Trabajo_Fase 1-100412_135_

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS AGRICOLA, PECUARIA Y DEL MEDIO AMBIENTE 100412A_360. 100412A_360. ECUACIONES DIFERENCIALES

FASE 1: PLANIFICACION_DESARROLLO DEL TRABAJO COLABORATIVO UNIDAD 1

ECUACIONES DIFERENCIALES 100412A_360

PRESENTADO POR: LINA MARCELA GARCÉS DÍAZ CODIGO: 1.079.411.688 ANGIE VANESSA PEREZ POLANIA CODIGO: 1.080.296.324 KATHERIN YISETH CASTRO HERMOSA CODIGO: 1.075.266.188 YORMAN LEAL FERNANDEZ CODIGO: 83.235.914 DIEGO FABIAN SALINAS CODIGO: 1.079.177192

GRUPO: 100412_135 Tutor(a) ROBEIRO BELTRAN TOVAR

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS AGRÍCOLAS, PECUARIAS Y DEL MEDIO AMBIENTE

NEIVA, MARZO, 2017


ESCUELA DE CIENCIAS AGRICOLA, PECUARIA Y DEL MEDIO AMBIENTE 100412A_360. 100412A_360. ECUACIONES DIFERENCIALES

INTRODUCCIÓN Las ecuaciones diferenciales son algo nuevo para nosotros. Sin embargo ya estamos familiarizados con el problema de resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones algebraicas, y también tenemos una idea clara de lo que es una solución aun cuando en muchos casos no podemos encontrarla, como es el caso de las ecuaciones de alto grado o que involucran funciones trascendentes. Una ecuación diferencial es una ecuación cuya incógnita es una función y en la que aparecen algunas derivadas de esa función. Si la función que interviene tiene sólo una variable independiente, la ecuación se llama ecuación diferencial ordinaria (E.D.O.). Si la función tiene varias variables independientes, se dice que es una ecuación diferencial en derivadas parciales (E.D.P.). En este tema restringimos nuestra atención a las ecuaciones diferenciales ordinarias. Además del tipo (ordinaria o parcial), las ecuaciones diferenciales se clasifican según su orden. El orden de una ecuación diferencial viene determinado por la derivada de orden más alto que aparece en dicha ecuación.


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OBJETIVOS 

Utilizar otras técnicas analíticas y cualitativas para resolver ecuaciones diferenciales.



Desigualar y aplicar los diferentes métodos de solución de las ecuaciones diferenciales.



Mostrar el orden de la ecuación diferencial y establecer si la ecuación es lineal o no lineal, aplicando una justificación.



Reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden.



Evaluar y analizar la solución a la situación planteada, realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución, si el proceso o respuesta se encuentra incorrecto.



ACTIVIDAD INDIVIDUAL ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTA A continuación, usted encontrará preguntas que se desarrollan en torno a un enunciado, problema o contexto, frente al cual, usted debe seleccionar aquella opción que responda correctamente al ítem planteado entre cuatro identificadas con las letras A, B, C, D. Una vez la seleccione, márquela con un óvalo la que corresponda y justifique la respuesta.

=

es una solución de una ecuación diferencial si al sustituir la 1. Una función función y sus derivadas en la ecuación la reducen a una identidad. De acuerdo a la ecuación diferencial: funciones es una solución: A. B. C. D.

     =  , cuál de las siguientes  

=−− = =  =

PROCEDIMIENTO:

    =           =         =      =  

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Las ecuaciones diferenciales se clasifican por tipo, orden y linealidad de la siguiente manera: 

Clasificación por Tipo: Si una ecuación contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO). Si una ecuación con derivadas de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes se llama ecuación diferencial parcial (EDP).


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

Clasificación según el orden: El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o EDP) es el orden de la derivada mayor en la ecuación. Clasificación según la Linealidad: Se dice que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal si F es lineal en y, y’,…, y(n). Esto significa que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal cuando F (x, y, y’,…, y(n)) = 0. Por lo tanto, la variable dependiente “y” y todas sus derivadas y’, y’’,…, y(n) son de primer grado. Y los coeficientes a0, a1,…, an dependen solo de la variable x.

