TRABAJO NUMERO 3
Andrés Ruiz Jimmy Alejandro Gonzaliaz Luis Alberto anizalez armen !olima Mu"oz
Gru#o$ %&'
Tutor$ Tutor$ (l)aro Ja)ier Ja )ier Rojas
Uni)ersidad Na*ional Abierta Abierta ! A +istan*ia +istan*ia UNA+
,-.&
/ntrodu**i0n En el presente trabajo utilizaremos la tabla de la verdad con el simulador presto para esto realizando una comparación de tautologías, contradicciones y contingencias, con el fin de lograr afianzar los conocimientos de la presente unidad. Por otro lado lograremos identificar diagramas de ven mediante silogismos propuestos. Antes de hablar acerca de las reglas de inferencia inferencia es bueno resaltar resaltar algunos conceptos claros y básicos para el entendimiento de este uno de ellos son las lógica. !a lógica es una rama de la filosofía la cual estudia la demostración e inferencia vali valida da.. Es una una rama rama de la mate matemá máti tica ca "ue "ue se desa desarr rrol olló ló en el sigl siglo o #$#, #$#, es considerada como la ciencia del razonamiento. El estudio de la lógica y de las proposiciones nos ayudara a tener un pensamiento preciso y herramientas herramientas para argumentar claramente situaciones situaciones de una manera más e%acta.
Objeti)os •
• •
$dentificar tautologías, contingencias o contradicciones mediante la tabla de la verdad. &ar respuesta a las preguntas implicadas en cada ítem. &iferenciar "ue tipo de silogismos nos propone la guía.
+emostra*i0n #or ontra#osi*i0n !a demostración de un teorema diremos "ue es por contradicción cuando suponiendo "ue la conclusión, ', es falsa y utilizando la hipótesis P, y otros teoremas y e"uivalencias lógicas establecidas previamente, se llega a una contradicción. ()* Está basada en la e"uivalencia lógica conocida como reducción al absurdo, es por ello "ue este m+todo de demostración es conocido, tambi+n, como demostración por reducción al absurdo. P - ' ⇐⇒ P ∧ /'0 - 1 donde 1 es una contradicción. Por lo tanto, si probamos "ue P ∧ /'0 - 1 es una tautología tendremos "ue P - ' tambi+n lo es y, consecuentemente, P 2⇒ '.
Ejem#los &emostrar "ue si el cuadrado de un n3mero entero es impar, entonces el n3mero es impar. &emostración El teorema a demostrar es 4Para cada entero n, si n 5 es impar, entonces n es impar6 7i pn0 8 n es impar entonces el es"uema del teorema en notación simbólica será
∀n pn 5 0 - pn0 en el universo de los n3meros enteros. !o demostraremos por contradicción o reducción al absurdo. El es"uema seria
∀n pn 5 0 ∧ /pn0 - 1 donde 1 es una contradicción. Pues bien, sea n cual"uier n3mero entero.
). Proposición.9 &emuestre "ue n : ; :n nunca es primo para n<)8 7e divide el problema en 5 casos, para n par y para n impar. El primer caso es bastante obvio ya "ue ambos sumandos son m3ltiplos de )=, y por tanto se llega a una contradicción. El segundo caso es mucho más complejo y re"uiere un dominio en leyes de los e%ponentes y factorización. Al final, se llega a una factorización de n: ; :n, siendo esto una contradicción. 5. >eorema 1ataldi9?ermat.9 7i 5 n9) es primo, entonces n es primo8 7e empieza asumiendo "ue n es compuesto y al ser compuesto 5 n9) se puede factorizar en 5 t+rminos, ambos mayores "ue uno, por lo "ue se llega a una contradicción con la hipótesis. @. Proposición.9 Puede un n3mero de =BB seises y algunos ceros ser un cuadradoC8 En este problema se utiliza el m+todo de descenso infinito junto con la aritm+tica modular para demostrar "ue no e%iste tal n3mero. (5*
1/M2L//A/4N ! LE! +E LA L A ONJUN/4N
>omado de8 https8DD.inf.utfsm.clDFliubaDfundDreglas.pdf https8DD.inf.utfsm.clDFliubaDfundDreglas.pdf 00
1/M2L//A/ON +E 2RO2O1//ONE1 !a simplificación de una proposición, o dicho de otra manera, la simplificación de una e%presión lógica consiste en reducir la e%presión lógica a una forma más simple mediante el uso de a%iomas yDo leyes lógicas. !a simplificación consiste en ir desarrollando la e%presión paso a paso mediante la sustitución en cada paso de una e%presión lógica e"uivalente a la anterior, hasta llegar a una e%presión lógica irreducible.
A trav+s de la simplificación simplificación podemos podemos tambi+n tambi+n demostrar demostrar una una e"uivalencia e"uivalencia lógica lógica sin usar tablas de verdad.
EJEM2LO
EJEM2LO
EJEM2LO
!eyes de Gorgan 7i p y " son proposiciones simples , o compuestas, entonces8 a0 /p H "0 I2< /p v /"0 b0 /p v "0 I2< /p H /"0
Jegar una conjunción o una disyunción consiste en cambiar 4v6o 4H6 y negar las proposiciones dadas.
!as *onjun*iones son enlaces con función coordinante y a veces, subordinante. Estas conjunciones tienen la característica de ser invariables y se utilizan para enlazar oraciones. 7u uso se encuentra ligado a la suma de oraciones donde re3nen dos oraciones principales con la finalidad de construir una tercera con sentido completo y complementación lógica. Kay distintos tipos de conjunciones y son8 ). copu copula lati tiva vas s 5. disy isyunti untiva vas s @. adver dversa sati tiva vas s :. cons consec ecut utiv ivas as L. causales y =. cond condic icio iona nale les s
Ejem#lo de *onjun*iones$ a0 1onjunciones o#ulati)as$ y, e, ni b0 1onjunciones +isyunti)as8 o, ya bien, sea c0 1onjunciones Ad)ersati)as$ pero, mas, sino, sin embargo, empero d0 1onjunciones onse*uti)as8 luego, pues, con"ue, así "ue e0 1onjunciones ausales8 por"ue, puesto "ue, ya "ue, pues f0 1onjunciones ondi*ionales8 si, con tal "ue, siempre "ue, al menos "u+.
Ejem#lo de ora*iones *on *onjun*iones$ +isyunti)as 1omemos o cenamos, #ero no las dos. Mive sano, ya bien haciendo ejercicio o comiendo bien Es grande o sea impresionante
Ad)ersati)a
Ge gustas mas no puedo casarme contigo. >engo >engo hambre, sin embar5o tomar+ algo.
onse*uti)a Pienso, lue5o e%isto. >e dejo #ues ya no me "uieres como antes. >e llevo al partido *on tal 6ue dejes de llorar.
o#ulati)as 1arlos y Alberto fueron a comer. !uis estudia franc+s e ingles no "uiero comer ni beber nada, gracias. Jo se puede ni sacar ni meter esto.
