Chapitre 8
Traitement Numérique du Signal 8.1
De la la T.F T.F.. à la la T. T.F.D. .D.
Le but de ces deux exercices est d’étudier dans deux cas particuliers de signaux la relation entre la Transformée de Fourier dé finie par : X (f ) f ) =
Z
x(t)e−i2πf t dt
R
et la Transformée de Fourier Discrète calculée par : N −1
k = 0,...,N
−1
X D (k ) =
X
−i2π
x (n) e
kn N
n=0
Pour cela, l’étude sera menée en plusieurs étapes : — problème du support fini du signal observé : e ff et et de la troncature sur la Transformée de Fourier étudié par le passage de la Transformée de Fourier à la Transformée de Fourier Tronquée :
Z
+L
X L (f ) f ) =
x(t)e− j2πf t dt
0
— problème de l’échantillonnage du signal : passage de la Transformée de Fourier Tronquée à la Transformée de Fourier Numérique : N −1
X N f ) = N (f )
X n=0
43
−i2πfnT E x (nT E E ) e
44
Chapitre 8. Traitement raitement Numérique Numérique du Signal Signal
— et enfin, pour le deuxième exercice seulement, problème du calcul numérique de la Transformée de Fourier Numérique qui ne peut être calculée sur une échelle continue en fréquence mais dont le résultat sera forcément discrétisé en fréquence : passage à la Transformée de Fourier Discrète. EXERCICE 1 Etude de la TFD d’un signal à spectre continu
On considère le signal x (t) = e−at pour t 0 = 0 pour t < 0
≥
avec a > 0. 1. Montrer que la transformée de Fourier tronquée
Z
L
X L(f ) f ) =
x(t)e− j 2πf t dt
0
s’écrit X L(f ) f ) = X (f ) f )G(f, L)
où X (f ) f ) est la transformée de Fourier de x(t). Le terme G(f, L) représentant l’erreur commise en utilisant la Transformée de Fourier Tronquée à la place de la véritable Transformée de Fourier, déterminer le module et la phase de cette erreur multiplicative. Donner un encadrement de |G(f, L)|2 que l’on chiff rera rera pour 4 L = a. Pour L >> a1 , donner une valeur approchée de la phase de G(f, L). 2. Dans un deuxième temps, le signal est échantillonnée à la fréquence d’échantillonnage F E E = 1/T E E et on remplace la Transformée de Fourier Tronquée de x(t) par la Transformée de Fourier Numérique (TFN) : N −1
X N f ) = N (f )
X
−i2πfnT E x (nT E E ) e
n=0
(a) Comment faut-il choisir la fréquence d’échantillonnage F E E et le nombre de points N ? On sera amené à dé finir
45
8.1. 8.1. De la T.F. T.F. à la T.F.D. T.F.D.
une largeur de bande spectrale dérant par exemple que :
∆f
du signal en consi-
|X ( X (∆f ) f )| = 0.01 |X (0) X (0)||
(b) Etablir Etablir la relation entre entre la TFN et la TF tronquée tronquée de la question 1 en utilisant les hypothèses suivantes : — le spectre du signal considéré est basse fréquence et que les fréquences d’intérêt sont telles que f ¿ F E E /2 — et L À 1/a. Retrouver la périodicité de la TFN.
EXERCICE 2 Etude de la TFD d’un signal à spectre de raies
On considère le signal x(t) = Aei(2πf t+φ)
t
0
∈R
1. Comparer la Transformée de Fourier de ce signal avec sa Transformée de Fourier Tronquée, dé finie dans l’exercice précédent. 2. Comparer la Transformée de de Fourier Fourier Tronquée Tronquée avec avec sa Transformée de Fourier Numérique, définie dans l’exercice l’exercice précéprécédent. 3. En déduire la Transformée Transformée de Fourier Fourier Numérique dans le cas où x(t) = A cos cos (2πf (2πf 0 t)
4. Pour calculer la Transformée de Fourier Numérique, il est nécessaire de discrétiser l’échelle des fréquences et, pour des raisons algorithmiques, on décide de calculer cette transformée de Fourier aux fréquences de la forme : k = 0,...,N
−1
f k =
k F E E N
On obtient alors la Transformée de Fourier Discrète : N −1
k = 0,...,N
−1
X D (k) =
X
−i2π
x (n) e
kn N
n=0
Calculer la TFD de x(t) = A cos cos (2πf (2πf 0 t) dans deux cas :
46
Chapitre 8. Traitement Numérique du Signal
(a) la fréquence f 0 est commensurable avec F E c’est-à-dire :
∃
k0
∈ {0,...,N − 1}
tel que f 0 =
k0 F E N
(b) la fréquence f 0 n’est pas commensurable avec F E f 0 =
5.
