Trigonometría T rigonometría www.cidech.net
1.
Calcular la medida en grados centesimales de un ángulo que cumple lo siguiente:
A) B) C) D) E)
R 2= S(π –200)+C(180–π)+R(20+π) siendo S, C y R lo convencional. A) 100g D) 200g 2.
1,5 1 0,5 3 2,5
7µ 10µ2 12µ2 15µ2 20µ2
C
7.
B
a
O
M
r C
N
Si ABCD es un cuadrado, calcular el mayor valor de "tg a", si, MP = 1 PR 2 M B C
a
A
P
O A
D C
A) 2+ 5 4 D) 7+ 2 3
Hallar "θ" (O es centro y 2BC=OD).
5.
Calcular el lado del triángulo equilátero ABC en función de "a", siendo "O" centro y r=1 m.
B
S De la gura, si: AOB = 1 SCOD 4
A) π /10 B) π /5 C) π /7 D) π /9 E) π /6
C
A
2
B
53°
A) 1 + seca B) 1+csca C) 2+csca D) 3(2+seca) E) 2 3 (2+csca) 3
B A
120 π /9 130 π /9 140 π /9 150 π /9 160 π /9
D 6.
Del gráco, dados los sectores circulares, calcular el área 5 sombreada. Datos AB = µ π BC=4πµ, AD=2πµ A) B) C) D) E)
4.
C) 20g
Del gráco adjunto, calcular el número de vueltas que da la rueda en ir de la posición "A" hasta la posición "C". Si: BC=2AB=3πr cm A) B) C) D) E)
3.
B) 10g E) 50g
F
A
A
B D
θrad
C
Del gráco ABCD es un cuadrado; sea "S" el número que representa el área de la región sombreada. Calcular: S+42, siendo F un arco con centro en D. Dato: EC = 3 BE = 12
8.
D
R
C) 4+ 5 3
B) 2+ 5 2 E) 6– 3 2
Calcular la altura del reservorio mostrado si se conoce "θ" (que es el ángulo que hace la pared del reservorio con la vertical), también φ y d. A) d(tgθ +ctgφ) B) d(tgθ +secφ) C) d(tgθ +ctgφ)–1
H
θ
D) d(ctgθ +tgφ) E) d(ctgθ +ctgφ) –1
φ d
GUÍA DE REPASO
9.
De la figura hallar AC en términos del radio de la circunferencia ("r") y el ángulo " θ", P, Q y R son puntos de tangencia.
Y
A) a(1+tg(45°+θ)) D
B) r(1+tg(45°– θ)) C) r(secθ +csc θ)
r
D) r(1+cos(45°+ θ))
R
Y C
A
3 18 3 E) – 15
30°
D
16.
X
17.
Si: 180°< a < 270°, señala la alternativa correcta respecto a: J N J N T = senK a O cos220° + secK θ O .sen(–140°) L 3P L2P B) (–) E) Neutro
C) (+) o (–)
Calcular el valor de: L = sen[(2k+1)90°]+csc[(2k–1)90°]+cos[(2k+3)90°] si: K ∈ Z A) –1 B) 0 C) 1 D) 2 E) –2 Indicas la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. senK K O = 0 ; si k es par L 2P
y
C
a
II. cosK K O = (–1)k ; si k es impar L 2P III. sen(k π+x)= –senx ; si k es par IV. cos(k π –x)= –cosx ; si k es impar
x
B
C) 3
53°
D) 8
A) FFFF D) VFFV
A
E) – 5
18.
Si < 0°. 360° >.
Hallar el signo de las expresiones:
J N
J N
J
N
A= senK θ O cotK θ O secK θ +45°O L3 P L3P L4P A) (+) o (–) D) (+) y (–)
B) (+) E) Neutro
19.
C) (–)
A) -2 2 D) 2 2
B) E)
2 2
C) – 2
2
Del gráco mostrado, calcular: L = 5tanθ + cotβ. Si además: Tana= 2,5
20.
C) VFVF
Si se cumple: 2–secy– cosy C) 0
Si: –1/4 < x ≤ 5π /6 Calcular: K = 2(senx) max –(cosx)min A) 1 + 3 2 D) 3 2
Si: a y θ son ángulos coterminales, simplicar: cot (3a –3θ+45°+c) + cos a secθ J 8a –8θ+90°N O senK 2 L P
B) FVFV E) VFVV
cosy+secy = 2ksen π – 4 Calcular el valor de "k" A) –1/2 B) 1/2 D) –1 E) 1
Además: |senθ| = −senθ ............................. (1) cscθ.cosθ > 0 .............................. (2)
14.
