ÍNDICE GENERAL Raz. Trig. de ángulos ángulos de cualquier magnitud ......... .............. .......... .......... .......... ....... ..
1
Reducción Reduc ción al primer cuadr ante ................................... ...................................................... ..................... ..
5
Circunferencia trigonométrica I ......... .............. ......... ......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... ......... ....
9
Circunferenc ia trigonométrica II ......... .............. ......... ......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... ......... ....
13
Variaciones de las razones trigonométricas de números númer os real es ................................................................. .................................................................................. ................. 17 Identidades trig onométricas del arco simple ......... .............. .......... .......... .......... ....... ..
21
Identidades trigonométricas para el arco compuesto I: Dos arcos arc os ............................................ ..................................................................... ............................................... ......................
25
Identidades trigonométricas para el arco compuesto II: Tres Tre s arcos .............. . ...................................... .................................................. .................................................. ........................... ..
29
Identidades trigonométricas para el arco doble ......... .............. .......... .......... ......... .... 31 Identidades trigonométricas trigonométricas para el arco mitad ........ ............ ......... ......... ........ ...... ..
35
Identidades trigonométricas para el arco triple ........ ............ ......... ......... ........ ...... ..
39
Tran sformación sformación de una suma o diferencia a producto ....... ........... ........ ....
41
Tran sformación sformación de un producto a suma o dife renc ia ......... .............. ......... ....
43
Sumatorias y productoras trig onométricas ......... .............. ......... ......... .......... .......... ......... ....
45
Resolución Resolución de triángulo triángulos s oblicuángulos oblicuángulos I: Teorem Teoremas as .................. ..................
49
Resolución de triángulos oblicuángulos II: Elementos inte rior es ......... .............. ........... ........... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ....... ..
53
Funciones trigonométricas I:I: Dominio y rango ......... .............. .......... .......... .......... ....... ..
57
\ Funciones trigo nométric nométric as II: Periodos ......... .............. .......... .......... .......... ......... ......... ....... ..
59
Funciones trigonométricas III: III: Trazado de gráficas gráficas ......... ............. ......... ......... .... 63 Funciones trigo nométricas inver sas I: Dominio y rango rango .............. 65 Funciones Funciones trigonométr trigonométricas icas inversas inversas II: II: T razado razado de gráficas ...... ...... 69 Funciones trig onométricas inversa s III: III: Propiedades ......... ............... .......... .... 73 Ecuaciones Ecuaciones trigonométricas: trigonométricas: elementales elementales y no elementales elementales ...... ...... 77 Inecuaci ones trig onométric as ...... ............ ........... .......... ........... ........... .......... ........... ........... .......... .......... ..... 81 Estudio Estu dio de la recta rect a ...................................... ............................................................ ......................................... ................... 83 Estudio Estu dio de la circunfere cir cunfere ncia ......................................... ............................................................... ...................... 87 Estudio Estu dio de la parábola paráb ola ..................................................... ....................................................................... ..................
91
Estudio Estu dio de la elipse elip se .................................................. ..................................................................... .......................... ....... 95 Estudio de la hipérbola ......... .............. .......... .......... .......... .......... ........... ........... .......... .......... .......... .......... ......... .... 97 Tras lación y rotación de ejes coordenados ......... .............. .......... .......... ......... ......... ....... .. 100 Ecuación g eneral de segundo g rado .......... ............... .......... .......... ........... ........... .......... .......... ....... .. 102 Coordenadas polares .......................................................................... 104 Núme ros compl c ompl ejo s ...................................... ............................................................... ....................................... .............. 108
ÍNDICE GENERAL Raz. Trig. de ángulos ángulos de cualquier magnitud ......... .............. .......... .......... .......... ....... ..
1
Reducción Reduc ción al primer cuadr ante ................................... ...................................................... ..................... ..
5
Circunferencia trigonométrica I ......... .............. ......... ......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... ......... ....
9
Circunferenc ia trigonométrica II ......... .............. ......... ......... .......... .......... .......... ......... ......... .......... ......... ....
13
Variaciones de las razones trigonométricas de números númer os real es ................................................................. .................................................................................. ................. 17 Identidades trig onométricas del arco simple ......... .............. .......... .......... .......... ....... ..
21
Identidades trigonométricas para el arco compuesto I: Dos arcos arc os ............................................ ..................................................................... ............................................... ......................
25
Identidades trigonométricas para el arco compuesto II: Tres Tre s arcos .............. . ...................................... .................................................. .................................................. ........................... ..
29
Identidades trigonométricas para el arco doble ......... .............. .......... .......... ......... .... 31 Identidades trigonométricas trigonométricas para el arco mitad ........ ............ ......... ......... ........ ...... ..
35
Identidades trigonométricas para el arco triple ........ ............ ......... ......... ........ ...... ..
39
Tran sformación sformación de una suma o diferencia a producto ....... ........... ........ ....
41
Tran sformación sformación de un producto a suma o dife renc ia ......... .............. ......... ....
43
Sumatorias y productoras trig onométricas ......... .............. ......... ......... .......... .......... ......... ....
45
Resolución Resolución de triángulo triángulos s oblicuángulos oblicuángulos I: Teorem Teoremas as .................. ..................
49
Resolución de triángulos oblicuángulos II: Elementos inte rior es ......... .............. ........... ........... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ....... ..
53
Funciones trigonométricas I:I: Dominio y rango ......... .............. .......... .......... .......... ....... ..
57
\ Funciones trigo nométric nométric as II: Periodos ......... .............. .......... .......... .......... ......... ......... ....... ..
59
Funciones trigonométricas III: III: Trazado de gráficas gráficas ......... ............. ......... ......... .... 63 Funciones trigo nométricas inver sas I: Dominio y rango rango .............. 65 Funciones Funciones trigonométr trigonométricas icas inversas inversas II: II: T razado razado de gráficas ...... ...... 69 Funciones trig onométricas inversa s III: III: Propiedades ......... ............... .......... .... 73 Ecuaciones Ecuaciones trigonométricas: trigonométricas: elementales elementales y no elementales elementales ...... ...... 77 Inecuaci ones trig onométric as ...... ............ ........... .......... ........... ........... .......... ........... ........... .......... .......... ..... 81 Estudio Estu dio de la recta rect a ...................................... ............................................................ ......................................... ................... 83 Estudio Estu dio de la circunfere cir cunfere ncia ......................................... ............................................................... ...................... 87 Estudio Estu dio de la parábola paráb ola ..................................................... ....................................................................... ..................
91
Estudio Estu dio de la elipse elip se .................................................. ..................................................................... .......................... ....... 95 Estudio de la hipérbola ......... .............. .......... .......... .......... .......... ........... ........... .......... .......... .......... .......... ......... .... 97 Tras lación y rotación de ejes coordenados ......... .............. .......... .......... ......... ......... ....... .. 100 Ecuación g eneral de segundo g rado .......... ............... .......... .......... ........... ........... .......... .......... ....... .. 102 Coordenadas polares .......................................................................... 104 Núme ros compl c ompl ejo s ...................................... ............................................................... ....................................... .............. 108
TRIGONOMETRÍA
razones trigonométricas de ángulos de cualquier magnitud DESARROLLO DEL TEMA I.
DEFINI DEFINICI CIÓN ÓN Diremos que un ángulo estará en posición normal, estándar o canónica si su lado inicial pertenece pertenece al semieje positivo X (abscisas) (abscisas) y s u vértice coincida con el origen de coordenadas.
–40 IV C
0 II C Además dependiendo dependiendo de la ubicac u bicación ión del lado final se dirá que dicho ángulo pertenece a un determinado cuadrante.
II. ÁNGULOS CUADRAN CUADRANTALES TALES Son aquellos ángulos en posición normal cuyo lado final pertenecen a alguno de los semiejes del sistema de coordenadas rectangulares.
Por ejemplo:
Por ejemplo:
0 III C
135º II C
UNI SEMESTRAL 2 2013 013 - III
1
TRIGONOMETRÍA
TEMA 1
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD
Exigimos más! A.
B.
Definición de razones trigonométricas Sea " " la medida de un ángulo en posición normal y P(x;y) un punto de su lado final. Las R.T. de definen así:
y Sen Ordenada de P Radio vector r
Cos Abscisa de P x Radio vector r
y T an Ordenada de P Abscisa de P x
Cot Abscisa de P x Ordenada de P y
Sec Radio vector r Abscisa de P x
Csc Radio vector r Ordenada de P y
" " se
Razones trigonométricas de ángulos cuadrantates Las R. T. de los ángulos cuadrantales se calculan de la misma forma como se calculan las R. T. de un ángulo en posición normal. Para los principales ángulos cuadrantales, podemos resumir sus R. T. en la siguiente tabla:
0º 90º 180º 270º 360º
Sen
Cos
Tan
Cot
Sec
Csc
0 1 0 –1 0
1 0 –1 0 1
0 ND 0 ND 0
ND 0 ND 0 ND
1 ND –1 ND 1
ND 1 ND –1 ND
Resolución Como Tg 1 , si calculásemos dicha tangente 7 con el punto A o el punto B debemos obtener el mismo resultado, es decir 1/7. Luego: con B: tg 1 –14 y –2 7 y 1 –3 x –21 con A: tg 7 x
Observación:
x + y = (–21) + (–2) = –23
Nótese que se puede tomar cualquier punto del lado final; y aún así siempre obtendremos el mismo resultado para una misma razón trigonométrica.
