TRELIÇAS
Sistema estrutural composto por elementos lineares (barras) ligados por meio de nós, que só resistem à esforços axiais (esforços normais de tração ou compressão). Treliças para Pontes e Passarelas
a
xemp os e esquemas est t cos
b) Exemplos de pontes treliçadas
Treliças Planas para Coberturas: tesouras
Exemplos: a)
Pilar que serve de apoio para a treliça
b)
Esquema estático
Treliças Planas para Coberturas: tesouras
Exemplos: a)
Pilar que serve de apoio para a treliça
b)
Esquema estático
Ligação de várias tesouras com um pilar
Exemplos de Estruturas Treliçadas
Cobertura em treliça espacial de aço
EXEMPLOS DE VIGAS ISOSTÁTICAS TRELIÇADAS SOBRE 2 APOIOS
EXEMPLOS DE VIGAS ISOSTÁTICAS TRELIÇADAS EM BALANÇO
EXEMPLOS DE ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS TRELIÇADAS TRIARTICULADAS
ARTICULAÇÃO A: articulação de ligação das 2 partes da estrutura
EXEMPLOS DE VIGAS GERBER TRELIÇADAS
ARTICULAÇÃO A: dente Gerber
SOLUÇÃO DA VIGA GERBER TRELIÇADA
Calculam-se as reações de apoio através da viga Gerber abaixo:
Com os valores das reações de apoio, calculam-se as forças normais nas barras
CÁLCULO DOS ESFORÇOS NAS BARRAS DA TRELIÇA PLANA NÓ (articulação) conjunto de barras biarticuladas
Treliça
Se as forças são aplicadas nos nós articulados: o esforço cortante e o momento fletor são nulos nas barras: há apenas o esforço normal: P1
Barra bi-articulada::
N
P2 N
Rv =P1
Qs = 0
Ms = 0
Rv =P2
Simplificação: o peso próprio da barra (carga uniformemente distribuída) provocaria momento fletor e esforço cortante, porém o peso da barra é substituído por duas forças concentradas aplicadas nas extremidades p L
pL/2
pL/2
Transferências das cargas do telhado para os nós da treliça (tesoura)
Esquema estático das erças
terça
tesoura
squema es treliças
co as
Exemplo de como se faz uma articulação:
Ligação entre as barras através de um pino, sem atrito: as barras ficam articuladas nas extremidades, isto é, as barras ficam livres para girar. Normalmente a ligação não é feita dessa forma e quando se faz, é difícil garantir a condição de atrito nulo no pino.
Em geral, os nós não são articulados. Exemplos: Barras interligadas nos nós por meio Barras interligadas por meio de cordões de solda de chapas e rebites
Obs: se na ligação, as barras tiverem seus eixos no mesmo plano e se esses eixos se encontrarem num único ponto em cada nó, pode-se considerar a ligação como articulação, os erros são pequenos.
Se o nó não é articulado O nó impede a rotação das barras nas extremidades surgem momentos fletores e forças cortantes O cálculo que leva em conta essa rigidez dos nós é um problema da hiperestática. Porém, em muitos casos a rigidez dos nós não influi consideravelmente no dimensionamento das barras, podendo-se então calcular a treliça adotando-se os nós articulados.
