TRABAJO COLABORATIVO FASE 2
PRESENTADO POR: Flor Yolima Duque Giraldo Cdi!o: 22"22#"#22 Ru$% &ar$'(e) Cdi!o: Carlo* A(dr+* ,ue-ada Cdi!o: J%o( Jarli( Pala.io* Cdi!o: #/#/#0#001 Jo*+ (!el Lo(do3o Re($er'a Cdi!o: ##4##562
GR7PO: #//0##8655
T7TOR: Ja.9*o( Ariel 7rru$ia 7NIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA 7NAD; ESC7ELA DE CIENCIASBSICAS< FAC7LTAD De TECNOLOG=A E INGENIER=A PROGRA&A: INGENIERIA DE SISTE&AS > ECACEN: ,7IBD? # DE SEPTIE&BRE DE 2/#@
INTROD7CCION
Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x). Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o anti derivada de f(x); dico de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que! F"(x) # f(x). Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenci$ndose todas ellas en una constante. %F(x) & '" # F"(x) & # F"(x) # f(x) Integral indefinida es el con*unto de las infinitas primitivas que puede tener una función. Se representa por + f(x) dx. Se lee! integral de f de x diferencial de x. + es el signo de integración. f(x) es el integrando o función a integrar. x es diferencial de x, e indica cu$l es la variable de la función que se integra. ' es la constante de integración - puede tomar cualquier valor numrico real. Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que! + f(x) dx # F(x) & '
OBJETIVOS
/plicar los conocimientos de cada uno de las funciones correspondientes a cada tema implícito en el material de estudio dispuesto por el director de curso en el entorno de conocimiento esarrollar cada e*ercicio de acuerdo a los mtodos de solución planteados en la guía de actividades 0raba*ar en consenso con el grupo colaborativo afín de promover una me*or participación de cada estudiante que pertene1ca al mismo
E-er.i.io* roue*$o* Fa*e 2 > Traa-o .olaora$io
2a anti derivada de una función f (x) es otra función g(x) cu-a derivada es f(x). 3n algunos textos la anti derivada de f recibe el nombre de integral indefinida de f. 2a anti diferenciación es el proceso inverso a la diferenciación. 'ada e*ercicio se debe resolver paso por paso, sin omitir ninguno, cuando se utilice una propiedad, definición o le- por favor enunciarla, así se fortalece el procedimiento utili1ado. Primera ar$e u($o # al 0;
3ncontrar la familia de anti derivadas de la función dada!
f ( x) = 4 x − 6 #"
∫
F ( x )= f ( x ) dx
4a- que tener en cuenta que la anti derivada de una suma es la suma de anti derivadas
∫
∫ 4 xdx +∫ 6 dx =4 ∫ xdx +6 ∫ dx
F ( x )= ( 4 x −6 ) dx = 1+ 1
4 x F ( x )= + 6 x + C 1 +1
F ( x )=2 x + 6 x + C 2
3 2 f ( x) = 2 x − 4 x − 5
2"
Solución! g
(x) ¿∫ f ( x ) dx
g
(x) ¿∫ ( 2 x − 4 x −5 ) dx
g
(x)
3
g (x)
g (x)
2
¿∫ 2 x 3 dx 2 x
¿
¿
f ( x) = 4 x
4 x
−¿
6
4 x
−¿
+
x
3
−¿ 5 x
3
4
2
−∫ 5 dx
2
4
4
x
∫ 4 x dx
−¿
3
−¿ 5 x
3
2
6"
Solución! g
(x) ¿∫ f ( x ) dx
g
(x) ¿∫ ( 4 x + x ) dx
g
(x)
6
g (x)
0"
2
¿∫ 4 x 6 dx ¿
f ( x)
4 x 7
+¿
∫ x
+¿
x
7
2
dx
3
3
= 4 cos( x) + 5 sec 2 ( x)
/plicación de fórmula de la suma
∫ 4cos ( x ) dx +∫ 5 sec ( x ) dx
f ( x )=
2
+c
+c
+c
3valuación 6 expresión
∫ 4cos ( x ) dx Separamos la constate ¿ 4 ∫ cos ( x ) dx
/plicando la integrada de f ( x )=cos ( x ) dx = sen ( x ) ¿ 4 sen ( x )
3valuación 7 expresión
∫ 5 sec ( x ) dx 2
¿ 5∫ sec2 ( x ) dx
/plicando la integrada de f ( x )= sec ( x ) dx = tan ( x ) 2
¿ 5tan ( x )
Solución; agregamos la constataste.
¿ 4 sen ( x )+ 5 tan ( x )+ c
Se!u(da ar$e u($o 1 al 4;
3l con*unto de todas las anti derivadas de f(x) se llama integral indefinida de f respecto a x, - se denota por el símbolo ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C . 8esolver aplicando las propiedades b$sicas, las siguientes integrales!
