U N E X P O
Universidad Nacional Experimental Experimental Politécnica. Politécnica. ´´Antonio José de Sucre´´ Vicerrectorado Vicerrectorado Luis Caballero Mejías Asignatura: Investigación Operativa II
(Línea de espera para uno y dos servidores)
Prof: Hugo Álvarez Autores: Piñero Franco Exp: 2008103904
Semestre intensivo: 2010 - I
Caracas; Octubre 2010 1
Índice
Contenido
Pág.
Introducción
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Teoría de Colas o de línea de espera
4
Conceptos fundamentales
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Consideraciones para el análisis de una línea de espera o cola
6
Notación de una línea de espera o cola
7
Variables fundamentales de un sistema de cola
7
Fórmulas generales
7
Factor de utilización del sistema
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Modelo de un servidor y una cola
9
Ejercicio (ejemplo)
10
Modelo de dos o mas servidores y una cola
11
Ejercicio (ejemplo)
12
Costos asociados a las teorías de cola
14
Conclusiones
15
Referencias Bibliográficas
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2
Introducción. En la siguiente actividad se explicará de manera clara y sencilla, pero tomando en cuenta cada detalle, lo referido a la teoría de colas, en lo que respecta
a
su
aplicación
para
un
servidor
y
dos
servidores,
en
acompañamiento con unos ejemplos explicativos para entender con mejor exactitud su practicidad en la vida cotidiana.
De manera muy general se podría decir que la teoría de colas es el estudio de una técnica basada en la Investigación de Operaciones para solucionar problemas que se presentan en las situaciones en las cuales se forman turnos de espera o colas para la prestación de un servicio o ejecución de un trabajo.
En el campo de la investigación Operativa se analizan muy poco los factores subjetivos y la percepción de eficiencia por parte de los clientes o usuarios del servicio. La evaluación de los aspectos subjetivos que acompañan el factor matemático en la toma de decisiones en problemas de colas de espera van a tener un distinto peso o valoración, según cada situación, y por ello dentro del modelo planteado se busca contribuir al análisis global de los problemas de línea de espera en situación de servicio por intermedio de personas.
Como por ejemplo en la actualidad hay muchas industrias de productos y de servicios tienen un sistema de colas en el que los ¨productos¨ (o clientes) llegan a una ¨estación ¨ esperan en una ¨fila¨ (o cola), obtienen algún ¨servicio¨ y luego salen del sistema.
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Teoría de Colas o de Líneas de Espera
La teoría de colas es el estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Esta se presenta, cuando los ³clientes´ llegan a un ³lugar´ demandando un servicio a un ³servidor´, el cual tiene una cierta capacidad de atención. Si el servidor no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma la línea de espera.
La teoría de colas o ³líneas de espera´, procura el estudio riguroso del fenómeno (muy común en estos tiempos) de la espera organizada, que debe hacer un cliente para la obtención de un servicio que presta un servidor.
Generalmente en la mayoría de las organizaciones, existen problemas de colas. La principal razón de este fenómeno, es la limitación en los recursos disponibles, para la atención de todos los clientes que buscan ser servidos por la organización. Dicho Este fenómeno puede ser modelado utilizando las ideas clásicas de sistemas E-P-S, es decir el ciclo de entrada, proceso y salida
Modelo E-P-S ( FUENTE: www.
[email protected])
Para poder entender mejor cada planteamiento y la esencia práctica de la teoría de cola, es necesario conocer algunos conceptos fundamentales tales como:
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C liente:
Unidad que llega requiriendo la realización de algún servicio.
Los clientes pueden ser personas, máquinas, partes u otros.
C ola:
Número de clientes que esperan ser atendidos. Normalmente, la
cola no incluye el cliente que está siendo atendido.
C anales
de servicio: Es el proceso o sistema que está efectuando el
servicio para el cliente. Este puede ser simple o multicanal. El símbolo K indica el número de canales de servicio.
T asa
de llegada : Tasa (clientes por período de tiempo) a la cual
llegan clientes para ser atendidos.