Seja:
A treliça é geometricamente indeformável se: b ≥ 2 n − 3
n = nº de nós b = nº de barras
Se b > 2 n − 3 diz-se que a treliça possui barras superabundantes −
geometricamente indeformável, mas não suficiente, pois mesmo que essa condição seja verificada a treliça pode ser geometricamente deformável dependendo das disposição das barras. Exemplos: b b
=
2n − 3
3
=
2 x3 − 3
re ça geome r camen e indeformável b
=
2n − 3
5
=
2x4 − 3
treliça geometricamente indeformável
>
2n − 3
6
>
2 x4 − 3
treliça geometricamente indeformável, c/ barras superabundantes b
=
2n − 3
9
=
2 x6 − 3
treliça geometricamente deformável
Treliça simples: é aquela que obedece á seguinte lei de formação: a cada nó acrescentado à treliça devem-se acrescentar 2 novas barras (não-colineares), que partindo de 2 nós já existente vão se encontrar no novo nó. Exemplos:
Treliça composta: é aquela que resulta da associação de 2 ou mais treliças simples e que não podem ser obtidas através da lei de formação das treliças simples Treliça complexa: é aquela que não pode ser definida como treliça simples nem treliça composta
PROCEDIMENTO DE CÁLCULO: HIPÓTESE: os nós são perfeitamente articulados sujeitas apenas ao esforço normal P1 4
2
P4
7
5
1
P2
8
barras são
6
P3
Por simplificação será considerado que todas as barras estão tracionadas. Cortando, por exemplo, as barras 4, 5, 7 e 8 nas suas extremidades aparecerão os seguintes esforços normais de tração: F4
F8
F4
F8
F5
P1
F7
5
7 F5
O nó que interliga essas barras estará sujeito as seguintes forças:
F7
F4
F8 F5
F7
P1 4 y x
1
8 3
2
P2
P4
7
5 6
P3
Cada nó fica sujeito à ação das forças normais das barras que no nó se interligam, além das forças externas nele aplicadas:
Para o nó estar em equilíbrio deve-se verificar:
∑ F x
=0
∑ F y
=0
Têm-se 2 equações de equilíbrio por nó. Incógnitas do problema: forças normais nas barras e reações de apoio ESTRUTURA ISOSTÁTICA: Nº de incógnitas = Nº de equações de equilíbrio Seja:
n = nº de nós b = nº de barras º
Portanto: nº de incógnitas = b+v; nº de equações = 2n A estrutura será isostática se b+v = 2n
A condição b+v = 2n é necessária para a treliça ser isostática, mas não suficiente, pois mesmo que essa condição seja verificada a treliça pode ser geometricamente deformável ou os vínculos podem estar dispostos de forma incorreta formando um mecanismo (a estrutura pode se deslocar em determinada direção) b
=
2n − 3
b+v = 2n
9
=
2 x6 − 3
9+3= 2x6
Vínculos colocados de forma correta, mas a treliça é geometricamente deformável
b
=
2n − 3
b+v = 2n treliça geometricamente indeformável, mas os vínculos estã dispostos de forma incorreta (há deslocamento vertical no apoio m ve .
Isostática e geometricamente indeformável
b
=
2n − 3
b+v > 2n
17
=
2 x10
−
3
17+4> 2x10
Treliça hiperestática −
b+v = 2n
−
17+3= 2x10
Treliça isostática a
b
Treliças isostáticas Treliça b) foi obtida da treliça a), tirando a barra inferior e acrescentando 1 vínculo externo a b+v = 2n 15+3= 2x9 b b+v = 2n 14+4= 2x9
b
>
2n − 3
21
>
2 x10
−
3
Geometricamente indeformável c/ barras superabundantes b+v > 2n
21+3 > 2x10
sost t ca externamente com as equaç es e equ r o consegue obter as reações de apoio), mas é hiperestática internamente (aplicando as 2n equações nos nós,não se consegue obter as normais em todas as barras b+v > 2n
21+4 > 2x10
(com as equações de equilíbrio não se consegue determinar as reações de apoio nem as normais nas barras)
PROCEDIMENTO DE CÁLCULO: 1.Calculam-se as reações de apoio considerando-se as equações de equilíbrio: Aplica em qualquer ponto ∑ F x = 0 ∑ F y = 0 ∑ M = 0 da estrutura 2. Calculam-se as normais nas barras, aplicando as 2 equações de equilíbrio em cada nó: ∑ F x = 0 ∑ F y = 0 Obs: se aplicar as equações nos nós numa seqüência adequada, as normais nas barras são obtidas após a solução de vários sistemas de 2 equações e 2 incógnitas facilita o cálculo (no equilíbrio de cada nó, obtêm-se 2 incógnitas). Obs: na montagem do sistema de equações consideram todas as normais de tração; após a solução do sistema se o valor obtido para a normal for negativo, quer dizer que é compressão; se for positivo é tração.
P1 8E B 4 D 7 3 5 1
Exemplo: y A
x
B
G
F
2 C 6
P2
P4 K
I
J
H
M
L P3
. reações de apoio: RHA, RVA e RVM
D α
RHA A
N
C RvA
2. Nó A:
x
∑ F y
4. Nó C:
=
R HA
=0
RVA
F 2
+
+
F 2
F 1
=
=
3. Nó B:
F 3 cos
=0
−
∑ F y
=0
F 3 sen α + F 5
+ =
x
∑ F y
0
∑ F x
−
0
0
F 6
=
0
=
F 3 cos
=0
−
+
F 4
F 3 sen α − F 1
5. Nó D ......, nó N
=
0
=
0
TRELIÇAS COMPOSTAS É a associação de duas ou mais treliças simples através de um sistema de ligação isostático (sistema que restringe os três graus de liberdade de uma treliça simples em relação à outra). Se o nº de barras de liga uma treliça a outra for maior que o necessário para restringir esses 3 graus de liberdade, tem-se uma treliça composta hiperestática. Há 2 formas de se obter uma treliça composta isostática: a)Ligando as 2 treliças através de 3 barras não paralelas nem concorrentes no mesmo ponto
b)Ligando as 2 treliças através de 1 nó e 1 barra não concorrente nesse nó.
