ECUACIONES DIFERENCIALES
Capítulo # 7
TRANSFORMADA DE LAPLACE Introducción: La teoría de las transformadas o transformaciones de Laplace, conocida también con el nombre de cálculo operacional tiene gran importancia en el estudio de las ecuaciones diferenciales porque facilita de gran manera la resolución de las mismas debido a que prácticamente elimina el proceso de integración. Definición:
Sea una función de definida para . La transformada de Laplace de , denotada por: , donde “ “ frecuentemente se denomina operador de la transformada de Laplace el mismo es un operador lineal se define como una integral impropia tipo uno, primera especie, es decir:
Donde se supone, que el parámetro s es real. Se dice que la transformada de Laplace de existe cuando la integral impropia es convergente para algún valor de s de s,, caso contrario se dirá que la transformada de Laplace no existe.
Notación:
Cuando se indique con mayúscula una función de t, como La transformada de Laplace de dicha función se denotará por la correspondiente letra minúscula, es decir: Cabe hacer notar que la variable t representa al tiempo y s a la frecuencia, en ese sentido podemos decir que al aplicar la transformada de Laplace a una ecuación vamos del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia.
Ejem. 1 1 Hallar la trasformada de Laplace de las siguientes funciones por definición: Continuidad Seccional o a Trazos:
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Se dice que una función es seccionalmente continua o continua a trazos en un intervalo si es posible partir el intervalo en un número finito de sub-intervalos de tal manera que la función sea continua en cada uno de ellos y tenga límites laterales.
Funciones de Orden Exponencial:
y tales que para todo || || Se dice que es una función de orden exponencial cuando , o Si existen constantes reales
simplemente que es una función exponencial.
Condiciones Suficientes para la Existencia de la Transformada de Laplace:
Si es seccionalmente continua en cada intervalo finito de orden exponencial para , entonces existe la transformada de Laplace para todo .
Las condiciones establecidas son suficientes pero no necesarias para garantizar la existencia de la transformada de Laplace, por lo cual si estas condiciones no son satisfechas, la transformada de Laplace puede o no existir. Propiedades de la Transformada de Laplace: 1. Linealidad:
funciones cuyas entonces:
Si son constantes transformadas de Laplace son
con
2. Primera Propiedad de Traslación: Si
entonces:
3. Segunda Propiedad de Traslación: Si
y entonces:
4. Propiedad de Cambio de Escala: Ing. DAEN. Rosio J. Carrasco Mendoza
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entonces: () 5. Multiplicación por : Si entonces: Si
6. División por t : Si
entonces: ∫
7. Funciones Periódicas: Sea
una función con periodo tal que: entonces: ∫
8. Transformada de Laplace de las Derivadas: Si Si Si
Si
entonces: entonces: entonces: entonces: {}
9. Transformada de Laplace de Integrales: Si
entonces: ∫
Comportamiento de f(s) cuando Si
entonces:
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1. Teorema del Valor Inicial: Si existen los límites indicados, entonces:
2. Teorema del Valor Final: Si existen los límites indicados, entonces:
Transformadas de Laplace de algunas Funciones Elementales:
Nro. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
F(t) 1
F(s)
Métodos para calcular la Transformada de Laplace: Ing. DAEN. Rosio J. Carrasco Mendoza
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Existen varios métodos para calcular transformadas, entre estos tenemos: 1. Método Directo: Haciendo uso directo de la definición. 2. Mediante el uso de Tablas: Haciendo uso de las propiedades y tablas. 3. Método de las Ecuaciones Diferenciales: Consiste en hallar una ecuación diferencial que sea satisfecha por y aplicar luego las propiedades de las transformadas.
4. Método de las Series: Si la forma:
se puede desarrollar mediante series de
∑
Su transformada puede calcularse tomando la suma de la transformada de Laplace de cada una de los sumandos de la serie.
∑ Una condición baja la cual este resultado es válido es que la serie sea convergente para .
Ejem. 2 Mediante el uso de tablas y propiedades hallar la transformada de Laplace de las siguientes funciones: Transformada Inversa de Laplace:
Si la transformada de Laplace de una función es , es decir: , entonces se llama una transformada inversa de Laplace de y se expresa por , donde se denomina el operador transformada inversa de Laplace o anti-transformada.
