Trigonometría
1 Ángulo trigonométrico DEFINICIÓN Es aquella figura que se genera por la rotación de un rayo alrededor de uno de sus extremos, que es un punto fijo llamado vértice, desde una posición inicial (lado inicial) hasta una posición final (lado final)
DEFINICIONES COMPLEMENTARIAS 1. Ángulo positivo
Es aquel que se obtiene cuando el rayo pasa de su posición inicial a su posición final en sentido antihorario. De esta manera la medida del ángulo trigonométrico será de valor positivo.
2. Ángulo negativo
Es aquel que se obtiene cuando el rayo pasa de su posición inicial a su posición final en sentido horario. De esta manera la medida del ángulo trigonométrico será de valor negativo. O
α
3. Ángulo nulo:
Es aquel que se obtiene cuando no hay rotación, de modo que sus lados inicial y final coincidan. La medida del ángulo nulo tiene un valor igual a 0°.
0°
101
TRIGONOMETRÍA
1
4.o año
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
4. Angulo de una vuelta:
Es aquel que se obtiene cuando la posición inicial, luego de una rotación del rayo, coincide por primera vez con la posición final.
O
Por definición el valor del ángulo trigonométrico es ilimitado, pues este depende de la magnitud de la rotación y a su vez estas pueden hacerse indefinidamente en cualquiera de los dos sentidos conocidos. “Para sumar o restar ángulos trigonométricos, se recomienda colocar todos los ángulos en sentido antihorario, cambiando la rotación para que todos estén orientados en el mismo sentido”
Trabajando en clase Integral 1. Completa en cada recuadro el sentido de rotación en que fue generado cada ángulo trigonométrico.
2. Asocia usando flechas: Ángulo positivo Ángulo negativo
3. Calcula “x” en función de los otros ángulos trigonométricos.
PUCP 4. Calcula “x”.
Resolución:
Del gráfico:
( 3x + 20° ) + ( 2x - 20° ) =
2x–20°
1
TRIGONOMETRÍA
102
90° 5x= 90° x= 18°
4.o año
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO 5. Calcula “x”. 5°–x
6. Calcula “q”.
3x+40° = 5x – 30° 70° = 2x x = 35°
9. Calcula “x” si OC es bisectriz
O 10. Calcula “y”
7. Calcula “x” en función de q, a y b.
ˆ 11. Señala el valor de “q” si AOB es agudo y “x” adopta su máximo valor entero posible. UNMSM 8. Calcula “x” si OC es bisectriz UNI
Resolución:
12. Calcula “x” en función de los otros ángulos trigonométricos mostrados.
Resolución:
Del gráfico:
( -α ) + ( β - x =)
90°
-α + β - 90° = x ∴ x = β α 90 ° 13. Calcula “x” en función de los otros ángulos trigonométricos mostrados.
14. Si la medida de “q” es máxima, calcula el complemento de: = α
(x
x
+ x 2x + x 3x
)°
103
TRIGONOMETRÍA
1
2 Sistemas de medición angular
, se cumple
se cumple
se cumple
Tener en cuenta: a°b ' c '' = a° + b '+ c '' x g y mzs =x g + y m + zs
CONVERSIÓN ENTRE SISTEMAS Si queremos convertir medidas angulares de un sistema a otro, se multiplica dicha medida por un factor de conversión, resultando la medida en el sistema deseado. Estos factores de conversión equivalen a 1 y resultan de las siguientes igualdades: 200g = prad 9° =10g 180° = prad
Trabajando en clase Integral
2. Simplifica la siguiente expresión:
1. Indica la cantidad de segundos centesimales que tiene “α” α =2g3m 4s
2
TRIGONOMETRÍA
L= 3. Efectúa:
104
3° 2 ' 2'
10°51’48’’ + 22°31’42’’
SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR
4.o año 9. Calcula el valor de:
PUCP
p rad + 32° 45 N= 40g
4. Calcula el valor de “x”
10. Si un ángulo mide (8x – 2)° y su suplemento mide 20xg, ¿cuál es el valor de “x”?
9
11. Calcula “x” en la igualdad:
Resolución:
x° ( 5x ) ' ° p = 6 rad ( 2x + 1) '
180° p = 20° rad. 9 prad
→ ( 7x + 6 ) °= 20° 7x = 14 x=2
UNI 12. Calcula:
5. Calcula el valor de “x”
(8x + 16)°
6. Si un alumno al copiar 30° escribió 30g, ¿qué error cometió en radianes? 7. Calcula M en el sistema centesimal. M =
p rad + 63° 5 UNMSM
3y - 2x 12
5yg
Resolución: 5y g .
9° 9y° = 2 10g
Luego: 9 ° - 3x= ° 180° 2 9y - 6x = 360 3y - 2x = 120
8. Calcula: 30g + 24° D= p rad 60
M Piden: =
3y - 2x 120 = = 10 12 12
13. Calcula: E=
Resolución: Convirtiendo los ángulos al sistema sexagesimal. 30g.
M=
3y - 2x 10
°
9° = 27° 10g
g
p 180° = 3° rad. 60 prad 27° + 24° 51° = = = 17 D 3° 3°
14. Calcula: a + c si se sabe que: b p rad = a°5b '5c '' 37
105
TRIGONOMETRÍA
2
3 Fórmula general de conversión DEFINICIÓN Es la relación existente entre los números que representan la medida de un ángulo en los tres sistemas conocidos. Si en el gráfico adjunto tenemos el ángulo “ θ ”.
Sus medidas son: S° (en el sistema sexagesimal) Cg (en el sistema centesimal) Rrad (en el sistema radial) La fórmula de conversión es: S C R = = 180 200 p En problemas de simplificación usar las siguientes fórmulas: S = 9k C = 10k pk R= 20 Además, se cumple: • Número de minutos sexagesimales = 60 S • Número de segundos sexagesimales = 3600 S • Número de minutos centesimales = 100 C • Número de segundos centesimales = 10 000 C Tener en cuenta: Para ángulos trigonométricos: C > S > R (para ángulos positivos) R > S > C (para ángulos negativos)
3
TRIGONOMETRÍA
106
FÓRMULA GENERAL DE CONVERSIÓN
4.o año
Trabajando en clase Integral
UNMSM
1. Siendo S y C lo convencional para un ángulo no nulos, simplifica: 3S - 2C N= C-S
8. Calcula el ángulo en el sistema centesimal que cumple con S + C = 57 Resolución: S + C = 57 9k + 10k = 57 19k = 57 k=3 C = 10k = 10(3) = 30 ∴ el ángulo es 30g
2. Siendo S, C y R lo convencional para un ángulo no nulo, simplifica: 2pS - pC + 40R L= (C - S) p 3. Señala la medida radial de un ángulo que verifica: C-S 4R = 2C - S 11p
Siendo S, C y R lo convencional.
P=
4. Si: S=m+3 C=m+5 Calcula el valor de “m”
9k m+3 = 10 k m + 5 9m + 45 = 10m + 30 15 = m
5. Calcula el valor de “M”, si se cumple: S = 2M C = 2M + 2 6. Siendo S y C lo convencional, calcula la medida de un ángulo en radianes, si se cumple: S = x5 + x + 3 C = x5 + x + 5 7. Determina para qué ángulo en el sistema sexagesimal se cumple que: 2
2
p2 ( C - S )( C + S ) 380R 2
UNI 2001 – I
12. Si S, C y R es lo convencional para un mismo ángulo, calcula R. S + C + R = 383,1416 Resolución: S + C + R = 383,1416 9k + 10k + pk = 383,1416 20 Multiplicamos todo x 20 180 + 200k + pk =20 (383.1416) Reemplazamos: π =3,1416 180k + 200k + 3,1416k = 20 ( 383,1416 ) 383,1416 k = 20 ( 383,1416 )
Resolución: 9k = m + 3 10k = m + 5 Dividiendo las ecuaciones:
2
10. Señala la medida radial de un ángulo: S.C.R = p 6 11. Reduce:
PUCP
9. Determine el ángulo en el sistema centesimal, que cumpla con: 3C – 2S = 48
2
C -S C -S + = 40 C-S C+S
107
k = 20 Piden: R = pk = 20p = p 20 20 13. Señala aquel ángulo (expresado en el sistema radial) que cumple: 2S – C + 20R = 11.1416 14. Si la suma de los números de minutos sexagesimales y centesimales, que contiene un ángulo, es igual a 1540, ¿cuál es la medida circular del ángulo? TRIGONOMETRÍA
3
4 Longitud de arco DEFINICIÓN Es una porción de circunferencia, limitado por dos radios o dos puntos de la misma.
Siendo: R: radio de la circunferencia θ : ángulo central en radianes L: longitud de arco De donde:
L = θ.R
θ=
L R
R=
L θ
Tener en cuenta: Advertencia Pre:
c
θ= L1.L 4 = L2.L3
4
TRIGONOMETRÍA
108
a-b c
4.o año
LONGITUD DE ARCO
Trabajando en clase Integral 1. En el siguiente sector circular, calcula la longi. tud del arco AB
5. Calcula L MN
6. Calcula L1 / L2
2. Calcula la longitud el arco AB 50g
3. Calcula el valor de “x”.
7. Calcula L1 + L2 . L3 L3
PUCP 4. Calcula L AB
UNMSM 8. Se tiene un sector circular de 8cm de radio y 8cm de longitud de arco. Si el ángulo central se duplica y el radio aumenta en 3cm, ¿cuál será la nueva longitud de arco? Resolución:
40g
Resolución:
40g.
prad p = rad 200g 5
L = θ.R L = θR L = 2.11cm θ = 22cm
2p .30m 5 L= 12pm L=
L = θR L = θ.8 θ=1
109
TRIGONOMETRÍA
4
4.o año 9. Se tiene un sector circular de 6 cm de radio y 12 cm de longitud de arco. Si el radio aumenta en 2 cm sin que el ángulo central cambie, ¿cuál será la nueva longitud de arco? 10. Calcula el valor de “L” si AB = 18cm
11. Calcula el valor de “x”.
LONGITUD DE ARCO
Dato: L1 + L2 = 12π p p x + ( x - 8 ) =12p 3 4 x x-8 + = 12 3 4 4x + 3x - 24 = 12 12 7x – 24 = 144 7x = 168 x = 24
13. La esfera “N” recorre los arcos L1 y L2. Calcula “x” si: L1 + L2 = 5p
12. La esfera “A” recorre los arcos L1 y L2. Calcula “x” si L1 + L2 = 12p
Resolución:
4
TRIGONOMETRÍA
L 14. Calcula: M = OB si O y O1 son centros. L BC
110
5 Área del sector circular DEFINICIÓN
S
L: longitud de arco q: número de radianes del ángulo central R: radio de la circunferencia S: superficie o área del sector circular S=
1 2 θR 2
1 S = L.R 2
1 L2 S= . 2 θ
Nota: El uso de una fórmula u otra dependerá de los datos que presentan los ejercicios, además para que el sector circular este definido se debe cumplir: 0 < q < 2p. Tener en cuenta: Advertencia pre:
S=
111
(a + b) c 2 TRIGONOMETRÍA
5
4.o año
ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR
Trabajando en clase Integral D
1. Si en un sector circular el ángulo central mide 18° y su radio mide 20 cm, ¿cuál es su área? 2. Si en un sector circular el arco mide 3 y el radio mide 10 cm, ¿cuál es su área?
7. Calcula el área de la figura sombreada.
3. Calcula el área del sector circular mostrado.
UNMSM
PUCP 4. Calcula el área de la región sombreada.
8. Se tiene un sector circular de área “S”. Si el ángulo central se triplica y el radio se duplica, ¿cuál es el área del sector circular que se genera? Resolución:
O α Resolución: prad p = 15°. rad 180° 12
S=
1 αm2 2
( )
2 2 1 p 1 p = S 6) 2 3 ( 2 12 2 12 36p 12p = S 24 24 24p = pcm2 S= 24
5. Calcula el área de la región sombreada.
O
= A
1 ( 3α )( 2m )2 2
1 = A 12 αm2 2 A = 12S 9. Se tiene un sector circular de área “S”. Si el ángulo central se duplica y el radio se triplica, ¿cuál es el área del nuevo sector circular que se genera? 10. Calcula:
6. Si AOD y COB son sectores circulares, calcula: S k= 1 S2
5
TRIGONOMETRÍA
112
4.o año
ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR 11. Calcula el área sombreada.
UNI 12. Calcula “x” si AOB y COD son sectores circulares.