/N+U/ON MATEMAT/A 7ea Pn0 una proposición "ue depende de la variable n, con n perteneciente a los Jaturales. 7i8
) satisface a P y, N pertenece a los Jaturales, N satisface PO N;)0 satisface P,
entonces todos los n3meros naturales satisfacen P. saremos el A%ioma de $nducción Gatemática para demostrar la validez, en los J3meros Jaturales, de ciertas proposiciones P "ue depende de una variable n, con n perteneciente a los Jaturales. Procederemos de la siguiente manera8
Merificaremos la proposición para el numero ).
7upondremos "ue la proposición es verdadera para un numero natural
cual"uiera N. Kipótesis de inducción0. &emostraremos la proposición para el numero natural N;)0. Así, gracias al a%ioma de inducción Gatemática, podemos
concluir "ue la proposición la satisfacen todos los n3meros naturales.
Ejem#lo .$ &emostraremos "ue8 );5;@;............;n );5;@;............;n 2 n7n8.0, Q n perteneciente a los naturales R0 5
)2 .7.8.0. Por lo tanto ) satisface la proposición R0 5 7upongamos valida la proposición R0 para N perteneciente a los Jaturales, es decir supongamos "ue8
);5;@;.........;N );5;@;.........;N 2 9 798.0. Kipótesis de inducción0. 5
&emostremos "ue N 9 ) tambi+n satisface la proposición R0, es decir, demostremos "ue8
);5;@;.........;N; );5;@;.........;N; N;)0 2 798.: 798,0. 5 &emostración8 );5;@;.......;N0;N );5;@;.......;N0;N ;)0 2 9798.: ; N;)0 5
2 9 798.:8,798.: 5 2 798.: 798,: 5 !uego la proposición R0 es verdadera Qn perteneciente a los naturales. En resumen, primero demuestras reemplazando el n por un ), luego demuestras reemplazando el n por un N y finalmente lo demuestras reemplazando el n por N;)0
Ejem#lo ,$ &emuestre usando $nducción Gatemática "ue8 n Qi@ 2 n, 7n8.:, i2) :
.; sando n 2 ) ) Qi@ 2 ., 7.8.:, i 2) : ) Q) 2 .7%:
i 2) : ) Q) 2 % 2 ) i2) : 5S 7upongamos valido para n 2 N N Qi@ 2 9, 798.:, i2) : @S Por demostrar valido para n 2 N;) N ;) Qi@ 2 798.:, 798.:, se reemplaza termino igual al de arriba i2) :
< 798.:, 798,:, esto se debe demostrar : N ;) N Qi@ 2 Q i@ ; N;)0@ i 2) i 2) 2 9, 798.:, ; N;)0@ 2 9, 798.: , ; N;)0@ 2 N;)05 9, ; N;)0 :::
2 N;)0 5 9, 8%798.0 2 798.: 5 N5 ;:N;:0 : 2 798.:, 798,:, :
Ejem#lo 3$ &emuestre usando inducción "ue8 5 ; :; = ; T;..........; 5n 2 nn;)0 n 5 i 2 nn;)0 i 2)
n2)
) Q5R) 2 ));)0 i 2) 2 )R5 25
N
7uponer valido para n 2 N
Q5i 2 NN;)0 Esto es la hipótesis i 2)
&emostrar para n 2 N;)
U;) Q5i 2 N;)0 N;50 i 2) N ;) N Q5i 2 Q 5i ; 5N;)0 i 2) i 2) 2 N N;)0 ; 5N;)0 2 N;)0 N;50
+emostra*i0n #or *ontraejem#lo
En matemáticas matemáticas,, un u na demostra*i0n o bi bien un u na #rueba es un un argumento dedu deduct ctiv ivo o para para aseg asegur urar ar la verd verda ad de una una propos proposición ición matemática matemática.. En la argumentación se pueden usar otras afirmaciones previamente establecidas, tales como como teoremas teoremas o bien las afirmaciones iniciales o a%iomas (*. En principio una demostra demostración ción se puede puede rastrea rastrearr hasta hasta afirmaci afirmacione ones s general generalment mente e acepta aceptadas, das, conoc conocid idas as como como a%iomas a%iomas.. !as !as demos demostr trac acion iones es son son ejempl ejemplos os de razonamiento deductivo y se distinguen de argumentos inductivos o empíricos empíricos una demo demost stra raci ción ón debe debe demo demost stra rarr "ue "ue una una afir afirma maci ción ón es siem siempr pre e verd verdad ader era a ocasionalmente al listar todos los casos posibles y mostrar "ue es válida en cada uno0, más "ue enumerar muchos casos confirmatorios. na afirmación no probada "ue se cree verdadera se conoce como conjetura conjetura..
!as demostraciones emplean lógica lógica pero pero normalmente incluyen una buena parte de lenguaje natural, natural , el cual usualmente admite alguna ambigVedad. &e hecho, la gran gran mayorí mayoría a de las demos demostra tracio cione nes s en las matemá matemáti ticas cas escr escrita itas s puede puede ser ser conside considerada rada como aplicacion aplicaciones es de lógica informal informal rigurosa. rigurosa. !as !as demostraciones puramente purament e formales formales,, escritas en lenguaje simbólico en simbólico en lugar de lenguaje natural, se considera consideran n en teoría de la demostración . !a distinc distinción ión entre entre demostraciones formales form ales e info informal rmales es ha lleva llevado do a e%am e%amin inar ar la lógica matemática históric histórica a y actual, el cuasi9empirismo matemático y el formalismo matemátic m atemático o . !a filosofí filosofía a de las matemátic matemáticas as concierne concierne al rol del lenguaje y la lógica en las demostraciones, y en las matemáticas como lenguaje. lenguaje . El hecho de no conocer ninguna demostración de un teorema no implica su no veracidad sólo la demostración de la negación de este resultado implica "ue es falso.