T asa
de servicio : Tasa (clientes por períodos de tiempo) a la cual un
canal de servicio puede suministrar el servicio requerido por el cliente.
Prioridad : Regla para decidir cuál será el próximo cliente al que se atenderá.
T amaño
de la población: Tamaño del grupo que proporción a los
clientes. También se le denomina fuente.
Percepción de calidad de servicio (cliente): Es el concepto de calidad por parte del cliente de acuerdo con una escala subjetiva de comparación.
Percepción de demora en el servicio (cliente): Es el concepto del cliente sobre su percepción de demora en el servicio.
Percepción de comodidad del ambiente de espera (cliente ): Concepto del cliente sobre la comodidad del ambiente durante la espera en la línea.
Percepción de calidad en el servicio : Concepto de la calidad del servicio que presta el servidor o ventanillero.
Percepción de demora en el servidor : Concepto de demora en el servicio por parte del servidor.
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Modelo E-P-S ( FUENTE: www.
[email protected])
Consideraciones para el análisis de una línea de espera o cola Es evidente que existen otros atributos aparte de los que se analizaron antes y que deben de tomarse en consideración como por ejemplo:
El tamaño de la fuente de entrada y su distribución
El tiempo entre llegadas y su distribución
El tamaño de la cola (máximo, promedio, etc.)
La disciplina del servicio (FIFO y otras)
El número de instalaciones de servicio
El número de servidores (o canales de servicio) en cada instalación de servicio La disposición (en serie, paralelo o combinados) de los canales de servicio.
Si las unidades rechazan o no debido a la longitud de la línea de espera y no ingresan al sistema.
Si las unidades se arrepienten y abandonan el sistema después de haber aguardado un tiempo en la fila.
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Si existe o no espacio suficiente para que todas las unidades que llegan aguarden en la fila.
El tiempo de servicio y su distribución
Notación de una línea de espera o cola A/B/C En donde:
A = se sustituye por la letra que denote la distribución de llegada. B = se sustituye por la letra que denote la distribución de servicio. C = se sustituye por el entero positivo que denote el numero de canales de servicio.
El tamaño de la población de los que provienen los elementos que ingresan al sistema de líneas de espera.
La forma en que las unidades llegan para ingresar al sistema de líneas de espera; por ejemplo, una por una o en forma de grupos.
Variables fundamentales en el modelo de un servidor y una cola
Número esperado de clientes en la cola Lq
Número esperado de clientes en el sistema Ls
Tiempo esperado de espera en la cola Wq
Tiempo esperado de espera en el sistema Ws
Tasa media de llegada P
La tasa media de servicio
Fórmulas generales :
* Ws ! Wq
1
* L s ! Ws * L q ! Wq * Ls ! L q
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Nota: En el caso particular de cada uno de los casos dichas formulas se adaptan a los supuestos que conllevan dicho modelo.
Factor de utilización del sistema
Dada la tasa media de llegadas P y la tasa media de servicio Q, se define el factor de utilización del sistema V.
Generalmente se requiere que V < 1
Su fórmula, con un servidor respectivamente, es: P P V ! V ! Q s Q Un servido
Dos o más servidores
El tiempo esperado entre llegadas Se podría definir como el inverso de la tasa media de llegada es decir: 1/
Disciplina de la cola: La disciplina de la cola se refiere al orden en el que se seleccionan sus miembros para recibir el servicio. Puede ser:
FIFO (first in first out) primero en entrar, primero en salir, según la cual se atiende primero al cliente que antes haya llegado.
LIFO (last in first out) también conocida como pila que consiste en atender primero al cliente que ha llegado el último.
RSS (random selection of service) que selecciona los clientes de manera aleatoria, de acuerdo a algún procedimiento de prioridad o a algún otro orden.
Processor Sharing ± sirve a los clientes igualmente. La capacidad de la red se comparte entre los clientes y todos experimentan con eficacia el mismo retraso
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Modelo de un servidor y una cola.
