Diseño completamente aleatorio: DCA 1.
Un equipo de mejora investiga el efecto de 4 métodos de ensamblaje (en la industria electrónica), A, B, C y D, sobre el tiempo de ensamblaje, en minutos. Los tiempos de ensamblaje se muestran en la siguiente tabla. Método
Tiempos
A
B
C
D
6
7
11
10
3
9
16
12
7
10
11
11
8
8
13
9
Usar el DCA (no existe otro factor que pueda influir significativamente sobre la variable de respuesta), donde el interés es comparar 4 métodos de ensamble en cuanto al tiempo promedio (en min), min), que se gasta gasta cada uno de ellos. Para resolver esta interrogante realizamos el ANVA: Las hipótesis que se formulan son las siguientes: Ho: H1:
Para completar nuestro cuadro del ANVA primero tenemos que calcular las sumatorias respectivas:
Programa de entrenamiento
A
B
C
D
Tiempo medio de ensamblaje (en minutos)
6 3 7 8
7 9 10 8
11 16 11 13
10 12 11 9
24
34
51
42
158
294
667
446
∑
Con estos datos obtenidos podemos completar el cuadro del ANVA:
∑ ∑
Total
151 1565
Sabemos que el F tab = 0.0018 Fo=9.42 Entonces, elaboramos el cuadro del ANVA o ANOVA:
FV
GL
SC
CM
Fo
F tabular
Entre tratamientos (Tr)
3
69.5
23.17
9.42
0.0018
Dentro de tratamiento (E)
12
29.5
2.46
-
Total (T)
15
99.0
-
-
Conclusión: FV Tratamiento Error Total
GL
SC
CM
Fo
4
800
200
7,5
15
400
26,6666667
19
1200
Ftab
3,06
Debido a que F0≥ FTAB, entonces se rechaza la hipótesis nula H 0, por lo tanto se concluye que no todas las medias de los tiempos de ensamblado para los 4 métodos diferentes de entrenamiento entrenamiento son iguales, es decir hay una diferencia significativa entre dichas medias.
2.
ANVA incompleto para comparar 5 µ, con 4 réplicas cada una. Completar el cuadro.
3.
En una industria electrónica se prueban diferentes dispositivos para ver si difieren en cuanto al tiempo de vida, se prueban 4 diferentes dispositivos electrónicos, con 5 repeticiones c/u. Se tiene: FV
– VALOR – P
DISPOSITIVO
Dispositivo
0.01
Tiempo medio de vida
I
II
III
IV
10000 7000 8000 7500
¿Los dispositivos difieren significativamente en cuanto a su valor medio? (Si, P=0.01) Este ejercicio le consultamos y nos dijo que le faltan datos.
4.
Se hace un estudio sobre la efectividad de 3 tipos de rayos infrarrojos para eliminar insectos, aplicándose cada cada rayo infrarrojo a 100 insectos y se cuenta el nº de insectos muertos (en %). Se hacen 6 réplicas y se obtienen:
Sabemos que el F tab = 0.0018 Fo=9.42 Entonces, elaboramos el cuadro del ANVA o ANOVA:
FV
GL
SC
CM
Fo
F tabular
Entre tratamientos (Tr)
3
69.5
23.17
9.42
0.0018
Dentro de tratamiento (E)
12
29.5
2.46
-
Total (T)
15
99.0
-
-
Conclusión: FV Tratamiento Error Total
GL
SC
CM
Fo
4
800
200
7,5
15
400
26,6666667
19
1200
Ftab
3,06
Debido a que F0≥ FTAB, entonces se rechaza la hipótesis nula H 0, por lo tanto se concluye que no todas las medias de los tiempos de ensamblado para los 4 métodos diferentes de entrenamiento entrenamiento son iguales, es decir hay una diferencia significativa entre dichas medias.
2.
ANVA incompleto para comparar 5 µ, con 4 réplicas cada una. Completar el cuadro.
3.
En una industria electrónica se prueban diferentes dispositivos para ver si difieren en cuanto al tiempo de vida, se prueban 4 diferentes dispositivos electrónicos, con 5 repeticiones c/u. Se tiene: FV
– VALOR – P
DISPOSITIVO
Dispositivo
0.01
Tiempo medio de vida
I
II
III
IV
10000 7000 8000 7500
¿Los dispositivos difieren significativamente en cuanto a su valor medio? (Si, P=0.01) Este ejercicio le consultamos y nos dijo que le faltan datos.
4.
Se hace un estudio sobre la efectividad de 3 tipos de rayos infrarrojos para eliminar insectos, aplicándose cada cada rayo infrarrojo a 100 insectos y se cuenta el nº de insectos muertos (en %). Se hacen 6 réplicas y se obtienen:
Tipo de rayo
Réplicas
A
B
C
72
55
64
65
59
74
67
68
61
75
70
58
62
53
51
73
50
69
a) Formule la hipótesis adecuada y el modelo estadístico El modelo estadístico es un diseño completamente aleatorio y utilizaremos la hipótesis siguiente para hacer el ANVA: Ho: H1:
b) ¿Existe diferencia entre la efectividad promedio de los rayos infrarrojos? Para completar nuestro cuadro del ANVA primero tenemos que calcular las sumatorias respectivas:
Tipo de rayo
Réplicas
∑
A
B
C
Total
72
55
64
65
59
74
67
68
61
75
70
58
62
53
51
73
50
69
414 28696
355 21339
377 24019
1146 74054
∑ ∑
FV Entre tratamiento Dentro de tratamiento Total
GL
SC
CM
F0
FTAB
2
296,3333
148,1666
2,793255
F(2,15,0.95)=3,68
15
795,6666
53,04444
17
1092
Debido a que F0 < FTAB, entonces no se rechaza la hipótesis nula H 0, por lo tanto se concluye que las efectividades promedio de los 3 tipos de rayos son iguales, es decir no hay una diferencia significativa entre dichas medias.
c) ¿Existe algún rayo infrarrojo mejor? No, porque las efectividades medias son iguales para los tres tipos de rayos infrarrojos.
5.
Para estudiar la confiabilidad de ciertos tableros electrónicos para carros, se someten a un envejecimiento acelerado durante 100 horas a cierta Tº, midiéndose la intensidad de corriente que circula entre dos puntos, cuyos valores aumentan con el deterioro. Se probaron 20 módulos repartidos equitativamente en 5 Tºs y los resultados son: Tratamientos
Vida activa de baterías térmicas (en segundos)
20 ºC
40 ºC
60 ºC
80 ºC
100 ºC
15
17
23
28
45
18
21
19
32
51
13
11
25
34
57
12
16
22
31
48
Realice el ANVA para estos datos, para estudiar si la Tº afecta la intensidad de corriente media. Las hipótesis que se formulan son las siguientes: Ho: H1:
Para completar nuestro cuadro del ANVA primero tenemos que calcular las sumatorias respectivas:
Tratamientos Vida activa de baterías térmicas (segundos) ∑
20ºC
40ºC
60ºC
80ºC
100ºC
15
17
23
28
45
18
21
19
32
51
13
11
25
34
57
12 58
16 65
22 89
31 125
48 201
538
862
1107
1999
3925
10179
18072
Con estos datos obtenidos podemos completar el cuadro del ANVA:
Total
∑ ∑
FV Entre tratamientos (Tr) Dentro de tratamiento (E) Total (T)
GL
SC
CM
Fo
4
3411.8
852.95
68,05452128
15
188
12,53333333
-
19
3599,8
-
-
F tabular
Debido a que F0 ≥ F TAB, entonces se rechaza la hipótesis nula H0, por lo tanto se concluye que existe una diferencia significativa en al menos una de las medias de la confiabilidad de los tableros electrónicos.
6.
En una empresa electro-mecánica se propone unos tratamientos para reducir el porcentaje de productos defectuosos. Para validar esta propuesta se diseño un experimento en el que se producía con o sin la propuesta de mejora, cada corrida experimental consintió en producir un lote y la variable de respuesta es el porcentaje de productos defectuosos. Se hicieron 25 replicas para cada tratamiento, obteniéndose: Tratamientos
Porcentaje de producto defectuoso
Con Tratamiento
Sin Tratamiento
5,3
8,0
4,0
13,2
4,0
7,2
4,0
8,2
2,6
9,1
2,1
6,7
5,1
12,2
4,1
16,3
4,1
9,2
3,2
6,4
5,1
7,2
2,2
19,2
4,1
12,3
2,2
8,7
1,1
11,3
2,0
4,5
3,0
6,6
3,1
9,2
2,1
10,2
1,2
10,6
3,3
13,3
2,1
5,2
4,0
6,2
2,0
8,0
3,0
4,8
3.36
Para resolver esta interrogante realizamos el ANVA: Las hipótesis que se formulan son las siguientes: Ho: H1:
Para completar nuestro cuadro del ANVA primero tenemos que calcular las sumatorias respectivas:
Tratamientos
Porcentaje de producto defectuoso
∑
Con Tratamiento
Sin Tratamiento
5,3
8,0
4,0
13,2
4,0
7,2
4,0
8,2
2,6
9,1
2,1
6,7
5,1
12,2
4,1
16,3
4,1
9,2
3,2
6,4
5,1
7,2
2,2
19,2
4,1
12,3
2,2
8,7
1,1
11,3
2,0
4,5
3,0
6,6
3,1
9,2
2,1
10,2
1,2
10,6
3,3
13,3
2,1
5,2
4,0
6,2
2,0
8,0
3,0
4,8
79
233,8
312,8
283,6
2494,56
2778,16
Con estos datos obtenidos podemos completar el cuadro del ANVA:
Total
∑ ∑
Para hallar el F tab, debido a que estos valores no se encuentran en la tabla, hemos tenido que interpolar:
FV Entre tratamientos (Tr) Dentro de tratamiento (E) Total (T)
GL
SC
CM
F0
F tabular
1
479.2608
479.2608
67.26
48
342.0224
7.1254
49
821.2832
Debido a que F0 ≥ F TAB, entonces se rechaza la hipótesis nula H0, por lo tanto se concluye que si existe una diferencia significativa entre las medias.
7.
