 − c2 σ r = σ 'r + σ 'r'' = p z + p i ⋅ 2 ⋅ 2 c c c c b − a2

B

C

En el tubo:

= σ´´ + σ´´´ = −p z ⋅ θ θ

σθb

σra

b C

σrb

B

σrb

fig. 18

[43]

19

ESTABILIDAD I I


Fórmulas de dimensionado Tubos zunchados con presión interior. Como se puede apreciar en la fig.18, las zonas mas exigidas del tubo zunchado son las caras internas de ambos componentes. En esos puntos las tensiones σθ y σr adquieren sus valores máximos, conformando un estado doble de tensiones, motivo por el cual se debe recurrir al uso de las hipótesis de la falla de los materiales. Se analizará la aplicación de dos de ellas: la de Rankine, de la máxima tensión normal y la de Guest, de la máxima tensión de corte. Hipótesis de la máxima tensión principal (Rankine): En este caso la tensión de comparación es:

σC = σI = σθ

θ=

siendo σI la máxima tensión normal.

Ca

Ι

Cc

σr =σΙΙΙ

Para el caso en estudio es: en el punto A: σCa =

σθa en el punto C: σCc = σθc 2 2 2 2c b +a σCa = σθa = −p z ⋅ 2 2 + pi ⋅ 2 2 [44-a] c −a b −a 2 2  a 2   b2 + c 2  b +c σCc = σθc = pz ⋅ 2 2 + pi ⋅  2  ⋅  2 2  b −c  c   b −a 

A

C

fig. 19

[44-b]

La condición de dimensionado óptimo viene dada por:

σCa = σCc = σadm

como se observa en la figura.

En la que σCa es la tensión de comparación en ¨A¨ y σCc la tensión de comparación en C. Para el tubo debe ser:

y para la camisa:

2 2 + a2 2 c b − pz ⋅ 2 2 + pi ⋅ 2 2 = σadm c −a b −a 2 2 2 2 +c + c2 b a b p z ⋅ 2 2 + pi ⋅ 2 ⋅ 2 2 = σadm b −c c b −a

[45-a]

[45-b]

Un camino que conduce a la solución del problema consiste en eliminar pz , entre las [45-a] y [45-b] para lo cual se la puede despejar de la expresión [45-a] y sustituir en la [45-b], con lo que se obtiene la siguiente ecuación de 4º grado en b : 4 2 A 1 ⋅b + A 2 ⋅ b + A 3 = 0

ó

A1 ⋅ (b 2 ) + A 2 ⋅ ( b ) + A 3 = 0 [46] 2

2

La [46] puede considerarse una ecuación de 2º grado en b 2 cuyos coeficientes son: 2 2 A 1 = ( p i − 3 ⋅ σ adm ) ⋅ c + (p i + σ adm ) ⋅ a 2 4 2 2 A 2 = ( p i + σ adm ) ⋅ (c − a ) + 4σadm ⋅ a c 2 2 2 2 A 3 = −( p i + σadm ) ⋅ (a + c ) ⋅ a c


20

ESTABILIDAD I I


Aplicando la resolverte a la expresión [46] se obtiene:

pi − A2 ± A 22 − 4A1A 3 σ adm 2 = c2 ⋅ b = pi 3 c2 − a 2 2 A1 − + 2 2 σ adm c + a 1+

b =c

p 1+ i σ adm p i 3 c2 − a 2 − + σ adm c2 + a 2

b [47]

db = 0 dc

c

fig. 20

La [47] es una función de la forma b=f(c) como muestra la fig. 20. Conocidos pi, a, σadm , se puede obtener un valor de “b” por cada valor de “c”, lo que brinda pares de valores (b,c) que cumplen con las expresiones [45-a] y [45-b], es decir, que ambas tensiones sean iguales a σadm . De todos esos pares de valores interesa encontrar aquel par para el cual b sea mínimo, ver fig. 20, a efectos que el tubo sea lo más liviano posible para la misma resistencia. Para obtener el mínimo de la función, se deriva la [47] respecto de “c” y se iguala a cero, obteniendo una ecuación cuadrática en “c2”.

