Trazadores Cuadráticos
Objetivo:
El objetivo de los trazadores cuadráticos es obtener un polinomio de segundo grado para cada intervalo entre los datos.
De manera general, el polinomio en cada intervalo se representa como:
( () = + +
(1)
Figura.1.-Trazador Cuadrático
Para n+1 datos (i = 0, 1, 2,..., n) existen n intervalos y en consecuencia, 3n constantes desconocidas (las a, b y c) por evaluar. Por lo tanto, se requieren 3n ecuaciones. Para esto se considera lo siguiente: 1. Los valores de la función de polinomios adyacentes deben ser iguales en los nodos interiores.
− − + − − + − = (− ) − + − +
= (− )
1
(2)
1 (3)
(Paso 1)
Para i = 2 a n. Como sólo se emplean nodos interiores, interior es, las ecuaciones ecuaciones proporcionan, proporci onan, cada una, n – 2 ecuaciones. 1 condiciones; en total, 2n – 2
2. La primera y la última función deben pasar a través de los puntos extremos. Esto agrega dos ecuaciones más:
+ + = ( ) + +
= ( )
(4) (Paso 2)
(5)
Ahora tenemos 2n – 2 + 2 = 2n ecuaciones.
3. Las primeras derivadas en los nodos interiores deben ser iguales.
() = + + ′() =+ Por lo tanto, de manera general la condición se representa como:
2− − + − = 2 − +
(7)
(Paso 3)
Para i = 2 a n. Esto proporciona otras n – 1 condiciones, llegando a un total de 2n+n - 1 = 3n – 1, como se tienen 3n incógnitas, nos falta una ecuación más.
4. Suponga que en el primer punto la segunda derivada es cero. Tenemos:
() = + + () = 2 + ′′() = 2 Entonces se puede expresar como:
= 0 Entonces ahora tenemos 3n-1 + 1 = 3n pero como ya tenemos el valor de una incógnita entonces 3n-1 ecuaciones y se podría plantear la matriz.
Ejercicio 1. Ajuste trazadores cuadráticos a la siguiente tabla de datos. Con los resultados estime el valor en x=7 x
f(x)
2
2.5
4
1
6
2.5
8
0.5
Se observa que se forma 3 intervalos en los datos sobre el eje x Intervalo 1 Intervalo 2 Intervalo 3
[2,4] [4,6] [6,8]
Tenemos n=3 1. La primera condición era que 2n – 2 ecuaciones.
2(3) 2 = 4 Usamos lo siguiente y se puede determinar las ecuaciones de los nodos interiores:
− − + − − + − = (− ) − + − + = (− ) Tenemos:
1 2 + 1 + 1 () 22 + 2+ 2 2 + +
si x ϵ [2,4] si x ϵ [4,6] si x ϵ [6,8]
En este caso como se trata solo de los nodos interiores entonces tenemos lo siguiente:
4 = 1
= 25
16 + 4 + = 1 16 2 + 42 + 2 = 1 36 +
+ = 25 36 + + = 25
2. Evaluando a la primera y la última función con los valores inicial y final
2 = 25 41 + 21 + 1 = 25 = 05 4 + + = 05
3. La continuidad de las derivadas crea adicionalmente de n – 1 condiciones
() = 2− − + − = 2 − +
Aplicando
(7)
21 + 1 = 2 + 2 + = 2 +
() Tenemos
4
+ = + 12 + = 12 +
+ − − = 0 12 + − 12 − = 0
Por último se arma la matriz sabiendo que
4 0 0 0 2 0 1 [0
1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 4 1 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 12 1 0
= 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 4 0 0 12 1
0 0 0 1 ∗ = 0 1 0 0 ] [ ]
= 0 = 075 = 4 = 075 = 75 = 1 = 125 = 2175 = 950 Sustituyendo en las ecuaciones originales tenemos
() = 075 + 4 () = 075 75+1 () = 125 +2175950
2≤≤4 4≤ ≤ ≤≤
Ahora como el ejercicio pedía estimar el valor en x = 7, Tenemos:
() = 125 +2175950 (7) = 125(7) +2175(7)950 (7) = 3125
1 1 25 25 25 05 0 0
