trigonometría_4_año_www.pre-universitarios.blogspot.pe.pdf

ÍNDICE UNIDAD I

NECESIDAD DE MEDIR

Capítulo 1

Capítulo 4

Sistema sexagesimal y centesimal ......................

5

Características del ángulo trigonométrico ....... ...... 36

Capítulo 2

Capítulo 5

Sistema sexagesimal y radial ..............................16

................47 47 Fórmula de conversión de sistemas .................

Capítulo 3

Capítulo 6

Sistema sexagesimal, centesimal centesimal y radial ............ ........... 26

Repaso

UNIDAD II

................. ......................... ................. ............. 56

UNIVERSO CURVILÍNEO

Capítulo 1

Capítulo 3

Cálculo de la longitud de un arco

................. ....................... ...... 61

Miscelánea

................. ......................... ................. ............. 83

Capítulo 2 Superficie de un sector circular ..........................73

UNIDAD III

DISTANCIÓMETRO TLM-300

Capítulo 1

Capítulo 5

R.T. R.T. de un ángulo agudo agudo I .............. .............. .......

.................. 130 Resolución de ángulos verticales ..................

89

Capítulo 2

Capítulo 6

R.T. R.T. de un ángulo agudo II .............. .............. .......100

Resolución de triángulos rectángulos ........... .......... 140

Capítulo 3

Capítulo 7

R.T. de ángulos notables

................ ......................... ................. ............ ....111 111

Plano cartesiano

Capítulo 4

Capítulo 8

.......122 Propiedades de las razones trigonométricas.......122

Repaso

UNIDAD IV

................. .......................... ................. ........151 151 ................. .......................... ................. ........162 162

EL RADAR COMO ARMA ESTRATÉGICA

Capítulo 1

Capítulo 2

R.T. R.T. de ángulos de cualquier medida I .............. ..167

......... 177 R.T. de ángulos de cualquier medida II .........

ÍNDICE UNIDAD I

NECESIDAD DE MEDIR

Capítulo 1

Capítulo 4

Sistema sexagesimal y centesimal ......................

5

Características del ángulo trigonométrico ....... ...... 36

Capítulo 2

Capítulo 5

Sistema sexagesimal y radial ..............................16

................47 47 Fórmula de conversión de sistemas .................

Capítulo 3

Capítulo 6

Sistema sexagesimal, centesimal centesimal y radial ............ ........... 26

Repaso

UNIDAD II

................. ......................... ................. ............. 56

UNIVERSO CURVILÍNEO

Capítulo 1

Capítulo 3


................. ....................... ...... 61

Miscelánea

................. ......................... ................. ............. 83

Capítulo 2 Superficie de un sector circular ..........................73

UNIDAD III

DISTANCIÓMETRO TLM-300

Capítulo 1

Capítulo 5

R.T. R.T. de un ángulo agudo agudo I .............. .............. .......

.................. 130 Resolución de ángulos verticales ..................

89

Capítulo 2

Capítulo 6

R.T. R.T. de un ángulo agudo II .............. .............. .......100

Resolución de triángulos rectángulos ........... .......... 140

Capítulo 3

Capítulo 7

R.T. de ángulos notables

................ ......................... ................. ............ ....111 111

Plano cartesiano

Capítulo 4

Capítulo 8

.......122 Propiedades de las razones trigonométricas.......122

Repaso

UNIDAD IV

................. .......................... ................. ........151 151 ................. .......................... ................. ........162 162

EL RADAR COMO ARMA ESTRATÉGICA

Capítulo 1

Capítulo 2

R.T. R.T. de ángulos de cualquier medida I .............. ..167

......... 177 R.T. de ángulos de cualquier medida II .........

UNIDAD V

¿CÓMO UBICAR UN LUGAR GEOGRÁFICO?

Capítulo 1

Capítulo 2

Reducción al primer cuadrante I ........................186

Reducción al primer cuadrante II ............. ...........193

UNIDAD VI

UNA RECTA ORIENTADA EN LA TRIGONOMETRÍA

Capítulo 1

Capítulo 3

Circunferencia trigonométrica I

................. ........................ .......200 200

................ 216 Circunferencia trigonométrica III. ................

Capítulo 2

Capítulo 4

Circunferencia trigonométrica II ........................210

Repaso

UNIDAD VII

................ ......................... ................. .......... 219

LA IMPORTANCIA DE LA IDENTIDAD

Capítulo 1

Capítulo 5

I. T. de un ángulo simple ............. .............. ..........222

I. T. de variable va riable doble

Capítulo 2

................ ......................... ................. .......... 253

Capítulo 6

I. T. de una variable parte II .................... .............230

Ecuaciones trigonométricas

................ ........................ .......... 261

Capítulo 3 Identidades trigonométricas auxiliares ..............237

Capítulo 7 Repaso

Capítulo 4 I. T. de la suma y diferencia de variables

................ ......................... ................. .......... 267

............ ............244 244

TRILCE

UNIDAD I

NECESIDAD DE MEDIR

E

l hombre siempre ha tenido la necesidad de medir: contar objetos, contar dinero, medir distancias, pesar objetos o personas, medir el tiempo, etc., porque resulta útil para su vida diaria.

La imagen muestra un instrumento de medición digital, poco conocido, para medir espacios: de d e una vivienda o de cualquier edificación, sin la necesidad de recurrir a una un a regla o cinta métrica. Basado en una fórmula del triángulo, el usuario debe apuntar el dispositivo a los extremos del espacio que desea medir y la flecha rotativa más los dos brazos con detector calculan la distancia mediante rayos láser.

APRENDIZAJES ESPERADOS

Comunicación matemática

• Formular ejemplos de ángulos medidos en los sistemas estudiados. Resolución de problemas • Resolver problemas que involucren la medida de ángulos en los sistemas de medición angular. Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas • Aplicar estrategias estrategias de conversión en los sistemas de medición angular.

Trigonometría Razonamiento Matemático

1

Sistema sexagesimal y centesimal

¿Crees que tomaron en cuenta las mediciones para construir la fuente? ¿Cómo crees que se logró? ¿La medida de los ángulos tienen importancia en el diseño?

¿PARA QUÉ MEDIR? El Circuito Mágico del Agua en el Parque de la Reserva, inaugurado el 26 de julio de 2007, sigue causando la admiración del público nacional e internacional. Obtuvo el reconocimiento del Records Guinnes como "El Complejo de Fuentes más Grande del Mundo en un Parque Público". El Circuito comprende trece impresionantes fuentes distribuidas a ambos lados del Parque de la Reserva. Las fuentes más grandes del Circuito son la Fuente Mágica con más de 80 m de altura y la Fuente de la Fantasía cuyas aguas despliegan un fastuoso espectáculo con formas y guras iluminadas que danzan al compás de la música y del movimiento del agua. Seguimos con la Fuente de la Ilusión, la Fuente de la Cúpula Visitable, la Fuente Tanguis, la Fuente de la Armonía, la Fuente del Arco Iris, la Fuente Túnel de las Sorpresas, la Fuente Laberinto del Ensueño, la Fuente de la Vida, la Fuente de las Tradiciones, la Fuente Río de los Deseos y la Fuente de los Niños.

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Unidad I

5


Conceptos básicos

¿Qué es medir ángulos? Medir ángulos es establecer una correspondencia entre el conjunto de los números reales y el conjunto de los ángulos. Algunos de los sistemas para medir ángulos son el sistema sexagesimal (sistema inglés) y el sistema centesimal (sistema francés).

¿Cómo se obtienen estos sistemas de medidas de ángulos? Sistema sexagesimal: se considera al ángulo de una vuelta dividida en 360 partes iguales llamadas grados (º), cada grado (1º) está dividido en 60 partes iguales llamadas minutos y a su vez estos están divididos en 60 partes iguales llamadas segundos. Los símbolos para estas unidades son: grado: º minuto: ' segundo: " Así tenemos que: B 1 vuelta <> 360º 1º <> 60' 1' <> 60" S O L P M E J E

1. Si un ángulo ABC mide 36 grados 27 minutos y 28 segundos, se escribe: 36º 27' 28". Para sumar ángulos en el sistema sexagesimal se procede como sigue: • Se hace la suma de segundos con segundos, minutos con minutos y grados con grados. 25º 45' 56" + 59º 57' 39" 84º 102' 95" • Como cada 60 segundos es un minuto, entonces la columna de los segundos nos alcanza para formar un minuto y 35 segundos. El minuto completo lo pasamos a la segunda columna. 25º 45' 56" + 59º 57' 39" 84º 103' 35"

Inténtalo tú

Sumar los siguientes ángulos: 43º 36' 49" + 25º 12' 16" Respuesta: 68º 49' 05"

• Como cada 60 minutos es un grado, entonces la columna de los minutos nos alcanza para 1 grado y sobran 43 minutos; el grado que nos sobró lo agregamos a la columna de grados quedando como: 25º 45' 56" + 59º 57' 39" 85º 43' 35"

Inténtalo tú

Sumar los siguientes ángulos: 43º 46' 29" + 25º 52' 16" Respuesta: 69º 38' 45"

Si en la suma de las columnas de los minutos y los segundos no llegan a 60 se dejan tal como está. Sumar los siguientes ángulos: 25º 23' 26" + 59º 17' 19" 43º 17' 29" + 15º 31' 16" Inténtalo tú 84º 40' 45" Respuesta: 58º 48' 45"

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1

2. Las siguientes notaciones hay que escribirlas correctamente: 47° 192' 78" = 47° 193' 18" = 50° 13' 18" Escribir correctamente: 129º 156' 98" Respuesta: 131º 37' 38"

45º 13' 80" + Inténtalo tú 90º 135º 13' 80" = 135º14'20"

• Para realizar una resta en el sistema sexagesimal, se siguen los pasos realizados en la suma, pero ahora en lugar de sumar hay que restar. 3. Restar el siguiente ángulo. 195º 156' 320" 57º 10' 88" 138º 146' 232"

195º 156' 320" 57º 10' 88" 138º 149' 52"

–

195º 156' 320" 57º 10' 88" 140º 29' 52"

–

–

Observación

• Primera parte: en la notación del sistema sexagesimal se debe tener presente: AºB'C" = Aº + B'+ C" • Segunda parte: para convertir de grados a minutos o de minutos a segundos y viceversa se recomienda el siguiente diagrama: x 60 Grado

x 60 Minuto

Segundo

: 60

O L P M E J E

: 60

1. Obtener el valor de: E= 2º2' +3'3'' 2' 3'' Resolución: aplicando la observación anterior parte I: E= 2° + 2' + 3'+3" ahora de la primera 2'

3"

fracción convertimos los grados a minutos aplicando la observación parte II y de la segunda fracción los minutos a segundos aplicando también la observación parte II. E=

2 # 60'+2' 3 # 60"+3" + 2' 3"

Por lo tanto: E = 61 + 61

Inténtalo tú

"

E=

120'+2' 180" + 3" + 2' 3"

"

E= 122' + 183" 2' 3"

E = 122 Obtener el valor de: E= 4°5' + 6'9" 5'

3"

Respuesta: 172

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Unidad I

7


Sistema centesimal: se considera el ángulo de una vuelta dividido en 400 partes iguales llamadas grados centesimales, cada grado está dividido en 100 partes iguales llamados minutos centesimales y, estos a su vez están divididos en 100 partes iguales llamados segundos centesimales. Los símbolos para estas unidades son: Grado: g Minuto: m Segundo: s Así tenemos que: g B 1 vuelta <> 400 1g <> 100m 1m <> 100s

O L P M E J E

1. Si un ángulo ABC mide 83 grados centesimales 76 minutos centesimales y 38 segundos centesimales, se escribe: 83g 76m38 s Para sumar grados en el sistema centesimal se procede como sigue: • Se hace la suma de segundos con segundos, minutos con minutos y grados con grados. 99

g

58

59

g

57

158

g

115

m m m

67 39 106

s

+

s s

• Como cada 100 segundos es un minuto, entonces la columna de segundos nos alcanza para formar un minuto y 6 segundos. El minuto completo lo pasamos a la segunda columna. 99g

58

5 9g

57

158g

116

m m m

s

67

+

s

Sumar los siguientes ángulos: Inténtalo tú

39

g m s g m s 43 46 79 +25 52 86

Respuesta: 68g 99m65s

s

06

• Como cada 100 minutos es un grado, entonces la columna de minutos nos alcanza para 1 grado y sobran 16 minutos el grado que nos sobró lo agregamos a la columna de grados quedando como: 99

g

58

59

g

57

159

g

16

m m m

s

67

+

s

Inténtalo tú

39 6

Sumar los siguientes ángulos: 43g 98m39s + 25g 87m56 s


s

Si en la suma de las columnas de los minutos y los segundos no llegan a 100 se dejan tal como está 113

g

33

87

g

17

200g

50

m m

m

s

20

s

48

s

68

+

Sumar los siguientes ángulos: Inténtalo tú

g

m

s

g

m

49 26 39 + 14 12 41

s


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Observación •

Primera parte: en la notación del sistema centesimal se debe tener presente: Ag Bm Cs = Ag + Bm + Cs

•

Segunda parte: para convertir de grados a minutos o de minutos a segundos y viceversa

se recomienda el siguiente diagrama: x 100 Grado

x 100 Minuto

: 100

Segundo : 100

Relación entre ambos sistemas • Para el sistema sexagesimal o también conocido como sistema Inglés se cumple: El ángulo de una vuelta equivale a 360º • Para el sistema centesimal o también conocido como sistema Francés se cumple: El ángulo de una vuelta equivale a 400g • Entonces: 1 B de una vuelta <> 360º <> 400g De aquí se desprende: 360º <> 400g Simplicando podemos obtener: 9º <> 10g

Conversión entre sistemas Una conversión de unidades consiste en expresar una cierta cantidad de magnitud que está dada en una cierta unidad, en otra ya sea del mismo sistema de medida o de otro.

Método del factor de conversión Si se sabe que al multiplicar una magnitud por la unidad (por uno) no cambia su valor: Lo que se hace es expresar ese “1” en forma útil. Así, sabemos que: 9°<>10g

•

&

9° = 1 # 9°

g 1= 9°g = 10 9° 10

Si queremos expresar en grados sexagesimales una magnitud que conocemos en grados centesimales, haremos. 9° # 60g = 54°. Entonces: 60g <>54° 60g=1# 60g g &

10

O L P M E J E

1. Convertir 72º a grados centesimales. 72° = 1 # 72° &

g

g 10 # 72° = 80 9°

; Entonces : 72° <> 80g

En general para convertir de un sistema a otro. Unidad que quiero Unidad que no quiero

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9


Síntesis teórica

e d i m a t l e u v a n u e d

0 0 1 x s e d a d i n u b u s

B

0 0 1 x

l e n e e d i m e s

e d i m a t l e u v a n u e d B

0 9 1

0 9 1

#

#

0 6 x s e d a d i n u b u s 0 6 x

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Problemas resueltos 1. Convertir 153º al sistema centesimal.

4. Convertir 132g al sistema sexagesimal.

Resolución

Resolución

Unidad que quiero: centesimal

"

10

Unidad que no quiero: sexagesimal

g

"

9º

A 132g se va a multiplicar por el factor de conversión: 9°g 10

A 153º se multiplicará por el factor de g

conversión:

g

"

"

10 9°

10 153° # 9°

= 170

g

132 #

9° 10

g

=

1188° 10

= 118,8º = 118º + 0,8º

La parte decimal se convierte a minutos aplicando la observación 1 parte II, es decir:

g

0,8 x 60' = 48'

"

El ángulo mide: 118º 48'

2. Convertir 160g al sistema sexagesimal. Resolución

5. Si

Unidad que quiero: sexagesimal

"

Unidad que no quiero: centesimal

10

10

g

160 #

9°

g =144º

10

3. Convertir 121º al sistema centesimal. Resolución

A 121º se multiplicará por el factor de conversión: "

121° #

g

10 9°

y - 37 -1 x

K=

g

A 160g se va a multiplicar por el factor de conversión: 9°g "

se expresa de la forma xgym,

determinar el valor de:

9º "

o

` 243 j 20

Resolución

Como nuestras incógnitas están en el sistema centesimal entonces convertimos:

`

243 o 20

`

243 o 10g # 20 9°

j

j

al sistema centesimal. Por lo tanto: g

"

` 243 j 18

= 13, 5

g

Según la recomendación del ejercicio 3 el ángulo mide 13g 50m si comparamos con la condición del problema tendremos:

g

=134,4444g

10 9°

Para llevarlos a grados, minutos y segundos a partir de la coma decimal se separa de dos en dos por lo tanto el ángulo mide: 134g 44m44s

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xgym = 13g50m

"

x = 13; y = 50

Si reemplazamos en: K=

50 - 37 13

-1= 0

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11

Sistema sexagesimal y centesimal 10 x 5 50

Aplica lo á comprendido s o c i s b s o t p e c n o C 1. A Juan se le pide ordenar en forma decreciente los ángulos: a=10º y b = 10g ¿Cuál será el orden elegido? 2. Si para el sistema sexagesimal el ángulo de una vuelta fue dividido en 360 partes y a cada una de esas partes se denominó 1º; de donde se deduce que el ángulo de una vuelta en el sistema sexagesimal mide 360º y para el sistema centesimal el ángulo de una vuelta se dividió en 400 partes iguales denominando a cada parte como un 1g, deduciendo una vez más que el ángulo de una vuelta mide 400g. Entonces podríamos dividir el ángulo de una vuelta en 280 partes iguales y a cada una de estas partes le denominamos 1* entonces que podemos inferir respecto a este hecho. • Para este nuevo sistema de medición angular el ángulo de una vuelta mide: Ángulo de una vuelta = • Las equivalencias entre los sistemas sexagesimal, centesimal y el nuevo sistema son: 360º equivale a 400 g que equivale a * • Las relaciones simplicadas de equivalencias para los tres sistemas son: ............º <> ...............g <> .............*

3. Establecer una relación de orden (< ; >; =) en: 1º

1g.

4. En la gura se muestra que el ángulo girado por el mango de las tijeras en el sistema inglés es 81º. Determinar que ángulo gira en el sistema francés.

5. Si la llave Stillson gira un ángulo de 220g, ¿qué ángulo en grados sexagesimales gira la tuerca?

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1

Aprende más... s o c i s á b s o t p e c n o C 1. Expresar 171º al sistema centesimal. a) 180g b) 190g c) 200g d) 210g e) 220g

10. Convertir 54g al sistema sexagesimal. a) 48º48' b) 48º36' c) 47º45' d) 42º38' e) 46º32'

2. Expresar 198º al sistema centesimal. a) 280g b) 290g c) 220g d) 210g e) 270g

11. Efectuar la siguiente suma: K = 32g 76m 98s + 37g 99m 63s a) 72g76m61s b) 79g86m71s

3. Expresar 110g al sistema sexagesimal. a) 99º b) 100º c) 110º d) 120º e) 130º 4. Expresar 230g al sistema sexagesimal. a) 207º b) 206º c) 227º d) 208º e) 237º 5. Efectuar la siguiente suma: K = 12º36'18" + 27º49'53" a) 40º25'11" b) 41º26'11" c) 40º16'11" d) 40º26'11" e) 42º16'21" 6. Efectuar la siguiente suma: K = 52º56'48" + 37º59'43" a) 90º56'31"

b) 41º56'31"

c) 61º56'31"

d) 90º26'21"

e) 42º16'21" 7. Siendo: 23º41'17'' + 17º32'56'' = aºb'c'' calcular: M= a - b c-4 a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

8. Siendo: 18º32'41''+21º14'22''+3º26'12''=aºb'c'' calcular: P= a - b c a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 69g76m61s e) 70g76m61s

d) 71g76m51s

12. Calcular: J = 4°6' 3'

a) 82 d) 85

b) 83 e) 86

c) 84

13. Calcular: J=7º12' + 3º3' 6' 3' a) 122 d) 125

b) 133 c) 124 e) 136 14. Siendo mº y ng ángulos suplementarios los cuales se encuentran en la relación de dos a tres respectivamente, calcular el valor de: G=

4n 3

a) 12 d) 15

+

m- 7

b) 13 e) 16

c) 14

15. Siendo mº y ng ángulos complementarios los cuales se encuentran en la relación de dos a tres respectivamente, calcular el valor de: G=

a) 12 d) 15

7n 3

200 + m - 7

b) 13 e) 16

c) 14

c) 3

9. Convertir 32g al sistema sexagesimal. a) 28º48' b) 18º36' c) 27º45' d) 32º48' e) 26º32'

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13


Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 16. ¡Qué calor! La señora Jiménez posee un abanico cuya abertura es 178°30'. La señora Suárez posee un abanico cuya abertura es 190g 50m. ¿Cuál de ellas puede darse mayor cantidad de aire, si los abanicos poseen igual radio?

Sra. Jiménez

Sra. Suárez

17. Reparando la bañera Para llegar al tope de la tuerca falta girar 72º. Si Pepe desea girar la llave de tuercas un ángulo de 78 g, ¿con este giro quedará asegurada la bañera?

18. La Torre del Reloj El Parque Universitario está ubicado en el Centro Histórico de la ciudad de Lima, capital del Perú. Es de forma rectangular y se encuentra entre las intersecciones de las avenidas Abancay y Nicolás de Piérola. Llamado así por encontrarse en él, la antigua casona de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos, considerada la primera universidad de América. Llamada también la Torre Alemana o del Reloj, fue donada por los residentes alemanes en el Perú por el Centenario de la Independencia del Perú en 1921. Tanto a las doce del mediodía como a las seis de la tarde sus campanadas tocaban la primera estrofa del Himno Nacional del Perú. Determina la medida del menor ángulo que forman las agujas del reloj a las 5:48 horas

¡Tú puedes! s o c i s á b s o t p e c n o C 1. Expresar en grados centesimales: X = 2 (a - b + c) Si: a=21º27'14"; b=1º42'37"; c=23" a) 43,8 g

b) 41,8 g

c) 43,6 g

d) 42,8g

e) 43g

2. La unidad de medida de un nuevo sistema se representa mediante 1u. Calcular el número de minutos sexagesimales que contiene esta nueva unidad, si: x u = x g x m xs a) 54,5454 3. Si: E =

(10x) o + (9y) g (9x) g + (10y) o

a) 0

b) 59,5959

c) 45,4545

d) 53,5353

e) 49,4949

d) –1

e) –2

; calcular: 119y + 62x, para: E = 2 b) 1

c) 2

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4. Determina el valor de la siguiente expresión: E=

g

1 1°

+

m

1 1'

+

1

s

1 1"

a) 1,746

b) 1,647

c) 1,764

d) 1,674

e) 1,467

c) 22º48'

d) 23º48'

e) 25º08'

5. Hallar el menor valor positivo de: g

g

' c m10° +mn' m + c m 9+n'n° m 1 m, n >0 a) 20º48'

b) 21º 48'

18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. Expresar 189º al sistema centesimal. 2. Expresar 190g al sistema sexagesimal. 3. Expresar 100g al sistema sexagesimal. 4. Expresar 54º al sistema centesimal 5. Convertir 37g al sistema sexagesimal. 6. Convertir 24g al sistema sexagesimal. 7. Convertir 48g al sistema sexagesimal. 8. Efectuar la siguiente suma: K = 22º26'38" + 17º19'13" 9. Efectuar la siguiente suma: K = 32g46m18s + 29g41m13s 10. Calcular: J =

5°3' 3'

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11. Calcular: 2º2' 6º3' M= + 2' 3' 12. Si: 5º37'54'' + 8º42'26'' = aºb'c'' a+b+1 calcular: M= c - 13 13. Calcular: 4º2' 2g4m M= + m 2' 4 14. Siendo mº y ng ángulos complementarios los cuales se encuentran en la relación de tres a dos respectivamente, calcular el valor de: G=

2m - n - 4

15. Los ángulos congruentes interiores de un triángulo isósceles miden 50g y (4x+1)º, determinar el valor de "x"

Unidad I

15

2

Sistema sexagesimal y radial


¿QuéDEL acontecimientos en la creación del sistema sexagesimal? VIGENCIA SISTEMA influyeron SEXAGESIMAL La necesidad de medir segundos fue bastante posterior, pues la trigonometría se inicia en el año 140 a. C. con Hiparco y hasta el siglo XI no se construye en China un reloj astronómico con un error de 100 segundos por día. En denitiva, los relojes europeos de pesas del S. XIII solo anuncian las horas, y hasta 1656 Huygens no inventa el reloj de péndulo en el que se marca el segundo. Para los sumerios, obsesionados con las coincidencias numéricas, el hecho de que la división sexagesimal del minuto casi coincida con la frecuencia del latido del corazón humano, les conrmaría la validez de un sistema en el que las apariciones en el rmamento de sus di oses cósmicos (sol, luna, estrellas, constelaciones), estaba en directa relación con el destino de la humanidad (astrología del zodíaco), con la vida del individuo y con las épocas de recolección y cultivo, a partir de las manos. Puro humanismo prehistórico. De hecho, cinco milenios después, por lo menos, el arcaico sistema sexagesimal para medir el tiempo y las posiciones angulares, no solo sigue vigente tanto en la técnica, la ciencia y el uso cotidiano, sino que es inmutable a los milenarios cambios culturales.

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Trigonometría

Conceptos básicos Medir es aprender: adquirir un conocimiento de alguna cosa es saber, mediante su conocimiento, de aquella cosa y por lo tanto, entramos en una secuencia de acontecimientos vinculados entre sí que conducen al mejoramiento y constante crecimiento de nuestro entendimiento o inteligencia. Medir es seguridad: al transcurrir el tiempo, las sucesivas mediciones suministran una valiosa información permitiendo desarrollar proyectos más acertados, mejorar costes y satisfacer mejor las necesidades. Medir es eficiencia: las mediciones acertadas y en el momento oportuno evitan costes innecesarios y conducen hacia direcciones más correctas en el desarrollo de las tareas facilitando la toma de decisiones, tanto en el proyecto como durante los procesos involucrados. Medir es desarrollo: no es muy desacertado pensar que el desarrollo de la humanidad está en cierta forma relacionado con los avances en materia de mediciones.

¿Cómo se obtiene este sistema de medida de ángulos? Sistema radial: en este sistema la unidad de medida es el radián. Un radián: es la medida de un ángulo con vértice en el centro de un círculo cuyos lados interceptan un arco de circunferencia de longitud igual al radio.

longitud=r r i á n 1 r a d

Así que un radián "marca" una longitud de arco en la circunferencia igual al radio.

r

Por lo tanto como la longitud de la circunferencia es 2 ≠ r, es decir en una circunferencia (ángulo de una vuelta) existen 2 ≠ radianes, entonces a partir de ahora:

CONSIDERACIONES

• El sistema circular o radial no presenta subunidades. • Con frecuencia, un ángulo en radianes se expresa como una fracción de π ; es decir

π

6

rad,

π

4

rad,

π

3

rad

• Si la unidad de medida del ángulo no se estipula, se sobreentiende que es el radián. π

6

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rad <> π ; π rad <> π ; π <> π rad <> π rad 6 4 4 3 3 3

Unidad I

17


Relación entre el sistema sexagesimal y radial • Para el sistema sexagesimal, también conocido como sistema inglés se cumple que: El ángulo de una vuelta equivale a 360º • Para el sistema radial, también conocido como sistema circular se cumple que: El ángulo de una vuelta equivale a 2 ≠ rad

Método del factor de conversión Se sabe que al multiplicar una magnitud por la unidad (por uno) no cambia su valor: 180º = 1 x 180º Lo que se hace es expresar ese "1" en forma útil. Así, sabemos que: 180° <>π rad

&

1=

π 180° = rad π rad 180°

• Si queremos expresar en radianes una magnitud que conocemos en grados sexagesimales, haremos: 60° = 1 # 60°

&

rad 180° π

# 60° =

π

3

rad

Entonces: 60° <> π rad 3

• Si queremos expresar en grados sexagesimales una magnitud que conocemos en radianes, haremos: π

5

rad = 1 #

Entonces:

S O L P M E J E

π

5

π

5

rad &

180° π rad

#

π

5

rad = 36°

rad <>36°

1. Convertir 140º a radianes. A 140º se multiplicará por el factor de conversión: π rad

180°

π rad 180°

→ 140° #

2. Convertir A

→

3π 4

3π 4

3π 4

&

7π rad 9

Convertir 150º al sistema radial: Inténtalo tú

Respuesta:

rad a grados sexagesimales.

rad se multiplicará por el factor de conversión:

rad # 180° π

5π rad 6

rad

180° π rad

Convertir &

135°

Inténtalo tú

7π rad al 6

sistema

sexagesimal: Respuesta: 210º

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2

Síntesis teórica

mide al B en

B de

una vuelta

B de

unidad

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#

rad 180°

#

180° π rad

una vuelta

unidad

π

Unidad I

19


Problemas resueltos 1. Convertir 27º al sistema radial. Resolución

Sistema que quiero: radial π rad Sistema que no quiero: sexagesimal 180° A 27º se multiplicará por el factor de conversión: "

"

π rad 180°

27° #

"

2. Convertir

π rad = 3 π rad 180 ° 20

2π rad al 3

sistema sexagesimal.