Unicidad de la Transformada Inversa de Laplace:
Como la transformada de Laplace de una función no nula Ŋ es cero, por lo cual es claro decir que entonces . De esto se deduce que puede haber dos funciones diferentes con la misma transformada de Laplace.
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Si consideramos las funciones nulas, que la anti-transformada de Laplace no es única. Sin embargo, es única cuando trabajamos con funciones no nulas, este resultado se establece en el teorema de Lerch.
Teorema de Lerch: Si consideramos solamente las funciones que son seccionalmente continuas en cada intervalo y de orden exponencial para , entonces la transformada inversa de Laplace de es única. Se aceptará siempre esa unicidad menos que se establesca claramente lo contrario.
Propiedades de la Anti-transformada: 1. Linealidad:
funciones cuyas entonces:
Si son constantes transformadas de Laplace son
con
2. Primera Propiedad de Traslación: Si
entonces:
3. Segunda Propiedad de Traslación: Si
y
4. Propiedad de Cambio de Escala:
entonces: () 5. Multiplicación por : Si y entonces: Si
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6. División por s: Si
entonces: ∫
7. Transformada Inversa de Laplace de las Derivadas:
Si , entonces: 8. Transformada Inversa de Laplace de Integrales: Si
entonces: {∫ }
9. Propiedad de Convolución:
y , entonces:
Métodos para Hallar la Transformada Inversa de Laplace: Existen varios métodos para determinar la transformada inversa de Laplace, algunos de los cuales son los siguientes: 1. Método de la Fracciones Parciales: Consiste en expandir en fracciones parciales la fracción a anti-transformar para luego mediante propiedades y tablas determinar la transformada inversa de Laplace, no se debe olvidar verificar las condiciones de la expansión en fracciones parciales antes de proceder con el método. 2. Desarrollo de Heaviside: Sean P(s) y Q(s) polinomios en los cuales P es de grado menor que Q y Q(s) con n ceros diferentes , con k = 1, 2, 3,…, n. Entonces:
∑ Para raíces repetidas (múltiples) tendremos las siguientes fórmulas: Ing. DAEN. Rosio J. Carrasco Mendoza
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Donde: 3. Método de las Series: Si tiene un desarrollo en serie de potencias de los recíprocos de s dados por: ∑ Entonces, dentro de algunas condiciones, podemos invertir término a término para llegar a:
∑ Ejem. 3 Hallar la anti-transformada de las siguientes funciones: Ecuaciones Diferenciales Mediante Transformada de Laplace: La transformada de Laplace presenta gran utilidad para resolver ecuaciones diferenciales de orden n, así como para sistemas de ecuaciones diferenciales de orden n, esto debido a que casi elimina por completo el proceso de integración. El proceso para resolver ecuaciones diferenciales de orden n mediante transformada de Laplace es el siguiente:
Verificar que la ecuación diferencial tenga tantas condiciones para la función desconocida y sus derivadas (de preferencia en cero) como orden tiene la ecuación. Aplicar la transformada de Laplace a ambos miembros de la ecuación. Reemplazar las condiciones, en caso de que estas no sean en cero reemplazar las mismas por constantes desconocidas que se evaluarán al final. Si la ecuación es de coeficientes constantes la misma se transformará en una ecuación algebraica de primer grado por lo cual solo se despejará la variable que estará en el dominio de Laplace.
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Si la ecuación es de coeficientes variables se convertirá en una ecuación de primer grado primer orden. Una vez hallada la solución en el dominio de Laplace se procederá a encontrar la anti-transformada, con lo cual se obtendrá la solución de la ecuación diferencial. Finalmente se evaluarán las constantes en caso de que las condiciones no estén dadas en cero.
La transformada de Laplace puede usarse también para resolver ecuaciones diferenciales simultáneas; el proceso es esencialmente el mismo descrito anteriormente pero se trabajará con cada una de las ecuaciones del sistema. Ejem. 4 Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando la transformada de Laplace. Ejercicios:
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