Sea la siguiente tabla de datos: A
B
C
14.823
25.151
32.605
14.676
25.401
32.460
14.720
25.131
32.256
14.5141
25.031
32.669
15.065
25.267
32.111
¿Las diferencias de estas muestras de datos hacen obvias la presencia de diferencias poblacionales? Para resolver esta interrogante realizamos el ANVA: Las hipótesis que se formulan son las siguientes: Ho: H1:
Para completar nuestro cuadro del ANVA primero tenemos que calcular las sumatorias respectivas:
4.048
DISPOSITIVO
Tiempo medio de vida
∑
A
B
C
TOTAL
14,823
25,151
32,605
14,676
25,401
32,460
14,720
25,131
32,256
14,5141
25,031
32,669
15,065
25,267
32,111
73,7981
125,9810
162,1010
361,8801
1089,3980
3174,3230
5255,5670
9519,2881
Con estos datos obtenidos podemos completar el cuadro del ANVA:
∑ ∑ FV Entre tratamientos (Tr) Dentro de tratamiento (E) Total (T)
GL
SC
CM
Fo
2
788.3408251
394,1704
10132,9151
12
0.4669
0,0389
-
14
788,8077
-
-
F tabular
Debido a que F0 ≥ F TAB, entonces se rechaza la hipótesis nula H0, por lo tanto se concluye que todas las medias de los datos presentados en tablapresentan una diferencia de medias significativa.
8.
Se realizó un experimento con miras a determinar el método óptimo para abreviar cualquier conjunto específico de palabras en consolas de sistemas computarizados modernos. Para ellos se usó 20 miembros del personal civil y rural, (5 por cada uno de 4 métodos) quienes deberían registrar el nº de ensayos hasta decodificar correctamente por lo menos 90% de las palabras, de entre una lista de 75. Los resultados son: Método A B C D Nº 4 7 5 6 8 6 9 5 7 6 5 5 7 8 7 8 4 8 10 3 Ensayos ¿Los datos proporcionan pruebas suficientes que indiquen diferencias entre los números medios de ensayos requeridos en los 4 grafos? Prueba en α=0.05 Para resolver esta interrogante realizamos el ANVA:
3,89
Las hipótesis que se formulan son las siguientes: Ho: H1:
Para completar nuestro cuadro del ANVA primero tenemos que calcular las sumatorias respectivas:
Métodos
Nº de ensayos
∑
A
B
C
D
4
6
5
8
7
9
5
5
5
5
7
8
6
7
8
10
8
6
7
3
30 190
33 227
32 212
34 262
Total
129 891
Con estos datos obtenidos podemos completar el cuadro del ANVA:
∑ ∑ Para hallar el F tab, debido a que estos valores no se encuentran en la tabla, hemos tenido que interpolar:
FV Entre tratamiento Dentro de tratamiento Total
GL
SC
CM
F0
FTAB
3
1,75
0,5833
0,16317016
F(3,16,0.95)=3,252
16
57,2
3,575
19
58,95
Debido a que F0 < FTAB, entonces no se rechaza la hipótesis nula H 0, por lo tanto se concluye en que los datos no proporcionan pruebas suficientes que indiquen diferencias entre los números medios de ensayos requeridos en los 4 grafos , es decir no hay una diferencia significativa entre dichas medias.
9.
El exceso de ozono en el aire es señal de contaminación. Se tomaron 6 muestras de aire en cada uno de 4 sitios industriales y se determino el contenido de ozono (ppm) que se muestra: SITIO
Concentración de ozono
1
2
3
4
0,08
0,15
0,13
0,05
0,10
0,09
0,10
0,11
0,09
0,11
0,15
0,07
0,07
0,10
0,09
0,09
0,09
0,08
0,09
0,11
0,06
0,13
0,17
0,08
Construir una tabla de análisis de varianza para los datos Las hipótesis que se formulan son las siguientes: Ho: H1:
Para completar nuestro cuadro del ANVA primero tenemos que calcular las sumatorias respectivas:
Tratamientos
∑
1
2
3
4
0,08
0,15
0,13
0,05
0,10
0,09
0,10
0,11
0,09
0,11
0,15
0,07
0,07
0,10
0,09
0,09
0,09 0,06 0,49 0,0411
0,08 0,13 0,66 0,076
0,09 0,17 0,73 0,0945
0,11 0,08 0,51 0,0461
Con estos datos obtenidos podemos completar el cuadro del ANVA:
Total
2,39 0,2577
∑ ∑
FV Entre tratamientos (Tr) Dentro de tratamiento (E) Total (T)
GL
SC
CM
Fo
F tabular
3
0,006779167 0,002259722 3,498924731
20
0,012916667 0,000645833
-
23
0,019695833
-
-
3.36
Debido a que F0 ≥FTAB, entonces se rechaza la hipótesis nula H 0, por lo tanto se concluye que alguna(s) de las medias de la confiabilidad de los tableros electrónicos mantienen una diferencia significativa respecto del resto o entre ellas.
10. El laboratorio de Ingeniería de Sistemas de la UNT, ha adquirido 3 computadoras de distintas marcas y se desea determinar si son diferentes en la velocidad al realizar una gráfica estadística. Los siguientes datos muestran la velocidad de cada una, con 5 réplicas, en ciertas unidades. ¿La velocidad de las 3 computadoras es significativa diferente al 5% de significancia? Computadora
Velocidad
A
B
C
25
31
24
30
34
30
36
38
28
38
42
25
31
35
28
Para resolver esta interrogante realizamos el ANVA: Las hipótesis que se formulan son las siguientes: Ho: H1:
Para completar nuestro cuadro del ANVA primero tenemos que calcular las sumatorias respectivas:
Computadora
Velocidad
∑
A
B
C
25
31
24
30
34
30
36
38
28
38
42
25
31
35
28
160
180
135
475
4265
6550
3669
14484
Con estos datos obtenidos podemos completar el cuadro del ANVA:
∑ ∑
Total
FV
GL
SC
CM
Fo
F tabular
Entre tratamientos (Tr)
2
203.3333
67.7778
7.50
3.89
Dentro de tratamiento (E)
12
2.999
9.03
-
Total (T)
14
206.332
-
-
Conclusión: Sí, se rechaza Ho, Fo =7.50 y Ftab =3.89. Debido a que F0≥ FTAB, entonces se rechaza la hipótesis nula H 0, por lo tanto se concluye que no todas las medias de los tiempos de ensamblado para los 3 computadoras diferentes de entrenamiento son iguales, es decir hay una diferencia significativa entre dichas medias.
11. Una compañía que fabrica computadoras ha instituido 4 programas diferentes de entrenamiento para los empleados que trabajan en operaciones de ensamblado. 24 trabajadores repartidos en grupos de 6, tomaron los programas de entrenamiento, después del cual se registraron los tiempos medios necesarios para el ensamblado de un circuito, para cada uno de los cuatro trabajadores. 4 trabajadores renunciaron a su empleo durante el programa de entrenamiento. Los datos son:
Programa de entrenamiento
Tiempo medio de ensamblaje (en minutos)
A
B
C
D
60
80
97
67
80
81
84
84
69
73
93
90
65
69
99
78
-
75
92
61
-
72
-
-
¿Hay diferencia significativa entre los tiempos de ensamblado para los cuatro programas de entrenamiento? Para resolver esta interrogante realizamos el ANVA: Las hipótesis que se formulan son las siguientes: Ho: H1:
Para completar nuestro cuadro del ANVA primero tenemos que calcular las sumatorias respectivas:
Programa de entrenamiento
Tiempo medio de ensamblaje (en minutos)
∑
A
B
C
D
60
80
97
67
80
81
84
84
69
73
93
90
65
69
99
78
-
75
92
61
-
72
-
-
274 18986
450 33860
465 43379
380 29450
Total
1569 125675
Con estos datos obtenidos podemos completar el cuadro del ANVA:
∑ ∑
Para hallar el F tab, debido a que estos valores no se encuentran en la tabla, hemos tenido que interpolar:
FV Entre tratamientos (Tr) Dentro de tratamiento (E) Total (T)
GL
SC
CM
Fo
3
1555,95
518,65
8,048884578
16
1031
64,4375
-
19
2586,95
-
-
F tabular
3,252
Debido a que F0≥ FTAB, entonces se rechaza la hipótesis nula H 0, por lo tanto se concluye que no todas las medias de los tiempos de ensamblado para los 4 programas diferentes de entrenamiento son iguales, es decir hay una diferencia significativa entre dichas medias.
12. Un ingeniero desea indicar los efectos relativos de 8 tratamientos, respecto a la vida activa de un tipo particular de baterías térmicas. Se dispone de 64 baterías homogéneas y la distribución de las baterías a los tratamientos son: Tratamientos
Vida activa de baterías térmicas (en segundos)
A
B
C
D
E
F
G
H
9
58
37
18
14
21
48
43
22
53
36
38
1
15
63
56
64
26
30
33
50
3
60
41
34
11
5
29
27
45
57
23
17
52
6
61
16
47
25
10
4
51
13
40
49
32
59
12
31
8
2
35
46
19
7
20
28
14
54
39
44
62
55
42
Prueba si las medias de la vida activa de las baterías son iguales (α=5%) Para resolver esta interrogante realizamos el ANVA: Las hipótesis que se formulan son las siguientes: Ho: H1:
Para completar nuestro cuadro del ANVA primero tenemos que calcular las sumatorias respectivas:
Tratamientos
Vida activa de baterías térmicas (segundos)
∑
A
B
C
D
E
F
G
H
9
58
37
18
14
21
48
43
22
53
36
38
1
15
63
56
64
26
30
33
50
3
60
41
34
11
5
29
27
45
57
23
17
52
6
61
16
47
25
10
4
51
13
40
49
32
59
12
31
8
2
35
46
19
7
20
28
14
54
39
44
62
55
42
209 7867
273 12535
183 6715
293 11765
247 10135
244 10138
374 20302
247 9603
Con estos datos obtenidos podemos completar el cuadro del ANVA:
∑ ∑
Total
2070 89060
Para hallar el F tab, debido a que estos valores no se encuentran en la tabla, hemos tenido que interpolar:
FV Entre tratamientos (Tr) Dentro de tratamiento (E) Total (T)
GL
SC
CM
Fo
7
2920,6875
417,241071 1,21773006
56
19187,75
342,638393
-
63
22108,4375
-
-
F tabular
2,218
Debido a que F0 ≤ FTAB, entonces no se rechaza la hipótesis nula H0, por lo tanto se concluye que todas las medias de la vida activa de las baterías son iguales para los 8 tratamientos aplicados.
