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PC SUELOS 1SHUAN-TELLO
Turismo de Cuzco-PISAC
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Trilateraci´ on on Mauricio Gende Ivana Molina *
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6 de junio de 2011
´ Indice 1. Int Introducc roducci´ i´ on on
1
2. Sol Soluci uci´ ´ on gr´ afi ca afica
2
3. Sol Soluci uci´ ´ on an on anal´ al´ ıt ica ıtic a
3
4. Sol Soluci uci´ ´ on iterativa on
5
4.1. 4.1. 4.2.. 4.2 4.3. 4.4.
Resoluci´ Resoluc i´ on del caso sin errores de observaci´ on on . . . . . . . . . 7 on Resoluc Res oluci´ i´ on de una situaci´on on on realista . . . . . . . . . . . . . . . 8 Cambio Camb io en los valores valores inicial iniciales es . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Otro escenari escenarioo en la distribuc distribuci´ i´ on de losSign on puntos de coordenadas up to vote on this title conocidas . . . . . . . . . . . . . . . . Useful . . . . . .Not . .useful . . . . . 9 4.4.1. 4.4 .1. Vis Visual ualiza izaci´ ci´ on gr´ on afica del DOP . . . . . . . . . . . . . . 11 afica
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Trilateraci´on
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Referenciaci´ on
coordenadas conocidas a priori. Esta t´ecnica es la base del posicionamiento de todos los sistemas GNSS. La ecuaci´ o n b´asica de observaci´ on en el plano es: ρ = (xe x)2 + (ye y )2 Donde ρ es la cantidad observada, (xe , ye ) son las coordenadas conocidas y (x, y ) las coordenadas que se ignoran. Como las inc´ ognitas son dos el problema requiere un m´ınimo de dos ecuaciones. As´ı el problema queda planteado como: ρ1 = (xe1 x)2 + (ye1 y )2 ρ2 = (xe2 x)2 + (ye2 y )2 En t´erminos generales no podremos afirmar que con s´ olo dos ecuaciones la soluci´on ser´ au ´ nica y por lo tanto es imprescindible una ecuaci´ on m´as para resolver el problema. ρ3 = (xe3 x)2 + (ye3 y )2
2.
−
−
− −
− −
−
−
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Soluci´ on gr´ aUnlock ficafull access with a free trial.
Una soluci´on sencilla que no requiere conocimientos matem´ aticos consiste Download With Free Trial en realizar un gr´ afico y deducir del mismo la respuesta. As´ı para el caso de tener los siguientes puntos de coordenadas conocidas: punto x y 1 2 2 2 3 4 3 4 2 y las siguientes distancias desde el punto inc´ ognita a cada uno de ellos: Sign up to vote on this title segmento distancia Useful Not useful punto 1 - punto desconocido 2 punto 2 - punto desconocido 1
√
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Referenciaci´ on
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Figura 1:Unlock Soluci´ n gr´ afica deltrial. problema. full o access with a free
3.
Download Soluci´ on anal´ ıtica With Free Trial
Una posible resoluci´ on anal´ıtica vendr´a dada por la soluci´on de dos ecuaciones cuadr´ aticas, cada una de las cuales tendr´ a dos ra´ıces, habiendo una sola ra´ız com´ un a ambas ecuaciones. Partiendo de las tres ecuaciones: 2 2 d1 = (x x1 ) + ( y y1 ) d2 = d3 =
− − − (x
2
x2 )
2
− + (y − y ) + (y − y ) 2
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(x x3 ) 3 Elevando al cuadrado y restando la primera ecuaci´ on a la segunda ...