Naturaleza y 2ro#0sito 1omo se había dicho, una demostración se escribe en lenguaje natural, siendo esta un argumento riguroso con propósito de convencer a la audiencia de la veracid veracidad ad de una afirmació afirmación n o definición definición.. El rigor estándar no es absoluto y ha variado a trav+s de la historia. na demostración puede ser presentada en formas diferentes dependiendo de la audiencia esperada. En orden de ganar aceptación, una demostración tiene "ue cumplir parámetros comunes de rigor un argumento considerado vago o incompleto ha de ser rechazado. El conc concep epto to de una una demo demost stra raci ción ón se form formal aliz iza a en el camp campo o de la lógi lógica ca matemátic matemática. a. na demostración formal se escrib escribe e en lenguaje formal formal en vez de lenguaje lenguaje natural. natural. na demostració demostración n formal formal se define define como una secuenc secuencia ia de fórmulas en un lenguaje formal en la cual cada fórmula es una consecuencia lógica de las precedentes. >ener una definición de demostración formal hace el concepto de demostración demostración ameno de estudiar. estudiar. &e hecho, el campo de teoría de demostraciones estudia estudia las demostra demostracion ciones es formales formales y sus propie propiedade dades, s, por ejemplo, la propiedad de una afirmación de tener una demostración formal. na apli aplic cació ación n de la teor teoría ía de demo demost stra raci cion ones es es la de most mostra rarr "ue "ue cier cierta tas s afirmaciones indecidibles no pueden tener demostración. 7e supone "ue la definición de demostración formal está para capturar el concepto de la demostración tal como se escribe en la práctica de la matemática. !a sonoridad de esta definición descansa en la creencia de "ue una demostración publicada puede, en principio, ser convertida en una demostración formal. &e todos modos, fuera del campo de los asistentes automáticos para demostraciones, esto esto se hace hace raram raramen ente te en la prác práctic tica. a. na na pregu pregunta nta clási clásica ca de la filos filosofí ofía a
pregunta pregunta si las demostracio demostraciones nes matemática matemáticas s son analíticas o sint+ticas. sint+ticas . Uant Uant,, "uien introdujo la dis disti tinci nción ón en entre tre an analí alític ticos os y si sint+ nt+tic ticos os , creía "ue las demostraciones en matemáticas son sint+ticas. !as demostraciones pueden ser vistas como objetos est+ticos, admiradas por su belleza matemátic matemática a. El matemático Paul ErdWs describió ErdWs describió las demostraciones "ue consi conside derab raba a parti particu cular larmen mente te eleg elegant antes es como como venid venidas as de El Libro Libro, un te%t e%to hipot+ti hipot+tico co "ue supuesta supuestament mente e contien contiene e los m+todos m+todos más hermoso hermosos s de probar probar cada cada teorema. teorema. El ensayo Las demostraciones de «El libro» , publicado en 5BBX, prese presenta nta @5 demos demostra tracio cione nes s "ue "ue sus edito editore res s encue encuent ntran ran parti particul cular armen mente te satisfactorias. &emostracion por contraejemplo 1uando hemos probado la validez de la implicación p 2 ⇒ ", frecuen temente se tra ta de investi gar la validez de la reci recipr proc oca a " 2 ⇒ p. Empezamos analizando casos particulares "ue satisfagan la hipotesis " y confrontamos la validez o no de la conclusion p. 7i damos un ejemplo donde la conclusion resulta falsa, tenemos "ue " ∧∼ p es verdadera. Puesto "ue ∼ " 2⇒ p0 ⇐⇒ "∧∼ p se sigue por las reglas de inferencia "ue ∼ "2⇒p0 es verdadera y por lo tanto " 2 ⇒ pes falsa. El determinar la falsedad de " 2 ⇒ p mediante un caso particular se denomina un contraejemplo.
Estru*tura de la +emostra*ion !a demostración consta de tres partes8 a0 El conocimie conocimiento nto "ue se trata trata de demostrar demostrar,, es decir decir la proposició proposición n teorema0 teorema0 cuya validez se trata de probar. b0 !os fundame fundamentos ntos emplea empleados dos como como base base de la demostraci demostración. ón. c0 El procedimie procedimiento nto usado usado para lograr lograr "ue el conocim conocimiento iento "uede "uede demostrad demostrado. o. !os procedimientos de demostración permiten establecer la cone%ión lógica entre los fundamentos y sus consecuencias sucesivas, hasta llegar como conclusion final a la tesis "ue así se demuestra. na tesis puede ser demostrada mediante distintos procedimientos. Ejemplos8
.= +emostrar 6ue son AL1A1 las si5uientes #ro#osi*iones$
5. >odos los numeros primos son impares. Eso es falso por"ue X, )L, 5), son impares y no son numeros primos. •
!a suma de dos numeros compuestos siempre es un n3mero compuesto.
Este enunciado es falso, 1omo contraejemplo, : ; X 2 )@ @. !a suma de dos numeros compuestos debe ser un n3mero compuesto. R Ejemplo de apoyo
1ontraejemplo
:;: 2 T T;X 2)Y :; = 2)B :; T 2)5 Por lo tanto, el enunciado es falso.
Modus 2onendo 2onens y Modus Tollendo Tollendo Tollens Tollens El modus modus tollendo tollendo tollens latín latín88 Qel modo "ue, al negar, niegaQ, (*conocido como modus tollens, tollens ,( *(*(*(*ne5a*i0n del *onse*uente o ley de *ontra#osi*i0n0(* es una forma de argumento válida válida y y una regla de inferencia en lógica propos proposicional icional.. Es una aplicación de la verdad general de "ue, si una declaración es válida, tambi+n lo es su contraposición contraposición.. !a historia de la regla modus tollendo tollens se remonta a la antigVedad. (* !os primeros en declarar e%plícitamente la forma de argumento modus tollendo tollens fueron los estoicos estoicos..(* !a regl regla a de infer inferen enci cia a modus modus tollend tollendo o tollens tollens estab establec lece e "ue "ue si una una prime primera ra afir afirma maci ción ón implica una una segu segund nda a afir afirma maci ción ón y la segu segund nda a afir afirma maci ción ón no es verdadera se puede inferir "ue "ue la primera primera no puede ser verdadera. Es decir, si P implica ' y ' no es verdadera entonces entonces P tampoco es verdadera.
&onde P ' significa QP implica 'Q, ' significa Qno es el caso de "ue 'Q o en resumen Qno 'Q0. Entonces, cada vez "ue QP Q y Q'Q aparecen por sí mismas como líneas de una prueba prueba,, Q P Q se puede colocar válidamente en una línea posterior. El modus tollendo tollens está estrechamente relacionado con el modus ponens o silogismo disyuntivo. Estos comparten dos formas similares, pero no válidas, de argumento88 afirmación del consecuente y negación del antecedente . argumento Ejemplo ). n ejemp ejemplo lo de modu modus s tollend tollendo o tlollen tlollens s es8 7i está lloviendo, te espero dentro del teatro.
No te espero dentro del teatro.
2or lo tanto, no está lloviendo.
5. Por ejemplo, ejemplo, un razonamie razonamiento nto "ue sigue la forma del del modus tollens tollens podría podría ser8 7i hay luz solar, entonces es de día. Jo es de día. Por lo tanto, no hay luz solar. @. 7i lluev llueve e voy voy al cine cine Jo fui al cine Por lo tanto, no llovió.
Modus 2onendo 2onens El modus ponendo ponens en latín, modo "ue afirmando afirma0, tambi+n llamado modus ponens y generalmente abreviado GPP o GP, es una regla de inferencia "ue tiene la siguiente forma8 7i A> entonces B
A Por lo tanto, B Esta regla de inferencia se aplica cuando aparecen como premisas una condicional y el antecedente de esa condicional para obtener como conclusión al
consecuente de la condicional. 1onsideremos algunos ejemplos en donde se aplica la regla de inferencia del modus ponendo ponens.
Ejem#lo •
7i estudio mucho, entonces pasare el e%amenZ.. premisa ) Estudio muchoZZZZZZZZZZZZZZZZ.. premisa 5 Para el e%amenZZZZZZZZZZZZZZZ conclusión A A
[
P) P5
[ conclusión •
7i son las = AG, entonces ya amaneció. 7on las = AG. Por lo tanto, \a amaneció
•
7i ]avier tiene ^abia, es una nube. ]avier tiene rabia. Por lo tanto, ]avier es una nube.