13. Se ha efectuado un experimento similar al del Ejm. 12, pero solo se investigaron 4 tratamientos y se disponía de 20 baterías para la prueba. Los datos son: Tratamientos
Observaciones (segundos)
1
2
3
4
73
74
68
71
73
74
69
71
73
74
69
72
75
74
69
72
75
75
70
73
Para resolver esta interrogante realizamos el ANVA: Las hipótesis que se formulan son las siguientes: Ho: H1:
Para completar nuestro cuadro del ANVA primero tenemos que calcular las sumatorias respectivas:
Tratamientos
Observaciones (segundos)
∑
1
2
3
4
73
74
68
71
73
74
69
71
73
74
69
72
75
74
69
72
75
75
70
73
369 27237
371 27529
345 23807
359 25779
Total
1444 104352
Con estos datos obtenidos podemos completar el cuadro del ANVA:
∑ ∑ Para hallar el Ftab, debido a que estos valores no se encuentran en la tabla, hemos tenido que interpolar:
FV
GL
SC
CM
F0
Entre tratamientos (Tr)
3
84,8
28,2666667
43,48717949
Dentro de tratamiento (E)
16
10,4
0,65
Total (T)
19
95,2
F tabular
Debido a que F0 ≥ FTAB, entonces se rechaza la hipótesis nula H 0, por lo tanto se concluye que notodas las medias de la vida activa de las 20 baterías son iguales para los 4 tratamientos aplicados.
5,324
Ejercicios DCA 1. Una persona que realiza plantaciones quiso comparar los efectos de 5 tratamientos de preparación en el sitio sobre el crecimiento inicial en altura de plantas de pino en el terreno. Dispuesto de 2.5 parcelas y aplicó cada tratamiento a 5 parcelas escogidas al azar. Luego las plántulas se plantaron a mano y al final de 5 años se midió la altura de todos los pinos y se calculó la altura media en cada parcela. Las medidas en las parcelas (en pies) fueron las siguientes: Presente la tabla de análisis de varianza y pruebe la hipótesis de igualdad de tratamientos. (Use α=0.01)
Tratamientos A
B
C
D
E
15
16
13
11
14
14
14
12
13
12
12
13
11
10
12
13
15
12
12
10
13
14
10
11
11
Para resolver esta interrogante realizamos el ANVA:
Las hipótesis que se formulan son las si guientes: Ho: H1:
Para completar nuestro cuadro del ANVA primero tenemos que calcular las sumatorias respectivas:
A
B
C
D
E
Total
15
16
13
11
14
14
14
12
13
12
12
13
11
10
12
13
15
12
12
10
13
14
10
11
11
67
72
58
57
59
313
734
1042
678
655
705
3814
Con estos datos obtenidos podemos completar el cuadro del ANVA:
∑ ∑ FV
GL
SC
CM
Fo
F tabular
Entre tratamientos (Tr)
4
34.64
8.66
5.851351351
4.43
Dentro de tratamiento (E)
20
29.6
1.48
-
Total (T)
24
64.24
-
-
Interpretación: Debido a que F0≥ FTAB, entonces se rechaza la hipótesis nula H0, por lo tanto se concluye que no todas las medias de los tiempos de ensamblado para los 3 computadoras diferentes de entrenamiento son iguales, es decir hay una diferencia significativa entre dichas medias.
2. Los datos que se presentan enseguida son rendimientos (en toneladas por hectárea) de un pasto con tres niveles de fertilización nitrogenada. El diseño fue completamente aleatorizado, con 5 repeticiones por tratamiento: Tratamientos
Rendimiento (ton*Ha)
N1
N2
N3
14,823
25,121
32,605
14,676
25,401
32,46
14,72
25,131
32,256
14,514
25,031
32,669
15,065
25,267
32,111
a)Presente la tabla de ANVA y pruebe la hipótesis de igualdad de tratamiento (α=0.05) Para resolver esta interrogante realizamos el ANVA: Las hipótesis que se formulan son las siguientes: Ho:
H1:
Para completar nuestro cuadro del ANVA primero tenemos que calcular las sumatorias respectivas:
Tratamientos
Rendimiento (ton*Ha)
∑
N1
N2
N3
14,823
25,121
32,605
14,676
25,401
32,46
14,72
25,131
32,256
14,514
25,031
32,669
15,065
25,267
32,111
73,798
125,951
162,101
1089,395126
3172,814853
14,7596
Total
361,85
5255,567043 9517,777022
25,1902
32,4202
Con estos datos obtenidos podemos completar el cuadro del ANVA:
∑ ∑ FV
GL
SC
Entre tratamientos (Tr)
2
788,2785145
Dentro de tratamiento (E)
12
0,4703408
Total (T)
14
788,7488553
CM
F0
786,278515 20060,65001
F tabular
0,03919507
Debido a que F0 ≥ FTAB, entonces se rechaza la hipótesis nula H 0, por lo tanto se concluye que notodas las medias de los rendimientos del pasto al aplicarle los 3 tratamientos son iguales.
3,89
a) Si se rechaza dicha hipótesis, realice las comparaciones múltiples. Realizamos las comparaciones múltiples utilizando la prueba del rango múltiple de Duncan. Las hipótesis a considerar son las siguientes: Ho: H1:
Los rangos R p están dados por:
Realizamos el siguiente cuadro de medias muestrales y valores de R p:
Medias muestrales de los tratamientos (ordenadas de mayor a menor)
|̅ ̅ | ̅ ̅ ̅ ̅
Ordenados de mayor a menor
̅
̅
-
a=10,4306
b=17,6606
R 3= 0,285978395
-
-
c=7,23
R 2= 0,272697664
-
-
-
-
Decisión:
Como b>R 3 entonces µ1≠µ3 Como a>R 2 entonces µ1≠µ2 Como c>R 2 entonces µ2≠µ3
b) Considere a N1 como el tratamiento control. Realice la prueba de Dunnett (α=0.05) Las hipótesis de prueba son las siguientes. Ho: H1:
La prueba de Dunnett utiliza el siguiente valor crítico:
Realizamos el siguiente cuadro de medias muestrales:
i 1 2
Decisión:
Como
Como
̅ ̅ ̅
|̅ ̅ | 10,4306 17,6606
||̅̅ ̅̅ | |
entonces entonces
c) Calcule intervalos de confianza (90%) para el caso de las diferencias que son significativas. Realizaremos los intervalos de confianza para las medias de los tres tratamientos debido a que son significativas.
Para el tratamiento N1 (µ 1):
̅ ̅ ∑ √ ̅ √ ̅ √ √
Ejercicio 3) En un experimento se compararon los efectos de 4 tratamientos sobre el rendimiento de una variedad de cártamo. Los tratamientos son de 2 tipos: Humedad aprovechable al momento del riego de auxilio (H) y fertilización nitrogenada (N). Este tipo de experimen to, es que se prueban dos o más tipos de tratamientos, reciben el nombre de factoriales. Aquí se tienen dos factores: humedad aprovechable y nitrógeno. En este caso los riesgos de
auxilio se dieron con 30 y 70% de humedad aprovechable, y se aplicaron dos dosis de nitrógeno (0 y 100Kg * Ha) Decimos entonces que tenemos dos niveles de cada uno de los factores o que tenemos un factorial 2*2. Tenemos entonces: FACTORES
NIVELES
HUMEDAD APROVECHABLE
H3 (30%) , H2 (70%)
NITRÓGENO
N1 ( 0) , N2 ( 100 )
Los 4 tratamientos son H1N1, H1N2, H2N1, H2N2. El experimento se realizó en un DCA, con 4 repeticiones por tratamiento, y los resultados se presentan en seguida: RENDIMIENTO DE CÁRTAMO EN TON* Há TRATAMIENTO H1N1 (A)
H1N2 (B)
H2N1 (C)
H2N2 (D)
0,5
1,5
2,4
1,6
1,4
3
3,4
1,5
2
2,4
3,3
3,2
0,5
1,9
2,1
1,7
Presente la tabla de ANVA y pruebe la hipótesis de igualdad de tratamiento Para resolver esta interrogante realizamos el ANVA: Las hipótesis que se formulan son las siguientes: Ho: H1:
Para completar nuestro cuadro del ANVA primero tenemos que calcular las sumatorias respectivas:
Métodos
Nº de ensayos
∑
H1N1 (A) H1N2 (B) H2N1 (C) H2N2 (D)
Total
0,5
1,5
2,4
1,6
1,4
3
3,4
1,5
2
2,4
3,3
3,2
0,5
1,9
2,1
1,7
4,4
8,8
11,2
8
32,4
6,46
20,62
32,62
17,94
77,64
Con estos datos obtenidos podemos completar el cuadro del ANVA:
∑ ∑ FV
GL
SC
CM
F0
FTAB
Entre tratamiento
3
5,95
1,9833
3,91447368
F(3,12,0,95)=3,49
Dentro de tratamiento
12
6,08
0,50667
Total
15
12,03
Debido a que F0 ≥ FTAB, entonces se rechaza la hipótesis nula H0, por lo tanto se concluye que no todas las medias de los efectos de 4 tratamientos sobre el rendimiento de una variedad de cártamo son iguales, es decir hay una diferencia significativa entre dichas medias.
4. Se sospecha que 4 máquinas llenadoras en una planta agroindustrial, sacando productos con diferentes pesos. Se realizó un experimento para comprobarlo y los datos (en onzas) son: Máquina
Pesos Netos
A
B
C
D
12.25
12.18
12.24
12.2
12.27
12.25
12.23
12.17
12.24
12.26
12.23
12.19
12.2
12.18
12.25 12.2
a) Haga una tabla de ANVA Para resolver esta interrogante realizamos el ANVA:
12.16
Las hipótesis que se formulan son las siguientes:
Ho: H1:
Para completar nuestro cuadro del ANVA primero tenemos que calcular las sumatorias respectivas:
A
B
C
D
12.25
12.18
12.24
12.2
12.27
12.25
12.23
12.17
12.24
12.26
12.23
12.19
12.2
12.18
12.25 12.2
Total
12.16
61.21
36.69
48.9
60.9
207.7
749.3355
448.7225
597.8034
741.763
2537.6244
Con estos datos obtenidos podemos completar el cuadro del ANVA:
∑ ∑ Para hallar el Ftab, debido a que estos valores no se encuentran en la tabla, hemos tenido que interpolar:
FV
GL
SC
CM
Entre tratamientos (Tr)
3
Dentro de tratamiento (E)
13
0.00838
0.00064462
-
Total (T)
16
0.019105882
-
-
0.010725882 0.00357529
Fo
F tabular
5.546398989
8.72667
b) ¿Hay diferencia significativa entre las máquinas con α=0.05?