2. De acuerdo al texto, una ecuación diferencial ordinaria de tercer orden y no lineal corresponde a .

  A. 2  3=0      B.    7   6  7=0       C.      =sen    D.      =   1  

La Ecuación Diferencial ordinaria de tercer orden y no lineal corresponde a la Opción C, ya que el coeficiente está involucrada una variable dependiente como lo es la y, Además la ecuación esta igualada a que es una función que contiene la variable dependiente y, por lo anterior no cumple con las características de linealidad:

sen

 −      − − ⋯   = 

 = ℎ 

Las ecuaciones diferenciales de la forma: , se pueden resolver a través de la técnica llamada separación de variables que consiste en separar las variables a ambos lados de la igualdad, de tal manera que aun lado se exprese como una función que dependa solamente de x y al otro lado sólo de y, para luego integrar cada miembro respecto de la variable correspondiente, es decir:

 ℎ1 = 3.

A. B.

De acuerdo a la información, la solución general de la ecuación diferencial se puede indicar como:

=0   = √  2 =√ 2

 2  



C. D.

=√ 22  =√ 2 PROCEDIMIENTO:

4.

 2  =0  2   =0      ′     1 ∙ =   =  , =  2 1   =      2    = ,ℎ  .  1 =  2          2  = 12  2 1  1 = 2 2= 12  21     = 12  2 1  : =   2     =   2 Cuando en una ecuación diferencial de la forma ,,=0, sucede   que:  =  se dice que la ecuación es exacta, en caso contrario la ecuación diferencial no es exacta y es posible convertirla en una ecuación exacta multiplicándola por un factor apropiado ,   llamado factor integrante, el cual se calcula si está en función de a través de la fórmula:  = ∫− ,

,

y



Por lo tanto, el factor integrante de la ecuación diferencial , viene dado por:

0

A. B. C. D.

24 1 =

 =   =   = −  = 

PROCEDIMIENTO: Calculando si la E.D es exacta

=2  = 2  = 4 1  =12    Factor integrante se calcula

 10  5 12 2 2 = 2 =      ∫   =  µy=

µ(y)=

=

Responda las preguntas 5 y 6 con base a la siguiente información Hay ecuaciones diferenciales que no se pueden resolver utilizando directamente la separación de variables, pero pueden ser transformadas en separables por medio de sustituciones adecuadas, como es el caso de las Ecuaciones Diferenciales Homogéneas que son de la forma: ,o , que por homogeneidad quedan del mismo grado y que se

 = 

fx,y Mx,ydxNx,ydy=0   pueden expresar como una función que sólo depende del cociente , o de la forma  = f u,    donde u =  , por lo tanto  = f.

   =

5. Según la información, la solución de la ecuación diferencial homogénea

 , corresponde a:



 

=  B.   =   C. =    D.  =    A.

PROCEDIMIENTO:

   =    =             =           =           =  [ 1]   

 = 

 → Cumple la condición de la Ecuación Diferencia, Homogénea de la Forma: −

Haciendo una Sustitución

 =     =  .=     =   

Reemplazando

    =    1   =     1



 1   =     1   =       1   =     1   =     1  1 =    1     = ∫ −= ∫  → Integral Directa  1     =∩  1 =∩  ∩=∩ 2  Reemplazando  =  1  ∩=∩ 2   ∩=∩ 2   =∩∩ 2   = ∩   2   =       =   → =



6. Al resolver la ecuación diferencial dada como: A.

 =0, la solución general viene

=||   B.  =    C. =tan   D. =||  PROCEDIMIENTO:

    =0 Comprobamos que sea una ecuación diferencial homogénea:

    = (++) =  → Dividimos por  cada término.    =  +  +     =  1  (1)    Cumple la condición de ecuación diferencial homogénea de la forma:

 =    Se realiza un cambio de variable:

 =  → Despejamos "" y derivamos respecto a =.  =  .      =    



↓

Reemplazamos en (1) y hacemos el cambio de variable

 =1  Ahora dejamos a un lado los términos de variable de

"" aun lado y "" al otro

 =1    = 1    =  → Integramos en ambos lados +  ∫ + = ∫  Integral Directa

∫ +  =−

Entonces:

−==ln  Ahora como  =  Reemplazamos: − =||  Despejamos "" =tan||   =tan||   =|| 



ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información: Marque A si 1 y 2 son correctas. Marque B si 1 y 3 son correctas. Marque C si 2 y 4 son correctas. Marque D si 3 y 4 son correctas. 7. Es posible encontrar ecuaciones diferenciales de primer orden que se pueden resolver a través de la técnica llamada variable separables y se expresan de la forma , en donde todos los términos en se pueden asociar con y todos los términos en con , cuyo despeje se puede expresar como:

=0  

  =  



 16  

Tomando como referencia la información, el problema de valor inicial tiene como solución general y solución respectivamente a:

=0,  0 =1,  = √ +  2.  = √ +  3.  = √ +  4.  =  + 1.