Signos de las razones trigonométricas Podemos observar a partir de la definición que según sea el cuadrante al cual pertenece el ángulo, las R. T. de éste pueden ser tanto negativas como positivas. Esto último lo podemos resumir en el siguiente gráfico:
Aplicación De la figura, si Tg 1 . 7 Calcular “x + y”
UNI SEMESTRAL 2013 - III
2
TRIGONOMETRÍA
TEMA 1
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD
Exigimos más! Por ejemplo: a) Si IIIQ tg 0 (positivo) b) Si IIQ cos 0 (negativo)
III. ÁNGULOS COTERMINALES Dos o más ángulos son coterminales si estos poseen los mismos elementos (vértices, lado, inicial, lado final)
y son coterminales. Propiedades de los ángulos coterminales • La diferencia de dos ángulos coterminales es un número entero de vueltas. Es decir, si y son ángulos coterminales; tal que .
Por ejemplo:
y son coterminales
o
Se cumple: – 360º k
k
• La R. T. de dos ángulos coterminales son siempre las mismas. Así si y son ángulos coterminales, se cumple: R.T. R.T.
problemas resueltos
Problema 1 Anali ce la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones. a) Si Sen es negativo, entonces
III C ó IV C. b) Si IIIC , entonces el producto Tan Sec es de signo negativo.
Problema 2 Halle el signo de P si: 5 7 P Sen Cos Tan Cos 4 9 3 A) (+) B) (+/–) C) (–) D) (+) (–) E) N.A.
A) FV
Reemplazando signos en P tenemos: P ()() ( )( ) P () ()
B) FF Resolución:
C) VF
Además cos 1
Para identificar el signo de cada razón
D) V V
trigonométrica, es necesario conocer el cuadrante del ángulo, así como se muestra en la figura.
E) N.A. Resolución:
Respuesta: C) (–)
Problema 3 Siendo A, B y C ángulos cuadrantales diferentes, positivos y menores o iguales a 360°, además se cumple:
a) Falso, porque si 270 , en el sen es negativo (–1), pero 270° por ser cuadrantal no pertenece a
1-CosA + CosA-1 1 SenB... (1)
ningún cuadrante.
CscB+2=|TanC-1|....(2) b) Verdadero, porque si IIIC , entonces tan es positivo y sec es
Determine el valor de A + B + C. A) 240º
negativo.
B) 810º
Por lo tanto:
C) 120º
tan sec 0
D) 360º E) 180º
Respuesta: A) FV UNI SEMESTRAL 2013 - III
3
TRIGONOMETRÍA
TEMA 1
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD
Exigimos más! Resolución: Recordando el teorema: a 0 a0
Luego analizamos en la condición (1) 1 Cos A 0 y Cos A 1 0 Cos A 1 y Cos A 1
Cos A 1 A 360 0;360 Reemplazando Cos A = 1, en (1)
UNI SEMESTRAL 2013 - III
1 1 1 1 SenB Sen B 1
Luego: Tan C – 1 = 1 ó Tan C – 1 = –1 Tan C = 2 ó Tan C = 0
B 270 0;360 Reemplazado CscB = – 1 en (2)
1 2 | Tan C || Tan C 1 | 1 Recordando el teorema:
Como A, B y C son diferentes y cuadrantales entonces C = 180°. Finalmente: A + B + C = 360° + 270° + 180° = 810°
| a | b;b 0 a b ó a b
4
Respuesta: B) 810°
TRIGONOMETRÍA
TEMA 1
TRIGONOMETRÍA
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE DESARROLLO DEL TEMA I. ÁNGULO DE REFERENCIA El ángulo de referencia denotado por r , de un ángulo
en posición normal es el ángulo agudo formado por el lado final de dicho ángulo y el eje "X". Los siguientes gráficos muestran ángulos en posición normal con sus respectivos ángulos de referencia.
Propiedad
Si es un ángulo en posición normal tal que es menor que una vuelta entonces se cumple que: Si IC
R Si IIC R 180 Si IIIC R 180 Si IVC R 360 Ejemplos: Calcula los ángulos de referencia (r ) de los siguientes ángulos en posición normal (). 1. 40
40 40 IC r 40 2. 100
100 100 IIC r 180 100 80 3. 230
230 230 IIIC r 230 180 50 UNI SEMESTRAL 2013 - III
5
TRIGONOMETRÍA
TEMA 2
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
Exigimos más! 4. 290
3. Tan110 Tan110 Tan 70
290 290 IVC r 360 290 70
IIC
r
4. Sen(140) Sen( 140) Sen 40
II. CÁLCULODE ÁNGULOS DE REFERENCIA PARAÁNGULOSMAYORESAUNA VUELTA
IIIC
Si 1vuelta entonces dividimos a entre 360° y calculamos el r del ángulo residuo.
r
5. Cos2000 Cos 2000 Cos 20
IIIC
Ejemplos:
r
6. Tan(3400) Tan(3400) Tan 20
1. 2000
2000
360
IIIC
200 5
IV. CASOS ESPECIALES DE REDUCCIÓN
Residuo = 200 III r 200 180 20 1000
2. 1000
280
A. Para ángulo negativos Si 0 ; entonces se cumple:
360 2
Sen() Sen Cos() Cos Tan() Tan Cot() Cot Sec() Sec Csc() Csc
Residuo = 280 IV r 360 280 80 3. 3400 3400 3400 3400 160
r
360 9
B. Para ángulos complementarios Si 90; entonces se cumple:
Residuo = 160 II r 180 160 20
Sen Cos Tan Cot Sec Csc
III. REDUCCIÓN DE UNA R.T. AL PRIMER CUADRANTE Es el proceso mediante el cual se determina el valor de una razón trigonométrica utilizando su correspondiente ángulo de referencia.
C. Para ángulos suplementarios
Si 180; entonces se cumple:
Propiedad Sea cualquier ángulo en posición normal y R su ángulo de referencia, entonces se verifica que las razones trigonométricas de y R tienen igual valor absoluto.
Sen Sen Cos Cos Tan Tan Cot Cot Sec Sec Csc Csc
R.T.() R.T.(R ) R.T.() R.T.(R ) El signo del segundo miembro dependerá en que cuadrante se encuentra y de que R.T. se trate.
D. Para ángulos revolucionarios
Si 360 se cumple: Ejemplos: Reduce al primer cuadrante:
Sen Sen Cos Cos Tan Tan Cot Cot Sec Sec Csc Csc
1. Sen200 Sen 200 Sen 20
IIIC
r
2. Cos310 Sen 310 Sen 50
I VC UNI SEMESTRAL 2013 - III
r 6
TRIGONOMETRÍA
TEMA 2
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
Exigimos más! E. Para ángulos de la forma
F. Para ángulos de la forma
(90° ± ) y (270° ± )
(180° ± ) y (360° ± )
Para cualquier no cuadrantal se cumple:
Para cualquier no cuadrantal se cumple: R.T.(90 ) CO R.T.( ) R.T.(270 ) CO R.T.()
R.T.(180 ) R.T.() R.T.(360 ) R.T.()
El signo del segundo miembro dependerá en que cuadrante se encuentran (90 ) y (270 ) asumiendo agudo; además de que R.T. se trate.
El signo del segundo miembro dependerá en que cuadrante se encuentran (180 ) y (360 ) asumiendo agudo; y de que R.T. se trate.
Ejemplos:
Ejemplos:
•
•
•
•
problemas resueltos
Problema 1
Operación del problema
Si:
tan 5 1 , cot 3 y 4 4 3x 5 2
UNI 2012-II
4
C)
3 5
E)
8 3
5
3
Calcule x + y.
A)
Tan 5 Tan Tan 1 4 4 4 1 3x 541 3x 5 x
B)
3
D)
5 3
Calculamos: xy 4 4 8 3 3 Conclusiones y respuesta
x y
8
3
Tan 5 1 Cot 3 y 4 4 3x 5 2
Resumen El problema consistia en reducir al primer cuadrante Tan 5 4 y calcular la Cot 3 2 , luego reemplazando los
Análisis de los datos o gráficos Observamos que 3 4 es cuadrantal y 5 4 pertenece al tercer cuadrante. Reducción al primer cuadrante Tan 5 4 y calculamos la C ot 3 2 . UNI SEMESTRAL 2013 - III
se obtiene: A) B) C) D) E)
–tan 17° co t 17 ° tan 3 4° tan 5 1° cot 34°
Resolución: Ubicación de incógnita K=?
