El Modelo Bilineal Histerético Puede Reflejar Las Características Del Sistema de Fricción PendularDescripción completa
Transformación bilineal La transformada bilineal (también conocida con el nombre de Método de Tustin) es usada habitualmente en el campo del procesamiento digital de señales y señales y en la Teoría de control de control de señales discretas. Esta herramienta matemática suele usarse para transformar la representación en tiempo continuo de las señales en tiempo discreto y iceersa. La transformada bilineal es un caso especial de la transformación conforme (también conforme (también conocida como Transformación de !"bius). !"bius ). #uele usarse para conertir una función de transferencia
de un filtro lineal e inariante en el tiempo$ %ue se encuentra definido en
el dominio continuo continuo del del tiempo (LT (LT&&)$ en una función de transferencia perteneciente a un filtro lineal e inariante en el tiempo %ue se encuentre definido en el dominio discreto del tiempo$ com'nmente llamado filtros digitales. digitales. abe resaltar %ue los filtros$ aun%ue trabaen en dominio discreto del tiempo$ no se tienen por %ue considerar digitales dado %ue e*isten una ariante de filtros analógicos construido a partir de condensadores conmutados %ue por su naturale+a trabaan con muestras discretas). Este método describe una forma de posicionar n'meros compleos
$ con
y
pertenecientes al plano #$ #$ en la circunferencia trigonométrica con pertenecientes alplano +. +. La transformada bilineal puede ser usada$ por eemplo$ para deformar la respuesta en frecuencia de frecuencia de un sistema discreto lineal e inariante en el tiempo con el fin de reali+ar una apro*imación en frecuencia a lo %ue es el sistema no lineal auditio humano). La transformada presera la estabilidad y posición de cada uno de los puntos correspondientes a la respuesta en frecuencia del frecuencia del filtro en el dominio del tiempo continuo$
$ al correspondiente punto en la respuesta en frecuencia %ue representará
el filtro discreto aun%ue produciéndose una diferencia de frecuencia como se muestra en la sección defrecuencias defrecuencias alteradas. alteradas. ,or lo tanto cada punto %ue apare+ca en la respuesta en frecuencia del filtro analógico le corresponderá otro punto de idéntica ganancia y despla+amiento de fase en la respuesta en frecuencia del filtro digital$ aun%ue %ui+ás como comentamos$ puede %ue esto ocurra a frecuencias diferentes. Este hecho será casi imperceptible en frecuencias baas$ sin embargo$ si se hará eidente en frecuencias pró*imas a la frecuencia de -y%uist. Índice
ocultar / •
0 1pro*imación de tiempo discreto
•
2 -o modifica las propiedades de estabilidad y fase mínima.
•
3 E Eem empl plo o
•
4 5rec 5recuen uencias cias 1ltera 1lteradas das
Aproximación de tiempo discreto discreto editar /
La transformación bilineal es una a pro*imación de primer orden de la función logarítmica natural %ue consiste en reali+ar una asignación e*acta del plano 6 al plano #. uando latransformada de Laplace se reali+a sobre una señal de tiempo discreto el resultado es precisamente la transformada 6 de la secuencia de tiempo discreto. ,ara pasar de Laplace a 6 cabe sustituir7
8onde es el período de muestreo (inerso a la 5recuencia de muestreo) del filtro discreto. La apro*imación bilineal se reali+a sustituyendo por o una apro*imación de bilineal) es7
. La inersa de esta asignación (y su apro*imación de primer orden
En definitia$ la transformación bilineal consiste en sustituir esta apro*imación de s en la función de transferencia del filtro en tiempo continuo$
.