MÉTODO DAS SEÇÕES É mais usado quando se quer o esforço N em apenas 1 barra ou poucas barras Exemplo: calcular a normal na barra DE: - Corta a barra DE, onde se quer calcular N, formando uma indeformáveis ligados por meio da articulação em F. -Para a estrutura triarticulada, tem-se: ΣMF(considerando o reticulado da esquerda)=0 ΣMF(considerando o reticulado da direita)=0 MF(considerando o reticulado da esquerda)=0 Σ
-2991x8-NDEx3+1000x4=0 NDE=-6443kg Obs: Para ser geometricamente indeformável: b=2n-3 Reticulado da direita: 9=2x6-3 Reticulado da esquerda: 7=2x5-3
Exemplo: calcular a normal nas barras 1, 2 e 3: corta as 3 barras de uma só vez, formando 2 reticulados separados e geometricamente indeformáveis Quando rompe a treliça nessas barras, nada se alterará sob o ponto de vista estático se substituirmos as barras rompidas pelos esforços normais nelas atuantes. Cada reticulado formado deve estar em equ r o, po s per ence a uma peça que es em equ r o. 1
b=2xn-3: 3=2x3-3
2
Para os reticulados 1 e 2, deve-se ter:
∑
F x
=0
∑
F y
=0
∑ M
=0
Aplicando essas equações a um dos reticulados: 3 equações e 3 incógnitas: obtém N1, N2 e N3
5=2x4-3
Obs: pode acontecer de ao cortar várias barras ao mesmo tempo resulte em um dos reticulados geometricamente deformável. Quando acontece isso, deve-se analisar a deformabilidade do reticulado deformável, o que pode ser complicado. Se não for simples analisar essa deformabilidade, é melhor cortar menos barras e ir calculando as normais através de cortes sucessivos em várias barras. Cálculo das treliças compostas: para facilitar a solução, primeiro aplica o método das seções para achar as normais nas barras de ligação. Conhecidas essas normais, aplica-se o método do equilíbrio dos nós normalmente. Exemplo:
D N1
Treliças simples conectadas pela barra 1 e articulação C
Corta a barra 1 e calcula N1, depois faz o equilíbrio dos nós começando pelo nó D
Treliça Composta 1m E
F D N1
Cortando a barra 1, obtém 2 reticulados geometricamente indeformáveis (7=2x5-3) unidos pela articulação C MC(considerando o reticulado da direita)=0
Σ
Ou ΣMC(considerando o reticulado da esquerda)=0 -3x6+2x3+N1x4=0
N1=3t
Faz o equilíbrio dos nós na seguinte ordem: D, A, E, F
Treliça Composta
I H
Treliças simples conectadas pela barra DE e articulação C
J NDE
G
Cortando a barra DE, obtém 2 reticulados geometricamente indeformáveis (13=2x8-3) unidos pela articulação C ΣM considerando o reticulado da direita =0 Ou ΣMC(considerando o reticulado da esquerda)=0 -14x10+4x(7,5+5+2,5)+NDEx6=0
NDE=13,3t
Faz o equilíbrio dos nós na seguinte ordem: A, F, G, D, H, I, J Na outra metade da treliça os resultados são simétricos
Treliça Composta Treliças simples conectadas pela barra FG e articulação C Cortando as barra BF e AF, obtém 2 reticulados unidos pela articulação C Considerando o reticulado da esquerda: =
B
acha NAF MC(pelo lado ABC)=0
Σ
acha NBF
Treliça Composta Barras de ligação: DE, AB e GI
Cortando as barras DE, AB e GI, obtém 2 reticulados separados, que devem estar em equilíbrio Impondo as equações de equilíbrio a um dos normais NDE, NAB e NGI ∑ F x
=0
∑ F y
=0
∑ M = 0
Através do equilíbrio dos nós acham-se as outras normais (nó G, F, E).
