Tr_de_P_cours

CI 4-4 : SYSTÈMES DE TRANSMISSION DE PUISSANCE (COURS)

ENGRENAGES

Z22 = 15 15

Z31 = 34

Z1 = 11 11

Z4 = 45 Z21 = 34

Z32 = 11

POULIES/COURROIE ET PIGNONS/CHAÎNE

ACCOUPLEMENTS MÉCANIQUES

CI 4-4 Transmission de puissance – cours

PTSI - SII

CI 4-4 : Modéliser l a cinématique des systèmes de transmission de puissance Extrait des compétences attendues, d’après le programme officiel : Compétence

AANALYSER

#$%!EL&SER

A3 Conduire l'analyse

# - (usti)ier ou c*oisir les +randeurs nécessaires , la modélisation

Descriptif À partir d’un système et/ou de sa documentation technique, l’étudiant doit être capable de  - définir la structure d!un système " - qualifier le comportement# &n système étant fourni, et les e'i(ences définies, l’étudiant doit être capable de  - définir la frontière de tout ou partie d’un système et répertorier les interactions " - identifier et choisir les (randeurs et les paramètres influents en vue de modéliser#

Connaissances Transmetteurs de puissance · Caractéristiques  · !omaines d'application"

&solement dun solide ou dun syst.me de solides

) $pproche mécanique "

Savoir-faire $nalyser une solution de transmission de puissance

S%

- *dentifier les paramètres cinématiques d’entrée et de sortie d’une cha+ne cinématique S% de transformation de mouvement "

CI 4-4 : Modéliser l a cinématique des systèmes de transmission de puissance Extrait des compétences attendues, d’après le programme officiel : Compétence

AANALYSER

#$%!EL&SER

A3 Conduire l'analyse

# - (usti)ier ou c*oisir les +randeurs nécessaires , la modélisation

Descriptif À partir d’un système et/ou de sa documentation technique, l’étudiant doit être capable de  - définir la structure d!un système " - qualifier le comportement# &n système étant fourni, et les e'i(ences définies, l’étudiant doit être capable de  - définir la frontière de tout ou partie d’un système et répertorier les interactions " - identifier et choisir les (randeurs et les paramètres influents en vue de modéliser#

Connaissances Transmetteurs de puissance · Caractéristiques  · !omaines d'application"

&solement dun solide ou dun syst.me de solides

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Savoir-faire $nalyser une solution de transmission de puissance

S%

- *dentifier les paramètres cinématiques d’entrée et de sortie d’une cha+ne cinématique S% de transformation de mouvement "

SYSTÈMES DE TRANSMISSION DE PUISSANCE Tabl !" #a$%&'" 1

Généralités sur les systèmes de transmission de puissance

1

2

Engrenage : définitions et géométries 2.1 Généralités sur les engrenages 2.2 Les différents types d’engrenage 2.3 Caractéristiques des engrenages cylindriques à denture droite 2.4 Caractéristiques des engrenages cylindriques à denture hélicoïdale 2.5 Caractéristiques des engrenages coniques 2.6 Caractéristiques d’un engrenage gauche : l’engrenage roue et vis sans fin 2.7 Fabrication des roues dentées

3 3 4 5 8 10 11 12

3

Train simple d’engrenages

13

4

Train épicycloïdal 4.1 Introduction sur les trains épicycloïdaux 4.2 Raison d’un train épicycloïdal (formule de Willis) 4.3 Méthodes pour déterminer la relation entrées-sorties

15 15 16 17

5

Systèmes poulies/courroie et pignons/chaîne 5.1 Poulies-courroie 5.2 Pignons-chaîne

18 19 23

6

Systèmes de transformation de mouvement 6.1 Bielle-manivelle 6.2 Came 6.3 Vis-écrou 6.4 Pignon-crémaillère 6.5 Autres systèmes de transformation de mouvement

26 26 26 27 27 27

7

Accouplements Accouplements (ou joints) mécaniques 7.1 Généralités 7.2 Accouplements Accouplements rigides 7.3 Accouplements Accouplements élastiques ou flexibles 7.4 Joints de cardan et assimilés

28 29 30 31 34

8

Récapitulatif des lois entrée-sortie entrée-sortie

37

Transmission de puissance

1) Généralités sur les systèmes de transmission de puissance

1

) GÉNÉRALITÉS SUR LES SYSTÈMES DE TRANSMISSION DE PUISSANCE Les systèmes de transmission de puissance mécanique sont situés, sur la chaîne d’énergie, entre l’actionneur et l’effecteur.

Énergie d’entrée

Alimenter

Distribuer

Convertir

Agir sur la matière d’œuvre

Transmettre

Actionneur

Effecteur

CHAINE D’ÉNERGIE Structure du schéma « chaînes d’énergie »

Sans changer le type d’énergie (mécanique pour la l a plupart des systèmes étudiés en CPGE), les systèmes de transmission de puissance l’adaptent pour qu’elle soit uti lisable par l’effecteur.