Pero surge una duda: ¿Qué pasó con los 3"? Si el residuo es menor que la mitad del divisor se elimina (como es el caso), pero si el residuo es mayor que la mitad del divisor, el cociente se redondea; es decir, se le suma una unidad. 4. Si: π rad = x° y'z", determinar el suplemento 64 de (x + y - z)º Resolución

Resolución

Sistema que quiero: sexagesimal 180° Sistema que no quiero: radial π rad A 2 π rad se le va a multiplicar por el factor de "

"

Como las variables "x", "y", "z" están en el sistema sexagesimal entonces convertimos: π rad al sistema sexagesimal: 64

3

conversión: "

180° π rad

π

64

2π 180° = rad # π rad 3

3. Convertir

π

7

rad al

120º

sistema sexagesimal.

π

rad se multiplica por el factor de conversión: 7 180° π rad "

π

7

180° π rad

= 180° 64

Aplicando los criterios del problema anterior, entonces: 180° = 2°48'45" 64

Si comparamos con la condición inicial

Resolución

A

rad #

rad #

180° = 180° π rad 7

"

π

64

rad = 180° = 2°48'45" = x°y'z" 64

Comparando: x=2; y=48; z=45 nos piden el suplemento de (x + y – z)º entonces: (x+y – z)º=(2+48 – 45)º=5º; nos piden el suplemento, entonces: 180° – 5° = 175°

Se observa que la división no es exacta y que por ello aparecen grados, minutos y segundos. Para lograr la exactitud se procede de la siguiente 5. Determinar el valor de "x" en la condición: manera: Paso número 1: (4x - 1) ° = 3 π rad 20 180º 7 Resolución 5º 25º Paso número 2: el residuo de la división es 5º. La variable a determinar se halla en grados Para convertir los 5º a minutos se multiplican sexagesimales, entonces convertiremos: por 60 y su producto: 300', se divide entre 7. 3π rad al sistema sexagesimal 300' 7 20 6' 42' 3π 180° rad # = 27° Paso número 3: el residuo de la división anterior π rad 20 es 6'. Para llevar los 6' a segundos se multiplica Comparando este valor con la condición inicial por 60 y su producto: 360" se divide entre 7. tenemos: (4x - 1)º = 27º x = 7 360" 7 3" 51" "

&

Paso número 4: el ángulo π rad convertido al 7 sistema sexagesimal es: 25º 42' 51". Colegios

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Trigonometría Razonamiento Matemático 10 x 5 50

2

Aplica lo á comprendido s o c i s b s o t p e c n o C 1. A Carlos se le pide ordenar en forma creciente los ángulos a = 20° y β = ¿Cuál es el orden elegido?

7π rad. 60

2. Establecer mediante echas las parejas equivalentes: 90º

270º

180º

π

rad

π

rad

2

3π rad 2

3. Si en el sistema sexagesimal el ángulo de una vuelta está dividido en 360 partes y cada una se denomina 1º; se deduce que el ángulo de una vuelta en el sistema sexagesimal mide 360º. Para el sistema radial el ángulo de una vuelta mide 2 ≠ radianes, entonces podríamos dividir el ángulo de una vuelta en 120 partes iguales y a cada una denominarla 1 k. ¿Qué se puede inferir respecto de este hecho? • Para este nuevo sistema de medición angular, el ángulo de una vuelta mide: Ángulo de una vuelta = • Las equivalencias entre los sistemas sexagesimal, radial y el nuevo sistema son: 360º equivale a 2 ≠ radianes equivale a ………….k • Las relaciones simplicadas de equivalencias para los tres sistemas son:

4. En la gura se muestra a don Pepe podando uno de los árboles de su jardín. Si sus tijeras tienen una abertura de 7π rad, determina el ángulo en el sistema sexagesimal. 18

5. La señora González está aprendiendo a conducir y, de pronto, ve un aviso que dice: "Gire 7 π rad a su derecha" 30 y preocupada trata de recordar la conversión al sistema sexagesimal. ¿Qué ángulo gira en dicho sistema?

Central: 619-8100

Unidad I

21


Aprende más... s o c i s á b s o t p e c n o C 1. Expresar 160º al sistema radial a)

8π rad 9

b)

7π rad 9

d)

5π rad 9

e)

4π rad 9

8. Exprese c)

2π rad 3

2. Expresar 135º al sistema radial a)

3π rad 4

b)

4 π rad 9

d)

5π rad 4

e)

7π rad 4

5π rad al 3

3. Expresar

b) 250º

d) 280º

e) 300º 7π rad al 6

2π rad 3

sistema sexagesimal

a) 240º

4. Expresar

c)

c) 260º

sistema sexagesimal

a) 210º

b) 220º

d) 240º

e) 250º

c) 230º

π

17

rad en el sistema sexagesimal

a) 10º35'16" c) 11º17'42" e) 11º36'42"

b) 10º35'18" d) 11º36'15"

9. Sabiendo que:

π

10. Sabiendo que:

2π

rad= 1aºb0'4c" 13 Calcular: M= a+b c c) 1 b) 4 a) 2 3 3 d) 2 e) 3 rad = 5aº2b'4c" 7 Calcular: M= a+b c a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 3 2

11. Un mismo ángulo es medido por dos alumnos: Sebastián encontró

5. Calcular "x", si: (3x - 2)º =

π

18

encontró

rad

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

30

c) 3

7. Exprese

b) 6 e) 8 π

11

rad.

Halle dicho ángulo en

a) 52'

b) 53'

d) 55'

e) 56'

c) 54'

12. Un mismo ángulo es medido por dos alumnos: Sebastián encontró 3x - 5 ºy Joaquín encontró

`

rad=(2x - 4)º

a) 5 d) 4

π

y Joaquín

minutos sexagesimales.

6. Calcular "x", si: π

x+ 1 ` 2360 j

` 7x2- 1 j °

c) 10

rad en el sistema sexagesimal

a) 15º21'49"

b) 16º20'49"

c) 16º21'49" e) 16º30'46"

d) 15º20'49"

x- 1 ` 2360 j

π

rad .

2

j

Halle dicho ángulo en minutos

sexagesimales. a) 210'

b) 150'

d) 250'

e) 16'

c) 140'

13. Calcular: 1rad+3rad+5rad+...+2011rad J= 1º+3º+5º+...+2011º a) d)

π

180 90 π

b) e)

180 π

c)

π

90

π

2010

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14. Se crea un nuevo sistema de medición angular 15. Siendo: "Lima" tal que su unidad (1 L) resulta ser la θº=1º1' + 2º2' + 3º3' + ... 140ava parte del ángulo de una vuelta. Señala determinar el valor de " θ ", si es el menor π el equivalente de rad en este nuevo sistema. número entero. 35 a) 2L

b) 3L

d) 5L

e) 6L

c) 4L

a) 121

b) 122

d) 129

e) 131

2

c) 128

Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 16. Abriendo la puerta Para lograr abrir la puerta, la manija debe girar un ángulo mayor de 50º. Si una persona desea abrirla y gira la manija en un ángulo de

2π rad, 9

¿logrará abrirla?

17. Salón de juego Una ruleta tiene 36 números dispuestos como indica la gura. Si comienza en cero y se hace girar la ruleta un ángulo de 157 π rad 18

hacia la derecha, ¿qué número será el elegido para el premio?

18. Ángulo de desviación de la tierra. El eje de la Tierra no apunta siempre en la misma dirección. El eje de la Tierra no es estable. La Tierra no es una esfera perfecta, sino aplanada en los polos y abultada en el ecuador. Reacciona a la inuencia gravitatoria del Sol y la Luna como un trompo que gira y cuya rotación está distorsionada por una fuerza externa: esto origina lo que se llama la precesión de la Tierra, esto signica que el eje de la Tierra rota sobre sí mismo en círculo, generando un movimiento cónico alrededor del polo. A pesar de ser tan lento (apenas "50" por año), este movimiento fue percibido por el astrónomo griego Hiparco, en el año 100 a.C., al comparar sus observaciones de las posiciones de estrellas con las observaciones de astrónomos babilónicos más de 100 años antes. La inclinación del eje de la Tierra en promedio es 0,4282 rad. El ángulo del eje de la Tierra también cambia de 22º a 24,30º en 41,000 años debido a la atracción de los planetas, del Sol y la Luna. Estos cambios son la causa de las glaciaciones que han habido a lo largo de la historia de la Tierra. Determinar el ángulo en grados sexagesimales de desviación del eje de la tierra con respecto al eje "X" de la gura.

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X Perpendicular al plano de la órbita de la Tierra

d a r 2 8 0 4 , 0

P

Eje de la Tierra

Unidad I

23


¡Tú puedes! s o c i s á b s o t p e c n o C 1. Calcular " θ "; si: θ rad=3º(30+x)=8g(9+x) a)

2π 5

b)

π

c)

5

4 π

d)

5

e)

3π 5

π

2. En el gráco mostrado, calcular " θ " en grados, minutos y segundos sexagesimales de tal manera que "a" toma su mínimo valor en: a = x (x + 4) ; x d

a

q rad

a) 114º17'07"

b) 120º47'02"

c) 130º49'01"

d) 124º49'07"

e) 134º47'04"

3. Se crean dos nuevos sistemas para medir ángulos denotados por "A" y "B", cuyas unidades angulares son respectivamente "1A" y "1B". Se pide obtener una fórmula que relacione a estos dos sistemas, sabiendo que 7 unidades de "A" equivalen a 4º y además 9 unidades de "B" equivalen a 8 g. a)

A 7

=

B 5

b)

A 5

=

B 7

c)

A 3

=

B 2

d)

A 2

=

B 3

e)

A 3

=

B 7

4. Sabiendo que: x+y+z=63, determinar el valor de: G = xºy'z" + yºz'x" + zºx'y"; al sistema radial. a) 1,119 rad

b) 1,191

c) 1,139

d) 1,911

e) 1,419

5. Se crea un nuevo sistema de medición angular, tal que su unidad (1*) resulta ser la 240ava. parte del ángulo de una vuelta. Señala el equivalente de 3,6* en el sistema radial. a) 0,01π

b) 0,02π

c) 0,03π

d) 0,04π

e) 0,05π

18:10:45

Practica en casa s o c i s á b s o t p e c n o C 1. Expresar 140º al sistema radial 2. Expresar

5π rad al 4

sistema sexagesimal

3. Expresar 54º al sistema radial 4. Determinar el valor de "x" en: (5x - 1) ° = 3 π rad 10

6. Exprese 3π rad en el sistema sexagesimal. 11 7. Exprese 3π rad en el sistema sexagesimal. 7 8. Sabiendo que: 2π rad = 2aº 4b' 3c" 13 calcular: M= a+b c

5. Calcular "x", si: π rad = (4x - 1)º 12 Colegios

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9. Calcular: πrad+2πrad + 3πrad + ... + 2012πrad P= 1º+2º+3º+...+2012º πrad

13. Al expresar 3π rad al sistema sexagesimal da 8 como respuesta xºy'. Indicar "x+y"

2

14. Se crea un nuevo sistema de medición angular "Perú" tal que su unidad (1 P) resulta ser la 480ava parte del ángulo de una vuelta. Señala 11. Un mismo ángulo es medido por dos alumnos: o el equivalente de π rad en este nuevo sistema. Carlos encontró ` 6x + 1 j y Juan encontró 15 10. Hallar "x", si:

2(x+1)

=xº

4

`

2x + 1 360

j

π

rad.

Halle dicho ángulo en minutos

sexagesimales. 12. Sabiendo que se cumple la igualdad: 13π rad=1xº y3' 1z" 125 Determinar: x+yz

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15. Convertir a radianes: º aºb'+bºa' P= (a+b)'

Unidad I

25

3

Sistema sexagesimal , centesimal y radial

Sistema sexagesimal, centesimal y radial

La notación de la inicial de la letra griega ≠ , ¿de donde proviene? ¿Qué matemático popularizó esta notación?

LA CONSTANTE MÁS IMPORTANTE EN MATEMÁTICA En geometría euclidiana, π (pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Es un número irracional y una de las constantes matemáticas más importantes. La notación con la letra griega π proviene de la inicial de las palabras de origen griego "πeriferia" (periferia) y "periimetro" (perímetro) de un círculo. Esta notación fue usada por primera vez en 1706 por el matemático galés William Jones y popularizada por el matemático Leonhard Euler en su obra Introducción al cálculo infnitesimal (1748). La constante π (pi) fue conocida anteriormente como constante de Ludolph (en honor del matemático Ludolph van Ceulen) o como constante de Arquímedes. Es muy frecuente emplear poemas como regla nemotécnica para poder recordar las primeras cifras del número pi, solo hay que contar las letras de cada palabra: "Soy π, lema y razón ingeniosa de hombre sabio, que serie preciosa valorando, enunció magistral. Por su ley singular, bien medido el grande orbe por n reducido fue al sistema ordinario usual."

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Trigonometría

Conceptos básicos

Relación entre los tres sistemas de medición angular Existe una infinidad de sistemas para medir ángulos, ya que estos se eligen libremente. La medida de los ángulos se pueden representar en los siguientes sistemas como ya se vio anteriormente. Sistema sexagesimal (inglés)

Se considera al ángulo de una vuelta dividido en 360 partes iguales llamadas grados (1º), cada grado está dividido en 60 partes iguales llamadas minutos (1') y a su vez estos están divididos en 60 partes iguales llamados segundos (1").

Sistema centesimal (francés) Se considera al ángulo de una vuelta dividida en 400 partes iguales llamadas grados centesimales (1g), cada grado está dividido en 100 partes iguales llamadas minutos centesimales (1m) y a su vez estos están divididos en 100 partes iguales llamadas segundos centesimales (1 s).

Sistema radial (circular–internacional) En este sistema la unidad de medida es el radián. Un radián es la medida de un ángulo central cuyos lados interceptan a un arco de circunferencia de longitud igual al radio. Entonces un ángulo de una vuelta para este sistema está midiendo 2 π radianes.

Entonces:

que... Recuerda que...? No olvidemos nuestro método para la conversión de un sistema a otro. Unidad que quiero Unidad que no quiero

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Unidad I

27


O L P M E J E

1. Calcular: E =

25º + 50

g

64º + 40

g

+ +

π

3 π

6

rad rad

En la propuesta de cálculo aparecen los tres sistemas de medición, por lo tanto, primero se deben homogenizar las unidades, es decir, convertirlas a un solo sistema de referencia. Elegiremos el sistema sexagesimal (el más común). En el numerador: g

50 #

180º 200

π

3

rad #

g

Simplicando nos queda 45º &

180º π rad

Simplicando nos queda 60º &

En el denominador: g

40 #

180º 200

π

6

rad #

g

Simplicando nos queda

180º π rad

&

36º

Simplicando nos queda 30º

Reemplazando en la expresión a calcular

&

&

E=

25º + 45º + 60º 64º + 36º + 30º

&

E

=

1

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3

Síntesis teórica

mide al B en

B de

una vuelta mide

B de

una vuelta mide 400g

360º

#

B de

una vuelta mide 2 r rad

180 π

unidad

unidad

unidad

#

10 9

grado sexagesimal

#

200

radián

grado centesimal #

9 10

#

200 π

#

Central: 619-8100

π

π

180

Unidad I

29


Problemas resueltos 1. Convertir 20g al sistema radial.

Paso número 4: el ángulo π rad convertido al 7 sistema centesimal es: 28g57m14s Pero surge una duda: ¿Qué pasó con 2s? Si este residuo es menor que la mitad del divisor, se elimina (como este caso); pero si el residuo es mayor que la mitad del divisor (es decir 7) se redondea el cociente; es decir, se le suma una unidad.

Resolución

Sistema que quiero: radial π rad Sistema que no quiero: centesimal A 20g se multiplicará por el factor: "

"

20

g

rad g 200 π

#

2. Convertir

=

π

10

2π rad al 5

"

200

g

rad g 200 π

rad

sistema centesimal.

4. Si:

Resolución

Sistema que no quiero: radial 2π rad se 5

"

π

7

200

"

"

g

rad al

&

80

7

rad se

200 π rad

Como las variables "x", "y", "z" están en el sistema centesimal entonces convertimos π rad al sistema centesimal: "

sistema centesimal.

π

64

g 200 π rad

π

7

rad

#

g 200 π rad

&

200 7

g

rad #

g 200 π rad

&

200 64

g

Aplicando los criterios del problema anterior, entonces:

multiplica por el factor: "

g

64

g

Resolución π

Resolución

π rad

multiplicará por el factor:

g 2π 200 rad # π rad 5

3. Convertir

64

rad = x g y m zs , determinar el suplemento

de (x + y + z) g

Sistema que quiero: centesimal A

π

200 64

g

=3

g

12

m

50

s

Si comparamos con la condición inicial "

g rad = 200 = 3 g 12 m 50s = xg y m zs 64 64 π

Comparando x=3; y=12; z=50 nos piden el suplemento de (x+y+z)g entonces: (x+y+z)g = (3+12+50)g = 65 g suplemento:

Se observa que la división no es exacta y que por ello aparecen grados, minutos y segundos centesimales. Para lograr la exactitud se procede de la siguiente manera: 200g–65g=135g Paso número 1: 200g 7 5. Uno de los ángulos interiores de un cuadrado 4g 28g mide 5xπrad . Determinar el valor de "x". Paso número 2: el residuo de la división 2x+16 anterior es 4g. Para convertir los 4g a minutos Resolución se multiplican por 100 y su producto: 400 m se divide entre 7. Si nos mencionan al ángulo interior de un cuadrado m 400 7 entonces este debe medir 90º por lo tanto: 1m 57m 90º a radianes 90c # π rad = π rad. 180c 2 Paso número 3: el residuo de la división Con la condición del problema tenemos: anterior es 1m. Para convertir 1m a segundos π se multiplican por 100 y su producto: 100s se 5x π rad = rad, 2 x 16 2 + divide entre 7. efectuando operaciones: x=2 100s 7 2s 14s "

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3

Aplica lo á comprendido s o c i s b s o t p e c n o C 1. Los sistemas de medición angular estudiados son conocidos también con los nombres de: S : Sistema sexagesimal

Sistema

C : Sistema centesimal

Sistema

R : Sistema radial

Sistema

2. A Mauricio se le pide ordenar en forma creciente los ángulos: a = 55g ; β =

7π rad y θ = 54º . 25

¿Cuál es el orden elegido? 3. Establecer mediante echas las correspondientes parejas entre ambos sistemas. 200g

300g

90º

π

rad

π

rad

2

3π rad 2

4. Para el sistema radial, el ángulo de una vuelta mide 2 π radianes; para un nuevo sistema de medición angular, el ángulo de una vuelta mide 22k y para otro sistema de medición angular el ángulo de una vuelta mide 34L. • ¿Cuál es la equivalencia entre el sistema radial y el primer sistema nuevo?

• ¿Cuál es la equivalencia entre los dos sistemas nuevos?

• Completar las equivalencias entre los sistemas: ........L <> ............ rad <> ........k

5. En la gura se muestra un volante que debe girar un ángulo de

27 π 10

rad,

según indica la echa, ¿cuál es el ángulo que gira el volante en el sistema francés?

Central: 619-8100

Unidad I

31


Aprende más... s o c i s á b s o t p e c n o C g 7. Si: K= 90 +9º , además: π K+1 36º - π rad 30 calcular: E = a+b

1. Calcular el valor de la expresión: 50

H=

π

36

g

+ 25º

rad + 5º

a) 3 d) 8

b) 5 e) 9

c) 7

2. Calcular el valor de la expresión: L=

70 π

4

g

b) 6 e) 9

8. Si: K =

- 23º

90

g

π

30

rad - 5º

a) 1 d) 4

a) 5 d) 8

c) 3

a) 5 d) 8

H=

π

5

9. Si: K =

+ 1º

b) 2 e) 5

c) 3

f

g 120 - 27º g π 30 rad 20

a) 3 d) 9

g

p

b) 81

d) 49

e) 64

c) 7

b) 7

d) 49

e) 125

K

rad = ^ ab

hg

b) 3 e) 9

c) 5

4π

9 2π d) 3

c) 729

π

rad y 100g. ¿Cuál es la medida del 18 tercer ángulo en radianes? a)

rad

b) e)

4π

3

c)

4π

5

4π

11

11. Si los ángulos interiores de un triángulo ABC g miden: A=3nº ; B = ` 20 n j ; C = π n rad, 9 36 hallar "n". a) 15 d) 12

6. Sabiendo que: π rad=(7n+1)º 12 π rad=(7m - 1)g 2n+6 calcular: L=(m+n)2n - m a) 5

rad

π

calcular: E = a+b

miden

5. Sabiendo que: π rad=(3n+1)º 18 π rad=(7m+5)g n+2 calcular: P=(m+n)m - n a) 27

π

45

; además:

c) 7

10. En un triángulo, dos de sus ángulos interiores

#2

b) 5 e) 11

+ 52º

a) 1 d) 7


120

24º -

rad + 14º

a) 1 d) 4

rad = ^ ab h º

b) 6 e) 9

3. Calcular el valor de la expresión: g

K

Calcular: E = a+b b) 2 e) 5

110

c) 7

- 9º , además: π rad

rad = (ab) º

b) 18 e) 10

c) 20

12. Las medidas de los ángulos interiores de un cuadrilátero son: (3x)º; xg; π x rad y (2x+35)º 300

Hallar "x" c) 25

a) 80 d) 50

b) 60 e) 45

c) 70

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13. Los ángulos iguales de un triángulo isósceles miden 6xg y (5x+4)º. Encuentre la medida del tercer ángulo en radianes. a) d)

π

5

b)

rad

3π rad 10

e)

2π rad 5 π

10

c)

Determinar el valor de "x". a) 67

b) 68

d) 70

e) 94

3π rad 5

rad

15. Siendo:

z

c) 69

g

(a ) = aº (3a) '; b = (a) ( 2 5a)

α + β = 29 π rad. 400

14. Los ángulos interiores de un cuadrado son: (x - y)º ; π rad ; (x+y+z)g

3

m

, además:

Hallar "a".

a) 5

b) 4

d) 6

e) 8

c) 2

Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 16. Entrando al auto El ángulo mínimo que debe girar la puerta de un auto para que el conductor pueda entrar cómodamente es 45º. Si Ernesto gira la puerta del auto un ángulo de 7 π rad, ¿podrá ingresar al auto? 36

17. Molécula de agua Dos átomos de hidrógeno están enlazados a un átomo de oxígeno, pero la molécula de agua no es lineal (como se muestra en la gura), de manera que las direcciones de los enlaces O–H (oxigeno–hidrógeno) forman un ángulo de 116 g11m11s. Calcula la medida de dicho ángulo en el sistema sexagesimal.

O

átomo de oxígeno

H

H

átomo de hidrógeno

átomo de hidrógeno

H2O 18. ¿Para qué sirve tener dos ojos? Los seres humanos, al igual que los animales vertebrados, tenemos dos ojos. Sin embargo, si hacemos la prueba de taparnos un ojo, seguimos viendo lo mismo, entonces ¿para qué sirve tener dos ojos? En primer lugar, tener dos ojos aumenta el campo visual. Con un ojo nuestra visión abarca, en conjunto (visión directa más visión periférica), unos ojo 120º; con los dos ojos se superan los 180º. 15º 15º derecho Esta amplitud se nota fundamentalmente ojo en actividades que necesitan visión izquierdo 60º 60º periférica, como conducir. Si nos tapamos el ojo izquierdo aparte de calcular mal la distancia con el vehículo que nos precede, no veríamos los coches que vienen por el lado tapado. 95º En segundo lugar, con dos ojos se obtiene 95º una imagen virtual ‘mejorada’ utilizando las dos imágenes, una por cada ojo, que llegan al cerebro. Esta visión binocular nos permite ‘ver’ imágenes en tres dimensiones y calcular con precisión la distancia que nos separa del punto o del objeto observado. Así, cuando saltas una zanja, si no pudieses calcular su anchura de forma precisa, caerías en ella o saltarías en exceso. • ¿Cuál es la medida del ángulo de visión en radianes (según la gura) del ojo derecho (visión directa)? • ¿Cuál es la medida del ángulo de visión en radianes (según la gura) que abarca ambos ojos (visión periférica)? Central: 619-8100

Unidad I

33


¡Tú puedes! s o c i s á b s o t p e c n o C 1. Sea "θ" la medida en radianes de un cierto ángulo, tal que θ = P(4 – P), P ∈ lR. Entonces, calcule el mayor valor que puede tomar el ángulo " θ" en radianes a) 1

b) 2

c) 4

d) 6

2. En un triángulo, uno de sus ángulos interiores mide:

e

a

2

2 + 28 ab + b 2 2 a +b

e) 8 o

o . Si esta es la máxima medida

posible, señala la medida circular del mayor ángulo que forman las bisectrices interiores de los otros dos ángulos del triángulo. a)

7π rad 24

b)

11 π rad 24

c)

13 π rad 24

5π rad 8

d)

e)

5π rad 6

3. Siendo "a" y "b" los menores números enteros positivos con raíz cúbica exacta (a;b≠1), determina la medida circular de " θ ". θrad=(a+b)º = (a+2b)g

θ rad

a)

7π rad 20

b)

9 π rad 20

c)

π

20

rad

d)

2π rad 5

e)

4 π rad 5

d)

2 9

e)

1 9

4. Sabiendo que: abº = cdg, xy' = zwm Calcule: c + b a+ b

a)

5 9

z x+ y

b)

4 9

c)

3 9

5. En el gráco mostrado, "O" es el centro del arco ABC. Determinar la medida del ángulo "B" en radianes. B 50xg

A

27xº C

O

a)

13 π 12

b)

5π 4

c)

7π 6

d)

10 π 13

e)

5π 6

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Trigonometría Razonamiento Matemático 18:10:45

3

Practica en casa s o c i s á b s o t p e c n o C 1. Calcular el valor de la expresión: 30

H=

π

18

g

8. Si los ángulos interiores de un triángulo ABC miden: A = 5nº ; B=(10n) g ; C = n π rad 45 hallar "n"

+ 15º

rad - 3º


80 π

5

g

9. Si los ángulos interiores de un triángulo ABC g πx miden: A= 160x ; B=(14x)º y C= rad 6 9 hallar "x"

+ 13º

rad - 19º

3. Calcular: 110g+9º M= π 20g+ rad 2

10. Los ángulos iguales de un triángulo isósceles miden 50g y (4x+1)º. Hallar "x". 11. Las medidas de los ángulos interiores de un cuadrilátero son: (6x)º ; 20xg ; πx rad y (3x)º. 10 Hallar "x"

4. Sabiendo que: π

10

rad=(4m+2)º

π

m+1

12. Determinar el valor de "x" en la condición:

rad=(7n - 2)g

g (6x - 1) = 5 π rad 8

calcular: P=(m+n)n - m 5. Si: K =

40

g

2º +

+ 9º π

60

; además:

rad

π

K

rad = ^ ab h º

Calcular: E=a+b 6. Si: K =

20

g

+ 32º

15º -

π

18

rad

; además:

π

K

rad = ^ ab

hg

Calcular: E = a+b

13. Los ángulos interiores de un cuadrado son (x+y)º, g 2π rad y (x – y+z) . Determinar el valor de "x". z

14. Los ángulos iguales de un triángulo isósceles miden 10xg y (5x+36)º. Encuentre la medida del tercer ángulo en radianes. g (a)' ; b= a (8a)m , además: 30 50 7π rad, hallar "a". a+b = 360

15. Siendo: a=

a º

7. En un triángulo, dos de sus ángulos interiores miden 70g y 100º. ¿Cuál es la medida del tercer ángulo en radianes?

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Unidad I

35

4

Características del ángulo trigonométrico


¿Qué entiendes por sentido antihorario? ¿Qué entiendes por sentido horario? ¿En qué sentido gira la Tierra?

CARACTERÍSTICA INHERENTE Al preguntarle a un piloto de aviación comercial dónde se halla París, responde: "Latitud: 48º51’N y longitud: 2º20’ E, desafortunadamente no sabemos cómo interpretar dichas magnitudes. Por lo tanto, es importante entender que la ubicación de cualquier lugar en nuestro medio depende de ciertos parámetros. Por ejemplo: derecha, izquierda, arriba, abajo, horario, antihorario. Con base en este concepto, aprenderemos una de las características del ángulo trigonométrico: el sentido horario y antihorario.