Sí, hay. Debido a que F0≥ FTAB, entonces se rechaza la hipótesis nula H 0, por lo tanto se concluye que no todas las medias de los pesos netos para las 4 máquinas diferentes de agroindustriales son iguales, es decir hay una diferencia significativa entre dichas medias.
Ejercicio 5) Un químico se interesa por determinar los efectos de la temperatura de almacenamiento en la conservación de manzanas. La respuesta en este estrecho en el nº de manzanas que se podrían después de un mes de almacenamiento. Decide unos 5 lotes de manzanas como bloques de material experimental. Escoge 120 manzanas de cada lote, las divide en 4 porciones de igual tamaño y origina los tratamientos al azar a las porciones. La variable tratamientos (temperaturas) es fijado deliberadamente en los siguientes niveles: 50 oF, 55oF, 60oF, y 70oF. Los resultados en nº de manzanas son:
TRATAMIENTOS LOTE
50oF
55oF
60oF
70oF
1
8
5
7
10
2
14
10
3
5
3
12
8
6
5
4
9
8
5
7
5
12
9
4
8
a) ¿Son significativos los efectos de la temperatura con α=5%? Para resolver esta interrogante realizamos el ANVA: Las hipótesis que se formulan son las siguientes: Ho: H1:
Para completar nuestro cuadro del ANVA primero tenemos que calcular las sumatorias respectivas:
LOTE
50oF (A)
55oF (B)
60oF (C)
70oF (D)
1
8
5
7
10
2
14
10
3
5
3
12
8
6
5
4
9
8
5
7
5
12
9
4
8
55
40
25
35
155
629
334
135
263
1361
∑
Total
Con estos datos obtenidos podemos completar el cuadro del ANVA:
∑ ∑ Para hallar el Ftab, debido a que estos valores no se encuentran en la tabla, hemos tenido que interpolar:
FV
GL
SC
CM
F0
Ftab
Entre tratamiento
3
93,75
31,25
7,57575758
F(3,16,0,95)=3,252
dentro de tratamiento
16
66
4,125
Total
19
159,75
Debido a que F0 ≥ FTAB, entonces se rechaza la hipótesis nula H 0, por lo tanto se concluye que si son significativos los efectos de la temperatura, es decir hay una diferencia significativa entre dichas medias.
b) Identifique los pares de medias, si la hay, que son significativamente diferentes entre si. Realizamos Realizamos las comparaciones comparaciones múltiples utilizando la prueba del rango múltiple de Duncan. Las hipótesis a considerar son las siguientes: Ho: H1:
Los rangos R p están dados por:
Realizamos el siguiente cuadro de medias muestrales y valores de R p p:
Medias muestrales de los tratamientos (ordenadas de mayor a menor)
|̅ ̅| ̅ ̅ ̅ ̅ ̅
̅
̅
̅
-
a=3
b=6
c=4
R 4= 2.933793193
-
-
d=3
e=1
R 3=2.861129585
-
-
-
f=2
R 2=2.724885319
-
-
-
-
-
Decisión:
Ordenados de mayor a menor
Como c>R 4 entonces µ1≠µ4 Como b>R 3 entonces µ1≠µ3 Como eR 2 entonces µ1≠µ2 Como d>R 2 entonces µ2≠ µ3 Como f
Entonces los pares de medias diferentes entre si son: 1,4; 1,3; 1,2; 2,3.
6.Se realizo un experimento con germinado de semillas, el cual tenia por objeto determinar el contenido de proteína de diferentes especies. El experimento se desarrollo con un DCA obteniéndose: Especies
Contenido de proteínas
Lenteja (1) Trébol (2) Girasol (3)
Trigo (4)
Maíz (5)
Alegría (6)
2,25
5,13
4,97
1,45
1,29
5,78
2,46
4,17
4,86
1,6
1,69
3,99
3,02
5,67
5,08
2,03
1,49
4,15
2,04
4,21
4,08
1,52
1,62
3,41
2,53
3,89
4,27
1,56
1,34
2,9
1,86
4,01
3,77
1,68
3,29
3,32
a) Encuentre diferencia en el contenido medio de proteínas, en las diferentes especies, con α=5%. Para resolver esta interrogante realizamos el ANVA: Las hipótesis que se formulan son las siguientes: Ho: H1:
Para completar nuestro cuadro del ANVA primero tenemos que calcular las sumatorias respectivas:
Especies
Contenido de proteínas
∑
Lenteja (1)
Trébol (2)
Girasol (3)
Trigo (4)
Maíz (5)
Alegría (6)
2,25
5,13
4,97
1,45
1,29
5,78
2,46
4,17
4,86
1,6
1,69
3,99
3,02
5,67
5,08
2,03
1,49
4,15
2,04
4,21
4,08
1,52
1,62
3,41
2,53
3,89
4,27
1,56
1,34
2,9
1,86
4,01
3,77
1,68
3,29
3,32
14,16
27,08
27,03
9,84
10,72
23,55
112,38
34,2566
124,791
123,2191
16,3498
21,9844
97,6115
418,2124
2,36
4,513333333 4,513333333
4,505
1,64
1,786666667
3,925
Total
Con estos datos obtenidos podemos completar el cuadro del ANVA:
∑ ∑
FV
GL
SC
CM
Fo
Entre tratamientos (Tr)
5
54,3203333 10,8640667 24,9191717
Dentro de tratamiento (E)
30
13,0791667 0,43597222
Total (T)
35
F tabular
67,3995
Debido a que F0 ≥ FTAB, entonces se rechaza la hipótesis nula H 0, por lo tanto se concluye que notodas los contenidos promedio de proteínas en las diferentes especies son iguales.
b) Identificar los pares de medias, si los hay, que sean diferentes entre si.
Realizamos las comparaciones múltiples utilizando la prueba del rango múltiple de Duncan. Las hipótesis a considerar son las siguientes: Ho: H1:
Los rangos R p están dados por:
2,53
Realizamos el siguiente cuadro de medias muestrales y valores de R p:
|̅ ̅ | ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅
Medias muestrales de los tratamientos (ordenadas de mayor a menor)
-
a=2,153333
-
-
-
-
-
j=2,865
k=2,7183333
l=0,58
R 4=0,841023979
-
-
-
-
m=0,1466667
n=2,285
R 3=0,819459262
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
̅
̅
̅
̅
Ordenados de mayor a menor
b=2,145
c=0,72
d=0,573333
e=1,565
R 6= 0,876066645
f=0,008333 g=2,87333333 h=2,7266667 i=0,588333
R 5=0,862588696
ñ=2,138333 R 2=0,779025416 -
-
Decisión:
Como e>R 6 entonces µ1≠µ6 Como dR 4 entonces µ2≠µ5 Como lR 3 entonces µ1≠µ3 Como g>R 3 entonces µ2≠µ4 Como k>R 3 entonces µ3≠µ5 Como n>R 3 entonces µ4≠µ6 Como a>R 2 entonces µ1≠µ2 Como fR 2 entonces µ3≠µ4 Como mR 2 entonces µ5≠µ6
Entonces los pares de medias diferentes entre si son: 1,6; 2,5; 1,3; 2,4; 3,5; 4,6; 1,2; 3,4; 5,6.
Diseño de Bloques Completamente al Azar (DBCA) 1) Antes de presentar una licitación para un trabajo de cómputo los ingenieros de costos preparan un análisis detallado de los costes estimados de mano de obra y materiales eléctricos que se necesitaran para completar el trabajo. Tal estimación dependerá del ingeniero que realice el análisis. Una estimación muy grande reducirá la probabilidad de que el precio de licitación de la compañía sea aceptado, mientras que una estimación muy baja reducirá las utilidades o incluso hara que la compañía pierda dinero en el trabajo. Una compañía que cuenta con 3 ingenieros de costos quizá compara el nivel de medias de las estimaciones de los ingenieros. Esto se fijo pidiendo a cada ingeniero estimar el costo de los mismos 4 analisis. Los datos (en cientos de miles de $) son:
Ingeniero (Tratamientos)
TRABAJO (Bloques)
1
2
3
1
4,6
4,9
4,4
2
6,2
6,3
5,9
3
5,0
5,4
5,4
4
6,6
6,8
6,3
a) Realice un ANVA con los datos usando DBCA para determinar si existen evidencias que indiquen diferencias entre las medias de tratamiento (α=0.05) Las hipótesis que se formulan son las siguientes: Hipótesis principal Hipótesis secundaria Tr Ho : HoB: H1Tr : H1B:
Para completar nuestro cuadro del ANVA primero tenemos que completar los cálculos respectivos:
INGENIERO (Tratamientos)
TRABAJO (Bloques)
1
2
3
1
4,6
4,9
4,4
13,9
64,53
2
6,2
6,3
5,9
18,4
112,94
3
5,0
5,4
5,4
15,8
83,32
4
6,6
6,8
6,3
19,7
129,49
22,4
23,4
22
67,8
–
128,16
139,1
123,02
–
390,28
Con estos datos obtenidos podemos completar el cuadro del ANVA:
FV
GL
SC
CM
Fo
Entre tratamientos (Tr)
2
0,26
0,13
4,178571443
Entre Bloques (B)
3
6,763333333 2,254444444 72,46428596
Dentro de tratamiento (E)
6
0,186666667 0,031111111
Total (T)
11
7,21
F tab
-
-
-
Como , entonces no se rechaza la hipótesis principal H 0 y concluimos en que no existen diferencias significativas entre las medias de los tratamientos. Como , entonces se rechaza la hipótesis secundaria H 0 y concluimos en que si existen diferencias significativas entre las medias de los bloques.
Ejercicio 2) En la siguiente tabla se presentan los desplazamientos laterales de un edificio (en pulgadas) estimados por 3 programas de computadora diferentes para cada uno de 5 niveles del edificio: 1, 5, 10, 15 y 20 PROGRAMA
NIVEL
(tratamiento)
(bloque) STAAD – III (1)
STAAD – III (2)
STAAD – III (3)
1
0.17
0.16
0.16
2
1.35
1.26
1.27
3
3.04
2.76
2.77
4
4.54
3.98
3.99
5
5.94
4.99
5.00
Aplicar un ANVA – DBCA para analizar los datos y poder comparar las relaciones de desplazamientos medios estimados para los 3 programas de computadora (α= 5%).