Système d’adaptation de mouvement

Entrée Axe de rotation Vitesse de rotation Couple Puissance

Sortie Axe de rotation Vitesse de rotation Couple Puissance

Au moins un paramètre est modifié

Rapport de transmission

Rendement Régime stationnaire

Régime instationnaire


1) Généralités sur les systèmes de transmission de puissance

Les systèmes de transmission de puissance mécanique les plus courants sont : ● L"

$'a"*+'#a$,'" ! #+,#$ (transforment la nature du mouvement) :

Pignon/crémaillère (R ↔ T)

Treuil (R → T) ● L"

Vis/écrou (R → T)

Bielle/manivelle (R ↔ Talternative)

Poulies/courroie ou pignons/chaîne lorsque la courroie (ou la chaîne) est la sortie (R → T)

Came/poussoir (R → Talternative)

Systèmes de barres articulées (mouvements quelconques)

a!a.$a$,'" ! #+,#$ "a" $'a"*+'#a$%+ (même nature du mouvement E/S) :

○ Engrenage droit (à axes parallèles) : changent l’axe de rotation (mais conservent la direction) et éventuellement le sens, la vitesse de rotation et le couple ; ○ Engrenage conique (à axes concourants) : changent l’axe de rotation et éventuellement la vitesse de rotation et le couple ; ○ Engrenage gauche (à axes ni parallèles ni concourants) : changent l’axe de rotation et éventuellement la vitesse de rotation et le couple ; ○ Poulies/courroie ou pignons/chaînes : changent l’axe de rotation (mais conservent souvent la direction) et éventuellement le sens, la vitesse de rotation et le couple ; ● L"

a+,.l#$ (+, 0+%$ ! $'a"#%""%+)1 #b'a2a3 $ *'% :

○ Accouplement : permet l’entrainement d’un système par un autre (dont les axes peuvent être non alignés) ; ○ Embrayage : accouplement temporaire ;

accouplements

○ Frein : embrayage dont l’un des deux systèmes est le bâti. Frein à disque

● L"

l%#%$,'1 '3,la$,'1 b+5$ ! %$"" $ a'%a$,' #a%6,"

Un limiteur délivre une vitesse ou un couple en sortie ne pouvant pas dépasser une valeur max. Un régulateur délivre une vitesse de sortie constante (même si l’entrée varie). Une boîte de vitesse permet d’obtenir des rapports de transmissions différents. Un variateur est une boîte de vitesses continue (variation continue du rapport de transmission).

2


2) Engrenage : définitions et géométries

7) ENGRENAGE : DÉ8INITIONS ET GÉOMÉTRIES 79) G'al%$" ",' l" 3'a3" Vocabulaire

■

Définition: Un engrenage est l'association de deux roues dentées complémentaires, chacune en liaison (souvent pivot) par rapport à un support que l'on appellera "porte-axes" (souvent le bâti, mais pas toujours). La plus petite roue dentée se nomme pignon. Une roue dentée intérieure s’appelle couronne. Le système pignon/crémaillère peut être considéré comme un engrenage si l’on considère que la crémaillère est une portion de roue dentée de diamètre infini.

Avantages

■

Pour un prix de revient modéré, les engrenages ont pour avantages un excellent rendement et un encombrement plutôt faible.

Rapport de transmission et nombre de dents des roues dentées

■

Le rapport de transmission est le rapport entre la vitesse de sortie et la vitesse d’entrée (de l’engrenage). Par intégration temporelle, le rapport de transmission est aussi le rapport entre l’angle parcouru par l’arbre de sortie et l’angle parcouru par l’arbre d’entrée. Comme une dent de la roue d’entrée entraîne une dent de la roue de sortie, le rapport de transmission d’un engrenage est aussi le rapport des nombres de dents des deux roues dentées. Ainsi lorsque la grande roue dentée fera un tour, le pignon (petite roue) fera plus d’un tour : le pignon tourne donc plus vite que la grande roue. Le rapport des vitesses est donc l’inverse des rapports des nombres de dents. Rapport de transmission :

k=

ω2/porte −axes ω1/porte−axes

=

θ2/porte −axes θ1/porte −axes

=

Z1 Z2

Attention toutefois au signe du rapport de transmission dans le cas d’un engrenage droit à contact extérieur

3


4


797) L" !%**'$" $2." !3'a3 Engrenage droit (ou parallèle, ou cylindrique) : dont les axes de rotation sont parallèles à denture hélicoïdale

à denture droite Dessin Schéma normalisé cinématique

+ : Peu couteux ; Très bon rendement ( ≈ 98%).

Dessin Schéma normalisé cinématique

+ : Peu de bruit et de vibrations ; Transmettent de grandes puissances. puissances. Rendement ≈ 95%. - : Engendrent un effort axial.