C) 0,5
J πN
B) – 11
M=
X
J πN
Del gráco, si: AB=2BC Calcular: K= 8tana –3cota A) 11
13.
B) 2,5 E) 3,6
A) (+) D) (+) y (–)
a
3
D) 25
12.
15.
M
28 3 C) – 15
A) 5,6 D) 0,8
B
A
B
3 5
B) –
a
β
Del gráco; ABCD es un rombo. Calcular: tana + cota A) – 5 12 3
11.
P 2θ
E) r(tgθ +ctgθ) 10.
θ
C
B) 1
C) 2 +
3 2
E) 5 + 3 2
Del gráco, calcular " θ" si el área sombreada es igual a 0,125µ2 Y A) 120° θ B) 110° C) 150°
X
D) 135° E) 115°
x2 + y2=1
GUÍA DE REPASO
21.
Del gráco, calcular: "tang a"
27.
Y T: pto de tangencia
A) B) C) D) E)
T
a
30°
X
N
N
N
D) – O 15+2 O P 3 P 22.
N
B) – O 15+1 O P 3 P
A) – 3
E)
C) –
3 2
28.
29.
1 2 csc θsecθ 2
Y
C) – 1 sen2θcosθ 2
θ 30.
E) 1 senθcscθ 2
24.
0,5(sena + cosa + 1) 0,5(sena + cosa – 1) 0,5(cosa – sena + 1) 0,5(sena – cosa – 1) 0,5(cosa – sena – 1)
A
D)
25.
26.
C.T.
A
A)
〈 34π ; 74π 〈 B) 〈 54π ; 74π 〈
D)
〈 π4 ; 54π 〈 E) 〈 π4 ; 32π 〈
Si: tg2θ = 3cosβ, θ∈ – π ; π 2 2 de: E = 2 cos2θ + 1 A) [1;3] B) [1;2]
C) A + 4
C) A2B2+1
P
B T
φ C
X A) 61 41 35 D) 32
M
C) [0; π 6
C)
C) [2;3]
E) –
64 41
C) –
64 49
32.
Calcular: A= ctg25° – tg5° – 2ctg25°. tg5°.sen60°
〈 π4 ; 74π 〈
〈
35 32
Determinar el área de la región sombreada. Si: cos (a – β) = 2/3 Además: a ∧ β arcos en posición normal. A) 1/3 Y B) 5 3 β C.T. C) 5 6 O X D) 3 4 a P E) 3 2
, hallar la extención
B) –
31.
Hallar un intervalo en el cual E=senx – cosx es positivo.
E) [ 3;2]
B) (a2b2+12)2 E) (ab+1)2
D
〈 54π ; 74π 〈
〈
B) A2 + 8 E) –(2A – 1)
a
〈 π4 ; 52π 〈 E) 〈 π4 ; 32π 〈
D) [2 3 ;3]
S
C.T.
y
tg2θ – 3senx = 0 B)
θ
Y B
Si θ es un arco positivo menor que 2 π, hallar un intervalo de θ para que se verique:
4π ; 3π 3 2
R
Hallar:"tgφ" Si: 7AP = PB = 7 BT = 7 TC 3 2
Calcular el área de la región triangular BAM.
A)
N
Si: Seca+ 1 =atg2a seca – 1 =bctga Determinar: P = (ab) 2sec2csc2a A) ac+1 D) (a2b2 –1)
X
D) – 1 cos2θsenθ 2
A) B) C) D) E)
B
Si tga – ctga = A Determinar: P =csca. secaen términos de "A" A) A2 + 4 D) A + 4
3
B) – 1 sec2θcscθ 2
23.
Y
0,5(secθ – tgθ) 0,5tgθ 0,5cscθ 0,5(tgθ – secθ) 0,5secθ .(cscθ – 1)
3
2–
En la C.T. mostrada, hallar el área sombreada. A) –
Hallar el área de la región sombreada.
A) 1+ 3 D) – 2
B) E)
3 2
C) 1 – 3
X
GUÍA DE REPASO
33.
34.
En un triángulo ABC se cumple: 3ctgB – 7ctgC = 2mtgA 8ctgA – 9ctgB = ntgC 10ctgC – 2ctgA = ptgB Determinar la relación que se cumple entre "m" "n" y "p". A) 2m+2n+p=1 B) 20+n+p=1 C) 2m+n+p=2 D) m+n=2p E) 2m–n=2p
40.