1 62 S= . 2 θ 18 θ En el sector circular AOB S=
1 x2 4S = . 2 θ
144 =x2 x=12
4 .18 = x 2 θ 2θ
13. Si AOB y COD son sectores circulares, calcula “L”
Resolución:
14. Calcula el área de la región sombreada.
En el sector circular COD 1 L2 S= . 2 θ
113
TRIGONOMETRÍA
5
6
Razones trigonométricas de ángulos agudos I
OPERADORES TRIGONOMÉTRICOS Son aquellos símbolos matemáticos que se aplican a los ángulos. En este capítulo estudiaremos a seis de ellos. Operador Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante
Abreviatura Sen Cos Tan Cot Sec Csc
RAZÓN TRIGONOMÉTRICA La razón trigonométrica en un triángulo rectángulo, es el valor que se obtiene al comparar dos lados de dicho triángulo con respecto a uno de sus ángulos agudos.
Sea un triángulo ABC A
B
C
Donde: a y c son catetos b es hipotenusa a y b son los ángulos agudos 2 b= a 2 + c2 (Teorema de Pitágoras)
6
TRIGONOMETRÍA
Calculamos las seis razones trigonométricas respecto a “a”. Catetoopuesto a = = Senα Hipotenusa b Catetoadyacente c Cosα = = Hipotenusa b Catetoopuesto a Tanα = = Catetoadyacente c Catetoadyacente c = = Cotα Catetoopuesto a Hipotenusa b = Secα = Catetoadyacente c Hipotenusa b = = Cscα Catetoopuesto a
114
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS I
4.o año
Trabajando en clase Integral 1. Si en triángulo rectángulo se sabe que la hipotenusa es el triple de uno de los catetos, calcula la tangente del mayor ángulo agudo. 2. Si en un triángulo rectángulo los lados mayores miden 13 cm y 12 cm, calcula el coseno del mayor ángulo agudo.
7. Si se tiene un triángulo ABC, recto en A, reduce: = N a.SenB + c.CotC UNMSM 8. Si se tiene un triángulo ABC, recto en A, reduce: Q = a.CscB – c.TanC Resolución:
3. Si los catetos de un triángulo rectángulo son x – 1 y x + 1 y su hipotenusa es x + 3, calcula la tangente del menor ángulo agudo. PUCP 4. Calcula E = Cota – Tanq
Pitágoras: a2 = b2 + c2
Piden: = Q a.CscB - c.TanC a c = Q a. - c. b b
Resolución:
Q =
a 2 c2 b b
= Q
a 2 - c 2 b2 = = b b b
9. Si se tiene un triángulo ABC, recto en A, reduce:
Piden: Cota – Tanq 4+m m 3 3 4+ m - m 4 = 3 3
M = Sen2B + Sen2C + 1 10. Calcula “Cotq”.
5. Calcula: Cota – Cotq 11. Calcula “Tana” si ABCD es un cuadrado.
6. Si se tiene un triángulo rectángulo ABC ∧ = Q a.TanC - b.CosA B= 90° , reduce
115
TRIGONOMETRÍA
6
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS I
4.o año UNI 12. Calcula el valor de Cotq.
Resolviendo ambas ecuaciones: = m 2= ya 29 Piden: Cotθ=
5 5 = m 2
13. Calcula “Tana”
Resolución:
x 14. Calcula: Cota + 2Cosa (O: centro)
Pitágoras en ambos triángulos rectángulos: 2
33= m2 + a 2 2 a= m2 + 52
6
TRIGONOMETRÍA
116
7
Razones trigonométricas de ángulos agudos II
DEFINICIÓN Recuerda: CO CA Senα Cotα = = H CO H: Hipotensusa CA H Cos Sec = α = α CO: Cateto opuesto H CA CA: Cateto adyacente CO H Tanα Cscα = = CA CO
“Como las razones trigonométricas solo dependen de la medida del ángulo, si conocemos el valor de una de ellas, las restantes pueden calcularse construyendo un triángulo rectángulo.
Trabajando en clase Integral
1. Calcula “Tan a ”, si Senα = 5 (a es agudo). 13
Por Pitágoras:
2 2 292 m + 21 = m =20 Piden:
2. Si Cotq = 0,3333…. y q es agudo, calcula: = M 10 ( Senθ + Cosθ )
Tan ( θ + α ) 3. Calcula: M = Cot ( β + θ )
E = Secx + Tanx = E
29 21 + 20 20
50 20 5 ∴E = 2 E=
5. Si Cscθ = PUCP
4. Si “x” es un ángulo agudo, para el cual se cumple Cscx = 29 , calcula el valor de: E = Secx + Tanx 21 Resolución:
Cscx =
29 ← H 21 ← CO
17 y q es agudo, calcula: 15
= N 15Cotθ + 17Cosθ 6. Si en un triángulo rectángulo el seno de uno de sus ángulos agudos es 0,28 y el perímetro del triángulo es 168 m. Calcula la longitud del cateto mayor. 7. Si el perímetro de un triángulo rectángulo es 210m y la tangente de uno de sus ángulos agudos es 2,4, calcula el cateto menor.
117
TRIGONOMETRÍA
7
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS II
4.o año UNMSM
UNI
8. Calcula “SenA” si en un triángulo rectángulo ABC, recto en C, se cumple: 2SenA = 3SenB Resolución:
12. Si ABCD es un cuadrado, calcula Cotq si se sabe que Cota =2,4
Dato: 2SenA = 3SenB a b 2. = 3. c c
Resolución: = 2.4 = Cotα
a 3 a = 3k = ⇒ b 2 b = 2k
24 12 ← CA = 10 5 ← CO
Por Pitágoras:
Pide : 8 1 ∴ Cotθ =8 Cotθ =
3k 3 = Piden: SenA = 13 13 k
= E 13CosA + 3CotB, si en un triángulo 9. Calcula: ABC, recto en C, se cumple: SecA 2 = SecB 3
13. Si ABCD es un cuadrado, calcula Cota si se sabe que Tanb = 8 15
10. Calcula: Tanq.
11. Calcula el perímetro de un triángulo ABC, recto en A, si se cumple que TanB = 0,75, además: a–b=6m
7
TRIGONOMETRÍA
14. Calcula “Seca”, siendo “a” el mayor de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo cuyos lados son a – b, a + b y a 2 + b2
118
8 Repaso Trabajando en clase 1. Calcula el valor de “x”
a) 3 d) 10
b) 8 e) 12
c) 9
7. Calcula el área de la región sombreada. 6 cm a) a + q b) a – q e) 2a – q d) –a – q 2. Reduce:
3g3m 3m b) 71 e) 101
c) q – a
a) p cm2 d) 4p
L=
a) 61 d) 91
c) 81
b) 2p e) 5p
c) 3p
P Cotα - Tanθ 8. Calcula: =
3. Efectúa:
10°55' 40 ''+ 8°35'30 '' a) 19°31’10’’ b) 18°25’10’’ c) 18°21’20’’ d) 19°21’20’’ e) 18°31’10’’
4. Simplifica:
a) 5 d) 8
p rad + 36° Q= 2 20g b) 6 e) 9
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
P Tanθ + Cotθ 9. Calcula: = c) 7
2
ab
5. Siendo S y C lo convencional, reduce: R= a) 3 d) 4
C+S C+S + + 17 C-S C-S b) 5 e) 6
a) 5 d) 2
c) 7
b) 4 e) 1
c) 3
b) 6 e) 9
c) 7
10. Calcula “Cotq”
6. Calcula: L AB
O
a) 5 d) 8
119
TRIGONOMETRÍA
8
4.o año
REPASO
11. En un triángulo rectángulo, el área y el perímetro son iguales numéricamente. Si el coseno de uno de los ángulos agudos es 0,8, calcula la longitud del lado mayor. a) 5 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10
12. Calcula: Tanf si Tanα = A
5 (AOC es un sector circular) 12
φ
C
O a) 0,5 d) 2
B b) 1 e) 2,5
Claves 1.
b
7.
b
2.
e
8.
c
3.
a
9.
b
4.
c
10.
d
5.
b
11.
e
6.
e
12.
c
Bibliografía 1. 2. 3. 4. 5. 6.
8
Alva Cabrera, Ruben: Trigonometría teoría y práctica. Editorial: San Marcos Ayres, Frank: Trigonometría plana y esférica. Editorial: McGraw.Hill Hall, H.S.;Knight, S.R.:Trigonometría elemental. Editorial: Uteha Hobson, E.W.: Plane and advanced trigonometry. Cambridge University Press. Ribnikov, K.: Historia de las matemáticas. Editorial: Mir. Moscú Trigonometría 5.°Pre. Racso Editores.
TRIGONOMETRÍA
120
c) 1,5
Trigonometría
1
Razones trigonométricas de ángulos notables
Los triángulos rectángulos de ángulos notables o simplemente triángulos rectángulos notables, son aquellos en los cuales conociendo las medidas de sus ángulos agudos se puede saber en qué proporción se encuentran sus lados. Destacan:
k
45º
k 2 k
a
60º
2a
3n
53º
30º
45º
5n
4n
a 3
37º
A partir de estos triángulos, se calculan las razones trigonométricas de sus correspondientes ángulos:
4.°
año
45º < > p 4
30º < > p 6
60º < > p 3
Sen
1 2
1 2
Cos
1 2
3 2 1 2
37º
53º
3 5
4 5
4 5
3 5
3
3 4
4 3
Tan
1
3 2 1 3
Cot
1
3
1 3
4 3
3 4
Sec
2
2 3
2
5 4
5 3
Csc
2
2
2 3
5 3
5 4
101
TRIGONOMETRÍA
1
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES
Trabajando en clase Integral
7. Si Tanα = Sen30º + Cot45º Calcula: E = 13 Sen α - Tan(90º - α)
1. Calcula: M = Tan45º + 2Cos60º - 8Csc53º 2. Calcula: E=
UNMSM 8. Calcula Cotα
(Sec45º)Sec60º + (Cot30º)Sec60º 4Tan37º
A
3. Halla el valor de «α» sabiendo que es un ángulo agudo. Tan(α + 5º) = 2Sen30º+Sec245º
60º
B
PUCP 4. Calcula Tanα
C
α
A
2
Resolución:
C
135º
A
α
5 15
Tanα = 5 = 1 15 3
5. Obtén el valor de Tanx.
120º 6
6. Calcula 8Tanθ
M
1
2m
α 3m
B
TRIGONOMETRÍA
Cotα = 3m = 3 2m 2
9. Calcula TanΨ (BC = 2PC)
R
A
10 A
r=2m
Sea r = 2m Del triángulo MBO.
B
53º
O
O
Q 10
r
B
3
E
P
3
E
Del triángulo ACE C
r=2m
30º 30º M α
60º
5
A
m
m
10
45º B 5
3
m
α
A
Resolución:
B
5 2
5 2
135º 10
O
M α
14
θ
O
120º P C ΨB
C
102
4.°
año
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES 10. Calcula Cot θ
A 8
10
D
2 60º
θ
B
YY YY YY YY
C
11. Calcula: E = Cot θ - Cot a
C
37º
θ
α
O
Piden: Senx . Cscy 3 2k n ⋅ 5k n
B
D
T razamos MH Trazamos ME Sea: AM = 5 2 k Sea: BM = n
3 2 5
13. Halla el valor de: Cscα ⋅ Senθ.
UNI
αθ
12. Halla Senx Cscy x y
60º
53º 45º
37º
Resolución:
B
14. Calcula Tanα
x y
4.°
año
5 2k
2k
A
4 37º
3
2k
A
n
E
M
5k
H 45º
5 2k
127º
5k
O
C
α D
103
C
B
TRIGONOMETRÍA
1
2
Propiedades de las razones trigonométricas
Tomando un triángulo ABC recto en C como referencia:
II. Razones complementarias (co – razones)
B c A
x
C
I. Razones recíprocas (inversas)
solo si sus ángulos suman 90º, por ejemplo:
a
b
Son aquellas parejas de razones trigonométricas cuyos valores son inversos, por ejemplo: Senα = a ∧ Cscα = c c a ⇒ Senα . Cscα = a ⋅ c = 1 c a
En conclusión: Senα . Cscα = 1 Cosα . Secα = 1 Tanα . Cotα = 1
Se caracterizan por tener igual valor numérico SenA = a ∧ Cos B = a c c
⇒ SenA = Cos B
En conclusión: SenA = CosB TanA = CotB SecA = CscB
También se puede afirmar:
Ángulos iguales
A + B = 90º
R.T. (θ) = Co – R.T. (90º - θ)
Trabajando en clase
1. Calcula «x» si:
Cos(3x – 12º) . Sec(x + 36º) = 1
Resolución: Tanx . Tan72º = 1 Tanx . Cot18º = 1
⇒ x = 18º
2. Calcula «y» si:
Sen(y + 10º) = Cos(y + 20º)
Piden: Sen(x + 12º) = Sen30º = 1 2
5. Halla Cos(x + 35º), si: Tan2x . Tan40º = 1
3. Calcula Cos3x, si:
Integral
Tan(5x) . Cot(x + 40º) = 1 6. Halla Tan3x, si: Sen(2x + 30º) = Cos(80º - 3x) PUCP
4. Halla Sen(x + 12º), si:
Tanx . Tan72º = 1
2
TRIGONOMETRÍA
7. Calcula: Sen10 2Tan 20º 3Sec40º E = Cos80 + Cot70º - Csc50º
104
4.°
año
PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS UNMSM
8. Calcula: E = (2Sen70º + Cos20º)(Sec20º + Csc70º) Resolución: E = (2Sen70º + Cos20º)(Sec20º + Csc70º) E = (2Sen70º + Sen70º)(Csc70º + Csc70º) E = (3Sen70º)(2Csc70º) E = 6Sen70ºCsc70º E=6 (1) E=6
10. Si se cumple: Tan Cot θ
⋅ Cot [Tan(2θ)] = 1
2 Tan(θ + 1º) Calcula: K = - Tan(q + 9º) 2
14. Si α y β son complementarios y se verifica: Sen(α + p ⋅ Sen(a ⋅ b)) = Cos(β – pCos(a ⋅ b))
UNI 12. Si α y β son complementarios y además 16Senα = Secβ, calcula el valor de E = Cscα - 15 Cotβ
año
E=3
13. Si α y q son complementarios y además 9Cosα = Cscθ, calcula el valor de: Q = Secα + Cot2θ
11. Si: Sen2x . Cos(37º + x) = Sen(53º - x) . Cos3x Calcula: N = Tan2(3x + 6º) + Cot2(2x + 9º)
4.°
9. Calcula: (4Sen26º + 3Cos64º)(Csc26º + 2Sec64º)
Resolución: α + β = 90º (dato) 16Senα = Secβ 16Senα = Cscα … multiplicando x Senα 16Sen2α = Cscα ⋅ Senα 16Sen2α = 1 Sen2α = 1 4 16 1 Senα = 1 a 4 15 Piden E = Cscα - 15 Cotβ E = Cscα - 15 Tanα E = 4 - 15 ⋅ 1 1 15
105
Calcula: E = 1 + 1 α b
TRIGONOMETRÍA
2
3
Resolución de triángulos rectángulos I
Es el procedimiento mediante el cual se determinan los lados desconocidos de un triángulo rectángulo, en función de un lado conocido y de un ángulo agudo de dicho triángulo.
Caso 1
Caso 2
m
Caso 3
mSecα
mSenα
a mCosα
a
mCscα
mTanα
m
a
m
mCotα
Regla general: Lado incógnita = R.T. (θ) Lado dato Lado incógnita = (Lado dato) × RT (q)
Trabajando en clase Integral 1. Halla «x» en función de los datos dados.
3. Halla el área del triángulo mostrado en función de los datos mostrados. m
q
m
a
x PUCP
2. Halla «x» en función de los datos dados.
4. Obtén el perímetro del triángulo mostrado. C ψ
x a
3
TRIGONOMETRÍA
a A
a
106
B 4.°
año
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS I
Resolución: AB Tanψ → AB = a ⋅Tanψ a =
AC Secψ → AC = a ⋅Secψ a =
Piden: BC + AB + AC = a + a Tanψ + aSecψ = a(1 + Tanψ + Secψ)
Resolución: B BC = Senα m BC = m⋅Senα
a
A
m
C D
B
5. Obtén el perímetro del triángulo mostrado.
m
Se
nα
q
b
x = Cosq mSena
x
x = mSena⋅Cosq
C
q 9. Halla «x». 6. Halla «x» en función de los datos dados.
B
x
x
a
A
m
D
b
Ψ
n
C
10. Halla «x». 7. Determina «x».
x x
α
b θ m
11. En el rombo mostrado, calcula «x» en función de los datos dados (ABCD: rombo)
UNMSM
B
8. Halla «x». B
D
q
a A
4.°
año
a
m
L
q
C
x
x
C
A
107
D
TRIGONOMETRÍA
3
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULO I UNI
13. Calcula «x».
12. En la figura, calcula «x» si D es punto medio de AC.
B
B x A
a D
A
3
C
AD = Cota a AD = aCota
D B
b 2aCota
TRIGONOMETRÍA
C
14. Calcula:
Cota + Cotq 1 + Csca
(0 y O1 son centros) q
x
q
D
E=
a A
b
P a
a
x
P
a
Resolución:
A
P
b
C
x = Senb 2aCota x = 2aCotα ⋅ Senb
O
108
2a
O1
4.°
año
4
Resolución de triángulos rectángulos II
Fórmula: Lado incógnita = R.T. (q) Lado dato
q
a
Área de una región triangular
S = ab Senq S : área 2
b
S
Si en un triángulo se conoce la longitud de dos lados y la medida del ángulo que forman dichos lados, se puede calcular el área de la región triangular.
Trabajando en clase Integral
PUCP
1. Halla el área sombreada.
4
4. Calcula «x» en función de los datos dados.
30º
B
5
C
E
S L q
2. Calcula el área de la región triangular mostrada. A
x
D
5
6
37º
Resolución: E
B
q
3. Calcula el área de la figura sombreada. L
2
L q
3 a 2 4.°
año
C
5
109
A
x
D
TRIGONOMETRÍA
4
RESOLUCIÓNDE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS II B L
UNMSM
E
8. Halla «x» en función de los datos dados. B
BE = Tanq L
q
BE = L⋅Tanq
x
A
E
C
q
b
a
EC = Cotq L
L
A
C
a
Resolución:
EC = L⋅Cotq
B
D
x
x = BE + EC
x = LTanq + LCotq
x = L(Tanq + Cotq)
b
a
D a
A
5. Halla «x»
C
B
B
C
E
a
A
AD = x ⋅ Cota
a
m
x
AD = Cota x
x D
A B
D
DC = Cotb x
x 6. Halla «x» en función de los datos dados.
b
a a
x
D
b
DC = x ⋅ Cotb C
AD + DC = a x ⋅ Cotα + x ⋅ Cotβ = a x(Cotα + Cotβ) = a
ψ
7. Calcula «x» en función de a y L.
x=
a Cotα+ Cotβ
9. Halla «x» en función de los datos dados. x
q x f m
a L
4
TRIGONOMETRÍA
110
4.°
año
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS II 10. Calcula «x» en términos de r y θ.
E
x
A
r
q
q
D
a
O
C
11. Calcula «x».
FD = Cosθ b FD = b ⋅ Cosq
30º
30º
b
1
F
2
x
UNI 12. De la figura, determina «x» en términos de a, b y q.
q D
EF + FD = ED
x + bCosq = aSenq
x = aSenq - bCosq
13. Calcula «x». n
x
m b
q
q x
a
ED = Senθ a ED = a ⋅ Senq
14. Calcula: Sen3a Sena
Resolución: B
x
aaa C
E q A
4.°
año
x a
F
q
b
D
111
TRIGONOMETRÍA
4
5 Ángulos verticales Definición
Son aquellos ángulos formados en el plano vertical con dos líneas imaginarias llamadas visual (línea de mira) y horizontal, si la visual se encuentra sobre la horizontal el ángulo recibe el nombre de elevación, de lo contrario recibe el nombre de depresión. Elevación Depresión Horizontal
Visual
q
a
Horizontal
Visual
Nota: Se conoce como ángulo de observación al ángulo formado por dos visuales.
b β → ángulo de observación
5
TRIGONOMETRÍA
112
4.°
año
ÁNGULOS VERTICALES
Trabajando en clase Integral
UNMSM
1. Desde la parte superior de un acantilado de 80 m de altura se observa una lancha con un ángulo de depresión de 30º. ¿A qué distancia del pie del acantilado se encuentra la lancha?
8. Un nadador se dirige hacia un faro y la observa con un ángulo de elevación de 30º, al avanzar 110 m el ángulo de elevación se duplica. Halla la longitud del faro. Resolución:
2. Desde un punto del suelo se observa la parte superior de un poste con un ángulo de elevación de 37º. Si la altura del poste es 12m, calcula a qué distancia de la base del poste se ubica el punto. 3. Una persona de 2 m de altura observa la parte superior de un poste con un ángulo de elevación de 45º. Si la longitud del poste es de 20 m, calcula a que distancia de la base del poste se ubica. PCUP 4. Desde un punto en el suelo se observa la parte más alta de un árbol con un ángulo de elevación de 30º. Calcula la longitud de la línea visual, si se sabe que la longitud del árbol es de 4 m. Resolución:
x
4m
30º
//=//=//=//=//=//=//=//=//=//=
Por triángulo notable: x = 8 m
5. Desde un punto en el suelo se observa la parte más alta de un poste con un ángulo de elevación de 53º. Calcula la longitud de la línea visual, si se sabe que la longitud del poste es de 12 m. 6. Desde la parte superior de un muro de 2 m se observa la base de un árbol con un ángulo de depresión de 30º y la parte más alta de dicho árbol con un ángulo de elevación de 60º. Hallar la longitud del árbol.
año
30º
0m 11
60º 30º ///////////////////////////////////////////////////// 110 m
Por triángulo notable: x = 55 3
9. El ángulo de elevación de la parte superior de una torre es de 30º, si nos acercamos 400 m, se tiene que el ángulo de elevación se ha duplicado. Halla la longitud de la torre. 10. Desde un punto en tierra se observa lo alto del tercer piso de un edificio con un ángulo de elevación a y la parte baja del quinto piso con un ángulo de elevación b. Halla: Q = Tanb Tana 11. Desde lo alto de un fato ubicado en la playa, se observan 2 botes anclados en el mar y alineados con el faro, con ángulos de depresión de 37º y 53º respectivamente. Halla la distancia que separa dichos botes, sabiendo que la longitud del faro es de 36 m. UNI 12. Desde lo alto de un dificio se ve un punto en tierra con un ángulo de depresión a y a otro punto ubicado a la mitad entre el primer punto y el edificio con un ángulo de depresión 90º - a. Calcula el valor de Tana. Resolución: horizontal ___ ___ ___ a ___ ___ ___ a 90º-a ___ ___ ___ ___ vis ___ ___ ua ___ a ___ l ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ a
l
4.°
x
ua vis
7. Carlitos observa una torre con un ángulo de elevación de 45º, camina 8 m hacia la torre; ahora la observa con un ángulo de elevación a, si la longitud de la torre es 32 m, halla la medida de a.
º
30
//=//=//=//=//=//=//=//=//=//=//=//=//=//
m
113
m
TRIGONOMETRÍA
5
ÁNGULOS VERTICALES m ... (I) a a Tana = ... (II) 2m Multiplicando las ecuaciones: m a Tana ⋅ Tana = a ⋅ 2m Tana =
Tan a = 1 2 Tana = 1 2 2
5
TRIGONOMETRÍA
13. Un observador se encuentra a 20 m de un edificio y observa su parte superior con un ángulo de elevación a y si se aleja 10 m el ángulo de elevación es el complemento de a. Calcula el valor de Tana. 14. Desde un punto en el suelo se divisa lo alto de un poste con un ángulo de elevación a, se acerca una distancia igual al triple de la longitud del poste y el ángulo de elevación es 90º - a. Calcula: E = Tan2a + Cot2a.
114
4.°
año
6 Ángulo en posición normal Llamado también canónico o estándar, es aquel ángulo trigonométrico cuyo vértice coincide con el origen del sistema de coordenadas rectangulares y su lado inicial coincide con el semieje positivo de abscisas (Eje X). y
Definimos
a O
x
Sena =
Ordenada = Radio vector
y0 r
Cosa =
Abscisa = Radio vector
x0 r
Tana =
Ordenada = Abscisa
y0 x0
Csca = Radio vector = Ordenada
r y0
Radio vector = Abscisa
r x0
Seca =
Abscisa = Ordenada
Cota =
x0 y0
a: Ángulo en posición normal positivo del IIC y
Nota: Llamamos ángulos coterminales a aquellos ángulos en posición normal que tienen el mismo lado final.