- : Engendrent bruit et vibrations.

à chevrons (= 2 x dentures hélicoïdales)

+ : Pas d’effort axial ; Puissances très grandes. - : Mise en œuvre.

Entraxe : distance entre les axes de rotation des deux roues : a = (d 1+d2)/2 our un contact extérieur Diamètre d’une roue : d = m.Z d : diamètre primitif de la roue dentée, en mm m : module de la roue dentée, en mm Z : nombre de dents de la roue dentée

Ainsi, le rapport de transmission est aussi le rapport inverse Z d ω des diamètres : k = sortie = ± entrée = ± entrée Z sortie dsortie ωentrée

Engrenage extérieur :

Engrenage intérieur :

(Sens de rotation inversé)

(Même sens de rotation)

Couronne (Roue à denture intérieure)

E3'a3 +%6,

E3'a3 3a,; (autres cas)

(à axes concourants)

(Ex : Roue et vis sans fin)

Dessin normalisé

Schéma cinématique Dessin normalisé

Schéma cinématique

Le nombre de dents de la vis est son nombre de filets

+ : Renvoi d’angle de la transmission. - : Nécessitent un réglage précis.

+ : Très grand rapport de réduction ; Peut être irréversible. - : Mauvais rendement (≈60%) ; Engendre un effort axial important.


5


.%3+/'#a%ll&'

Le système peut aussi être considéré comme un engrenage, en considérant que la crémaillère est une roue dont le diamètre est infini. La crémaillère devra être en liaison glissière avec son « porte-axe », le profil de ses dents n’est pas en développante de cercle, mais rectiligne. On a la relation des vitesses suivante : Vcremaillère / bati = R pignon .ω pignon / bati avec R pignon : rayon primitif du pignon : R pignon =

d pignon

2 Le rendement d’un tel système est de l’ordre de 98%

=

m.Z pignon

2 V

ω

79<) Ca'a$'%"$%6," !" 3'a3" 2l%!'%6," = !$,' !'+%$ D$,'  !l+..a$ ! 'l

■

Une dent a un profil en "développante de cercle". L'engrènement entre deux dents ayant un profil en développante de cercle donne les avantages suivants :  transmisson homocinétique, c’est-à-dire que si la vitesse angulaire d’entrée est constante, la vitesse angulaire instantanée de sortie sera constante aussi (donc pas de vibrations) ;  angle de pression α constant (angle entre la tangente aux cercles primitifs et la ligne d'action) ;  équivalence avec roulement sans glissement au niveau du cercle pri mitif.

L’engrènement est identique à deux roues cylindriques qui roulent sans glisser l’un sur l’autre. Les diamètres de ces cylindres sont identiques aux diamètres primitifs des roues dentées.



M+!,l $ +!%$%+ !3'&#$

■

La forme des dents est définie par rapport au module m (souvent exprimé en mm). Le module est défini par la relation : d=m.Z avec : d : diamètre primitif de la roue dentée ; Z : nombre de dents de la roue dentée. Ainsi un pas vaut 2 π.R / Z = π.m Et donc le module est proportionnel à l’épaisseur de la dent au niveau du diamètre primitif. C’est-à-dire que plus le module est important, plus les dents sont épaisses et résistantes. Pour que l'engènement entre deux roues dentées soit possible, il faut que le pas primitifs p des deux roues soient identiques (pour qu’une dent du pignon puisse venir dans l’intervalle entre deux dents de la roue), donc que les modules des deux roues soient identiques.

Condition d'engrènement: Pour que l'engrènement entre deux roue dentées soit possible, il est nécessaire que le module des deux roues soient identiques.

Dans les engrenages standards, en plus du pas (intervalle + épaisseur), les dimensions radiales des dents (hauteur = saillie + creux ) sont aussi proportionnelles au module. On a : - saillie : ha = m ; - creux : hf = 1,25.m (pour pouvoir « accueillir » la dent de la roue engrenant) Ainsi, le diamètre de tête vaut d a = d + 2.h a = d + 2.m Les dents standards (fabriquées en très grande série, interchangeables et peu chères) ont des modules prenant des valeurs standards (souvent entières), comme « 6mm ; 8mm ; 10mm … » Mais on peut aussi fabriquer des roues dentées non standards (bien plus chères, sauf si on en fabrique en grande série, comme dans les boîtes de vitesses automobiles). De plus, la largeur b est déterminée en fonction des efforts à transmettre (comme le module), et doit être au maximum de 10 à 15 fois le module (sinon le contact ne se fait pas sur toute la largeur).

6



A$%+ #a%6, $'a"#%" !a" , 3'a3 !'+%$ = !$,' !'+%$

■

La ligne d'action est la droite reliant les points de contact entre les dents des deux roues : elle reste inchangée pendant le fonctionnement. C'est aussi la direction de la force transmise d'une roue à l'autre. Pour savoir comment est inclinée cette ligne d'action, il est nécessaire de connaître non seulement l'angle de pression (donnée lors de la fabrication des dents, valant 20° pour les roues standards) mais aussi le sens de rotation et la roue menante (afin de savoir de quel côté des dents le contact s'effectue).