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Trigonometría

Conceptos básicos

Ángulo trigonométrico Generación Es aquel que se genera por la rotación de un rayo, en un solo plano, alrededor de un punto fijo llamado vértice; desde una posición inicial (lado inicial) hasta una posición final (lado final).

B n a l i f o L a d

Vértice O

A

Lado inicial

Por lo tanto, se deben considerar dos tipos de rotación Sentido horario (sentido dextrógiro)

Dícese de lo que gira a favor del sentido a las agujas del reloj y por convención los ángulos así generados se consideran negativos. s e

n

10

12

11

t

i d o

A

h

1

o r

2

a

r

o

i

9

3

O

(–)

4

8 7

6

5

B

Sentido antihorario (sentido levógiro)

Dícese de lo que gira en el sentido contrario a las agujas del reloj y por convención los ángulos así generados se consideran positivos.

o

10

i

r

11

12

B

1 2

a r

o

9

h

3

i

t

7

o d i t

n

e

O

(+)

4

8

n a

6

5

A

s

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37


Observación

1. La medida de un ángulo trigonométrico no puede limitarse, pues este depende de la magnitud de rotación y a su vez estas pueden hacerse indenidamente en cualquiera de los dos sentidos conocidos. 2. Al cambiar el sentido del ángulo también se debe cambiar el signo de su magnitud: B A

O

O

a

A

−a

B

Sabías que... ¿Por qué el sentido de una carrera en una pista de atletismo es contrario a las agujas de un reloj? Se sostiene que la pierna izquierda funciona como soporte o apoyo y la pierna derecha hace funciones de propulsión, aunque esta afirmación es solo válida para los diestros. De esta forma, el girar en una pista en sentido antihorario puede ofrecer ventaja para aquellos que / e g t i p j S . poseen más fuerza en la pierna derecha. / m o a o 7 La pierna derecha estaría recorriendo una c . 4 o 0 4 mayor distancia que la izquierda y por lo m s 6 i a t 8 e f l tanto, quizás, desarrollando un trabajo t 9 a 1 o 0 d 5 más mecánico y técnico. Al ser en la n 2 u 8 8 m mayoría de las personas la pierna derecha . 0 w 8 2 w / más fuerte que la izquierda, si se corriera s w e / / : g a en sentido horario probablemente sería p t m t h i más lento y causaría más cansancio.

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4

Síntesis teórica

son

puede ser

genera Bs

puede ser

genera Bs

Problemas resueltos 1. En el gráco mostrado, hallar "x".

2. Determinar el valor de "x" en el siguiente gráco: q

a

x x Resolución

Resolución

De acuerdo a nuestra teoría se recomienda que los ángulos giren en sentido antihorario, entonces:

Una vez más los ángulos deben girar en sentido antihorario. -q

a

x -x Entonces se plantea la siguiente ecuación: - x + 90º + a + 90º =

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360 º

"

x

= a - 180 º

Entonces se plantea la siguiente ecuación: - θ - x = 360º

"

x=-

θ - 360º

Unidad I

39


3. Determinar una relación entre "a", "b" y "θ" a 4. De acuerdo al gráco, encontrar la relación partir del gráco. entre " a " y " b ". b

a

a

q

b

Resolución

Una vez más los ángulos deben girar en sentido antihorario. Todos los ángulos en sentido antihorario

Resolución

Todo en sentido antihorario, por lo tanto: x

x

-b

-b

a

90º - 2x

-a

q

x Busquemos las ecuaciones apropiadas: Planteamos la siguiente ecuación: Primera ecuación: - b + x = 360º Segunda ecuación: - α + θ - x = 360º Sumando ambas ecuaciones: θ - α - β = 720º

Primera ecuación: x - b = 90º Segunda ecuación: a - (90º - 2x) = 180º Efectuando operaciones: α + 2β = 90º

10 x 5 50

Aplica lo á comprendido s o c i s b s o t p e c n o C 1. Reconocer el sentido de giro:

O

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2. Según su magnitud, indicar el sentido en el cual fue girado:

A : a = - 136º

C : θ= -

π 21

Sentido

B : b = 198 g 78m

4

Sentido

rad

Sentido

3. Al colocar un reloj frente a un espejo, ¿en qué sentido girarán las manecillas del reloj que se reeja?

4. a) ¿En qué sentido se está generando el crecimiento del brócoli de Romanescu? b) ¿En qué sentido se están ubicando las semillas del girasol?

5. a) Se quiere retirar el tornillo de un madero. ¿En qué sentido debe desentornillarse? b) Si se desea retirar el corcho de esta botella de vino; ¿en qué sentido se debe girar el sacacorchos?

Aprende Conceptosmás... básicos 1. Señala la relación correcta entre " a " y "b "

2. Del gráco, determina "x"

b

10º−x x+50º

a

a)

α+ β =

c)

α+ β =-

e)

β- α =

90º 90º

b)

α- β =

90º

d)

α+ β =

0

a) 10º

b) 15º

d) 30º

e) 35º

c) 25º

90º

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Unidad I

41


3. Calcular “x”

a) 90º - a - b c) β - α - 90º e) β + 90º - a

(- x+40)º

(20+x)º

a) 50º

b) 100º

d) 80º

e) 90º

b) d)

a - 90º - b β + a - 90º

8. Hallar "x" en función de "b" y "θ"

c) 200º

x b

q

4. Del gráco, hallar "x" a) 90º - b + θ c) - +180º e) - - 270º

x+10º

30º-x a) 15º

b) 35º

d) 30º

e) 60º

c) 55º

b) d)

50º-2x 10º+x

20º+x

d) 50º

e) 60º

c) 40º

θ

a)

90º -

d)

180º +

+ 270º

2

θ 2

q θ

b)

90º +

e)

270º -

c)

2

180º -

θ 2

θ 2

10. Del gráco, hallar "x"; si OC es bisectriz. A

(5x-3)º

6. Señala lo correcto:

O

C

(9-6x)º B

a

q

+

-x

x

b) 30º

- 360º

9. Hallar “x”

5. Del gráco, hallar "x"

a) 10º

-

a) 2 d) 12

b

a)

β - α + θ = 90º

b)

β - α + θ = 270º

c) e)

β - α - θ = 270º

d)

α - β + θ = 270º

b) 4 e) 18

c) 6

11. Señala la relación correcta, respecto a los ángulos trigonométricos mostrados.

β + α + θ = 270º

q

7. Hallar "x", en función de "a" y "b"

a

x b

a) c) e)

α - θ = - 90º α + θ = - 90º

a

b) d)

α + θ = 90º α - θ = 90º

α + θ = 180º

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12. Halle "x" del gráfico mostrado

14. Del gráco, señale lo correcto:

4

-40º

q

a) 90º+θ c) θ - 90º e) 180º - θ

x

b

a

b) 90º - θ d) 180º + θ

13. Del gráco, señale la relación correcta:

a)

β + a=50º

b)

β - a=130º

c) e)

β + a=40º

d)

β - a=140º

β + a=90º

15. Del gráco, señale lo correcto, si OP es bisectriz del AOB. B

a a

q

P

b

a) c) e)

α +b

=360º α + b =450º α - b =120º

b) d)

α

- b =360º

α

- b =450º

C

O

A

a) 2θ - a=360º

b) 2a - θ=180º

c) 2θ + a=180º e) 2θ + a=360º

d) 2a - θ=360º

Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 16. ¿Se abre la puerta? Para lograr abrir la puerta, la manija debe girar un ángulo mayor a 5π rad. 18 Si una persona desea abrirla: • ¿Cuál es la medida en grados sexagesimales que debe girar la manija? • ¿En qué sentido debe girar la manija para lograr abrir la puerta? 17. Descubriendo la combinación El dial de una caja fuerte tiene cien divisiones numeradas de 10 en 10 como muestra la gura. Si comienza en cero, determina el número de la combinación si gira los siguientes ángulos: 1,5 π rad en sentido horario; 0,6 π rad en sentido antihorario y 0,3 π rad en sentido antihorario 18. El número premiado La ruleta tiene 36 números dispuestos como muestra la gura. Si se comienza en cero y se la hace girar un ángulo de ¿qué número será el elegido para el premio? Central: 619-8100

317 π rad, 18

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43


¡Tú puedes! s o c i s á b s o t p e c n o C 1. Si: θ = (x + 12) º , determinar " θ " en radianes.

(2−x)º (2+x)

a)

π

9

b)

π

5

c)

g

d)

π

40

5π 18

e)

π

20

2. Del gráco mostrado, ¿a qué es igual: 9α - 10θ ? qº

a) 2700

b) - 2700

ag

c) 3500

d) 3600

e) 1800

3. Del gráco, calcular " x " y

(x−y)' (x−5y)g

a)

261 55

b)

271 55

c)

281 55

d)

261 65

e)

271 65

d)

α + β = 360º

e)

α - β = 360º

d)

230º + α + θ

e)

130º - α - θ

4. Señala la relación correcta entre "a " y " b "

b a

a)

α + β = 90º

b)

α + β = 180º

c)

α - β = 90º

5. Hallar “x” en términos de " a " y "θ" θ

a)

230º - α - θ

b)

230º + α - θ

c)

a

x 130º

230º - α + θ

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4

Practica en casa s o c i s á b s o t p e c n o C 1. Señala la relación correcta entre " a " y "b "

6. Hallar la relación entre "a", "b" y "θ "

b

q

O a) c) e)

a

b)

α + β = 90º α+ β= -

b

a α - β = 90º

d)

90º

α+ β= 0

a)

β - α - θ = 90º

b)

θ - β - α = 90º

c)

β - α + θ = 90º

d)

β - α - θ = 90º

e)

β

β - α = 90º

2. Del gráco, determina "x"

2

2

- α - θ = 90º 2

7. Señala lo correcto: A a

30º-2x

O

3x+50º

b

q

D

B

C

3. Calcular "x"

(-2x-30)º

(50+3x)º

a)

θ - α - β = 270º

b)

β - α + θ = 270º

c)

β - α - θ = 270º

d)

α - β + θ = 270º

e)

β + α + θ = 270º

8. Determinar "x" en términos de "a", "b" y "θ"


q

10º-5x

a

x+10º

x b


9. Hallar "x", en términos de "θ"

40º-2x x

Central: 619-8100

-x

20º+2x q

x

Unidad I

45


13. Determinar "x" en términos de " a"

10. Del gráco, hallar "x"; si OB es bisectriz. A

B

(5x-30)º O

a

x

(40-6x)º C

14. Determinar "x"

11. Determinar "x"

3x

x

15º-x x+15º

15. Del gráco, hallar "x", si OM es bisectriz del AOC . 12. Señala la relación correcta, respecto a los ángulos trigonométricos mostrados. A

q

D

B

M C

θ

x

a

C

A

O

B

D

46

a)

α - θ = - 90º

b)

α + θ = 90º

c)

α + θ = - 90º

d)

α - θ = 90º

e)

α + θ = 180º

Unidad I

Colegios

TRILCE


5

Fórmula de conversión de sistemas

¿Crees que exista una fórmula para todo? ¿Las fórmulas son necesarias? ¿Es fácil aplicar las fórmulas?

¿QUÉ FÓRMULA TENGO QUE APLICAR? Vivimos en un mundo de recetas, de decálogos, de fórmulas, de reglas. Estas normas nos neutralizan, homogenizan y globalizan, alejándonos de nuestra propia identidad, de nuestra marca personal. La red (en general) y los blogs (en particular) están llenos de recetas y listados con "soluciones" a todos los problemas posibles. Los libros de autoayuda son todo lo contrario de ayudarse uno mismo. Más bien son manuales en los que otro te dice lo que debes hacer para alcanzar determinado objetivo (desde encontrar la felicidad hasta ser millonario), aunque realmente al único que ayuda es a quién los escribe. Recuerdo que a la hora de resolver un problema mi profesor siempre insistía en que tratásemos de deducirlo por nuestra cuenta, no tratar de aplicar una fórmula. Era más difícil, sí, pero nos enseñó a deducir, no a memorizar soluciones generales. En la vida real, pocas veces hay una solución única y general.

Central: 619-8100

Unidad I

47


Conceptos básicos

Fórmula general de conversión Supongamos que el ángulo " a " se midió en los tres sistemas conocidos dando como resultado Sº, Cg y R rad, entonces se cumplirá: B

a

O

a = Sº <> C g <> R rad

A

Comparando las tres medidas, tenemos: Sº 360º

g = C g = R rad 2π rad 400

"

Finalmente

Simplificando las unidades y reduciendo los denominadores:

S 180

=

C 200

=

R

donde:

π

S: es el número de grados sexagesimales que mide el ángulo. C: es el número de grados centesimales que mide el mismo ángulo. R: es el número de radianes que mide el mismo ángulo.

Si solamente se trata de sexagesimales (S) y centesimales (C). S 180

=

C 200

simplicando

"

S 9

=

C 10

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5

Síntesis teórica

se mide en el

representado por

representado por

se relaciona

para "S" y "C"

Central: 619-8100

se relaciona

representado por

se relaciona

para simplificar

Unidad I

49


Problemas resueltos

Para conversión de sistemas

Para plantear e interpretar

1. Convertir 63º al sistema centesimal

5. Si la suma del número de grados sexagesimales de un ángulo más el número de grados centesimales

Resolución

Tenemos que: S = 63

"

S 9

Reemplazando en la fórmula: 63 9

"

=

C 10

del mismo ángulo es 95, determinar el número

C = ¿? =

C 10

; de donde: C = 70

S : es el número de grados sexagesimales que posee el ángulo.

Resolución

Tenemos que: S = ¿?

"

C = 80 S 9

Reemplazando en la fórmula: S 9

=

80 10

Resolución

Recordemos nuestra teoría:

2. Convertir 80g al sistema sexagesimal.

"

de radianes que posee este ángulo.

=

C 10

; de donde: S = 72

C : es el número de grados centesimales que posee el mismo ángulo.

Entonces, luego de interpretar planteamos: S+C=95, nos piden hallar "R". Reemplazamos: 180k + 200k = 95; de donde:

Para la simplificación de sistemas 3. Siendo "S"; "C" y "R" lo conocido para un ángulo no nulo, reducir: E = S + C

k=

1 4

y, como nos piden determinar el valor de

"R" :

19 R

Resolución

R

Utilizando la fórmula: "

S 180

=

C 200

=

= kπ

"

R

= 1π 4

"

R

=

π

4

R π

S=180k ; C=200k ; R = π k

E=

180 k + 200 k 19 π k

4. Simplicar: H =

"

E = 20 E=

20 π

C + π S + 20 R 3π C - π S - 20 R π

Resolución

Aplicando nuestra teoría tenemos: S=180k ; C=200k ; R = ≠k Reemplazando en la expresión a reducir: H=

H=

200 k + π 180 k + 20 πk 3π 200k - π 180 k - 20 πk π

π π

400 k 400 k

"

H

"

= 1

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5

Aplica lo á comprendido s o c i s b s o t p e c n o C 1. Establecer mediante echas las correspondientes parejas entre ambas columnas: Número de grados sexagesimales

R

Número de grados centesimales

S

Número de radianes

C

2. Siendo "S"; "C" y "R" los números convencionales, indicar la correspondencia mediante una echa: El doble del número de grados sexagesimales

380 R

La mitad del número de grados centesimales

2S

(S + C) π

1 2

C

3. Dado un mismo ángulo "a" expresado en los tres sistemas: sexagesimal, centesimal y radial, ordenar en forma decreciente los respectivos números:

S

C

R

4. ¿Cuál de las siguientes igualdades son verdaderas (V) o falsas (F)? π

180

π

200

π

10

Central: 619-8100

=

R S

=

R C

=

R C

............................................... ( )

............................................... ( )

............................................... ( )

Unidad I

51


5. Indicar las parejas correspondientes: S – C

La suma del número de grados sexagesimales y centesimales de un mismo ángulo

C – S

La diferencia del número de grados sexagesimales y centesimales de un mismo ángulo S+C

El producto del número de grados sexagesimales, centesimales y radianes

SCR

Aprende más... s o c i s á b s o t p e c n o C 1. Siendo "S" y "C" los números convencionales, 4. Siendo "S" y "C" los números convencionales, reducir: reducir: 2π S - 30R M= 4 S + 3 C M= C- S π C+20R a) 44

b) 55

d) 77

e) 88

c) 66

a) 1

b) 1,2

d) 2

e) 2,4

c) 1,5

2. Siendo "S" y "C" los números convencionales, 5. Siendo "S" y "C" los números convencionales, reducir: reducir: 2S+ 5 C P= πS + 50 R C- S

a) 64

b) 65

d) 67

e) 68

Q=

c) 66

3. Siendo "S" y "C" los números convencionales, reducir: P=

π π

b) 1,6

d) 1,8

e) 1,9

a) 10

b) 13

d) 18

e) 12

c) 15

6. Siendo "S" y "C" los números convencionales, reducir:

C - 50 R S - 80 R

a) 1,5

3 πC - 39 R 4

S 50 R + Q= 6 πC + 30 R 10

c) 1,7

π

a) 1,6

b) 1,2

d) 3

e) 2,4

c) 2

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7. Señale la medida sexagesimal de un ángulo, tal que: S=n+1 y C=n+4, siendo "S" y "C" los números convencionales. a) 18º

b) 9º

d) 15º

e) 36º

a) 10g

b) 40g

d) 50g

e) 20g

π

a)

11

rad

b)

π

d)

e)

44

c) 27º

π

c)

22

5

π

33

π

55

14. Señale la medida circular de un ángulo que cumple: C - S+20R=4,1416 (π=3,1416) 8. Señale la medida centesimal de un ángulo, tal siendo "S" ; "C" y "R" lo conocido para dicho que: S=2n+1 y C=3n - 16, siendo "S" y "C" los ángulo. números convencionales. c) 30g

π

a)

10

rad

b)

π

d)

e)

60

π

c)

20

π

40

π

50

9. Señale la medida circular de un ángulo cuyo número de grados sexagesimales (S) y 15. La diferencia de los números de grados centesimales (C), cumplen: centesimales y sexagesimales que contiene un ángulo es a 3, como 5 es a 2. ¿Cuál es la medida 2C - S = 44 centesimal del ángulo? c) π a) πrad b) π 2 4 5 a) 10g b) 25g c) 35g d) π e) π d) 45g e) 75g 9 6 10. Señale la medida circular de un ángulo que 16. El producto de los números que expresan la verica: 3S - C=34 medida de un ángulo en los sistemas estudiados siendo "S" y "C" lo conocido para dicho ángulo. es π . Determinar la medida del ángulo en π π 6 π c) a) rad b) 10 36 20 grados sexagesimales. d) π e) π 45 9 a) 6º b) 5º c) 4º d) 3º e) 2º 11. Si la diferencia de los números de grados centesimales y sexagesimales que contiene un ángulo es igual a 6, ¿cuál es la medida centesimal 17. La suma del número de grados centesimales y sexagesimales de un ángulo es a su diferencia, del ángulo? como 19 veces su número de grados sexag g g gesimales es a 6. ¿Cuál es la medida circular de a) 40 b) 50 c) 60 este ángulo? d) 70g e) 80g 12. Si el triple del número de grados centesimales de un ángulo, excede al doble de su número de grados sexagesimales en 24, ¿cuál es la medida sexagesimal del ángulo? a) 16º

b) 18º

d) 40º

e) 48º

c) 36º

13. Señale la medida circular de un ángulo que verica: 2C - S+22R=13,1416 (π=3,1416) siendo "S" ; "C" y "R" lo conocido para dicho ángulo.

20

b)

rad

π

d)

e)

60

π

c)

18

π

30

π

180

18. Señale la medida circular deun ángulo, que cumple:

`

π

9

+

π

S

3

125 j ` 10 + C j `20 + R j = 64 SCR π

π

π

π

siendo "S" ; "C" y "R" lo conocido para dicho ángulo.

a) d)

Central: 619-8100

π

a)

π

20 π

60

rad

b) e)

π

50

c)

π

30

π

80

Unidad I

53


¡Tú puedes! s o c i s á b s o t p e c n o C 1. Calcular la medida circular de un ángulo, si se cumple: 7

7

7 + ` 40 j + ` = ` 12 j j S 3C 15 R π

a)

7

π

rad

π

C - 197 R S - 52 R

π

π

b)

c)

15

2π 7

d)

2π 15

e)

π

5

2. Determina la medida circular de un ángulo cuyos números que expresan sus medidas en los sistemas convencionales cumplen con la siguiente relación: 2 2 2 2 2 2 S +C +R S C R + = 1+ + 1+ + 1+ 18 R (S + C + R) S+ C+ R S+ C+ R S+ C+ R

a)

E ;

;

π

π

30

b)

rad

π

50

c)

rad

E ;

π

60

rad

d)

E

π

80

e)

π

90

rad

3. Determinar la medida circular de un ángulo, sabiendo que la suma de sus números de minutos centesimales y segundos sexagesimales, es 1670000 a)

5π rad 2

b)

π

5

c)

rad

2π rad 5

d)

3π rad 5

e)

4 π rad 5

4. Determina la medida circular de un ángulo cuyos números que expresan sus medidas en los sistemas convencionales cumplen con la siguiente relación:

` 36 9 + S j ` 10 + C π

a)

π

6 π rad 5

π

π

A+ j ` 20

b)

π

5

π

R

rad

j=

3 64 π SCR

c)

2π rad 5

d)

3π rad 5

20

e)

4 π rad 5

5. Se ha medido un ángulo positivo en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial resultando tres números que cumplen la siguiente relación: si al producto del cuadrado del número menor con el número intermedio le incrementamos el número mayor esto nos resulta siete tercios del producto del número menor con el intermedio. Hallar la medida del menor ángulo en radianes que cumple la relación anterior. a) b y d

b)

2 3

c)

2 5

d)

5 3

e)

3 3

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5

Practica en casa s o c i s á b s o t p e c n o C 1. Siendo "S" y "C" los números convencionales, 9. Señale la medida radial de un ángulo, si su reducir: número de grados centesimales excede a su 4 S- 3C número de grados sexagesimales en 8. M= C- S

2. Siendo "S" y "C" los números convencionales, 10. Señale la medida circular de un ángulo que cumple: 2S - C+20R=11,1416 (π=3,1416) reducir: siendo "S" ; "C" y "R" lo conocido para dicho 2S+ C ángulo. P= C- S

3. Siendo "S" y "C" los números convencionales, 11. Señale la medida radial de un ángulo que verica: reducir: C - S 4R = π C + 50 R P= 2C - S 11π π S - 80 R Siendo "S" ; "C" y "R" lo conocido para dicho ángulo. 4. Siendo "S" y "C" los números convencionales, reducir: 12. El producto de los números que expresan la πS + 50 R medida de un ángulo en los sistemas estudiados MQ = 3 πC es 36 π . Determinar la medida del ángulo en +R 20 grados sexagesimales. 5. Señale la medida centesimal de un ángulo que cumple: S=2n+1 y C=3n - 2, siendo "S" y "C" 13. La diferencia de los números de grados centelos números convencionales. simales y sexagesimales que contiene un ángulo es a 27, como 5 es a 3. ¿Cuál es la medida centesimal del ángulo? 6. Señale la medida sexagesimal de un ángulo que cumple: S=3n+6 y C=4n+2, siendo "S" y "C" los números convencionales. 14. La suma del número de grados centesimales y 7. Señale la medida circular de un ángulo cuyo número de grados sexagesimales (S) y centesimales (C) cumplen: 2C - S=33

sexagesimales de un ángulo es a su diferencia, como 38 veces su número de grados sexagesimales es a 20. ¿Cuál es la medida circular de este ángulo?

8. Señale la medida radial de un ángulo que 15. Determina la medida de un ángulo en el sistema verica: 2S - C=16 radial, tal que la diferencia de cuadrados del siendo "S" y "C" lo conocido para dicho ángulo. número de grados centesimales y sexagesimales es al número de radianes como 380 es a 1.

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Unidad I

55

6

Repaso

Repaso

¿Es importante repasar? ¿Cuándo, dónde y por qué repasar? ¿Será más provechoso repasar constantemente?, ¿por qué?

RETROALIMENTACIÓN Los repasos son más que una simple repetición, aunque en la práctica pueda parecerlo. Estos tienen un componente importante de repetición (es decir, la repetición se vincula con la memorización), pero principalmente es una reelaboración de la información adquirida (no se repite de la misma manera, no se elabora el esquema mental habitualmente sino se enriquece con mayores y mejores conexiones). Sin embargo, no hay que perder de vista que el repaso parte a priori de la comprensión, que en el estudio implica todo un proceso de elaboración. ¿Por qué repasar? Porque lo que no se repasa se olvida, porque repasando se gana tiempo: sumando los tiempos de los repasos es menor que el tiempo que tendríamos que invertir en volver a estudiar, porque no es lo mismo que reconocer.

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Trigonometría

Aprende más... s o c i s á b s o t p e c n o C 1. Hallar "x" (9 - 2x)º

a) 31º d) 60º

(x+3)º

b) 51º e) 36º

c) 62º

a)

π

d)

π

3

rad

4

M= 2

e)

π

5

yg

6

xº

O

B

2π rad 3

b) 5 3 e) 40 3

c) 50 3

C

a) 120 d) 2 400

3. Del gráco, calcular "x"

b) 1 200 e) 24 000

7. Reducir: M=

C

c) 240

2C - S 22 R

Si "S"; "C" y "R" son los sistemas conocidos

B - 40g

a) 10 (7x - 2)º

d)

A

O

b) 6 e) 5

c) 8


8. Si:

π

10

(40x)g

b)

c) 10π

e) 10 π

π

rad= aº 3b' c0" 32 calcular "a+b - c"

a) 4 d) 8

B

b) 6 e) 9

c) 7

9. Siendo "S" y "C" lo conocido para un ángulo no nulo, reducir:

π rad

4xº

9

a) 2 d) 8

π

9

10g

a) 2 d) 10

c)

A

rad+60º

a) 3 10 d) 20 3

A

π

6. Del gráco, calcular: M = 10x − 9y

2. Calcular: π

b)

b) 4 e) 10

C

c) 6

M= a) 5 d) 8

C+S + 4S C-S C-S b) 6 e) 2

c) 4

5. Del gráco mostrado, determinar la medida del 10. Halle el valor de "A + B + C", si se cumple la ángulo AOB en radianes. equivalencia siguiente: C 25 º <>Aº B' C"

` 16 j

B

- 10 x

g

a) 78 d) 83

3

2xº O Central: 619-8100

b) 79 e) 85

c) 81

A

Unidad I

57

Repaso

11. Señale la medida centesimal de un ángulo, cuyo número de grados sexagesimales (S) y centesimales (C), cumplen: 4S - C =217 2 a) 30g d) 60g

b) 40g e) 70g

c) 50g

12. Si para un mismo ángulo se cumple: S=n+1 y C=n+3, hallar el número de radianes de dicho ángulo. a)

π

d)

π

5

rad

9

b)

2π 5

e)

π

c)

Siendo "S" ; "C" y "R" lo conocido para dicho ángulo. a)

π rad

b)

d)

π

e)

3

6

π

4

c)

π

5

π

8

16. Los ángulos internos de un triángulo se encuentran en progresión aritmética. Si el mayor de ellos es seis veces el menor, hallar la medida del ángulo intermedio en radianes.

π

6

10

a)

4π rad 5

b)

π

d)

4π 7

e)

4π 11

3

c)

2π 5

13. Señalar la medida radial de un ángulo que 17. Calcular la medida de un ángulo en radianes, cumple: 3S - 2C+35R=7,1416 (π=3,1416) sabiendo que la diferencia de su número de siendo "S" ; "C" y "R" lo conocido para dicho grados centesimales con su número de grados ángulo. sexagesimales es a su suma como dos veces su π π π número de radianes es a 57 π. a) rad b) c) 7 35 5 d) π e) π a) 2π rad b) 3π c) 4π 5 5 21 60 5 d) π e) 3 π 2 2 14. Se tienen tres ángulos donde la suma entre el primero y el segundo es 33º, el segundo más 18. Hallar la medida en radianes de un ángulo trigonométrico positivo, que satisface la siguiente el tercero es 50g y la suma entre el primero y condición: el tercero es π rad. Halle el mayor de ellos en 6 C- S SC ` = 40 10 ` 1 + 1 j j grados sexagesimales. 2 19 C S a) 15º d) 24º

b) 27º e) 14º

c) 25º

Siendo "S" y "C" lo conocido para dicho ángulo. a)

15. Señale la medida radial de un ángulo, que verica: C - S = 4R 2C - S 11π

d)

π

45 π

15

b) e)

π

30

c)

π

20

π

5

18:10:45

Practica en casa s o c i s á b s o t p e c n o C 1. Hallar "x"

3. Del gráco, calcular "x" - 7x+35º

25º+x

- 60g (6x)º

2. Calcular:

π

M= 12

rad+5º 100g

4. Siendo "S" y "C" lo conocido para un ángulo no nulo, reducir: M= 5S - 2C C-S

Colegios

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6

11. Si para un mismo ángulo se cumple: S=2n y C=4n - 1, hallar el número de radianes de dicho ángulo.

B (10x)g

A

6. Si:

2π rad 3

xº

C

12. Los ángulos internos de un triángulo se encuentran en progresión aritmética. Si el mayor de ellos es tres veces el menor, hallar la medida del ángulo menor en radianes.