PROCEDIMIENTO:

 16  =0 = 16    =   16   =    16 =   



particular,



 16 =  =  16→=2 1   = 2  1 = 2 1  16= 2   16=(1) +   √ +   =   16=   16=   = √ 16  0 = 1 1 = √ 16 →  = 4  = √ 416

Respuesta correcta e la B

,,=0

8. Una ecuación diferencial de la forma , es decir, sus derivadas parciales son iguales.

 =   

, es exacta cuando:

De las siguientes ecuaciones diferenciales, cuáles de ellas NO son exactas: 1. 2. 3.

 1=0 214 =0   4  2 22=0



4.

3 2=0

PROCEDIMIENTO:

9.

 1=0 1.214 = 2 4 1=1       ,,=0      . =0  2.   , =  ,, =   =21,  21     .   3.4 222=0 ,= 4  2 , = 2 2  2  2 =8 =8      =     4. 3   2=0 , = 3   , = 2   = 61  = 61      =  í   . Una ecuación diferencial de la forma ,,=0 que no es exacta, es   decir,  ≠  se puede convertir en una ecuación exacta multiplicándola por un factor ,

apropiado ( x, y ) llamado factor integrante, el cual se calcula si está en función de y a través de la fórmula: ,

− ∫  = 

El factor integrante y la solución general de la ecuación diferencial viene dado por: A. B. C. D.

 =     =   =  = √ 

33=0

,



PROCEDIMIENTO: Calculando si la E.D es exacta

=3 =3

 = 3   = 6    

Factor integrante se calcula

63 = 9 = 3 3 3   −   − ∫   =   µy= 1

µ(y)=

=

=

ÍTEMS DE ANÁLISIS DE RELACIÓN Este tipo de ítems consta de dos proposiciones así: una Afirmación y una Razón, unidas por la palabra PORQUE. Usted debe examinar la veracidad de cada proposición y la relación teórica que las une. Para responder este tipo de ítems, debe leerla completamente y señalar en la hoja de respuesta, la elegida de acuerdo con las siguientes instrucciones:

Marque A si la afirmación y la razón son VERDADERAS y la razón es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque B si la afirmación y la razón son VERDADERAS, pero la razón NO es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque C si la afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA. Marque D si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA. 10. Cuando

3  = 3 es posible asegurar que la al resolver la 4 = 2 =23 PORQUE =3

se plantea la ecuación diferencial solución particular generada para es solución general de la ecuación diferencial viene dada por

,

,



PROCEDIMIENTO:

   3  =3,       .  =  = 1 3   3 3  =33  =3     3    = + =3  =  = 3     :  = 4 =2 = =4 =2 2=43 =  = 7 = 2=343  =2⁄343     ⁄ 3,    . =2343 PRIMERA ACTIVIDAD GRUPAL

PROBLEMA: Una de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden es la solución de problemas de mezclas. En ellos, generalmente se presenta la siguiente situación: La ecuación diferencial asociada es la siguiente ecuación diferencial lineal, que permite encontrar la ley de variación de la cantidad de soluto x(t) en un instante de tiempo t.

    =     

1. Un depósito contiene 500 lt de líquido en el que se disuelven 20 gr de sal: Una salmuera que contiene 5 gr/lt se bombea al depósito con una intensidad de 8 lt/min, la solución adecuadamente mezclada se bombea hacia fuera con una intensidad de 10 lt/min.



Encuentre el número de gramos de sal y la concentración de sal, que hay en el depósito en un instante cualquiera. Volumen inicial de líquido en el depósito

 = 500 lt

 =5gr/lt

Concentración de la salmuera que se bombea al depósito y se bombea a una razón de . La solución mezclada se bombea hacia afuera a la razón de .