Análisis de los datos o gráficos
Ubicación de incógnita Dados dos relaciones nos piden "x + y".
tan 343 tan107 tan163 tan197 tan 73
K
UNI 2010-I
Cot 3 0 y 4 y 4 2
4
Resolución:
Problema 2 Simplificando la expresión siguiente:
K Ta n343 Tan107 Tan163 Ta n197 Tan73
Operación del problema Reducimos al primer cuadrante:
(Tan17) (Tan73) (Tan17) Tan17 Tan73
valores en las ecuaciones dadas se calcula finalmente:
K
xy 8 3
K
8 Respuesta: E) 3 7
Tan17 Tan73 Tan17 Tan73
( Tan17)
K = –Tan17° Respuesta: A) –Tan17° TRIGONOMETRÍA
TEMA 2
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
Exigimos más! Sen k x SenkCosx CoskSenx
Resolución:
Problema 3 Reducir:
Cos(k)Senx Sen k x ;K
A) Cosx (–1) C) Senx k
( 1)k Senx
B) (1)k Cosx D) (–1)k Senx
k Respuesta: D) (1) Senx
E) Cosk
UNI SEMESTRAL 2013 - III
8
TRIGONOMETRÍA
TEMA 2
TRIGONOMETRÍA
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA I DESARROLLO DEL TEMA
I.
DEFINICIÓN
Un arco está en posición normal, estandar o canónica cuando su extremo inicial este ubicado en el origen de arcos de la C.T.; el extremo final de estos arcos determinan el cuadrante al cual pertenecen.
Es aquella circunferencia inscrita en un sistema de coordenadas, su centro se ubica en el origen de coordenadas y su radio es igual a la unidad del sistema, razón por la cual también se le suele llamar cincunferencia unitaria (C.T. ó C.U.) La ecuación de todo punto que esté en la circunferencia trigonométrica es: x 2 + y2 = 1 y el círculo determinado por esta circunferencia es el denominado círculo trigonométrico.
A. Ubicación de ángulos en la C.T.
II. ELEMENTOS DE LA C.T.
B. Ubicación de arcos en la C.T.
A(1; 0) Origen de arcos B(0; 1) Origen de complementos A'(-1; 0) Origen de suplementos B'(0; 1) Sin nombre particular O(0; 0) Centro de la C.T.. P(x; y) Punto cualquiera de la C.T.. Ecuación:
x2 + y 2 = 1
radio: r = 1
Ejemplo: Ubicar los arcos cuyas medidas son 1, 2,
3, 4, 5, 6 en la C.T.
III. ARCO EN POSICIÓN NORMAL
Resolución: Para ubicar estos arcos en la C.T. reemplazaremos el valor de como 3,14 en los arcos
cuadrantales; obteniendo el esquema siguiente:
UNI SEMESTRAL 2013 - III
9
TRIGONOMETRÍA
TEMA 3
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA I
Exigimos más!
VI. LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS
IV. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ARCOS EN POSICIÓN NORMAL
Se denomina así a aquellos segmentos de recta orientados, cuya medida nos representa en la C.T. el valor numérico de una razón trigonométrica; como son seis las razones trigonométricas, tendremos seis líneas trigonométricas.
Las razones trigonométricas de todo arco en posición normal son numéricamente iguales a las razones trigonométricas de su respectivo ángulo central en la C.T.
A. Línea seno
El seno de un arco se representa en la C.T. mediante la ordenada trazada por su extremo.
ARCO CENTRAL RT RT rad No tiene unidades
• Ejemplo
Si tiene unidades
sen sen rad 1 6 2 6
ARCO
ÁNGULO
tan tan rad 1 4 4
Sabemos por teoría que: sen sen, pero: y sen : y r 1
ARCO
ÁNGULO
sen 30 sen 30rad
• Ejemplo
ARCO
sen y
NGULO
cos 45 cos 4srad
ARCO
• En cada cuadrante
NGULO
V. CÁLCULO DE LAS RAZONES Ubicamos un arco en posición normal de cualquier cuadrante y aplicamos la definición anteriormente estudiada tendremos:
• Variación analítica
Sabemos que: rt( ) = rt() y sen sen y r 1 cos cos x x r 1
• Rango de valores del seno
y tan tan x cot cot x y
sec sec r 1 1 x x csc csc r 1 1 y y UNI SEMESTRAL 2013 - III
10
TRIGONOMETRÍA
TEMA 3
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA I
Exigimos más!
C. Línea tangente
1 sen 1
Para representar la tangente de un arco en la C.T. trazamos primero el eje de tangentes (recta tangente a la C.T. trazada por el origen de arcos), luego se prolonga el radio que pasa por el extremo del arco hasta que corte el eje en un punto: la ordenada de este punto de intersección nos representará la tangente de arco.
máx(sen) = 1 mín(sen) = –1 B. Línea coseno
El coseno de un arco se representa en la C.T. mediante la abscisa trazada por su extremo.
Sabemos por teoría que: tan = tan pero: tan y y r 1
Sabemos por teoría que: cos = cos pero: cos x x r 1
tan y
cos x
• En cada cuadrante
• En cada cuadrante
• Variación analítica • Variación analítica
• Rango de valores de la tangente
• Rango de valores del coseno
1 cos 1 máx(cos ) 1 min(cos ) 1 t n lo cual implica que: tan
UNI SEMESTRAL 2013 - III
11
TRIGONOMETRÍA
TEMA 3
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA I
Exigimos más!
problemas resueltos
Problema 1
UNI 2005 - II
En la figura mostrada, halle el área de la región triangular OQP.
Nivel intermedio
UNI 2004 - I A) Nivel fácil
1 (Sen Cos Tan)
2
B) 1 (Sen Cos Tan) 2 C) 1 (Sen Cos Tan) 2 D) 1 (Sen Cos Cot) 2 E) 1 (Sen Cos Cot) 2 Sen Cos A) 4 Sen Cos C) 16 E) Sen Cos
Sen Cos B) 8 Sen Cos D) 2
C) 2 ; 2 2 5
D) 2 , 2 2 5
E) 2, 2 5 Resolución:
Datos: 5 5 6 4
Resolución:
f sen – 2 – 2 5 2
..............(1)
De la C.U.
Resolución:
S (1)(Cos ) ( Tan)(1 Cos) 2 2 Del gráfico : h Cos Sen Luego:
Reduciendo, obtenemos: S 1 (Sen Cos Tan) 2
2 Cos Sen A 1 4 2 A Sen Cos
Respuesta: A)
4
Respuesta: A)
Sen θ Cosθ 4
Problema 2
En la figura, halle el área de la región sombreada.
-
1 Sen θ + Cosθ +Tanθ 2
Problema 3
– 2 – 2 sen – 2 1 2 5 5 10
Consideremos la siguiente expresión: f() sen() 2 sen 5 4
0 sen – 2 2 2 5 2 5
donde: 5 ; 5 entonces el rango 6 4 de f se encuentra en el intervalo. UNI 2007- I Nivel difícil
A)
B) UNI SEMESTRAL 2013 - III
– 2 sen 1 2 2
2;2
2
– 2 sen – 2 – 2 2 2 5 2 5 Ranf – 2 , 2 2 5
5
Respuesta: D) -
2 ; 2 2 5
12
TRIGONOMETRÍA
2 2 , 2 5
TEMA 3
TRIGONOMETRÍA - TEMA 4
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA II DESARROLLO DEL TEMA
I.
LÍNEA COTANGENTE
B. Variación analítica
Para representar la cotangente de un arco en la C.T. trazamos primero el eje de cotagentes (recta tangente a la C.T. trazada por el origen de complementos), luego se prolonga el radio que pasa por el extremo del arco hasta que corte al eje en un punto: la abscisa de este punto de intersección será la cotangente del arco.
C. Rango de valores de la cotangente
cot
Sabemos por teoría que: cot = cot pero: cot
x x r 1 lo cual implica que cot .
cot x
II. LÍNEA SECANTE A. En cada cuadrante
UNI SEMESTRAL 2013 - III
La secante de un arco se representa en la C.T. mediante la abscisa del punto que se determina al intersectar la recta tangente trazada a la C.T. por el extremo del arco y el eje de abscisas.
13
TRIGONOMETRÍA
TEMA 4
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA II
Exigimos más!
III. LÍNEA COSECANTE
Sabemos por teoría que: sec = sec pero: sec
x x 1
La cosecante de un arco se representa en la C.T. mediante la ordenada del punto al que se determina al intersecar la recta tangente a la C.T. trazada por el extremo del arco y el eje de ordenadas.
sec x
A. En cada cuadrante
Sabemos por teoría que: csc = csc y pero: csc y csc y 1 A. En cada cuadrante
B. Variación analítica
B. Variación analítica
C. Rango de valores de la secante
C. Rango de valores de la cosecante
sec 1 sec 1
máx(sec ) =1 mín(sec ) = –1 UNI SEMESTRAL 2013 - III
relativos
14
TRIGONOMETRÍA
TEMA 4
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA II
Exigimos más!
csc 1 csc 1
máx(sec ) =–1 mín(sec ) = 1
relativos
Observación Las coordenadas para el extremo de un arco en la C.T. independientemente del cuadrante en el cual está ubicado este arco, son coseno y seno de dicho arco respectivamente; tal como se observa en la figura:
Ver() 1 cos B. Cosenoverso o coverso (Cov) Es el segmento de recta orientado desde el pie de
la perpendicular que nos representa el coseno hasta el origen de complementos de la C.T. Por definición: Cov() = RB Pero en la figura: RB 1 Sen
sen
•
Como muestra determinaremos las coordenadas de los extremos de los arcos cuadrantes.