π

rad=1aº 2b' 4c" 11 calcular "a+b+c"

13. Si los ángulos internos de un triángulo ABC miden: A=2nº; B=(20n)g y C = nπ rad, 72 hallar el mayor ángulo en sexagesimales.

7. Señale la medida circular de un ángulo, cuyo número de grados sexagesimales (S) y centesimales (C), 14. Calcular la medida de un ángulo en radianes, cumplen: 3S - 2C = 35 sabiendo que la diferencia de su número de 8. Señale la medida radial de un ángulo, si el grados centesimales con su número de grados doble de su número de grados sexagesimales sexagesimales es a su suma como tres veces su aumentado en su número de grados centesimales número de radianes es a 76 ≠ . es igual a 14. 9. Señale la medida radial de un ángulo, que verica: 15. Hallar la medida en radianes de un ángulo trigonométrico positivo, que satisface la siguiente C-S = C condición: C + S 152 siendo "S" ; "C" y "R" lo conocido para dicho C- S SC ` = 5 10 ` 1 + 1 j j ángulo. 2 19 S C 10. Señale la medida radial de un ángulo, que cumple: 3S - 2C+20R=10,1416 (π=3,1416) siendo "S" ; "C" y "R" lo conocido para dicho ángulo.

Central: 619-8100

Siendo "S" y "C" lo conocido para dicho ángulo.

Unidad I

59

UNIDAD II

UNIVERSO CURVILÍNEO a decoración ha vuelto a basarse en las curvas, pues hoy las sensuales formas redondeadas pueden observarse en innidad de muebles, objetos y complementos. Nada escapa a las curvas: sofás que recuerdan la gura femenina, grifos de baño con inesperados giros, lámparas de mesa contorneadas. Esta tendencia no se observa solo en un ambiente o espacio especíco del hogar, en la cocina, los electrodomésticos también adoptan formas curvas antes inesperadas, como puede comprobarse en los últimos diseños de las neveras, los hornos microondas y otros artefactos de marcas reconocidas. Es indudable que las curvas eliminan de nuestros ambientes la excesiva solemnidad y rigidez, pues con ellas todo es más etéreo y fresco.

L


Comunicación matemática

• Reconocer e interpretar las fórmulas de longitud de un arco y de supercie del sector circular. Resolución de problemas • Resolver problemas referentes a la longitud de un arco y de supercie del sector circular. Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas • Aplicar ecientemente las fórmulas para el cálculo de la longitud de un arco y de la supercie del sector circular.


1


¿Qué son las curvas para George? ¿A qué forma te gustaría que se asemeje tu vida: a las rectas o a las curvas?

CURVAS RECTAS En ocasiones, la vida se asemeja a una carretera. Hay varias formas de carreteras: perfectas, imperfectas, rectas, curvas. De igual modo también hay varias formas de vida, pero hay un tipo de vida especial: la de George que se puede definir como una curva recta. ¿Te has imaginado cómo es una curva recta? ¿Cómo sería este tipo de vida? ¿Sería la perfección o la imperfección? ¿Tiene algún sentido? ¿Tiene un comienzo y final? ¿Tu vida podría ser una curva recta o una recta curva? A George le gustaban las curvas de la carretera, siempre las observaba, en cambio las rectas le aburrían muchísimo. Un día preguntó a su padre: "¿Por qué existen las curvas?". "Bueno, hijo, existen porque son necesarias. Por ejemplo, fíjate en la carretera que recorremos ahora y en el terreno circundante: hay montañas, lagos, ríos, etc. que necesitamos rodear para transitar sin problemas". Después de un tiempo, George abordó el mismo tema con su padre: "Estuve pensando en tu respuesta y creo que no me entendiste. Me refería a las curvas de la vida. ¿Por qué existen las curvas en la vida?". "Yo creo que existen porque alguien las inventó para escapar de los problemas de la vida, para evadirlos, para ocultar la imperfección del ser humano..." "¿Y las rectas? ¿Sabes lo que pienso?", dijo George, "Las rectas de la vida son el camino que sigue toda la gente en este mundo, todos se dirigen al mismo sitio. Por eso me gustan las curvas, porque no son comunes, son distintas. Siempre me he preguntado si existirá una curva recta. ¿Cómo sería? ¿Qué forma tendría? Creo que sería una mezcla de línea y curva en la que se combinan perfección e imperfección. Entonces, la vida sería plena: con felicidad y todo lo necesario. Eso necesito: la curva recta que mezcla la perfección de la recta y la imperfección de la curva”.

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Unidad II

61


Conceptos básicos

Cálculo de la longitud de un arco Aquí se debe de considerar que las longitudes de los arcos que se va a encontrar corresponden al arco de circunferencia, por tal motivo la fórmula que se va a emplear es: L = θ.R

C

Donde: L : longitud del arco AB θ : número de radianes del ángulo central correspondiente a dicho arco. R : radio de la circunferencia.

o i d a R

Radio

B

q rad o r c A

A

Observación

1. Para poder calcular la longitud de un arco se debe tener presente que usamos única y exclusivamente la medida del ángulo central. 2. El ángulo central elegido debe encontrarse en radianes. 3. La gura geométrica formada por los radios y el arco se denomina sector circular. (Parece tajada de torta).

A

Sector circular

r

O

o c r A

θ

(Tajada de torta)

r

B

Sabías que... Uno de los primeros problemas en la antigüedad era de qué manera se podía medir un ángulo usando una regla. Como notarás esto no se puede lograr directamente, pero sí se puede medir la cuerda que subtiende ese ángulo y luego con la ayuda de tablas determinar el ángulo. Fue Hiparco de Nicea considerado el “Padre de la trigonometría” quien construyó por primera vez una tabla de cuerdas y para esto consideró los triángulos inscritos en una circunferencia dividida en 360 partes iguales siendo cada cuerda uno de los lados del triángulo. Eratóstenes nacido en Cirene en el año 284 A.C. y muerto en Alejandría a los 92 años fue el primero en la historia de la humanidad en medir con bastante precisión el radio de la tierra. En una época en la cual muy poca gente pensaba que la tierra no era plana y ¿Cómo lo hizo? pues , pensó que dos estacas clavadas verticalmente verticalmente en el suelo, a una distancia de varios kilómetros, sobre un mismo meridiano, darían sombras distintas a la misma hora por ser la tierra curva y no plana como se pensaba.

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1

Síntesis teórica

posee una medida

se obtiene como

se obtiene como

L

medida en

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θ

medida en

R

medida en

Unidad II

63


Problemas resueltos 1. Calcular la longitud de un arco correspondiente a un ángulo central de 45º en una circunferencia circunferencia de 24 cm de radio Resolución

Datos: Ángulo = 45º Radio = 24 cm Longitud del arco = ¿? No olvidemos que el ángulo central debe estar en radianes. Entonces: L=45º .

π

180º

. 24

L = 6πcm

2. En un sector circular, el ángulo central mide 20º y el radio 45cm. ¿Cuál es el perímetro perímetro del sector? Resolución

Debemos observar que: B

Perímetro= radio+radio+longitud del arco Perímetro= r+r+L "

r

Perímetro = 2r + 20º. L "

O

π

180º

. r , pero: r=45

Perímetro = 90 + 5 π Perímetro = 5 (18 + π) cm cm

r A

3. En un sector circular, el arco mide 100cm. Si el ángulo central se reduce a su cuarta parte y el radio se duplica, se genera un nuevo sector circular cuyo arco mide: Resolución Dato 1:

Dato 2:

Ángulo = θ rad Radio = R Longitud del arco = 100 cm

Ángulo =

Radio = 2 R Longitud del arco = ¿? cm

100 = θ . R

L2 =

Comparando ambas longitudes:

θ

4

θ rad

4

.2R

L2 = 50 cm

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4. En la gura se muestra un péndulo en movimiento. Determinar la longitud del péndulo, si su extremo recorre 10 πu .

1

Resolución

El extremo del péndulo recorre 10 πu .

37º 10u

Entonces en el gráfico: 10π = L

!

LP 10π = 53 #

37º

A

C

π

180

º.

AB

+

L

!

BC

π

. LP +37º. π . (LP− 10) 10) 180º 180º

LP=24,11 u B

5. En la gura se muestra una pista para deporte extremo (bicicleta). Determinar la longitud total de la pista según los datos planteados, además los arcos corresponden a un arco de 90º de ángulo central.

10u

4u

4u

Resolución

A

O1

La pista está compuesta por dos arcos y una pista recta, dibujemos: D Longitud de la pista: L + BC + L CD AB Longitud de la pista:

O2

!

=90º .

B

C

π

!

. 4+10+90º .

180º Efectuando operaciones:

Longitud de la pista =

π

180º

. 4

(2π + 10) u 10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Indicar los elementos del sector sector circular. circular.

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Unidad II

65


2. Indicar verdadero (V) o falso (F) en los recuadros, siendo las guras sectores circulares. A

A

O

80º

80º

O

B

2cm

2cm

B 27cm

3. Determinar la medida del ángulo central en radianes de la gura, siendo ella un sector circular. (Tener presente que: 0 <θ # 2π )

B 9cm

A θ

9cm

O

4. Latitud: es la distancia angular desde el ecuador a un punto dado de la supercie terrestre. Puntos situados al norte del ecuador tienen latitud Norte (N), los situados al sur tienen latitud Sur (S). Determinar la latitud del punto "P" en kilómetros, si el radio de la tierra es "R". Nota: el ángulo "a" se encuentra en grados sexagesimales.

5. Longitud: es la distancia angular desde el meridiano 0º (Greenwich) a un punto dado de la supercie terrestre. Los lugares situados al Oeste del meridiano 0º (Greenwich) tienen longitud Oeste (W) mientras que los situados al Este de aquel meridiano tienen longitud Este (E). Determinar la latitud del punto "P" en kilómetros, si el radio de la tierra es "R". Nota: el ángulo ángu lo "b" se encuentra encue ntra en grados sexagesimales. sexagesimales.

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1

Aprende más... s o c i s á b s o t p e c n o C 1. En el sector circular mostrado, calcular la 6. En un sector circular el arco mide 24 cm. Si el ángulo central se triplica y el radio se reduce longitud del arco CD a su mitad, se genera un nuevo sector circular C cuyo arco mide: 8 cm

O

45º

a) 2π cm d)

8 cm

b) 4π

π

e)

2

D

c)

π

π

4

2. En el sector circular mostrado, calcular la longitud del arco PQ

a) 36 cm

b) 24

d) 72

e) 30

c) 48

7. En un sector circular, el arco mide 20 cm. Si el radio se incrementa en el triple y el ángulo central se reduce a la mitad, se genera un nuevo sector circular cuyo arco mide: a) 10 cm

b) 20

d) 40

e) 60

c) 30

8. Del gráco, calcular: M=

L 1+L3 L2

P L1

A 6 c m

2p rad 3 O

a) d)

π

cm

π

2

m 6 c

b) 4π e)

D

Q

M

c) 2π

3. Calcular la longitud de un arco correspondiente a un ángulo central de 70g en una circunferencia de 200 cm de radio a) 50π cm

b) 35π

d) 140π

e) 280π

c) 70π

4. En un sector circular, el ángulo central mide 10g y el radio mide 40 cm. ¿Cuál es el perímetro del sector? a) 2(π+20)

b) 2(π+40)

d) 4(π+40)

e) 2(π+30)

a) 5 3

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b) 6 7 e) 4 5

B

b) 7 3 e) 7

d) 4 3

L 1+L2 L3 A C

c) 4(π+20)

E

O

c) 2 3

c) 3 2

4

9. Del gráco, calcular: P=

5. En un sector circular, la medida del arco y el radio están representados por dos números enteros consecutivos. Si el perímetro del sector es 20 m, ¿cuál es la medida del ángulo central? a) 3rad 5 d) 3 2

15º L3

O

4

C

N

30º

π

L2

L1

L2

L3

F

D B

a) 1 d) 1 2

b) 2 e) 2 3

c) 3

Unidad II

67


10. En el gráco, calcular "L", si : L 1+L2=8π L2

A

L

L1

a) 8π

b) 4π

d)

e)

π

13. En el triángulo rectángulo isósceles, calcular la suma de las longitudes de los dos arcos dibujados tomando centro en "A" y "C" respectivamente, si la hipotenusa es igual a 4.

c) 2π D

π

2

11. Calcular la medida del ángulo central en la gura mostrada. B 2 4

a) 2π d) 16π

C

E

b) 4π e) π

c) 8π

14. Del gráco, calcular: E = θ- 1 - θ

C

O

B

A

5p

p

C

D O

2 4

q

A

a) 15º d) 30º

b) 12º e) 45º

D

c) 18º a) 1

12. Del gráco, calcular " θ "

d)

B

B

b) 2 5 2

e)

c) 5

1 2

1 2

15. Del gráco, calcular " θ "

C

O

6p

2p

θ

C

n

A

D 1 2

O

2n

q

A

a) 15º d) 30º

b) 60º e) 45º

D

c) 75º

a) d)

5+ 1 2 5 2

b) e)

5- 1 2

n

B

c)

5

-

1

3-1

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Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas

1

17. La ubicación de mi yate en la esfera celeste 16. ¿Sobre el puente? Si el radio de la tierra es aproximadamente 6370 Determinar la longitud del puente (PQ), si la km, determinar la longitud y la latitud en km longitud del arco AB=5 ≠ m y su radio (OA=OB) según los datos indicados. mide 10m N

P

Q

B

A

W E cu a d o r

Latitud: 43º35'N

d u t i t a L

Longitud: 46º25'W O

G r e e n w i c h

E

(0,0) Longitud

S

18. La escalera de mi piscina Se muestra unos escalones como muestra la gura terminada. Determinar el perímetro de la gura, si los peldaños tienen de altura 20cm y 30cm los pasos (No se incluye las paredes laterales) Vista de perl

Vista de planta 30

100º

30

30

Modelo

30 20 20 20 20

¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. En la gura se muestra un péndulo en movimiento. Determinar la longitud del péndulo, si su extremo recorre 10 π u 30º 12u

30º

A

C

B

a) 21u Central: 619-8100

b) 22

c) 23

d) 24

e) 25

Unidad II

69


Determinar el perímetro de la región sombreada ( π=3,14)

1u 60º

a) 3,327u

b) 5,327

c) 7,327

d) 9,327

e) 5,553

2. Determinar el perímetro de la gura mostrada, si "C" es el centro del arco BF, además los arcos ABCD, AFCE son de igual longitud y el centro del primer arco se halla en "O". E

B C

A

12 F

D

2 1

12

1 2

O

a) 60,8u

b) 61,8

c) 62,8

3. Determinar el perímetro del ovoide, si: R = 6 + puntos "B" y "A", respectivamente.

2

d) 63,8

e) 64,8

; además: AD y CB son arcos cuyos centros son los

D

C

O2

A

O1

B

R

a) 15π

b) 16π

c) 17π

d) 18π

e) 19π

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1

Practica en casa s o c i s á b s o t p e c n o C 1. Indicar verdadero (V) o falso (F) según 7. En un sector circular la medida del arco y el corresponda: radio están representados por dos números enteros consecutivos. Si el perímetro del sector A : Para determinar la longitud de un es 17 m, ¿cuál es la medida del ángulo central? arco se debe tomar en cuenta el ( ) ángulo central............................... L 1+L2 8. Del gráco, calcular: M= B : Para determinar la longitud de un L3 arco se debe conocer el radio y su ( ) ángulo central. ............................. C

2. Determinar la longitud del arco AB en la gura, siendo ella un sector circular. A

E

60º

45º

O

A

B

40º

9. Del gráco, calcular: P=

L1 - L 3 L2

6 c m

B

3. Calcular la longitud de un arco correspondiente a un ángulo central de 60º en una circunferencia de 18 cm de radio. 4. En un sector circular, el ángulo central mide 72º y el radio mide 25 cm. ¿Cuál es el perímetro del sector?

L1

D

M L3

m 6 c

O

L2

E

3 O

2

C

F 2

A

L1

L2

L3

3

2

D 2

B

10. En el gráco, calcular "L", si: L 1+L2=16π

5. En un sector circular, el arco mide 30 cm. Si el ángulo central se duplica y el radio se triplica, se genera otro sector circular cuyo arco mide:

11. Del gráco, calcular la medida del ángulo central.

Q

B

m c 0 9

40º

L2

L

L1

6. Calcular la longitud que recorre el insecto al ir de "P" hasta "Q", si el centro del arco posee su centro en el ojo del muchacho.

6 u m 9 0 c

C

P O

6p

5p

D 6 u

A

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71


12. En el gráco, calcular "L" 1 2

D

O

A

10π

L

60º C

14. En el triángulo rectángulo isósceles, calcular la suma de las longitudes de los dos arcos dibujados tomando centro en "A" y "C" respectivamente, si la hipotenusa es igual a 10

1 2

A

B

13. En el gráco, calcular "a"

D A

C

O

70g

B

a

14π

7π

C

E

15. Del gráco, calcular: E = θ (1 + θ) A

D a

C

B O

q

D

B

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2

Superficie de un sector circular

¿Te imaginas una casa con paredes curvas, donde no existan esquinas? La sensación que produce este diseño a tus sentidos, ¿será agradable? hoy en día los diseños ya no son rectos, ¿a qué crees que se deba?

VIVIENDAS CIRCULARES Geométricamente y constructivamente, la gura circular es la más sencilla de describir y trazar, según Euclides. En principio, para delinear una circunferencia e incluso una estructura concéntrica no se necesitan conocimientos complicados. Estas casas buscan cumplir con las demandas de funcionalidad, confort y valor que pide el mercado. A pesar de que habitualmente no se le toma en cuenta, las casas circulares proveen de esas características y más. Las personas deciden construir una casa redonda por múltiples razones. En algunos casos, es porque simplemente les gusta la apariencia en contraste a las típicas casas en forma de caja, hay quienes tratan de expresar su individualidad y no ven que lo pueden lograr a través de un diseño convencional de vivienda. Hay propietarios motivados por la vista panorámica que se logra con una casa circular. También hay quienes buscan la eciencia en el consumo de energía o una casa de ambiente amigable.

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Conceptos básicos

Cálculo de la superficie de un sector circular Se denomina sector circular a la figura geométrica, porción de círculo, comprendida entre un arco de circunferencia y sus respectivos radios delimitadores. B S=

i o r a d

O

o c r a

θ r a d i o

A

2 1 . θ.R 2

Donde: S=Superficie del sector circular AOB θ =Número de radianes del ángulo central correspondiente a dicho arco. R = radio de la circunferencia.

Observación

Primera parte: Para determinar la superficie de un sector circular de la expresión anterior, podemos deducir:

S=

1 .L .R 2

S=

2

1 L . 2 θ

Segunda parte: El ángulo central del sector circular se halla en el siguiente intervalo: 0 <θ # 2 π

Trapecio circular Es la porción de plano limitada por dos circunferencias concéntricas y dos radios. Para el trapecio circular los elementos que intervienen son: • El arco mayor • El arco menor • La separación entre ambos arcos

Cálculo de la superficie de un trapecio circular Para determinar la superficie del trapecio circular basta restar el sector circular mayor y el sector circular menor, deduciéndose la siguiente relación:

A

d

L +L S= ( 1 2 2

B O

L1

S

C

d D

L2

)

#

d

Donde: S = supercie del trapecio circular L1 = longitud del arco menor L2 = longitud del arco mayor d = separación entre ambos arcos

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2

Síntesis teórica

conociendo

fórmula

conociendo

conociendo

fórmula

fórmula

Problemas resueltos 1. Se tiene un sector circular cuyo ángulo central 2. En un sector circular, la longitud de arco mide mide 45º y su radio 8 cm. ¿Cuál es su supercie? π cm y el ángulo central mide 30º. ¿Cuál es la 4 Resolución supercie del sector? Datos:

Resolución

Ángulo central= 45º Radio = 8 cm Supercie del sector = ¿? "No olvidemos que el ángulo central debe estar en radianes"

Datos:

Entonces:

Además:

S=

1 2

θR

2

1 .45º . π .(8) 2 " S= 2 180º

S=8 p cm2

"

Longitud del arco = π cm 4 Ángulo central = 30º Supercie del sector = ¿? L= θ.R

"

π 4

= 30º .

Entonces: S= 1 θ R2 S= 1 . 1 2

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"

π

180º

( 3) 2 2 6 2 π

2

. R

→

R=

3 2

.( 3 ) 2→S= 3π cm2

"

2

16

Unidad II

75


Resolución

S 3. Del gráco, determinar: H= 1 S2

Sx = Smayor − Smenor

u 2

D 1

S2

S1

36º

C

u 6

A

O

Sector: AOD Ángulo = 36º. π 180º Radio = 8 Superficie del sector = ¿? 1

Sx =

π

32π 2 u 3

Resolución A C

π

S1= .36º. .(8)2 2 180º

6

Sector: COE

Ángulo = (180º - 36º) π 180º Radio = 6 Superficie del sector = ¿? "

1

5. Del gráco, determinar la supercie de la región sombreada.

Resolución

"

π

.(6)2 − .120º. .(2)2 Sx = .120º. 2 180º 2 180º

E

1

π

B

Ssombreado = SAOB − SCOH Ssombreado = "

Reemplazando en la pregunta: π

.36º. .(8)2 S1 180º = 2 S2 1 π .144º. .(6)2 2 180º

H

Para determinar la región sombreada podemos interpretarlo como:

S2= .144º. .(6)2 2 180º

1

20º

O

→

S1 = S2

1

4 9

π

1

π

.(OA)2 − .20º. .(OH)2 2 180º 2 180º Factorizando la parte común: .20º.

1

π

Ssombreado = .20º. .[(OA)2 − (OH)2] ; 2 180º pero: (OA) 2 - (OH) 2 = (6) 2 ..... por Pitágoras

4. En la gura mostrada, determinar la supercie de la región sombreada, cuyo ángulo central es de 120º

1

π

Entonces: Ssombreado= .20º. .[62] 2 180º

→

Ssombreado= 2 ≠ u2

6 u

2 u

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2

Aplica lo á comprendido s o c i s b s o t p e c n o C 1. Indica las correspondientes parejas mediante echas según el gráco.

1

Longitud de arco

2

Ángulo central

1 2 3 3

Radio

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda, de acuerdo al uso de la fórmula de la supercie de un sector circular. • El ángulo central está en grados sexagesimales ............................................................... (

)

• El ángulo central puede ser mayor que una vuelta ........................................................... (

)

• El ángulo central debe expresarse en radianes ................................................................. (

)

3. En la gura mostrada, ¿cuántos sectores circulares observas?

4. ¿Cuál de las siguientes expresiones indica el perímetro del sector circular?. (Marcar con un aspa) R+R+θ R

L

qq

R

R2 + L

R+R+L

5. La pantalla de esta lámpara es cortada por uno de sus bordes y colocada sobre una mesa. ¿Qué forma geométrica posee la pantalla?

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Aprende más... s o c i s á b s o t p e c n o C 1. En un sector circular, el ángulo central mide 45º 8. En un sector circular, el área es 36 cm2. Si el y el radio 8 u. ¿Cuál es su área? ángulo central se reduce a la mitad y el radio se triplica, se genera un nuevo sector circular cuya 2 π π b) c) 8 4 a) π u área es: d) 6π e) 2π b) 96 c) 72 a) 36 cm2 d) 144 e) 162 2. En un sector circular, el ángulo central mide 30g y el radio 10 u. ¿Cuál es su área? a) 30πu2

b) 15π

d) 24π

e)

c)

15π 2 u 2


5π 2 u 2

a) 11 π u d) 10π

b) 12π

1

S1

e) 14π π

4

cm y su

ángulo central mide 30º. ¿Cuál es su área?

d) 2π

b) 3π 8 e) 2π 3

60º

c) 13π

4. En un sector circular, el arco mide

a) 3π cm2 16

c) 3π

d)

π cm2

2

π

12

b)

π

3 e) 2π 3

D

3

S2

O

C

a) 1 8 d) 9 2

b) 1

c) 3 8

4

e) 9 8


4

S1 S2

A

B

S2

5. En un sector circular, el arco mide π cm y su 3 ángulo central mide 60º. ¿Cuál es su área? a)

B

A

3. En un sector circular, el arco mide 2πcm y su radio 13u. ¿Cuál es su área? 2

S1 S2

c)

M

3 0 º

O

45º

S1

π

6

C

a) 1 d) 4

b) 2 e) 6

c) 3

6. En un sector circular, el área es 40u2. Si duplicamos el radio y reducimos el ángulo 11. En el gráco mostrado, señala el área del sector central en su mitad, se genera un nuevo sector circular AOB circular cuya área es: A a) 80u2 d) 15

b) 20 e) 40

c) 10

x2+1

7. En un sector circular, el área es 10u2. Si el ángulo central se triplica y el radio se duplica, se genera un nuevo sector circular cuya área es: a) 40u2 d) 120

b) 60 e) 180

c) 90

O a) 25 d) 50

8+x

x rad x2+1 b) 40 e) 75

B c) 45

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12. Se tiene un sector circular de radio "R" y ángulo 14. Del gráco, calcular "x" D central de 36º. Si se reduce el ángulo central en x 11º y el radio se incrementa en "x", de modo B que el área del nuevo sector generado es igual a 1u A la del sector original. Hallar "x" 5S a) R 2

b) R 4 e) R

d) R 6

1u

c) R 5

O

9

a) 1

13. Si las áreas de las regiones sombreadas son iguales, calcular " θ "

d)

S

1u

F 1u

E

x

3 2

b)

5 2

2

C

c) 2

e) 4

15. Del gráco mostrado, calcular "S4", si: S1=4u2 ; S2=8u2 y S3=10u2 S2

q S1

a) d)

π

b)

10 π

e)

4

π

20

c)

π

S4

3

S3

π

5

b) 6 e) 9

a) 5 u2 d) 7

c) 8

Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 16. Conduciendo de noche 17. Sacando cálculos Los faros de un automóvil iluminan un sector, El costo del pie cúbico de madera es de 5 nuevos como se muestra en la gura. Determínese la soles. ¿Cuál es el costo del pedazo de tronco de supercie de la región iluminada. la gura? 290º i e s 0 ,5 p

90º 2 pies 2 0 m

18. A pintar la escalera Se desea pintar la escalera de la piscina. ¿Qué cantidad de pintura debo usar, si un bote alcanza para 2 20m ? (En el gráco las unidades están en centímetros) Vista de planta

Vista de perl 30

100º

30

30

Modelo

30 20 20 20 20

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Unidad II

79


¡Tú puedes! s o c i s á b s o t p e c n o C 1. Si en un tronco de cono circular recto; los radios de sus bases y su generatriz suman 8 cm, ¿cuál es el el máximo valor del área lateral del tronco de cono? r

R

a) 20π

g

g R

a) 16π

a) 23π

r

b) 24π

c) 25π

2. En el siguiente gráco, se tiene un cono en el el cual se cumple que el área de la región sombreada en la base, es el doble del área de la supercie sombreada sobre el cono. Calcular " θ ", si además el perímetro de la base es a la altura como ≠ es a 10 y AB=2BD A

B C

D

q

E

a)

π

8

rad

b)

c)

π

9

2π 9

3π 8

d)

e)

π

4

3. Del gráco, obtener el área de la región sombreada, sombreada, si la longitud del arco MN es igual al perímetro de la circunferencia. M

r

O R

a)

π

r (R - 2r )

b)

π

r (R + 2r )

c)

π

r (R - r )

N

d)

π

r (r - 2R)

e)

πr

R (R - 2r)

4. Se tiene un sector sector circular cuyo ángulo ángulo central mide 120º y su radio igual a "R". Si duplicamos el radio de este sector y disminuimos su ángulo central en " θ " se obtiene un nuevo sector cuya área es el triple del área del sector original, de acuerdo a esto obtenga el valor de " θ " a) 30º

b ) 4 0º

c ) 5 0º

d ) 6 0º

e) 70º

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5. Un granjero coloca su vaca en un campo como el de la gura. Si la longitud de la cuerda es de 20m, calcular la mayor cantidad de supercie de pasto que puede comer la vaca.