k0 + ε F E 0 < ε < 1 N
: montrer que si on calcule la TFD sur un signal x(n) quelconque “paddé” par des zéros, c’est-à-dire, si on calcule la TFD sur y(n) tel que : Intérêt du “zero-padding”
y(n) = x(n) pour n = 0,...,N = 0 pour n = N,...,NM
−1 −1
M
∈N
on calcule M points intermédiaires entre deux points de la TFD de x(n).
47
8.1. De la T.F. à la T.F.D.
1/N
Exemple de calcul de la TFD dans le cas d’une fréquence de composante sinusoïdale commensurable avec la fréquence d’échantillonnage.
1/N
Exemple de calcul de la TFD dans le cas d’une fréquence de composante sinusoïdale non commensurable.
48
Chapitre 8. Traitement Numérique du Signal 16 points de signal,16 points de TF 4
8
3.5
7
3
6
2.5
5
2
4
1.5
3
1
2
0.5
1
0 0
10
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0 0
0.45
16 points de signal,64 points de TF
10
8
8
6
6
4
4
2
2
0 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0 0
16 points de signal,32 points de TF
0.1
0.2
0.3
0.4
16 points de signal,1024 points de TF
0.1
0.2
0.3
0.4
Illustration de l’intérêt du zero-padding : on “voit” apparaître le sinus cardinal et on reconnaît alors la présence d’une “raie”.
8.2
Filtrage Numérique EXERCICE 3 Etude de la cellule du second ordre : cellule purement récursive.
Soit un système défini par l’équation aux diff érences : y(n) = x(n)
0.5
− a1y(n − 1) − a2y(n − 2)
1. Exprimer sa fonction de transfert en Z. Dans le cas où a21 < 4a2 , représeneter ses pôles en coordonnées polaires (r, θ) ; en déduire une expression de H (z) en fonction de r et de θ. Dans le plan des coefficients (a1 en abscisse, a2 en ordonnée), tracer le domaine de stabilité du filtre. A.N. a1 = −1.1314 a2 = 0.64.
0.5
49
8.2. Filtrage Numérique
2. Donner l’expression de la réponse en fréquence en fonction de a1 et de a2 . À quelle condition existe-t-il une fréquence de résonance et quelle est sa valeur ? Démontrer que l’amplitude à la résonance est inversement proportionnelle à la distance du pôle au cercle unité. Tracer la courbe en fréquence pour a1 = −1.1314 et a2 = 0.64. 3. Donner l’expression de la réponse impulsionnelle h(n) et la tracer en fonction de n (paramètres r et θ).
EXERCICE 4 Etude de la cellule du second ordre générale.
On considère une équation plus générale : y(n) = x(n)+b1 x(n 1)+x(n 2) a1 y(n 1) a2 y(n 2) avec |b2 | < 2
−
− −
− −
−
Démontrer que cette cellule du second ordre peut être considérée comme la mise en cascade de la cellule purement récursive précédente et d’un filtre RIF à phase linéaire et à minimum de phase.
EXERCICE 5 Etude de la cellule du second ordre : filtre passe-tout.
Considérons le filtre suivant : y(n) = a2 x(n) + a1x(n
− 1) + x(n − 2) − a1y(n − 1) − a2y(n − 2)
Exprimer la fonction de transfert en Z du système; représenter ses pôles et ses zéros pour a1 = −1.1314 et a2 = 0.64. Démontrer que ce filtre est un déphaseur pur.
EXERCICE 6 Etude de la cellule du second ordre : filtre
à encoche.