LE! +E A+//4N ! TOLLEN+O 2ONEN1= ?LE! +E A+//ON@ ^egla especial de la adición. Establece "ue si dos eventos A y [ son son mutua mutuamen mente te e%clu e%cluye yente ntes s la proba probabi bilid lidad ad de "ue "ue uno uno u otro otro even evento to ocurran es igual a la suma de sus probabilidades.
&e lo anterior se puede deducir "ue la probabilidad de "ue ocurra A más la probabilidad de "ue no ocurra A debe debe sumar ). A esto se le llama la regl regla a del comp comple leme ment nto. o. Esta Esta regl regla a esta establ blec ece e "ue "ue para para dete determ rmin inar ar la probabilidad probabilidad de "ue ocurra un evento se puede restar de ) la probabilidad de "ue no ocurra.
!a ^egla de la Adición Adición e%presa "ue8 la probabilidad probabilidad de ocurrencia de al menos dos sucesos A y [ es igual a8 PA o [0 2 PA0 P[0 2 PA0 ; P[0 si A y [ son mutuamente e%cluyente PA o [0 2 PA0 ; P[0 9 PA y [0 si A y [ son no e%cluyentes 7iendo8 PA0 2 probabilidad de ocurrencia del evento A P[0 P[0 2 prob probab abili ilidad dad de ocurr ocurrenc encia ia del even evento to [ PA PA y [0 2 proba probabil bilida idad d de ocurrencia simultanea de los eventos A y [
Ejemplo8 7i A y [ son dos eventos "ue no son mutuamente e%cluyentes, entonces PA o [0 se calcula con la siguiente fórmula8 PA o [0 2 PA0 ; P [0 9 PA y [0 El &iagrama de Men ilustra esta regla.
Ejemplo8 En una muestra de LBB estudiantes, @5B dijeron tener un est+reo, )YL dijeron tener una >M y )BB dijeron tener ambos 7i un estudiante es seleccionado aleatoriamente, cuál es la probabilidad de "ue tenga sólo un est+reo, sólo una >M y uno de cada unoC P70 2 @5B DLBB 2 .=:. P >0 2 )YL DLBB 2 .@L. P7 y >0 2 )BB DLBB 2 .5B.
?TOLLEN+O 2ONEN1@ !a siguiente regla afirma regla afirma "ue en una proposición molecular disyuntiva al negarse uno de sus miembros tollendo0, se afirma el otro ponens0. Por "u+C Por"ue el sentido "ue tiene la disyunción en la lógica proposicional es incluyente y no e%cluyente. Es decir, a veces el QoQ nos limita a "ue solamente una de las dos opciones es válida cuando es e%cluyente Qestá embarazada o no está embarazadaQ0 pero a veces es incluyente, pues una de las opciones es válida y
"uizá los sean las dos Q[enito ]uárez fue indígena o fue me%icanoQ0. [ueno, al ser incluyente el sentido de la disyunción, podemos aceptar "ue si una posibilidad no se da, entonces es la otra la efectiva8
_ estudia alemán o estudia ingl+s.
Jo estudia alemán. ````````````` ```````````````````` ``````````` ```` Estudia ingl+s.
\ simbólicamente sería algo así8 )0 A M [ 50 / A @0 [ >P ), 5 [ien se pudo haber negado el otro miembro de la proposición8 )0 A M [ 50 /[ @0A >P ),5 !a sigla Q>PQ significa tollendo ponens y los n3meros a su lado derecho indican como de costumbre, las proposiciones de las "ue se sirvió dicha operación.
!a regla del tollendo ponens tambi+n tambi+n se puede ejecutar con proposiciones moleculares y negativas8 )0 A [0 M 50 / @0A [ >P ), 5 _8 )0 / & M 1 50 / 1 @0 /& >P ), 5
Por otro lado, puede e%istir una variante de esta regla de la disyunción8 el modus ponendo tollens es decir, "ue al afirmar un miembro de la disyunción ponendo0, se niega el otro tollens0. 7u abreviatura sería así8 P>. Por ejemplo8 1omo sandía o como pinole 1omo sandía ````````````` ```````````````````` `````````` ``` Jo como pinole
Esto se representaría de la siguiente manera8
)0 A M [
50 A @0 /[
P> ), 5.
Ejer*i*io ^esuelve los siguientes problemas8 ). &emostrar 1
)0
/&
50
1 M /[
@0
[M&
5. &emostrar 7
)0
/1
50
1 M /^
@0
& E0 M ^
:0
7 M / & E0
@. &emostrar ?
)0 A ]0 M ? 50 / A ]0
:. &emostrar &emostrar / E
)0 /1 v
50 /> @0 / v /E :0 1 v >
L. &emostrar A v [ )0 / & v 10 v E v ?0 50 & v 1 @0 1 10 v A v [0 :0 / E v ?0 v / 1 10
+emostra*i0n dire*ta e indire*ta
La demostra*i0n !a demostración es un razonamiento "ue prueba la validez de un nuevo conocimiento es el enlace entre los conocimientos reci+n ad"uiridos y los conocimientos anteriores. !os procedimientos de demostración permiten establecer la cone%ión lógica entre las proposiciones fundamentales de la teoría, sus consecuencias sucesivas, hasta deducir la conclusión o tesis "ue así se demuestra. !os principales tipos de demostración son8
La demostra*i0n dire*ta !a demostración directa de una proposición t teorema0 es un conjunto de proposiciones o premisas "ue son postulados o proposiciones de validez aceptada y de las cuales se infiere t como consecuencia inmediata.
Ejem#lo .=
&adas las premisas8 ). p -F" 5. r - "
on*luir$ t. p - Fr ````````````` ```````````````````` `````````````` ````````````` ````````````` `````````````` ````````````` ````````````` `````````` ``` &emostración8 Puesto "ue r - " es e"uivalente a F" -Fr, por G>> se tiene la premisa8
3= F" - Fr, ahora, de las premisas ) y @ se puede concluir t, es decir, como p -F" y F" - Fr, entonces, p - Fr. Por 7K
Ejem#lo=, !a proposición A es 4El triángulo rectángulo XYZ de de catetos de longitud x e e y e e 2
z
hipotenusa de longitud z , tiene por área
4
6.
1omo bien sabes, de A deducimos xy
A)8
2
2
=
z
4
_tra proposición 3til deducida de A es
A58 %5 + y 5 = z 5. Jaturalmente "ue podemos combinar A) y A5 y construir más proposiciones verdaderas. Así, en nuestro caso, tendríamos
xy
A@8
2
=
x
2
+
y
2
4
.
Ejem#lo= 3
Por ejemplo, la demostración directa puede ser usada para establecer "ue la suma de dos enteros pares pares es es siempre par8 1onsidere dos enteros pares x e e y . 1omo son pares, pueden ser escritos como x 2 2 5a e y 2 2 5b, respectivamente, para enteros a y b. !uego la suma x ; ; y 2 2 5a ; 5b 2 5a;b0. Por lo tanto x ;y tiene tiene un factor de 5 y, por definición, es par. Por lo tanto la suma de dos enteros pares es par.