Para responder a estos incisos tenemos que realizar en ANVA para el diseño de bloques completamente al azar: Planteamos nuestras hipótesis:
5,99 4,76
Hipótesis principal:
:
: Al menos una igualdad no se cumple
Hipótesis secundaria:
:
: Al menos una igualdad no se cumple.
Para ello completamos nuestro cuadro anterior con l as sumas necesarias:
NIVEL
PROGRAMA
(bloque)
(tratamiento)
STAAD – III (1)
STAAD – III (2)
STAAD – III (3)
1
0,17
0,16
0,16
0,49
2
1,35
1,26
1,27
3,88
3
3,04
2,76
2,77
8,57
4
4,54
3,98
3,99
12,51
5
5,94
4,99
5
15,93
15,04
13,15
13,19
41,38
66,9882
49,9713
50,2315
∑
Total
167,191
FV
GL
SC
CM
Fo
Tr
2
0.4664133
0.23320665
4.786343916
Bloque (B)
4
52.1811133
13.04527833
267.741887
Error (E)
8
0.3897867
0.0487233375
T
14
53.0373733
a) Debido a que
b) Debido a que
F tabular
3,84
se rechaza H 0, es decir no existen suficientes evidencias de que los desplazamientos estimados laterales promedio de los edificios son iguales para los 3 programas de computadora, en otras palabras, los desplazamientos laterales medios de los edificios no son iguales para los 3 programas de computadora. se rechaza H0, es decir existen suficientes evidencias de que los desplazamientos laterales estimadosde los edificios promedio son diferentes para los para los 5 niveles del edificio, en otras palabras, los desplazamientos medios son diferentes para los 5 niveles del edificio.
3. Se realizo con estudio de simulación para investigar el desempeño de maquina de varios algoritmos nuevos para funciones de la biblioteca de programas de computadora en FORTRAN (IBM journal of Research and Development, marzo 1986). La siguiente tabla indica el tiempo por llamada (en microsegundos) para varias funciones escalares elegidas al azar en cada una de las tres maquinas IBM System/370 diferentes. Siendo los bloques las funciones y los tratamientos los programas: Programa
Función ( bloque)
(tratamiento) IBM 4331
IBM 4361
IBM 4341
EDUM
9,9
3,07
4,88
ACOS CIRCO(0,PI)
179,62
33,28
33,23
SIN LINEAR(-PI,PI)
105,72
24,13
27,08
EXPLINEAR(-16,16)
254,82
39,14
37,46
D2DUM
13,47
4,63
5,72
a) ¿Existen suficientes pruebas de que los tiempos de llamada de función medios difieren para las 3 maquinas IBM System/370? (α=5%)
4,46
b) Realice una prueba para determinar si la agrupación en bloques según la función fue efectiva para eliminar una fuente de varia ción ajena. (α=5%)
Para responder a estos incisos tenemos que realizar en ANVA para el diseño de bloques completamente al azar:
Planteamos nuestras hipótesis:
Hipótesis principal:
:
: Al menos una igualdad no se cumple
Hipótesis secundaria:
:
: Al menos una igualdad no se cumple.
Para ello completamos nuestro cuadro anterior con l as sumas necesarias:
Programa
Función ( bloque)
(tratamiento)
IBM 4331
IBM 4361
IBM 4341
EDUM
9,9
3,07
4,88
17,85
ACOS CIRCO(0,PI)
179,62
33,28
33,23
246,13
SIN LINEAR(-PI,PI)
105,72
24,13
27,08
156,93
EXPLINEAR(-16,16)
254,82
39,14
37,46
331,42
D2DUM
13,47
4,63
5,72
23,82
563,53
104,25
108,37
776,15
∑
108652,7461 3252,6167
3297,3437
Total
115202,7065
FV
GL
Tr
2
27875,04789 13937,5239
3,035026743
Bloque (B)
4
10429,27503 2607,31876
0,567768148
Error (E)
8
36737,79541 4592,22443
T
14
75042,11833
c) Debido a que
SC
CM
Fo
F tabular
no se rechaza H 0, es decir no existen suficientes evidencias de que los tiempos de llamada promedio difieren para las tres maquinas IBM System/370, en otras palabras, los tiempos promedios de llamada son iguales para las 3 maquinas.
d) Debido a que
no se rechaza H 0, es decir no existen suficientes evidencias de que los tiempos de llamada promedio difieren para las cinco funciones, en otras palabras, los tiempos promedios de llamada son iguales para las 5 funciones de la biblioteca.
DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR (DCA) 1. Una compañía que se dedica a la venta de computadoras de una marca, investigó el número de problemas que podrían tener 4 unidades del producto (A,B,C,D) cuando se exponen a 40ºC de temperatura en el lapso de una semana, con el fin de advertir a los compradores de computadoras de dicha marca. Se recolectaron los siguientes datos:
4,46
3,84
A
B
C
D
4
8
4
7
5
6
9
9
8
4
5
5
7
7
6
4
Para resolver esta interrogante realizamos el ANVA:
Las hipótesis que se formulan son las si guientes: Ho: H1:
Para completar nuestro cuadro del ANVA primero tenemos que calcular las sumatorias respectivas:
A
B
C
D
4
8
4
7
5
6
9
9
8
4
5
5
7
7
6
4
24
25
24
25
98
154
165
158
171
648
Con estos datos obtenidos podemos completar el cuadro del ANVA:
∑ ∑
Total
FV
GL
SC
CM
Fo
F tabular
Entre tratamientos (Tr)
3
0.25
0.08333333
0.021052632
8.74
Dentro de tratamiento (E)
12
47.5
3.95833333
-
Total (T)
15
47.75
-
-
Conclusión: Debido a que F0≤ FTAB, entonces no se rechaza la hipótesis nula H 0, por lo tanto se concluye que no existe diferencia entre las plántulas, es decir no hay una diferencia significativa entre dichas medias.
1. Para estudiar la confiabilidad de ciertos tableros electrónicos para carros, se someten a un envejecimiento acelerado durante 100 horas a cierta temperatura midiéndose como variable de interés la intensidad de la corriente que circula entre dos puntos, cuyos valores aumentan con el deterioro. Se probaron 20 módulos repartidos equitativamente en 5 temperaturas y los resultados son: 20ºC
40ºC
60ºC
80ºC
100ºC
15
17
23
28
45
18
21
19
32
51
13
11
25
34
57
12
16
22
31
48
Para resolver esta interrogante realizamos el ANVA:
Las hipótesis que se formulan son las siguientes: Ho: H1:
Para completar nuestro cuadro del ANVA primero tenemos que calcular las sumatorias respectivas:
20ºC
40ºC
60ºC
80ºC
100ºC
Total
15
17
23
28
45
18
21
19
32
51
13
11
25
34
57
12
16
22
31
48
58
65
89
125
201
538
862
1107
1999
3925
10179
18072
Con estos datos obtenidos podemos completar el cuadro del ANVA:
∑ ∑ Para hallar el Ftab, debido a que estos valores no se encuentran en la tabla, hemos tenido que interpolar:
FV
GL
SC
CM
Fo
F tabular
Entre tratamientos (Tr)
3
3411.8
1137.26667
96.78865248
3.252
Dentro de tratamiento (E)
16
188
11.75
-
Total (T)
19
3599.8
-
-
Interpretación: Debido a que F0≥ FTAB, entonces se rechaza la hipótesis nula H 0, por lo tanto se concluye que no todas las medias de los tiempos de ensamblado para los 4 programas diferentes de entrenamiento son iguales, es decir hay una diferencia significativa entre dichas medias.
2. En una empresa de manufactura de productos informáticos se propone un tratamiento para reducir el porcentaje de artículos defectuosos producción. Para validar esta propuesta se diseño un experimento en el que se producía con o sin la propuesta de mejora, cada corrida experimental consintió en producir un lote y la variable de respuesta en el porcentaje de productos defectuosos. Se hicieron 25 replicas para cada tratamiento, obteniéndose los siguientes datos: Tratamientos
Porcentaje de producto defectuoso
Con Tratamiento
Sin Tratamiento
5,3
8,0
4,0
13,2
4,0
7,2
4,0
8,2
2,6
9,1
2,1
6,7
5,1
12,2
4,1
16,3
4,1
9,2
3,2
6,4
5,1
7,2
2,2
19,2
4,1
12,3
2,2
8,7
1,1
11,3
2,0
4,5
3,0
6,6
3,1
9,2
2,1
10,2
1,2
10,6
3,3
13,3
2,1
5,2
4,0
6,2
2,0
8,0
3,0
4,8
Para resolver esta interrogante realizamos el ANVA: Las hipótesis que se formulan son las siguientes: Ho: H1:
Para completar nuestro cuadro del ANVA primero tenemos que calcular las sumatorias respectivas:
Tratamientos
Porcentaje de producto defectuoso
Con Tratamiento
Sin Tratamiento
5,3
8,0
4,0
13,2
4,0
7,2
4,0
8,2
2,6
9,1
2,1
6,7
5,1
12,2
4,1
16,3
4,1
9,2
3,2
6,4
5,1
7,2
2,2
19,2
4,1
12,3
2,2
8,7
1,1
11,3
Total
∑
2,0
4,5
3,0
6,6
3,1
9,2
2,1
10,2
1,2
10,6
3,3
13,3
2,1
5,2
4,0
6,2
2,0
8,0
3,0
4,8
79
233,8
312,8
283,6
2494,56
2778,16
Con estos datos obtenidos podemos completar el cuadro del ANVA:
∑ ∑ Para hallar el Ftab, debido a que estos valores no se encuentran en la tabla, hemos tenido que interpolar:
FV
GL
SC
CM
F0
Entre tratamientos (Tr)
1
479.2608
479.2608
67.26
Dentro de tratamiento (E)
48
342.0224
7.1254
Total (T)
49
821.2832
F tabular
Debido a que F0 ≥ FTAB, entonces se rechaza la hipótesis nula H 0, por lo tanto se concluye que si existe una diferencia significativa entre las medias.