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Trilateraci´on
Queda A = x (x1 De donde
Turismo de Cuzco-PISAC
Referenciaci´ on
− x ) + y (y − y ) 2
1
2
A−x(x1 −x2 ) (y1 −y2 )
= y Reemplazando y en las ecuaciones 2
d1 = (x d1
2
d1
2
y1 2
2
−x ) + = (x − x ) + = (x − x ) + 1 1 1
2 2
A−x(x1 −x2 ) (y1 −y2 )
(y1 −y2 )2
2
( A
2
−y −2 y + y − 2Ax(x − x ) + x (x − x ))−2
A−x(x1 −x2 ) (y1 −y2 )
1
1
2
A−x(x1 −x2 ) (y1 −y2 )
1
2
2
1
1
1
2
2
A−x(x1 −x (y1 −y2 )
Si llamamos (y1 y2 ) = ∆y12 (x1 x2) = ∆x12 Entonces la soluci´ on queda:
− −
2
x
0
−
∆x12 ∆y12
1+
β =
2
+x
∆x12 ∆y12
2
A
∆y12 2
X 1 = X 2 =
√ √
β+
−
β−
−
−
β 2 −4αγ 2α β 2 −4αγ 2α
+
A2 ∆y12 2
+ y1
2
−d
1
2
Download With Free Trial x y1 + A ∆ ∆y
+ y1 2 d1 2 Las ra´ıces quedan: γ =
−
x12 y 2A ∆ ∆y12 1
Unlock full access with a free trial.
2
x1 + A ∆∆yx12122
2
2x1
2A ∆∆yx12122
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Escribiendo α = 1 +
− −
12
12
Donde x debe ser X 1 o X 2 Sign up to vote on this title Si ahora realizamos los mismos pasos pero restando a d1useful y llamamos: d3 Not Useful (y1 y3 ) = ∆y13 (x1 x3) = ∆x13
− −
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Trilateraci´on
β =
γ =
x1 + B ∆∆yx13132
B2 ∆y13 2
2
−
−
d1 + y1 Siendo las ra´ıces: β + β 4α γ X 3 = 2α
−
X 4 =
√ √
β−
−
2
x13 + B ∆ y ∆y13 1
2
Turismo de Cuzco-PISAC
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− 2
PC SUELOS 1SHUAN-TELLO
Referenciaci´ on
β 2 −4α γ 2α
Alguna de ambas (X 3 oX 4 ) debe ser igual a alguna de las anteriores (X 1 oX 2 ) y por lo tanto la soluci´ on al problema.
4.
Soluci´ on iterativa Hay dos posibilidades que no hemos tenido en cuenta hasta el momento:
1. El hecho de que puedan existir m´as de tres ecuaciones. 2. El hecho de que las mediciones tengan error. You're Reading a Preview
El segundo punto es sin dudas el m´ as trascendente ya que todas las obserUnlock full access with a free trial. vaciones tienen error y por lo tanto ser´ a deseable tener en cuenta este hecho. Bajo esta nueva hip´ otesis las resoluciones anteriores Download With Free Trial cambian de la siguiente manera: 1. En el caso de la soluci´ on gr´ afica: Las circunferencias son ahora cintas circulares con un ancho no despreciable y las mismas no se cortan en un punto sino que existe un a´rea com´ un a las observaciones. 2. En el caso de la soluci´on anal´ıtica: Habr´ a dos ra´ıces con valores muy Sign up to vote on this title similares pero no id´enticos. Useful Not useful Daremos ahora una soluci´ on que tiene en cuenta entonces la posibilidad
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Trilateraci´on
Referenciaci´ on
Si hacemos la siguiente aproximaci´on por Taylor (x x0 ) + ∂f (y y0 ) + O 2 f (x) = f (x0 ) + ∂f ∂x ∂y y la aplicamos a la funci´on distancia, despreciando el orden 2 nos queda: δρ δρ ρ = ρ 0 + δx dxr + δy dyr
−
| − r
ρ =
√ √
(xr
(x
(x
(x
s
s
2
x ) +(y
r−
y )2
r−
y )
r−
0
2
s
s
(y
r
x )
r−
−
xs ) + (yr
x )2 +(y
r−
0
−
s
y )2
r−
s
2
ys )
+ 0
dxr +
0
dyr
0
Para n ecuaciones tenemos ρ1 = ρ1 0 + δρ dxr + δρ dyr δx 0 δy
| ρ = ρ | + ρ = ρ | + 2
2 0
n
n 0
1
1
0
δρ2 2 dxr + δρ dyr δx 0 δy 0 δρ dxr + δρ dyr δx 0 δy n
n
0
Escribiendo el sistema lineal en forma matricial queda: You're Reading a Preview δ = Adx
Unlock full access with a free trial.