2

a) 30,3π b) 31,3π 60m

69º

c) 32,3π d) 33,3π e) 34,3π

60m 18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos S 1. En un sector circular, el ángulo central mide 40º 8. Del gráco, calcular: M= 1 S2 y el radio 9 u. ¿Cuál es el área? A

2. En un sector circular, el arco mide 4≠ cm y su radio 7 u. ¿Cuál es su área?

6

3. En un sector circular, el ángulo central mide 40g y el arco 4 π cm. ¿Cuál es el área?

D

S1

C

30º

O

S2

5

B

4. En un sector circular, el ángulo central mide 36º y S1 9. Del gráco, calcular: M= el radio mide 4 5 cm. Calcular el área del sector. S2 A

5. En un sector circular, el área es 12 cm2. Si el ángulo central se duplica y el radio se triplica, se genera un nuevo sector circular cuya área es: 6. En un sector circular, el área área es 48 cm2. Si el ángulo central se reduce a su tercera parte y el radio se duplica, se genera un nuevo sector circular cuya área es:

4

O

S1

15º 30º

C

B S2

6 D

7. En un sector circular, el el área es 30u2. Si tri10. Se tiene un sector circular de radio "R" y ángulo plicamos el radio y reducimos el ángulo central central de 49º. Si se reduce el ángulo central en a su quinta parte, se genera un nuevo sector 13º y el radio se incrementa en "x", se genera un circular cuya área es: nuevo sector circular cuya área es igual a la del sector original. Calcular "x".

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Unidad II

81


11. En el gráco mostrado, señala el área del sector 14. Del gráco, calcular "x" circular AOB. A

x2+1 O

3u

1 +x 8

x rad

12. Del Del gráco, calcular:

O

S2

14S

S

2u

F 3u

x

E

D

15. Del gráco mostrado, calcular "S4", si: S1=18u2; S2=6u2 y S3=5u2

S1

S1

S2

S1

13. Calcular el área de la región sombreada. 3 3

x

A

2u B

B

C

S4

S2 S3

A

D 4

O 3

C

3

B

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3

Miscelánea

¿CÓMO SACAR EL MÁXIMO PROVECHO EN EL AULA? Observa, escucha y toma nota. Observa atentamente lo que escribe el profesor en la pizarra y escúchalo con atención porque si pierdes algún paso de la explicación, te confundirás y no comprenderás lo explicado. Si te distraes: mirando por la ventana, charlando con tu compañero, pensando en la hora, jugando con tu celular, etc., perderás el tiempo. También debes tomar apuntes necesarios, no todo. Debes guiarte por expresiones como: “El punto siguiente es muy importante…”, “Asegúrense de recordar que…” “No olviden este detalle…”, etc. Lee cinco o diez minutos antes que el profesor aborde un nuevo tema, pues te ayudará a comprender. Debes anotar también los puntos que no entiendes durante la lectura previa para que el profesor te los aclare.

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Unidad II

83

Miscelánea

Aprende más... s o c i s á b s o t p e c n o C 1. En un sector circular, la longitud del arco es 4π cm y el ángulo central mide 50g. ¿Cuánto mide su radio? a) 14 cm d) 12

b) 15 e) 8

c) 1 6

a) 1 d) 4

b) 1,2 1,2 e) 1,3

O1

40º

18

C

18

B

c) 1,25 1,25

6 6

A

3. En un sector circular, el ángulo central mide 40g y su arco correspondiente "L1". Si aumentamos el ángulo central en 9º y duplicamos el radio, el L1

nuevo arco sería " L2 ". Calcular:

L2

b) 2 5 e) 1

a) 1 3 d) 1 2

c) 3

6. En la gura se muestra un camino que consta de dos arcos con sus datos claramente indicados. Determina la longitud de dicho camino.

2. En un sector circular, el radio y el arco están representados por dos números enteros consecutivos. Si el perímetro del sector es 13 cm, ¿cuánto mide el ángulo central de dicho sector? a) 1,5 1,5 rad d) 1,6

b) 2 e) 5

c) 3 5

O2

a) 2π

b) 4π

d) 8π

e) 10π

A C

x

O

L2

A

a

D

40º 30º

2

C 1 B

D

b) 1,8 e) 2,6

B

b) 1 2 e) 1 3

a) 1 d) 2

L2

c) 2

C

3 O

36º

4

6

A

C

L2

L1

c) 1

8. Del gráco, calcular "θ"

L 5. En el gráco, calcular: 1 A

3x b

L1

a) 1, 6 cm d) 2,5

c) 6π

7. De la gura, hallar: a b

L 4. En el gráco, calcular : 1

O

60º

O

6π

4π

θ

D

B

1

6 B

L2

a)

D

π

rad

3 d) 2π 3

b) e)

π

6

c)

π

9

π

5

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3

9. En un sector circular, el ángulo central mide 50g 13. De la gura, hallar el área del sector circular sombreado. y su radio 8 cm. ¿Cuál es su área? a) cm2 d) 6π

b) 4π e) 2π

8

c) 8π

11

7

10. En un sector circular, el área es 20 cm2. Si triplicamos el radio y el ángulo central se reduce a la mitad, se genera un nuevo sector circular cuya área es: a) 40 cm2

b) 80 e) 90

d) 45

c) 160

8

a) 36 cm2 d) 49

b) 40 e) 56

c) 42

14. Del gráco, calcular "x" 11. A partir del gráco mostrado, calcular el área de la región sombreada.

A

D

A C

23 O

O

20º

B

D

a) 8 d) 15

B

a) 10π

b)

d) 30π

e) 5π

5π 3

c)

10π 3

S 12. De acuerdo al gráco, calcular: 1 S2

b) 9 e) 18

C

O

qrad

S1 36º 45º

D

a)

15 8

b) 2

d)

64 45

e)

c)

a) 1

b) 2

d) 4

e) 6

3

A

2 D

C 1 B

3 S2

c) 12

15. Si en el gráco, AOB es un sector circular al igual que COD, calcular " θ " cuando la longitud del arco AB tome su máximo valor entero.

A

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x

C

62

O

6 3S

S

3

B c) 3

21 8

15 16

Unidad II

85

Miscelánea 18:10:45

Practica en casa s o c i s á b s o t p e c n o C 1. Calcular la longitud de un arco correspondiente 8. Del gráco, calcular "θ". a un ángulo central de 75º en una circunferencia A de 24 m de radio. 4 2. En un sector circular, el ángulo central mide 70 y el radio 40 m. ¿Cuánto mide el arco?

g

L

θ

O

C

B

20º

L

5

3. En un sector circular, el radio y el arco están repreD sentados por dos números enteros consecutivos. g Si el perímetro del sector es 16 cm, ¿cuánto mide 9. En un sector circular, el ángulo central mide 40 y el radio 10 cm. ¿Cuál es su área? el ángulo central de dicho sector? 4. En un sector circular, el arco mide 80 cm. Si 10. El área de un sector circular es 3 ≠ cm2 . Si el ángulo central se reduce a su tercera parte y duplicamos el radio y triplicamos el arco, se el radio se triplica, se genera un nuevo sector genera un nuevo sector circular cuya área es: circular cuyo arco mide: S1 L1 11. De acuerdo al gráco, calcular: 5. En el gráco, calcular: S2 L 2

A

A L1

O

40g 50g

2

S1

C 1 B

36º 45º

O

L2

C 2 B

4

S2

D

D 6. En la gura se muestra un camino que consta de dos arcos con sus datos claramente indicados. 12. Del gráco, calcular "x" Determina la longitud de dicho camino. C

O1 20º

10

5

B

10

5

S

O

2S

9

x

60º O2

A

13. Del gráco, calcular el área sombreada.

7. En el gráco, calcular "L"

4 8 0

10g

L

2π

8 0

O

q

S

5p cm

7p cm

4

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3

14. De la gura, hallar el área del sector circular 15. Se tiene un sector circular de área "S", si se sombreado. disminuye el arco en 20% y se aumenta el radio en 40%, entonces el área del nuevo sector es: A 6 D O C

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10

4

6

B

Unidad II

87

UNIDAD III

DISTANCIÓMETRO TLM-300 El distanciómetro TLM-300 es una herramienta profesional ideal para medir con precisión distancias entre paredes, para determinar alturas o para calcular supercies y volúmenes.


Comunicación matemática • Interpretar el significado de las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo. Resolución de problemas • Resolver problemas con razones trigonométricas de ángulos agudos. Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas • Identificar y calcular razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.


1

Razones trigonométricas de un ángulo agudo I

¿Qué instrumento de medición de longitud usarías ahora: la cinta métrica, la regla graduada o el distanciómetro, porqué? ¿Qué dificultad crees que existe al usar este instrumento?

EL DISTANCIÓMETRO El distanciómetro es también ideal para el equipamiento de interiores, tanto en el sector industrial como en el profesional o artesanal. El distanciómetro se destaca por sus múltiples funciones de medición. Se puede utilizar tanto en edicios como en las calles. El distanciómetro TLM-300 es ligero, resistente, compacto y tiene un manejo muy sencillo que facilita las tareas de medición y control en las edicaciones. Los menús de comandos y las aplicaciones son sencillos y ecientes. Está especialmente indicado para profesionales en estructuras exteriores e interiores.

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Unidad III

89


Conceptos básicos

Definición Es el cociente entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, respecto de uno de sus ángulos agudos. Tomando en cuenta el ángulo " a". o t s e u p o o t e t a c

s a u n o t e p i h a

cateto adyacente

Razón trigonométrica

• seno de alpha

Definición

sen a =

longitud del cateto opuesto de "aa" longitud de la hipotenusa

• coseno de alpha

cos a =

longitud del cateto adyacente de"aa" longitud de la hipotenusa

• tangente de alpha

tan a =

longitud del cateto opuesto de"aa" longitud del cateto adyacente de"aa"

• cotangente de alpha

cot a =

longitud del cateto adyacente de "aa" longitud del cateto opuesto de"aa"

• secante de alpha

sec a =

longitud de la hipotenusa longitud del cateto adyacente de"aa"

• cosecante de alpha

csc a =

longitud de la hipotenusa longitud del cateto opuesto de"aa"

Es importante observar que las razones trigonométricas son cantidades numéricas o adimensionales (no poseen unidades)

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1

Aplicación

A

c b

cos a =

a b

tan a =

b

c

sen a =

cot

a

B

O L P M E J E

C

a

a=

c a a c

sec a =

b a

csc a =

b c

En la figura, determine las seis razones trigonométricas de " a ". A

Resolución Nos falta determinar el lado "a" y lo encontraremos aplicando Pitágoras.

13

5

2

5

a

B

C

a

2

2

+ a = 13

; Por lo tanto: a=12.

Entonces: sen a =

5 13

cos a =

12 13

tan a =

5 12

a=

12 5

sec

a=

13 12

csc

a=

13 5

cot

Regla práctica para recordar las razones trigonométricas

SOH

A o t s e u p o o t e t a C

B

CAH

TOA

Hipotenusa cos θ = θ

Cateto adyacente

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C

sen θ =

cat. op. hip

cat. ady. hip tan θ =

cat. op. cat. ady.

Unidad III

91


Síntesis teórica

n ó i c i n i f e D


a l s e

n a r b m o n e s





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1

Problemas resueltos 1. En un triángulo rectángulo ABC (A = 90º), se cumple que: cot C + cot B = 4 Calcule: M = 16 sen B . sen C . cos B . cos C 1 c) 1 d) 2 a) 1 b) 4 2

e) 4

Resolución:

cot C + cot B = 4 &

C a

B

+

c b

=

4"b

2

pero: b2 + c2 = a2

b

Luego: M = 16

A

c

b c

`

+

&

c m` b a

c

2

a

4 bc ;

=

2

=

4bc

j` jc

c a

c a

b a

m

&

M

2 2 = 16 b .c = 16

e

a

o e

4

2 2

16b c

o

M =1

2. Siendo el triángulo rectángulo ABC (recto en "B") además: a=1 y c=4. Hallar: R 2 a) 7 Resolución:

2 2

b c

b) 1

c)

15 17

=

cos

2

1 17

d)

A

2

−

sen A

e) 2

y2 = 4 2 + 1 2 y2 =

C y=

16 + 1

y = 17 17

a=1

Reemplazando en:

B

R

A

c=4

R

2

=

=

2

cos A

c

−

sen A

2

4 17

m c −

2

1 17

m

"

R

=

15 17

3. En un triángulo rectángulo, si la hipotenusa es el doble de la media geométrica de los catetos, calcule la suma de las tangentes trigonométricas de los ángulos agudos del triángulo. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 Resolución: Si: c = 2 b

c

a b

+

b a

=

a

2

b ab +

2

Pero: a

b

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Se pide: E = tan α + tan β → E = a

a

ab

2

+

b

2

=

c

2

"

E=

4 ab ab

=

4

Unidad III

93


4. En la figura adjunta, se cumple que:

AB 4

=

BC . 3

Calcular: cot θ − csc φ A

13

D

a)

3 4

b)

f θ

5

C

12 7 4

c)

4

B

9 4

d)

e)

11 4

Resolución:

Si: AB = BC 4

3

&

AB = 4K ; BC=3K

Pitágoras en DBC: DB2 = 122 + (3K)2 = 122 + 9K2 Pitágoras en DBA: 132 = 122 + 9K2 + 16K2 25 = 25K

2

&

K

=1

cot θ = 12 = 12 = 4 ; csc φ = 13 = 13 4 BC 3 AB

&

cot

θ − csc φ = 4 −

13 4

=

3 4

2 5. En un triángulo rectángulo ABC (C=90º), si: senB+secA= +senA . cotB 3 halle: E = cot2 B + sec2 A a) 13 b) 15 c) 17 d) 19

e) 21

Resolución:

A A

c=3

B

a= 2

2 3

+ senA cot B

b c

.

a b

2 3

"

b

b=1 C

sen B + sec A =

+

2

+

c b

=

2 3

2

c −a bc

2

2

+

a c

2 =

2

2b bc

=

2 3

"

b c

=

1 3

2

14243 c = b +a

B

2

E=

c

2

2 1

2

m

2

+

` 31 j

E = 8 + 9 = 17

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1

Aplica lo á comprendido s o c i s b s o t p e c n o C 1. Relacionar mediante echas las dos columnas: cateto adyacente hipotenusa

sen

b

cateto opuesto cateto adyacente

cos

b

cateto opuesto hipotenusa

sec

tan b

b

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda, de acuerdo al gráco:

p

m

b

•

sec b =

m p

... (

)

•

cos b =

n p

... (

)

•

cot

m

... (

)

n

b=

n

3. En los círculos, colocar <; >; = según corresponda: •

sec

b

sen

•

cos

a

tan b

•

csc

b

a

b

17

8

a

15

4. En la gura mostrada, si: cos θ = la escalera.

3 4

cot a

, determinar a qué distancia de la pared sobre el suelo se encuentra

4 m

θ

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Unidad III

95


5. En la gura, determinar "x".

m 6 3

x b

b

24 m

28 m

Aprende más... s o c i s á b s o t p e c n o C 1. En la figura mostrada, determinar: E = sen a + cos a

40

5

b

41 a

12

a)

17 13

b)

7 13

d)

12 13

e)

1 13

c)

5 13

E = cos a – sen a

8 a

15 16 17

b)

23 17

d)

2

e)

5 17

17

c)

7

d) -

25

b) 7 7 24

e) -

c) 1 7

4. De la figura, determinar: E = sec b – tan b

d)

5

e)

4

47 41

c)

41 40

4 5

a)

10 29

b)

12 29

d)

16 29

e)

18 29

c)

14 29

6. En un triángulo rectángulo, los lados menores miden 3 y 5 cm. Determinar el producto de los cosenos de sus ángulos agudos. a)

9 34

b)

11 34

d)

15 34

e)

17 34

c)

13 34

7. En un triángulo rectángulo, los lados mayores miden 7 y 5 cm. Determinar el producto de los senos de sus ángulos agudos.

24

a) 1

b)

17

3. De la figura, determinar: E = cot b + csc b

b

40 41

5. En un triángulo rectángulo, los lados menores miden 2 y 5 cm. Determinar el producto de los senos de sus ángulos agudos.

2. En la figura mostrada, determinar:

a)

a)

17 24

a)

10 6 49

b)

12 6 49

d)

16 6 49

e)

18 6 49

c)

14 6 49

8. En un triángulo rectángulo, los lados menores miden 1 y 3 cm. Determinar el seno de su mayor ángulo agudo.

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3 10 1 d) 3 a)

b)

1 10

c)

1 29

6

e)

7 53 d) 7 2

b) e)

2 53 6 34

c) 2 7

d)

11 6 2

6 7

b) 5 6 e) 7 11

d) 4

e) 5

c) 3

Y=

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

Y=

c)

b sen A + c cot C a

c) 3

14. En un triángulo rectángulo ABC (BB=90º); simplificar:

10. En un triángulo rectángulo, los lados mayores miden 6 y 5 cm. Determinar la tangente de su menor ángulo agudo. a)

b) 2


29

9. En un triángulo rectángulo, los lados menores miden 2 y 7 cm. Determinar el coseno de su menor ángulo agudo. a)

a) 1

1

b cos A + a tan C c

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3


11 5

Y = ( 2c csc A + b tan C ) cos C c

a) 1

b) 2

c) 3

11. En un triángulo rectángulo ABC (BB=90º); d) 4 e) 5 simplificar: K=2 sen A . sec C – 1 Aplicación de la matemática a situaciones a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

cotidianas

e) 5

12. En un triángulo rectángulo ABC (BB=90º); simplificar: L = 3 cos A . csc C – 1

16. Del gráfico, determinar la longitud de la rampa, si: sen θ = 0, 19 y H=0,57cm

Rampa

H θ

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Unidad III

97


17. En el gráfico mostrado, determinar el seno y el 18. Los ojos de un jugador de baloncesto están a 6 pies del piso. El jugador se encuentra en la línea coseno del ángulo que forma la escalera y su de tiro libre que está a 15 pies del borde de la proyección sobre el piso. canasta (véase figura). Si tan θ = 0, 24 ,determinar que tan alejado se encuentra el jugador de la 177,0cm canasta.

388,6cm

350,6cm

θ

¡Tú puedes! s o c i s á b s o t p e c n o C 1. Si " a " y " θ " son los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, calcular el valor de la expresión: 2

V = csc α - 2 sec θ

a) 0,5

, sabiendo que:

tan θ = 2 sec α

b) 1

c) 0

d) 2

e) 4

d) 7 5

e) 1

2. Del triángulo rectángulo mostrado, hallar: sen a + cos a a

x–3

x–4

x–5 a) 1 2

b) 12 5

c) 1 5

3. En un triángulo isósceles ABC, AB=AC y cos A = 0,6. Calcular: Tan B b) 1 2

a) 2

c) 4 3

d) 4 5

e) 3

d) 2 2

e) 3+ 2

4

4. En un triángulo rectángulo ABC (B=90º), se cumple: tan A + tan C sec A - sen C

a)

2

. =8

Determinar: E = cot2 A + 2 (cos C) sen A b) 2

c) 2+ 2

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98

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5. Del gráco, determinar " cot θ", si el cuadrilátero es un cuadrado y el arco corresponde a una media circunferencia.

1

θ

a)

1+2 2

5

c)

2+ 5 2

b)

1+

5

d)

e)

1+ 5 2

2+

5

18:10:45

Practica enbásicos casa Conceptos 1. En la gura mostrada, determinar: E = sen a + cos a 5 3

6. En un triángulo rectángulo, los lados menores miden 3 y 4 cm. Determinar el producto de los cosenos de sus ángulos agudos. 7. En un triángulo rectángulo, los lados mayores miden 7 y 6 cm. Determinar el producto de los senos de sus ángulos agudos.

a

2. En la gura mostrada, determinar: E=cota+csca 8

8. En un triángulo rectángulo, los lados menores miden 3 y 2 cm. Determinar el producto de los cosenos de sus ángulos agudos. 9. En un triángulo rectángulo, los lados menores miden 2 y 5 cm. Determinar el coseno de su mayor ángulo agudo.

a

15 3. De la gura, determinar: E = sec b - tan b 7 b

10. En un triángulo rectángulo, los lados menores miden 1 y 4 cm. Determinar la secante de su menor ángulo agudo. 11. En un triángulo rectángulo, los lados mayores miden 4 y 3 cm. Determinar la tangente de su mayor ángulo agudo.

25 4. De la gura, determinar: E=cscb - cotb 40

12. En un triángulo rectángulo ABC ( BB=90º); simplificar: K=3cotA.cotC+1 13. En un triángulo rectángulo ABC ( BB=90º); simplificar: L = cosA.cscC+2

14. En un triángulo rectángulo ABC ( BB=90º); 41 simplificar: P= 4b cosA - a tanC c 5. En un triángulo rectángulo, los lados menores 15. En un triángulo rectángulo ABC ( BB=90º); miden 3 y 5 cm. Determinar el producto de los 2c secA + a secC senA simplificar: M= senos de sus ángulos agudos. b

a

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Unidad III

99

2

Razones de un ángulo agudo II Fórmula detrigonométricas conversión de sistemas

Razones trigonométricas de un ángulo agudo II

¿Para qué crees que se aprende trigonometría en los últimos grados del colegio? En sus inicios, ¿cómo se aplicó la trigonometría? En la actualidad ¿en qué áreas se aplica la trigonometría?

Retrospectiva de la trigonometría A diferencia de la aritmética, el álgebra y la geometría que alcanzaron gran desarrollo desde la época de los babilonios, los egipcios y los griegos, la trigonometría solo logra su madurez en los últimos siglos de nuestra era. Y esto es muy aplicable, pues para desenvolverse plenamente necesita de una geometría ya razonada y, sobre todo, de un álgebra sin titubeos, para darle toda la exibilidad y todo el vuelo que la trigonometría es capaz. Según el diccionario de la Real Academia de la Lengua Española, la trigonometría es: "Estudio de las relaciones numéricas entre los elementos que forman los triángulos planos y esféricos". Etimológicamente, la palabra procede del griego clásico y signica medición de triángulos. La importancia de esta rama, radica, fundamentalmente, en la medición de campos, la ubicación de barcos en el mar o, más recientemente, el posicionamiento por satélite, e, incluso, la medición de distancias entre estrellas próximas en astronomía. Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para la construcción de pirámides. También se desarrolló a partir de los primeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el cálculo del tiempo de los calendarios. Colegios

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5

Conceptos básicos

Propiedad fundamental de las razones trigonométricas Las razones trigonométricas de un ángulo agudo dependen únicamente de la variable angular sin tomar en cuenta las dimensiones del triángulo rectángulo. Como todos los triángulos rectángulos que tienen un ángulo de medida " θ" son semejantes, los valores de las razones trigonométricas dependen únicamente de la amplitud del ángulo agudo, es decir, es independiente de las longitudes de los lados del triángulo. A

D G

θ

B

E

C

F

En la gura se observa que los triángulos rectángulos ABC, EDC, GFC son semejantes esto es: ABC ~

EDC ~

GFC:

=

GF FC

= tan θ

también se podría plantear:

trigonométrica

BC AC

=

&

AB BC

O L P M E J E

=

DE CD

DC CE

=

FC GC

AB AC

=

DE CE

=

GF GC

= sen θ y

si usamos otra razón

= cos θ .

Uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es " θ ", donde: sen θ = 5 , 13 indicar en cada caso el valor de "x". A

G

D

θ

x

30

x

60 θ

x

E

B

10

→

C

• senθ=

5 10 = 13 x

→

x=26

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C

C

10 x

• senθ=

θ

F

30 x

• senθ=

5 30 = 13 x

→

x=78

60 x

5 60 = 13 x x=156

Unidad I

101


Síntesis teórica


s e r t n o s

e d n e p e d



n a n e d r o e s


s e r t n o s



Colegios

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Trigonometría

2

Problemas resueltos 1. En un triángulo rectángulo ABC (recto en "B") se cumple: senA = 3senC. Determina: 2

2

H = (10 sen A + csc C + 2 tan A)

a) 5

b) 15

c) 20

d) 25

e) 10

Resolución:

Como: sen A = 3 sen C Reemplazando: a =

A

b

A

"

a = 3c

Por lo tanto: a=3k; c=k

b

c

3c b

Aplicando Pitágoras: b = C

B

a

C

10 k

Reemplazando:

e

H = 10

c

2

3k 10 k

m +c

10 k k

2

m + c mo 2

3k k

Efectuando operaciones: H = 25 2. En un triángulo rectángulo ABC (recto en "B") se cumple: tan A = 5 tanC Determina: H = (6 sen2A + csc2C + a) 15

b) 16

5 tan A)

c) 17

d) 18

e) 19

Resolución:

Como: tan A = 5 tan C Reemplazando: a = 5 ca

A

c

A

de donde: a =

b

c

5c

"

C a

C

2

2

= 5c

; por lo tanto: a =

Aplicando Pitágoras: b = B

a

5 k;

c=k

6k

Reemplazando:

ec

H= 6

5k 6k

2

m +c

6k k

2

m+ c 5

5k k

mo

Efectuando operaciones: H = 16

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Unidad III

103


3. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90º) se cumple que: sen A + Hallar: E = tan A + csc C − 2 a) 0

b) –1

c) –2

1 sen C 2

- 1= 0 .

d) 2

e) 1

Resolución: A

sen A

A

b

c

2a 2b

C

B

`

E = tan A + csc C – 2; `

E

=

2c c

−

2

"

E

=

E=

a c

C=1

1c 2b

=

1 →

2a+c=2b

+

b c

−

2

"

c= 2 (b - a)

............ (b2=c2+a2)

a + b = 2c

; E=

a+b c

−

2

0

4. En un triángulo rectángulo ABC (B = 90º), si: calcular el perímetro del triángulo. a) 90

1 sen 2

c (a + b) = 2 (b2 - a 2)

C

a

+

+

b) 120

tan C

=

8 15

; a – c = 21,

c) 150

d) 75

e) 136

Resolución: A

Se pide: 2p = 17k + 8k + 15k = 120

b=17k C

Si: a – c = 21; 7k=21; k=3

8k=c B

a=15k

5. En un triángulo rectángulo ABC (B=90º), si: senA = 12 y a – c = 28, 13

calcular la supercie del triángulo. a) 90

b) 120

c) 150

d) 75

e) 136

Resolución: A

b=13k

5k=c

Si: a – c = 28; 7k=28; k=4 Por lo tanto los lados son: a=12k a=48 b=5k b=20 "

"

C

a=12k

B

de donde: S ABC =

48 x 20 2

Entonces: S ABC = 480 Colegios

104

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Trigonometría 10 x 5 50

2

Aplica lo á comprendido s o c i s b s o t p e c n o C 1. Relacionar mediante echas las dos columnas: seno

hipotenusa cateto adyacente

secante

cateto opuesto cateto adyacente

tangente

cateto opuesto hipotenusa

2. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

p

m

b

n

•

csc b =

n ... ( p

)

•

sen b =

m p

... (

)

•

tan b =

m

... (

)

n

3. En los círculos, colocar si es <; >; = según corresponda: •

sec

b

sen

•

cos

a

tan b

•

csc

b

a

b

13

12

a

cot a

5 4. Indicar cuál de los siguientes valores es mayor y justique su respuesta: I. sen 50°

II. cos 50°

5. ¿Cuál de las siguientes fracciones es una razón trigonométrica? a) cateto opuesto mediana

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b)

hipotenusa cateto adyacente

c) cateto adyacente altura

Unidad III

105


Aprende más... s o c i s á b s o t p e c n o C 1. En un triángulo rectángulo, uno de los catetos 7. En un triángulo rectángulo ABC (B =90º), se sabe que: tanA = 9tanC. Calcular: es igual al doble del otro. Si el menor de los E=2sen2A - 3sen2C ángulos agudos mide "b", calcular: C= 5secb+tanb a) 1 b) 2 c) 1,5 a) 1 b) 2 c) 3 d) 0,5 e) 2,5 d) 4 e) 5 =90º), se sabe 8. En un triángulo rectángulo ABC (B 2. En un triángulo rectángulo, uno de los catetos es que: senA= 2 . Calcular "senC" 3 igual al triple del otro. Si el menor de los ángulos agudos mide "θ", calcular: 3 1 5 a) c) b) C= 10secθ - tanθ 2 3 2 c) 1 a) 1 b) 2 e) 1 d) 5 2 2 3 e) 1 d) 3 3  =90º), se sabe 9. En un triángulo rectángulo ABC (B 3. En un triángulo rectángulo, uno de los catetos es que: tanA= 3 . Calcular "secC". la tercera parte de la hipotenusa. Si el mayor de 2 los ángulos agudos mide "f", calcular: C= 2tanf+secf a) 2 d) 5

b) 4 e) 7

c) 6

a) 5 2

b) 5 3

d) 13 2

e) 13 6

c) 13 3

4. En un triángulo rectángulo, uno de los catetos es  la cuarta parte de la hipotenusa. Si el mayor de 10. En un triángulo rectángulo ABC (B=90º), se 3 los ángulos agudos mide "a", señale el valor de: sabe que: senA= . Calcular el perímetro del 5 C= 1 tana+ 3seca triángulo, si: AB=8 cm. 5 a)

3

d) 4 3

b) 2 3

c) 3 3

e) 5 3

=90º), se sabe 5. En un triángulo rectángulo ABC (B que: senA=4senC. Calcular: E=sen2A - cos2A a) 1 d) 15 17

b) -1 e) 8 17

c)

5 17

a) 12 cm d) 24

b) 16 e) 30

c) 18

 =90º), se 11. En un triángulo rectángulo ABC (B sabe que: tanA= 12 . Calcular el perímetro del 5 triángulo, si: AB=15 cm. a) 120 cm d) 30

b) 90 e) 45

c) 60

=90º), se sabe 6. En un triángulo rectángulo ABC (B que: cosA=2cosC. Calcular: E=5cos2A+1 a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

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Trigonometría

12. En el gráco, determinar:

G = tan α . cot β

15. De la gura, determinar: E=(senb.csca)-1 B

B 40

41 a

b

b

d)

7 3

b)

2 3

e)

A

a

D

3

A

a)

2

C

C

4 3 7

5 3

c)

1 3

13. En la gura mostrada, determine: E = tan α . tan β B

a)

32 41

b)

35 41

d)

39 41

e)

40 41

c) 41 40

16. En un triángulo rectángulo ABC, recto en "B", se cumple:

sec A - cos A sec C - cos C

=

8 27

Determinar: G = (4 csc2 A - 9 tan2 A) tan C - 1

b

a) 1 d) 4 8

A

D

a)

16 15

b)

8 15

d)

2

e)

15 8

17

7

a

C 7 8

c)

A

a

5

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

17. La secante de uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es 13 . Si la suma de las 5 longitudes de los catetos es 340 cm, calcular la longitud de la hipotenusa.