Ejercicio 4) Se describe un experimento donde diferentes tipos de cajas se compararon con respecto a la resistencia a la compresión (en libras). Para 4 tipos de caja (1, 2, 3, 4), se obtuvo los siguientes datos: Tipo 1
655.5
788.3
734.3
721.4
679.1
699.4
Tipo 2
789.2
772.5
786.9
686.1
732.1
774.8
Tipo 3
737.1
639.0
696.3
671.7
717.2
727.1
Tipo 4
535.1
628.7
542.4
559.0
586.9
520.0
¿Existe diferencias significativamente en cuanto a la resistencia media de los 4 tipos de cajas? Para resolver esta interrogante realizamos el ANVA: Las hipótesis que se formulan son las siguientes: Ho: H1:
Para completar nuestro cuadro del ANVA primero tenemos que calcular las sumatorias respectivas:
Métodos
Nº de ensayos
Tipo 1 (A)
Tipo 1 (B)
Tipo 1 (C)
Tipo 1 (D)
655,5
789,2
737,01
535,1
788,3
772,5
639
628,7
734,3
786,9
696,3
542,4
721,4
686,1
671,7
559
679,1
732,1
717,2
586,9
699,4
774,8
727,1
520
4278
4541,6
4188,31
3372,1
Total
16380,01
4.048
∑
3061048,76
3445823,16
2930569,57
1903126,07
11340567,6
Con estos datos obtenidos podemos completar el cuadro del ANVA:
∑ ∑ FV
GL
SC
CM
F0
FTAB
Entre tratamiento
3
127371,954
42457,3181
25,0989
F(3,20,0,95)=3,10
Dentro de tratamiento
20
33831,9557
1691,59779
Total
23
161203,91
Debido a que F0 ≥ FTAB, entonces se rechaza la hipótesis nula H0, por lo tanto se concluye que no todas las resistencias medias de los 4 tipos de cajas son iguales, es decir hay una diferencia significativa entre dichas medias.
5. Se determino la salida de lúmenes para cada una de las 3 marcas de focos de luz blanca suave de 60 watts de diferentes marcas con 8 focos probados de cada marca, obteniéndose: SCE=4773.3, SCTr=591.2. Exprese la hipótesis de interés y realice un ANVA para determinar si existen algunas diferencias en el verdadero promedio de salidas de lúmenes entre las 3 marcas para este tipo de luz blanca. Para resolver esta interrogante realizamos el ANVA: Las hipótesis que se formulan son las siguientes: Ho: H1:
Con los datos que tenemos completamos nuestro cuadro del ANVA: Para hallar el Ftab, debido a que estos valores no se encuentran en la tabla, hemos tenido que interpolar:
FV
GL
SC
CM
Fo
Entre tratamientos (Tr)
2
591,2
295,6
1,300483942
Dentro de tratamiento (E)
21
4773,3
227,3
Total (T)
23
5364,5
F tabular
Debido a que F0 < FTAB, entonces no se rechaza la hipótesis nula H0, por lo tanto se concluye que todas las medias de la salida de lúmenes son iguales para las 3 marcas de focos para este tipo de luz blanca.
6. Se probaron 5 bujías de cada de cada una de dos marcas de motor de automóvil, observándose el numero de millas recorridas hasta presentarse una falla. El ANVA incompleto es: FV
GL
SC
CM
Fo
1 8
14713,69 310500,76
Completar la tabla y realizar y realizar la prueba de igualdad de medias. Para resolver esta interrogante realizamos el ANVA: Las hipótesis que se formulan son las siguientes: Ho: H1:
FV
GL
SC
CM
Fo
Entre tratamientos (Tr)
1
192791,24
192791,24
13,10284776
Dentro de tratamiento (E)
8
117709,52
14713,69
F tabular
5,12
Total (T)
9
310500,76
Debido a que F0 ≥ FTAB, entonces se rechaza la hipótesis nula H 0, por lo tanto se concluye que notodas los números de millas promedio recorridas hasta presentarse una falla son iguales para las dos marcas de automóviles.
DISEÑO DE BLOQUES COMPLETAMENTE AL AZAR (DBCA) Ejercicio 7) En una empresa diseñadora de software de seguridad informática, se ha puesto a prueba la eficacia de los últimos diseños establecidos por dicha empresa (la eficacia se mide por el tiempo, en minutos, que demore el software en revisar los archivos de la empresa usuaria). Se dispone de 5 software diferentes (A, B, C, D, E) y de 5 sucursales de la empresa (I, II, III, IV, V) para la revisión de archivos. Considerando a las sucursales como los tratamientos y a los software como los bloques, se tiene la siguiente información. A
B
C
D
E
I
50.5
70.1
72.4
60.2
59.0
II
48.6
64.8
69.2
58.1
65.3
III
54.7
73.9
67.5
70.3
73.7
IV
41.4
75.0
72.6
80.9
78.9
V
52.2
74.3
67.9
79.6
69.8
Para responder a estos incisos tenemos que realizar en ANVA para el diseño de bloques completamente al azar: Planteamos nuestras hipótesis:
Hipótesis principal:
:
: Al menos una igualdad no se cumple
Hipótesis secundaria:
:
: Al menos una igualdad no se cumple.
Para ello completamos nuestro cuadro anterior con l as sumas necesarias:
I
II
III
IV
V
A
50,5
48,6
54,7
41,4
52,2
247,4
B
70,1
64,8
73,9
75
74,3
358,1
C
72,4
69,2
67,5
72,6
67,9
349,6
D
60,2
58,1
70,3
80,9
79,6
349,1
E
59
65,3
73,7
78,9
69,8
346,7
312,2
306
340,1
348,8
343,8
1650,9
19811,06
18989,34
23383,33
25379,74
24063,94
∑
total
111627,41
Para hallar el
tenido que interpolar:
, debido a que estos valores no se encuentran en la tabla, hemos
FV
GL
SC
CM
F0
FTAB
Tr
4
307.7136
76.9284
2.148648932
Bloque (B)
4
1728.0136
432.0034
12.0660724
Error (E )
16
572.8504
35.80315
T
24
2608.5776
3.022
3.022
b. Debido a que
no se rechaza H 0, es decir: no existen diferencias significativas entre el tiempo promedio que demora el software para revisar los archivos para cada una de las 5 sucursales.
c. Debido a que
se rechaza H 0, es decir: existen diferencias significativas entre el tiempo promedio que demora cada uno de los 5 software para revisar los archivos.
8. La siguiente información corresponde al tiempo de procesamiento (en minutos) de un conjunto de datos, empleado por 3 trabajadores (Carlos, José, Alfredo, Mariano y Luis: tratamientos) con 5 softwares (SPSS, MiniTab, SAS, Excel, Stat: bloques).
Carlos
José
Alfredo
Mariano
Luis
y.j
SPSS
40.5
63.1
72.4
40.4
57.1
273.5
MiniTab
46.6
51.8
69.2
38.3
67.2
273.1
SAS
44.7
65.9
67.5
50.3
70.8
299.2
Excel
49.4
62.0
72.6
60.7
75.8
320.5
Stat
52.2
64.3
67.9
59.6
68.9
312.9
Yi.
233.4
307.1
349.6
249.3
339.8
1479.2
SOLUCIÓN: 1) Debido a la presencia de bloques y tratamientos, podemos verificar que el modelo a aplicarse debe de ser el Diseño en bloques completamente al azar
2) Realizamos el ANVA:
FV
GL SC
Tratamient k-1 o
k
CM
yi2. b
i 1
Bloque
b-1
Error
y.2 j j 1 k b
2
n-1
n
y..2 n
k
25
SCB
CMB
b 1
CME
F k 1, k1 b 1 ,1
SCE
2
b
y
2 ij
1479.2
k 1
k 1 b 1
i 1 j 1
y..
n
FTAB
CMTr F k 1, k1b 1,1 CME
SCTr
SCE SCT SCTr SCB
(k 1)( b 1)
Total
y..2
F0
y.. n
2
87521.3056
yi2. y..2 233.42 307.12 349.62 249.32 339.82 87521.3056 SCTr b n 5 5 5 5 5 i 1 SCTr 89724.132 87521.3056 SCTr 2202.6284 k
y. j2 SCB i 1 k b
SCB
y..2 273.52 273.12 299.22 320.52 312.92 87521.3056 5 5 5 5 5 n
439533.16 5
87521.3056 385.3264
SCT 90576.6-87521.3056=3055.2944 3) Completamos el cuadro de ANVA para el diseño en bloques completamente al azar:
FV
GL
SC
CM
F0
FTAB
Tratamiento
4
2202.6284
550.6571
18.8524
FTAB(4,16,0.95)
Bloque
4
385.3264
96.3316
3.2980
F
Error
16
467.3396
29.208725
Total
24
3055.2944
(4,16,0.95)
FTAB (4,16,0.95) x F TAB (4,15, 0.95) 3.06 F TAB (4, 20, 0.95) 2.87 x 3.06
16 15
3.06 2.87 15 20
x 3.022
Ejercicio 9) Una empresa que investiga productos para el consumidor desea comparar el gasto anual de energía eléctrica de 5 marcas diferentes de humidificadores. Debido a que el consumo de energía eléctrica depende del nivel prevaleciente de humedad, se decidió observar cada marca en 4 niveles distintos que iban de moderada a alta humedad: 1, 2, 3, 4 (bloqueando así el nivel de humedad). Dentro de cada nivel se asignaron al azar las marcas (A, B, C, D, E) a 5 lugares seleccionados. La cantidad de consumo de electricidad (en Kwh anuales) son: 1
2
3
4
A
685
792
838
875
B
722
806
893
953
C
733
802
880
941
D
811
888
952
1005
E
828
920
978
1023
a) Pruebe si el consumo de energía eléctrica depende de la marca del humidificador. b) ¿Resulto eficaz el bloqueo del nivel de humedad? (Nota: Si se comprueba que existen diferentes significativas entre el consumo promedio de electricidad en los distintos niveles de humedad, es porque el bloqueo del nivel de humedad fue eficaz.) Para responder a estos incisos tenemos que realizar en ANVA para el diseño de bloques completamente al azar: Planteamos nuestras hipótesis:
Hipótesis principal:
:
: Al menos una igualdad no se cumple
Hipótesis secundaria:
:
: Al menos una igualdad no se cumple.
