Triángulo Un triángulo, en geometría, es un polígono de tres lados; está determinado por tres segmentos de recta que se denominan lados, o trespuntos no alineados que se ll aman vértices. Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trígono, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se denomina triángulo esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico.
Los tres ángulos internos de un triángulo miden 180° en geometría euclidiana.
Propiedades de los triángulos
n los triángulos contenidos en un plano, la suma de todos lo s ángulos internos, es igual a 180°.
E
La suma de las longitudes de dos de sus lados es siempre mayor que la longitud del t ercer lado.
P
ara cualquier triángulo se verifica el Teorema del seno que establece: «Los lados de un triángulo
son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»:
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Centros del tri ngulo Geomét
R
i mente se pueden def ini var ios centros en un tr i ngulo: S
R
T
U
Baricentro: es el punto que se encuen tra en la intersección de las med ianas, y equ ivale al centro
de gravedad
Circuncentro:
es
el centro de
la circunferencia circunscr ita, aquella que pasa por los
tres vér tices del tr i ngulo. Se encuen tra en laintersecc ión de las mediatr ices de los lados. V
Incentro:
es el centro de
la circunferencia inscr ita, aquella que es tangen te a los lados del
tr i ngulo. Se encuen tra en la intersecc ión de lasbisectr ices de los ángulos. W
Ortocentro:
es el punto que se encuen tra en la intersecc ión de las alturas.
El único caso en que es tos tres cen tros coinciden en un ún ico pun to es en un tr iángu lo equ ilátero.
Clasificación de los tri ngulos Por la longitud de sus lados se clasif ican en:
Tri ngulo equil tero: si sus tres lados X
60 grados
X
ó
tienen la misma longitud (los tres ángulos internos miden
radianes.)
Tri ngulo isósceles: si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángu los que se opone a es tos lados Y
tienen la misma medida.
Tri ngulo escaleno: si todos sus lados tienen longitudes diferentes. En un tr iángulo escaleno no hay `
ángu los con la misma medida.
Equilátero
Is sceles
Escaleno
or la amplitud de sus ángulos:
P
Triángulo re tángulo: a
si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el
ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa .
Triángulo obli uángulo: cuando no tiene un
Triángulo obtusángulo:
b
ángulo interior recto (90°).
si uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos
(menor de 90°).
Triángulo a utángulo: c
cuando sus tres ángulos son menores a 90°; el triángulo equilátero es un
caso particular de triángulo acutángulo.
Rectángulo
Obtusángulo
Acutángulo
Además, tienen estas denominaciones y características: Los triángulos acutángulos pueden ser:
Triángulo a utángulo is s eles: d
e
d
con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro
distinto, este triángulo es simétrico respecto de su altura diferente.
Triángulo a utángulo es aleno: f
f
con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no tiene ejes de
simetría. Los triángulos rectángulos pueden ser:
Triángulo re tángulo is s eles: g
h
g
con un angulo recto y dos agudos iguales (de 45 cada uno), dos
lados son iguales y el otro diferente, naturalmente los lados iguales son los catetos, y el diferente es la ipotenusa, es simétrico respecto a la altura que pasa por el ángulo recto asta la ipotenusa. i
i
i
Triángulo re tángulo es aleno: tiene un ángulo recto y todos sus lados y ángulos son diferentes. p
p
Los triángulos obtusángulos son:
Triángulo
equilátero
is sceles
escaleno
acutángulo
rectángulo
obtusángulo
Triángulo obtusángulo is s eles: q
r
tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los que
parten del ángulo obtuso, el otro lado es mayor que estos dos.
Triángulo obtusángulo es aleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son diferentes. s
Cál ulo de la super i ie de un triángulo
Área del triángulo: equivalencia gráfica.
La superficie de un triángulo se obtiene multiplicando la base por la altura y dividiendo entre dos (donde la altura es el segmento que parte perpendicular desde la base asta llegar al vértice opuesto). La t
superficie S queda expresada del siguiente modo:
Siendo b la longitud de cualquiera de los lados del triángulo y h la altura, o distancia entre la base y el vértice opuesto a dic a base. t
Si conocemos las longitudes de los lados del triángulo ( a, b, c) es posible calcular la superficie empleando laf rmula de Her n. u
u
donde s = ½ (a + b + c) es el semiperímetro del triángulo. Reescribiendo la f rmula anterior obtenemos: v
Otra forma de calcular el área es:
donde a y b son dos lados del triangulo y
es el ángulo comprendido entre ellos.
Triángulos obli uángulos ara resolver triángulos oblicuángulos se utiliza el Teorema del seno y el del coseno.