O x
q
Propiedades:
i) a - q = 360ºk; k ∈ Ζ ii) RT(a) = RT(q)
q: Ángulo en posición normal negativo del IIIC
y
Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal y
Xo : Abscisa del punto Yo : Ordenada del punto r: Radio vector Y0 Por Pitágoras:
a
4.°
año
q
r
r2 = Xo2 + Yo2 r>0
x
P(Xo;Yo)
O
a x0
X
115
TRIGONOMETRÍA
6
ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
Trabajando en clase 5. Calcula: N = 29 Senf + 2Tanf
Integral 1. Se tiene un ángulo en posición normal q cuyo lado final pasa por el punto P(–1; 5). Calcula el valor de Tanq. 2. Halla el valor de Senb. b
y (-2; 5) f
y
x x
(-2;-1) 6. Si Tana = 3. Calcula el valor de «a». y
3. El punto P(–1; 3) pertenece al lado final de un ángulo canónico a. Calcular: R = 10 Seca - Tana
a
PUCP
x
(a-1;4a-1)
4. Calcular: Q = 13 Cosq + 2 ⋅ Tanq y
7. Calcula L = Csc53º – Cota
(-2; 3)
y
37
x
º
q
a
Resolución: x0 = -2 y0 = 3 r2 = (-2)2 + (3)2 r2 = 13 r = 13
Piden: Q = 13 Cosq + 2Tanq
Q=
13
x UNMSM 8. Calcula M = Csca + Cosb (-12; 5) a
-2
+2 3 -2 13
b
TRIGONOMETRÍA
x
(-3; -4)
Q = -2 + -3 Q = -5
6
y
116
4.°
año
ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
Resolución:
x0 = -12 Para a y = 5 0 r = 13
Piden: M = Csca + Cosb
UNI x0 = -3 Para b y = -4 0 r = 5
12. Calcula Tanq. y
q
M = 13 + –3 5 5 M = 10 5
(-3; a)
(a;-12)
M=2
9. Calcula M = 5Cosq – Cosb
y
(-24; 7)
q x
b (-4; -3)
Resolución: a -12 Tanq = ∧ Tanq = -3 a a -12 ⇒ = -3 a
a2 = 36 a = -6 (Por la ubicación de los puntos en el plano cartesiano)
Reemplazando: Tanq =
13. Calcula Tanq.
10. Calcula: 3Cosa 2Tana P = 4Sena + Cosq Tana Senq y
q
(4; m)
11. Calcula N = (2Senb + Sena) Cscb y
14. Siendo «G» baricentro del triángulo ABC. Calcula R = Tana + Cota Seca + Csca y B(-6; 9) G
b
año
x
(-m; -9)
x
q
a
a -6 = =2 -3 -3
y
a
4.°
x
C(0; 5)
A(-9; 1)
x
a
117
x
TRIGONOMETRÍA
6
7
Ángulos cuadrantales y tabla de signos de las razones trigonométricas
Ángulo cuadrantal
Es aquel ángulo canónico cuyo lado final coincide con algunos de los semiejes cartesianos. Su medida es múltiplo de 90º y no pertenece a cuadrante alguno. Ejemplo:
Signos de las RT en cada cuadrante Regla práctica: Son positivas y
y IIC 180º 270º
IC
-90º
x
IIIC Tan ∧ Cot
x IVC Cos ∧ Sec
IVC
En el siguiente cuadro sintetizamos los valores de las R.T. de los ángulos cuadrantales.
0º 0 1 0 N.D. 1 N.D.
IC Todas
90º
IIIC
R.T. Sen Cos Tan Cot Sec Csc
IIC Sen ∧ Csc
p/2 90º 1 0 N.D. 0 N.D. 1
p 180º 0 -1 0 N.D. -1 N.D.
3p/2 270º -1 0 N.D. 0 N.D. -1
Para recordar
2p 360º 0 1 0 N.D. 1 N.D.
R.T.
IC
IIC
Sen
+
Cos
+
+ -
Tan
+
-
+
Cot
+
-
Sec
+
-
+ -
+
-
Csc
+
IIIC -
IV -
-
+ + -
Trabajando en clase 1. Calcula:
Integral
3. Indica el signo de:
2Sen p - Cosp 2 E= 3p Cot + Sec2p 2
E=
PUCP
2. Indica en qué cuadrante se ubica «a» si Cosa > 0 y Tana < 0.
7
TRIGONOMETRÍA
Cos110º + Tan322º Csc125º
4. Halla el valor de: G = (3Sen90º - Cos180º)2 + (Sen270º + Cos360º)2
118
4.°
año
ÁNGULOS CUADRANTALES Y TABLA DE SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÁTRICAS
Resolución: G = (3Sen90º - Cos180º)2 + (Sen270º + Cos360º)2 G = (3(1) - (-1))2 + ((-1) + (1))2 G = (4)2 + (0)2 G = 16
5. Calcula: H = (2Sen180º - Sen90º)2 + (3Cos180º - Cos90º)2
9. Si Senq = –3 ; q ∈ IVC 5
10. Si Senb = –2 ; b ∈ IIIC 3
6. Calcula el valor de: 2Cos2p - Csc 3p + Tanp 2 F= p Cot + Secp + Sen 3p 2 2 7.
Determina el signo de A, B y C. Si: α ∈ IIC , β ∈ IIIC y θ ∈ IVC Además: A = Cscα ⋅ Tanθ ⋅ Cosβ B = Cotα ⋅ Cscβ ⋅ Secθ C = Cosθ ⋅ Cotβ ⋅ Senα
Si Secα = -6 ∧ ∈ IIC Calcula: E = 35 Cotα + Cosα Resolución: Seca = + 6 ← r - 1 → x0 r2 = x02 + y02 62 = (-1)2 + y02 y0 = 35 (positivo porque el ángulo se ubica en el IIC) Piden: E = 35 Cota + Cosa
x E = 35 x0 + 0 r y0
E = 35
4.°
año
-1 + –1 = –7 6 6 35
Calcula: D = 5 Cotβ - Cscβ
11. Indica en qué cuadrante se ubica «a», si Sena > 0 y Seca < 0. UNI 2 5 12. Reduce: L = m Sen 90º - n Cos 360º mSen90º + nCos0º 2
3
Resolución: L= L=
UNMSM 8.
Calcula: E = Secθ – Tanθ
m2Sen390º - n2Cos5360º mSen90º + nCos0º m2(1)3 - n2(1)5 m(1) + n(1)
2 2 L= m -n m+n
L=
(m + n)(m -n) =m-n (m + n)
13. Reduce: m3 Sen90º - n3Cos360º m Cos0º - mnSen270º + n2 Cos4 180º 2
14. Si 8Tanq = (Sec45º)2Tanq – 3 y θ ∈ IVC. Calcula el valor de: Q = Secq – Tanq
119
TRIGONOMETRÍA
7
8 Repaso 1. Calcula el valor de:
6. Obtén «x» en función de m y θ.
L = 2Tan 60º - 3Sec 45º + 25Sen 53º 2
2
a) 1
c) 4
b) 2
d) 9
2
a) m(Senθ + Cosθ) b) mTanθ c) mSecθ ⋅ Cscθ d) m(Cosθ – Senθ) e) mSenθ ⋅ Cosθ
e) 16
2. Si Senq = Tan37º (q: agudo)
x m θ
Calcula: 7 (Secq + Tanq) a) 7 b) 6
c) 5 d) 4
e) 3
3. Halla el valor de a + q, si: Senα ⋅ Csc(2α – 15º) = 1 ∧ Tanθ = Cot(2θ – 30º) a) 15º b) 25º
c) 35º d) 45º
7. Desde un punto en el suelo se observa la parte más alta de un árbol con un ángulo de elevación de 37º, si avanzamos 3 m el nuevo ángulo de elevación es 45º. Halla la longitud de dicho árbol. a) 9 m b) 7 m
e) 55º
c) 5 m d) 3 m
e) 1 m
8. Calcula: E = 5Senθ + 13Cosα
4. Halla «x» en función de los datos mostrados. y θ
α
α
θ
m
(-5;-12)
a) mSenα ⋅ Tanθ b) mSenα ⋅ Cotθ c) mCosα ⋅ Tanθ
a) -4 c) -8 e) -12 b) -6 d) -10 3
a) 5 u2
9. Indica el valor de:
b) 7 u
2
c) 9 u2
4
d) 11 u2
30º
8
REPASO
(4; -3)
d) mCosα ⋅ Cotθ e) mSecα ⋅ Cscθ
5. Halla el área sombreada.
e) 13 u2
x
x
3
N = 3Tan0º - 2Csc90º + 4Cos180º a) -1 c) -5 e) 2 b) -3 d) -6
5
120
4.°
año
REPASO 10. Indica el signo de A, B y C. A = Sen110º ⋅ Tan222º B = Cos221º ⋅ Cot318º C = Sec229º ⋅ Csc315º a) (+)(+)(+) c) (+)(+)(-) e) (+)(-)(-) b) (-)(-)(-) d) (-)(-)(+)
12. Calcula Cotα.
4
120º
3 α
11. Si Cosx = –3 ∧ x ∈ IIC 5
Calcula: Q = Cscx + Cotx a) 2 c) 1 2 b) –2 d) – 1 2
4 3 a) 5 3 c) 5 6
e) 1
b)
e) 3 3
3 d) 3 6
Bibliografía 1. 2. 3. 4.
4.°
ALVA CABRERA, Rubén. Trigonometría teoría y práctica. Lima: San Marcos, 2008. AYRES, Frank. Trigonometría plana y esférica. México D. F.: McGraw-Hill, 2003. HALL, H. S. y KNIGHT, S. R. Trigonometría elemental: Buenos Aires: Uteha, 1998. RIBNIKOV, K. Historia de las matemáticas. Moscú Mir, 1978.
año
121
REPASO
8
Trigonometría
1 Reducción al primer cuadrante I Definición
Para ángulos negativos
Si el ángulo es mayor que una vuelta
Las razones trigonométricas (R.T.) de un ángulo de cualquier magnitud, positiva o negativa, pueden expresarse en términos de las R.T. de un ángulo positivo menor que 90°.