14. De la gura, determinar: E=cotb.tana B

b

b) 2 e) 5

H 1 C

c) 3

a) 120 cm

b) 260

d) 200

e) 360

c) 300

18. En un triángulo rectángulo, los números de las longitudes de sus lados son: 8; (x+5) y (x+9). Hallar el seno del mayor de los ángulos agudos. a)

3 5

b)

d)

13 15

e)

4

c)

5

3 4

15 17

Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 19. En la figura se muestra el perfil de la instalación de tuberías de combustible. Si el punto "A" se encuentra a 10m de la superficie, calcule la suma de las alturas a la que se encuentran los puntos "B", "C" y "D" sabiendo que las pendientes de las tuberías de AB, BC y CD son 2%; 3% y 1% respectivamente.

D C A

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B

Unidad III

107


20. En el deporte de ala delta, el profesor aconseja al alumno que comience saltando desde una peña no muy alta; por ejemplo 10 metros. Al llegar a tierra observa que la distancia horizontal recorrida es de 80 metros. A medida que el alumno se vuelve más experto va saltando desde peñas más altas. Suponiendo que el comportamiento del ala delta es siempre el mismo, ¿qué distancia horizontal recorrerá cuando se lance de una altura de 20 metros? En la siguiente tabla expresamos la altura y la distancia horizontal de cada vuelo, completa los datos que faltan y determina la relación que existe entre la altura de la roca desde que se lanza y la distancia horizontal en términos de una razón trigonométrica. Altura

Distancia horizontal

10m

80m

20m

160m

30m

240m

45m 1 km

¡Tú puedes! s o c i s á b s o t p e c n o C 1. Calcule "sec θ "

θ

2ab

a

b a) 1

b) 2

2. De la gura, calcular:

c)

2

d) 2 2

e) 3

d) 2 2

e)

34 sen θ

θ

3 5 a) 1

b) 2

c)

2

9 5

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Trigonometría

3. En la gura mostrada, determinar "tan θ ", si: AB=1 y DE=27 C

D

E

a)

1 27

b)

2

B

θ

A

F

1 9

c)

d) 3

1 3

e) 9

4. Del gráco, determinar: Y = tan α . tan β D

C b

E

A

a) 1

a

G

b) 2

B

F

c) 3

d)

1 2

e)

1 3

5. Del gráco mostrado, obtener el valor de: F = 2 cos θ + cot θ , sabiendo que: AD=BC y "O" es centro. A C

D θ

O a)

1 2

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b) 1

c)

1 3

B d) 2

e) 3

Unidad III

109


¡Tú puedes! s o c i s á b s o t p e c n o C 1. En un triángulo rectángulo, un cateto es igual 11. Del gráco, calcular: P=tana . cotθ al doble del otro. Calcular la secante del menor C ángulo agudo del triángulo. 2. En un triángulo rectángulo, un cateto es la tercera parte del otro. Calcular el coseno del mayor ángulo agudo del triángulo.

a

A

θ

5

D

2

B

3. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es el triple de un cateto. Si el mayor de los ángulos 12. Del gráco, calcular: M=tana.cotb agudos mide "θ", calcular "cos2θ" C a

4. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa y un cateto están en la proporción de 3 a 2. Calcular el seno del mayor ángulo agudo del triángulo. 5. Siendo "θ" un ángulo agudo, tal que: cos θ=2; 3 calcular "tanθ"

2 D

b

A

3 B

=90º), se sabe 13. En un triángulo rectángulo ABC (A 6. Siendo "a" un ángulo agudo, tal que: sen a=1; que: senB . senC= 2 . Hallar: tanB+tanC 3 9 calcular "cota" =90º), se sabe 7. En un triángulo rectángulo ABC (B que: senA=2senC. Calcular: E=tanA+2tanC  =90º), se sabe 8. En un triángulo rectángulo ABC (B que: tanA=9tanC. Calcular "senA".

14. La cosecante de uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es 41 . Si la suma de las 40 longitudes de los catetos es 245 cm, calcular la longitud de la hipotenusa.

 =90º), se sabe 15. El perímetro de un triángulo rectángulo es 288 cm. 9. En un triángulo rectángulo ABC (B que: cotA=4cotC. Calcular: Si la tangente de uno de los ángulos agudos es 3 , 4 M=7cos2A+2cos2C ¿cuánto mide el cateto menor? 10. En un triángulo rectángulo ABC (B =90º), se sabe 13 que: secA= . Si el perímetro del triángulo es 5 60 cm, hallar la hipotenusa.

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3

Razones trigonométricas de ángulos notables

¿Cuáles son las medidas de los lados del triángulo sagrado? ¿Cómo se aplicó el triángulo sagrado en las construcciones? ¿Por qué se le llamó triángulo "isíaco"?

TRIÁNGULO SAGRADO EGIPCIO También llamado triángulo egipcio, es el nombre moderno dado a un triángulo rectángulo cuyos lados tienen las longitudes 3; 4 y 5 o cuando sus medidas guardan estas proporciones. Es el triángulo rectángulo más fácil de construir y, posiblemente, se utilizó para obtener ángulos rectos en las construcciones arquitectónicas desde la más remota antigüedad. El triángulo rectángulo semejante, de 15; 20; 25 codos egipcios, se empleó en el antiguo Egipto y fue llamado "isíaco" (de la diosa Isis).

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El "triángulo egipcio", de medidas 3; 4 y 5

Unidad III

111


Conceptos básicos

Razones trigonométricas de 45º Sean los catetos del triángulo rectángulo ABC: AB=BC=L. Por el teorema de Pitágoras: 2

AC

2

Luego, calculamos las razones trigonométricas del ángulo de 45º.

A

2

= AB + BC

45º 2

AC

2

2

2

= L + L = 2L

L

2

sen 45º=

2 2

csc 45º=

2

cos 45º=

2 2

sec 45º=

2

L 2

AC =

2L

=

AC = L

`

2L

45º

B

2

L

C

tan 45º = 1

cot 45º = 1

Razones trigonométricas de 30º y 60º Para hallar las razones trigonométricas de 30º y 60º, construimos un triángulo equilátero. Veamos en el triángulo rectángulo ABC, calculamos BC, por el teorema de Pitágoras.

2

AC

2

A

2

= AB + BC

2

2

(2L) = (L) + (BC)

Luego, calculamos las razones trigonométricas del ángulo de 30º y 60º. 60º

2

2L

L

2

2

BC =

`

sen 30º=1 =cos 60º cos30º=

3L

BC =

3L=L

3

30º

B

L

3

C

3 2

tan 30º=

3 3

csc 30º=2=sec 60º

=sen 60º sec 30º= 2 =cot60º cot 30º=

3 3

3

=csc 60º

=tan 60º

Razones trigonométricas de 37º y 53º Según lo leído en la primera parte sobre el triángulo Isíaco su formación es práctica aunque es un triángulo de ángulos agudos aproximados. Porque estos miden 36º52'12" y 53º7'48,37". A

53º

csc 37º= 5 =sec 53º

cos 37º= 4 =sen 53º

sec 37º= 5 =csc 53º

tan 37º= 3 =cot 53º

cot 37º= 4 =tan 53º

5

3L

B

sen 37º= 3 =cos 53º 5L

5

37º 4L

C

4

3

4

3

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3

Regla nemotécnica

Seno

30º

45º

60º

1

2 2 2

3

3

Coseno

1

2

Tangente

1

2

3

3

2

1

Síntesis teórica

de

lados

lados

Central: 619-8100

lados

Unidad III

113


Problemas resueltos 1. Calcular el valor de : 2

G

a)

2

sen 60c sec 45c + sen 45c cot 30c cos 45c tan 60c

=

-3

3

3

b)

2

3

c)

2

3

2

-3

d)

2

e) 1

2 2

Resolución:

Sabemos que: sen 60c

=

cot 30c

=

3 2

sec 45c =

2

3

cos 45c =

2 2

sen 45c =

2 2

tan 60c =

3

Reemplazando dichos valores en la expresión:

G=

2

c m 3 2

2

+

2 2

2 2

^ 3 2h 3

2

3 "

. 33

2 4

G=

+

3

2 2

2. 3 3 2

2. Si "x" es un ángulo agudo y se cumple que: cos (3x Determinar: H = `sec2(2x) + 3 tan ( 3x ) + 2 2

a) 1

b) 2

9 "

−

G=

60c )

2 4

2 2

=

. 33

"

G=

3

3 2

3 tan 45c 2

cos (x + 30c )

j

3 cos x − 1

c) 3

d) 4

e) 5

Resolución:

De la condición, recordemos que: tan 45º = 1; entonces: Es decir: cos (3x - 60c) =

3 2

; de donde: 3x - 60º = 30º

cos (3x

"

−

60c)

=

3 (1) 2

x=30º

Reemplazando en "H": 2

H = (sec 60c + 3 tan 45c + 2

sec 60º = 2

c

3 cos 30c - 1)

tan 45º = 1

m

cos 30c =

3 2

cos 60c =

1 2

1

2 3 H = (2) + 3 (1) + 2 3 ( )-1 2 2

cos (60c )

"

H= 3

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3. De la gura, calcule: cot

3

f

B

M

a) 1

45º

f

A

b) 2

c) 3

C

d) 4

e) 5

Resolución:

B 2

2 2

1 f

A

cot

M 45º

3

φ= 3

2

45º 1

C

4. Del gráco mostrado, hallar el valor de "tan θ ", si ABCD es un cuadrado. D C

E

a)

3

b)

4

37º

θ

B

A

3 7

c)

4

d)

7

F

3 5

e)

3 8

Resolución:

De la figura: C

D

FBC de 37º y 53º, lados: BC=4n, BF=3n y FC=5n. Como ABCD es un cuadrado: AB=AD=4n, por lo tanto en el

37º 4n

"

4n

DAF: E

37º

Central: 619-8100

A

4n

B

3n

θ

F

tan θ =

4n 4n + 3n

"

tan θ =

4 7

Unidad III

115

Razones trigonométricas de ángulos notables 10 x 5 50

Aplica lo á comprendido s o c i s b s o t p e c n o C 1. Relacionar mediante echas las dos columnas. 3 3

sen 30º

1

sec 30º

2

2

tan 30º

3 3

2. Relacionar mediante echas las dos columnas. sen 45º

2 2

sec 45º

1

tan 45º

2

3. En los círculos colocar "<"; ">"; "=" según corresponda: • sen 37º

sen 30º

• cos 37º

tan 60º

• csc 37º

cot 30º

4. Indique cuál de los siguientes valores es mayor y justique su respuesta: a) csc 53º

b) csc 45º

c) csc 60º

5. De la gura, indicar cual de las relaciones es correcta y cual es incorrecta. B

A

60º H

•

BC < AB

............................................. ( )

•

BH > HC

............................................. ( )

•

AH < BH

.............................................. ( )

C

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3

Aprende más... s o c i s á b s o t p e c n o C 1. Calcular:

8. En la gura mostrada, determinar "AC"

2 C = (2 sen 30c + tan 60c) tan 37c

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

A

c) 3

45º

2. Calcular: 2

2

B

2

G = 2sen 45c + 3 tan 30c + tan 60c

a) 2

b) 3

d) 5

e) 6

c) 4

3. Calcular:

37º

D

9

a) 13 d) 16

b) 14 e) 17

c) 15

9. De la gura, determine "BC" A

2 K = (csc 53c + tan 37 c) (sec 45c + tan 45c)

a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

40

C=

sen 30c cos 45c tan 60c tan 45c csc 60c sec 30c

a)

6 16

d)

6 4

b) 2 6 9 e) 5 6 16

3 6 16

b) 32 3+24 e) 32 3+40

c) 24 3+32

10. Del gráco, hallar "tanθ" A θ

5. Hallar "x", si: 37x.tan230º - 5x.csc260º=7tan45º+5csc30º b) 3 e) 6

C

a) 30 3+18 d) 16 3+30 c)

53º

30º

B

4. Calcular:

a) 2 d) 5

C

c) 4 B

37º

D

a) 2 3 d) 1

b) 3 2 e) 1 2

C

c) 3

6. Siendo "θ" un ángulo agudo, tal que: 4 1 1 tanθ= sen60º , calcular: M=10sen2θ+ cos2θ 2 2 c) 3 a) 1 b) 2 11. Del gráco, hallar "tana", si: BC= 3AD 2 2 2 d) e) 3 C 3 a

7. Siendo "b" un ángulo agudo, tal que: tanb = tan230º , calcular: P=3cos2b - 2sen2b a) 1

b) 2

d) 5 2

e) 5

Central: 619-8100

c) 3 2

A

a) 1 2 d) 1

45º

D

b) 1 3 e) 2 3

B

c) 1

4

Unidad III

117


12. Si el triángulo ABC es equilátero, calcular "cot θ" 14. En la gura mostrada, ABCD es un cuadrado, determinar: 16 tan a A 8

F

D

D

E

2 θ

B

C

C a

3 5

a)

d) 3 3

b)

3 6

e)

3 3

c)

3 9 a) 11 d) 14

13. En el gráco mostrado, hallar "cotb" B

B

b) 12 e) 15

c) 13

15. Del gráco, obtener "tan θ", si: AF=FC B A

150º

4

3

37º

A

37º θ

b

A

a) 3 3 d)

E

3

C

b)

3 3 2

e)

3 2

c)

2 3 3

D

C

F

a) 4 d) 32

b) 8 e) 2

c) 16

Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 16. El perl (o sección por un plano vertical) de un monumento de gran tamaño, muestra que cada cara tiene un ancho de 10m y está a 30º; 45º y 60º, respectivamente con la horizontal. ¿Qué altura tiene la edicación?

10m 45º 10m

H 60º

10m 30º

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3

17. En un cierto motor de combustión interna, la distancia "x" en metros del centro de la biela a la cabeza del émbolo está dada por: x = cos θ + 16 + 0, 5 cos 2θ Donde " θ " es el ángulo entre el brazo del cigüeñal y la trayectoria de la cabeza del émbolo (véase la gura). Encuentre "x", cuando: θ = 30c

x θ

18. Un diseñador de piezas decorativas planea vender esferas sólidas de oro encerradas en conos transparentes de cristal. Cada esfera tiene un radio "R" y estará encerrada en un cono de altura "h" y radio "r". Véase la gura. Pueden usarse muchos conos para encerrar la esfera, cada uno con un ángulo "θ" de inclinación diferente. El volumen "V" del cono puede expresarse en función del ángulo " θ" del cono: (1 + sec θ) 3 V(i) = 1 π R3 , 2 3 tan θ

0c <θ <90c

¿Qué volumen se requerirá para encerrar una esfera de 2 cm de radio en conos cuyos ángulos " θ " son de 30º; 45º y 60º?

R

θ

Central: 619-8100

Unidad III

119


Aprende más... s o c i s á b s o t p e c n o C 1. Hallar el valor simplicado de: G = a) sen 30º

2

sen 30c

b) cos 30º

sec 60c + tan 37c sen

+

c) tan 37º

- cos 30c

d) tan 53º

e) tan 60º

2. De la gura, determinar " tan θ " A

53º

D

a) sen 30º

6

b) cos 30º

θ

5

B

C

c) tan 37º

d) tan 53º

e) tan 60º

3. Si ABCD es un cuadrado, determinar el valor de: R=cot2y - tanx B

C

x E

a) - sen 30º 4. De la gura, si:

b) - sen 53º tan θ = 0,25;

F

c) - tan 37º

D

d) - tan 53º

e)

4 sec 37c

2

2

tan 60c + csc 30c

determinar el valor de "x"

x

θ

O2

a) 30º

y

53º

A

b) 37º

O1

c) 45º

d) 53º

e) 60º

5. Del gráco, determinar: G = 3 cot θ - 11 tan θ θ

30º 60º

a)

4

3

b)

8

3

c)

10

3

d)

11

3

e)

5

3

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3

Practica en casa s o c i s á b s o t p e c n o C 1. Calcular: E = (sen 30º + cos 60º) tan37º

11. Del gráco, hallar: cot θ B

2. Calcular: E=(sec245º+tan45º)(cot37º - 2cos60º)

45º x+3

3. Calcular: M=(sen260º+1 sen245º)sec60º 2 4. Calcular: P= 6.sec45º.tan30º - 1

θ

A 2x+1 H

C

5x–3

12. En el gráco mostrado, calcular "tanb" B

5. Hallar "x", si: 2x.sen30º - tan45º=sec60º - x

120º

3

8

6. Siendo "b" un ángulo agudo, tal que: senb= 1 cos60º 2 Calcular: A=2cot2b+1

b

A

C

13. Si el triángulo ABC es equilátero, calcular "tan θ"

7. Siendo "a" un ángulo agudo, tal que: seca= 2tan45º Calcular: P=sena.tana

B 6 D

8. Del gráco, hallar "tanθ"

4 C

θ

A

C

θ

14. Del gráco, hallar "tan θ " (ABCD es un cuadrado)

2 45º

A

B

D

B

A

9. Del gráco, hallar "BC" A

20

B

45º

53º

D

37º

θ

C

E

15. Del gráco, hallar "tana" C

C

10. Del gráco, hallar "tanb"

30º

A

E

b

6 A B Central: 619-8100

D

30º

B

a

D

C

Unidad III

121

4

Propiedades de las razones trigonométricas


¿Cuándo dos razones trigonométricas son recíprocas? ¿Cuándo dos razones trigonométricas son complementarias? ¿Habrá algún par de razones trigonométricas complementarias y recíprocas simultáneamente?

PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Lo dijo Machado que sabía mucho del verso, indicándonos la existencia del complemento y su recíproco. Quise elegir este ejemplo para relacionar la idea de complemento y recíproco que son dos conceptos que se manejan simultáneamente en las razones trigonométricas. Decimos que dos razones son recíprocas si una de ellas es la inversa aritmética de la otra, es decir, el producto de ambas es igual a la unidad. Y dos razones trigonométricas serán complementarias si sus ángulos suman 90º, de donde se deduce que una razón es igual a la co-razón de su complemento.

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Trigonometría

Conceptos básicos

Razones trigonométricas recíprocas

A

b

c

sen θ

=

c b

cos θ

=

a b

tan θ

=

cot

θ

B

a

C

θ =

c a a c

b a

sec θ

=

csc θ

= b

sen θ

=

c b

cos a

=

c b

tan θ

=

c

Efectuando el producto como se indica, obtenemos: sen θ . csc

θ=1

sen 20º . csc 20º = 1

cos θ . sec

θ=1

cos 35º . sec 35º = 1

tan θ . cot

θ=1

tan 46º . cot 46º = 1

Razones trigonométricas de ángulos complementarios

A a

b

c

cot

θ

B

a

C

a =

c a c a

sec θ

=

b a

csc a

=

b a

Se concluye que: sen

θ = cos a

tan θ = cota

sec

θ = csc a

Central: 619-8100

3 4 4 2 a+θ=90º 4 4 1

sen 20º = cos 70º tan 40º = cot 50º sec 60º = csc 30º Unidad III

123


Síntesis teórica

o d n a u c

n o s s a t s e

o d n a u c

n o s s a t s e

n o s s a t s e

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4

Problemas resueltos 1. Si: senθ=cos

θ

2

tan(

∧

θ+a

3

) = cot( θ+a ) 2

Calcule: M = sen ` θ j − cos θ + tan 36c tan ` θ + α j 2

a) 0

2

c) 1

1 2

b)

d) 2

e)

2

3 3

Resolución: tan

` θ +3 α j = cot ` θ +2 α j

senθ = cos

θ 2

&

&

θ+ α 3

θ+ α = 90c 2

+

θ = 90c & θ = 60c 2

θ+

&

5 (θ + α) = 90c & θ + α = 108c 6

→ a=48º

1

6 4 44 7 4 44 8

M = sen 30c − cos 60c + tan 36c . tan 54c S

cot 36c

`

M =1

2. Determinar el valor de "x" en la ecuación: a) 5º

b) 10º

tan 20c tan 50c =

c) 12º

cos 10c csc 80c tan 70c tan 4x

d) 15º

e) 16º

Resolución:

Multiplicando en aspa: tan 20º tan 50º tan 70º tan 4x = cos 10º csc 80º Notemos que: 20º+70º=90º tan20º=cot70º también: 10º+80º=90º cos 10º = sen 80º Entonces, acomodando factores: tan 50º tan4x=1 ; tan 50º = cot 40º cot 70c tan 70c tan50º tan 4x = sen 80c csc 80c 1 4 44 2 4 44 3 1 4 44 2 4 44 3 "

"

"

1

cot 40º tan 4x = 1

1

"

4x=40º

`

x

=

10c

3. Reducir: tan10º tan20º tan30º tan40º tan50º tan60º tan70º tan80º a) 1

b) 0

c) 2

d) –1

e) –2

Resolución:

Se distingue que: 10º + 80º = 90º 20º + 70º = 90º 30º + 60º = 90º 40º + 50º = 90º

tan 10º = cot 80º tan 20º = cot 70º tan 30º = cot 60º tan 40º = cot 50º

E = tan 10º tan 20º tan 30º tan 40º .... tan 80º E = cot 80º . cot 70º . cot 60º . cot 50º . tan 50º . tan 60º . tan 70º . tan 80º

Por lo tanto: E = 1 Central: 619-8100

Unidad III

125


4. Siendo " a " y " b " las medidas de dos ángulos agudos, tales que: cos11a.secb=1 ∧ cosa.cscb=1 Halle: W = tan ( a + 37º30') sen (b – 52º30') b) 1 2

a) 1

c)

d)

3 2

3

e)

Resolución:

3 3

Datos: I.

cos 11α . sec

II.

cos α . csc

β = 1 " 11α = β

β=1

=1

sen (90c − α) csc β

En (II): α + 11α = 90c " a " en β = 11

c m 15c 2

"

"

"

90c −

15c 2

=

7c30'

165c 2

=

82c30'

α =

β=

α= β " α + β =

90c

... (II)

Piden: W = tan ( a +37º30') sen ( b – 52º30') ` (30º)=1 W = tan (45c ). sen 2 10 x 5 50

Aplica lo á comprendido s o c i s b s o t p e c n o C 1. Completar según las razones trigonométricas recíprocas. sen 50º . csc (

)=1

cos 72º . sec (

)=1

tan 42º . cot (

)=1

2. Completar según las razones trigonométricas complementarias. sen 64º = cos (

)

tan 32º = cot (

)

sec 81º = csc (

)

3. Calcular "x", si: tan (4x+20º) . cot(x+80º)=1 4. Calcular "x", si: sen(x+10º)=cos(x+20º) 5. Calcular: M=sen(x+20º).sec(70º - x)

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4

Aprende más... s o c i s á b s o t p e c n o C 10. Calcular: E=(4 tan 10º + 3 cot 80º) cot 10º

1. Hallar "x" en: cos(7x–30º).sec(x)=1 a) 2º

b) 3º

d) 5º

e) 6º

c) 4º

a) 1 d) 7

b) 13º

d) 15º

e) 10º

a) 1 d) 4

c) 14º

a) 1 d)

1 4

b) e)

c)

a) 2

b) 3

d) 5

e) 6

a) 1

1 3

4. Si: sen(2x–10º).csc(x+10º)=1, calcular:

b) 3º

d) 5º

e) 6º

2

tan 3x

c) 4

b) 8º

d) 10º

e) 11º

b) 3

d) 5

e) 6

e) 9

13. Si: tan26º.sen3x=cot64º.cos(x+10º) calcular: M=tan(2x+5º).tan23x a) 1 b) 3 c) 6 e) 3 d) 3 3

R=

c) 4º

c) 9º

c) 4

sen 1c + sen 2c + sen 3c + ... + sen 89c cos 1c + cos 2c + cos 3c + ... + cos 89c

a) 1 d)

7. Si: sen 7x =cos2x Calcular: R = tan2 6x + sec2 (4x + 5c) a) 2

c) 3

14. Calcular:

6. Hallar "x" en: tan(3x–20º) = cot (4x+40º) a) 7º

c) 3

3

b)

3 3

d)

5. Hallar "x" en: sec(5x+20º)=csc(x+40º) a) 2º

b) 2 e) 5

12. Si: sen20º.cos4x=cos70º.sen5x calcular: M=tan4x.tan5x.tan6x

3. Si: tan 3x.cot (x+40º)=1, calcular: cos 3x 1 2 1 5

c) 5

11. Calcular: M=2tan10º.tan80º+3tan20º.tan70º

2. Hallar "x" en: sen(5x+20º).csc(3x+40º)=1 a) 12º

b) 3 e) 9

1 4

b)

1 2

e)

1 5

b) 8

d) 5

e) 6

Q=

sec (3x + 2y) + tan (5x + y) csc (x + 4y) + cot (5y - x)

a) 1

b)

d)

1

e)

4

1 2 1

d) 5

e) 6

Central: 619-8100

1 3

5

C θ

2

c) 9

M a

Q = 3 tan (7x - 10c) - sec2 (5x)

b) 3

c)

15. Si: sen3θ =cos(2θ+10º) En el gráco, calcular "tan a"

A

9. Si: cos (2x+6º).csc (5x+21º) = 1, calcular: a) 2

1 3

15. Si: sen (4x) = cos (6y) Determinar el valor de:

8. Si: tan (3x–5º).tan(2x)=1 Calcular: E = 4 tan (2x–1º) + 5 sen (3x–4º) a) 7

c)

c) 4

a) 4 3 d) 8 5

2θ - 3º

b) 1 6 e) 8 3

D

B

c) 1 3

Unidad III

127


17. Sabiendo que: sen(2a+b).sec(12º - 2c) = cos(a - 2b).csc(78º+2c) calcular: P=tan(2a+b+c).tan(a - 2b - c)

16. Si "x" e "y" son complementarios, cumpliéndose: (tan x) E=

cot y

= sen 45c, calcular:

5 csc x + cot x

a) 6

b) 7

d) 9

e) 10

c) 8

a) 1

b) 2

d) 5

e) 7

c) 1 2

¡Tú puedes! s o c i s á b s o t p e c n o C tan (x + 14c ) =1 tan (2y + 14c )

1. Sabiendo que se cumple que: sen (x + 13º).sec (y+17º) = 1 ∧ siendo "x" e "y" ángulos agudos, calcule: N = 2 sen 2x . sec a) 1

b) 2

c) 3

2. Si: tan (2x + 7º) = cot (4x + 35º), halle: E = a)

3

+

b)

1

y 2 + tan (x + y) 2

3

c)

d) 4

e) 5

sen (3x + 6c) + cos (6x - 11c) sen (4x + 5c ) + cos (6x + 12c) 5 6

d)

10 11

e)

13 11

3. Si: sen x.sec y = 1, además "x" e "y" son ángulos agudos, halle: G = tan ( x + y ) cot ( x + y ) 2

a)

b) 1

1 2

4. Siendo:

tan (

π

6

c)

3

b) 4

7

3 3

3

b)

K = tan

3x 4

+ cot

c) 5

5. Si: csc 4x = 2,6 ; 0 < x < a)

e)

- sen 2x) - cot ( π + cos (3x - 10c)) = 0

Además: 0º < x < 90º, determinar el valor de: a) 2

3 2

d)

3

π

8

10

3x 4

+ sec 3x

d) 4+2 3

e) 2+2 3

, determinar el valor de: 3 cot ( π + x) - 2 8

c)

13

d)

2

5

e)

26

Colegios

128

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4

Practica en casa s o c i s á b s o t p e c n o C 1. Hallar "x", si: cos(2x – 10º).sec(x + 30º) = 1

10. Calcular: P=4sen40º.sec50º - tan25º.tan65º

2. Hallar "x", si: sen(3x - 42º).csc(18º - 2x)=1 3. Si: tan4x.cot(x+18º)=1 calcular: sen5x

11. Calcular: M= sen10º + tan20º cos80º cot70º 12. Si: sen 2x = cos 3x, hallar:

4. Hallar "x" en: sen4x=cos(x+10º) 5. Si: tan3x=cot(x+10º) calcular: sec3x+tan(2x+5º) 6. Si: sec5x=csc(3x+10º) calcular: sen3x+cos6x 7. Si: tan2x.tanx=1 calcular: tan22x

E=

sen x cos 4x

+

sen 2x cos 3x

13. Si: sen (A – C) = cos (B + C) Calcular: E = 2 sen ` A + B j + tan ( A + B ) 3

14. Si en el gráco se cumple que: tan θ=cot4θ, calcular "x"

40 3 θ + 12c

8. Si: sen(x+15º).sec2x=1 calcular: sen2(2x - 5º) 9. Reducir: A=(5cos20º - 3sen70º)csc70º

Central: 619-8100

2

3θ + 6c

x 15. Calcular: P= sec1º+sec2º+sec3º+...+sec89º csc1º+csc2º+csc3º+...+csc89º

Unidad III

129

5

Resolución de ángulos verticales


¿Por qué parece que a lo lejos, los barcos se hunden? Si comparas "h" y el arco sobre la superficie terrestre, ¿qué resultado obtienes? Calcula la distancia horizontal para tu estatura.