7



794) Ca'a$'%"$%6," !" 3'a3" 2l%!'%6," = !$,' ;l%+>!al Les engrenages à denture hélicoïdale permettent un fonctionnement plus silencieux que celui des engrenages à denture droite ; ils présentent également un meilleur rendement. Ils sont notamment utilisés dans les boîtes de vitesses d’automobiles (sauf dans le cas de la marche arrière, d'où le bruit spécifique), les réducteurs et les multiplicateurs de vitesses.

G+#$'% !" !$,'" ;l%+>!al"  !l+..a$ ! 'l

■

Désignation module réel Nombre de dents Angle d’hélice module apparent (transversal)

Symbole mn Z

β mt

pas réel

pn

pas apparent

pt

diamètre primitif

d

formule déterminé par un calcul de RdM fonction du rapport de réduction 20° ≤ β ≤ 30° mt =

mn

cos β

pn = π .mn pt =

pn

cos β d = mt.Z

8



C+!%$%+" !3'&#$

■

Trois conditions sont à respecter pour que deux roues dentées droites à denture hélicoïdale puissent engrener ensemble : - modules (transversaux m t ou normaux m n) identiques ; - angles d’hélice β identiques ; - sens d’hélice différents si le contact est extérieur (une roue avec hélice à droite et une à gauche), ou sens d’hélices identiques si le contact est intérieur.

A$%+ #a%6, $'a"#%" !a" , 3'a3 !'+%$ = !$,' ;l%+>!al

■

Les dentures hélicoïdales provoquent une poussée axiale , d’où la nécessité de l’emploi de butées ou de roulements à rouleaux coniques. La poussée axiale est proportionnelle à l’angle d’hélice β . On peut donc réduire la poussée axiale en diminuant l’angle d’hélice, mais on peut également la supprimer, en utilisant des roues jumelées dont les dentures sont inclinées en sens opposé ou encore par l’utilisation d’une denture en chevrons.

9



79?) Ca'a$'%"$%6," !" 3'a3" +%6," Les engrenages coniques permettent de transmettre le mouvement entre deux arbres concourants avec un rapport de vitesse rigoureux. Les conditions d’engrènement imposent que les deux roues doivent avoir même module et que les sommets des deux cônes soient confondus. Ce dernier impératif oblige le concepteur à un centrage très précis des deux roues pour assurer un fonctionnement correct. Il faut donc prévoir au montage un réglage axial des deux roues. On peut utiliser par exemple des boîtiers et des cales de réglage.

Désignation module Nombre de dents Angle primitif

Symbole m Z

diamètre primitif

d

δ

formule déterminé par un calcul de RdM fonction du rapport de réduction Z tan δ = 1 Z 2 d = mt.Z

10



79@) Ca'a$'%"$%6," !, 3'a3 3a,; : l3'a3 '+, $ %" "a" *% C’est un engrenage hélicoïdal dont les axes sont orthogonaux et non concourants. La transmission par ce type d’engrenage donne une solution simple pour les grands rapports de réduction, avec un fonctionnement peu bruyant. La poussée de la vis est forte surtout si la démultiplication est grande. On utilise alors une butée à billes ou à rouleaux ou encore des roulements à contact oblique pour réaliser la liaison pivot avec le support. Lorsque l’inclinaison des filets est faible (vis à un filet), la transmission est irréversible, ce qui est souvent utile, car le réducteur s’oppose à toute rotation commandée par la machine réceptrice (exemple : appareils de levage). Toutefois le rendement est alors faible et le couple de démarrage est beaucoup plus fort que le couple à vitesse de régime. Le rendement est meilleur avec les fortes inclinaisons, à condition que les métaux en présence soient bien choisis et l’exécution des dentures très précises, avec des états de surface très soignés. Le frottement est important et donne un rendement médiocre.

Pour la roue : Le profil de la roue est le profil conjugué de celui de la vis. L’engrènement d’une vis avec une roue n’est possible que si elles ont même module axial et même angle d’hélice. Les caractéristiques dimensionnelles de la roue sont identiques à celles d’une roue à denture hélicoïdale. La roue est généralement cylindrique pour transmettre des efforts relativement faibles, mais pour transmettre des efforts importants, une roue creuse est préférable. Pour la vis : Filet : une des dents de la vis. Les vis peuvent avoir un ou plusieurs filets. Pour augmenter le nombre de dents de la roue en contact avec la vis, et donc ainsi le couple transmissible, on peut utiliser une vis globique (ci-contre).