En este caso usaremos las siguientes relaciones:
Se establece la misma razón trigonométrica del ángulo que resulta ser el residuo al dividir la medida del ángulo entre 360° (una vuelta). Ejemplo: Reducir al primer cuadrante: ZZ Sen3285° 3285° 360° ⇒ Sen3285°= Sen45° 3240° 9 2 Sen3285° = 45° 2
Sen(–x) = –Senx Tan(–x) = –Tanx Cot(–x) = –Cotx Csc(–x) = – Cscx
Cos(–x) = Cosx Sec(–x) = Secx
Ejemplos: ZZ Sen(–28°) = –Sen28° ZZ Cos(–10°) = Cos10°
Trabajando en clase Integral
1. Calcula:
L=
Sen(–a) + Sec(–60°) Sena
5. Reduce la siguiente expresión: L = 3Cos760° – Cos40° –2Cos2920°
P = 8Tan(–37°) – Csc1830° PUCP
6. Si:
4. Reduce la siguiente expresión: K = Sen20° + Sen1460° – 2Sen3620°
Calcula:
Resolución:
4.°
1460° 360° 1440° 4 20°
año
⇒ Sen3620°= Sen20°
Reemplazando: K = Sen20° + Sen20° –2Sen20° K=0
2. Obtén el valor de: N = 2Sen1110° + Tan765° 3. Calcula:
3620° 360° 3600° 10 20°
2Csc(–x) + 5Cscx = 4,333.... Sen(–x)
⇒ Sen1460°= Sen20° 7. Calcula:
97
N = 4Sen450° – 3Tan2520°
TRIGONOMETRÍA
1
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE I UNMSM 8. Calcula el valor de: R = 4Tan(–3285°) Resolución: R = 4Tan(–3285°) 3285° 360° 3240° 9 R = 4(–Tan3285°) 40° R = 4(–Tan45°) R = 4(–1) R = –4 9. Obtén el valor de: P = 7Sec(–1860°)
11. Simplifica: Sen(–x)Cscx + Cos(–x)Secx+Tan(–x)Cotx Q= 4Tan(–37°) + Csc(–30°)
II. 14p –x 2p 14p 7 –x
⇒ Sen(14p–x) = Sen(–x) = –Senx
III. 12p –x 2p 12p 6 –x
⇒ Sen(12p–x) = Sen(–x)=–Senx
–Senx E = –3Senx
1 E= 3
13. Simplifica: Tan(10p–x) +Tan(6p+x) + Tan(8p–x) E= 2Tan(–x)
UNI 12. Simplifica: Sen(6p+x) + Sen(14p–x) + Sen(12p–x) Q= 3Sen(–x) Resolución: 360° = 2p
TRIGONOMETRÍA
⇒ Sen(6p+x) = Senx
Reemplazando: Senx + –Senx + –Senx E= 3(–Senx)
10. Reduce: (m+n)2Cos1440° + (m–n)2Sen990° Q= mnCos540°
1
I. 6p + x 2p 3 6p x
14. Calcula el valor de: N=(Cos810°+Cot405°)Sen450°+Tan21140°+ Cot765°
98
4.°
año
2 Reducción al primer cuadrante II Para ángulos del segundo cuadrante
Para ángulos del cuarto cuadrante
(+): para seno y cosecante (–): para las demás funciones
(+): para coseno y secante (–): para las demás funciones Ejemplos: ZZ Cos280° = + Cos(360°–280°) = Cos80° ZZ Tan290° = –Tan(360° –290°) = –Tan70° ZZ Cot344° = –Cot(360° –344°) = –Cot16° 13p = +Sec(2p 13p ) = Sec p ZZ Sec 7 9 7
Si ∈ x IVC, se cumple: F.T.(x) = (±) F.T. (360° – x)
Si x∈IIC, se cumple: F.T.(x) = (±) F.T. (180° – x)
Ejemplos: ZZ Sen100° = + Sen(180° –100°) = Sen80° = Cos10° ZZ Cos130° = –Cos(180°–130°) = –Cos50° = –Sen40° ZZ Tan142° = –Tan(180°–142°)=–Tan38° = –Cot52° ZZ Cot168°=–Cot(180°–168°) = –Cot12° = –Tan78° p 6p 6p ZZ Sec = –Sec(p – ) = –Sec 7 7 7 p 8p 8p ZZ Csc = +Csc(p – ) = Csc 9 9 9
Para ángulos de la forma: 180° o ± x 360°
Para ángulos del tercer cuadrante Si x∈IIIC, se cumple: F.T.(x) = (±) F.T. (x –180°)
Se cumple:
90° o ± x 270°
180° F.T. o ± x = ± F.T.(x) 360°
(+): para tangente y cotangente (–): para las demás funciones
90° F.T. o ± x = ±CO–F.T(x) 270°
Ejemplos: ZZ Sen190°=–Sen(190°–180°)=–Sen10°=–Cos80° ZZ Cos220°=–Cos(220°–180°) = –Cos40° = –Sen50° ZZ Tan236° = +Tan(236°–180°)=Tan56° = Cot34° 13p = Cot( 13p – p) = Cot 4p ZZ Cot 9 9 9
Trabajando en clase Integral
3. Calcula:
1. Simplifica:
E=
Sen(90° + x) Cosx
N = Sen150° + Sen30° PUCP
4. Simplifica: 2. Reduce: P = Cot(180° + x) + Tan(270° + x)
4.°
año
99
E=
Sen(180° + x) Sec(90° – x) + Sen(360°–x) Csc(180° + x)
TRIGONOMETRÍA
2
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE II Resolución: IIIC
UNI
IC
12. Determina:
–Senx +Cscx + E= –Senx –Cscx IVC E=1–1 E=0
IIIC
6. Calcula:
b
17 a 1
5. Simplifica: E=
Tana + Cotb
Sen(270°+x) Tan(180°–x) + Sen(90°+x) Tan(360°+x)
Resolución:
b 17
P = Tan135° + Cos300°
y
4
a
7. Calcula: E=
Sec(270°+x) Cos120° + Csc(180°–x) Cot315° UNMSM
8. Calcula:
E = Sen(–3645°) Resolución: i) Sen(–q) = –Senq ii) 3645° 360° 3600° 10° 45° iii) Sen(–3645°)= –Sen3645° Sen(–3645°)= –Sen45° Sen(–3645°)= – 2 2 9. Calcula: E = Tan(–2580°)
13. Calcula: Cotq + Cota a
10. Simplifica: Tan(270°–x) Sen(–120°) + Cos(–330°) – Cot(360°–x) 11. Calcula Cotq
x 1 Del gráfico: x + a = 360° ⇒ a = 360° – x Tana = Tan(360 – x) Tana = –Tanx Tana = – 4 y – b = 360° ⇒ y = 360° + b Coty = Cot(360° + b) Coty = Cotb ⇒ Cotb = 4 Nos piden: E = Tana + Cotb E = –4 + 4 = 0
y q
q
1 2
4 14. Si: Tan(360° –a) + Csc(270° + a) = 4 Calcula: Cot(270°+a)+Sen(180°+a) M= Cos(270°–a)
x (–2;–3)
2
TRIGONOMETRÍA
100
4.°
año
3 Circunferencia trigonométrica I Es aquella circunferencia cuyo centro coincide con el origen del sistema de coordenadas rectangulares y cuyo radio es unitario y adimensional. y B C.T.
r=1 arad O (0;0)
A’
P
Elementos de la C.T. ZZ ZZ ZZ ZZ ZZ ZZ
(x;y)
A x
O(0;0): origen A(1;0): origen de arcos B(0;1): origen de complementos A’(–1;0): origen de suplementos B’(0;–1): sin nombre específico P(x;y): extremo del arco
x2 + y2 = 1
B’
Representación de seno y coseno en la circunferencia trigonométrica.
En la C.T. graficaremos las representaciones siguientes utilizando segmentos dirigidos.
1. Seno:
El seno de un arco en la C.T. es la ordenada de su extremo
2. Coseno:
El coseno de un arco en la C.T. es la abscisa de su extremo y
a
q Senq Senf f
q
Sena
Cosa
Cosq
a
x
Senb b
C.T.
C.T.
f
Cosf Cosb
Observación: y
b
C.T. Cosq 1 q
Senq
(Cosq; Senq)
0 x
4.°
año
101
TRIGONOMETRÍA
3
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA I
Trabajando en clase Integral
ZZ Cos100°< Cos200° (F)
1. Si b ∈ IIIC Grafica la línea Senb y Cosb 2. Si: a ∈ IIC Grafica la línea Sena y Cosa e indica quién es mayor. 3. Calcula el área de la región sombreada. C.T.
q
Ambas líneas son negativas porque el coseno es negativo, en el II y III cuadrante. ∴Cos200° < Cos100° ZZ Cos300° < Sen300° (f) La línea Cos300° es positiva por que el Coseno es positivo en el IVC. La línea Sen300° es negativa porque el seno es negativo en el IVC. ∴Sen300°< Cos300° 5. Indica V o F según corresponda: I. Cos100° > Cos50° ( ) II. Cos200° < Cos200° ( ) III. Sen300° > Sen150° ( ) 6. Si: p < a < b < p, indica V o F según corresponda. 2
PUCP 4. Indica V o F según corresponda. I. Sen100° < Sen30° ( II. Cos100° < Cos200° ( III. Cos300°< Sen300° (
) ) )
I. Sena > Senb II. Cosa > Cosb III. Senb < Cosb IV. Sena < Cosa
C.T.
100°
C.T.
b
90° Cos100°
Sen100° 180°
30° Sen30°
TRIGONOMETRÍA
8. Calcula «x». q
C.T. x
Cos300° 300°
Sen 100° < Sen30° Ambas líneas son positivas. ∴Sen100° > Sen30°
3
UNMSM
0° 360°
Sen300°
200° Cos200°
270°
) ) ) )
7. Calcula el área de la región sombreada:
Resolución: Ubicamos en la C.T. cada uno de los ángulos con criterio y analizamos las líneas trigonométricas.
( ( ( (
(F)
Resolución:
102
4.°
año
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA I UNI q –Cosq
12. Calcula el área de la región sombreada. x
Senq –Cosq
C.T.
1 1–Cosq
C.T.
b
Se traza las lineas seno y coseno del arco q. Por el Teorema de Pitágoras: Sen2q + (1– Cosq)2 = x2 Sen2q + 1 – 2Cosq + Cos2q = x2 2 – 2Cosq = x2 x = 2(1–Cosq) 9. Calcula «x».
Resolución: C.T.
|Senb| b
C.T. x
|Cosb| |Cosb|
–2Cosb(1–Senb) 2 S = –Cosb(1–Senb) S = Cosb(Senb –1) S=
b
13. Calcula el área de la región sombreada q
10. Calcula BC
C.T.
B
b C
C.T. A 14. Calcula BQ. B Q
11. Calcula el área de la región sombreada.
a C.T.
C.T.
b
4.°
año
103
TRIGONOMETRÍA
3
4 Circunferencia trigonométrica II Variación de senos y cosenos: En forma general:
–1 ≤ Senx ≤ 1 –1 ≤ Cosx ≤ 1
∀x ∈ R
Senx máximo = 1 mínimo = – 1 Cosx máximo = 1 mínimo = – 1
Con respecto a los cuadrantes IC
IIC
IIIC
IVC
0 < Senx < 1 ↑ (creciente)
0 < Senx < 1 ↓ (decreciente)
–1 < Senx < 0
–1 < Senx < 0
0 < Cosx < 1
–1 < Cosx < 0
↓
↓
–1 < Cosx <0
↓
↑
↑
0 < Cosx < 1
↑
Trabajando en clase Integral 1. Indica en qué cuadrante el seno es positivo y decreciente. 2. Señala la variación de L = 2Senx + 3 3. Suma los valores enteros de N, si se cumple: N = 5Cosx – 1 PUCP 4. Determina la variación de «x» si q ∈ IIIC, además: 2Cosq – 3 = 5x Resolución: –1 < Cosq < 0 –2 < 2Cosq < 0 –5 < 2Cosq – 3 < –3 –5 < 5x < – 3 –1 < x < –3/5 ⇒ x ∈ 〈 –1; –3/5 〉
4
TRIGONOMETRÍA
5. Determina la variación de «x», si q ∈ IIC, además: x = 8Senq – 5 6. Calcula el valor de: (K + 1)(K – 2) Si se cumple: Senx = K + 3, además el Senx adopta su máximo valor. 7. Indica la variación de: N = 4Cosx – 3, si x ∈ IVC UNMSM 8. Indica la suma del máximo y mínimo valor de: Q = 2 – 3Sen2x + Cosy – 2Senz Donde: x ≠ y ≠ z Resolución: Q = 2 – 3 Sen2x + Cosy – 2Senz
104
4.°
año
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA II Qmax = 2 – 3(0)2 + (1) – 2(–1) = 5 Qmin = 2 – 3(1)2 + (–1) – 2(1) = – 4 Piden: 5 + – 4 = 1 9. Suma el máximo y mínimo valor de: E = 3 Cosx – Sen2y – Cos3z + 1
Del gráfico: 1/2 < Cosq ≤ 1 2 < 4Cosq ≤ 4 3 < 4Cosq + 1 ≤ 5 3
10. Indica la variación de: E = Cos2a + Cosa
13. Indica la variación de K, si: 4Senq + 1 = K, 2 30° < q < 150°.
11. Determina la extensión de: Senq + 3 Q= Senq + 2
14. Determina el intervalo de m para que se cumplan simultáneamente: 2Cos2a + 1 = m – 1 3
UNI 12. Determina la extensión de: E = 4Cosq + 1 Si: – p < q < p 3 3 Resolución:
|2Senq + 1| = m + 1 2
1/2 p 3 1 C.T.