¿CUÁL ES LA DISTANCIA DEL HORIZONTE? Imagina que estás en la playa de pie mirando el horizonte: ¿a qué distancia se encuentra? Antes de seguir haz una estimación: ¿5 Km?, ¿50?, ¿500?... El horizonte es la línea a partir de la cual no podemos ver más allá a causa de la curvatura de la Tierra. Entonces la línea visual que une nuestros ojos con el horizonte es una línea recta tangente a la Tierra, y por tanto perpendicular al radio de esta en el horizonte. Los datos necesarios son el radio de la Tierra (r=6378 km aproximadamente en el ecuador), y la altura a la que se encuentran los ojos del observador ("a" en el esquema, claramente exagerado). Aplicando el teorema de Pitágoras calculamos la distancia al horizonte (h): Si suponemos que nuestros ojos se elevan a=1,70 metros del suelo (0,0017 km) y aplicamos la fórmula el horizonte estará a 4,66 km. Dependiendo de nuestra altura, este valor puede oscilar entre 4 km (para los más pequeños de la casa) y 5 (para los jugadores de baloncesto).

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130

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Trigonometría

Conceptos básicos

Ángulo de Elevación Es el ángulo comprendido entre la horizontal que pasa por el ojo del observador y la recta determinada por la vista dirigida hacia un punto que esta por encima de él.

a l ) u s ( v i n ó i v i s e d e a n í L

35º

ángulo de elevación

Línea horizontal

Ángulo de Depresión Es el ángulo comprendido entre la horizontal que pasa por el ojo del observador y la recta determinada por la vista dirigida hacia un punto ángulo de depresión que está por debajo de él.

Línea horizontal n s ó i i v d e a e l í n o l u a V i s

35º

Observación Del gráfico, el ángulo de DEPRESIÓN de un objeto respecto al observador es igual al ángulo de ELEVACIÓN del objeto al observador.

horizontal

observador

ángulo de depresión r a m i e d e a l ín

ángulo de elevación observador

horizontal

Ángulo de Observación Es aquel ángulo formado por dos visuales que parten desde un mismo punto, al observar un objeto de un extremo a otro.

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ángulo de observación

Unidad III

131


Síntesis teórica

s o t n e m e l e

e s r a r t n o c n e e b e d

s e n o i c a u t i s s o d

s o t n e m e l e

e s r a r t n o c n e e b e d

Colegios

132

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5

Problemas resueltos 6. Una hormiga observa lo alto de la torre Eiffel con un ángulo de elevación "a ", si se acerca hacia él una distancia igual a su altura y mira lo alto de dicha torre nuevamente, el nuevo ángulo de elevación es el complemento del anterior. Halle "tan a ". a)

5 +1 2

c)

5 -1 2

b)

5

d)

+1

e)

5 - 1

5

Resolución:

S

Del gráfico: H cot α = H + H tan α " H(cota)=H(1+tana)

a

H

"

"

P

1 tan α 1+

1 4

= 1+

tan α

H

R

"

5 4

"

=

5 2

`tan =

1 = tan α

2 = tan a + tan a +

a

Q

"

α +

tan α

+

2

tan

α

1 4

1 2 2

j

+

1 2

"

tan α

5 −1 2

=

7. Desde un punto en tierra se observa lo alto de un edicio con un ángulo de elevación de 37º. Nos acercamos una distancia "x" y el nuevo ángulo de elevación tiene por tangente a 4. Si la altura del edicio es "h", halle: x . (Tomar: sen 37º = 0,6) h

a)

b)

1, 213

1, 082

c)

1,083

d)

e)

2, 132

3, 015

Resolución:

Dato: tan b = 4 3k 4k x

h=3k

37c

4

3k = 16k – 4x 4x = 13k Se pide:

b

x

=

−

4k–x

x = 4x = 13k = 1, 083 h 4h 4 (3k) S

4k

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Unidad III

133


8. Desde un punto de tierra se ve lo alto de una torre con un ángulo de elevación "θ ". Nos acercamos una distancia igual a la altura de la torre y el nuevo ángulo de elevación es ahora 37º. Calcule: cot θ . (Tomar: sen37º = 0,6) a)

5 3

b)

4 3

c)

d) 3

7 3

e) 2

Resolución:

Se pide: cot θ =

7k 7 = 3k 3

H=3k

37º

θ

H

4k

9. Una antena de radio de 15m de longitud se encuentra en la azotea de un edicio. Desde un punto del plano horizontal que pasa por la base del edificio, las elevaciones angulares para la parte superior e inferior de la antena son " a " y " b " respectivamente. Si: tan a = 0,76 y tan b =0,19; determinar (en m) la altura del edificio. a) 4

b) 5

c) 6

d) 7

e) 8

Resolución:

tan a =0,76; tanb =0,19 15m

"

tan α

= 4 tan β

15+H = a tan H = a tan b a

H b

a

"

"

`

15 + H H

=

tan α tan β

a

=4

15 + H = 4H H = 5m

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5

10. Un avión que está por aterrizar observa en su misma trayectoria la pista de aterrizaje de extensión igual al doble de la altura a la que se encuentra. Si ve el extremo más alejado con un ángulo de depresión de 22º30’, calcule con que ángulo observa el otro extremo. a) 22º30'

b) 67º30'

c) 30º

d) 60º

e) 45º

Resolución: A

θ 22º30'

horizontal

FE

= 2m

m B FEA

m

= 22c30'

AGE: GE=mcot 22º30' θ

G

F

22º30' 2m

E

GE=( 2 +1)m ; GF=GE - EF ; GF= ( 2 +1)m – 2m AGF: cotθ= cot θ =

θ =

GF = AG

"

GF=( 2 –1)m

m ( 2 − 1) m

2 −1

67º30' 10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Graque lo más claro posible: Un niño de estatura "h" divisa los ojos de su padre con un ángulo de elevación "a" y luego divisa sus pies con un ángulo de depresión " b". 2. Graque: Desde lo alto de un faro se ven dos barcos, a un mismo lado del faro, con ángulos de depresión "a" y "b" (a
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Unidad III

135


Aprende más... s o c i s á b s o t p e c n o C 1. Desde un punto del suelo se observa lo alto de un edicio con un ángulo de elevación de 37º. Si el objeto se encuentra a 36 m de la base del edicio, ¿cuál es la altura del edicio? a) 36 m

b) 27

d) 72

e) 96

c) 48

2. Desde lo alto de un faro se ve un barco, a 24 m de su base, con un ángulo de depresión de 53º. ¿Cuál es la altura del faro? a) 18 m

b) 12

d) 36

e) 48

a) 33,7 m

b) 19,7

d) 28,7

e) 37,7

a) 50 m

b) 48

d) 64

e) 72

a) 90 m

b) 96

d) 100

e) 80

c) 49

8. Desde la cúspide de un monumento de 30 m de altura, se observan dos objetos en el suelo en direcciones opuestas con ángulos de depresión de 45º y 30º. Hallar la distancia que los separa. a) 30+ 3 m

b) 30(1+ 3 )

d) 15( 3 - 1 )

e) 10( 3 - 1 )

c) 10( 3+1 )

c) 32

9. Desde el borde de un acantilado de 500 m de altura sobre el nivel del mar, se observan dos botes en la misma dirección con ángulos de 3. Una persona de 1,7 m de estatura divisa lo alto depresión de 45º y 30º. ¿Cuál es la distancia de un edicio con un ángulo de elevación de entre los botes? 37º. Si la persona está a 24 m del edicio, ¿cuál es la altura del edicio? a) 50 3 b) 500( 3 - 1) c) 100 3 c) 27,7

d) 100( 3 - 1)

e) 10 3

10. Una persona cuya estatura es 1,60 m observa la parte más alta de un poste con un ángulo de 4. Desde lo alto de un muro de 2 m de alto, se elevación de 37º y su parte más baja con un divisa lo alto de un edicio con un ángulo de ángulo de depresión de 45º. Calcular la altura elevación de 53º. Si el muro está a 36 m del del poste. edicio, ¿cuál es la altura del edicio? c) 56

a) 2,6 m

b) 2,2

d) 3,8

e) 3,2

c) 2,8

5. Desde un muro ubicado a 3 m del suelo se 11. Desde la parte más alta de un edicio de 30 m de altura se observan con ángulos de depresión observa la parte más alta de un árbol con un de 30º y 60º la parte superior e inferior de otro ángulo de elevación de 60º, alejado de él 8 3 m. edicio. Encontrar la altura de dicho edicio. ¿Cuál es el tamaño del árbol? c) 15 3 a) 20 m b) 15 a) 21 m b) 23 c) 25 e) 10 3 d) 10 d) 27 e) 29 6. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de una 12. Una antena de teléfono se encuentra plantada en lo alto de un edicio de 18 m de altura. Si torre con un ángulo de elevación de 15º. Si nos un estudiante ve con un ángulo de elevación de acercamos 40 m, el nuevo ángulo de elevación 53º el extremo de la antena y con otro ángulo de se duplica, ¿cuánto mide la torre? elevación de 45º el techo del edicio, ¿cuál es la altura de la antena? a) 40 m b) 24 c) 32 a) 3 m b) 4 c) 5 d) 30 e) 20 7. Desde lo alto de un faro se observan dos barcos en direcciones opuestas con ángulos de depresión de 45º y 37º. Si la altura del faro es de 21 m, ¿qué distancia separa a los barcos?

d) 6

e) 7

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5

13. Desde lo alto de un edicio de 16 m de altura 15. Desde un punto en tierra se ve lo alto de una se ve la parte alta y baja de una casa de 6 m torre con un ángulo de elevación " a". Si nos de altura con ángulos de depresión "a" y "b" acercamos 24 m, el nuevo ángulo de elevación respectivamente. es "θ", cumpliéndose que: 3 Calcular: C=tanb.cota cota - cotθ= 2 a) 1,2 m b) 1,4 c) 1,6 Calcular la altura de la torre. d) 1,3 e) 1,5 a) 16 m b) 12 c) 18 14. Desde un punto en tierra se ve lo alto de un d) 20 e) 24 poste con un ángulo de elevación de 53º. Si nos alejamos una distancia igual a la mitad de 16. Desde dos puntos en tierra ubicados en extremos la altura del poste, el nuevo ángulo de elevación opuestos respecto a una torre, a distancias para su parte más alta sería " θ". Calcular "tanθ" de su base iguales a 10 y 40 m, los ángulos de elevación para su parte más alta son "θ" y "90º - θ" a) 0,9 b) 0,8 c) 0,7 respectivamente. Calcular "tanθ" d) 0,6 e) 0,5 b) 4 a) 2 2 c) 2 e) 3 2 d) 2

Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 17. Una persona ubicada en una habitación, observa las esquinas superiores de una de sus paredes con ángulos de elevación " b" y "a". Si las proyecciones de las visuales con el piso forman 90º considerando que en el piso, el triángulo rectángulo formado es de 37º y 53º, halle el valor de: tan a.cotb.

18. Una persona de 1,73m de altura observa la parte superior de un poste de luz de 19,03m de altura con un ángulo de elevación " a ". Si esta persona en la primera observación está a la izquierda del poste y luego de un cierto tiempo la persona se encuentra al frente al poste observándola con un ángulo de elevación " b " y además la distancia entre ambas observaciones es 20m, determinar: a) cot2 α + cot2β b) Si:

cot a = 0, 25

a

b

2 0 m

indicar la longitud de la

sombra de esta persona en este caso. c) Si: cot b = 0, 4 indicar la longitud de la sombra de esta persona en este caso.

Central: 619-8100

Unidad III

137


¡Tú puedes! s o c i s á b s o t p e c n o C 1. Desde un edificio situado a 20m sobre el nivel del piso, los ángulos de elevación y depresión para la parte más alta y baja de una torre son 30º y 37º, respectivamente. Calcule la altura de la torre. a) 31,40

b) 32,40

c) 33,40

d) 34,40

e) 35,40

2. Un poste está pintado hasta un punto “P" que se encuentra a 10m sobre el nivel del suelo. Si el ángulo de elevación del punto “P" respecto del suelo es 30º y la parte no pintada es observada bajo un ángulo de 15º con respecto a dicho observador, calcule la longitud del poste que falta pintar. a) 5,3

b) 6,3

c) 7,3

d) 8,3

e) 9,3

3. Sobre un plano se ha construido un edicio donde cada piso mide 2m. Si se sabe que desde dos puntos más abajo sobre el plano inclinado se observa la parte superior del edicio con ángulos de elevación de 20º y 30º, ¿cuánto será el número de pisos del edicio, si los puntos están distanciados 100m? además el plano inclinado forma un ángulo de 10º con la horizontal. (sen10º= 0,17) a) 15

b) 16

c) 17

d) 18

e) 19

4. Un poste de altura "h"" se encuentra ubicado en el centro de un parque de forma circular. Tres personas situadas en la periferia del parque observan la parte superior del poste con un ángulo de elevación "a". Si estas personas están situadas a una distancia “2h" una de la otra, calcule "tan a " 3 2

a)

b)

3 3

c)

3 4

d)

2

3 3

e)

3 6

5. Siendo " θ " un ángulo entre la horizontal y la recta que une el extremo de la sombra y el punto más alto de un árbol, cuando su altura es un metro más pequeña que la sombra que proyecta y "2θ " es el ángulo cuando su altura es un metro más grande que la sombra que proyecta. Calcular "cot θ " a)

3- 7 3

b)

4- 7 3

c)

2+ 7 3

d)

4+ 7 3

e)

7+ 7 3

18:10:45

Practica en casa s o c i s á b s o t p e c n o C 1. A 20 metros del pie de un poste, se observa lo 4. Un árbol quebrado por el viento, forma un alto del poste con un ángulo de elevación de triángulo rectángulo con el suelo. ¿Cuál era la 37°. ¿Cuál es la altura del poste? altura del árbol, si la parte que ha caído hacia el suelo forma con este un ángulo de 37º y la parte del tronco que ha quedado en pie tiene 2. Desde lo alto de un edicio de 60m de altura se una altura de 30 m? observa un punto en el suelo con un ángulo de depresión de 53°. ¿A qué distancia de la base 5. Una persona de 2 m de estatura, ubicada a 32m del edicio se encuentra el punto? de una torre de 34 m de altura; observa la parte más alta con un ángulo de elevación de: 3. Un niño de estatura de 1,5 m; está ubicado a 6 m de una torre y observa su parte más alta con un ángulo de elevación de 53º. ¿Cuál es la altura de 6. El ángulo de elevación para la parte superior de una torre es de 30º y acercándose 100 m se la torre? encuentra que el nuevo ángulo de elevación es de 60º. ¿Cuál es la altura de la torre? Colegios

138

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5

7. Desde lo alto de un faro, se divisa dos barcos en 13. Una antena de radio está colocada en la azotea una misma dirección, con ángulos de depresión de un edicio. A 12 m de distancia del edicio de 45º y 37º. Si la altura del faro es de 96 m, sobre el suelo; los ángulos de elevación de la ¿cuál sería la distancia entre los barcos? punta de la antena y de la parte superior del edicio son 53º y 37º respectivamente. Hallar la longitud de la antena. 8. Desde lo alto de un acantilado se observa dos barcos en una misma dirección con ángulos de depresión de 45º y 53º respectivamente. 14. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de Calcular la distancia de separación de los barcos, una torre con un ángulo de elevación "a". Si se si además la altura del acantilado es de 24 m. acerca 20 m, el nuevo ángulo de elevación sería 9. De lo alto de un edicio de 24 m de altura se "b". Calcular la altura de la torre, si además se divisa una torre con un ángulo de elevación 1 sabe que: cota - cotb = de 30º y la base de la torre con un ángulo de 4 depresión de 60º. Hallar la altura de la torre. 10. Una persona de 2 m de estatura observa la base de un poste de luz con un ángulo de depresión de 30º y la parte superior con un ángulo de elevación de 60º. Calcular la altura del poste.

15. Desde un punto del suelo se observa la parte superior de un poste con un ángulo de elevación "a", acercándose 5 m hacia el poste el nuevo ángulo de elevación es el complemento de " a". Si el poste mide 6 m, calcular "tan a"

11. Desde un punto del suelo se observa la parte alta de un árbol con un ángulo de elevación de 37º. Si nos acercamos 5m, el nuevo ángulo de elevación es de 45º. Calcule la altura del árbol. 12. Desde un punto en tierra se observa lo alto del tercer piso de un edicio con un ángulo de elevación "a"; y luego la parte baja del quinto piso con un ángulo de elevación " b ". tanb Hallar: tana

Central: 619-8100

Unidad III

139

6

Resolución de triángulos rectángulos


¿A qué se dedica la topografía? ¿Cuál es el límite de la extensión de tierra que se considera como superficie plana? ¿En qué proyectos se aplica la topografía?

ALCANCES DE LA TOPOGRAFÍA La topografía es una de las artes más antiguas e importantes que practica el hombre, porque desde los tiempos más antiguos ha sido necesario marcar límites y dividir terrenos. En la actualidad la topografía se utiliza bastante. a) Sirvió de base a la mayoría de los trabajos de ingeniería, pues la elaboración de cualquier proyecto se realiza una vez que se tengan los datos y los planos topográcos que representan elmente los accidentes del terreno donde se va a realizar el proyecto. b) Se emplea para establecer límites en terrenos de propiedad privada y pública, profundidades, medir extensiones, dividirlas y determinar los accidentes u objetos dentro de ellos. c) Establecer aclimatación entre países, su delimitación política interna, determinar sus diferentes accidentes topográcos, ríos, lagos, cordilleras, entre otras, sus vías de comunicación, sus caminos, confeccionar las cartas geográcas de los países. d) Trazar cartas de navegación para uso en el aire, en tierra y en el mar. e) Construir bancos de datos con información sobre recursos naturales y de utilización de la tierra, para ayudar a la mejor administración y aprovechamiento de nuestro ambiente,etc.

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Trigonometría

Conceptos básicos

Resolución de triángulos A) Conociendo un ángulo agudo y la hipotenusa. A

• En el triángulo rectángulo ABC (B=90º) sen θ =

AB b

"

AB = b sen θ

b sen θ

cos θ =

BC b

"

BC = b cos θ

B

b

θ

C

b cos θ

B) Conociendo un ángulo agudo y el cateto adyacente A

• En el triángulo rectángulo ABC (B=90º) tan θ =

AB a

sec θ =

AC a

AB = a tan θ

"

"

AC = a sec

a sec

a tan θ

θ

θ

θ

B

C

a

C) Conociendo un ángulo agudo y el cateto opuesto A

• En el triángulo rectángulo ABC (B=90º) cot

θ=

BC c

csc

θ=

AC c

"

BC = c cot

"

c csc

θ

c

AC = c csc θ

θ

θ

B c cot

C

θ

Lo que quiero = Razón trigonométrica ( θ ) Lo que tengo

Método práctico

Superficie de un triángulo B θ

a.c SABC= senθ 2

c

A Central: 619-8100

a

C Unidad III

141


Síntesis teórica

s e

s e c n o t n e

s e

o l u g n á y n o u d e u n g e a i t e s i s

s e

s e c n o t n e

s e

s e

s e c n o t n e

s e

Colegios

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6

Problemas resueltos 1. Se tiene en el el gráco gráco que AM= 2 . Hallar Hallar el el valor de "AH", "AH", en términos términos de " a " A

45º

M H

a a

B

C

a)

sen2α (1 + cot α)

b)

cos 2a (1 + tan a)

c)

sena (1 + cot a)

d)

sen2a (1 + csc a)

e)

csc a (1 + sen2a)

Resolución: A

45º 1 2

En el

MGC: GC=1 . cot

En el

AHC: AH=AC . sen 2 a

a

G

1 cot a

M

Pero: AC=AG+GC

H

a a

B

C

AC=1 + cot a

Por lo tanto: AH = (1 + cot a ) sen 2 a

2. Se cumple que: que: AB=2 AB=2 y AD=3 sen 2α . sec α Hallar: T = sen cos α

C

B

b) 3 2 d) 3

a) 2 3

E

c) 2 a

A

a

4

e) 4 3

D

Resolución: C

B

C E

2a

3 cos a

2

A

a

E

2 sec a

2 sec a

a

3

A

D

3 cos a A

En el En el

ABC: AC=2sec a

Por lo tanto:

Central: 619-8100

T

sen sen 2α . sec α cos α

=

En el =

AED: AE=3cos a

sen2α

AEC: =

3 cos α 2 sec α

3 2 Unidad III

143


3. Según el gráco, hallar "BC" en términos de " a ", si: AD=4 B

C

a

A

2

a)

4 sen

c) e)

4 sen

2

a

b)

4 sena cos a

a sec a

d)

4 cos

2

a

4 sena tan a

D

Resolución: B

B

a

a

A

D

4

En el

4. Del gráco, hallar:

T

C

=

D

En el BCD: BC=BDsen a Como: BD=4sen a Entonces: BC=4 sen2a

ABD: BD=4sen a

tan θ tan φ tan α

B θ

3 3

a)

a

b)

c) 2 Q

30º

H

d) 2 3 3 2

e)

f

A

3

C

Resolución: B

B θ

Q φ n a t

n f

A A

n tan θ

n tan θ

H

0 3 n a t .

n

n a t n

H

En el AHQ: AH=n tan θ HQ=ntan θ tan f

"

Q

a

n

H

En el AHB: Sea: HB=n AH=ntan θ "

θ n a t

c

a

n tan a

H

30º n tan a

C

C

En el BHC: Como: HB=n HC=ntan a "

"

En el QHC: HC=ntan a HQ=ntan a tan30º

Igualando HQ en los triángulos triángulos rectángulos AHQ y QHC, entonces: n tan θ tan φ = n tan α ta t an 30c "


= tan 30c "


=

3 3

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6

Aplica lo á comprendido s o c i s b s o t p e c n o C 1. Del gráco, gráco, hallar "x" en función de "m" y "θ".

x θ

m

2. Del gráco, gráco, hallar "x" en función de "n" y "a". x

n

a

3. Determine "x - y", en función de "m" y "a" y

x a

m

4. Determine "x", en en función de "m" y "θ"

m

x θ

5. Una escalera de longitud "L" está apoyada en la pared pared formando un ángulo agudo agudo "θ" con el suelo. ¿A qué distancia de la pared se encuentra el punto de apoyo en el suelo?

¡Tú puedes!básicos Conceptos 1. En un triángulo rectángulo rectángulo ABC (B=90º) donde 2. En un triángulo rectángulo ABC (B=90º) donde AB=m y CAB= CAB= a , hallar la longitud de la BC=m y ACB= ACB=θ, hallar la longitud del otro hipotenusa. cateto. a) d)

m sen sen

a

m cot

a

Central: 619-8100

b) e)

m cos

a

m sec

a

c)

m tan a

a) d)

θ

m sen sen

m cot θ

b) e)

m cos

θ

m sec

θ

c)

m tanθ

Unidad III

145


3. En un triángulo rectángulo rectángulo ABC (B=90º), donde BC=m y CAB= a, hallar la suma de los catetos. a) m(1+seca) c) m(1+cota) e) m(1+cosa)

b) m(1+tana) d) m(1+csca)

a) msenasenb c) mcosacosb e) mtanacotb

9. Del gráco, gráco, hallar "x" en función de "L"; "a" y "b" B

4. En un triángulo rectángulo ABC (B=90º), se sabe que: AC=n y ACB= θ. Halle el perímetro del triángulo a) n(1+secθ+tanθ) c) n(1+senθ+cosθ) e) n(1+cscθ+senθ)

2 b) L .sena.cosa 2 d) 2L2.sena.cosa

a) L2.sena.cosa 2 c) L .sena.cosa

4

e) 4L2.sena.cosa 6. En un triángulo isósceles, sus lados congruentes miden "L" y el ángulo desigual mide "2 θ ". Determinar la altura relativa al lado desigual. b) e)

L sen θ L cot θ

c)

L cos θ

L

a

A

H

a) Lsenacosb c) Lcosatanb e) Lsenasecb

x

C

b) Lsenatanb d) Lsenacotb

10. En la figura m ostrada, el triángu lo ABC es isósceles (AB=BC) y sus ángulos congruentes miden " θ ". Si además PQRS es un cuadrado de lado "L", determinar AC . B

S

L tan θ

R

L sec θ

7. Del gráco, hallar "AC" en términos de "m";"n"; "a" y "θ" B n

m

A

b

b) n(1+cotθ+cscθ) d) n(1+secθ+cosθ)

5. En un triángulo rectángulo, rectángulo, la hipotenusa mide "L" y uno de sus ángulos agudos mide "a", ¿cuál es el área del triángulo?

a) d)

b) msenacosb d) mcosasenb

a

C

b) mcosa+nsenθ d) mcosa+ncosθ

P

C

Q

b) L(2tanθ+1)

a) L (2 cot θ + 1) c) L(2senθ+1) e)

θ

a) msena+nsenθ c) nsena+mcosθ e) msena+ncosθ

A

d) L(2cosθ+1)

L (2 sec θ + 1)

11. Del gráco mostrado, ABCD es un cuadrado. Determinar "x" en función de "m" y " θ"

B

C

x E

8. Del gráco, hallar "x" en función de "m" ; "a" y "b"

m

a

θ

A m

a) m(cosθ - senθ) c) m(secθ - cscθ) e) m(1 - cosθ)

b

D b) m(cotθ - tanθ) d) m(1 - senθ)

x Colegios

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12. Si ABCD es un cuadrado, hallar "x" en términos de "L" y "θ". E x C B

a) c)

L

e)

θ

a) L(1 - senθ) c) L(senθ - cosθ ) e) L(cotθ - tanθ )

b)

cosθ - senθ L

d)

senθ - cosθ

secθ + cscθ

B

A

b) L(1 - cosθ) d) L(cosθ - senθ )

E

R

F

θ

D

E

a) m(senθ+cosθ)

b) m(cosθ - senθ)

c) m(secθ - cscθ) e) m(tanθ+cotθ)

d) m(secθ+cscθ)

14. Del gráco, hallar "x" en función de "L" y "θ". C θ

r

θ

C

a)

(R - r) (1 + cot

c)

(R + r ) (1 + cot

e)

θ R cot r 2

θ)

b)

(R - r ) (1 - cot

θ)

d)

(R + r ) (1 - cot

2 2

θ)

2

θ)

2

16. Una escalera de 14 m de longitud está apoyada en un edicio, formando con el suelo un ángulo de 70º. ¿A qué distancia de la base del edicio se encuentra el punto de apoyo de la escalera en el suelo? a) 3,648 m d) 4,168

b ) 3 ,5 1 8 e) 5,218

c ) 4 ,7 8 8

17. Calcular el perímetro de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 10 cm y uno de sus ángulos agudos mide 35º.

x A

L

secθ - cscθ

D

45º L D

cosθ + senθ

L

13. En el rectángulo ABCD, hallar "BC", si: BE=EF=m. B C

A

L

15. En la gura, determinar BE en términos de "R" y "r", si ABCD es un cuadrado.

D

A

L

6

B

a) 26 26,132 cm d) 22,218

b) 24,5 24,517 17 e) 20,146

c) 23,9 23,927 27

Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas 18. La parte horizontal de un escalón se llama peldaño. peld año. La parte vertical se llama contrahuella. La razón entre la longitud de la contrahuella y la longitud del peldaño afecta la seguridad de una escalera. Tradicionalmente, los constructores constructo res usaban una razón de contrahuella a peldaño de aproximadamente 33/4 pulgadas: 9 pulgadas. Ahora se recomienda una nueva razón de 7 pulgadas: 11pulgadas a) Halla el valor del “Ángulo de la escalera" (ver gráco) para las escaleras construidas con la nueva razón de contrahuella a peldaño. b) Halla el valor del “Ángulo de la escalera" para las escaleras construidas con la vieja razón de contrahuella a peldaño.