Para ello completamos nuestro cuadro anterior con l as sumas necesarias:
1
2
3
4
A
685
792
838
875
3190
B
722
806
893
953
3374
C
733
802
880
941
3356
D
811
888
952
1005
3656
E
828
920
978
1023
3749
suma suma^2
suma
3779
4208
4541
4797
2871103
3555048
4136881
4615869
total
17325 15178901
FV
GL
SC
CM
F0
Tr
3
116217.75
38739.25
278.1992819
Bloque (B)
4
53231
13307.75
95.56732496
Error (E )
12
1671
139.25
T
19
171119.75
F tabular
3.49
3.26
a. Debido a que
se rechaza H 0, es decir: el consumo de energía eléctrica depende de la marca del humidificador.
b. Debido a que fue eficaz.
se rechaza H 0, es decir:el bloqueo del nivel de humedad
10. Se tienen los porcentajes de adaptación, y, para 3 tratamientos diferentes para corregir la mala pronunciación de palabras: (1) sin descarga eléctrica, (2) descarga eléctrica después de cada palabra pronunciada mal, (3) descarga eléctrica durante cada momento de una mala pronunciación de una palabra. Estos tratamientos se emplearon en 18 individuos que no pronunciaron correctamente las palabras. Un resumen de datos concluye:
y1. 49 , y2. 33 , y3. 10 , y.. 92 6
y 1426 , 2 . j
j 1
3
6
yij 614 2
i 1 j 1
a) Construir una tabla de ANVA y pruebe si el verdadero promedio de porcentaje de adaptación depende del tratamiento aplicado. SOLUCIÓN: 1) Realizamos el cuadro del ANVA:
FV
GL
SC
CM
F0
FTAB
Tratamiento
2
128.11
64.055
62.67
FTAB(2,10,0.95)
Bloque
5
5.11
1.022
60.65
F
Error
10
10.56
1.056
Total
17
143.78
2
y.. n
92
2
470.22
18
yi2. y..2 492 332 102 SCTr 470.22 n 6 6 6 i 1 b SCTr 598.33 470.22 SCTr 128.11 k
(5,10,0.95)
y. j2 SCB i 1 k b
SCT
k
y..2 1426 470.22 SCB 5.113 3 n
b
y
2 ij
i 1 j 1
2
y.. n
614 470.22 143.78
SCE 143.78 128.11 5.113 10.56 F TAB (2,10,0.95) 4.10 F TAB (5,10,0.95) 3.33 2) Para verificar si el promedio de porcentaje de adaptación depende de los tratamientos, realizamos una prueba de hipótesis: Planteamiento de la Hipótesis
H 0 1 2 ... b Tr
H1 al menos una igualdad no cumple Tr
3) Realizamos la decisión estadística
F0 FTAB 62.67 4.10(V ) Tr
Tr
Se rechaza H0. Como las medias de porcentajes de adaptación difieren, se concluye que los tratamientos sí influyen.
b) ¿Considera que el bloqueo de los sujetos fue eficaz en este experimento? Planteamiento de la Hipótesis
H 0 1 2 ... k B
H1 al menos una igualdad no cumple B
3) Realizamos la decisión estadística
F0 FTAB 60.65 3.33(V ) B
B
Se rechaza H 0. Como las medias en los bloques varían, se concluye que sí influyen efectivamente sobre los promedios de adaptación.
11. Si usamos cada uno de 3 grados de gasolina (tratamientos), en cada uno de los 4 automóviles diferentes (bloques), obtenemos los siguientes rendimientos (en millas/galón): Use un ANVA con el DBCA para probar la aseveración de que:
a) El grado de gasolina no afecta el rendimiento. Gasolina
Automóviles
∑Yi.
Media
A1
A2
A3
A4
Normal
19
33
23
27
102
25,5
Extra
19
34
26
29
108
27
Premium
22
39
26
34
121
30,25
∑Y.j
60
106
75
90
331
Media
20
35,33
25
30
27,58
Hacer el ANVA para el DBCA para probar la afirmación de que los diferentes automóviles no afectan su rendimiento
ANÁLISIS DE VARIANZA SC
GL
CM
F 0
F TAB
Gasolina
47,167
2
23,583
12,304
5,143
Automóviles
390,25
3
130,083
67,870
4,757
Error
11,5
6
1,917
Total
448,9167
11
F V
Conclusión:
.
b) Los diferentes automóviles no afectan su rendimiento.
.
12. Usando un nivel de significancia del 5%, probar la hipótesis de que los 4 operadores tienen la misma producción media, usando las siguientes cantidades de vigas de soporte fabricadas con 4 operadores distintos(bloques), utilizando cada una de las 3 máquinas diferentes(tratamientos):
Máquina 1
Máquina 2
Máquina 3
Operador 1
66
74
67
Operador 2
58
67
68
Operador 3
65
71
65
Operador 4
60
64
66
a. Formule hipótesis adecuadas al problema Planteamos nuestras hipótesis:
Hipótesis principal:
:
: Al menos una igualdad no se cumple
Hipótesis secundaria:
:
: Al menos una igualdad no se cumple.
b. ¿Existen diferencias significativas entre los valores medios del ángulo para los equipos? Para responder a estos incisos tenemos que realizar en ANVA para el diseño de bloques completamente al azar, para ello completamos nuestro cuadro anterior con las sumas necesarias:
Equipo 1
Equipo 2
Equipo 3
Y.j
Operador 1
66
74
67
207
Operador 2
58
67
68
193
Operador 3
65
71
65
201
Operador 4
60
64
66
190
249
276
266
791
15545
19102
17694
∑
Total
52341
FV
GL
SC
CM
Fo
F tabular
Tr
2
93.16666667
46.5833333
5.80276817
5.14
Bloque (B)
3
59.58333333
19.8611111
2.47404844
4.76
Error (E )
6
48.16666667
8.02777778
-
-
T
11
200.9166667
-
-
-
En conclusión:
Debido a que se rechaza H0, es decir existe al menos una diferencia significativa entre las cantidades de vigas de soporte fabricados por 4 operadores distintos (bloques).
c. ¿Existen diferencias significativas entre los valores medios de cantidades de viga para los operadores?
Debido a que no se rechaza H 0, es decir no existen diferencias significativas entre las cantidades de vigas de soporte fabricados por 4 operadores distintos (bloques).
14. Se corre un experimento para comparar 5 equipos que miden el ángulo que forma el brazo lector de un disco duro con el cuerpo principal de la cabeza lectora, durante el proceso de ensamblaje del brazo lector. Se decide utilizar como factor de bloque a los 3 operadores de los equipos. Los valores del ángulo son:
Equipo 1
Equipo 2
Equipo 3
Equipo 4
Equipo 5
Operador 1
1,113
1,057
1,144
1,455
1,386
Operador 2
1,093
0,984
1,087
1,482
1,442
Operador 3
1,15
1,19
1,247
1,617
1,574
d. Formule hipótesis adecuadas al problema Planteamos nuestras hipótesis:
Hipótesis principal:
:
: Al menos una igualdad no se cumple
Hipótesis secundaria:
:
: Al menos una igualdad no se cumple.
e. ¿Existen diferencias significativas entre los valores medios del ángulo para los equipos? f. ¿Existen diferencias significativas entre los valores medios del ángulo para los operadores? Para responder a estos incisos tenemos que realizar en ANVA para el diseño de bloques completamente al azar, para ello completamos nuestro cuadro anterior con las sumas necesarias:
Equipo 1
Equipo 2
Equipo 3
Equipo 4
Equipo 5
Operador 1
1,113
1,057
1,144
1,455
1,386
6,155
Operador 2
1,093
0,984
1,087
1,482
1,442
6,088
Operador 3
1,15
1,19
1,247
1,617
1,574
6,778
3,356
3,231
3,478
4,554
4,402
19,021
3,755918
3,501605
4,045314
6,928038
6,477836
∑
Total
24,708711
FV
GL
SC
CM
Fo
Tr
4
17,447556
4,361889
-2,06276659
Bloque (B)
2
0,057914533
0,02895727
-0,01369409
Error (E )
8
-16,9166556
-2,11458195
T
14
0,588814933
d. Debido a que
e. Debido a que
F tabular
no se rechaza H 0, es decir no existen diferencias significativas entre los valores medios del ángulo para los equipos.
no se rechaza H 0, es decir no existen diferencias significativas entre los valores medios del ángulo paralos operadores.
15. Se quiere estudiar el efecto de 5 diferentes catalizadores sobre el tiempo de reacción de cierto proceso. Se decide correr los experimentos con un DBCA para controlar activamente los días en que se realiza el experimento. Se obtienen los siguientes datos:
3,84
4,46
Catalizador A
Catalizador B
Catalizador C
Catalizador D
Catalizador E
Día 1
8
4
11
6
4
Día 2
9
7
8
2
2
Día 3
7
3
10
1
6
Día 4
8
6
7
3
1
Día 5
10
8
8
5
3
a) Formule las hipótesis estadísticas correspondientes Hipótesis principal Hipótesis secundaria Tr Ho : HoB: H1Tr : H1B:
b) ¿Existen diferencias significativas entre los tiempos de reacción medios de los catalizadores?
Para poder responder esa pregunta debemos completar nuestro cuadro del ANVA, pero primero tenemos que completar los cálculos respectivos:
Catalizador Catalizador Catalizador Catalizado Catalizado A B C rD rE
Día 1
8
4
11
6
4
33
253
Día 2
9
7
8
2
2
28
202
Día 3
7
3
10
1
6
27
195
Día 4
8
6
7
3
1
25
159
Día 5
10
8
8
5
3
34
262
42
28
44
17
16
14 7
358
174
398
75
66
Con estos datos obtenidos podemos completar el cuadro del ANVA:
1071
Para hallar el Ftab, debido a que estos valores no se encuentran en la tabla, hemos tenido que interpolar: Hallamos
:
FV
GL
SC
CM
Fo
Entre tratamientos (Tr)
4
141,44
35,36
10,68277946
Entre Bloques (B)
4
12,24
3,06
0,924471299
Dentro de tratamiento (E)
16
52,96
3,31
-
Total (T)
24
206,64
-
-
F tab
Como , entonces se rechaza la hipótesis principal H 0 y concluimos en que si existen diferencias significativas entre las medias de los tratamientos. Como , entonces no se rechaza la hipótesis secundaria H 0 y concluimos en que no existen diferencias significativas entre las medias de los bloques.