4.°
año
1/2
q
p 3
105
TRIGONOMETRÍA
4
5
Identidades trigonométricas fundamentales I
Definición
Son aquellas igualdades entre las razones trigonométricas de una variable, las cuales se verifican para todo valor de la variable en que la razón trigonométrica que interviene se encuentra definida. Clasificación
I. I.T. recíprocas YY SenxCscx = 1 ⇒ Cscx =
1 ; ∀x∈R – {np; n∈Z} Senx
YY CosxSecx = 1 ⇒ Secx =
p 1 ; ∀x∈R – {(2n + 1) ; n∈Z} 2 Cosx
YY TanxCotx = 1 ⇒ Cotx =
1 np ; ∀x∈R – { ; n∈Z} 2 Tanx
II. I.T. por división YY Tanx =
p Senx ; ∀x∈R – {(2n + 1) ; n∈Z} 2 Cosx
YY Cotx =
Cosx ; ∀x∈R – {np; n∈Z} Senx
III. I.T. Pitágoras YY Sen2x + Cos2x = 1; ∀x∈ R
Sen2x = 1 – Cos2x Cos2x = 1 – Sen2x
YY Sec2x – Tan2x = 1; ∀x∈ R –{(2n + 1)
Sec2x = Tan2x + 1 p ;n∈Z} Tan2x = Sec2x – 1 2
YY Csc2x – Cot2x = 1; ∀x∈ R –{np; n∈Z}
Csc2x = Cot2x + 1 Cot2x = Csc2x – 1
Trabajando en clase Integral 1. Reduce:
E = Tanx.Cosx.Cscx
2. Simplifica: K = Cotx.Senx – Cos2x.Secx
5
3. Reduce: M = (Tanx.Cosx + Senx)Cscx
TRIGONOMETRÍA
PUCP 4. Simplifica: E=
106
Cosx Cotx Senx + + Secx Tanx Cscx
4.°
año
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES I 9. Simplifica:
Resolución:
1 1 1 + Cosx. +Cosx. E = Senx. Secx Tanx Cscx E = Senx . Senx + Cosx . Cosx + Cotx . Cotx E = Sen2x + Cos2x + Cot2x E = 1 + Cot2x ∴E = Csc2x
5. Simplifica: M=
M= 10. Simplifica:
12. Reduce: C = Senx(1+ Senx – Cosx) + Cosx(1 + Cosx + Senx) – 1
7. Reduce: B = (2Senx + Cosx)2 + (Senx – 2Cosx)2 UNMSM
Sen2x –Sen4x Cos2x – Cos4x
Resolución: Factorizando: Sen2x en el númerador y Cos2x en el denominador. Se tiene: C=
Sen x Cos x Sen x(1–Sen x) ⇒C= Cos2(1–Cos2x) Cos2x. Sen2x 2
2
2
1 + Cos2x 1 + Sen2x + 2 1+Csc x 1+ Sec2x
UNI
6. Reduce: A = Sen2x . Cot2x + Cos2x . Tan2x
C=
E=
11. Reduce: A = (Senx + Cscx)2 + (Cosx + Secx)2 – (Tanx + Cotx)2
Secx Tanx Senx – – Cosx Cotx Cscx
8. Reduce:
Sen4x – Sen6x Cos4x – Cos6x
Resolución: C = Senx + Sen2x – SenxCosx + Cosx + Cos2x + Cosx Senx – 1 C = Senx + Cosx + Sen2x + Cos2x – 1 C = Senx + Cosx + 1 – 1 ∴C = Senx + Cosx
13. Reduce: M = Senx(Cscx + Senx) + Cosx(Secx + Cosx) + 1 14. Simplifica:
2
E=
Sen4x – Cos4x + 2Cos2x Cos4x – Sen4x + 2Sen2x
⇒C=1
4.°
año
107
TRIGONOMETRÍA
5
6
Identidades trigonométricas fundamentales II
Recordando Identidades trigonométricas recíprocas
Identidades trigonométricas pitagóricas
ZZ SenxCscx = 1; x∈R – {kp}
ZZ Sen2x + Cos2x = 1; x∈ R
ZZ TanxCotx = 1; x∈R – {
kp } 2
ZZ CosxSecx = 1; x∈R – {2k + 11
ZZ 1 + Tan2x = Sec2x; x∈ R –{(2k + 1)
p } 2
ZZ 1 + Cot2x = Csc2x = 1; x∈ R –{kp}
Identidades trigonométricas por división
Tema en cuenta: Senx 1–Cosx = 1 + Cosx Senx Cosx 1 + Senx = 1–Senx Cosx 1 Secx + Tanx = Secx –Tanx 1 Cscx + Cotx= Cscx – Cotx
p Senx ZZ Tanx = ; x∈R – {(2k + 1) } 2 Cosx ZZ Cotx =
p } 2
Cosx ; x∈R – {kp} Senx
Importante:
ZZ De: Sen2x + Cos2x = 1 YY Sen2x = 1 – Cos2x YY Cos2x = 1 – Sen2x ZZ De: 1 + Tan2x = Sec2x YY 1 = Sec2x – Tan2x YY 1 = (Secx + Tanx) (Secx – Tanx)
Trabajando en clase Integral
Resolución:
1. Simplifica: M = (Secx – Tanx)–1 + (Secx + Tanx)–1
2. Reduce: F = (Secx – Cosx)(Cscx – Senx)
Tanx + 2 Tanx Cotx + Cotx = 5
Tanx + Cotx = 5 –2 = 3
3. Simplifica:
Luego:
L = Senx . Tanx + Cosx PUCP
4. Si: Tanx + Tanx = 5
Determina: L = Tan2x + Cot2x
6
TRIGONOMETRÍA
De la condición:
( Tanx + Tanx )2 = ( 5 )2
(Tanx + Cotx)2 = (3)2
Tan2x + 2Tanx . Cotx + Cot2x = 9
Finalmente: Tan2x + Cot2x = 9 – 2
∴L=7
108
4.°
año
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES II 10. Determina «n» de la igualdad: Secx – Cosx = nTan2x
4
4
5. Si: Tanx + Cotx = 7 Halla: M = Tanx + Cotx
11. Reduce: H = 1 + Secx 2 – 1+Tanx 1 + Cosx 1 + Cotx
6. Reduce: Secx–Cosx F=3 Cscx–Senx
UNI 12. Elimina «x». Senx = a
3 3 7. Si: Sen x – Cos x = 8 Senx – Cosx 7
Calcula: S = Senx Cosx
UNMSM 8. Si se cumple que: Secx + Tanx = 5; calcula el valor de Senx. Resolución: De la condición: Secx + Tanx = 5 Luego: Secx – Tanx = 1/5 2Secx = 5 + 1/5 2Secx = 26/5 ⇒ Secx = 13/5 12
13 5
x
2
⇒ Senx = 12/13
(1)
Cosx = b (2) Resolución: De (1): Sen2x= ( a )2 Sen2x = a
De (2): Cos2x = ( b )2
Sen2x + Cos2x = a+ b
∴a+b=1
Cos2x = b
13. Elimina «x», si: Tanx = 2n Secx = 3m
(1) (2)
14. Elimina «x», si: Tanx + Cotx = a Tan2x + Cot2x = b
(1) (2)
9. Si se cumple que: Cscx – Cotx = 1/4, calcula el valor de: R = Senx – Cosx
4.°
año
109
TRIGONOMETRÍA
6
7 Identidades trigonométricas auxiliares Del tema anterior sabemos que: ZZ Tanx = Senx Cosx Cosx ZZ Cotx = Senx ZZ Sen2x + Cos2x = 1
Tanx + Cotx = Tanx + Cotx = Tanx + Cotx = Tanx + Cotx =
Senx + Cosx Cosx Senx Sen2x + Cos2x Cosx Senx 1 CosxSenx 1 . 1 Cosx Senx
ZZ Tenemos las siguientes identidades trigonométri-
cas auxiliares. 1. Tanx + Cotx = Secx Cscx
2. Sec2x + Csc2x = Sec2x Csc2x 3. Sen4x + Cos4x = 1– 2Sen2x Cos2x 4. Sen6x + Cos6x = 1 – 3Sen2x Cos2x 5. (1 ± Senx ± Cosx)2 = 2(1 ± Senx)(1 ± Cosx)
Tanx + Cotx = Secx Cscx
Trabajando en clase Integral 1. Reduce:
Q = Tanx – Secx Cscx
2. Si: Senx Cosx = 1/3 Calcula: E = Sen6x + Cos6x 3. Simplifica:
2 L = (1+Senx– Cosx) – 2Senx 1 – Cosx
PUCP 4. Si: Tanx + Cotx = 4 Calcula: E = Sec2x + Csc2x Resolución: Dato: Tanx + Cotx = 4 Secx . Cscx = 4
7
TRIGONOMETRÍA
Piden: E = Sec2x + Csc2x E = Sec2x . Csc2x E = (Secx. Cscx)2 E = (4)2 E = 16 5. Si: Sec2x + Csc2x = 25 Determina el valor de: Tanx + Cotx 6. Calcula: E = 3(Sen4x + Cos4x) –2(Sen6x + Cos6x) 7. Simplifica:
(Tanx + Cotx)2 Sec2x + Csc2x
UNMSM 8. Si: Tanx + Cotx = 3 Calcula: E = Secx + Cscx
110
4.°
año
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS AUXILIARES Resolución: Dato: Tanx + Cotx = 3 Secx . Cscx = 3 Piden: E = Secx + Cscx E2 = (Secx + Cscx)2 E2 = Sec2x + Csc2x + 2Secx Cscx E2 = (3)2 + 2(3) E2 = 15 E = 15 9. Si: Tanx + Cotx = 4 Calcula: Q = Secx – Cscx
Resolución: Sen4x + Cos4x = 2/3 1 – 2Sen2x Cos2x = 2/3 –2Sen2xCos2x = – 1/3 Sen2xCos2x = 1/6
Piden: Sen6x + Cos6x = 1 –3Sen2x Cos2x = 1 – 3(1/6) = 1 – 1/2 = 1/2
10. Si: Sen4x – Cos6x = m y Cos4x – Sen6x = n Calcula: E = Sec2x + Csc2x
13. Si: Tanx + Cotx = 5 Calcula el valor de: P = Tanx.Sen2x + Cotx.Cos2x
11. Si: Senx – Cosx = 2/3 Calcula el valor de: P =(1 + Senx)(1 – Cosx)
14. Si: 1 + Senx = 2m2 1 – Cosx
UNI
Calcula: E = Cscx – Cotx
12. Si: Sen4x + Cos4x = 2/3 Determina: Sen6x + Cos6x
4.°
año
111
TRIGONOMETRÍA
7
8 Repaso 1. Calcula el valor de: Q = Tan(–1125°) a) –2 c) 0 b) –1 d) 1
2. Calcula: Q = 2Sen150°+Tan315° a) –1/2 c) 0 e) 1/2 b) –1 d) 1
Secx–Cosx Tanx a) 1 c) Cosx e) Secx b) Senx d) Tanx (Sec2x + Csc2x)Cosx 8. Simplifica: E = Tanx+Cotx a) Senx c) Secx e) Tanx b) Cosx d) Cscx
3. Reduce: L = Sen(180° – x) + Cos(270° – x) a) 1 c) 2Senx e) 0 b) –1 d) 2Cosx
9. Indica la variación de «x» si: 2Cosq = x – 5 a) 〈1; 3〉 c) 〈0; 7] e) [3; 7] b) 〈3; 5〉 d) [0; 5]
7. Simplifica: P =
e) 2
10. Simplifica: E =
4. Indica V o F según corresponda. I. Sen130° > Sen160° II. Cos218°
a) Senx b) Cosx 11. Simplifica: E = a) Cotx b) Tanx
Senx + Cotx 1 + Cosx c) Tanx e) Cscx d) Secx Cot4x–1 +1 Csc2x c) Cot2x d) Tan2x
e) 1
12. Determina el área de la región sombreada. a) 0,5(1 + Senq)
C.T.
a
C.T.
b) 0,5(1 – Senq) c) 0,25(1 – Senq) d) 0,25(1 + Senq) e) 0,5Sen2q
Claves e) Secx
1.
b
5.
d
9.
e
2.
c
6.
e
10.
e
3.
e
7.
b
11.
c
4.
a
8.
d
12.
d
Bibliografía 1. ALVA CABRERA, Rubén. Trigonometría: teoría y práctica. Lima, México: San Marcos, 2004. 2. AYRES, Frank. Trigonometría plana y esférica. McGraw–Hill, 2000. 3. RIBNIKOW, K. Historia de las matemáticas.Moscú: Mir, 1990.
8
TRIGONOMETRÍA
112
4.°
año
Trigonometría
1 Ángulos compuestos Para el Seno:
ZZ Sen(a + b) = SenaCosb + CosaSenb ZZ Sen(a – b) = SenaCosb – CosaSenb
Para el Coseno:
ZZ Cos(a + b) = CosaCosb – SenaSenb ZZ Cos(a – b) = CosaCosb + SenaSenb
Para la tangente: ZZ Tan(a + b) = Tana + Tanb
1 – TanaTanb
ZZ Tan(a – b) = Tana – Tanb
1 + TanaTanb
Trabajando en clase Integral
UNMSM
1. Calcula Sen15º.
8. Si «a» y «b» ∈ IC; además: Sena = 3 y Cosb = 12 . 5 13
2. Calcula: Tan8º.
3. Simplifica la expresión: A = 5Sen(x + 37)º – 4Senx
Resolución: Sen(a + b) = SenaCosb + CosaSenb Donde:
Halla: Sen(a + b).