Es el tipo más sencillo de estructura y existen fórmulas directas para resolver el problema con distribución normal de patrones de llegada y de servicio. Cuando las distribuciones no son normales se resuelve con simulaciones (ejemplo: lavadero automático de autos, muelle de descarga de un solo lugar, etc.).
Características de este modelo
Un servidor y una cola.
Llegada Poisson.
Cola infinita, primero en llegar primero en ser servido.
Tiempos de servicio exponenciales.
Fórmulas generales : L !
2
P
Lq !
W !
P Q
1 Q P
P (W " t ) ! e
Q ( Q P )
W q !
P n ! (1 V ) V
P
n
P Q ( Q P )
P ( L " n) ! V
n 1
Q (1 V ) t
P (W q " t ) ! Ve
t u 0, V 1
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Q (1 V ) t
Ejemplo: Caso de M/M/1 (con distribución exponencial) Según los estudios realizados por una reconocida institución dedicada a ofrecer servicios de análisis estadísticos a personas que piensan realizar algún tipo de inversión, un auto lavado ubicado en el centro de la ciudad de caracas, puede atender un auto cada 5 minutos y la tasa media de llegadas es de 9 autos por hora. Según estos datos obtenga:
a) El factor de desempeño del sistema b) las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo. c) la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema. d) la probabilidad de tener una cola de más de 3 clientes e) la probabilidad de esperar más de 30 min en la cola y en el sistema Nota: En el caso particular se considera un servidor con llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales, considerando el criterio de la política de cola FIFO.
Datos:
P = 9 (tasa media de llegada) = 12(tasa media de servicio)
Respuestas a) Hallamos el factor de desempeño
b) Hallando a partir del calculo anterior las medidas de desempeño -
Número esperado de clientes en el sistema
10
-
Número esperado de clientes en la cola
-
Tiempo esperado de espera en el sistema
-
Tiempo esperado de espera en la cola
c) la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema.
d) la probabilidad de tener una cola de más de 3 clientes
e) la probabilidad de esperar más de 30 min en la cola y en el sistema -
probabilidad de durar mas de 30 min en la cola :
-
probabilidad de durar mas de 30 mini en el sistema:
Modelo de una cola para 2 o mas servidores Para modificar una estructura de manera que se asegure el servicio por orden de llegada, es necesario formar una sola cola, de la cual, al quedar disponible un servidor se le asigna el siguiente cliente. El principal problema con esta estructura es que requiere un estricto control de la cola para
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mantener el orden y dirigir a los clientes hacia los servidores disponibles. (Ejemplo: peluquería o una panadería en donde los clientes toman un número al entrar y se les sirve cuando llega el turno).
Características del modelo
Supóngase que las llegadas son Poisson,
Los tiempos de servicio son exponenciales,
Hay una sola línea, varios servidores y una cola infinita que opera con la disciplina de primero en llegar primero en ser servido.
Las ecuaciones para las características de operación se vuelven un poco más complicadas.
Fórmulas generales : 1
P 0 !
V s ¨ s Q ¸
s 1
V n
© ¹ s! ©ª s Q P º¹ n ! 0 n!
Lq !
V s PQ ( s 1)!( s Q P ) W s ! W q
P n !
P 0 2
1 Q
L s ! Lq P n !
V n s! s
§
P 0 , si n " k n s
V n n!
P
W q !
Q
Lq P
P 0 , si n e k
P w !
1
¨ s Q ¸ ¹¹ P 0 ª s Q P º
V s ©©
s!
Ejemplo: En la biblioteca de la UNEXPO, hay un grupo de personas que se les dio la oportunidad de montar un centro de copiado, cuyo personal está tratando de decidir cuántas copiadoras debe de instalar para uso de los estudiantes. Dentro de sus planes para arrancar el negocio se ha escogido un equipo que puede hacer hasta 10 copias por minuto. No se sabe cuál es el costo de espera para un estudiante, pero se piensa que no deben tener
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que esperar más de dos minutos en promedio. Si el número promedio de copias que se hacen por usuario es cinco, ¿cuántas copiadoras se deben instalar en el centro de copiado de la UNEXPO? Para solventar la situación, se realiza una serie de ensayo y error , es decir se tratará primero con dos copiadoras, después con tres, y así hasta que se satisfaga el criterio del tiempo de espera.