La demostra*i0n indire*ta 7e realiza una demostración indirecta cuando se establece la validez de una tesis t probando "ue las consecuencias de su contraria son falsas. Ejemplo ).
Proposición8 7i el triángulo rectángulo XYZ de de catetos x e y e hipotenusa hipotenusa z tiene tiene X 2
z
de área
4
y
z
, entonces es isósceles. Z
x
Y
En este ejemplo ejemplo tenemos tenemos las proposici proposicione ones s A 4El triángulo triángulo rectáng rectángulo ulo XYZ de 2
z
catetos x e y e e hipotenusa z tiene tiene de área
4
6 y B 4 El triángulo rectángulo XYZ es es
isósceles6. 7i recuerdas los ejercicios "ue has hecho en el capítulo ) en el apartado Algo sobre la proposición 47i A entonces B6, cuando "uieres probar "ue 4 A implica B6, puedes suponer "ue A es verdadera y usar de alguna forma esta información para concluir "ue B es verdadera.
Ejem#lo ,= Ejemplo8 En el caso de la infinitud de los n3meros primos, el nuevo problema sería
“Dados los n nmeros primos p!" p# " p$"%%% p %%% pn" encontrar un nue&o nmero primo pn'!di(erente de todos los nmeros primos dados)% El n3mero p!*p# *p$ %%% p %%% pn; ), o bien es primo o contiene factores primos "ue han de ser distintos de los n hallados previamente. Puesto "ue estos factores primos pueden hallarse por ensayos directos, estamos seguros de "ue, en todo caso, hay al menos un nuevo factor primo p n;). Procediendo de este modo se ve "ue la sucesión de los n3meros primos construibles siempre puede ser ampliada y no tiene fin, sin necesidad de considerar situaciones imposibles.
Ejem#lo 3= &emostrar "ue ay ininitos nCmeros #rimos resultado de Euclides0. 7upongamos "ue los n3meros primos no son infinitos. Entonces, serían finitos8 5, @, L, Y,... P 7iendo P el mayor de todos los n3meros primos. 1onsideramos ahora el n3mero K 2 5@LY ...P0 ; ) K no es primo, pues es mayor "ue P. Entonces K debe tener alg3n divisor primo. Pero si dividimos K por cual"uiera de los n3meros primos, obtendremos resto ), por la forma en "ue se ha definido K. hemos llegado a una contradicción. !uego la afirmación inicial es cierta.
1ilo5ismo Di#otéti*o y 1ilo5ismo +isyunti)o
1ilo5ismo i#otéti*o En lógica se denomina silogismo hipot+tico a a"uel tipo de silogismo o más bien regla de inferencia "ue en su e%presión plantea un caso hipot+tico, por lo cual puede tener t+rminos válidos o no. En la lógica proposicional un silogismo hipot+tico puede e%presar una regla de inferencia, mientras "ue en la historia de la lógica los silogismos hipot+ticos han sido una antelación de la teoría de las consecuencias. El silogismo categórico abreviado 7.P.0 es un argumento válido si sigue la siguiente forma argumental8 P - '.
' - ^. Entonces ergo0, P - ^. 7i me duermo no podr+ concurrir a la sala de teatro. 7i no concurro a la sala de teatro no me voy a entretener. 1onclusión8 7i me duermo no me voy a entretener
59 >odos los mamíferos son animales. >odos los hombres son mamíferos. 1onclusión8 >odos los hombres son animales. G- A K-G EJ>_J1E7 K - A @9>odos los vehículos cómodos son populares >odas las carretillas son vehículos cómodos 1onclusión >odas las carretillas son populares
:9 Platón era un gran filósofo >odos los griegos eran grandes filósofos 1onclusión8 Platón era griego
L9 !a lectura de un buen libro me divierte Ge agrada mucho leer 1onclusión8 !eer me divierte !-& A -!
EJ>_J1E7 ! - &
Ejem#lo de silo5ismo disyunti)o +eini*i0n de 1ilo5ismo En el ámbito de la ?ilosofía, se conoce con el nombre de 7ilogismo a un concepto de la !ógica, "ue se refiere a un ti#o de razonamiento dedu*ti)o> "ue se da en base a la inferencia "ue se obtiene de la concatenación de dos premisas, casi siempre una mayor "ue otra. &e acuerdo a la Kistoria del Pensamiento, ue Arist0teles 6uien #romul50 o
#ro#uso este ti#o de razonamiento , tal como consta en la obra +r,anon, de este filósofo clásico griego. Así mismo, para la ?ilosofía, este tipo de planteamiento racional esgrimido por el Estagirita marca el comienzo del pensamiento de tipo científico, así como la piedra fundacional de la rama de la ?ilosofía conocida como !ógica.
+eini*i0n de 1ilo5ismo +isyunti)o Jo obstante, no se puede hablar de un solo tipo de 7ilogismo, distingui+ndose diferentes modos de silogismo, seg3n las relaciones lógico9matemáticas "ue planteen, así como la forma en la "ue se logre la inferencia de su conclusión. na clase de 7ilogismo, bastante conocido es el 7ilogismo &isyuntivo, el cual plantea una ineren*ia a tra)és de un #ro*eso de disyun*i0n e*lusi)a> en base a dos premisas "ue se e%cluyen y "ue no pueden ser ciertas al mismo tiempo, e incluso tampoco pueden ser falsas simultáneamente, por lo "ue el 7ilogismo &isyuntivo marca dos premisas donde obligatoriamente una debe ser falsa y la otra verdadera.