Cov() 1 sen C. Exsecante o external (exsec) Es el segmento de recta orientado desde el origen de arcos de la C.T. hasta el extremo final de la secante. Por definición: exsec( ) = 4S Pero en la figura: AS = Sec – 1
IV. LÍNEASTRIGONOMÉTRICAS AUXILIARES
A. Senoverso o verso (Ver)
Es el segmento de recta orientado desde el pie de la perpendicular que nos representa el seno hasta el origen de arcos de la O.T. Por definición: Ver ( ) = QA Pero en la figura:
QA 1 cos
Ex sec() sec 1
cos
UNI SEMESTRAL 2013 - III
15
TRIGONOMETRÍA
TEMA 4
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA II
Exigimos más!
problemas resueltos
Problema 1 Ordenar de menor a mayor:
UNI 2010 - II Nivel fácil
1 1 1 M Sen ,N Cot ,P Cos 2 3 4 UNI
A)
1 tan sen
B)
1 tan sen
C)
1 tan sen 2
D)
1 tan sen 2
E)
1 cot cos 2
Nivel fácil
A) M, N, P C) P, N, M
B) M, P, N D) N, P, M
E) P, M, N Resolución:
1 1 1 Los argumentos , , están en ra2 3 4 dianes, los cuales se grafican y se traza las líneas trigonométricas respectivas:
A ' –1; 0 ; T 1; Tan Formamos la matriz.
2 2
Como tomamos los puntos en sentido antihorario omitimos las barras, entonces: S 1 –Tan – Sen – 0 2
Resolución:
Ubicación de incógnita: La circunferencia es trigonométrica, nos piden el área de la región triangular A'MT.
Conclusión y respuesta Finalmente obtenemos: S – 1 Tan Sen 2
Análisis de los datos o gráficos: 1 Respuesta: B) – 2 Tan + Sen
Problema 3 Se observa que:
Hallar Fmax Fmin , si:
1 1 1 Sen Cos Cot 2 4 3
F 2Sen 3Vers 4 cov
UNI
luego: M < P < N
Respuesta: B) M, P, N
Un método eficaz para determinar el área es aplicando el determinante de la matriz formada por las coordenadas de los puntos A', M y T.
Nivel intermedio
A) 18 C) 15
B) 16 D) 14
E) 12 Problema 2 Resolución:
En la circunferencia trigonométrica mostrada mAB'P , determine el área de la región triangular A'MT.
Se sabe que: 1 Sen 1 0 vers 2 0 cov 2
luego: Fmax 2(1) 3(0) 4(2) 10 Del gráfico obtenemos:
Fmin 2(1) 3(2) 4(0) 8
P Cos;Sen Respuesta: A) 18
M –Cos; – Sen UNI SEMESTRAL 2013 - III
16
TRIGONOMETRÍA
TEMA 4
TRIGONOMETRÍA
VARIACIONES DE LAS RAZONES TRIG. DE NÚMEROS REALES DESARROLLO DEL TEMA En esta sección, comprobaremos que toda vez que cambia un arco en posición normal también cambian las razones trigonométricas correspondientes. A continuación presentamos las variaciones de cada R.T. A.
Variación del seno
B.
Variación del coseno
C.
Variación de la tangente
UNI SEMESTRAL 2013 - III
17
TRIGONOMETRÍA
TEMA 5
VARIACIONES DE LAS RAZ. TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS REALES
Exigimos más! D.
Variación de la cotangente
E.
Variación de la secante
F.
Variación de la cosecante
UNI SEMESTRAL 2013 - III
18
TRIGONOMETRÍA
TEMA 5
VARIACIONES DE LAS RAZ. TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS REALES
Exigimos más!
problemas resueltos
Problema 1
Determine el área de la región triangular A'MT.
Ordenar de menor a mayor:
Un método eficaz para determinar el área es aplicando el determinante de la matriz formada por las coordenadas
1 1 1 M Sen ,N Cot ,P Cos 2 3 4
de los puntos A', M y T.
UNI Nivel fácil
A) M, N, P B) M, P, N C) P, N, M D) N, P, M
UNI 2010 - II
E) P, M, N
Nivel fácil
Resolución:
A)
1 tan sen
B)
1 tan sen
C)
1 tan sen 2
Los argumentos: 1, 1, 1 2 3 4 están en radianes, los cuales se grafican y se traza las líneas trigonométricas respectivas:
D) E)
2
Del gráfico obtenemos: P Cos;Sen
2
1 tan sen 2
M –Cos; – Sen A ' –1;0 ; T 1; Tan
Formamos la matriz.
1 cot cos 2
Resolución:
Ubicación de incógnita: La circunferencia es trigonométrica, nos piden el área de la región triangular A'MT. Se observa que: 1 1 1 Sen Cos Cot 2 4 3
Como tomamos los puntos en sentido antihorario omitimos las barras, entonces:
Análisis de los datos o gráfic os:
S 1 –Tan – Sen – 0 2 Conclusión y respuesta
luego: M < P < N
Finalmente obtenemos: Respuesta: B) M, P, N
S – 1 Tan Sen 2
Problema 2 1 Respuesta: B) – 2 Tan + Sen
En la circunferencia trigonométrica mostrada mAB'P .
UNI SEMESTRAL 2013 - III
19
TRIGONOMETRÍA
TEMA 5
VARIACIONES DE LAS RAZ. TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS REALES
Exigimos más! Problema 3
C) 15
0 vers 2
Hallar Fmax Fmin , si:
D) 14
0 cov 2
E) 12
F 2Sen 3Vers 4 cov
luego: Fmax 2(1) 3(0) 4(2) 10
UNI Nivel intermedio
A) 18 B) 16
UNI SEMESTRAL 2013 - III
Resolución:
Fmin 2(1) 3(2) 4(0) 8
Se sabe que: Respuesta: A) 18
1 Sen 1
20
TRIGONOMETRÍA
TEMA 5
TRIGONOMETRÍA
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ARCO SIMPLE DESARROLLO DEL TEMA I. IGUALDAD Dos expresiones serán iguales en los reales si para cualquier valor real asignado a sus variables; los valores numéricos de estas expresiones son también iguales; dentro de estas igualdades encontramos las ecuaciones y las identidades; es decir: E x
IV. VALOR ADMISIBLE (VA) Para una expresión, se llama valor admisible de su variable a aquel valor asignado a ésta, para el cual la expresión está definida en los reales ( ).
VN E
cual no se le puede asignar un valor real cualquiera ya que podría dejar de existir la expresión, surgiendo así el concepto de valor admisible o permitido para una variable.
P x x
Ejemplo: E x x 1 , para x = 1; E 1 x
VN P
x
II. ECUACIÓN Es una igualdad que se verifica para cierto número de valores asignados a la variable; valores que reciben el nombre de soluciones de la ecuación. 2x
Ecuaciones
3
5 ; se cumple para
2x 2 – 1 2 x –1
x
2
x
3
Ejemplo: E X
2x 3 , para x 2 ; E 2 x–2
Ejemplo: E(X)
1 senx , para x cosx
x
Es una igualdad que se verifica para todo valor real ( ) asignado a la variable.
3
–1
x 2 x – 2 ; se cumple x 2
x2
2
; E
2 0
2
2
; NO ES "VA" PARA E(x).
V. CAMPO DE VALORES ADMISIBLES (CVA) Para una expresión, el campo de valores admisibles de una variable (CVA), es el conjunto formado por todos los valores admisibles de dicha variable; es decir:
4x 4 , se cumple x
x –1 x2 x 1 , se cumple x
CVA para E x Observación Hay expresiones como las trigonométricas en las cuales las variables no se encuentran libres sino que se encuentran en el ángulo, es decir, que las variables se encuentran afectadas de algún operador, razón por la UNI SEMESTRAL 2013 - III
7 (No existe) 0
(No existe)
III. IDENTIDAD
x 2
X 2 ; No es "VA" para E(x).
la ecuación
Identidades
; E 1 4 4
x es un "VA" para E(x). 4
Solución de
x2 – 4
1 es un "VA" para E (x).
tan x , para x
1
7 ; se cumple para x 5 ; se cumple para
Ejemplo: E x
2
VALORES D E " X " / " x " es un VA para E(x)
Ejemplo: E(x) 2x 1 x –1 CVA 21
E x x /x
TRIGONOMETRÍA
x
1
– 1 TEMA 6
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ARCO SIMPLE
Exigimos más! Ejemplo: E(x)
VII.IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES
x – 2 E x x 2
CVA
x/x
2;
Se denomina a las igualdades obtenidas al relacionar las líneas trigonométricas de un mismo arco en la circunferencia trigonométrica (C.T.)
Ejemplo: E(x)
4 Senx
E x
CVA
Senx 0
x/x
x k ; k
– k
Ejemplo: E(x)
3 Cosx–1
E X CVA
Cosx 1
x /x
x
2k ; k
– 2k
– En la figura se observa:
VI. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
OBM
Es una igualdad establecida entre expresiones que involucran razones trigonométricas de una o más variables, las cuales se verifican para todo valor admisible de dichas variables.