P
Teorema del seno
Teorema del seno.
E
n trigonometría, el teorema del seno es una relaci n de proporcionalidad entre las longitudes de los w
lados de un triángulo y los senos de los ángulos respectivamente opuestos. Usualmente se presenta de la siguiente forma: Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulosA, B y C son respectivamente a, b, c, entonces
Demostra i n A pesar de ser uno de los teoremas trigonométricos más usados y de tener una demostraci n w
particularmente simple, es poco común que se presente o discuta la misma en cursos de trigonometría, de modo que es poco conocida (aunque muy elegante).
l teorema de los senos establece que a/sin(A) es constante.
E
Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferenciacircunscrita. rolongando el segmento BO asta cortar la circunferencia, se obtiene undiámetro BP.
P
x
A ora, el triángulo PBC es recto, puesto que BP es un diámetro, y además los ángulos A yP son iguales, x
porque ambos son ángulos inscritos que abren el segmento BC (Vease definici n de arco capaz). Por y
definici n de la funci n trigonométrica seno, se tiene y
y
donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:
Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales. La conclusi n que se obtiene suele llamarse teorema de los senos generalizado y establece: y
P
ara un triángulo ABC donde a,b,c son los lados opuestos a los ángulos A, B,
C respectivamente, si R denota el radio de la circunferencia circunscrita, entonces:
Teorema del oseno E
l teorema del coseno es una generalizaci n del teorema de
Pitágoras en
los triángulos no
rectángulos que relaciona un lado de un triángulo con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados.
E
s un teorema comúnmente utilizado
en trigonometría que establece: Dado un triángulo ABC, siendo , , , los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:
E
n la mayoría de los idiomas, este teorema es conocido con el nombre de teorema del coseno,
denominaci n no obstante relativamente tardía.
E
n francés, sin embargo, lleva el nombre
del matemático persa G iyat al-Kas i que unific los resultados de sus predecesores.1
Fig. 1 - Notaci n más abitual de un triángulo.
Siendo ABC el triángulo, cuyo ángulo obtuso está en C , y BH la altura respecto del vértice B (cf. Fig. 2 contigua), la notaci n moderna permite formular el enunciado así:
Fig. 2 - Triángulo ABC con altura BH .
Faltaba esperar la trigonometría árabe-musulmana de la Edad Media para ver al teorema evolucionar a su forma y en su alcance: el astr nomo y matemático al-Battani4 generaliz el resultado de Euclides
en la geometría esférica a principios del siglo X, lo que permiti efectuar los cálculos de la distancia
angular entre el Sol y la Tierra.5 6 Fue durante el mismo período cuando se establecieron las primeras tablas trigonométricas, para las funciones seno y coseno.
E
so
permiti
a G iyat
al-
Kas i,7 matemático de la escuela de Samarcanda, de poner el teorema bajo una forma utilizable para la triangulaci n durante el siglo XV. La propiedad fue popularizada en occidente por François Viète quien, al parecer, lo redescubri independientemente.8
Fue a finales del siglo XVII cuando la notaci n algebraica moderna, aunada a la notaci n moderna de
las funciones trigonométricas introducida por Euler en su libro Introductio in analysin infinitorum, permitieron escribir el teorema bajo su forma actual, extendiéndose el nombre de teorema (o ley) del coseno. El E
teorema y sus apli a iones
l teorema del coseno es también conocido por el nombre de teorema de Pitágoras generalizado, ya que
el teorema de Pitágoras es un caso particular: cuando el ángulo cuando
es recto o, dic o de otro modo,
, el teorema del coseno se reduce a:
que es precisamente la formulaci n del teorema de Pitágoras.
Fig. 3 - Utilizaci n del teorema del coseno: ángulo o lado desconocido.
E
l teorema se utiliza en triangulaci n (ver Fig. 3) para resolver un triángulo, y saber determinar
el tercer lado de un triángulo cuando conocemos un ángulo y los lados adyacentes: .
los ángulos de un triángulo cuando conocemos los tres lados:
.
E
stas f rmulas son difíciles de aplicar en el caso de mediciones de triángulos muy agudos utlizando
métodos simples, es decir, cuando el lado c es muy pequeño respecto los lados a y b ²o su equivalente, cuando el ángulo es muy pequeño. E
xiste un corolario del teorema del coseno para el caso de dos tri ángulos semejantes ABC y A'B'C' .
Demostra iones Por desglose de áreas
Fig. 4a - Demostraci n del teorema del coseno por desglose de áreas, cuando el ángulo es agudo.