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Unidad III

147


¡Tú puedes! s o c i s á b s o t p e c n o C 1. Se tiene un triángulo ABC, en el cual se trazan las alturas modo que: AH = 3HD, halle: tan B.tan C. a) 1

b) 2

AD

c) 3

y

CF cortándose

en el punto "H", de

d) 4

e) 5

2. De la gura mostrada: mBABC=90º, mBABD= a , AB = x, BC = p y BD = q. Calcule "x" en función de los datos dados. B

C

a)

pq cos a

b)

p - q sen a

d)

A

D

a q - p cos sena a pq cos

e)

pq sen a q - p cos

c)

a

a q - p sen a pq cos

pq p sen a + q cos a

3. Halle "1 " de la gura, si ABCD es un rectángulo x B

C

1 x

3

1 A

11 9

a)

b)

13 9

3 15 9

c)

D

d)

17 9

19 9

e)

4. En la gura mostrada, ABCD es un cuadrado y ME=CE. Halle el valor de: L = tanx – 2tan(x – y) B

C

M

x y

A

a)

1 2

b) 1

E

D

c)

3 2

d) 2

e)

5 2

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6

Practica en casa s o c i s á b s o t p e c n o C 1. Hallar "x" en función de "n" y "θ".

6. Del gráco, hallar "x" en función de "m" y "θ" D x C

n x

θ

A

θ

θ

B

m

7. Del gráco, hallar "x" en función de "m", "θ" y "b" 2. Hallar "x" en función de "a" y "b".

B θ

m

b

x

b

A

H

a

x

C

8. Del gráco, hallar "x" en función de "m" y "θ" 3. Determine el perímetro del triángulo rectángulo mostrado, en función de "m" y " θ".

θ

m θ

x

m

9. Del gráco, hallar "x" en función de "a", "a" y "θ" B

4. Hallar el área del triángulo rectángulo mostrado, en función de "L" y " a"

x

a L

A

a

H

a

5. Del gráco, hallar "x" en función de "n", "a " y "b" B

θ

C

10. Del gráco, hallar "x" en función de "m" y "b"

b

m

n

x

C A

x

a

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b b

D

Unidad III

149


11. Si ABCD es un cuadrado, hallar "x" en función 14. Del gráco, hallar el lado del cuadrado ABCD de "m" y "a" en función de "m" y " θ" B

A

B

C

x

m

m

D

a

C

θ

D

A

E

12. Del gráco, hallar "x" en función de "n" ; " a" y 15. Hallar "x", en función de "a","b" y " θ" "θ" C

A

D x

x B

n a

B

θ

a

13. Hallar "x", en función de "n" y " θ"

C A

θ

b

D

x θ

n

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7

Plano cartesiano

¿Cuál es la utilidad de un sistema cartesiano? Si tuviéramos que ubicarnos en tres dimensiones, ¿qué estaría faltando? ¿Cómo ubicaríamos tu casa respecto del municipio de tu distrito?

RELACIÓN CON LA VIDA COTIDIANA El plano cartesiano nos sirve en la vida cotidiana para ubicarnos y darnos referencia en un lugar determinado o cuando nos dan una dirección y no sabemos cómo llegar. Para determinar las coordenadas de un punto o localizarlo en el plano cartesiano, se encuentran unidades correspondientes en el eje de las "x" hacia la derecha o hacia la izquierda y luego las unidades del eje de las "y" hacia arriba o hacia abajo, según sean positivas o negativas, respectivamente. Ejemplo: Doña Lupe nos ha dicho que su farmacia está dentro del centro de la ciudad. Supongamos que deseamos saber la ubicación exacta de la farmacia de doña Lupe. Una vez que ya estamos en el centro le preguntamos a un policía para que nos oriente. El policía nos ha dicho que caminemos 5 cuadras hacía el este y 6 cuadras hacía el norte para llegar a la farmacia. Las cantidades de cuadras que tenemos que caminar las podemos entender como coordenadas en un plano cartesiano.

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Unidad III

151

Plano cartesiano

Conceptos básicos

Sistema de coordenadas rectangulares A) Plano cartesiano El punto O recibe el nombre de origen de coordenadas. Se escoge también una unidad de medida, con la que se marcan con signo positivo las distancias en las semirrectas desde el origen hacia arriba y hacia la derecha, y con signo negativo desde el origen hacia abajo y hacia la izquierda. El eje perpendicular se denomina eje de abscisas o eje de las "x", mientras que el eje vertical se denomina eje de ordenadas o eje de las "y". Este sistema de referencia se denomina sistema de ejes cartesianos o sistema cartesiano (de Cartesius, nombre latinalizado de René Descartes, filósofo y matemático francés del siglo XVII). Con ello, todo el plano queda dividido en cuatro cuadrantes (I, II, III y IV), que se enumeran en sentido contrario al movimiento de las agujas de un reloj.

eje y Cuadrante O II

Cuadrante I eje x

origen Cuadrante III

Cuadrante IV

B) Ubicación del punto en el plano Por el punto "A" y "B" del plano pasan dos rectas perpendiculares entre sí y paralelas a cada uno de los ejes, es decir, pasa una recta paralela al eje de las "x" y una recta paralela al eje de las "y". Estas rectas cortan los dos ejes en dos puntos, –2 y 3. Si se consideran las distancias dirigida –2 y 3, estas representan la abscisa y la ordenada del punto "A". En la figura, el punto "B" tiene como abscisa +4 y como ordenada -3. Por ello, se dice que "B" tiene como coordenadas +4 y –3, que se escribe de la siguiente manera: P (+4; –3).Si se fijan dos números en un orden determinado, por ejemplo +2 y +3, se dice que a este par ordenado le corresponde el punto "P" del plano que tiene como abscisa +2 y como ordenada +3, es decir, el punto P (+2; +3), como se muestra en la siguiente figura:

y abscisa

A

4

3

P

2

ordenada

1

x

0 4

–

3

–

2

–

1

–

1 1

–

2

3

4

ordenada

2

–

3

–

4

–

abscisa

B

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Trigonometría

C) Radio vector de un punto

7

Es la distancia que existe desde el origen del sistema de coordenadas rectangulares a un punto determinado del plano. Sea el punto P(x; y) entonces su radio vector se obtiene:

y (x; y) r

r=

x2 + y 2

Si: A(–3; 4) entonces su radio vector es:

y

r=

x

2

(- 3) + (4)

2

r = 5.

x

D) Distancia entre dos puntos Por ejemplo:

y

B(3;5)

B(x2;y2) A(–1;2)

A(x1;y1)

d (A; B) =

( - 1 - 3) 2 + (2 - 5) 2

x d (A; B) = 16 + 9

La distancia entre "A" y "B", se calcula de la siguiente manera: d (A; B) =

&

d (A; B) =5

Otro ejemplo: A(–1;7)

(x2 - x1)2+(y2 - y1)2

B(4;–5) d (A; B) =

&

d (A; B) =

Para determinar la distancia de un punto " P1" a un punto "P2" se usa:

d (P1. P2) =

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2 2+(y ((x x2 x1))2 + (y 2-- yy1 - x )2) 2

1

2

1

Unidad III

153

Plano cartesiano

E) Punto medio de un segmento El punto medio "M" de un segmento se halla:

B(x2 ; y2)

c xx1++2 xx2 ; yy1++2 yy2 m 1

M

2

1

2

fórmula del punto medio

Sea el punto A=(–5; 7) y B=(–3; 3) el punto medio del segmento

A(x1 ; y1)

AB es: (–4; 5)

A (x1; y1)

F) División de un segmento en una razón dada Las coordenadas del punto "P" se obtienen: P=

B

A (m) + B (n) m+ n

Ejemplo:

n

m

A = (–3; 4), B=(4; 5), determinar "P"; si n=2 y m=3

P

A

G) Superfcie de una región triangular La superficie de la región triangular ABC se obtiene:

B(x B (x22; y2 2) A (x11; yy11)) A(x

xx11 yy11 xx22 yy22 S ABC = 1 2 xx33 yy33 xx1 yy1 1

C(x C (x33;;yy33))

1

y se efectúa las operaciones

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Trigonometría

7

Síntesis teórica

r a d r o c e r

r a d r o c e r

a d n u g e s a l

r a d r o c e r

a r e m i r p a l

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Unidad III

155

Plano cartesiano

Problemas resueltos 1. Sean: A(–2;5); B(3;–2) y C(10;b) puntos del plano. Si d(A;B) = d(B;C), halle el valor de "b", si es negativo. a) –3

b) –5

d) –8

e) –9

Resolución:

C(5;7)

c) –7

L

L

D

B

Resolución:

(-2 - 3)2+(5+2)2

=

d (A; C) = →

b= –7

d) –4

e) –6

(5 - 2) 2 + (7 - 3) 2 " d =

Luego: L

2

=5

2

2L

"

= 25 →

=

25 2

4. Se tiene un triángulo equilátero ABC cuyos vértices son A(–1; 2) y B(2; 6). Determina el perímetro de dicho triángulo. B(m;8)

5

a) 20 d) 11

b) 15 e) 12

c) 10

Resolución:

A(–2;5)

→ 5=

2

L

c) –3

Resolución:

d (A; B) =

9 + 16

d= 5

`

2. Dado el punto A(–2;5) y B(m;8). Halle la suma de valores de "m", si la distancia de AB es 5. b) –2

L

A(2;3)

2+b= ±5 Donde: b = 3 / b = –7

a) –1

L

(3 - 10)2+(-2 - b)2

B(2;6)

(m+ - 2) 2 + (8 - 5) 2

L

2

(m + 2) + 9

L

A(–1;2)

→ 25 = 9 + (m + 2) 2

L C

(m+2)2=16 I. m+2=4 II. m+2=–4

m=2 3 2Suma= –4 m=–6 1

3. Los vértices de un cuadrado ABCD son: A(2;3) y C(5;7). Halle el área del cuadrado. a)

5 2

b)

15 2

d)

35 2

e)

45 2

c)

d (A; B) = L

=

9 + 16

(2+1)2+(6 - 2)2 →

L=5

Luego: Perímetro=15

25 2

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Trigonometría

5. Tres vértices de un paralelogramo son: A(–1; 4), B(1; –1) y C(6; 1). Si la ordenada del cuarto vértice "D" es 6, halle su abscisa. a) 5

b) 4

c) 6

d) -4

7

e) -6

Resolución:

y

En la figura:

D(x;6)

i) M = C(6;1)

"

M

A(–1;4)

"

0

&

x B(1;–1)

A+C 2

A+C 2

=

ii) M = B + D 2

B+D 2

&

A+C

=

B

+

D

(–1;4)+(6;1) = (1;–1)+(x;6) (4;6) = (x;6) ∴ x=4 10 x 5 50

Aplica lo comprendido Conceptos básicos 1. Indicar verdadero (V) o falso (F) I. El punto A(–2; –7) ∈ IIIC ........................................................................................................( II. El punto B(1; –2) ∈ IVC ..........................................................................................................( III. El punto C(–2; 4) ∈ IIC ...........................................................................................................(

) ) )

2. Determinar la distancia del punto A(– 4; 7) al punto B(4; 1). 3. Del gráco, determine las proposiciones verdaderas: B(a; b) P(10; 5) A(6; 8) I. a+b=16 ............................................................................................................................... ( II. a – b=10 ............................................................................................................................... (

) )

4. Obtener las coordenadas de "P", si: 3 2

B(4; 7)

P

A(-1; 2) 5. ¿Qué punto se encuentra más lejos del origen del sistema cartesiano? I. (3; -4) II. (2; -1) III. (-3; 2)

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Unidad III

157

Plano cartesiano

Aprende más... s o c i s á b s o t p e c n o C 1. El punto P(-3; 2) está ubicado en el: a) I C

b) II C

d) IV C

e) eje x

c) III C

10. Dado el segmento de extremos A(3; 2) y B(a; b) y su punto medio M(-1; 1), calcular:k=a2+b2 a) 25 b) 26 c) 29 d) 37 e) 50

2. El punto P(4; -3) está ubicado en el:

11. Si dos vértices consecutivos de un cuadrado son A(3; 1) y B(7; 5), calcular el perímetro de dicho cuadrado. d) IV C e) eje y a) 3 2 b) 4 2 c) 8 2 3. ¿Qué punto se encuentra más lejos del origen d) 12 2 e) 16 2 del sistema cartesiano? 12. Si dos vértices de un triángulo equilátero son a) (3; -1) b) (2; 2) c) (-1; 4) A(–1; 2) y B(2; 5); calcular el perímetro de dicho d) (3; -2) e) (3; 4) triángulo. a) 3 2 b) 6 2 c) 9 2 4. ¿Qué punto se encuentra más cerca del origen d) 12 2 e) 15 2 del sistema cartesiano? a) I C

b) II C

c) III C

a) (4; -2)

b) (3; 4)

c) (5; -1)

d) 2 5

e) 3 10

13. Dado el segmento de extremos A(1; 7) y B( -3; 5); calcular la longitud del radio vector correspondiente d) (3; -2) e) (4; -1) al punto medio de AB. a) 5 5. Si la distancia al origen del punto P(x+1; x - 1) b) 26 c) 37 es igual a 10, ¿cuál es el valor de "x"? e) 10 d) 5 2 a) 3 b) 5 c) 7 14. Si los vértices de un triángulo son A(1; 1), B(3; 5) y d) 9 e) 8 C(7; –1), calcular la longitud de la mediana relativa al mayor lado del triángulo. 6. Si la distancia al origen del punto Q(x - 1; x) es a) 10 b) 5 c) 17 igual a 5, ¿cuál es el valor de "x"? d) 2 5 e) 3 10 a) 4 b) –3 c) 3 15. Dado el segmento de extremos A(1; -1) y B(5; 5); d) a y b e) a y c halle uno de los dos puntos que trisecan a dicho segmento. 7. Calcular la distancia entre P(1; -3) y Q(-5; 5). c) 10 ; 3 a) 5 ; 1 b) 5 ; 3 b) 13 c) 10 a) 17 3 3 3 d) 10 ; 1 3

e)

7; 1 3

8. Calcular la distancia entre P(–3; 2) y Q(2; –10).

16. El lado de un rombo es igual a 5 10 y dos de a) b) sus vértices opuestos son los puntos P(4; 9) y Q(-2; 1). Determine el área del rombo. d) 13 e) 15 a) 120 b) 130 c) 140 9. Si el punto medio del segmento cuyos extremos d) 150 e) 160 son A(1; -5) y B(a;b) es M( -3; 2); calcular: k=a+b 17. Halle la suma de coordenadas del baricentro de un triángulo cuyos vértices son A(3; 5) ; B(4; -1) a) 1 b) 2 c) 4 y C(8;2). d) –6 e) –3 a) 3 b) 5 c) 7 d) 8 e) 10 26

37

c) 10

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Trigonometría

Aplicación de la matemática a situaciones cotidianas

7

18. Juego: Batalla Naval La batalla naval es un juego de estrategia en el que participan dos jugadores. Se juega con el lápiz y papel, y no interviene el azar. Preparación: Antes de comenzar el juego, cada participante dibuja en un papel cuadriculado dos tableros cuadrados de 10 x 10 casillas. Las filas horizontales se enumeran de la A hasta la J, y las columnas verticales del 1 al 10. Basta con indicar las coordenadas de un disparo con un par de letra/número (por ejemplo, A6 ó J9). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A

A

B

B

C

C

D

D

E

E

F

F

G

G

H

H

I

I

J

J FLOTA PROPIA

DISPAROS

En el cuadrado de la izquierda se coloca la flota propia (se muestra un ejemplo). En el cuadrado de la derecha se irán marcando los disparos que el jugador efectúa en el mar del contrincante: barcos tocados, hundidos y disparos al agua. La flota: Cada jugador dispone en su tablero izquierdo de una flota completa, sin que el contrincante vea su posición. Los barcos no pueden tocarse entre sí, es decir, que todo barco debe estar rodeado de agua o tocar un borde del tablero. La flota está formada por: 1 portaaviones (de cuatro cuadrados) 2 acorazados (de tres cuadrados) 3 buques (de dos cuadrados) 4 submarinos (de un cuadrado) Mecánica del juego: • El turno pasa alternativamente de un jugador a otro. • En su turno, el jugador hace un disparo a una posición del mar enemigo, indicando la coordenada correspondiente (letra y cifra). Si no hay barcos en ese cuadradito, el otro jugador dice: "¡Agua!"; si el disparo ha dado en algún barco dice: "¡Tocado!"; si con dicho disparo el rival logra completar todas las posiciones del barco, debe ser "¡hundido!". En el ejemplo, un primer disparo sobre H9 sería "¡Agua!"; sobre G5, "¡Tocado!" y sobre D7 "¡Hundido!". • Gana el jugador que consigue hundir todos los barcos del rival.

1. Halle el área de aquella región triangular donde dos de sus vértices son (0;0) y (6;6). Además se sabe que el punto de intersección de sus medianas es (4/3; 4) Central: 619-8100

Unidad III

159

Plano cartesiano

¡Tú puedes! s o c i s á b s o t p e c n o C a) 3u2

b) 6

c) 24

d) 12

e) 48

2. Los puntos A(–2;3), B(1;1), C(3; a); con a >0 y D(b;c) son los vértices de un cuadrado. Calcule: V = a + b + c a) 6

b) 10

c) 8

d) 2

e) 12

3. Si O(0;0); A(12;a) d IC y B(6;0) , donde P(4;3) es el punto de intersección de OA y BC . Si "P" divide a ambos segmentos en la misma razón, halle la suma de las coordenadas del punto "C". ( CP > PB ) a) 6

b) 7

c) 8

d) 9

e) 10

4. El lado desigual de un triángulo isósceles tiene por extremos los puntos A (2;–1) y B (–1;2) y los lados iguales miden cada uno 17 u. Halle el vértice opuesto al lado desigual. a) (1;1) ó (–3;–3)

b) (3;3) ó (–2;–2)

d) (5;5) ó (–2;2)

e) (–3;3) ó (3;3)

c) (4;4) ó (–1;1)

5. Se tiene los vértices de un triángulo ABC y A(2;3); B(4;5 ) y C(–2;–2). Determinar el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC a)

82 85 2

b)

42 15 2

d)

127 2

e)

41 85 2

c)

115 2

1. ¿Cuál es la distancia entre P(-1; 2) y Q(3; 4)? 2. ¿Cuál es la distancia entre P(4; -1) y Q(-1; 2)? 18:10:45

Practica en casa s o c i s á b s o t p e c n o C 3. ¿Cuál es la suma de coordenadas del punto medio del segmento cuyos extremos son A(-1; 5) y B(7; 3)? 4. Del gráco, calcular "a+b".

(a; b) M(3; 3)

(7; -1)

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Trigonometría

5. De acuerdo al gráco, calcular "a.b". (5; 7)

9. Si dos vértices consecutivos de un cuadrado son A(-3; 1) y B(1; 3), ¿cuál es su perímetro?

7

10. Si dos vértices de un triángulo equilátero son A(1; 3) y B(3; -3), calcular el perímetro de dicho triángulo.

M(1; 3)

11. Si los vértices de un triángulo son A(-1; 1), B(3; 5) y C(5; -1), ¿cuál es la longitud del mayor lado?

(a; b)

6. ¿Qué punto se halla más lejos del origen del 12. ¿Qué tipo de triángulo es el mencionado en el sistema cartesiano? problema anterior? a) (3; 2) b) (-1; 3) c) (4; 1) a) rectángulo b) acutángulo c) isósceles d) (-3; 6 )

e) (4; 0)

d) equilátero

e) b y c

7. ¿Qué punto se halla más cerca del origen del 13. Si los vértices de un triángulo son A(1; 1), B(-3; 7) sistema cartesiano? y C(5; 5), calcular la longitud de la mediana relativa al lado BC. c) (0; -2) a) (- 3 ; 2) b) (3; 0) d) (-2; -3)

e) (3; 2)

14. Calcular las coordenadas de los puntos que trisecan al segmento cuyos extremos son: A(3; 8) 8. En el gráco, calcular la suma de coordenadas y B(-3; -9). de "P". A(-1; 7) 15. Hallar la suma de coordenadas del baricentro del triángulo formado por los puntos A(-6; -3), B(4; 5) y C(5; -2)

2 P 1 B(5; -3)

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Unidad III

161

8

Repaso

Repaso

¿Después de cuánto tiempo se debe realizar el primer repaso? ¿Qué es la revisión consciente?

IMPORTANCIA DEL REPASO

El psicólogo alemán Herman Ebbinghaus, a nales del siglo pasado, realizó cientos de estudios que dieron mucha información sobre los ciclos de recuerdo y olvido. Ebbinghaus descubrió que la mayor parte de faltas de memoria se producen inmediatamente después del aprendizaje: En el plazo de 1 hora, se olvida más de la mitad del material original. 9 horas después, se pierde un 60% . En el plazo de 1 mes, un 80%. A pesar de esto, sabemos que si el material es revisado periódicamente, la retención puede ser óptima. El repaso refuerza las redes neuronales creadas al aprender nuevos temas y, por el proceso de consolidación, sitúa la nueva información en la memoria a largo plazo.

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Aprende Conceptosmás... básicos 1. Asocie correctamente mediante echas ("θ" es 6. En un triángulo rectángulo, los lados menores agudo) miden 1 y 3 cm. Si el menor de los ángulos agudos mide "θ"; calcular: cateto adyacente K=2cos2θ - sen2θ cateto opuesto a) 3 c) 8 b) 17 cateto adyacente senθ 5 10 5 hipotenusa 7 d) e) 1 10 cateto opuesto cotθ hipotenusa 7. En un triángulo rectángulo, se arma que su cateto opuesto lado mayor resulta ser los 3/2 de un cateto. Si el secθ mayor de los ángulos agudos del triángulo mide cateto adyacente "a"; calcular: K= 5tana+seca hipotenusa cateto adyacente a) 4 b) 2 c) 1 3 e) 1 d) 5 5 2. Asocie mediante echas, según el gráco adjunto: C θ

b a

A

a

sena tanθ

c

B

seca

c b c a a

b a

c b c

8. Señale el valor de: C=[(2sen30º+sec245º)tan53º+tan260º] a) 6 d) 1

4

b) 4 3 e) 7

c) 2

9. Siendo "θ" un ángulo agudo, tal que: cosθ=tan230º calcular: K= 2tanθ+secθ a) 6

b) 7

c) 8

d) 5 e) 4 3. Complete en los espacios en blanco: "Cuando tenemos: sena.cscθ=1, podemos armar que ......................., mientras que si tenemos la 10. Sabiendo que: sen4x.csc(x+24º)=1 igualdad: sena=cosθ, podemos armar que calcular: E=4sen(4x - 2º)+1 ........................". a) 1 b) 3 c) 2 4. Complete en el gráfico los nombres correctos de 3 los elementos indicados: d) 4 e) 1 3 11. Sabiendo que: tan4x=cotx calcular: E=3tan(3x - 1º) a) 4 d) 1

b) 2 e) 1 3

c) 1 2

5. En un triángulo rectángulo ABC (B=90º), sim- 12. Desde lo alto de un poste de 20 m de altura, plicar: K=(a.cotC+c)c se ve un objeto en el suelo con un ángulo de depresión "θ" (tanθ=5/8). ¿A qué distancia de la 2 2 a) b b) a c) b base del poste se encuentra el objeto? d) a e) c Central: 619-8100

Unidad III

163

Repaso

a) 30 m d) 20

b) 18 e) 32

c) 40

13. Desde un punto en tierra se ve lo alto de una torre con un ángulo de elevación de 15º y si nos acercamos 18 m, el ángulo de elevación se duplica. ¿Cuál es la altura de la torre? a) 9 m d) 10

b) 9 3 e) 36

c) 18 3

14. Del gráco, hallar "x", en función de "m" y "b" b

a) mcosb d) mtanb

sabe que: b+a=3c. Calcular "tan C " 2 a) 1 c) 1 b) 3 2 3 d) 2 e) 1 18. Desde dos puntos "A" y "B" en tierra, ubicados a un mismo lado de una torre, se ve su parte más alta con ángulos de elevación " a" y "b" respectivamente. Si desde el punto medio entre "A" y "B" el ángulo de elevación es " θ", calcular: cota+cotb E= cotθ b) 1 2 e) 3

a) 1

x

m

17. En un triángulo rectángulo ABC (B=90º); se

d) 1 3 b) msenb e) mcotb

c) msecb

15. Si en el gráco: AD=3DB; hallar "tanθ" en función de "a".

19. Una recta pasa por los puntos M(5;2) y N(–4;–7). Hallar el punto de intersección de esta recta con el eje de ordenadas a) (0;–3) d) (0; –5)

C a

c) 2

20. Hallar:

b) (0;–2) e) (0;–1)

c) (0;–4)

AB , para que: OB=OC CD O a

θ

D

A

a) tana

b) cota

d) 3cota

e) 4cota

4

b

b

a

B

c) 2sena

4

A

16. Del gráco, calcular "h". (Dato: tan55º - tan40º=0,589)

a sena b senb b cosb d) a cosa a)

35º º 1 5

B

C a b) a cos b cosb b sena e) a cosb

D b c) a sen b sena

h

20 m

a) 33,96

b) 34,2

d) 16,37

e) 20,2

c) 18,24

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Trigonometría 18:10:45

8

Practica en casa s o c i s á b s o t p e c n o C 1. En un triángulo rectángulo ABC (recto en "A"), 9. Hallar "x" reducir: P=senB.senC.tanB.a2 12

8 2. Siendo: senb= ("b" es agudo), calcular: 17 F=secb+tanb

18º

x

3. Calcular: 10. Una escalera de 80 m de longitud está apoyada en una pared, formando 14º con el suelo. ¿A qué altura sobre el suelo se encuentra el punto de apoyo en la pared?

sen30º+cos245º K= sec245º+tan260º 4. Hallar el valor de "x", sabiendo que: tan (x+30º).cot 67º =1

C

D

("θ" es agudo)

12. Del gráco, calcular "tanθ". B

C θ

37º

θ

B

M

37º

A

6. Del gráco, calcular "tana". B 5 3 º

C

º 5 4

A

11. Siendo: secθ=

hallar: H=cscθ+cotθ

5. Del gráco, calcular "tanθ"

A

m2+n2 m2- n2

a

D

13. Una recta pasa por los puntos M (–5; 2) y N (4;–7) Hallar el punto de intersección de esta recta con el eje de ordenadas. 14. En la gura mostrada, hallar el área de la región triangular AOB en términos de "θ" ("O" centro).

D

E

B

7. Si: tan3x.tanx - 1=0; calcular: tan2x 8. Del gráco, calcular: P=tanb+tanθ F B C

A

θ

4

O

4

15. Si: sen(x - 10º)=cos(x - 40º) Halle: tan(x - 10º)

E

A

Central: 619-8100

b θ

D

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