Loi entrée-sortie : Rt =

ω vis Z roue = ω roue Z vis

où Z vis est le nombre de filets de la vis

11



79) 8ab'%a$%+ !" '+," !$" Par moulage Au sable, pour pièces en fonte ou en acier, sous pression pour roues en alliages légers ou matières plastiques. Les dentures brutes sont très souvent achevées sur une machine à tailler.

Par forgeage Il donne également des dentures brutes.

Par taillage (enlèvement de matière) 1- taillage successif : les dents sont usinées complètement et successivement soit par une fraise de forme (fraise module) ou par génération par outil crémaillère, ou encore par outil-pignon. Lors de l'usinage par outil crémaillère ou outil pignon, l'outil est animé d'un mouvement alternatif axial et les mouvements de la pièce et de l'outil sont combinés (roulement sans glissement des surfaces primitives).

fraise module

2- taillage progressif : à chaque instant toutes les dents à tailler sont à peu près dans le même état dans la génération pas fraise-mère (appelée aussi vismère), voir ci-contre:

12


3) Train simple d’engrenages

<) TRAIN SIMPLE DENGRENAGES Définition

■

On appelle train d’engrenages simple (ou ordinaire), un train pour lequel toutes les roues dentées tournent autour d’un axe fixe par rapport au carter. Ces trains sont à un degré de liberté (une entrée, une sortie dépendant de l'entrée), et les engrenages peuvent être cylindriques, coniques ou gauches.

Rendement

■

Le rendement global d’un train d’engrenages simple est la multiplication des rendements de chaque engrenage. n

η = ∏η i

n étant le nombre d’engrenages

i =1

(nombre de contacts) Démonstration : P P P η global = η1− 4 = 4 = 4 . 2 = η3− 4 .η1− 2 car P2 = P3 : 2 et 3 sont la même classe cinématique. P1 P3 P1

Rapport de transmission

■

Le rapport de transmission global d’un train d’engrenages simple est la multiplication des rapports de transmission de chaque engrenage. n

k = ∏ k i

n étant le nombre d’engrenages (nombre de contacts)

i =1

Démonstration : k global = k 1− 4 =

ω4 ω4 ω 2 = = ω3− 4 .ω 1− 2 . ω1 ω3 ω 1

car ω2 = ω3 : 2 et 3 sont la même classe cinématique.

Ecrit avec le rapport des nombres de dents, cela donne : n Z menant ( entrée) ω S j = ( −1) .∏ k = ω E i =1 Z mené ( sortie )

avec j : nombre de contacts extérieurs (dans le cas d’engrenages cylindriques uniquement)

13


14

3) Train simple d’engrenages

Application : on considère le train plan simple suivant :

Z = 11 1

Z = 34 21

Z = 45 4

Z = 11 32

Z = 15

Z = 34

22

31

Z = 15 22

Z = 34 31

Z = 11

Z = 45

1

4

Z = 34 21

Z = 11 32

Calculer le rapport de réduction k =

ω 4 / 0 ω 1/ 0


15

4) Train épicycloïdal

4) TRAIN ÉPICYCLOBDAL 49) I$'+!,$%+ ",' l" $'a%" .%2l+>!a, Définition

■

Un train d'engrenages est qualifié d'épicycloïdal quand, pendant le fonctionnement, une ou plusieurs roues dentées tournent autour d'un axe géométrique mobile par rapport au carter principal.

Propriétés

■

Un train épicycloïdal élémentaire possède deux mobilités, et donc 3 « entrées-sorties » (deux entrées et une sortie, ou une entrée et deux sorties).

Différents types de trains plans élémentaires

■

Il existe plusieurs types de trains épicycloïdaux, les plus courants étant les trains plans (c’està-dire que tous les axes de rotation sont parallèles), parmi lesquels on peut distinguer quatre variantes élémentaires : S4

Z4b

Z4a

S4 PS3 P1

P2

S4

Z4a

Z4b

Z4a

P2

PS3

P1

S4

Z4b

PS3 PS3

P1

P2

P1

Ces différents types de trains épicycloïdaux plans élémentaires peuvent être disposés en série, ou imbriqués les uns dans les autres pour créer des trains épicycloïdaux plus complexes.

Composants

■

La roue 4 est celle qui tourne autour d'un axe non fixe par rapport au bâti. Elle est appelée satellite et est en liaison pivot avec le porte-satellite(s) 3. Les roues 1 et 2 sont appelées planétaires, qualifiés d'intérieur ou extérieur selon leur denture.

P2



Train épicycloïdal sphérique

■

Il existe des trains épicycloïdaux non plans, dont le train épicycloïdal sphérique, c’est-à-dire composé d’engrenages coniques (cf. ci-contre).

Un exemple est le différentiel automobile (représenté cidessous), qui permet la transmission de la puissance aux deux roues arrières, qui peuvent tourner à des vitesses différentes (en virage) ou non (en ligne droite). Dans ce cas, l'axe de rotation du satellite est perpendiculaire à celui des planétaires.