Modos de 1ilo5ismo +isyunti)o
Así tambi+n, tambi+n, la ?ilosofía ?ilosofía ha ha planteado, planteado, en cuanto a este tipo de razonamiento razonamiento lógico, 6ue eiste dos modos de inerir a tra)és del 1ilo5ismo
+isyunti)o>resultando las dos formas igual de válidas. En este sentido, resulta pertinente entonces resear brevemente cada uno de estas formas de inferir a trav+s del proceso de esta clase de razonamiento8
Modo #onendoFtollens$ en este tipo de 7ilogismo &isyuntivo, la Premisa Genor se encarga de afirmar uno de los dos predicados, mientras "ue la conclusión o inferencia se encarga de negar el otro. Este tipo o modo de 7ilogismo &isyuntivo respondería entonces al siguiente es"uema lógico8 Premisa Mayor: A es B o A es - Premisa Menor: A es B Conclusión: Entonces A no es -
Modo tollendoF#onens$ por otro lado, tambi+n se puede dar el caso de 7ilogismos &isyuntivos en los cuales la Premisa Genor se encargue de negar alguno de los dos predicados, siendo la conclusión o inferencia la cual cumpla con la tarea de afirmar el predicado "ue resulta verdadero, una forma de afirmar negando. 1on respecto a este modo de 7ilogismo &isyuntivo se tiene entonces el siguiente es"uema lógico8 Premisa Mayor: A es B o A es - Premisa Menor: A no es - Conclusión: Entonces A es B
Ejem#los de 1ilo5ismo +isyunti)o ^evisado el concepto de 7ilogismo &isyuntivo, y e%aminados igualmente los dos modos de e%presar formalmente este tipo de razonamiento "ue muestra la forma de obtener una inferencia o conclusión a dos nociones "ue se e%cluyen mutuamente, es decir, 6ue no #ueden resultar ni )erdaderas ni alsas
simultneamente, resulta necesario igualmente e%poner algunos ejemplos en
base a este tipo de razonamiento lógico. A continuación, entonces, algunos ejemplos de 7ilogismo &isyuntivo8
Ejem#lo . 7modo #onendoFtollens: Premisa Gayor8 _ nació nio o nació nia Premisa Genor8 Jació nia 1onclusión8 Entonces, no nació nio
Ejem#lo , 7modo tollendoF#onens: Premisa Gayor8 _ es de día o es de noche Premisa Genor8 Jo es de noche 1onclusión8 Entonces, es de &ía
Ejem#lo 3 7modo #onendoFtollens: Premisa Gayor8 _ ganaron !os Gedias [lancas o ganaron !os Gedias ^ojas Premisa Genor8 anaron !os Gedias [lancas 1onclusión8 Entonces, no ganaron !os Gedias ^ojas
3= Eta#a 3= 3= 1olu*i0n de una situa*i0n #roblémi*a de la /neren*ia l05i*a #or a#li*a*i0n de las re5las de /neren*ia l05i*a 7Aneo .:= En la *iudad de 2ereira se a *reado un buet de abo5ados entre *uatro ami5os> del *ual Juan Arroyo y MarHa A5uirre a*en #arteI en *ierta o*asi0n se 5ener0 una dis*ordia laboral #or dierentes #untos de )ista en el #ro*eso de a*om#a"amiento le5al a una #ersona sindi*ada de )arios delitosI Juan a asumido la deensa de Alberto 6uien es la uente de dis*ordia *on MarHa= MarHa a de*idido tomar a**iones radi*ales rente a lo o*urrido *on Juan$ ?1i el *liente de Juan 5ana la a#ela*i0n> enton*es MarHa se retira del buet de abo5ados= MarHa se retira del buet de abo5ados si y s0lo si Alberto el *liente de Juan no es lle)ado a #risi0n= 2or lo tanto> si el *liente de Juan 5ana la a#ela*i0n> enton*es no es lle)ado a #risi0n@= +eterminar *one luso de las dos ormas de la tabla de
)erdad la )alidez del razonamiento 6ue a*e MarHa y a*erlo también *on el uso de las leyes de ineren*ia= P^EG$7A ) 7i el cliente de ]uan gana la apelación, entonces Garía se retira del buffet de abogados. P^EG$7A 5 Garía se retira del buffet de abogados si y sólo si Alberto el cliente de ]uan no es llevado a prisión. 1_J1!7$_J Por lo tanto, si el cliente de ]uan gana la apelación, entonces no es llevado a prisión P^EG$7A ) 2 P 9< ' P^EG$7A52 ' I9< ^ 1_J1!7$_J2 P9<^ E#P^E7$_J ( P 9< ' 0 H PI9<^ 0* 9< ^ 9< ' 0.
( P 9< ' 0 H PI9<^ 0* 9< ^ 9< ' 0.
2 R
2 FK
2FK 7RF R K:
72FK:72FK R:
7 2 FK : 7 2FKR : FK7 R FK :=
M
P P
P
P
P
P
P
M
P
P
P
M
P
P
P
M
P
?
P P
P
P
P
?
P
P
P
?
P
P
P
?
P
P
a.
Declaración de las proposiciones simples.
p8 el cliente de ]uan gana la apelación "8 Garía se retira del buffet de abogados r8 Alberto el cliente de ]uan es llevado a prisión d. &emostración con reglas de $nferencia lógica. Por deducción proposicional, aplicar las ^eglas de inferencia lógica consulte a"uí0 se tiene "ue8 )0
⟶ Premisa )
50 F Premisa 5 @06 ⟶ Qr Por !ey de las Proposiciones [icondicionales a 50 para obtener @0. :0# ⟶ Qr Por !ey de 7ilogismo Kipot+tico a )0 y @0 para obtener :0 "ue debe ser la 1onclusión. En resumen8 )0 ⟶ Premisa ) 50 F Premisa 5 @06 ⟶ Qr Proposiciones [icondicionales 50 :0# ⟶ Qr 7ilogismo Kipot+tico )0, @0. 1onclusión es valido
1/TUA/ON 2ROBLEM/A No= ,
7ea el razonamiento8 47i mi e"uipo gana yo me pongo contento. 7i mi e"uipo pierde me pongo triste. En este momento mi e"uipo está ganando o está perdiendo. Por consiguiente, estoy contento o triste6.
a= +e*lara*i0n de las #ro#osi*iones sim#les= p8 mi e"uipo gana "8 yo me pongo contento r8 mi e"uipo pierde s8 me pongo triste
b= +e*lara*i0n de #remisas y *on*lusi0n
Tabla .= Len5uaje natural
Len5uaj e ormal
2remisa .
SI mi e"uipo gana yo me pongo contento.
⟶
2remisa ,
SI mi e"uipo pierde me pongo triste.
2remisa 3
En este momento mi e"uipo está ganando O
∧ ⟶ ∧ ∨
on*lusi0
está perdiendo. POR CONSIGUIENTE, estoy contento o triste.
⟶ ∨ s
n
+e*lara*i0n ormal del razonamiento$ 7 ⟶ : ∧ 7 ⟶ : ∧ 7 ∨ : : ⟶ 7 ∨ : *= +emostra*i0n *on Tabla Tabla de )erdad= +e orma manual= manual= 7i n es el n3mero de proposiciones, n 2 : 7i Jo. de filas para los valores de verdad es 5 n,
Tabla ,=
, % 2
5R5R5R52)=
Tabla de Verdad
# 6 r s 7 ⟶ :
) ) ) ) ) ) ) )
) ) ) ) ) ) ) )
) ) ) ) ) ) ) )
) ) ) ) ) ) ) )
7 ⟶ : ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
7 ∨ :
) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
7 ∨ :
∨ : :
) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
7 ⟶ : ∧ 7 ⟶ : ∧ 7 7 ⟶ : ∧ 7 ⟶ : ∧ 7 ∨ : :
) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
⟶ 7 ∨ :
) ) ) ) )
2or 1imulador TRUTD captura de pantalla con la solución "ue arroja el simulador TRUTD, 0
Tabla 3=
) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
Tabla %
/nter#reta*i0n de la Tabla de )erdad= $nterpretar los resultados de acuerdo a la situación planteada validada por una >autología.
d= +emostra*i0n *on re5las de /neren*ia l05i*a= Por deducción proposicional, aplicando las Relas de in!erencia lóica consulte a"uí0 se tiene 6ue$ el ar5umento es )alido
)0 ⟶ 50
Premisa
⟶ Premisa
)
5
@0 ∨ Premisa Premisa @
:0 Por !ey de 7ilogismo &isyuntivo a @0, )0 y 50 para obtener :0. 1onsultar Relas de in!erencia lóica descargue a"uí0 y Problema de a"licación Relas de in!erencia #óica consulte a"uí0.