Un cierto número de la demostraciones del teorema acen intervenir un cálculo de áreas. Conviene en
efecto remarcar que
a², b², c² son las áreas de los
ab
cuadrados de lados respectivos a, b , c.
cos() es el área de un paralelogramo de lados a y b que forman un ángulo de 90°- (para una
prueba, ver el apéndice). Dado que cos() cambia de signo dependiendo de si es mayor o menor a 90°, se ace necesario dividir
la prueba en 2 casos La figura 4a (contigua) divide un eptágono de dos maneras diferentes para demostrar el teorema del
coseno en el caso de un ángulo agudo. La di visi n es la siguiente:
E
n verde, las áreas a², b² la izquierda, y el área , c a la derecha.
E
n rojo, el triángulo ABC en ambos diagramas y en amarillo triángulos congruentes al ABC .
E
n azul, paralelogramos de lados a y b con ángulo 90°-.
Igualando las áreas y cancelando las figuras iguales se obtiene que equivalente al Teorema del coseno.
,
Fig. 4b - Demostraci n del teorema del coseno por desglose de áreas, cuando el ángulo es obtuso.
La figura 4b (contigua) desglosa un exágono de dos maneras diferentes para demostrar el teorema del
coseno en el caso de un ángulo obtuso. La figura muestra
E
n verde a², b² la izquierda y c² a la derec a.
E
n azul -2ab cos(), recordando que al ser cos() negativo, la expresi n completa es positiva.
E
n rojo, dos veces el triángulo ABC para ambos lados de la figura.
Igualando áreas y cancelando las zonas rojas da
, como queríamos
demostrar.
Por el teorema de Pitágoras Notemos que el Teorema de Cosenos es equivalente al Teorema de Pitágoras cuando el ángulo es recto. or tanto s lo es necesario considerar los casos cuando cuando c es adyacente a dos ángulos agudos y
P
cuando c es adyacente a un ángulo agudo y un obtuso. Primer aso: c es adyacente a dos ángulos agudos.
Caso 1: c es adyacente a dos ángulos agudos Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece que c² = h² + u² de modo que h² = a² ( b-u)² .
Combinando ambas ecuaciones y luego simplificando obtenemos c² = u² + a² - b² + 2bu - u² , es
decir:
or la definici n de coseno, se tiene cos() = (b -u)/a, por tanto
P
Sustituimos el valor de u en la expresi n para c² y simplificamos: c² = a²-b² +2b (b-a cos()),
concluyendo
y terminando con esto la prueba del primer caso. Segundo
aso: c es adyacente a un ángulo obtuso.
Caso 2: c es adyacente a un ángulo obtuso Consideremos la figura adjunta. El teorema de Pitágoras establece nuevavamente c² = h² + u² pero en este caso h² = a² - ( b+u)² . Combinando ambas ecuaciones obtenemos c2 = u2 + a2 b2
2bu u2 y de este
modo: . De la definici n de coseno, se tiene cos() = (b+u)/a y por tanto
. Sustituimos en la expresi n para c² y simplificamos c² = a²-b² -2b(a cos()-b), concluyendo nuevamente
. E
sto concluye la demostraci n.
E
s importante notar, que si se considera a u como un segmento dirigido, entonces s lo ay un caso y las
dos
demostraciones
se
convierten
en
la
misma.
Por la poten ia de un punto on respe to a un ír ulo
Fig. 6 - Demostraci n del teorema del coseno utilizando lapotencia de un punto con respecto a un círculo.
Consideremos un c írculo con centro den B y radio BC , como en la f igura 6. Si C es tangen te a l círculo, j
nuevamente se tiene el Teorema de
Pitágoras. Cuando C no es tangen te, existe otro punto K de cor te con j
el círculo. LA potencia del punto A con respec to a dicho círculo es .
Por otro lado, L = c+a y AP = c-a de modo que j
. Además, CK= -2a cos() (ver el apénd ice) por lo que . Igualando las expresiones obtenidas se obtiene nuevamen te c²=a²+b² -2ab cos().
Contrar iamen te a las preceden tes, para esta demostración, no es necesar i o recurr ir a un estudio por caso pues las relaciones algebraicas son las mismas para el caso del ángu lo agudo.
Por
el c lculo vectorial
tili ando el cálculo vect or ial, más precisamen te el producto escalar, es posi ble encontrar el teorema de l
U
k
coseno en a lgunas líneas:
BIBLIOGRAFIA: http://es.wikipedia.org/wiki/Acutángulo http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_ del _ seno http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_ del _ coseno