La résolution cinématique des trains épicycloïdaux sphériques se fait de la même façon que les trains épicycloïdaux plans élémentaires (étudiés dans la partie suivante) : il convient d’identifier le porte-satellite (repère 4 sur le schéma cinématique du différentiel ci-dessus).

497) Ra%"+ !, $'a% .%2l+>!al (*+'#,l ! %ll%") La raison d’un train épicycloïdal est ce qui remplace le rapport de transmission dans un train d’engrenages simple. C’est la formule reliant les trois « entrées-sorties » du système. Pour la déterminer, l’astuce est de considérer les mouvements non pas par rapport au bâti, mais par rapport au porte-satellite (seule pièce par rapport à laquelle tous les axes de rotation sont fixes). ω Z Z n n Z On obtient alors la raison λ : λ = P 2 / PS 3 = ( −1) .∏ menantes = ( −1) . 1 . 4 b ω P1/ PS 3 Z menées Z 4 a Z 2 n : nombre de contacts extérieurs type I & II : n = 1 ; type III : n = 0 ; type IV : n = 2. Afin de faire apparaître les vitesses de rotation absolues (par rapport au bâti), on décompose : ωP 2 / PS 3 = ω P 2 / 0 + ω0 / PS 3 = ω P 2 / 0 − ω PS 3 / 0 et ωP1/ PS 3 = ω P1/ 0 + ω 0 / PS 3 = ω P1/ 0 − ω PS 3/ 0 Et ainsi on obtient la formule de Willis :

λ =

ωP 2 / 0 − ω PS 3 / 0 n Z Z = ( −1) . 1 . 4b ωP1/ 0 − ω PS 3 / 0 Z 4 a Z 2

avec n : nombre de contacts extérieurs

Que l’on trouve parfois écrite : λ.ωP1/ 0 + (1 − λ ) .ω PS 3 / 0 − ω P2 / 0 = 0 Il est important de connaître la méthode pour obtenir la formule de Willis (la raison du train), et il est quasi-inutile de connaître la formule par cœur (elle est facile à retrouver).

16


17


49<) M$;+!" .+,' !$'#%' la 'la$%+ $'"-"+'$%" Il existe plusieurs façons différentes pour déterminer la relation entrées-sorties dans un train épicycloïdal (qu’il soit plan ou non, élémentaire ou non). Nous allons voir deux méthodes appliquées au train (plan élémentaire) de type I.

S4 PS3 P1

P2

Par la formule de Willis (c’est le plus simple – à utiliser de préférence)

■

ω2 / 3 ω2 / 0 − ω 3 / 0 Z Z Z = =− 1. 4 =− 1 ω1/ 3 ω1/ 0 − ω 3/ 0 Z 4 Z 2 Z 2

Et ainsi : −ω2 / 0 −

Z1 Z 2

.ω1/ 0 +

Z1 + Z 2 Z 2

.ω 3 / 0 = 0

Que l’on réécrire (car les modules sont tous identiques, 1 engrenant avec 4 qui lui-même d d + d 2 −ω2 / 0 − 1 .ω1/ 0 + 1 engrène avec 2) : .ω 3 / 0 = 0 d2 d 2

Par le roulement sans glissement

■

  0 , 4,4/2/0 00 ,,1/41/0  ,4/0 ,2/0 0 / /  0 ///    0  / // // //  00         /  /  /  !!"# $"/%  !"!!# # $&/% $#/%  % RSG en I entre 1 & 4 et J entre 4 & 2 &



3 



4

2 1

0

On peut aussi utiliser des méthodes de résolution graphique, ou encore analytique par fermeture cinématique…


5) Poulies/courroie et pignons/chaîne

?) POULIES/COURROIE ET PIGNONS/CHAÎNES Ce cours est en grande partie issu du Guide des sciences et technologies industrielles, de Fanchon. Ces systèmes sont principalement utilisés lorsque les axes sont éloignés, car leur coût est faible.

Glissement : Le rapport de transmission n’est pas exact, car la courroie « glisse » légèrement sur les poulies (sauf pour la courroie crantée). L’entrainement s’effectue par adhérence (sauf pour la courroie crantée, par obstacle). Le glissement est d’autant plus réduit que la courroie est tendue. Ce glissement peut être un inconvénient (rapport de transmission non exact, et non constant car il varie en fonction du couple) ou un avantage (limite le couple transmissible). ■

Dans ces systèmes, les poulies ou les roues dentées tournent dans le même sens, contrairement aux engrenages extérieurs. d ω Le rapport de transmission est alors : r = sortie = entrée , lorsqu’il n’y a pas de glissement. dsortie ωentrée Avec :dentrée : Diamètre primitif de la poulie ou de la roue motrice ; dsortie : Diamètre primitif de la poulie ou de la roue réceptrice.