OAN
OPT
PT
BM
cot
OPS
PS
AN
tan
P cos ;sen C.T. Debe cumplir la ecuación: x
Ejemplo: La igualdad: Sen2 x Cos 2 x 1, se verifica para cualquier valor real que le asignemos a la variable x; por consiguiente: Sen2 x
Cos 2 x
es una identida d
1
Ejemplo: La igualdad: Tanx
k
luego
x Cos y Sen
2k 1
2
P Cos ;Sen Lf Las "rt " se obtienen
utilizando: x Cos ; y Sen y r = 1. Csc
r y
1 Sen
Sec
r x
1 Cos
Tan
y x
Sen Cos
Cot
x y
Cos Sen
;
la igualdad se verifica para cualquier valor
que le asignemos a la variable x, tal que: x (2k 1) ; 2 Tan x
k . Por consiguiente:
Senx Cos x
OPS (teorema de Pitágoras)
es una iden-
OP 2 PS 2 OS 2
tidad x – 2k 1 .
2
Sen2 Cos 2 1
Reemplazamos:
Senx , no está definida Cos x
para: x ... , 3 , 5 , ... es decir para x 2 2 2
x
x 2 y2 1
y
1 Tan2 Sec 2
OPT (teorema de Pitágoras) Ejemplo: La igualdad Cscx
1 , no está definida Senx
OP
para: x .., 0, ,2 , .. es decir para x k ; k , luego la igualdad se verifica para cualquier valor que le asignemos a la variable x, tal que x k ;k ; por consiguiente:
Csc x
PT
2
OT
2
1 Cot2 Csc2
A. Clasificación de las identidades fundamentales
1. Identidades pitagóricas
1 es una identidad x – k Senx
UNI SEMESTRAL 2013 - III
2
Sen2 x 22
Cos 2 x
1
x
TRIGONOMETRÍA
TEMA 6
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ARCO SIMPLE
Exigimos más! 1 1
Tan2 x
Sec 2 x
Cot 2 x
x
Csc 2 x
x
– 2k 1
– k
; k
2
;k
2. Identidades recíprocas Sen xCsc x
1
Cos x .Sec x
x x
1
– k –
;k 2k
1
;k
2
•
Sen4 x
Cos 4 x
1 – 2Sen2 x Cos 2x
•
Sen6 x
Cos 6 x
1 – 3Sen 2x . Cos 2 x
•
Tan x
Cot x
•
Sec 2 x
Csc 2x
•
Sen4 x – Cos 4 x
Sen2 x – Cos 2 x
•
Sec 4 x – Tan4 x
Sec 2 x
•
Csc 4 x – Cot 4 x
•
Sen x Cos x 2 1 2 Sen x Cos x
Sec x.Csc x
Sec 2 x. Csc 2x
Csc2 x
Tan 2x Cot 2 x
2
• 1 Sen x Cos x 2 1 Sen x 1 Cos x Tan x .Cot x
x
1
– k
2
;k
De: Sen2 x 1– Cos 2x 1 Cos x 1–Cos x
•
3. Identidades de división
Sen x 1 – Cos x
Tanx
Senx Cosx
x
–
Cot x
Cosx Senx
x
– k
2k
1
;k
2
;k
1 Cos x Sen x Sen x 1 Cos x
x
Cos x 1 – Senx
VIII.IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS AUXILIARES Aparte de las identidades trigonométricas fundamentales, hay aquellas igualdades que aparecen frecuentemente en la resolución de problemas y su conocimiento sería de mucha utilidad para facilitar la resolución de estos problemas; estas igualdades son de simple verificación y en muchos casos son consecuencia directa de operaciones algebraicas elementales; dentro de estas tenemos:
k; k
De: Cos2 x =1 – Sen2x = 1+ Senx 1 – Senx
•
1 – Cos x Sen x
1 Sen x Cos x x
•
Si: a Senx
2k 1
a a2
2
a2
b Cosx
Senx
Cos x 1 Sen x
b2
1 – Sen x Cos x
;k
b2
Cos x
b a2
b2
problemas resueltos Problema 1 3 –1 Si: Senx – Cosx entonces el va2
lor de M = Senx + Cosx es: UNI 2008 - II
Resolución: Nos piden M = senx + cosx
3 1 2 Por las identidades de Legendré:
A)
C)
E)
3 2 3
B)
D)
2 3
(a b)2 (a b)2 2(a2 b2 ) 2
2
3 2 2 UNI SEMESTRAL 2013 - III
UNI 2006 - II
2
3 1 2 2
2
M
M
Nivel intermedio
A) B)
M 2 3 2 2
C)
2 3
4
3
2
D)
2
E) 23
2
Problema 2 Halle la suma de las soluciones positivas menores de 2 de la siguiente ecuación: 2Tan2 x Sec x 1 0
(sen x x) (sen x cos x) 2 2 cos
3 2 3
2 3
Y como sen x cos x
Nivel fácil 3 2 2
Respuesta: D)
2
TRIGONOMETRÍA
TEMA 6
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ARCO SIMPLE
Exigimos más! Resolución:
E
2
2Tg x Sec x 1 0
Sen Sec4 Cos3 Cos3
Conocemos: Tg2 x Sec2x 1
Tanx Tany
Sen(x y) Cosx .Cosy
b) Solución del problema
Reemplazando:
Como: 5BC = 9AD
2(Sec 2x 1) Sec(x 1) 0 2Sec2 x Sec x 1 0
UNI 2008 - II Nivel difícil
A)
12 9
B)
13 9
D)
15 9
E)
16 9
(2Sec x 1)(Sec x 1) 0
Sec x 1 Secx 1 2
14 C) 9
9
Resolución:
Secx 1
Nos piden:
x
Respuesta: D)
Problema 3 En la figura mostrada 5BC = 9AD, calcule:
UNI SEMESTRAL 2013 - III
E
Del gráfico: 9Tan4 5 9Tan3 9(Tan4 Tan3) 5
Sen.Sec4 Cos3 Sen 1...(i) Cos3 Cos4.Cos3
Sen 5 Sen 5 ...(ii) Cos4.Cos3 Cos4.Cos3 9
(ii) en (i): E 5 1 14 9 9
Debemos recordar:
14 Respuesta: C) 9
a) Aplicación de fórmula o teorema:
24
TRIGONOMETRÍA
TEMA 6
TRIGONOMETRÍA
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL ARCO COMPUESTO I: PARA DOS ARCOS DESARROLLO DEL TEMA I.
ÁNGULO COMPUESTO Es aquel que se puede expresar mediante una combinación lineal de otros ángulos; así por ejemplo: •
x y : es un ángulo compuesto por dos ángulos.
Ejemplo:
•
2x 3y : es un ángulo compuesto por dos ángulos.
Calcule el valor de Sen75°.
•
x y z : es un ángulo compuesto por tres ángulos.
•
2x 3y 4z : es un ángulo compuesto por tres ángulos.
Resolución:
Expresamos nuestro ángulo que es "75°" en función de ángulos conocidos por ejemplo "45° + 30°", para luego aplicar las identidades de la suma de ángulos.