Católica 4. Reduce la expresión: M = Cos(a – 10)º + Cos(a + 10)º Cosa Resolución: M = CosaCos10º+SenaSen10º + CosaCos10º – SenaSen10º
M = 2CosaCos10º Cosa
Cosa
∴ M = 2Cos10º
5. Reduce la expresión:
5 a
6. Si Sen(45º – x) = 5 2 . Halla Cosx – Senx 8 7. Reduce: E=
4.°
año
2Sen(a + b) Cos(a + b) + Cos(a – b)
13
5
b 4 12 Reemplazando: Sen(a + b) = 3 • 12 + 4 • 5 5 13 5 13 Sen(a + b) = 36 + 20 ∴Sen(a + b) = 56 65 65 65 9. Si «a» y «b» ∈ IC; además:
Tana = 5 y Tanb = 1 . 7
E = CosxSen20º + Sen(x – 20)º
CosxCos20
3
Halla Tan(a + b).
10. Calcula: M = (Sen20° + Cos10°)2 + (Cos20° + Sen10°)2 11. Calcula: w=
107
Tan88° Tan1° – Tan89° TRIGONOMETRÍA
1
ÁNGULOS COMPUESTOS UNI
YY Luego, del gráfico se tiene que:
Tanq = 3 ∧ Tanb = 3 2 4
12. En la figura; calcula «Tanq». C
B
53 q
N D
M
A Resolución: B
53
b
4
3 A
Del gráfico:
a
M
9 Tanq = 4 –1 8 2 ∴ Tanq = –18
q a
2
q
H
D
D
14. Del gráfico, calcula «Tanq».
C
q=a+b 45°
E
Tanq = Tan(a + b) YY Desarrollando:
q
Tanq = Tana + Tanq 1 – Tana.Tanq
TRIGONOMETRÍA
C
E
YY Tomamos tangente:
1
1– 3 • 3 2 4
13. En el gráfico se tiene que AD = 1; DE = 2 y EC = 3. Calcula «Cotq». A B
3
N
2
C
YY Reemplanzando: Tanq =
3+3 2 4
A
108
D B
4.°
año
2 Ángulo doble Para el Seno:
Sen2x = 2SenxCosx Demostración: Sen(a + b) = SenaCosb + CosaSenb Hacemos: a = b = x Luego: Sen(x + x) = SenxCosx + CosxSenx
Cos2x = 2Cos2x – Sen2x Demostración: Cos(a + b) = CosaCosb – SenaSenb Hacemos a = b = x Luego:
Cos(x + x) = CosxCosx – SenxSenx
ZZ Cos2x = 2Cos2x – 1 → 2Cos2x = 1 + Cos2x ZZ Cos2x = 1 – 2Sen2x →
Tan2x = 2Tanx 1 – Tan2x Demostración: Tan(a + b) = Tana + Tanb 1 – Tana.Tanb Hacemos: a = b = x Luego: Tan(x + x) = Tanx + Tanx 1 – TanxTanx Tan2x =
Cos2x = Cos x – Sen x 2
2Sen2x = 1 – Cos2x
Tangente:
Sen2x = 2SenxCosx
Coseno:
Tambien, para degradación:
2
2Tanx 1 – Tanx2x
Trabajando en clase Integral 1. Si Senx = 1 ; Calcula: P = Sen2x.
3
2. Si Tanx = 2 , calcula M = Tan2x.
3
3. Simplifica:
E = Sen4° + Cos2° Católica
4. Simplifica: M = 8Sen7°.Cos7°.Cos14°.Cos28° Resolución: E = 8Sen7°Cos7°Cos14°Cos28° E = 4(2Sen7°.Cos7°).Cos14°.Cos28°
4.°
E = 2Sen28°.Cos28°
5. Simplifica: A = 16SenxCosxCos2xCos4xCos8x 6. Simplifica: M=
Cos2x + Senx Cosx + Senx
7. Reduce la expresión: P=
Sen14°
año
Sen28°
∴ E = Sen56°
2Sen2° + 1°
E = 2(2Sen14°.Cos14°).Cos28°
109
Cos2x
2 Sen(x + 45°)
+ Senx
TRIGONOMETRÍA
2
ÁNGULO DOBLE UNMSM 8. Si «q» es agudo y Cos2q = 2 ; Calcula Senq.
3
Resolución: Sabemos: Cos2q = 1 – 2Sen2q. Reemplazando: 2 = 1 – 2Sen2q
3
2Sen2q = 1
3
Senq = ± 1 6
2 2 A = 1 – 2Sen x + Sen x
Sen2x
2 2 A = 1 – Sen x = Cos x = Cosx
∴ A = Cot2x
Sen2x
13. Reduce:
Como «q» es agudo: Senq = 1 6
9. Si «q» es agudo y Cos2q = 1 . Calcula Cosq.
7
2 A = Cos2x + Sen x
Resolución: Sabemos: Cosx = 1 – 2Sen2x Reemplazando:
3
UNI
Sen2x
2Sen2q = 1 – 2
12. Reduce:
Sen2x
14. En la figura calcula «Cota» B a
2
D
M = 1 – 8Sen xCos x
TRIGONOMETRÍA
2
Senx
2 2 P = Cos a + Sen a Cos2a – Cos2a
10. Calcula el valor de: E = Cos422°30’ – Sen422°30’ 11. Reduce:
2
2
A
110
45
2
H
3
q q
C
4.°
año
3 Dominio de funciones trigonométricas Definición de función
YY Coseno
y
Se dice que «y» es una función de «x»; si a cada valor de «x» le corresponde un único valor de «y». La correspondencia entre estas dos variables se expresa matemáticamente por medio de una ecuación denominada regla de correspondencia la cual se denota de la siguiente forma y = f(x); esto es:
b
C.T.
Cosb
Cosa Cosq
q
FT = {(x; y) / y = R.T.(x); x ∈ D(F.T.)
x
O Cosf
Por ejemplo: FT(Seno) = {(x;y)/y = Sen(x); x ∈ D(Sen)} Si queremos algunos pares ordenados:
2. Tener en cuenta las formas generales de arcos referentes: y B CT {np}; n ∈
Dominio de una función Son aquellos valores que admite la variables independiente, la cual se denota por Domf o Df.
Calculo del dominio de una función Para calcular el dominio de una función tenemos que tener en cuenta las siguientes consideraciones.
A’
A
B’
B
y
A
x
4.°
año
p 2
x
(2n + 1)
Senq Senf q
(4n + 1)
CT A’
Sena
f
(4n + 3)
111
x
{2np}
{(2n+1)p}
1. Recordar las líneas trigonométricas de las razones trigonométricas (seno y coseno); esto es: YY Seno y C.T. a b
O
f
p p FT(seno) = (0;0) / ; 2 / ; 1 / ...... 4 2 2
Senb
a
p 2
p ;n∈ 2
B’
TRIGONOMETRÍA
3
DOMINIO DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
B
y
A x
A’
CT
np ;n∈ 2
B’
Ejemplo: Si nos pidiesen hallar «b» que cumpla: Senb = 0 ⇒ «b» tiene su extremo en A o A’ \ b = np ; n ∈ p Senb = –1 ⇒ «b» tiene su extremo en B’ \ b = (4n + 3) ; n ∈ 2 p Cosb = 0 ⇒ «b» tiene su extremo en B o B’ \ b = (2n + 1) ; n ∈ 2 np Sen2b = 0 ⇒ «b» tiene su extremo en A o A’ \ 2b = np; b = ; n ∈ 2
Trabajando en clase Integral
p p = (4n + 3) 2 3 p p 2x = (4n + 3) – 2 3 p p \ x = (4n + 3) – ; n ∈ 4 6
2x +
1. Halla los valores de «x» para que se cumpla: Senx = 0. 2. Calcula los valores de «x» para la cual se cumple que: Cosx = –1. 3. Para que valores de «x» se cumple que: Senx = 1. Católica 4. Halla los valores de «x» para lo cual se cumpla que: p Sen 2x + = –1 3 Resolución: En la CT:
(4n + 3) Sen 2x + Luego:
3
p = –1 3
TRIGONOMETRÍA
p 2
5. Halla los valores de «x» en los cuales se cumpla que: Cos x – p = 1 3 4 6. Señala verdadero (V) o falso (F) según corresponda: p I. Si Senx = 1 → x = (4n + 1) ; n ∈ ( ) 2 p ; n ∈ ( ) II. Si Cos2x = 0 → x = (n + 1) 4 p 1 III. Si SenxCosx = – → x = (4n + 3) ; n ∈ ( ) 2 2 7. Halla los valores de «x» para los cuales se cumple que: 1 Senx Cosx Cos2x Cos4x = – 8 UNMSM 8. Determina el dominio de la función: y = F(x) = Senx + 2
112
4.°
año
DOMINIO DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Resolución Por la regla de correspondencia de la función, se observa que no hay que restringir en la función F(x) luego; y = F(x) = senx + 2. ↑ \x∈
y = F(x) =
y = F(x) =
año
1
p p Cos 2x + 3 3 p 3Sen 2x + – 4 3
p 3 Ahora restringimos el denominador: p p p p p Cos 2x + ≠ 0→2x+ ≠(2n+1) →2x≠(2n+1) – 3 3 2 2 3 p p np p p np p x ≠ (2n + 1) – → x ≠ + – →x≠ + 4 6 2 4 6 2 12 p x ≠ (6n + 1) 12 Luego: p x ∈ – (6n + 1) ; n ∈ 12
11. Determina el dominio de la función: y = G(x) = Senx + 1 ; (n ∈ ) Cos3x – 1
4.°
–4.
Cos 2x +
10. Determinar el dominio de la función: 2Sen2x + 4 y = F(x) = Senx + 1
p 12. Dada la función __________ F(x) = 3Tan 2x + 3 p – 4Sec 2x + ; n ∈ . Determina su dominio. 3 Resolución p p De la función y = F(x) = 3Tan 2x + – 4Sec 2x + 3 3 Convirtiendo todo a senos A cosenos, se tiene:
p 3
Cos 2x +
9. Determina el dominio de la función: Cos x + p 3 –4 y = F(x) = 2
UNI
3Sen 2x +
13. Dada la función F, definida por: 2p 2p y = F(x) = 4Cot 3x – + Csc 3x – 3 3 14. Determina el dominio de la función: y = F(x) = Cosx + 2 p Sen x + –1 3
113
TRIGONOMETRÍA
3
4 Rango de funciones trigonométricas Ran(f) = {f(x) ∈ B/ x ∈ A ∧ (x; f(x) ∈ f}
Sean A = {1; 2; 3} B = {p, q, r, s, t} A
f
1 2 3
Notación: Rang(f); Rangf; Rf B p q r s t
En el gráfico mostrado, el rango será: Rang(f) = {p; q; r; s; t} Recuerda: –1 ≤ Senx ≤ 1 –1 ≤ Cosx ≤ 1
Rango: Sea f: A → B una función, el rango de f es un conjunto que definimos por:
Recuerda: 0 ≤ Sen2x ≤ 1 0 ≤ Cos2x ≤ 1
Recuerda: – a2 + b2 ≤ a.Senx ± b.Cosx ≤ a2 + b2
Trabajando en clase Integral 1. Halle el rango de: f(x) = 2Senx + 1 2. Halle el rango de: f(x) = 3 + 4Cosx 3. Si x ∈ IIIC, halla el rango de: f(x) = 5Senx – 2 Católica 4. Si x ∈ IVC, obtén el rango de: y = 4Cosx – 1 Resolución: 0 < Cosx < 1 0 < 4 Cosx < 4 –1 < 4Cosx – 1 < 3 –1 < y < 3 Rango: 〈–1; 3〉 5. Si x ∈ II, obtén el rango de: y = 3Cosx – 2 6. Halla el rango de: f(x) = 5Senx – 12Cosx + 3 7. Calcula el rango de: f(x) = 3Senx + 4 Cox – 6 UNMSM 8. Obtén el rango de: y = 2Cos2x + 3 Resolución: –1 ≤ Cosx ≤ 1 0 ≤ Cos2x ≤ 1 0 ≤ 2Cos2x ≤ 2
4
TRIGONOMETRÍA
9.