2tanθ – sen2θ tank θ = 2cotθ – sen2θ calcular: "k" A) –4 B) 2 E) –2 E) 1/4 41.
B) ±1 E) –1
D) a – b a b
C) 1 42.
C) 4
Si asen2x – bcos2x = 0 hallar el equivalente de: A) 2(a2 –b2)
Sabiendo que: csc2a+1 = 2(ctg2b+csc2b) Hallar: y = tgb tga A) ±2 D) –2
En la siguiente identidad:
A = 4cot2x.csc2x
B) 2(a4+b4) 3 3 E) 2 JK a +b ON L ab P
C) a2+b2
Si se verica la siguiente igualdad: sec2x + csc2x= n(tanx + cotx)
35.
Simplicar: 2cos(x1 – x2) E= − tgx2 sen(x1 + x2)+sen(x1 – x2) A) tanx2 D) ctgx1
36.
B) 4 t2 E) t3
43.
44.
A) 1 D) –2
C) 4
45. k
ctg (ax)
B) –1 E) 0
C) 2 46.
39.
Determinar la longitud DC, si: BE = 1 A) B) C) D) E)
seca sec2a 2 1 csca
C) – 1
Del gráco mostrado, calcular:
C) 2 D) 1 θ 3 E) 2 3L 3 Si: P = sen A sen(B–C) Q = sen B sen (C–A) R= sen C sen (A–B) Calcular N = P + Q + R A) 0 B) 1 D) 2 E) –2
2θ
C) –1
En un ∆ ABC acutángulo el equivalente de: bc 1+cos2A + ac 1+cos2B + ab 1+cos2C
B
a
C
A) a+b+c 4 D) a2+b2+c2
2a A
B) 1 E) – n
N = sen3θ + cos3θ cosθ además, L: lado del cuadrado mostrado. A) 1 B) 1 2
De la siguiente igualdad: =
C) n+m
Si: 0°< θ < 45° ∧ n>0, además: cos32 θ +cos22θ + n2cos2θ + = n2 entonces: (ntg3θ + tg2θ + ntgθ) es igual a: A) 0 D) n
Simplicar la expresión:
1 1 + cotx +1 cotx – 1 calcular: "a+k"
B) 1 E) n2+n2
C) 22
θ 1 – cosθ + 4sen2 4 θ 1 – cos 2 A) secθ B) sen2θ D) senθ + cosθ E) 2 38.
E=4csc22x A) n D) n2
C) tgx1
Conociendo los valores de: 2 sen(a+b) – 1 =0 ; sen (a–b) – = 0 t t además: 2 ∈ (–1 , 1) t decir a que es igual: M = sen 2a–sen2b A) 2 t2 D) 3 t2
37.
B) cot(x1+x2) E) ctgx2
Hallar la expresión equivalente en términos de "n" de:
D
B) a+b+c 2 E) a2+b2+c2 2
C)
2(a+a+c)
GUÍA DE REPASO
47.
Dos triángulos equiláteros ABC y ABD forman un ángulo diedro de 90°. Calcular el coseno del ángulo DAC. A) 1/3 B) 1/4 C) 5 /14 D) 2 2 /3 E) 3/4
54.
En el gráco, calcule puntos de tangencia.
34 (sena+cosa) si A y B son
A) –6 B
B) –9 48.
Resolver el sistema: x + y = π .................... (1) 4 2 sen2x + sen2y = .............. (2) 2 A)
π ; − π
12
3
X
C) –10 37°
D) –5 A
E) –8 C) 5π ; – π 6 12
55.
Del gráco mostrado, calcule Cos θ
θ
Indicar el valor de verdad de cada proposición:
J 2 πN I. senK 2x+ O = ⇒ Valor princ. = π /4 2 7P L
60°
II. cos2x= 1 ⇒ x = k π ; k ∈Z III. tg4x = –1 x = k π + 3π ; k ∈Z 4 16 A) VFV D) VFF 50.
51.
53.
C) VVF
56.
A
1 2 3 4 1 2
c
b
A) 3 4
B) 1 2
D) 2 7
E) 13 14
C) 1 13
Dado un triángulo ABC donde m\c =45°; además a2 –b2 = 2 2R 2, calcular k = tg2A –3tg2B A) –1 B) –2 C) –3 D) – 4 E) –5
r 57.
B
a
C
B) 2 E) 5
Dado un triangulo ABC (recto en B) simplicar: M = CscA + SecA + ctgA + tgA – CosA –SenA
Determina el valor de "θ" que verica la igualdad. a°48' = θg
A) 1 D) 4 52.