II. RAZONES TRIGONÓMETRICAS DE ÁNGULOS COMPUESTOS
Sen75° = Sen(45° + 30°) = Sen45°Cos30° + Cos45° . Sen30°
Cuando los operadores trigonométricos afectan a ángulos compuestos, se definen operaciones matemáticas que no se efectúan como multiplicaciones algebraicas, así por ejemplo: •
Sen(x y) Senx Seny
•
Cos(x y) Cosx Cosy
•
Tan(x y) Tanx Tany
•
Cot(x y) Cotx Coty
Sen75
2 . 3 2 .1 2 2 2 2
Sen75
6 2 4
IV. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS Estas igualdades s e verifican para todos los valores admisibles de sus variables y son las siguientes:
III. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA LA SUMA DE DOS ÁNGULOS Estas igualdades se verifican para todos los valores admisibles de sus variables y son las siguientes:
UNI SEMESTRAL 2013 - III
25
TRIGONOMETRÍA
TEMA 7
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL ARCO COMPUESTO I: PARA DOS ARCOS
Exigimos más! Ejemplo:
•
Calcule el valor de Tan8°
reemplazamos los datos del gráfico y tenemos:
Resolución:
SenxSeny Cos CosxCosy ;
Expresaremos nuestros ángulos 8° en función de ángulos conocidos, por ejemplo "45° – 37°". •
En el rectángulo PQRS se tiene que: QR = PS, pero PS = PO + OS QR = PO + OS; luego
pero: Cos Cos(x y) SenxSeny = –Cos(x + y) + CosxCosy
Tan8 Tan(45 37) Tan45 Tan37 1 Tan45.Tan37 1 1 3 4 4 Tan8 3 7 1 4 4
Tan8
1 7
Cos(x y) CosxCosy SenxSeny
VI. DEMOSTRACIÓN DEL SENO Y COSENO DE LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS Con la ayuda de la C.T. demostraremos las siguientes identidades:
V. DEMOSTRACIÓN DEL SENO Y COSENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS Con la ayuda de la C.T. demostraremos las siguientes identidades:
Sen(x y) SenxCosy CosxSeny Cos(x y) CosxCosy SenxSeny
Sen(x y) SenxCosy Cosx S eny Cos(x y) CosxCosy SenxSeny
•
En la figura se observa que x son suplementarios Sen Senx
•
•
En la figura se observa que (x y) son suplementarios:
Cos Cosx
En el rectángulo PQRS se tiene que: RS = PQ, pero PQ = PM + MQ RS = PM + MQ; luego reemplazamos los datos del gráfico y tenemos:
Sen Sen(x y) Cos Cos(x y)
•
Sen(x y) SenCosy SenyCos ; pero:
Sen Senx Cos Cosx
En el rectángulo PQRS se tiene que: PQ = SR, pero SR = SM + MR PQ = SM + MR; luego reemplazamos los datos del gráfico y tenemos:
Sen(x – y) = (Senx)Cosy + Seny(–Cosx)
Sen SenxCosy SenyCosx ; pero: CosxSeny
VII.IDENTIDADES AUXILIARES
Sen Sen(x y)
Sen(x y) Tanx Tany CosxCosy
Sen(x y) SenxCosy CosxSeny
UNI SEMESTRAL 2013 - III
Sen(x y) SenxCosy CosxSeny
26
TRIGONOMETRÍA
TEMA 7
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL ARCO COMPUESTO I: PARA DOS ARCOS
Exigimos más! Sen(x y)Sen(x y) Sen2x Sen2y
Cos(x y)Cos(x y) Cos 2x Sen 2y
Sen(x y)Sen(x y) Cos2y Cos 2x Tan(x
y) Tanx
Tany
Tanx Tany Tan(x
y)
Importante: f(x) aSenx bCosx
a, b, x
a, b x
a2 b2 f(x) a2 b2
aSenx bCosx a2 b2 Sen(x ) / Tan b / a
problemas resueltos
Problema 1 Si:
tan 4x a y tan 3x b 7 7 entonces al simplificar:
*
Solución del problema
UNI 2011-II E (1 a2b2 )
A) a – b 2
E
E (1 a2b2 ) tan(x) tan x 7 se obtiene:
Tan x Tan 4x 3x 7 7 7 Tan 4x Tan 3x 7 7 4x 3x 1 Tan Tan 7 7
2
B) a – b
2 2
cot A cot B cot B cot C cot A cot C 1
cos( – ) cot cot 1 sen sen
(a2 b2 )
(1 a b )
D) ab
Análisis de los datos o gráficos Si A + B + C = 180°
Operación del problema Aplicamos la propiedad:
(a b) (a b) (1 ab) (1 ab)
(1 a2b2) (a2 b2 )
C) a + b
cos(A – B) cos(B – C) cos(A – C) senA senB senB senC senA senC
E cot A cotB 1cotB cot C 1 cot A cot C 1 cotB+cotB cotC+cotA cotC 3 cotA
E) a/b
1
Conclusiones y respuesta: Resolución:
2
E=4
2
E a b
Ubicación de incógnita
Respuesta: B) 4
Simplificar:
2
Respuesta: B) a – b
E (1 a2b2 ) Tanx Tan x 7
Análisis de los datos o gráficos
Tan 4x a ; Tan 3x b 7 7
Problema 3 De la figura, calcular Tan .
Problema 2 En un triángulo acutángulo ABC. Cal-
E
4 2
cos(A – B) cos(B – C) cos(A – C) senA senB senB senC senA senC
UNI 2011-I
Aplicación de la fórmula, teorema o propiedad
45°
cule el valor de:
Operación del problema *
2
Tan(x) Tan 4x 3x 7 7 Tan 4x Tan 3x 7 7 4x 3x Tan 1 Tan 7 7
UNI SEMESTRAL 2013 - III
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
10
Nivel intermedio
E) 8 A) Resolución:
C)
Ubicación de incógnita Nos piden simplificar la expresión E: 27
UNI
E)
3 7 7 4 8 4
TRIGONOMETRÍA
B) D)
4 7 9 4
TEMA 7
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL ARCO COMPUESTO I: PARA DOS ARCOS
Exigimos más! Resolución: 6
Tan 2 1 6 3
4
Tan Tan( )
2
4
Tan Tan 1 TanTan
11 Tan 3 5 8 4 1 1 1 17 7 3 5
Tan 2 1 10 5
2
10
UNI SEMESTRAL 2013 - III
Respuesta: B) 4
7
28
TRIGONOMETRÍA
TEMA 7
TRIGONOMETRÍA
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL ARCO COMPUESTO II: PARA TRES ARCOS DESARROLLO DEL TEMA I.
SENO DE LA SUMA DE TRES ARCOS
Cos( ) CosCosCos CosSen Sen CosSen Sen CosSenSen
Sen( ) Sen Cos Cos Sen Cos Cos SenCos Cos Sen Sen Sen
Ejemplo 1: Cos12x = Cos(2x + 4x + 6x) Cos12x = Cos2xCos4xCos6x – Cos2xSen4xSen6x – Cos4xSen2xSen6x – Cos6xSen2xSen4x
Demostración: Sen( ) Sen[ ( )] Sen( ) Sen Cos( ) CosSen( )
Sen( ) Sen(CosCos SenSen) Cos(SenCos CosSen)
Ejemplo 2: Cos15° = Cos(3° + 5° + 7°) Cos15 = Cos3°Cos5°Cos7° – Cos3°Sen5°Sen7° – Cos5°Sen3°Sen7° – Cos7°Sen3°Sen5°
Sen( ) Sen CosCos SenSen Sen SenCosCos SenCosCos Sen( ) SenCosCos SenCosCos SenCosCos SenSen Sen
IV. TANGENTE DELA SUMA DE TRES ARCOS Tan( )
Ejemplo 1: Sen6x = Sen(x + 2x + 3x) Sen6x = SenxCos2xCos3x + Sen2xCosxCos3x + Sen3xCosxCos2x – SenxSen2xSen3x
Tan Tan Tan TanTanTan 1 TanTan TanTan TanTan
Demostración: Tan( ) Tan [ ( )] Tan( )
Ejemplo 2: Sen20° = Sen(2° + 8° + 10°) Sen20° = Sen2°Cos8°Cos10° + Sen8°Cos2°Cos10° + Sen10°Cos2°Cos8° – Sen2°Sen8°Sen10°
Tan Tan( ) 1 Tan Tan( )
Tan Tan 1 Tan Tan Tan( ) Tan Tan 1 Tan 1 Tan Tan Tan
III. COSENO DE LA SUMA DE TRES ARCOS
Tan Tan Tan Tan Tan Tan 1 TanTan Tan( ) 1 TanTan TanTan Tan Tan 1 TanTan
cos( ) cos cos cos cos sen sen cos sensen cos sen sen
Demostración: Cos( ) Cos[ ( )]
Tan( )
Cos( ) CosC os( ) SenSen( )
Cos( ) Cos(CosCos SenSen) Sen (SenCos CosSen)
Tan Tan Tan TanTanTan 1 TanTan TanTan TanTan
Ejemplo 1: Tan10x = Tan(2x + 3x + 5x)
Cos( ) CosCosCos CosSen Sen CosSenSen CosSenSen UNI SEMESTRAL 2013 - III
Tan10x Tan2x Tan3x Tan5x Tan2xTan3xTan5x 1 Tan2xTan3x Tan3xTan5x Tan2xTan5x 29
TRIGONOMETRÍA
TEMA 8
IDENTIDADES TRIGON OMETRICAS PARA EL ARCO COMP UESTO II: PARA TRES ARCOS
Exigimos más! Ejemplo 2: Tan12° = Tan(2° + 4° + 6°)
Tanx Tany Tanz TanxTanyTanz
Tan12 Tan2 Tan4 Tan6 Tan2 Tan4Tan6 1 Tan2 Tan4 Tan4Tan6 Tan2 Tan6
CotxCoty CotxCotz CotyCotz 1
Siendo:
IV. PROPIEDADES PARA TRES ÁNGULOS
x y z ó (2K 1) ; K Z 2 2
Estas propiedades se cumplen siempre que los tres ángulos estén relacionados bajo una condición:
Cotx Coty Cotz CotxCotyCotz
Siendo: x y z ó K, K Z
TanxTany TanxTanz TanyTanz 1
problemas resueltos
Problema 1
A) –1/ 4
Simplificar:
B) 1 cot( ) 1 tan cot( )
tan p
UNI 1981 Nivel fácil
A)
tan tan
B)
tan tan
C)
cot
Problema 3
0
Sean ; ; los ángulos internos de un
C) 1/4 D)
triángulo, tal que:
1/3
(tan )(tan )(tan ) 2006
E) 1/2 Entonces podemos afirmar que el valor de 1 tan tan tan es:
Resolución:
Se sabe que: 2
Cos ( ) Cos ( ) Cos 2 Sen2
Nivel difícil
A) 200 6 B) 2007
D) tan E)
UNI 2008 - I
2
Sen ( ) Sen ( ) Sen Sen
C) 2008
En el problema:
cot
D) 2009
Sen (x 45) Sen (x 45) p
Resolución: 1 cot( ) tan tan( ) p 1 tan tan( ) 1 tan cot( ) tan
E) 2010
2 Sen2 x 1 p .... (I) 2
Resolución:
Cos (x 60) Cos(x 60) q
Condición: 180
tan tan tan tan tan tan
2
p tan( ( )) tan Respuesta: D) tan
Cos 2 x 3 q .... (II) 2
Por dato: tan tan tan 2006
(I) + (II): Sen2 x Cos 2x 1 3 p q 2 4
Problema 2 Dadas las ecuaciones:
Entonces: tan tan tan 2006
Sen(x – 45°) Sen(x + 45°) = p Cos(x – 60°) Cos(x + 60°) = q
p q 1 5 p q 1 4 4 1 tan tan tan 2007
Calcule el valor de (p + q). UNI 2006 - II Nivel intermedio
UNI SEMESTRAL 2013 - III
Respuesta: A) –
30
1 4
Respuesta: B) 2007
TRIGONOMETRÍA
TEMA 8
TRIGONOMETRÍA
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL ARCO DOBLE DESARROLLO DEL TEMA III. TANGENTE DEL ARCO DOBLE
El objetivo es expresar las razones trigonométricas del arco doble (2x; 2y; 2x; ...) en términos de las razones del arco simple (x; y; z; ...) para lo cual partiremos de las identidades del arco compuesto.