Vitesse linéaire de la courroie (ou de la chaîne) (sans glissement, et approximativement identique en tout point, si l’on néglige l’élasticité de la courroie) : V = R.ω avec R : rayon primitif. ■

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?9) S2"$&#" .+,l%"-+,''+%

■

Schéma cinématique :

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5.1.1) Courroie ronde Elles sont surtout utilisées dans les petits mécanismes.

5.1.2) Courroie plate

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5.1.3) Courroie trapézoïdale


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5.1.4) Courroie crantée (ou synchrone)

■

Rapport de transmission : r =

ωsortie ωentrée

=

Z entrée Zsortie

=

d entrée dsortie

(Z : nombre de crans ; d :

diamètre primitif) Ce rapport de transmission est exact s’il est calculé sur une moyenne des vitesses, car les vitesses instantanées varient, en fonction de la tension de la courroie, donc du couple transmis (dû à l’élasticité de ces courroies).

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?97) S2"$&#" .%3+"-;a5 Les chaînes sont utilisées en transmission de puissance mais aussi en manutention et convoyage et dans de nombreuses réalisations.

5.2.1) Principales caractéristiques -

Rapport de transmission moyen constant (en considérant l’effet de corde négligeable), car pas de glissement) ; Longues durées de vie ; Aptitude à entraîner plusieurs arbres récepteurs en même temps à partir d’une même source ; Sont essentiellement utilisées aux « basses » vitesses (moins de 13m/s pour les chaînes à rouleaux, moins de 20m/S pour les chaînes silencieuses) ; Montage et entretien plus simples que celui des engrenages et prix de revient moins élevé.

5.2.2) Comparaison avec les courroies

■

Rapport de transmission : r =

ωsortie ωentrée

=

Z entrée Zsortie

=

d entrée dsortie

(Z : nombre de dents ; d :

diamètre primitif) Ce rapport de transmission est exact s’il est calculé sur une moyenne des vitesses, car les vitesses instantanées varient, selon l’effet de corde décrit deux pages plus loin.

■

Schéma cinématique :

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5.2.3) Chaînes à rouleaux


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25


26

6) Systèmes de transformation de mouvement

@) SYSTÈMES DE TRANS8ORMATION DE MOUEMENT Ce sont des systèmes qui transforment la nature du mouvement. Nous n’étudierons que les mouvements de rotation ou de translation rectiligne. Les systèmes étudiés ici sont les plus courants, mais la liste est loin d’être exhaustive.

@9) F%ll-#a%ll Fonctionnement : La manivelle ou vile!requin, ou ar!re " excentrique# est en liaison pivot avec le !$ti, la !ielle transmet le mouvement mouvement plan#, et le coulisseau, en liaison glissière ou pivot glissant avec le !$ti, se translate de fa%on alternative.

Rotation continue

Translation alternative

♦

Translation alternative

Rotation continue

Point mort haut : O

T

P

&eux points morts existent ' ( )oint mort haut ' position la plus éloignée entre le coulisseau et l’axe de rotation de la manivelle * ( )oint mort !as ' position du coulisseau opposée au point mort haut.

Point mort bas : T

O

P

La course du coulisseau vaut + fois l’excentrique -/ de la manivelle. Relation des vitesses : 0i la vitesse de rotation de la manivelle est constante uniforme#, alors la vitesse du coulisseau varie de fa%on sinuso1dale, avec + instants de vitesse nulle et de changement de sens les deux points morts#. ♦

♦

Rendement : 2 345 sans roulements varie !eaucoup selon les matériaux employés#.

Réversibilité : 6éversi!le sous conditions. La manivelle en entrée fonctionne tou7ours. Le coulisseau en entrée ne fonctionne que si l’on parvient " franchir les points morts d’o8 l’utilisation d’un démarreur pour les moteurs thermiques, et de masses d’équili!rage qui facilitent le franchissement des points morts une fois le système lancé, gr$ce " l’inertie en rotation de la manivelle#. ♦

Exemples d’utilisations industrielles : Les moteurs thermiques utilisent ce système avec le coulisseau piston# en entrée. Certaines pompes utilisent ce système avec la manivelle en entrée le piston sert alors " comprimer l’air dans la cham!re du cylindre#. ♦

@97) P%3+-'#a%ll&' Rotation continue

Fonctionnement : La crémaillère est en liaison glissière avec le !$ti et le pignon est en liaison pivot avec le !$ti. )ignon et crémaillère engrènent Translation continue au point d’intersection du diamètre primitif du pignon et de la ligne de référence de la crémaillère.

Translation continue

♦

Rotation continue

♦

Relation des vitesses : 9C6:;<=LL:6: > 6).?)=@N-N avec 6) > d) A+ et d) > m.B d) ' diamètre primitif du pignon * m ' module du pignon * B ' nom!re de dents du pignon#

♦

Rendement : 2 D5.