¿Cuál es la tasa de servicio? Si el número promedio de copias es cinco y la copiadora puede hacer hasta 10 copias por minuto, entonces pueden servirse en promedio hasta dos estudiantes por minuto. Pero, en esto no se toma en cuenta el tiempo para insertar la moneda, cambiar originales, para que un estudiante desocupe y otro comience a copiar. Supóngase que se permite un 70 % del tiempo para estas actividades. Entonces la tasa de servicio neta baja a 0.6 estudiantes por minuto. Además se supone que los periodos pico de copiado tienen una tasa de llegada de 60 estudiantes por hora, o 1 por minuto.
Datos n= 2 S = 0.6 por minuto = 1 por minuto
Respuestas
Según los resultados obtenidos, excede el criterio del máximo de 2 minutos de espera para cada fotocopiadora
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el estudiante promedio. Se tratarán tres copiadoras. En conclusión se necesitan tres copiadoras. El porcentaje o probabilidad de utilización de cada una será:
Costos Asociados con los sistemas de líneas de espera Costo de espera Es el costo para el cliente al esperar. Representa el costo de oportunidad del tiempo perdido Un sistema con un bajo costo de espera es una fuente importante de competitividad
Costo de servicio Es el costo de operación del servicio brindado. Es más fácil de estimar El objetivo de un sistema de colas es encontrar el sistema del costo total mínimo
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Conclusión
Para
finalizar
podríamos
afirmar
que
cuando
una
institución,
organización o empresa realiza un estudio referente a un sistema de línea de espera, se presentan muchas circunstancias reales que se deben considerar para que los resultados a obtener sean los más acertados y los más cercanos a la realidad. Una de estas circunstancias o
problema es
determinar que capacidad o tasa de servicio proporciona el balance correcto. Esto no es tan sencillo como parece, ya que el cliente no llega a un horario fijo, es decir, no se sabe con exactitud en que momento llegarán los clientes. También el tiempo de servicio no tiene un horario fijo. Específicamente e independientemente de cualquiera que sea su aplicación la teoría de cola tiene como objetivo fundamental, encontrar el estado estable del sistema y determinar una capacidad de servicio apropiada, considerando los recursos limitados La teoría de cola también resulta útil para analizar muchos de los problemas relacionados al diseño del proceso. A menudo es deseable tomar decisiones respecto de una situación de teoría de cola, basándose en algún tipo de análisis de costos. Por ejemplo, un incremento en el número de servidores en el sistema reduciría el tiempo de espera, pero incrementaría el costo del servicio e inversamente. Si se pudiera expresar el tiempo promedio de espera en valores monetarios, es posible seleccionar el óptimo número de servidores (o la velocidad de servicio) que minimiza la suma de los costos se servicio y el tiempo de espera. El problema de este enfoque radica que en la práctica es muy difícil de estimar el costo por unidad de espera. Vale la pena decir que La Teoría de Cola no es una técnica de optimización, sino una herramienta que utiliza fórmulas analíticas limitadas por suposiciones matemáticas. No se asemejan a una situación real, pero da una primera aproximación a un problema y a bajo costo.
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Referencias Bibliográficas Fuentes electrónicas Motor de búsqueda mundial. (Pagina web en línea) 2010. Disponible en: http://www. www.auladeeconomia.com Consulta: Septiembre 2010.
Motor de búsqueda mundial. (Pagina web en línea) 2010. Disponible en: http://www.
[email protected] Consulta: Septiembre 2010.
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Publicaciones RENDER, Barry y Otros, Métodos
Cu antitativos
para los Negocios .
(2006). Editorial: Pearson ± Prenice Hall ,9na edición México.
TAHA, Hamdy, Investigación de Operaciones . (2004). México. Pearson ± Prentice Hall,7ª edición.
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