db = ( pi − 3 ⋅ σ adm ) ⋅ c4 + 2 ⋅ a ⋅ (p i + σadm ) ⋅ c 2 + (p i + σadm ) ⋅ a 4 = 0 dc Resolviendo se obtiene:

c =a ⋅ 2

2

1 + ϕ ± 2 ϕ − ϕ2 3 ϕ −1 2

c es entonces: k = 2 a 2

que se obtiene de: En la [49] debe ser:

2 2 2 c =a k

ó:

c = k⋅a

[48] siendo: ϕ = σ adm pi

c en la que “k” es relación de radios. k = a 1 + ϕ + 2 ϕ2 + ϕ

ó

2 k =

ó

3ϕ −1 ϕ > 0, 333

[49]

o bien

ya que el signo “-“ no es solución.

σadm > 0,333 ⋅ pi

Operando convenientemente luego de reemplazar la [48] en la [47] se obtiene:

b = k 2 ⋅ a = k ⋅ (k ⋅ a )

pero por [48] es:

eliminando k entre las [48] y [50] se obtiene:

c = k⋅a c = a ⋅b

entonces:

b = k⋅c

[50]

[51]

Lo que implica que las dimensiones del tubo zunchado serán mínimas cuando “c” sea la media geométrica entre “a” y “b”.


21

ESTABILIDAD I I


Presión de zunchado La presión de zunchado que permite obtener el tubo de mínima dimensión, se puede explicitar de la expresión [45-b] correspondiente a la camisa. 2 2 2 2 2 b −c  a b +c  p z = 2 2 ⋅  σadm − pi ⋅ 2 ⋅ 2 2  b +c  c b −a 

pero, teniendo en cuenta las [49] y [50] se puede expresar así: 4 − k2  1 k4 + k2  k pz = 4 2 ⋅  σadm − pi ⋅ 2 ⋅ 4  k +k  k k −1 

operando se obtiene:

y finalmente:

2 2 −1  +1  k k p z = 2 ⋅  σadm − pi ⋅ 2  (k + 1)(k 2 − 1)  k +1 

2 p  −1  k p z = 2 ⋅  σ adm − 2 i  k +1  k −1 

[52]

Interferencia o apretaje Se puede obtener de la expresión [39] que se adecua para luego reemplazar en ella los radios dados por [48] y [50] en función de “k”:

E ⋅ δ (b 2 − c 2 ) (c 2 − a 2 ) E ⋅ δ ( k 2 − 1) ⋅ ( k 2 − 1) pz = ⋅ ⋅ 2 = ⋅ 2 2 2⋅ c c (b − a ) 2 ⋅ k ⋅ a (k 4 − 1) Descomponiendo el denominador e igualando a la [52] se obtiene:

pi  E ⋅ δ (k 2 − 1) ⋅ (k 2 − 1) k 2 − 1  ⋅ 2 = ⋅ σ −   adm 2 2 ⋅ k ⋅ a (k + 1) ⋅ ( k 2 − 1) k 2 + 1  − 1 k  De donde luego de simplificar se despeja el apretaje:

δ=

p  2⋅k ⋅a  ⋅  σ adm − 2 i  E  k −1 

[53-a]

No obstante, de la [39] se puede también obtener directamente:

2 ⋅ c3 b2 − a 2 δ = pz ⋅ ⋅ 2 E (b − c 2 ) ⋅ (c 2 − a 2 )

[53-b]

La expresiones [52] y [53-a] permiten obtener la presión de zunchado y la interferencia para un tubo de dimensiones mínimas, mientras que las y [39] y [53-b] permiten calcular esas mismas cantidades, pero son aplicables a cualquier caso.


22

ESTABILIDAD I I


Hipótesis de la máxima tensión tangencial (Guest) En este caso la tensión de comparación σc es: σC las tensiones máxima y mínima (con signo), fig. 21-c.

= σI − σIII

o sea, la diferencia entre

Las dimensiones óptimas serán aquellas que produzcan tensiones de comparación en las caras interiores de ambos componentes, que sean iguales a la admisible del material. Ello ocurrirá si en la fig. 21-b es ST=UV.