1"
2 ( 7 x − 2 ) dx ∫
/plicamos propiedad uniforme para obtener la derivada interna 7
( 7 x −2 ) dx = 1 ∫ ( 7 x −2 ) . ( 7 dx ) ∫ 7 7 2
2
Si hacemos u=7 x −2 entonces du =7 dx
3ntonces la integral queda! 1 7
u
1
3
∫ u du= 7 × 3 + C 2
8eempla1ando! 1
( 7 x −2 )
∫ ( 7 x−2 ) dx= 7 × 2
∫ ( 7 x−2 ) dx= 2
3
+ C
3
( 7 x −2 ) 21
3 cos(5 x)
∫ sen(5 x)
3
+ C
dx
@" u= sin ( 5 x )
,
∫ 3cosu(5 X ) ∫ 35duu = 35 3 5
3 5
du :5cos ( 5 x ) dx ,
¿
∫ duu
ln ( u )+ c
ln ( sin ( 5 x ))+ c
du 5cos ( 5 X )
du 5cos ( 5 x )
=dx
∫
7e
"
8x
dx
u= 8 x ,
∫7e 7 8
7 8
4"
8 x
dx #
∫e
du
du : 8 dx ,
u
du
8
=dx
∫ e du8
7
#
u
7 8
u
e +c
8 x
e +c
∫
1 1 − x 2
dx
/plicando el mtodo de integración directo se tiene
∫
( √ )
=arcsen x
∫
( √ )
dx = arcsen ( x )
dx
1− x
2
1
1− x
2
/d*untando la constate a la solución tenemos ¿ arcsen ( x )+ C
Ter.era ar$e u($o 5 al #2;
9n teorema generalmente posee un n:mero de premisas que deben ser enumeradas o aclaradas de antemano. 2uego existe una conclusión, una afirmación lógica o matem$tica, la cual es verdadera ba*o las condiciones dadas. 3l contenido informativo del teorema es la relación que existe entre las ipótesis la tesis o conclusión.
5" 3ncuentre el valor promedio de la función
f ( x )=1− x
2
en el intervalo %6, 7.
1
b
f ( x)dx ∫ b−a a
6,7 es! 1 x 3 = ( x − ) 2 2 3 2 − ( −1) (1 − x ) dx 3 1
∫
2
∫ = −1
−1
1 23 ( −1) 3 1 8 1 [2 − − ( −1 − )] = [ 2 − − ( −1 + )] = 3 3 3 3 3 3 1 2 2 1 2 2 1 [ − − ( − )] = ( − + ) = (0) = 0 3 3 3 3 3 3 3
#/" 4alle el valor promedio de la función f ( x )= x +2 x − 3 en el intervalo %6, 7. 2
Formula del valor promedio de la función fpro
1
b −a
b
∗∫ f ( x ) dx a
2
1
fpro
2
2−(−1)
1
∗∫ ( x + 2 x −3 ) dx −1
2
∫
fpro ∗ ( x + 2 x −3 ) dx 3
2
−1
/plicamos antiderivada
∫ x
2
x
dx =
2+ 1
2 +1
x
=
3
x
1+ 1
x
2
∫ 2 x dx= 2∫ x dx =2 1 +1 =2 2 = x
3
2
∫ 3 dx =3 x
2a función que daría de la siguiente forma
1
−¿ ¿ −1 +¿ 3
3
1
(
fpro ∗ 3
[
8 3
1 3
x
3
∗−1 =
2
+ x −3 x
][
+4 − 6 −
)∫ ¿ [ 2
3
−1
−1 3
2
]
3
3
2
+ 2 −3 ( 2 ) −¿
][ ] 2
5
3
3
−1 + 3 = − =−1
−1 3
##" 2a cantidad de cierto medicamento en el cuerpo de un paciente − de ser administrado es C ( t )=5 e
0.2 t
t
días despus
unidades. eterminar la cantidad promedio
del medicamento presente en el cuerpo del paciente durante los primeros cuatro días posteriores a su administración.
#2" /plicar el segundo teorema fundamental del c$lculo para evaluar la siguiente π / 4
integral!
∫ sec ( x ) [2 sec ( x )+ 3tan ( x )] dx .
π / 6
π
π
4
4
∫ secx [ 2 secx + 3 tanx ] dx =∫ [2 sec x +3 secx.tanx ] dx 2
π
π
6
6
π 4
∫ secx [ 2 secx + 3 tanx ] dx = [ 2 tanx +3 secx ] π
π 4
π 6
6
secx [ 2 secx + 3 tanx ] dx =¿ 2tan
() π 4
()[ () 4
6
π 4
∫¿ π 6
secx [ 2 secx + 3 tanx ] dx =¿ 2 ( 1 )+ 3 √ 2 −2 × π 4
∫¿ π 6
secx [ 2 secx + 3 tanx ] dx =¿ 1,62 π 4
∫¿ π 6
( )]
+ 3 sec π − 2 tan π + 3 sec π
√ 3 − × 2 √ 3 3 3
3
6
CONCL7SI?N
/l terminar este traba*o colaborativo pudimos comprender la importancia que es tener en cuenta las propiedades b$sicas de las integrales inmediatas - las diferentes tcnicas o mtodos de integración como integración inmediata con sustitución, integración por cambio de variables, integración por racionali1ación e integración por sustitución trigonomtrica. /dem$s, comprendimos que existen varios mtodos para resolver integrales como integración por la racionali1ación, integración por sustitución trigonomtrica, integración por partes, integración por fracciones parciales.
BIBLIOGRAFIA
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