16. Un ingeniero de desarrollo de productos está interesado en maximizar la resistencia a la tensión de una nueva fibra sintética que se empleará en la fabricación de camisas para hombre. Se han obtenido los siguientes resultados:
3.022 3.022
Porcentaje de algodón en la fibra sintética 15% 20% 25% 30%
Resistencia de la fibra sintética
7 7 15 11 9 49 525
∑yi ∑yij
12 17 12 18 18 77 1225
14 18 18 19 19 88 1566
35%
19 25 22 19 23 108 2360
7 10 11 15 11 54 616
a) ¿Son iguales las resistencias medias a la tensión de los 5 grupos?
SOLUCION: 1) Identificamos que el modelo de problema es un diseño completamente al azar (DCA) Planteamiento de la Hipótesis:
H 0 : 1 2 3 ... k
H 1 : i j 2) Realizamos su ANVA:
FV Tr E Total
GL
SC
CM
F0
FTAB
4 20 24
475.76 161.2 636.96
118.94 8.06
14.7568
F(4,20,0.95)
2
k y ij 2 376 i 1 j 1 5655.04 C 25
n
yi 2 492 77 2 882 108 2 54 2 SCTr C 5655.04 5 5 5 5 5 r i 1 i SCTr 475.76 k
SCT
k
r
y
ij
2
C 525 1225 1566 2360 616 5655.04 636.96
i 1 j 1
SCE SCT SCTr 636.96 475.76 161.2 TAB
F
(4, 20, 0.95) 2.87
3) Realizamos la Decisión Estadística: Si se cumple que F0
F TAB , entonces se rechaza la H 0.
En el problema se tiene:
14.7568 2.87 (V )
4) Conclusión: No son iguales todas las resistencias medias a la tensión de los 5 grupos (tratamientos).
b) De ser posible, realice las pruebas de comparaciones múltiples respectivas, para detectar los pares de medias que son distintos. 1) Para realizar las comparaciones múltiples, se utilizará la prueba de rango de Duncan 2) Las hipótesis a considerar son:
2 o 1 3 o 1 4 o 1 5 H1 : 1 2 o 1 3 o 1 4 o 1 5 H 0 : 1
o 2 o 2
3 o 2 4 3 o 2 4
5 o 3 4 o 3 5 o 4 5 o 2 5 o 3 4 o 3 5 o 4 5 o2
Porcentaje de algodón en la fibra sintética 15% 20% 25% 30%
Resistencia de la fibra sintética
7 7 15 11 9 9.8
∑yprom
12 17 12 18 18 15.4
14 18 18 19 19 17.6
19 25 22 19 23 21.6
35% 7 10 11 15 11 10.8
3) Procedemos a calcular los Rp y los valores absolutos entre las diferencias de las medias:
R p d GLE, p ,
|̅ ̅ | ̅ ̅ ̅ ̅ ̅
CME r
Medias muestrales de los tratamientos (ordenadas de mayor a menor)
̅
̅
̅
-
a=5.6
b=7.8
-
-
e=2.2
-
-
-
-
-
-
-
-
-
̅ ̅
c=11.8
D=1
F=6.2
G=4.8
H=4
I=6.8
-
J=10.8
-
-
Ordenados de mayor a menor R5= 4.126348265 R4= 4.037473071 R3=3.935901422 R2=3.745454579
Decisión:
Como i>R 3 entonces µ3≠µ5 Como c>R 4 entonces µ1≠µ4 Como h>R 2 entonces µ2≠µ5 Como b>R 3 entonces µ1≠µ3 Como g>R 4 entonces µ2≠µ5 Como a>R 2 entonces µ1≠µ2 Como f>R 3 entonces µ2≠µ4 Como j>R 2 entonces µ4≠µ5
DISEÑO DE DOS FACTORES 16. La siguiente tabla presenta el tiempo de duración (en horas) de una batería según el tipo de material con el que esta fabricada y la temperatura a la que se la ha sometido:
MATERIAL 1 (1)
MATERIAL 2 (2)
MATERIAL 3 (3)
a. b. c. d.
150F (1)
700F (2)
1250F (3)
130
34
20
155
40
70
74
80
82
180
75
58
150
136
25
188
122
70
159
106
58
126
115
45
138
174
96
110
120
104
168
150
82
160
139
60
¿Influye el tipo de material sobre el tiempo de duración de las baterías? ¿Influye la temperatura sobre el tiempo de duración de las baterías? ¿Existe efecto de la interacción entre material y temperatura sobre duración? Realice las graficas que correspondan.
Para responder a estas interrogantes necesitamos realizar un ANVA para el diseño de dos factores, para ello primero planteamos nuestras hipótesis respectivas:
(1)
:
:
(2) (3)
:
: No existe efecto de
interacción entre los valores A y B
: Existe efecto de interacción entre los factores A y B
:
Luego completamos nuestro cuadro anterior con las sumatorias necesarias:
A
A1
B
15F (B1)
34
20
155
40
70
n11.=4
74
539
188 159
134,75
n21.=4
138 110 168
∑
57,25
n31.=4
576
122 106
n22.=4
998
83.1667
479
120 150
583
230
1300
108.3333
1501
125.0833
57,5
70 58
n23.=4
45
119,75
198
49,5
96 n32.=4
139
144
n13.=4
Total
25
174
160
̅
229
115
155,75
82
̅
58
136
126
623
n12.=4
80 75
150
A3
125F (B3)
130
180
A2
70F (B2)
104 82
n33.=4
60
145,75
342
85,5
1738
1291
770
144.8333
107.58333
64.16667
262770
159119
56658
3799
478547
Para hallar el Ftab, debido a que estos valores no se encuentran en la tabla, hemos tenido que interpolar:
a.
FV
GL
SC
A
2
10683,7222
5341,86111 7,91137227
B
2
39118,7222
19559,3611 28,9676919
Interacción (AB)
4
9613,77778
2403,44444 3,5595354
Subtotal (SUBT)
8
59416,2222
-
Error (E)
27
18230,75
675,212963
Total (T)
35
77646,9722
CM
Fo
F tabular
-
Debido a que , entonces se rechaza la hipótesis nula H 0, por lo tanto se concluye que si influye el tipo de material sobre el tiempo de duración de las baterías.
Debido a que , entonces se rechaza la hipótesis nula H 0, por lo tanto se concluye que si existe efecto de la interacción entre material y temperatura sobre duración.
d. Graficas: Grafica de efectos principales:
Nivel A 140
120
100
80 Nivel A
60
40
20
0 A1
A2
A3
3.36
2.735
b. Debido a que , entonces se rechaza la hipótesis nula H 0, por lo tanto se concluye que si influye la temperatura sobre el tiempo de duración de las baterías. c.
3.36
Nivel B 160
140
120
100
80
Nivel B
60
40
20
0 B1
B2
B3
Grafica de las interacciones:
Fijando A 500 450 400 350 A=3
300
A=2 250 A=1 200 150 100 50 0 A1
A2
A3
Fijando B 400
350
300
250
B=3 B=2
200 B=1 150
100
50
0 B1
B2
B3
Ejercicio 17) Considere un experimento factorial 2*2 para investigar el efecto de dos factores sobre la cantidad de luz producida de las bombillas de destello empleadas en las cámaras fotográficas. Los dos factores (y sus niveles) son: cantidad de papel metálico contenido en la bombilla (100 y 2000 miligramos) y velocidad de la máquina selladora (1.2 y 1.3 revoluciones por minuto).
100mg.
200mg.
1.2 rpm
1.3 rpm
73
84
64
74
58
63
60
65
65
72
80
88
68
75
63
70
73
81
72
79
a) ¿Influye la cantidad de papel metálico contenido en la bombilla sobre la luz producida de las bombillas?
b) ¿Influye la velocidad de la maquina sobre la luz producida de las bombillas? c) ¿Existe efecto de la interacción de la maquina selladora sobre la luz producida de las bombillas? d) Realice las gráficas que correspondan. Para responder a estas interrogantes necesitamos realizar un ANVA para el diseño de dos factores, para ello primero planteamos nuestras hipótesis respectivas:
(1)
:
:
(2)
:
:
(3)
: No existe efecto de
interacción entre los valores A y B
: Existe efecto de interacción entre los factores A y B
Luego completamos nuestro cuadro anterior con las sumatorias necesarias:
B
A 1.2 rpm(B1)
100mg.(A1)
73
84
64
74
n11.=5
58
65
65
72
̅ ∑
64
Y12.=358
80
88
68
75
n21.=5
63
81
72
79
71,2
Y22.=393
676
751
67.6
75.1
46120
56981
̅ 678
67.8
749
74.9
Total
71,6
n22.=5
70
73
Y21.=356
n12.=5
63
60
Y11.=320
200mg.(A2)
1.3 rpm(B2)
78,6 1427
103101
Para hallar el Ftab, debido a que estos valores no se encuentran en la tabla, hemos tenido que interpolar:
FV
GL
SC
CM
F0
FTAB
A
1
252,05
252,05
5,3684771
FA(1;16;0,95)=4,502
B
1
281,25
281,25
5,99041534
F
Interacción (AB)
1
0,05
0,05
0,00106496
F
Subtotal (SUBT)
3
533,35
-
-
-
Error (E)
16
751,2
46,95
-
-
Total (T)
19
1284,55
-
-
-
(1;16;0,95)=4,502 (1;16;0,95)=4,502
e.
Debido a que , entonces se rechaza la hipótesis nula H 0, por lo tanto se concluye que si influye la cantidad de papel metálico contenido en la bombilla sobre la luz producida de las bombillas.
f.
Debido a que , entonces se rechaza la hipótesis nula H 0, por lo tanto se concluye que si influye la velocidad de la maquina sobre la luz producida de las bombillas.
g. Debido a que , entonces no se rechaza la hipótesis nula H 0, por lo tanto se concluye que noexiste efecto de la interacción de la maquina selladora sobre la luz producida de las bombillas.
h. Graficas:
Grafica de efectos principales:
Nivel A 76
74
72
70
Nivel A
68
66
64 A1
A2
Nivel B 76
74
72
70 Nivel B 68
66
64
62 B1
B2
Grafica de las interacciones:
Fijando A 160
140
120
100 A=2 80
A=1
60
40
20
0 A1
A2