θ

σr σθ (a) En el punto A es:

σC A

σCC

T

fig. 21

σIA = σθA

C

σ

B

σIII

V (b)

σI (C)

σ III A = − σ rA

b2 + a 2 2 ⋅ c3   = σθA − (− σrA ) =  p i ⋅ 2 − pz ⋅ 2  + pi 2 2 b − a c − a  

En el punto C es: entonces:

τmáx

σr A

entonces:

τ

U

S

σ I C = σ θC

[54]

σIIIC = − σrC

σC C = σθC − (− σrC ) = σθC + σrC

Reemplazando las [40] y [42] resulta:

b 2 + c2   a 2 b 2 − c 2  a 2 b2 + c2  =  pi ⋅ 2 ⋅ 2 + p ⋅ + p ⋅ ⋅ + p   2 z 2 2 2 2 z  [55] i 2 c b −a b −c   c b −a  

La condición de dimensionado óptimo se obtiene igualando [54] y [55]. Ordenando queda:

 b2 + a2 pi  2 2 b −a

a 2 b2 + c2 a 2 b2 − c 2 + 1− 2 ⋅ 2 − ⋅ c b − a 2 c2 b 2 − a 2

  b 2 + c2  = pz  2 2  b −c

2 ⋅ c3

+ 1+ 2 c − a2

  

Se debe despejar entonces la presión de zunchado "pz ” que garantiza la igualdad de las tensiones de comparación en A y en C. Operado se obtiene:

c 2 ⋅ 2b 2 − a 2 ⋅ 2b 2 pi ⋅ c 2 (b2 − a 2 )

b 2 (c 2 − a 2 ) pi ⋅ 2 2 c (b − a 2 )

2b2 2c2   = pz ⋅ 2 2 + 2 2 b − c c − a  

 b2 = pz ⋅  2  b − c2


c2



+ 2  c − a2 

23

ESTABILIDAD I I


b 2 (c 2 − a 2 ) ⋅ c2 (b 2 − a 2 ) p z == pi ⋅ 2 [56] b c2 + b2 − c 2 c 2 − a 2

resulta entonces:

Introduciendo la [56] en la [54] resulta:

b +a σC A = p i ⋅  2 2  b −a 2

σC A

2

b2 (c 2 − a 2 ) ⋅  c 2 ( b2 − a 2 ) +1 − pi ⋅ 2 b c2  + b 2 − c2 c2 − a 2

2⋅ c2 ⋅ 2 c − a2

  b 2 + a 2 + b2 − a 2 2b2  = pi ⋅ − b2 − a 2  b2  ( b 2 − a 2 ) 2 2 b −c 

   c2   + 2  c − a2  

    1 σC A = p i ⋅ 2 2 1 − b2 2  [57] c b −a   +  b 2 − c 2 c2 − a 2  En la expresión [57] resulta: σ C = f (a , b, c, pi ) 2⋅b

2

A

Entonces, si se conocen los valores de a, b, pi, el mínimo valor de la tensión de comparación

b2 c2 + corresponderá al mínimo valor del factor 2 el que depende sólo de c. b − c2 c2 − a2 Se debe obtener el valor de “c” que haga mínimo a dicho denominador. Derivando al mismo con respecto a “c” e igualando a cero se obtiene:

d  b2 c2  +  =0 dc  b2 − c 2 c 2 − a 2 

de donde resulta :

c = a ⋅b

[58]

La [58] indica que el valor óptimo de “c” es la media geométrica entre a y b, resultado que concuerda con el obtenido para la hipótesis de Rankine. Esta condición hace que:

c2 = a ⋅ b

ó

c b = =k a c

por lo que:

c =k y a

b =k c

Entonces la constante k que permite calcular “c“ y “b“ si se conoce el valor de “a”:

c = k .a

[59-a]

b = k ⋅ c = k2 ⋅a

[59-b]

Este valor de k será diferente al encontrado para la hipótesis de Rankine y para obtenerlo se procede del siguiente modo: Sustituyendo en la [57], el valor de “c” dado por la [58] resulta:


24

ESTABILIDAD I I


 2 ⋅ b2  σC A = pi ⋅ 2 1 − b − a2   introduciendo las [59]:

  b = p ⋅  i b2 c2 b−a  + 2 2 b −a⋅b a⋅b −a 

σC A

1

k2 ⋅ a k2 = pi ⋅ 2 = pi ⋅ 2 k ⋅a − a k −1

La condición de dimensionado será:

σ adm k2 σCA = σ adm entonces: =ϕ= 2 pi k −1 2 2 de la que se puede despejar k operando del siguiente modo: ϕ ⋅ k − ϕ − k = 0 ϕ k 2 (ϕ − 1) = ϕ de donde: k = [60] ϕ −1 k2 = pi 2 k −1

Presión de zunchado Sustituyendo en la [56] los valores de a y b dados por las [59]:

k 2 −1 k 4 k 2 −1 k 2 −1 k − 1 pZ = pi = pi ⋅ 2 ⋅ k2 k2 ( k + 1)⋅ (k 2 − 1) 2 + k 2 −1 k 2 −1 2

y finalmente:

pi k2 −1 pZ = ⋅ 2 k2 +1

[61]

Interferencia o apretaje Se puede obtener de la expresión [39] introduciendo previamente en ella los valores de c y b dados por las [59] y operando:

E ⋅ δ (b 2 − c 2 ) ⋅ (c 2 − a 2 ) E ⋅ δ ⋅ (k 2 − 1) pZ = ⋅ = 2⋅c c 2 ⋅ (b 2 − a 2 ) 2 ⋅ k ⋅ a ⋅ (k 2 + 1)

Igualando con la [61] resulta :

E ⋅ δ ⋅ (k 2 − 1) pi k 2 −1 = ⋅ 2 ⋅ k ⋅ a ⋅ (k 2 + 1) 2 k 2 + 1

de donde al simplificar queda:

δ = pi ⋅

k ⋅a E

[62]

Las expresiones [61] y [62] permiten obtener la presión de zunchado y la interferencia correspondiente a las condiciones de mínimas dimensiones del tubo zunchado, de acuerdo a la hipótesis de falla de Guest.


25

ESTABILIDAD I I


Tubos de pared gruesa en régimen plástico Método de autozunchaje En un tubo de pared gruesa de radios “a” y “b” sometido a presión interior “pi”, las máximas tensiones circunferencial y radial se producen en su cara interior siendo:

σ θmáx

b2 + a2 = pi 2 b − a2

σ rmáx = p i

Las tensiones principales máxima y mínima, teniendo en cuenta la convención que se utilizó para la tensión radial, resultan:

σ I = σ θmáx

y

σIII = −σ rmáx

La tensión cortante máxima en la pared interior es entonces:

τ máx =

σI − σIII 2

que es el radio de la circunferencia de Mohr.

pi

a

Por lo tanto en la cara interior es:

τ máx =

σ θ máx + σ r máx 2 2 2 2 pi  b + a b2  τ máx =  2 + 1 = p i 2 2  b −a2  b + −a 2

σ θmáx

resultando:

− (− σ r máx )

σr

σθ

=

b

fig. 22

Aumentando gradualmente la presión interior “pi”, en algún momento comenzará la fluencia del material. Ello será cuando en los puntos de la cara interior, la máxima tensión de corte τmáx adquiera el valor de fluencia τfl . En ese momento la presión interior habrá adquirido el valor p fl.

b2 Entonces: τ fl = pfl 2 b − a2

de donde:

b2 − a2 p fl = τfl b2

[63]

Si la presión sigue aumentando, la deformación plástica penetrará más y más en la pared, hasta invadirla totalmente. A la presión correspondiente a esa situación se la denominará p últ Si se admite la constancia de τfl en cada punto del tubo, entonces:

τ máx = τfl =

σθ + σ r 2

[64]

Considerando la ecuación diferencial de equilibrio [1]:

σθ + σr = −

dσ r ⋅r dr

[1]

y teniendo en cuenta la [64] resulta:

2 ⋅ τ fl = σ r + σθ = − r ⋅ Integrando resulta:

σ

r

dσ r dr

separando variables queda:

dσ r = −2τ fl ⋅

dr r

= − 2 ⋅ τ fl ⋅ ln r + C

La constante C puede obtenerse con una condición de contorno siguiente: En r=b es σr=0 entonces: 0 = −2τ fl ⋅ ln b + C resultando: C = 2τ fl TUBOS_GRUESOS.doc - 19/06/2009 19:35:00

⋅ ln b 26

ESTABILIDAD I I


reemplazando el valor de C resulta;

σ r = −2 ⋅ τfl ⋅ ln

r b

[65]

De la [64] se puede despejar σθ y sustituir σr dado por la [65]:

σ θ = 2 ⋅ τ fl − σ r = 2 ⋅ τ fl + 2 ⋅ τ fl ⋅ ln

r b

ó

r  σ θ = 2 ⋅ τ fl 1 + ln  [66] b 

Si para la superficie interior del tubo se sustituye r=a, la [65] resulta:

σra = −2 ⋅ τfl ⋅ ln

a b

θb

que debe coincidir (en valor absoluto) con la presión interna que es p últ quedando entonces:

p últ

a = −2 ⋅ τ fl ⋅ ln b

[67]

Las expresiones [66] y [65] dan respectivamente las tensiones circunferenciales σ θ y radiales σ r en cualquier punto del tubo, cuando la presión interior ha alcanzado el valor de p ult dado por [67]. En particular se calcularán los valores extremos que se obtienen de las [65] y [66] para luego representar gráficamente, fig. 23. Tener en cuenta que siendo a/b < 1 resulta negativo el ln(a/b). Para r=a:

Para r=b:

σθa

púlt

a  σθ = 2 ⋅ τfl ⋅ 1 + ln  a b 

σ θ = 2 ⋅ τ fl b

B σrb

A O

a

σra

2τfl

Tracción

Compresión

b

fig. 23

σr = −2 ⋅ τfl ⋅ ln a

a b

σrb = 0

Estado de autozunchado:

Recordar el ensayo de tracción del acero en el que la descarga se producía según una recta sensiblemente paralela a la del período elástico, de acuerdo a la ley de Hooke, fig. 24. En consecuencia durante la descarga se pueden utilizar las expresiones [16], [17], [18] y [19] que corresponden al proceso elástico.

des carg a

Ello se debe al desigual proceso de carga y la descarga. Mientras que en la carga existen deformaciones plásticas, no ocurre lo mismo en la descarga, en la que solamente ocurren deformaciones elásticas.

carg a

Suprimiendo la presión púlt, lo que implica la descarga del tubo luego de la plastificación total, la pared quedará con tensiones residuales.

ε

fig. 24

En tal caso se puede suponer que en la descarga, debido a la cual el tubo queda sin presión interior, el estado tensional final se puede conseguir superponiendo al estado de solicitación anterior (fig.23), el estado tensional debido a la “depresión” de valor “ -púlt ”, fig. 26.


27

ESTABILIDAD I I


Para la depresión es: En r=a:

σθ

b2 + a2 a  b2 + a 2  = (− púlt ) ⋅ 2 = 2 ⋅ t fl ⋅ ln ⋅  2  b − a2 b  b − a2 

σr

=

a

a

−púlt

2

2

En r=b:

σθ

b

2 ⋅ a2 a  2⋅a2  = (− púlt ) ⋅ 2 = 2 ⋅ τ fl ⋅ ln ⋅  2  b −a2 b  b −a2 

b

a

a a  b2 + a 2   = 2 ⋅ t fl ⋅ 1 + ln  + 2 t fl ⋅ ln ⋅  2  b b  b − a2  

 a a  b2 + a 2  σθ = 2 ⋅ τfl ⋅ 1 + ln + ln ⋅  2 2   a b b  b − a   a  2 ⋅a2  σθ = 2 t fl + 2 t fl ⋅ ln ⋅  2  2 b b b −a   a  2 ⋅ a 2  σθ = 2 ⋅ t fl 1 + ln ⋅  2 2   b b  b − a  

r

b

fig. 25

-púlt

La superposición de ambos estados deja al cilindro sin solicitación exterior, pero con un estado tensional de autozunchaje, cuyos valores extremos son:

τfl

a

σr = 0

σθ

τfl

σr

b tracción

r

O

a

Compresión

σθ

fig. 26 tracción

σθ r

σr

O

a

compresión

b

fig. 27

σr = σr = 0 a

b

resulta : σr ≠ 0 (de compresión) La fig. 27 muestra el estado tensional de autozunchaje. Con el autozunchaje se logra una disminución apreciable de material (y peso) del tubo, por lo que se lo utiliza en la fabricación de armas de fuego, las que deben sufrir la acción de grandes presiones en la explosión, y para las que el bajo peso tiene gran importancia. Sin embargo, para

a
Plastificación parcial En el estudio anterior se partió de la condición de plasticidad total de la pared del cilindro. Sin embargo también es posible efectuar plastificación parcial de la pared. Esto se consigue cuando la presión interior aplicada hace que la plastificación se extienda solamente en forma parcial hasta un radio intermedio “c”, comprendido entre “a” y “b”. En tal caso entre “a” y “c” el régimen será plástico, mientras que entre “c” y ”b” será elástico.


28

ESTABILIDAD I I


Las tensiones originadas por una presión de plastificación parcial “pp” (que no se deducen) son:

r b2 + c2 σ θ = 2 ⋅ τfl ⋅ ln + τfl ⋅ c b2 r b2 − c2 σ r = 2 ⋅ τ fl ⋅ ln − τ fl c b2

La presión de plastificación parcial será:

a b 2 − c2 p p = −2 ⋅ τ fl ⋅ ln + τ fl ⋅ c b2

El valor de “c” en las anteriores expresiones se propone, al retirar la presión de plastificación “pp” también quedan tensiones residuales en la pared del cilindro que provocan el efecto de autozunchado. El proceso para el cálculo de las tensiones residuales es similar al efectuado para el caso de plastificación total, utilizando como en aquel caso la superposición de efectos. Bibliografía consultada Resistencia de Materiales Resistencia de Materiales Estabilidad II Curso superior de Resistencia de Materiales

V.I. Feodosiev S. Timoshenko E. Fliess Seely y Smith

Este material de apoyo didáctico, cuyos manuscritos originales fueran preparados por el ex-profesor de la Cátedra “ Estabilidad III ”, Ing. Guillermo Pons, fue ampliado, adaptado, modificado y digitalizado para ser destinado para uso interno de la asignatura “Estabilidad II” de la carrera Ingeniería Mecánica de la Facultad Regional Santa Fe de la U.T.N. Colaboraron en la digitalización del presente trabajo todos los alumnos del Curso 2008. Profesor: Ayudante de T.P. Junio de 2009.


Ing. Hugo A. Tosone. Ing. Andrés Anca.

29

FÓRMULAS: TUBOS DE PARED GRUESA SIMPLES Y DOBLES SOMETIDOS A PRESIÓN Tubo sometido solamente a presión interior “pi”: Ec. de Lamé:

σθ =

B B + A σr = 2 − A 2 r r

a 2  b2  b2 + a2 a2  b2  σr = pi = σ r σθ = pi ⋅ 2 2  2 + 1 σ r = pi ⋅ 2 2  2 − 1 σ θ = p i ⋅ 2 2 = σθ a máx a máx b −a  r b − a b −a  r   Tubo sometido solamente a presión exterior “pe”

σ θ = − pe ⋅

b2  a 2  b2  a 2  2 ⋅ b2 σr = p e = σr + 1 σ = − p ⋅ − 1 σ = − p ⋅ = σθ   r  2  θ e e 2 2 2 2 b máx a máx b − a b2 − a2  r2 b − a r   

Tubo con radio externo “b” mucho mayor que “a”:

a2 a2 σ θ ≅ p i ⋅ 2 σ r ≅ pi ⋅ 2 r r 2 2 2 2 p ⋅ b b + a p ⋅a b + a    e i Corrimientos del lado de la presión: u = + µ u = − − µ   b a  E  b2 − a 2 E  b 2 − a 2  