♦

Réversibilité : ou7ours réversi!le.


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6) Systèmes de transformation de mouvement

@9<) %"-'+,

Rotation continue


Fonctionnement : La vis et l’écrou sont en liaison hélico1dale. L’une des deux pièces est en liaison pivot avec le !$ti rotation#, l’autre en liaison glissière translation rectiligne#. ♦

Relation des vitesses : Le pas de vis p 9 en mm# signifie que lorsque la vis tourne d’un tour, l’écrou se translate de p 9 mm. ♦

-n a donc la relation ' V = ± ω . ♦

pV

2π

9 en mAs * ? en radAs * p 9 en m# le signe est P Q R pour un pas de vis " droite

Rendement : 2 E45 pour les contacts directs * mais 7usqu’" F5 pour les vis " !illes.

Réversibilité : 6éversi!le sous conditions. La vis en entrée fonctionne tou7ours. L’écrou en entrée fonctionne uniquement si l’angle d’hélice de la vis G est supérieur au demi(angle au sommet du cHne de frottement I f > tanI##. ♦

@94) Ca#

Rotation continue


Fonctionnement : La came est en liaison pivot avec le !$ti et le coulisseau est en liaison glissière ou pivot glissant avec le !$ti. Le contact entre la came et le coulisseau peut être un point ou une ligne courte.
Le profil de came est la cour!e le long de laquelle le coulisseau appuie. C’est elle qui définit le déplacement du coulisseau selon la position angulaire de la came. Jn profil de came peut aussi être intérieur sillon creusé dans une pièce motrice K cf. schéma ci(contre#. Relation des vitesses : La relation des vitesses dépend du profil de came. Jne partie du mouvement de la came peut ne pas entraner de mouvement du coulisseau. ♦

♦

Rendement : 2 ME5 sans galets varie !eaucoup selon les matériaux employés#.

Réversibilité : =rréversi!le pour un profil extérieur. )eut être en partie réversi!le, sous conditions, pour un profil intérieur. ♦

@9?) A,$'" "2"$&#" ! $'a"*+'#a$%+ ! #+,#$ Treuil : 0ystème transformant le mouvement de rotation du tam!our en mouvement de translation rectiligne d’un c$!le cf. & sur le treuil#. ♦

Les systèmes de Poulies/Courroie et de pignons/chaîne permettent aussi de transformer un mouvement de rotation de la poulie ou du pignon# en mouvement de translation rectiligne de la courroie ou de la chane#. Exemples : apis roulant, chenilles d’engins de chantier ♦

Croix de Malte ' < chaque tour de l’ar!re d’entrée avec ergot# la croix de malte tourne d’un quart de tour. )endant les O du mouvement d’entrée, la croix ne !ouge pas. ♦

Double excentrique Arbre d’entrée

Bielle (mvt plan) Arbre récepteur

Double excentrique ' L’ar!re d’entrée tourne en continue tandis que l’ar!re récepteur tourne en alternant de sens. ♦

♦

Barres articulées parallélogramme déforma!le ou autre#

…


7) Accouplements (ou joints) mécaniques

) ACCOUPLEMENTS (OU OINTS) MÉCANIQUES Ce cours est en grande partie issu du Guide des sciences et technologies industrielles, de Fanchon.

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9) G'al%$" $ !*%%$%+" 7.1.1) Définitions

7.1.2) Défauts d’alignement des accouplements

Les accouplements temporaires ne seront pas traités dans ce cours (les embrayages, les freins, les limiteurs de couple et les roues libres seront abordés lors de divers TD ou TP).

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97) A+,.l#$" '%3%!"

7.2.1) Accouplements à plateaux

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7.2.2) Manchons à goupilles

7.2.3) Manchons à douille biconique

9<) A+,.l#$" la"$%6," +, *l%bl"

31



7.3.1) Joint d’Oldham

Pour une étude cinématique plus détaillée, se référer au TD de cinématique sur le joint d’Oldham (fermeture géométrique ou cinématique).

7.3.2) Accouplement à denture bombée

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7.3.3) Accouplements élastiques en torsion

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94) +%$" ! a'!a $ a""%#%l"

7.4.1) Joint de cardan

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Pour une étude cinématique plus détaillée, se référer au TD de cinématique sur le joint de cardan (fermeture géométrique ou cinématique).

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7.4.2) Joint tripode Il est basé sur trois sphères articulées à 120° pouvant coulisser dans trois cylindres coaxiaux parallèles à l’un des arbres. Ce joint est homocinétique par construction (N2 = N1 à tout instant) Particularité : il permet une liberté en translation supplémentaire.

7.4.3) Joint à quatre billes (type Rzeppa) Il est basé sur quatre billes à 90° pouvant rouler dans des chemins (analogie avec les roulements) de forme torique. Ce joint est homocinétique par construction (N2 = N1 à tout instant)

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Tr_de_P_cours

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