Tan2x
2Tanx 1 Tan2x
Demostración:
I.
Tan2x
SENO DEL ARCO DOBLE
= Tan(x + x) 2Tanx Tanx Tanx 1 Tanx.Tanx 1 Tan2x
Sen2x 2Senx.Cosx Demostración:
Ejemplos:
S en 2x
= Sen(x + x)
Sen14° = 2Sen7°.Cos7°
= Senx.Cosx + Cosx.Senx
Sen6 = 2Sen3 .Sen3
= 2Senx.Cosx
2Sen17° . Cos17° = Sen34° Cos10° = Cos2 5° – Sen2 5°
II. COSENO DEL ARCO DOBLE
Cos2 3 – Sen23 = Cos6
Cos2x Cos2x Sen 2x
Tan6
Demostración:
Cos2x
2Tan3 1 3Tan2 3
2Tan5 Tan10 1 Tan25
= C os(x + x) = Cosx.Cosx – Senx.Senx = Cos2x – Sen2 x
IV. SENO DEL ARCO DOBLE EN FUNCIÓN DE LA TANGENTE DEL ARCO SIMPLE
Reemplazando Sen2 x = 1 – Cos 2 x Sen2x
Cos2x = Cos2 x – (1 – Cos 2 x) Demostración:
Cos2x 2Cos 2x 1
Sen2x
Reemplazando Cos2 x = 1 – Sen2 x = 2 (1 – S en2 x) – 1
=
2 – 2Sen2x – 1
2Senx.Secx Sec 2x
2Senx 2Tanx Cosx = = 2 1 Tan2x 1 Tan x
Cos2x 1 2Sen2x
UNI SEMESTRAL 2013 - III
= 2Senx.Cosx Sec 2 x = (2Senx.Cosx) Sec 2 x
Demostración:
Cos2x
2Tanx 1 Tan2x
31
TRIGONOMETRÍA
TEMA 9
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL ARCO DOBLE
Exigimos más!
V. COSENO DEL ARCO DOBLEEN FUNCIÓN DE LA TANGENTE DEL ARCO SIMPLE
= 2(1 – 2Cos2x + Cos 22x) = 2 – 4Cos2x + 2Cos 22x = 2 – 4Cos2x + 1 + Cos4x
2 Cos2x 1 Tan2x 1 Tan x
= 3 – 4Cos2x + Cos4x
Demostración:
Cos2x
= Cos2 x – Sen2 x
Ejemplos: 8Sen4 10° = 3 – 4Cos20° + Cos40°
2 = (Cos 2 x Sen2 x) Sec x Sec 2x
8Cos4 3x = 3 + 4Cos6x + Cos12x
Se n2x.Se c2x = 1 Sec 2x
VIII.IDENTIDADES AUXILIARES
1 Sen2x 1 Tan2x 2 Cos x = = 1 Tan2x 1 Tan2x Demostración:
VI. FORMAS CUADRÁTICAS DEL SENO Y COSENO
Cotx + Tanx
= Cosx Senx Senx Cosx
2Sen2x 1 Cos2x
= 2Cos 2x 1 Cos2x
Cos2 x Sen 2x Se nx Cosx
1 = Se nx Cosx
Demostración:
2 = 2Senx Cosx
2
De Cos2x = 1 – 2Sen x
2 = Sen2x
2Sen2x = 1 – Cos2x
De Cos2x = 2Cos2x – 1
= 2
2Cos2x = 1 + Cos2x
1 Sen2x
= 2Csc2 x Ejemplos: 2Sen2 10° = 1 – Cos20°
Sec2x 1 Tan2x Tanx
2Cos2 217° = 1 + Cos34° 1 – Cos6 = 2Sen2 3
Sec2x 1 Tan2x Tanx
1 + Cos8 = 2Cos2 4
VII. EXPRESIONES LINEALES DE:
Demostración:
8sen4x 8cos4x
Sec2x 1
1 1 Cos2x
=
1 Cos2x Cos2x
=
2Cos2 x Sen2x Cos2x Sen2x
8Sen4 x 3 4Cos2x Cos4x 8Cos 4x 3 4Cos2x Cos4x Demostración:
8Sen4 x = 2(2 Sen2x)2
Sen2x 2 Cos 2 x = Cos2x 2Senx Cosx
= 2(1 – Cos2x) UNI SEMESTRAL 2013 - III
32
TRIGONOMETRÍA
TEMA 9
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL ARCO DOBLE
Exigimos más! = Tan2x
1 Senx Cosx
Sen4x Cos 4x 3 Cos4x 4 Sen6x Cos 6x 5 3Cos4x 8
Tan2x = Tanx
Demostración:
Sen4 x + Cos4 x = 1 – 2Sen2x • Cos2x
1 Sen2x Senx Cosx
1 2 = 1 (2Senx Cosx) 2
1 Sen2x Senx Cosx
1 1 2 = 2 2 Sen 2x
Demostración:
1 Sen2x
=
Sen2x Cos 2x 2Senx Cosx
=
(Senx Cosx)2
1 1 2 = 2 4 (2Sen 2x) 1 1 = 2 4 (1 Cos 4x) =
= Senx Cosx
3 Cos4x 4
problemas resueltos
Problema 1
Para el círculo trigonométrico que se muestra en la figura, calcule: y Sen2. Nivel fácil
Sen2
Sen2
2005 - I
f(x) 4(Sen2 x 2)(Sen 2x 1)
2Tg 1 Tg2 2(2) 1 (2)
2
f(x) 4(Sen 4 x 3Sen2 x 2)
4 5
2 f(x) 4 Sen2x 3 1 2 4
Respuesta: A) - 4
x 0 Sen2 x 1
5
Construyendo f(x), obtenemos:
Problema 2
Calcule el rango de la función: f(x) 2(Cos2x 3)(2 Sen2x) , x IR
Nivel intermedio
2
2005 - II
2
A) 4 5
B) 3 5
C) 2 5
D) 1 5
E) 0
A) 7,23
B) 8,23
C) 8,24
D) 8,25
E) 7, 25
Del gráfico: Tg 2 UNI SEMESTRAL 2013 - III
Finalmente el rango es: 8;24 Respuesta: C) 8,24 Problema 3
Si: sen8 a + cos8 a es igual a la expresión: A + Bcos4a + Ccos8a
Resolución:
Resolución:
2 8 4 Sen2x 3 1 24 2 4
f(x) 2(Cos2x 3)( 2 Sen 2x)
para cualquier valor real de a. Halle A + B + C. 2007 - I
1 2Sen2 x
33
TRIGONOMETRÍA
TEMA 9
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL ARCO DOBLE
Exigimos más! A)
1 32
B)
1 16
C)
1 8
D)
1 4
E) 1 Resolución:
Como: 2sen2a = –csc2a + 1, Elevando al cuadrado: 3
Analo gamente: 27 .cos8a = cos8a + 8cos6a + 28cos4a + 56cos2a + 35 .. (ii)
Observación:
Una forma práctica de comprobar que la suma de coeficie ntes es igual a la
Sumando (i), (ii), se tiene: 27. (sen8a + cos8a) = 2cos8a + 56cos4a + 70
unidad, es asignar la variable un valor
Luego:
sen8a + cos8a = A + Bcos4a + c + cos8a
arbitrario en la identidad planteada.
sen8a cos8 a 1 .cos 8a 28 cos 4a 35 64 64 64 Por dato:
Para a = 0
sen8a + cos8 a = A + Bcos4a + C.cos8a
A B C 1
8 8 0 cos 0 A B cos 0 C. cos 0 sen
0
1
1
1
4
2 . sen a = cos4a – 4cos2a + 3 27sen8a = cos8a – 8cos6a + 28cos4a – 56cos2a+35 ...... (i)
UNI SEMESTRAL 2013 - III
A B C 1 28 35 1 64 64 64
34
Respuesta: E) 1
TRIGONOMETRÍA
TEMA 9
TRIGONOMETRÍA
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL ARCO MITAD DESARROLLO DEL TEMA DEFINICIÓN
II. IDENTIDADES AUXILIARES
El objeto de estas igualdades es expresar las razones x trigonométricas del ángulo mitad ; ;....; en términos 2 2 2 de las razones trigonométricas del ángulo simple ( ; ;....; x); estas igualdades son válidas para todos los valores admisibles de sus variables.
I.