Es decir7
No modifica las propiedades de estabilidad y fase mínima.editar / 9n filtro causal perteneciente al dominio continuo del tiempo es estable si los polos de su función de transferencia caen en lado i+%uierdo del plano compleo s. 9n filtro discreto en el tiempo es estable si los polos de su función de transferencia caen dentro de la circunferencia trigonométrica del plano compleo 6. La transformada bilinear posiciona los puntos %ue se encuentran en la parte i+%uierda del plano compleo # al interior de la
circunferencia trigonométrica del plano 6. ,or lo tanto los filtros diseñados en el dominio continuo del tiempo %ue son estables$ al ser conertidos al dominio discreto guardan su característica de estabilidad. 1demás los filtros en tiempo continuo %ue son de :mínima fase:$ si los +eros de su función de transferencia caen en el lado i+%uierdo del plano compleo # entonces cuando se conierta a discreto la función de transferencia a a conserar su característica de :función de mínima fase:. Esto nos asegura %ue los cambios producidos desde el plano # al plano 6 y iceersa no afectan a estas propiedades de los sistemas.
Ejemploeditar / omo eemplo tomemos un filtro pasa baa ;. Este filtro posee una función de transferencia definida en el dominio continuo del tiempo.
#i nosotros %uisiésemos implementar dicho filtro$ 'nicamente tendríamos %ue aplicar la transformación bilineal %u e acabamos de aprender$ sustituyendo la de la fórmula por la e*presión ista antes.
8e esta e*presión nos serán 'tiles los coeficientes del polinomio del denominador y los del numerador. 1mbos se usaran para implementar finalmente el filtro digital.
Frecuencias Alteradas editar / ,ara hallar la respuesta en frecuencia de un filtro en el dominio del tiempo continuo$ la función de transferencia
es ealuada
como
. ,or otro lado$
la cual se encuentra sobre el ee
para hallar la función de transferencia de un filtro discreto eal'a como
se
la cual se encuentra sobre la circunferencia
trigonométrica unitaria en el plano 6$
.
1hora lo %ue %ueremos es conocer ante una entrada de una frecuencia al filtro discreto construido a partir de la transformación bilineal$ $ cual será la frecuencia designada.
Esta demostración muestra %ue todos los puntos %ue se encuentran dentro de la circunferencia trigonométrica en el plano 6$
$ son :mapeados: con otros puntos
en
el dominio continuo en el plano #$ . Esto significa %ue las frecuencias transformadas de tiempo discreto a tiempo a continuo son íntegramente :mapeadas: por la transformación bilineal.
y en cuanto al mapeado inerso
El filtro en tiempo discreto se comporta en frecuencia de la misma forma el filtro en tiempo continuo se comporta en frecuencia . Toda ganancia y la fase retardada %ue en el filtro de tiempo discreto tiene una frecuencia también posee la misma ganancia y fase retardada en el filtro de tiempo
continuo en la misma frecuencia . Esto significa %ue todo lo %ue es isible en la respuesta de frecuencia del filtro de tiempo continuo lo es también en el filtro de tiempo discreto$ pero a una frecuencia diferente. En frecuencias baas (es decir$ cuando or
)$
).
También se puede er como el rango entero continuo de frecuencias
es mapeado en el interalo de frecuencias fundamentales
El filtro de frecuencia en tiempo continuo se corresponde con el filtro discreto en tiempo continuo y el filtro de tiempo continuo en frecuencia se corresponde con el filtro en tiempo discreto en frecuencia También se puede er %ue hay una relación no lineal entre y . Este efecto de la transformada bilineal se llama alteración en frecuencia. Los filtros en tiempo continuo pueden ser diseñados para compensar esta alteración de frecuencia poniendo para cada frecuencia especifica %ue el diseñador %uiera controlar. La principal entaa de este fenómeno de alteración es la ausencia de la distorsión aliasing de la respuesta en frecuencia$ como se obsera con otra técnica de d iseño como la impulse inariance. Es necesario sin embargo$ compensar esta alteración en la frecuencia usando la técnica de :pre< =arping: una e+ se cono+ca la especificación de frecuencias del sistema a diseñar. Esta especificación :pre<=arped: podría ser usada en la transformación bilineal para obtener el sistema deseado de tiempo discreto.