3 ≤ 2Cos2x + 3 ≤ 5 3≤y≤5 Rango: [3; 5] Halla el rango de: y = 3Sen2x – 5
10. Halla el rango de: f(x) = 3Sen2x + 4Cos2x + 2 11. Señala el rango de: f(x) = 5Sen2x + 7Cos2x – 3 UNI 12. Obtén el rango de: y = Sen2x + Senx Resolución: y = Sen2x + Senx y = (Sen2x + Senx + 1/4) – 1/4 y = (Senx + 1/2)2 – 1/4 Sabemos: –1 ≤ Senx ≤ 1 –1/2 ≤ Senx + 1/2 ≤ 3/2 0 ≤ (Senx + 1/2)2 ≤ 9/4 –1/4 ≤ (Senx + 1/2)2 –1/4 ≤ 2 –1/4 ≤ y ≤ 2 Rango: [–1/4; 2] 13. Señala el rango de: f(x) = Cos2x – Cosx + 1/2 14. Halla el rango de: y = Senx + 3 + 1 Senx + 2
114
4.°
año
5 Función trigonométrica Seno Función Seno
El dominio de la función y = Senx son todos los números reales. En la siguiente tabla listamos algunos pares ordenados de dicha función, nótese que los valores del dominio (x) están expresados en radianes y son ángulos especiales del primer y segundo cuadrante, de tal forma que los valores correspondientes (y) son fáciles de calcular: x
0
p/6
p/4
p/3
p/2
2p/3
3p/4
5p/6
p
y = Senx
0
1/2
2 /2
3 /2
1
3 /2
2 /2
1/2
0
Luego marcamos en el plano cartesiano las parejas ordenadas obtenidas en la tabla anterior, tal como se muestra en la figura adjunta. y 1 3 /2 2 /2 1/2
0
p 6
1p 3
p 4
p 2
2 2p 3p 5p 3 4 6
3 p
x
Al marcar otras parejas (utilizando una calculadora científica) ordenadas y unirlas mediante una curva suave o lisa, se obtendrá la gráfica de la función y = Senx, llamada senoide. y Senoide y = Senx 1 –2p
–3p/2 p
–p/2
0
p/2
p
3p/2 2p
5p/2 3p
7p/2 4p
x
–1 De la gráfica de la función y = Senx, tenemos: ZZ Donf ∈ , es decir x ∈ ZZ Ranf ∈ [–1,1], es decir –1 ≤ Senx ≤ 1 ZZ Es una función impar, ya que sen(–x) = –Senx (la gráfica presenta simetría con respecto al origen de coordenadas). p 3p p p ZZ Es creciente ∀ x ∈ – + 2kp; + 2kp y decreciente ∀ x ∈ + 2kp; + 2kp ; donde k ∈ . 2 2 2 2 ZZ Es de período 2p. ZZ Es continua ∀ x ∈ , o sea es contínua en su dominio. 4.°
año
115
TRIGONOMETRÍA
5
FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA SENO
Trabajando en clase Integral
Resolución y
1. Determine el rango de la siguiente función: 4Senx + 1 y= 3
1
2. Determine los valores enteros de «n» que cumplen con la siguiente expresión: 4n + 2 3Senx = 3
–1
2p x
p
p.1 b.h →S= \ S = p u2 2 2 2
0
x f(x) = Senx
10. Halle el área de la región sombreada en: y 0
7. La función f(x) = Senx es inyectiva en el intervalo 〈0; p〉. Grafique y explique.
UNMSM 8. Según el gráfico, determine el área de la región sombreada. y
x y = Senx
11. Si el área de la región sombreada esta representa2 2 do por ap + b. Caclule a + b . a y
2p x
0 y = Senx
TRIGONOMETRÍA
3p 2
9. Determine el área de la región sombreada en el siguiente gráfico. y
máx
6. Grafique la función seno y diga en que cuadranp te(s) es creciente, en el intervalo de 0; 3 . 2
5
p
YY Para calcular el área usamos:
S =
5. Calcula el máximo valor que asume la función H(x) = 4Cos2x – 3
p 2
seno, entonces, se conoce su amplitud y periodo.
Católica
mín Piden: Q(x)min = 1
0
YY Dado que la gráfica representa a la función
3. Halle el dominio de la siguiente función 3 f(x) = +5 Senx
4. Calcule el mínimo valor que asume la función Q(x) = 2Cos2x + 1. Resolución: Si x ∈ ⇒ –1 ≤ Cosx ≤ 1 ... ( )2 2 0 ≤ Cos x ≤ 1 ... ×(2) 0 ≤ 2Cos2x ≤ 2 ... (+1) 1 ≤ 2Cos2x + 1 ≤ 3 Q(x)
1
x
116
4.°
año
FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA SENO UNI
3.
12. Grafique la siguiente función: f(x) = –2Senx Resolución i) Si la función se define como y = ASenx, entonces |A| es el máximo valor de la función y; –|A| el mínimo valor de la función. ii) La gráfica de la función y = –f(x) se obtiene a partir de la gráfica de la función y = f(x) mediante la reflexión directa respecto al eje x. iii) Graficamos aplicando las observaciones. 1. y y = Senx 1 0 –1 2.
y 2 1 0 –1 –2
4.°
año
2p x y = 2Senx
y 2 0
2p x
–2 y = –2Senx
13. Bosqueje el gráfico de la siguiente función: y = – 1 Senx. 2
p y P(x; 0,6) pertenece a la función 2 f definida por f(x) = Senx, entonces, al calcular E = Secx + Tanx se obtiene.
14. Si x ∈ 0;
2p x 15. Si x ∈ 〈0; 2p〉, determine el intervalo donde la función f(x) = Senx + Cosx es creciente.
117
TRIGONOMETRÍA
5
6 Función trigonométrica Coseno Función coseno
De manera similar a la función seno, se obtiene la gráfica de la función y = cosx, llamada cosenoide. y 1 –2p
–p
cosenoide y = Cosx p
0
3p
2p
x
1 De la gráfica de la función y = Cosx, tenemos: ZZ Domf ∈ , es decir x ∈ . ZZ Ranf ∈ [–1; 1], es decir –1 ≤ Cosx ≤ 1. ZZ Es una función par, ya que Cos(–x) = Cosx, (la gráfica presenta simetría con respecto al eje Y). ZZ Es decreciente ∀ x ∈ 〈2kp; 2kp + p〉 y creciente ∀ x ∈ 〈p + 2kp; 2p + 2kp〉, donde k ∈ . ZZ Es de periodo 2p. ZZ Es continua ∀ x ∈ , o sea, es continua en su dominio.
Trabajando en clase Integral
1. Determine el dominio de la siguiente función: 3 y= +2 Cosx – 1
\ f(x) 1 ; 1 3
2. Determine el dominio de la siguiente función: 2 y= –4 Cosx 3. Calcule el rango de la siguiente función y = 4Cosx – 2. Católica 4. Indique el máximo valor de la siguiente expresión 2Cos2x + 1 f(x) = 3 Resolución: Sabemos: 0 ≤ Cos2x ≤ 1 ........ (×2) 0 ≤ 2Cos2x ≤ 2 ........ (+1) 1 ≤ 2Cos2x + 1 ≤ 3 ........ × 1 3
6
TRIGONOMETRÍA
1 2Cos2x + 1 ≤ ≤1 3 3 f(x)
max min Piden f(x) = 1 max 5. Indique el mínimo valor de la siguiente función 5 + 4Cos2x f(x) = 9 6. Grafique la siguiente función y = 3Cosx. 1 7. Grafique la siguiente función y = Cosx. 2 UNMSM 8. Grafique la siguiente función y = –3Cosx.
118
4.°
año
FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA COSENO Resolución i) Sabemos que el coeficiente 3 representa la amplitud del coseno. Mientras que el signo negativo será la reflexión de la gráfica a través del eje x. ii) a) y y = Cosx
Resolución i) Del gráfico tenemos que y 3 h=b
1
b)
y
–3
x
0 –1
3p 2
2p
x
3p 2
ii) Calculando el área. b.h A= 2
3
c)
b=
y = 3Cosx
x
0 –3
p p 2
0
y
3p .b A= 2 2
\A=
9p 2 u 2
3 13. Determine el área de la región sombreada en el siguiente gráfico.
x
0 –3
y y = –3Cosx
3 9. Grafique la siguiente función y = – Cosx. 4 10. Grafique la siguiente función y = 2|Cosx|.
UNI 12. Calcula el área de la región sombreada en el gráfico mostrado. y
2p
14. Determine el área de la región sombreada en el siguiente gráfico.
año
y (x1; 0,5) (x2; 0,5) x
x y = Cosx
y = –3Cosx
4.°
y = |4Cosx|
11. Grafique la siguiente función y = |4Cosx|.
0
x
0
119
TRIGONOMETRÍA
6
7 Periodo y amplitud de las F.T. De la función que tiene como regla de correspondencia y = ASennBx, y = ACosnBx, y = ASenn(Bx + C) + D; considerando A y b ≠s de cero, se tiene lo siguiente:
p , si «n» es par. B
2. Amplitus de Onda (A)
1. Para calcular el periodo (T) YY T =
YY T =
YY A es el máximo valor de la función
2p , si «n» es impar. B
YY –A es el mínimo valor de la función
Trabajando en clase Integral Del problema 1 al 5, bosqueje las siguientes funciones: 1. y =Senx
7. y = Sen x 3 UNMSM 8. y = –2Sen x 5
2. y =Cosx
Resolución:
3. y = –3Senx
Católica
A =A
4. y = 5Cosx
A =–2
Resolución: Observamos que la amplitud es 5, entonces y = 5Cosx y 5
2p 2p →T= 1/5 B
∴ T = 10p
9. y = –3Cos x 2
–5
10. y = – 1 Cos(–2x) 2
5. y = –Senx Del problema 6 al 10 determine la amplitud y periodo de las siguientes funciones:
11. Determine el periodo de la siguiente función: y = Sen(x/2) + Sen(x/3)
6. y = 2Sen3x
TRIGONOMETRÍA
∴A=2
ii) Hallando «T» (periodo)
T =
x
7
i) Hallando «A» (amplitud)
120
4.°
año
PERIODO Y AMPLITUD DE LAS F.T. UNI 12. Grafique y determine la amplitud, periodo de la siguiente función: y = – 1 Sen4x 4
y 1/4
–1/4
Resolución: i) Hallando «A» (amplitud) A =A→ A =–1/4 ∴ A = 1/4
ii) Hallando el periodo (T) 2p p 2p →T= ∴T= T = B 4 2
iii) Graficando
4.°
año
p 8
p 3p p 4 8 2
x
y = – 1 Sen4x 4 En el problema 13 y 14, grafique e indique su periodo y amplitud. 13. y = 2Sen2x – 1 14. y = 3Senx – 4Cosx
121
TRIGONOMETRÍA
7
8 Repaso 1. Del gráfico calcule Cotq, si CD = DE = EF. Además ED = AF/3. A
B q
F
E
a) –12/5 b) –3/4
C
D
c) –1/3 d) –11/10
e) –1
6. Calcule el periodo en las siguientes funciones: YY y = Sen3x YY y = Sen5x/2 YY y = Cos2x YY y = Cosx/4 7. Determinar la amplitud en las siguientes funciones: YY y = –2Senx YY y = 2 – 4Cosx YY y = 4Cos YY y = 2Senx – 5
2. Si tanq = 0,75 ( «q» agudo), calcule el valor de E = 7Tan2q + 25Cos2q a) 11 c) 31 e) 0 b) 21 d) 41
Graficar las siguientes funciones:
3. Simplificar N = 1 + Cos40° + Sen40° . 1 – Sen40° + Cos40°
10. y = 1/2Cos2x
a) 1 b) Tan20º
c) Cot20º d) Tan80º
e) Cot80º
4. Determine el dominio de la siguiente función y = Senx + Cosx
8. y = –2Senx 9. y = –4/3Senx
Grafique y determine el periodo y amplitud en las siguientes funciones 11. y = –2Sen2x 12. y = 1 – 2Cos(–4x)
a) [2kp; (4k + 1)p/2] d) [kp/2; kp] – {kp} b) [kp; 2kp] e) c)
Claves
5. Calcule el rango en f(x) = 4Sen x – 1. a) [1; 2] c) [0; 3] e) [0; 4] b) [–1; 5] d) [–1; 3] 2
1.
-
5.
-
9.
-
2.
c
6.
-
10.
-
3.
-
7.
-
11.
-
4.
-
8.
-
12.
-
Bibliografía 1. ALVA CABRERA RUBÉN. Trigonometría: teoría y práctica. Lima: San Marcos, 2004. 2. AYRES FRANK. Trigonometría plana y esférica. McGraw-Hill, 2000. 3. RIBNIKOW, K. Historia de las matemática. Moscú. Mir, 1990.
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TRIGONOMETRÍA
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4.°
año