B) FVF E) VVV
2p Simplicar: ; (P: semiperímetro del triángulo A a + rctg ABC) 2 A) B) C) D) E)
Y
E) 7π; – π 24 24
D) 3 ; – π 8 3 49.
B) 5π; – π 14 28
a
A) a+b+c abc
C) 3
2 2 2 D) a +b –c abc
Si, a, β y θ son los ángulos internos de un triángulo y se cumple que tga = 1 y tga tgβ = 1 2 3 Calcula: tgA+tgB+tgC A) – 1 24
B) – 1 5
D) – 7 5
E) – 7 4
58.
2 2 2 B) a +b +c abc
3 3 3 C) a +b +c abc
3 3 3 E) a +b +c abc
Elimine θ: x–asen2θ = b y–acos2θ = b
C) – 7
12
A) x+y=2a+b C) x+y=2a–b E) x+y=a–b
B) x+y=a+2b D) x–y=2b – a
Si: 3senθ = 2sen(θ+x)– Cosθ 59.
Cosθ = 2Cos(θ+y) + 3senθ Calcule cos(y–x) si A y B son ángulos agudos A) – 1
2
D)
2 2
B) – E)
3 4
3 2
C) 1 2
Si se cumple: tg2 + ctg5= sec 22 Calcule: M = tg3 + tg2 A) 1 2 D) 2
B) 1 E) 5 2
C) 3 2
GUÍA DE REPASO
60.
En la gura mostrada, halla el valor de: M = AB.Sen (x−y).Secy A) B) C) D) E)
61.
BD AC CD BC AD
A) 1/k D) k
B 66.
y°
,
,
,
3 7
E) – 1 5
,
3 4
C) – 1 4
,
1 4
67.
A) a–b D) ab
B) a –b E) a/b
C) a+b
B) 2 2 E) 2 /4
A) B) C) D) E) 65.
2 –1 –2 1 0
B
C
En un triángulo ABC, BC=a, AC=b, AB=c, se tiene: bc + sec(A)
ac + sec(B)
Calcule: a2+b2+c2
ab = k sec(C)
E) 3π
Hallar la ecuación de la parábola de vértice el punto (4; –1) y foco (4; –3) A) x2 –8x+5y+21=0 B) x2 – 8x+8y+22=0 C) x2 –8x+8y+22=0 D) x2 –8x+8y+23=0 E) x2 –8x+8y+24 = 0
70.
Desde lo alto de un muro, de 8m de altura, se observan la base y la parte superior de un edicio de 26m, con ángulos de depresión y elevación complementarios, ¿Qué distancia separa al muro del edicio? A) 8m B) 10m C) 12m D) 16 E) 20m
b
a
D) 3π 2
C) 3π
69.
A
c
B) π 2
Encuentra la ecuación de la circunferencia que sea tangente a los dos ejes de coordenadas de radio r=8 y cuyo centro esté en el primer cuadrante. A) x2 + y2 + 8x + 8y + 72 = 0 B) x2 + y2 – 16x – 16y +64 = 0 C) x2 + y2 – 30x – 8x +36 = 0 D) x2 + y2 – 8x – 8x + 42 = 0 E) x2 + y2 – 16x – 8x + 42 = 0
Con los datos de la gura. Halle el valor de: sen(A+B) sen(A)+sen(B) – C a+b
θ
π A)
68.
2
C)
J θN
4
sen17° + cos17° sen31°cos31°
64.
CtgK O+1 L2P 1–tg K O L2P
Al simplicar la expresión:
Se obtiene. A) 2/2 D) 4 2
En la gura se sabe que el área del círculo inscrito es la tercera parte del área de la región triangular ABC, calcule. L=
2
C) 3π 5
J θN
J N J N Si tgK 4xO =a y tgK 3xO =b, entonces al simplicar: L7P L7P J N E=(1–a2b2).tg(x) tgK x O ; se obtiene: L7P 2
b2=a2+c2 –( 5 +1 )ac 2
Calcule la medida del ángulo A. π A) B) 2π 5 5 D) 9π E) 4π 10 5
C
A
1 – 2cosx , x∈R |cosx – 3|+1 1 1 A) – 1 3 B) – – 3 4 3 5
63.
En un triangulo ABC se cumple: c2=a2+b2 –( 2 –1 )ab 2
x°
g(x) =
62.
C) k/2
D
Hallar el rango de la función real g denida por
D) 1 3
B) 2/k E) 2k