 = 8 lt/min

 = 10 lt/min

La Ecuación asociada al problema de mezclas es:

    =   +− Sustituyendo los Datos en la Ecuación

(1) (1)

  10  = 8 ∗ 5  500 810   10 =40  5002   5 =40  250 Despejamos

 

 =40    −

(2)

=, Sustituyendo  dada por la 5 ) =(40 250  −   = 40  (3) La Ecuación (3), es una Ecuación Diferencial Lineal; de la Forma   =6 , donde   − 6 = 40 

Ya que la Diferencia de la cantidad de la sal es Ecuación (2)

Para resolver la Ecuación (3) debe determinarse un factor integrante

 = ∫



 ∫  ∫  =  =  − Resolviendo la integral

 → 5||250 5 ∫ − −||−

=250−

Multiplicando la Ecuación (3), por el Factor integrante:

5   = 40 250− 250−250− 250 250−5 250−  = 40 250− (4)    Pero como:   =       250−=250−5 250−   Sustituyendo en la Ecuación (4)

 250− = 40 250−  Integrando a ambos lados se obtiene:

∫  250−=40 ∫250− − 40 250 − 250  = 4  250− = 10 250−  250− = 10 250−  (5) Para determinar el valor de la Constante K de la integración se utiliza la condición inicial

 =  = 20   =  = 0   = 20 



Se sustituye en la Ecuación (5)

250− ∗20=10 250−  Despejando K

20∗250− =10∗250−  =250− ∗2010∗250− Haciendo factor común:

=250− 2010∗250 =250− 2480 Luego sustituimos en la Ecuación (5)

250− = 10 250−  250− 2480 Multiplicando por 250 250− 250− = 10 250−250−  250−250− 2480  (6)  =10 2502480 −   La Ecuación (6) representa la Ley de variación de la cantidad de sal en el Depósito en cualquier instante t. Para Determinar la concentración de Sal en el Depósito en un instante t cualquiera, Se debe saber que:

  =  

(7)

Donde por balance se sabe que el Volumen a t es:

 =    (8) Donde →  =5002 Sustituyendo las Ecuaciones (6) y (8) en (1)

 250  2480 250   = 10 2505002



 250 2480 250    = 10 2502250

 −   =51240  (9)

La Ecuación (9) representa la ley de variación de la concentración de sal en el depósito de cualquier instante t. SEGUNDA ACTIVIDAD GRUPAL

Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada:

SITUACIÓN Y SOLUCIÓN PLANTEADA 2. En una cafetería se sirve una bebida caliente que se encuentra inicialmente a una temperatura de 90°C, y se enfría hasta 75°C mientras se expone a la temperatura ambiente durante 4 minutos. Si la temperatura ambiente está en 20°C, determinar en qué momento la bebida estará a una temperatura de consumo de 55°C.

 =   

Según la Ley de enfriamiento de Newton, la ecuación viene dada como: Separando variables se tiene:

 =  −

Se aplica la integral a ambos lados de la ecuación:

∫   =  ∫ 

ln =  según propiedades de los logaritmos: − = −+ Entonces, = − , por lo tanto:  =  − . ,

 =20°  = − 20 Como

Para

 = 0 la bebida tiene =90°, entonces:



0 = − 20=90, por lo tanto, =9020=70

Así, la ecuación de la temperatura ambiente en función del tiempo será:

 =70− 20 Para  = 4 la bebida tiene =75° , luego: 4 =70− 20=75 − = 7520 70 − = 5570 Aplicando logaritmos:

ln−=ln) 5570 ln  = 4 −. Por lo tanto:  = − =0, 0 602 Como en

 =   la bebida está en =55°  =70−, 20=55

Por lo tanto:

−, = − 

Se despeja t1 =

   = −,

93 =11,5  = 0,0.06602 El tiempo aproximado será de 11,5 min



CONCLUSIONES 

Se utilizó las diferentes técnicas analíticas y cualitativas para resolver ecuaciones diferenciales.



Se diferenció los diferentes métodos de solución de las ecuaciones diferenciales.



Se Indicó el orden de la ecuación diferencial y estableció si la ecuación es lineal o no lineal, aplicando una justificación.



Se evaluó el desarrollo al contexto planteado, se realizaron aportes en cuanto a procedimiento y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución, si el proceso o respuesta estaba incorrecto.



REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

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López, M., & Acero, I. (2007). Ecuaciones diferenciales: teoría y problemas (2a. ed.). España: Editorial Tébar. (pp.15-92). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=10505343

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