Donde:
Download With Free Trial
δ nx1 =
Anx2 =
d x =
Para solucionarlo hacemos
ρ1 ... ρn
−
ρ1 ...
ρn
δρ 1 δx δρ 2 δx δρ δx
dxr dyr
r
r
n r
δρ1 δy δρ2 δy δρ δy r
0
r
n r
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Trilateraci´on
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Referenciaci´ on
As´ı se puede llegar a un valor dx que sumando a la estimaci´on inicial nos dar´a un estimador de la inc´ ognita x = x 0 + d x
|
Iterando hasta cumplir la condici´ on de que el valor de la correcci´ on sea “insignificante”: dx < , donde epsilon es fijado por nosotros, llegamos a la soluci´on.
4.1.
Resoluci´ on del caso sin errores de observaci´ on
Para el caso ya visto de puntos de coordenadas conocidas: punto x y 1 2 2 2 3 4 3 4 2 You're Reading a Preview y de distancias determinadas sin error: segmento distancia Unlock full access with a free trial. punto 1 - punto desconocido 2 Download With punto 2 - punto desconocido 1 Free Trial punto 3 - punto desconocido 2 Si partimos de los valores iniciales x 0 = 4 e y0 = 4 tenemos las siguientes soluciones en funci´ o n del n´ umero de iteraci´ on: x y Valor inicial 4.0000 4.0000 Iteraci´on 1 3.6464 3.0607 Sign up to vote on this title Iteraci´on 2 3.0761 3.0200 Useful Not useful Iteraci´on 3 2.9994 2.9993 Iteraci´on 4 3.0000 3.0000
√ √
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Trilateraci´on
4.2.
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Referenciaci´ on
Resoluci´ on de una situaci´ on realista
Si ahora tenemos distancias al punto inc´ ognita pero medidas con un cierto error de observaci´ on: segmento distancia punto 1 - punto desconocido 1.1500 punto 2 - punto desconocido 1.5842 punto 3 - punto desconocido 1.3642 Resolviendo el problema en forma iterativa partiendo nuevamente de los valores iniciales x 0 = 4 e y0 = 4 tenemos las siguientes soluciones en funci´ on del n´ umero de iteraci´ on: x y Valor inicial 4.0000 4.0000 Iteraci´on 1 3.6988 3.1330 Iteraci´on 2 3.1157 3.0427 Iteraci´on 3 2.8612 2.9645 You're Reading Iteraci´on 4 2.8252 2.9712 a Preview Unlock full2.9726 access with a free trial. Iteraci´on 5 2.8193 Iteraci´on 6 2.8183 2.9728 Download With Free Trial Iteraci´on ... 2.8183 2.9728 Iteraci´on en´esima 2.8183 2.9728 Como se aprecia la soluci´ o n es x = 2,8183 e y = 2,9728 y se llega a la misma luego de seis iteraciones. Est´ a claro que nunca podremos llegar al valor que, en forma artificiosa, sabemos verdadero x = 3 e y = 3. Esto no es m´as que la consecuencia de observar las distancias con cierto error pero a´un as´ı el problema tiene soluci´ on. Sign up to vote on this title
4.3.
