Realizada por Ingrid Inciarte
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TRIGONOMETRÍA La trigonometría (medición de triángulos) es una rama de las matemáticas que estudia los ángulos y los lados de un Triángulo cualquiera y las relaciones entre ellos.
Teorema de Pitágoras Establece que en un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Se entiende por cateto, los lados del triángulo que contiene al ángulo recto.
c
a
c
2
=
a
2
+b
2
b
Círculo trigonométrico Es el círculo con centro en un origen de coordenadas cuyo radio tiene por medida la unidad de longitud. Cada una de las cuatro partes del círculo se llama cuadrante cua drante I, II, III y IV. IV. En la medida de ángulos en trigono trigonomet metría ría,, se emplea empleann tres tres unidades de medidas. En matemáticas, la más usada es el radián.
Radián: unidad angular mayormente usada en trigonometría. En una circunferencia completa hay 2π Radián: radianes. Grado sexagesimal: sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360º. Cada grado se divide en 60’(que se lee 60 minutos de arco) y cada minuto de arco se divide en 60’’ (que se lee 60 segundos de arco). Grado centesimal: centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales. El radián se define como el ángulo que limita un arco de circunferencia cuya longitud es igual al radio de la circunferencia.
Razones o funciones trigonométricas Ángulo: es la medida de la abertura de dos semirrectas, que se intersectan en un punto llamado vértice. Ángulo: En la figura 1, el ángulo se representa con la letra α y las rectas son AB y AC, que se intersectan en A. Las razones o funciones trigonométricas son funciones de un ángulo, es decir, que dependen de un ángulo, y pueden ser definidas como razones o cocientes cocientes,, de dos lados de un triángulo rectángulo (ver
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Figura 1). Al realizar estos cocientes, implícitamente se está comparando las longitudes de los catetos a y b entre ellos o con la hipotenusa c. El triángulo ABC de la figura 1, es un triángulo rectángulo en C. Se usará para definir las funciones seno, coseno y tangente del ángulo , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia. Figura 1
Las funciones trigonométricas definidas son:
El seno, abreviado como sen, es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa: hipotenusa: a
Sen( α )
=
El coseno, abreviado como cos, es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa: b
Cos( α )
c
=
c
La tangente, tan o tg, es la razón entre el cateto opuesto y el adyacente: tan
( α )
=
Sen( α )
a
Cos ( α )
=
b
Se definen otras funciones como la cosecante, cosecante, la secante y la cotangente, cotangente, como las razones inversas al seno, coseno y tangente:
Cosecante, abreviado como Csc o Cosec, es la inversa de seno: Csc ( α )
c
1 =
Sen( α )
=
a
Secante, abreviado como Sec, es la inversa de coseno: Sec( α )
c
1 =
Cos( α )
=
b
Cotangente, abreviado como Cot , es la inversa de la tangente: Cot ( α )
b
1 =
Tan( α )
=
a
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Signo de las razones. En cada cuadrante, dependiendo del signo de las abscisas y ordenadas (ejes horizontal y vertical, respectivamente), las razones presentan los siguientes signos:
Razones trigonometrías de ángulos notables (30 , 45 , 60 )
Sen
Cos
Tg
Sec
300
1 2
3 3
450
2 2 3 2
3 2 2 2 1 2
1
2 3 3 2
3
2
Ángulo
600
Csc 2
Ctg
2
1
2 3 3
3 3
3
Identidades trigonométricas Como en el triángulo rectángulo de la figura 1 se cumple que a2 + b2 = c2, y como c = 1, por ser c el radio unitario de la circunferencia, se tiene que sen α = a, cos α = b, c = 1; entonces para todo ángulo α, se cumple: sen 2 ( α ) + cos 2 ( α ) = 1
(1)
La ecuación (1) recibe el nombre de “Fórmula Fundamental de la Trigonometría”. Para dos ángulos α y β, se tienen algunas identidades trigonométricas: trigonométricas: sen (α ± β) = sen α cos β ± cos α sen β
(2)
cos (α ± β) = cos α cos β
(3)
sen α sen β
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Si α = β, se cumple para las identidades (2) y (3) lo siguiente: sen 2α = 2 sen α cos α
(4)
cos 2α = cos2α − sen2α
(5)
Demuestre la afirmación anterior
Ley del Seno Es una relación de proporcionalidad de proporcionalidad entre las longitudes de los lados a, b y c de un triángulo y los senos de los ángulos opuestos respectivamente, α, β y γ de la figura 2. Entonces:
a Sen( α )
=
b Sen( β )
=
c Sen( γ )
,
Figura 2
El teorema puede utilizarse:
para resolver un triángulo del cual se conoce un ángulo, un lado adyacente al ángulo y un lado opuesto (figura 2)
Ej: Un hombre está descansando en la orilla de un río mientras observa un árbol que está en la orilla opuesta. Mide el ángulo que forma su visual con el punto más alto del árbol y obtiene 60°; retrocede 20 m y mide el nuevo ángulo, obteniendo en este caso un ángulo de 45°. Halle la altura del árbol y la anchura de río.
Ley del coseno Es la generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos no rectángulos: relaciona el tercer lado de un triángulo con los dos primeros y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados. Sea el triángulo ABC de la figura 3, entonces, la ley del coseno se enuncia de la siguiente manera: Figura 3
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c 2 = a 2 + b 2 − 2abCos ( γ )
El teorema se utiliza para resolver un triángulo: •
se puede determinar el tercer lado de un triángulo donde se conoce un ángulo y los lados adyacentes: c = a 2 + b 2 − 2abCos ( γ )
Ej: Uno de los ángulos de un triángulo es 45° y sus lados adyacentes son 1 y 1,5. Halle el tercer lado.
c = a 2 + b 2 − 2abCos ( γ ) =
12 + (1,5) 2 − 2(1) (1,5) Cos ( 45) = 1 + 2,25 − 3 × 2 2 = 3,25 − 1,5 2