Fórmulas de dimensionado: Hipótesis de Rankine (máxima tensión principal)

de Guest (de la máxima tensión de corte)

σc = σ1 η =

σc = σ1 − σ3

η=

b a

ϕ=

Criterio de Clavarino (cilindros con fondos)

η=

ϕ +1 ϕ −1

ϕ ϕ− 2

de Huber-.. (máxima energía de distorsión) σ c 2 = σ 2 + σ 2 − ⋅σ ⋅ σ 1 3 1 3 de Saint-Venant (máxima deformación principal)

σ adm pi

σc = σ1 − µ⋅ σ2 −µ⋅ σ3

σc = σ1 − µ ⋅ σ 2 − µ ⋅ σ3

ϕ2 + 4ϕ2 −3 η= ϕ2 − 3

η= η=

ϕ + (1 − µ) ϕ − (1 + µ) ϕ + (1 − 2µ) ϕ − (1 + µ)

Tubos dobles (zunchado) Presión de zunchado: Materiales diferentes:

Materiales iguales:

δ 1 pz = ⋅ 2 2 c 1 c +a  1  b2 + c2  − µ ⋅  2 2 + µ2   2 1 + 2 E1  c − a  E2  b − c 

E ⋅ δ ( b 2 − c 2 ) ⋅ (c 2 − a 2 ) pz = ⋅ 2 ⋅ c3 b2 − a2

Tensiones debidas a la presión interior y a la de zunchado, para material único. σθ = pi ⋅ a

σr

a

= pi

b2 + a2 c2 − 2 ⋅ p ⋅ z 2 b2 − a2 c − a2

b2 + c2 a 2 b2 − c2 σθ = p z ⋅ 2 2 + pi ⋅ 2 ⋅ 2 c b −c c b − a2 a 2 b2 − c2 σ r = p z + pi ⋅ 2 ⋅ 2 c c b − a2

Fórmulas para dimensionado óptimo

c = k⋅a

b = k⋅c

ϕ=

σadm pi

Hipótesis de Rankine: 2 p  −1  k pz = 2 ⋅  σadm − 2 i  k +1  k −1 

1+ ϕ + 2 ϕ + ϕ 2

k = 2

3ϕ −1

Hipótesis de Guest:

ϕ k= ϕ −1

(*)

pi k2 −1 pZ = ⋅ 2 k2 +1

(*) Para ambas hipótesis vale para la presión de zunchado:

p  2⋅k ⋅a  ⋅  σ adm − 2 i  E k − 1 

δ=

δ = pi ⋅

(*)

k ⋅a E

E ⋅ δ k2 − 1 pZ = ⋅ 2 ⋅ k ⋅ a k2 + 1

Autozunchado: Con plastificación total Con

p últ = −2 ⋅ τ fl ⋅ ln

a b

r  σ θ = 2 ⋅ τ fl 1 + ln  b 

resultan:

Quitando p últ resulta n las siguientes tensiones en ambos bordes:

σθ

a

 a a  b2 + a 2  = 2 ⋅ τfl ⋅ 1 + ln + ln ⋅  2 2   b b  b − a  

σθ

b

σ r = −2 ⋅ τfl ⋅ ln

σr = σr = 0 a

a b 2 − c2 p p = −2 ⋅ τ fl ⋅ ln + τ fl ⋅ c b2

el estado tensional se describe con:

r b2 + c2 σ θ = 2 ⋅ τ fl ⋅ ln + τfl ⋅ c b2 r b2 − c2 σ r = 2 ⋅ τ fl ⋅ ln − τ fl c b2

Cátedra : Estabilidad Profesor: Ayudante de T.P. Junio de 2009.

b

 a  2 ⋅ a 2  = 2 ⋅ t fl 1 + ln ⋅  2 2   b  b − a  

Con plastificación parcial hasta r=c Con la presión de plastificación parcial:

r b

II

Ing. Hugo A. Tosone. Ing. Andrés Anca.

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