Useful
Cambio en los valores iniciales
Not useful
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Referenciaci´ on
x y Valor inicial 25.0000 17.0000 Iteraci´on 1 3.1271 4.9163 Iteraci´on 2 3.1983 3.8929 Iteraci´on 3 3.4023 3.0273 Iteraci´on 4 2.9437 2.9700 Iteraci´on 5 2.8193 2.9726 Iteraci´on 6 2.8183 2.9728 Iteraci´on ... 2.8183 2.9728 Iteraci´o n en´esima 2.8183 2.9728 Vemos que el problema tambi´ en converge y al mismo valor que en el caso anterior, de lo que deducimos que el punto de arranque no es un par´ametro cr´ıtico para la resoluci´ on de este problema.
4.4.
Otro escenario en la distribuci´ on de los puntos de You're Reading a Preview
coordenadas conocidas
Unlock full access with a free trial.
¿Qu´e pasar´a ahora si la distribuci´ on espacial de los puntos de coordenadas Download Free Trial conocidas fuera distinta a la anterior?With Particularmente que pasar´ a cuando no exista una buena distribici´ on, es decir, cuando existan direcciones en el espacio respecto de las cuales los puntos conocidos puedan estar cuasi alineados. Intuitivamente podemos deducir que no es bueno ya que sobre alguna direcci´on habr´ a mucha menos informaci´on o en forma equivalente la matriz a invertir tendr´ a un mal condicionamiento. Tomenos el siguiente juego de puntos de coordenadas conocidas alineados Sign up to vote on this title en forma paralela con el eje X: Useful Not useful punto x y 1 15 3
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Referenciaci´ on
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Figura 2: Caso mal condicionado. Unlock full access with a free trial. Downloaddistancia With Free Trial segmento punto 1 - punto desconocido 1.6500 punto 2 - punto desconocido 1.1700 punto 3 - punto desconocido 0.9500 Resolviendo el problema en forma iterativa, donde partimos del valo inicial x0 = 4 e y0 = 4 tenemos las siguientes soluciones en funci´ o n del n´umero de iteraci´ on: Sign up to vote on this title x y Useful Not useful Valor inicial 4.0000 4.0000 Iteraci´on 1 2.8675 3.9474
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Referenciaci´ on
llega a la misma luego de cinco iteraciones. Notamos que en primer lugar a pesar de que las observaciones fueron generadas en forma artificial y se les introdujo un error controlado e igual al del caso de la secci´ on 4.3 el problema converge a valores diferentes. No solo eso, sino que sabiendo que el valor verdadero de la soluci´on es x = 3 e y = 3 y comparando las soluciones de las secciones 4.3 y 4.4 notamos que: 1. En el eje x la soluci´on 4.3 es peor que la soluci´on 4.4 siendo los errores relativos respectivos 6 % y 4 %, es decir comparables. 2. Pero en el eje y la soluci´on 4.4 es peor que la soluci´on 4.3 siendo los errores relativos respectivos del 1 % y 12 %, es decir un orden ´ de magnitud mayor para el caso 4.4 Si recordamos que las distancias ten´ıan los errores de igual magnitud en los casos 4.3 y 4.4 podemos ver hasta que punto juega un rol trascendente en You're Reading a Preview el error de las coordenadas inc´ ognitas la interrelaci´ on entre las ubicaciones Unlock full access with a free trial. espaciales de los datos. Esta informaci´ on est´ a en la matriz AT A, en ella no hay informaci´on sobre las observaciones, que est´ a en δ , sino sobre la geometr´ıa Download With Free Trial del problema. La diluci´on de la precisi´on (DOP) es un par´ ametro que indica lo buena o mala que es la geometr´ıa de los datos del problema y se lo calcula a partir de los elementos diagonales de la matriz AT A como (a211 + a222)
4.4.1.
Visualizaci´ on gr´ afica del DOP Sign up to vote on this title
Una manera sencilla de visualizar gr´aficamente el aporte de la geometr´ıa Useful Not useful al error en la posici´ on es mediante la comparaci´ o n de los casos bien y mal condicionados. Tendremos en cada uno intersecciones de cintas en forma de
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