P^EG$7A
PM^
P^EG$7A
P ⟶'
P^EG$7A
^ ⟶ 7
````````
1_1!7$_J
'M7
En resumen8 )0 ⟶ Premisa ) 50
⟶ Premisa
5
@0 ∨ Premisa Premisa @ :0 ' M 7
:0 7ilogismo &isyuntivo @0, )0, 50. 1onclusión
Por deducción proposicional, aplicando las Relas de in!erencia lóica se
tiene 6ue$ el ar5umento es )alido
+esde muy jo)en em#e*é a trabajar #ara #oder bus*ar tener una buena *alidad de )ida> #ero siem#re me ue *om#li*ado #oder in5resar a a*er mis estu es tudi dios os su#e su#eri rior ores esII oy oy en dHa dHa aor aortu tuna nada dame ment ntee la UNA+ UNA+ ore ore*e *e una una e*elente o#ortunidad de orma*i0n a*adémi*a #ara 6uienes tenemos una )ida laboral muy densa> #ues la )irtualidad> aun6ue demanda de dis*i#lina y ade*uados bitos de estudio> nos #ermite *ontar *on las ,% oras del dHa> los siete dHas de la semana #ara in5resar a realizar las a*ti)idades se5Cn las e*as lHmites estable*idasI esto es al5o 6ue me a ale5rado mu*o y le i*e el si5uiente *omentario a mis ami5os> #ara 6ue se moti)en e in5resen a estudiar en la UNA+$ ?De in5resado a estudiar administra*i0n en 1alud y lo5raré materializar mi #roye*to de )ida= 1i e in5resado a estudiar en la UNA+ UNA+ Administ dministra* ra*i0n i0n en 1alud> 1alud> enton* enton*es es *onse5 *onse5uir uiréé un mejor mejor estatu estatuss la labo bora ral= l= 2or 2or lo tant tanto> o> *ons *onse5 e5ui uiré ré un mejo mejorr es esttatus atus labo labora rall y lo5r lo5rar aréé materializar mi #roye*to de )ida@= 2or medio de los dierentes métodos de demostra*i0n *on las tablas de )erdad y el uso de las leyes de ineren*ia> determinar si mi razonamiento es )lido=
2ro#osi*iones 1im#les= P8 Ke ingresado a estudiar administración en 7alud.
'8 !ograr+ materializar mi proyecto de vida.
^8 1onseguir+ un mejor estatus laboral.
+e*larar las 2remisas= 2remisa .$ Ke ingresado a estudiar administración en 7alud y lograr+ materializar mi proyecto de vida.
2remisa ,$ 7i he ingresado a estudiar en la JA& Administración en 7alud, entonces conseguir+ un mejor estatus laboral.
on*lusi0n$ 1onseguir+ un mejor estatus laboral y lograr+ materializar mi proyecto de vida.
+e*larar las 2remisas en Len5uaje ormal= P H ' 2remisa .$ P ^ 2remisa ,$ ^ H ' on*lusi0n$
P
Razonamiento en Len5uaje ormal$
( P H ' 0 H P ( P H ' 0 H P
'
^
^ 0* ^ 0*
^ H ' 0. ^ H ' 0.
PH'
P ^
PH'0HP ^0
^H' 0
(P H '0 H P
^0*
P P P
P
P
P
P
P
P P
P
P
P
P
P
P
P
P
P P
P
P
P
^ H '0.
P
P
P
P
P
P
P
P
>enemos como resultado una >A>_!_$A, podemos concluir "ue este razonamiento es MA!$&_. MA!$&_. &emostración por !eyes de $nferencia. K7 7ilogismo Kipot+tico0. A
[
[
1
A
[
7ilogismo Kipot+tico. P
'
P)8 Ke ingresado a estudiar administración en 7alud y lograr+
materializar mi proyecto de vida. P
^
P58 7i he ingresado a estudiar en la JA& Administración en
7alud, entonces conseguir+ un mejor estatus laboral.
^
'
proyecto de vida.
== 1onseguir+ un mejor estatus laboral y lograr+ materializar mi
Un grupo de estudiantes de Licenciatura en Pedagogía Infantil de la UNAD han iniciado un trabajo de campo con algunos niños de un Jardín Infantil, para generar
estrategias en cuanto al proceso del aprendiaje de lectura, siendo mu! importante la edad cronol"gica en los niños para el fortalecimiento de dicho proceso de aprendiaje# $uth es la docente %ue lidera el trabajo de campo de los estudiantes ! les comenta lo siguiente& 'si (eresa (eresa tiene cuatro años de edad, entonces (e (eresa resa posee los mismos años de )ida %ue Juliana# *i Jacinto tiene una edad diferente %ue (eresa, (eresa, entonces Jacinto posee una edad diferente %ue Juliana# Ju liana# (eresa (eresa tiene cuatro años ! Jacinto tiene la misma edad %ue Juliana# Por consiguiente, Jacinto posee la misma edad %ue (eresa (eresa ! (eresa (e resa la mimsa edad %ue Juliana+# Por fa)or determnar si el ra onamiento hecho por $uth es )lido, seg-n el proceso de demostraci"n por medio de tablas de )erdad ! del uso de las le!es de inferencia#
ETA2A GRU2AL SITUACION PROBL!ICA
Sea el ra"onamien#o$
%Si &imena se 'anó el comp(#ador en#onces )o*an reci+ió la Ta+le# Ta+le# o Ricardo ,(e -(ien reci+ió la Ta+le#. Si Johan Si Johan ,(e -(ien reci+ió la Ta+le# en#onces &imena no o+#(/o como premio el comp(#ador. Si Carlos ,(e -(ien reci+ió la Ta+le# en#onces Ricardo no ,(e -(ien reci+ió la Ta+le#. &imena se 'anó el comp(#ador. Por lo #an#o Carlos no ,(e -(ien reci+ió la Ta+le#0
a. Declaración de las proposiciones simples.
p: Ximena se ganó el computado !: "o#an eci$ió la %a$let : &icado 'ue !uien eci$ió la %a$let %a$let s: (alos 'ue !uien eci$ió la %a$let %a$let
+. Declaración de premisas 1 concl(sión Len'(a2e na#(ral Premisa SI Ximena se ganó el computado NTONCS "o#an eci$ió la %a$let %a$let O &icado 'ue !uien eci$ió 3 la %a$let. Premisa 6 Premisa 7
Len'(a2e ,ormal ⟶ 4 ∨ 5
%a$let) NTONCS SI "o#an 'ue !uien eci$ió la %a$let) Ximena NO o$tu*o como pemio el computado. computado. !ui en eci$ió la %a$let NTONCS SI (alos 'ue !uien &icado NO 'ue !uien eci$ió la %a$let.
∧ ⟶ ∼ ∧ ⟶
∼
∧ Premisa 8
Ximena se ganó el computado.
