SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR Y SECTOR CIRCULAR SNII2T1
DESARROLLO DEL TEMA I. ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
Nota: Debes tener en cuenta:
Tomando como referencia un plano, el ángulo trigonométrico es aquella figura que se genera por rotación de un rayo alrededor de su origen, desde una posición inicial hasta una posición final.
a°b'c'' <>a°+b'+c'' xg ym zs <> xg+ym+zs Para realizar operaciones con ángulos trigonométricos, estos deberán estar en el mismo sentido. Se cumple:
Lado final
Antihorario (+)
Origen
Horario (–)
Lado inicial
–q q
a+(–q) = 180° a
a – q = 180°
Lado final
IV. SISTEMA CENTESIMAL (FRANCÉS)
Nota: Todo ángulo trigonométrico es orientado, es decir, sus medidas pueden ser positivas o negativas.
Nota: Para situaciones problemáticas, por lo general, si se observan los 3 números convencionales, es conveniente la constante (k), y, si aparece solo S y C, es conveniente la constante (n).
1442443
VII. FÓRMULA GENERAL DE CONVERSIÓN S: número de grados sexagesimales C: número de grados centesimales r: número de radianes
S = 9n C = 10n R = nπ 20
S C R = = =n 90 10 π/20
200g <> prad
S = 180k C = 200k R = kπ
S C R = = =K 180 200 π A.
Números convencionales
SECTOR CIRCULAR I. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO
0 < q ≤ 2π
Circunferencia L R
q
Círculo
R
III. NÚMERO DE VUELTAS QUE GIRA UNA RUEDA SIN RESBALAR
Longitud de la circunferencia: L = 2pR r
r
Área de círculo: A = pR2
II. LONGITUD DE ARCO
LR
Sea q la medida de un ángulo trigonométrico.
LR 2πr
LR: Longitud del recorrido
R qrad L
Nota: En el sector circular, la medida del ángulo central siempre debe estar expresada en radianes; entonces, es importante recordar:
R Fórmula básica
p rad <> 180° <> 200g
L = qR
TEMA 1
n: N.° de vueltas: n =
TRIGONOMETRÍA
22
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR Y SECTOR CIRCULAR
IV. ÁREA DE SECTOR CIRCULAR R
VI. PROPIEDADES a
S qrad L
I.
L = R ↔ q = 1rad
a
1rad
R a S= 1 qR2 2
S= 1 LR 2
2 S= L 2q
II.
q
V. ÁREA DE TRAPECIO CIRCULAR
B
b n
L1
L2
q
q=B–b n
III. S: Área
AT
S
3S
5S
7S
S
L
d
R
J L1+L2 N Od AT= K L 2 P
0 < q ≤ 2p
q=
IV. S: Área K ∈ R
L1–L2 d
q Kq
KS
R
KL
PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1
Dato: SAOT = SMOB
M
PRE-UNMSM 2012–II
1 (180°– q)r2 = 1 (q)(4r2) 2 2
T
Resolución:
Resolviendo q = 36° A O B De la figura, el área del sector circular AOT es igual al área del sector circular OB MOB. Si OA = , calcule la medida del 2 ángulo BOT. A) 30° B) 36° C) 94° D) 38° E) 40°
Respuesta: 36°
O
Problema 2
T r °–q 180 q r O 2r
r
SADCB =
el área del trapecio circular ADCB.