Un cas particulier important de la cellule du second ordre est le "filtre à encoche", utilisé comme un réjecteur de fréquence. Sa fonction de transfert s’écrit : 1 + a1 z −1 + z −2 H (z) = 1 + a1 (1 ε) z −1 + (1 ε)2 z −2
−
−
|a1 | < 2,
ε petit
50
Chapitre 8. Traitement Numérique du Signal
1. Représenter ses pôles et ses zéros en coordonnées polaires. 2. Montrer que la bande rejetée à -3dB est égale à B=
8.3
√
2ε . π
Eléments de correction
Ces éléments de correction concernent le premier exercice de l’étude de la cellule du second ordre : la cellule purement récursive. La réponse fréquentielle (question 2) s’obtient : |H (ω )|2 = H (z)H (z −1)|z=ejωe
e
avec
z2 z −2 z 2 + a1 z + a2 z −2 + a1z −1 + a2 1 = 1 + a21 + a22 + a1 (1 + a2) (z + z −1) + a2 (z2 + z −2 )
H (z)H (z −1 ) =
En prenant z sur le cercle unité |H (ω)|2 =
e
1 1 + a21 + a22 + 2a1 (1 + a2 ) cos(ω ) + 2a2 cos(2ω )
e
e
Il existe une fréquence de résonance f 0 (non égale à 0 et à 0.5) si le dénominateur passe par un minimum. La dérivée du dénominateur s’écrit : D0 =
−2 (a1 (1 + a2) + 4a2 cos(ω))sin(ω)
e e
Cette dérivée s’annulle pour
ω = 0 ou ω = π (bornes du spectres en fréquences normalisées)
e
ou pour
e
a1 (1 + a2 ) + 4a2 cos(ω) = 0
Pour cela, il faut que
¯¯
a1 (1 + a2) 4a2
¯¯ ≤
e
1
51
8.3. Eléments de correction
La même condition en (r, θ) donne
|cos θ| <
2r 1 + r2
La fréquence de résonance vaut alors
cos(ω0 ) =
f
−
a1 (1 + a2 ) (1 + r 2) = cos θ 4a2 2r
(A.N. : f 0 = 0.12)
D’où la valeur de la réponse fréquentielle à la résonance :
|H (ω0 )|2 =
f
(1
−
4a2 a2)2 (4a2
− a21)
=
(1
−
1 r)2 (1 + r)2 (1
− cos2 θ)
Il est important de noter que cette valeur est inversement proportionnelle à (1 − r)2 . Pour calculer la réponse impulsionnelle (question 3), il existe plusieurs façons de la calculer à partir de H (z). Une des façons est de passer par le calcul des résidus :
h(n) =
X
pôles de H (z )
¡
¢ X µ
Res z n−1 H (z) =
Res
z1 ,z2
(z
−
z n+1 z1 ) (z
− z2)
¶
z1n+1 z2n+1 = + z1 z2 z2 z1 sin((n + 1) θ) = rn avec z1,2 = re± jθ sin θ
−
−
Une illustration des réponses fréquentielles et impulsionnelles est donnée ci-après.
52
Chapitre 8. Traitement Numérique du Signal R éponse fréquentielle de la cellule du second ordre générale 4
P artie récursive (R II) 3.5
C ellule générale avec parties R IF et R II
3
M odule de la fonction de transfert
a1 = -1.1314 a2 = 0.64 b1 = -0.62
P artie R IF
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
Fréquences norm alisées
Réponses fréquentielles de la cellule du second ordre générale : partie RIF, partie RII et cellule complète. R éponse im pulsionnelle de la cellule du second ordre purem entrécursive 1.2
a1 = -1.1314 a2 = 0.64
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Réponse impulsionnelle de la cellule du second ordre purement récursive.
Les TDs font référence au polycopié N7 « Exercices de traitement numérique du signal » de C.Mailhes et F. Castanié. Ces textes ne sont que des « scans » de TDs qui se faisaient sur le cours. La partie TNS1 se rapporte au TNS1 – cours de base. Tous les TDs ne sont pas détaillés. Seuls les TDs sur la TFD et sur la cellule du second ordre sont donnés (les plus importants). La partie TNS2 fait référence au cours avancé de TNS dans lequel en particulier sont abordés les problèmes de quantification des coefficients, d’optimisation de filtres et de filtres QMF. Là encore, toutes les solutions des textes du polycopié ne sont pas données (les autres ne sont pas rédigées). Les corrections correspondent aux points jugés les plus importants. TD sur la TFD, page 1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
TD sur la cellule du second ordre, page 5 du polycopié
10
11
12
fréquence de résonancre