Tan x Cscx Cotx 1 Cosx 2 Senx
Cot x Cscx Cotx 1 Cosx 2 Senx
III. DEMOSTRACIÓN DE LAS IDENTIDADES FUNDAMENTALES
IDENTIDADES FUNDAMENTALES
1 Cosx x 2
1 Cosx x 2
Sen x 2 Cos x 2
* Demostración de: Sen x 1 Cosx 2 2 Sabemos que: 2Sen2 1 Cos2; haciendo: x 2 Tendremos:
Tan x 2
1 Cosx x {(2n 1));n 1 Cosx
2Sen2 x 1 Cosx 2
Cot x 1 Cosx x {2n);n 2 1 Cosx
x Sen 2
Observación
Sen2 x 1 Cosx 2 2
1 Cosx 2
x 1 Cosx * Demostración de: Cos 2 2
La eliminación del valor absoluto depende del
Sabemos que: 2Cos2 1 Cos2 ; haciendo: x 2
x cuadrante en el cual se ubique el arco mitad ; 2
Tendremos:
sí por ejemplo:
x Si: IIC 2
Sen x será () 2
Si: x IIIC 2
Cos x será () 2
Si: x IVC 2
Tan x será () 2
UNI SEMESTRAL 2013 - III
2Cos2 x 1 Cosx 2 Cos
x 2
Cos 2 x 1 Cosx 2 2
1 Cosx 2
x 1 Cosx * Demostración de: Tan 1 Cosx 2 35
TRIGONOMETRÍA
TEMA 10
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL ARCO M ITAD
Exigimos más! Sabemos que:
2Sen x (Numerador y denominador), tendremos: 2 Sen x x 2 Tan 2 Cos x 2
x x x 2Sen 2Sen2 1 – Cosx x 2. 2 2 Tan x x x x 2 Senx Cos 2Sen 2Sen Cos 2 2 2 2 Sen
Reemplazando:
Senx
Tan x 1 – Cosx 2 Senx Senx
Sen x y Cos x 2 2 Tendremos:
Tan x Cscx – Cotx 2
1 Cosx x 2 Tan 2 1 Cosx
B. Cot
2 1 Cosx 1 Cosx
Tan x 2
x Cscx Cotx 2
Demostración de: Cot x Cscx Cotx 2
* Demostración de: Cot x 1 Cosx 1 Cosx 2
Sabemos que: Cot
Sabemos que:
2Cos Cos x x 2 Cot 2 Sen x 2
x 2 ; multiplicando por: x Sen 2 Cos
x 2
x (numerador y denominador), tendremos: 2 x
x
2
2
2 x
Cos 2Cos 2Cos x 2 2 2 1 Cosx Cot Senx 2 Sen x 2Cos x 2Sen x Cos x 2 2 Senx
Reemplazando: Cot
Sen x y Cos x 2 2 Tendremos:
Sabemos:
x 1 Cosx Cot 2 1 Cosx
IV. FÓRMULA RACIONALIZADA DEL ARCO MITAD x 2
•
Cscx Cotx Cot x ..... I 2
•
Cscx – Cotx Tan x ..... II 2
I II
2Cscx Cot x T an x 2 2
I – II
2Cotx Cot x – T an x 2 2
Cscx – Cotx
Demostración de: Tan x Cscx – Cotx 2
Ejercicios de aplicación: Csc40 Cot40 Cot20 Csc6 – Cot6 Tan3 Cot20 Tan20 2Csc40 Cot12 – Tan12 2Cot24
Sen x
2 ; multiplicando por: Sabemos que: Tan x 2 Cos x 2
UNI SEMESTRAL 2013 - III
Cosx Senx
V. IDENTIDADES AUXILIARES
2
Tan
1 Senx
Cot x Cscx Cotx 2
1 Cosx x 2 Cot 2 1 Cosx
A.
x 2
36
TRIGONOMETRÍA
TEMA 10
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL ARCO M ITAD
Exigimos más!
problemas resueltos
Problema 1
Simplificando y operando:
De la siguiente igualdad:
3
1 Sen10 6 ATan20 B 1 Cos20 6
pero Sen3x Sen( 3x) por reducción al primer cuadrante.
Sen(30 20) ATan20 B Cos20
(Sen30Cos20Cos30Sen20) ATan20B Cos20
B)
1 2
C)
3 2
D)
4 2
E)
4 3
1 1 Sen3x 3 4 3 3
A B
Transformando el primer miembro:
1 1 Sen30 Cos60 2 2 1 (3Sen104Sen310)Sen10 3 ATan20B 3 1 (4Cos3203Cos20)Cos20 3
4 Sen10 Sen310Sen10 3 ATan20B 4 3 Cos 20Cos20Cos20 3
4 operando 27
23 27
Respuesta: C) Respuesta: A)
3 -1 2
Problema 2
A)
2 3
C)
23 27
E)
23 3
23 27
Problema 3 Sabemos que Cosx = 0,125; entonces calcule:
2 Si: 3Cosx Senx , calcule Sen3x. 3
Utilizando la relación trigonométrica de triple:
Sen3x 1
Sen3x
3 1 2
1 Sen30 Sen10 3 ATan20B 1 Cos60 Cos20 3
Utilizando:
2
1 usando Sen x 3 3 3 1 B Identificando A y B A 2 2
Resolución:
3
Transformando:
3 1 2
3
Sen3x 3Sen x 4Sen3 x 3 3
Halle (A + B). A)
Sen3x Sen 3 x 3
k 3
B)
1 2
A)
5 8
D)
4 27
C)
3
E)
Sen3x(1 Cos3x) Sen2x Senx
5 8
B)
7
D)
5 37 8
5 3
Resolución:
Resolución:
De la condición dividimos a ambos miembros entre dos.
4 3 ATan20 B 4 3 Cos 20 3
Por identidades del arco triple y doble k 3
Senx(2Cos2x 1)(1 Cos3x) 2SenxCosx Senx
k 3
Senx 2(2Cos2 x 1) 1 (1 Cos3x ) Senx(2Cosx1)
Sen31 0 3
Simpificando:
Utilizando Cos2x = 2Cos2 x-1
Sen10 ATan20B Cos20 UNI SEMESTRAL 2013 - III
k 3
37
(4Cos2 x 1)(1 Cos3x ) 2Cosx 1
TRIGONOMETRÍA
TEMA 10
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL ARCO M ITAD
Exigimos más! Simplificando y operando: k 3
(2Cosx 1)(2Cosx 1)(1 Cos3x) 2Cosx 1
Pero:
Reemplazando en (1) los valores del
1 Cosx Cos3x 4Cos3x 3Cosx 8
Cosx y Cos3x tenemos:
3
Por diferencia de cuadrados:
1 1 Cos3x 4 3 8 8
k 3 (2Cosx 1)(1 Cos3x) ...(1)
UNI SEMESTRAL 2013 - III
47 Cos3x 128
38
1 47 5 175 3 53 x7 K3 2x 1 1 3 x 8 128 4 128 23x43 K
53 7 8 Respuesta: D)
TRIGONOMETRÍA
5 3 7 8
TEMA 10
TRIGONOMETRÍA
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL ARCO TRIPLE DESARROLLO DEL TEMA
I.
Sen3x 3Senx – 4Sen3 x
III. Tan3x
3Tanx – Tan3 x 1–3Tan2 x
Demostración:
Sen3x = Sen (2x + x) Sen3x = Sen2xCosx + Cos2xSenx
Demostración
Sabemos por arco doble:
Ta n A B C
Sabemos:
Sen2x 2SenxCosx ; Cos2x 1– 2Sen 2 x
TanA TanB TanC – TanATanBTanC 1– TanATanB TanATanC TanBTanC
Sea: Tan3x Tan x x x
Reemplazando:
Tan3x
2
Sen3x = (2Senx Cosx)Cosx + (1 – 2Sen x) Senx
Sen3x 2SenxCos2 x Senx – 2Sen 3 x
Tanx Tanx Tanx – TanxTanxTanx 1 – TanxTanx TanxTanx TanxTanx
Efectuando operaciones:
Sabemos: Cos2 x 1– Sen2 x Tan3x
Reemplazando:
3Tanx – Tan3 x 1–3Tan2 x
Sen3x = 2Senx (1 – 2Sen2 x)+ Senx – 2Sen3 x
En general: Sen3x 2Senx – 2Sen3 x Senx– 2Sen3 x
Sen3x 3Senx – 4Sen3 x
Sen3x 3Senx– 4Sen3 x
Sen3x Senx 2Cos2x 1 Sen3x 4SenxSen 60 – x Sen 60
Análogamente: Cos3x 4Cos3 x –3Cosx II.
x
Cos3x 4 Cos3 x –3Cosx
Cos3x Cosx 2Cos2x –1
Cos3x Demostración:
Cosx 2Cos2x –1
Cos3x 4CosxCos 60 – x Cos 60
Sabemos: Cos3x 4Cos3 x –3Cosx Cos3x Cosx 2x 2Cos2 x– 3
Tan3x
x
3Tanx – Tan 3 x 1–3Tan2 x
Tan3x TanxTan 60 – x Tan 60
2 Recordando: 1 Cos2x 2Cos x Doble
x
Nota:
Cos3x Cosx 2 1 Cos2x – 3 Cot3x CotxCot 60 – x Cot 60
Cos3x Cosx 2Cos2x – 1 UNI SEMESTRAL 2013 - III
39
TRIGONOMETRÍA
x TEMA 11