SADCB = 5u2
E) 10
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
33
B
B
(2k)2 = 4 → k2 = 2q 2q
Incógnita
D) 12
A
SCOD =
L1 L = 2 y el área circulares, además 3 2 del sector circular DOC es 4u2. Calcule B) 14
B
Dato:
De la figura AOB y COD son sectores
A) 7
3k
2k C
L1
L2
O C
M
A
q
A
D
Resolución:
Sea OA = r → OB = 2r
L1 = 3k L2 = 2k D
UNMSM 2012–II
OB Sea m]BOT = q; OA = 2 → 2OA = OB
L1 L = 2 =k 3 2
5(2q) (3k)2 (2k)2 5k2 – = = 2q 2q 2q 2q
C) 18
Respuesta: 5u2
TRIGONOMETRÍA
TEMA 1
SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR Y SECTOR CIRCULAR
Problema 3
D) 28 u E) 24 u
C A
5u 2q q
O
PRE UNMSM 2013–II
5u F
B
J N ED = K 1 O(8) = 4 u L2P Graficando el sector COD C
Resolución:
E
8
En el sector circular AOF → (5) = (2q)(5)
D
Del gráfico mostrado AOB y COD son sectores circulares. Indique el perímetro del sector circular COD. A) 27 u B) 26 u C) 25 u
O
1 rad 2q = 1 q = 2
12 8 D
En el sector circular COD → EC = (1)(8) = 8 u
Perímetro = 28
En el sector circular EOD →
Respuesta: 28 u
PROBLEMAS DE CLASE
EJERCITACIÓN 1. Si se cumple: (5x+6)° <> (10x+4)g calcule el valor de (x) A) 1/5 B) 2 C) 3/5 D) 3 E) 5 2. En base a los datos de la figura mostrada AOB y COD son sectores circulares. A x D
11
O y
14
C
B J x+y N 22x Calcule: M = 3 K O– y L x–y P A) –1 B) –2 C) –3 D) –4 E) –5
3. Sabiendo que AOB es un sector circular, además OA = 8u
4. Siendo S y C lo convencional para una medida angular, indique el valor de: M= A) 5 D) ±10
O
C) 10
PROFUNDIZACIÓN 6. Del gráfico mostrado indique el área del sector circular AOB.
Calcule el área del sector circular. A) πu2 B) 2πu2 C) 3πu2 3π D) u2 E) 2π u2 2 3
C) 41
8. Si (a)rad y (b)rad son complemen2S π tarios y se cumple a = + ; 3 4 C π b= – ; S y C son lo conven2 5 cional. Calcula la medida del ángulo en radianes. π π A) rad B) rad 10 20 J π N2 J N2 C) K π O rad D) K O rad L10 P L5P 2 J N E) K π O rad L10 P 9. En base a los datos de la figura, J Ng calcule K 10x O en radianes. L 3 P
(2x+10)g
A (x–1)rad (2x–1)m
B
A) 24 m2 B) 25 m2 C) 20 m2 D) 26 m2 E) 23 m2 B
B) 40 E) 43
(3x+1)m
O 150g
TEMA 1
B) ±5 E) 20
5. El promedio de los números convencionales de una medida angular resulta (380+π). Calcule la medida del ángulo en el sistema centesimal. A) 200g B) 300g C) 400g D) 500g E) 600g
A
πS+πC+20R 0,2(πC–πS)
A) 39 D) 42
7. Calcule el valor de (x) sabiendo que se cumple: g ° (x+3)° <> (4x–18)° g g 5 15
TRIGONOMETRÍA
44
A) 3π rad B) 4 π D) rad E) 5
(7–7x)° 2π rad C) π rad 6 3 π rad 4
SISTEMATIZACIÓN 10. Siendo S, C y R lo convencional para una medida angular y se cumple: S+C+R 40R C–S + = 38R 2(C+S) π
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR Y SECTOR CIRCULAR
Calcule la medida del ángulo en radianes. A)
1 rad 2
B)
1 rad 3
C)
1 rad 4
D)
1 rad 5
1 E) rad 6 11. Si el área del trapecio ABCD es 10πu2; BC = 4.
Calcule el perímetro del sector circular COD.
D A O
A
45° B
A) 3(π+6) C) 4(π+6) E) 5(π+6)
5
3
C B) 3(π+8) D) 4(π+8)
55
C B
12. Si el área del sector circular AOB y el área del trapecio circular BCDE están en la relación de 5 a 3.