+o lo tanto) Concl(si (alos NO 'ue !uien eci$ió la %a$let ón . Declaración ,ormal del ra"onamien#o$ 9 ⟶ 4 ∨ 5: 5: ∧ 4 ⟶ ∼ 5 ∧ 4 ⟶ ∼ 5 ∧ 4 5; ⟶ 4∼ 5 c. Demos#ración con Ta+la de /erdad. De ,orma man(al. Si n es el n
las para los /alores de /erdad es 6 n 6 8 = 3?
⟶ ∼
p - r s @ p @ r @ s 4 ∨ ∨ 5
Tabla de verdad 9 ⟶ ⟶ 4 ∨ ∨ 4 ⟶ ⟶ 4 ⟶ ⟶ 5: 5: 5 5
/ / / / / / / / , , , , , , , ,
/ / / / / / , , / / / / / / / /
/ / / / , , , , / / / / , , , ,
/ / , , / / , , / / , , / / , ,
/ , / , / , / , / , / , / , / ,
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/ / / / / / , , / / / / / / , ,
, , , , / / / / / / / / / / / /
, / / / , / / / , / / / , / / /
9 ⟶ ⟶ 4 ∨ ∨ 5: 5: ∧ 4 ⟶ ⟶ 5 ∧ 4 ⟶ ⟶ 5 ∧ 4 5; 5; , , , , , / , , , , , , , , , ,
9 ⟶ ⟶ 4 ∨ ∨ 5: 5: ∧ 4 ⟶ ⟶ 5 ∧ 4 ⟶ ⟶ 5 ∧ 4 5; 5; ⟶ 4 5 / / / / / / / / / / / / / / / /
9 ⟶ ⟶ 4 ∨ ∨ 5: 5: ∧ 4 ⟶ ⟶ 5 ∧4 ⟶ ⟶ 5 ∧ 4 5; 5;
9 ⟶ ⟶ 4 ∨ ∨ 5: 5: ∧ 4 ⟶ ⟶ 5 ∧ 4 ⟶ ⟶ 5 ∧ 4 5; 5; ⟶ 4 5 Sim(lador TRUT ,captua de pantalla con la solución !ue ao-a el simulado TRUT
a expesión es una tautolog/a entonces el agumento es *0lido. d. Demos#ración por re'las de In,erencia ló'ica.
+o deducción poposicional) aplicando las Reglas de inferencia lógica ,consulte a!u/1 se tiene !ue: ,21 ⟶ 4 ∨ 5
+emisa 2
,31
+emisa 3
⟶
∼
,41 ⟶ ∼ ,51 45 4?5
+emisa 4
4 ∨ ∨ 5 -
4E5
r
,61
∼s
+emisa 5 premisa premisa ? premisa E
conclusión
,71 +o 8odus +onendo +onens a ,21 y ,51 paa o$tene ,71. (onsulta Reglas de inferencia lógica ,descague a!u/1 y Problema de aplicación Reglas de inferencia Lógica ,consulte a!u/1.
⟶
4 ∨ 5 435
+
,51
99999999999999 99999999999999 , - / r5
45 !PP
,1 +o 8odus %ollendo %ollens a ,31 y ,51 paa o$tene ,1. (onsulta Reglas de inferencia lógica ,consulte a!u/1 y Problema de aplicación Reglas de inferencia Lógica ,consulte a!u/1.
⟶ ∼ ,31
+
,51
999999999999999 999999999999999 ∼!
,1 8%%
,;1 +o 8odus %ollendo %ollendo +onens a ,71 y ,1 paa o$tene ,;1. (onsulta Reglas de inferencia lógica ,consulte a!u/1 y Problema de aplicación Reglas de inferencia Lógica ,consulte a!u/1. , - / r5 ∼!
45
,1
9999999999
,;1 8%+
,61 +o 8odus %ollendo %ollens a ,41 y ,;1 paa o$tene ,61 !ue de$e se la conclusión. (onsulta Reglas de inferencia lógica ,consulte a!u/1 y Problema de aplicación Reglas de inferencia Lógica ,consulte a!u/1
⟶ ∼ ,41
,;1
99999999999 (onclusión
∼ s ,61
,31 ⟶ ∼ +emisa 3 ,41 ⟶ ∼ +emisa +emisa 4 ,51 +emisa 5 ,71 4 ∨ ∨ 5
8odus +onendo +onens ,21) ,51
4?5
-
8odus %ollendo %ollens ,31) ,51
4E5
r
8odus %ollendo ollend o +onens ,71) ,1
(onclusión 4F5
s
8odus %ollendo ollen do %ollens ollen s ,41) ,;1
Por re'las de in,erencia se dem(es#ra -(e el ra"onamien#o es /alido
ONLU1/ONE1 !a idea idea princ principa ipall de este este traba trabajo jo es "ue "ue el alumn alumno o apren aprenda da el conce concepto pto de proposición, la forma en "ue se pueden formar proposiciones compuestas usando los conectores lógicos, representar enunciados por medio de simbología lógica, conocer conocer los concept conceptos os de tautolo tautología, gía, e"uival e"uivalenc encia ia lógica, lógica, regla regla de inferen inferencia. cia. ^eal ^ealiz izar ar demo demost stra raci cion ones es de teor teorem emas as por medi medio o del del m+to m+todo do dire direct cto o y contradicción. Pero con problemas "ue le sean familiares e interesantes. 7e trata de "ue en cada uno de los subtemas participe participe proponiendo proponiendo sus propios ejemplo y "ue sobre todo al final de la unidad +l tenga la habilidad, confianza e iniciativa para inferir posibles soluciones.
REEREN/A1 •
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()* A!!EJ&_E^?E^, 1arl . )XXB0 Gatemáticas niversitarias. 1uarta Edición. Gc ra Kill. (5* 1AGP_7, Alberto. 5BB=0 $ntroducción a la historia y a la filosofía de la matemática. niversidad Jacional de 1olombia. https8DDericmat.ordpress.comD5B)BDB=D)YDproposiciones9conjunciones9 disyunciones9implicacionesD Abbott, 7tephen 7tephen 5B)B0 nderstand nderstanding ing Analysis. Analysis. 7pringer. 7pringer. $sabel Arratia . )XXT0. El ^incón del Mago. >omado el ): de Joviembre de 5B)=. http8DDhtml.rincondelvago.comDinduccion9matematica.html 5B)@, B:0. !ey de Adición. -lubEnsayos%com. ^ecuperado B:, 5B)@, >omado el ): de Joviembre de 5B)=. https8DD.clubensayos.comD>emas9MariadosD!ey9&e9AdicionD=XX@@B.html Gazón, ^. BT de Enero de 5B)L0. Gileto. _btenido de Gileto8 El ): de Joviembre de 5B)=. http8DDsupermileto.blogspot.com.coD5B)LDB)Dmodus9tollendo9ponens.html https8DDes.iNipedia.orgDiNiDGodus`tollendo`tollens https8DDes.iNipedia.orgDiNiD&emostracik1@k[@n`en`matemk1@kA)tica [email protected]
